第一篇：湖南郴州小學(xué)數(shù)學(xué)教案排列與組合

《排列與組合》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、設(shè)計(jì)思想

根據(jù)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和規(guī)律,在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中,我活用教材,利用“觀看乒乓球賽”這一情境為線索,對(duì)教材進(jìn)行了靈活的處理,重新組合了教材,將各部分知識(shí)有機(jī)的滲透在球賽中。并著眼于學(xué)生的發(fā)展,注重發(fā)揮多媒體教學(xué)的作用,通過課件演示、動(dòng)手操作、游戲活動(dòng)等方式組織教學(xué).二、教材分析

排列與組合的思想方法不僅應(yīng)用廣泛,而且是后面學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的基礎(chǔ),同時(shí)也是發(fā)展學(xué)生抽象能力和邏輯思維能力的好素材?！稑?biāo)準(zhǔn)》中指出:在解決問題的過程中,使學(xué)生能進(jìn)行簡(jiǎn)單的、有條理的思考。本套實(shí)驗(yàn)教材試圖在滲透數(shù)學(xué)思想方法方面做一些努力和探索,把重要的數(shù)學(xué)思想方法通過學(xué)生日常生活中最簡(jiǎn)單的事例呈現(xiàn)出來,并運(yùn)用操作、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)等直觀手段解決這些問題。重在向?qū)W生滲透這些數(shù)學(xué)思想方法,并初步培養(yǎng)學(xué)生有順序地、全面地思考問題的意識(shí)。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是人教版義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)第三冊(cè)第99頁和練習(xí)二十三的第1、2題有關(guān)排列與組合知識(shí),例1屬于排列知識(shí),要讓學(xué)生體會(huì)不重復(fù)不遺漏的排列方法,“做一做”屬于組合知識(shí),要讓學(xué)生明白選定的一組事物與順序無關(guān)。練習(xí)中的題目屬于組合知識(shí)。

三、學(xué)情分析

本班學(xué)生思維比較活躍,遇到問題反映敏捷,但缺乏成熟的思考。大部分的學(xué)生已經(jīng)能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的排列組合,能解決一些簡(jiǎn)單的排列組合的實(shí)際問題,但他們是想到怎么排就怎么排,還處于一種無序思考的狀態(tài)。但只要教師稍加引導(dǎo),學(xué)生就能在活動(dòng)中體會(huì)有順序地排列組合的好處,掌握排列組合的方法。

四、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)技能:在嘗試用3個(gè)一位數(shù)組成不同的兩位數(shù)和3個(gè)人的打球活動(dòng)中體驗(yàn)最簡(jiǎn)單的排一排、組一組,掌握排列組合的方法。

2、數(shù)學(xué)思考:引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)、交流等活動(dòng)過程,培養(yǎng)學(xué)生初步的觀察、分析及推理能力。

3、問題解決:引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識(shí)世界、解釋生活,并在這一過程中初步培養(yǎng)學(xué)生有順序的、全面的思考問題的意識(shí)和數(shù)學(xué)交流能力,逐步形成“數(shù)學(xué)的思維”的習(xí)慣。

4、情感態(tài)度:在數(shù)學(xué)活動(dòng)中養(yǎng)成與人合作的良好習(xí)慣,初步學(xué)會(huì)表達(dá)解決問題的大致過程和結(jié)果,初步體會(huì)排列組合的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

五、重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):了解簡(jiǎn)單的排列組合知識(shí),能應(yīng)用排列組合的知識(shí)解決實(shí)際生活中的問題。

教學(xué)難點(diǎn):怎樣有規(guī)律地按一定的順序進(jìn)行排列組合以及對(duì)“例1”和“做一做”中握手次數(shù)的區(qū)別。

教學(xué)關(guān)鍵:注重學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng),充分運(yùn)用教學(xué)資源感知新知,應(yīng)用新知。

六、教學(xué)策略與手段

關(guān)注師生合作,促進(jìn)交流,以小組合作的形式貫穿全課,充分應(yīng)用分組合作、共同探究的學(xué)習(xí)模式,在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生與同伴交流,引導(dǎo)學(xué)生展開討論,使學(xué)生在合作中學(xué)會(huì)知識(shí),并使用多媒體課件,讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣,并活躍思維。

七、課前準(zhǔn)備

1、學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備:3張數(shù)字卡片、合作學(xué)習(xí)卡、小衣服圖片

2、教師的教學(xué)準(zhǔn)備:多媒體課件、若干張數(shù)字卡片

八、教學(xué)過程

(一)、賽前--復(fù)習(xí)導(dǎo)入

師:(點(diǎn)擊課件:一座宏偉的體育館,伴有打乒乓球的聲音。)這兒正要進(jìn)行乒乓球比賽,你們想進(jìn)去看嗎?(想)不過,得買門票,兒童票一張5角錢,你們帶錢了嗎?(略停1、2秒。)如果你能用這些紙幣說出5角錢的一種付法,就可免費(fèi)進(jìn)去看球賽。(多媒體出示1角、2角、5角三種面值的人民幣)。你們知道5角錢可以怎么付? 生匯報(bào)5角錢的付法。

師:真了不起!想出了這么多種方法,有重復(fù)或遺漏的嗎?好,咱們進(jìn)去。(點(diǎn)擊多媒體課件:體育館的大門徐徐打開,乒乓球聲也由小漸大。)(設(shè)計(jì)意圖:5角錢怎樣付?一年級(jí)時(shí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了這部分知識(shí)。課的開始,把教材的安排稍做改動(dòng),將“做一做”中的“買5角錢的拼音本”改為“一張門票5角錢”,利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生初步感知5角錢的幾種不同組合方式。從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)導(dǎo)入新課,有利于學(xué)生構(gòu)建新知模型。)(二)、賽中--探索新知

1、探討排列。

(1)、編號(hào)碼

a、師:運(yùn)動(dòng)員來了(點(diǎn)擊課件:球聲漸小,3個(gè)運(yùn)動(dòng)員走上前來)。參賽的每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的都有自己的號(hào)碼?？墒沁@次號(hào)碼很特別,要用(在黑板貼出)編出不同的兩位數(shù)。請(qǐng)同學(xué)們幫忙,你們會(huì)嗎?有沒有方法。

生匯報(bào),師板書。

b、師:才兩個(gè)號(hào)碼,可運(yùn)動(dòng)員有3個(gè),號(hào)碼不夠(在黑板再貼出卡片)現(xiàn)在就用三張數(shù)字卡片,還擺兩位數(shù),你們會(huì)嗎?(略停1、2秒鐘)這樣,同桌兩人,一人擺數(shù)字卡片,一人把擺好的數(shù)記錄下來。先商量一下誰擺數(shù)字卡片,誰記數(shù)。然后拿出數(shù)字卡片和合作學(xué)習(xí)卡片,比比哪桌合作的又好又快。

C、生合作擺數(shù)。(2)、說號(hào)碼。

師:你們擺了幾個(gè)兩位數(shù)?哪幾個(gè)? 生匯報(bào),師相機(jī)板出6個(gè)不同的兩位數(shù)。

(3)、找規(guī)律。

師:怎樣擺才能把這6個(gè)不同的兩位數(shù)不重復(fù)不遺漏的擺出來呢?小組討論交流一下,看看哪組的方法最好? 生小組討論。

(4)、匯報(bào)交流。(學(xué)生有可能出現(xiàn)以下幾種排列方法:A、先用2張數(shù)字卡片擺出一個(gè)兩位數(shù),再交換它們的位置;B、分別把1、2、3這三個(gè)數(shù)字放在十位上,依次排列;C、從小到大排列……)

(5)、小結(jié)。

師:大家都采用各種方法擺出了6個(gè)不同的兩位數(shù)。真了不起啊!今后我們只要運(yùn)用規(guī)律就能把號(hào)碼不重復(fù)不遺漏的擺出來。

(設(shè)計(jì)意圖:例題的呈現(xiàn)由易到難,由淺入深,由2個(gè)數(shù)過渡到3個(gè)數(shù)的排列,給學(xué)生留有較大的探索交流空間,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。教法的設(shè)計(jì)由導(dǎo)到放,自主合作,體現(xiàn)新課程理念。)

2、觀球賽,算場(chǎng)次,感知組合。

(1)、師;比賽開始了,瞧--(點(diǎn)擊多媒體課件:演示兩名運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練打球,一名運(yùn)動(dòng)員在旁觀看,球聲清脆,后聲音漸小)如果他們每?jī)蓚€(gè)人打一場(chǎng),那么三個(gè)人至少打幾場(chǎng)?(2)、匯報(bào)、解說。

(設(shè)計(jì)說明:利用具體情境中,激發(fā)興趣,有助于學(xué)生對(duì)新知的探究。再借助數(shù)學(xué)畫,直觀形象的掌握組合的知識(shí)。)

3、巧比較,深思辨,鞏固新知。

師:3個(gè)數(shù)字卡片擺出了6個(gè)不同的兩位數(shù),而3個(gè)運(yùn)動(dòng)員每?jī)蓚€(gè)人打一場(chǎng),只有打3場(chǎng),這是怎么回事? 學(xué)生小組討論,后匯報(bào)交流

(設(shè)計(jì)意圖:這是本節(jié)課的重難點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)6個(gè)不同的兩位數(shù)和3個(gè)場(chǎng)次,進(jìn)行比較,引發(fā)學(xué)生爭(zhēng)辯。讓學(xué)生在比較中感受排列與組合的區(qū)別,在爭(zhēng)辯中明白排列與順序有關(guān),組合與順序無關(guān)。)(三)、頒獎(jiǎng)--應(yīng)用拓展

1、巧配衣服,運(yùn)用新知。

(1)、師:比賽繼續(xù)進(jìn)行著,這次活動(dòng)得到新世紀(jì)兒童服裝公司的贊助,每個(gè)參賽運(yùn)動(dòng)員都將獲得一套服裝,看--(師粘貼幾種服裝款式:紅上衣、黃上衣、藍(lán)褲子、黃褲子)這就是他們的服裝款式,你們?cè)敢鉃樗麄兇钆湟惶追b嗎?(愿意)先想想有幾種搭配方式,再動(dòng)手用學(xué)具擺一擺。

(2)、生動(dòng)手搭配衣服。

(3)、匯報(bào)。(多媒體演示搭配方式)

2、握手問題,拓展延伸。

(1)、師:(多媒體課件演示:運(yùn)動(dòng)員穿上小朋友們搭配好的服裝,在嘹亮的《運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行曲》歌聲中登上了領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)。校長(zhǎng)向他們獻(xiàn)上了鮮花,并握手向他們表示祝賀。3位運(yùn)動(dòng)員也互相握手表示祝賀。畫面定格。)如果每?jī)蓚€(gè)人握一次手,那么4個(gè)人至少握幾次?小組4個(gè)人試一試。

(2)、生小組握手。

(3)、生匯報(bào)表演。

生:每?jī)蓚€(gè)人握一次手,4個(gè)人至少握6次。

(生4人小組表演各種握手方法,師引導(dǎo)借助圖式板演: ① ▲ ▲ ② ▲ ▲ ▲ ③ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲

(設(shè)計(jì)意圖:多彩美麗的衣服學(xué)具可激發(fā)學(xué)生對(duì)新知進(jìn)一步探究的欲望,小組四人握手活動(dòng),可激起學(xué)生的創(chuàng)新思維。這兩個(gè)直觀形象、生動(dòng)具體的情境,可讓學(xué)生在動(dòng)手?jǐn)[衣服、互相握手中親身感受和體驗(yàn)排列組合知識(shí)。接著師在根據(jù)實(shí)際情況引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)畫來表示4人不同順序的握手方法,由直觀形象的物體過渡到圖式的揭示,真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想和方法,獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),同時(shí)也感受數(shù)學(xué)在生活中的重要性,培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。)(四)、賽后--總結(jié)揭題

師(多媒體課件演示:球賽結(jié)束,聲音漸小,體育館的大門徐徐關(guān)上。)今天,咱們?cè)诳辞蛸愔袑W(xué)會(huì)了什么?說給大家聽聽。

師:是的,在一場(chǎng)球賽中咱們學(xué)到了這么多的知識(shí),其實(shí)這僅僅是數(shù)學(xué)廣角里的一小部分(點(diǎn)擊:兩扇大門幻化為二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教科書《數(shù)學(xué)廣角(排列組合)》內(nèi)容,同時(shí)板題:《數(shù)學(xué)廣角》),今后,只要我們認(rèn)真觀察生活,仔細(xì)動(dòng)腦思考,一定能愉快地暢游在廣闊的數(shù)學(xué)廣角里。

(五)、機(jī)動(dòng)練習(xí)

現(xiàn)在請(qǐng)表現(xiàn)最好的三個(gè)同學(xué)來合影,他們可以怎樣排列呢?

九、板書設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)廣角

12 23 13 21 31 32 12 21 13 31 23 32 12 13 21 23 31 32 ① ▲ ▲ ② ▲ ▲ ▲ ③ ▲ ▲ ▲ ▲

▲ ▲

十、作業(yè)設(shè)計(jì)

1、在格格、天天、小浩三人中選一人做升旗手,兩人做護(hù)旗手,有幾種選法?

2、紅紅和明明在賽馬,他們都有上、中、下三等的馬各一匹,紅紅贏兩場(chǎng)就算勝利了,她該怎樣選呢? 紅紅 明明

對(duì)

對(duì)

對(duì)

3、從花、眼、紅中選出兩個(gè)字,能組成什么詞?

第二篇：排列與組合教案

課 題： 數(shù)學(xué)廣角

——簡(jiǎn)單的排列和組合

鶴鳴山小學(xué)：佘莎

教學(xué)內(nèi)容：九年義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)p99例1 教學(xué)目標(biāo)：

1．通過觀察、猜測(cè)、比較、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，找出最簡(jiǎn)單的事物的排列數(shù)和組合數(shù)，初步培養(yǎng)有序地全面地思考問題的能力。

2．感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、探索數(shù)學(xué)的濃厚興趣，使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中養(yǎng)成與人合作的良好習(xí)慣。

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷探索簡(jiǎn)單事物排列與組合規(guī)律的過程。教學(xué)難點(diǎn)：初步理解簡(jiǎn)單事物排列與組合的不同。教學(xué)準(zhǔn)備：課件、數(shù)字卡片等 教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)探究

1、初步感知排列

1）師：看喜羊羊來歡迎我們了。

喜羊羊：大家好，在你們面前的是一把密碼鎖，密碼是由數(shù)字1和2這兩個(gè)數(shù)字?jǐn)[成的兩位數(shù)?？靵碓囋嚢桑?/p>

２）學(xué)生獨(dú)立擺卡片，并記下數(shù)。

師：請(qǐng)先獨(dú)自擺擺，邊擺邊記，看誰擺最完整？ ３）反饋交流，說一說你是怎樣擺的？

板書：１２

２１ 4）試著輸入密碼？

二、動(dòng)手操作、探究新知

1、合作探究排列 １）進(jìn)入數(shù)字樂園。

喜洋洋說：“歡迎來到數(shù)字樂園，我們一起來玩一個(gè)數(shù)字游戲吧！你能用1、2、3三個(gè)數(shù)字?jǐn)[出幾個(gè)兩位數(shù)呢？

生猜想，有兩個(gè)，4個(gè)，6個(gè)等等。

師：讓我們來動(dòng)手?jǐn)[一擺就知道了。老師給小朋友們準(zhǔn)備了1、2、3三張數(shù)字卡片，還有一張記錄卡。同桌合作，一人擺數(shù)字卡片，一人把擺好的數(shù)記錄下來，先商量一下誰擺數(shù)字卡片，誰記數(shù)，比比哪桌合作得又好又快。２）反饋交流。

①請(qǐng)幾組學(xué)生把自己記錄下的數(shù)字寫在黑板上。②交流你覺得誰擺得更好。為什么？ 想一想：怎樣擺才不會(huì)遺漏和重復(fù)？

師：為什么有的擺的數(shù)多，而有的卻擺的少呢？有什么好辦法能保證既不漏數(shù)、也不重復(fù)呢？請(qǐng)每個(gè)小組進(jìn)行討論，看看有什么好辦法？小組交流，集體反饋。

③再按你們的方法，邊擺，找一個(gè)人把他記下來！

學(xué)生小結(jié)方法：

1、固定十位。

2、固定個(gè)位。

3、交換位置。

師：大家都采用各種方法擺出了6個(gè)不同的兩位數(shù)。真了不起??！今后我們?cè)谂帕袛?shù)的時(shí)候，要想既不重復(fù)也不漏掉，就必須要按照一定的規(guī)律和一定的方法進(jìn)行。這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的排列與組合。鞏固練習(xí)。

師：喜洋洋想請(qǐng)我們?nèi)ニ依镒骺??？墒撬€想考考大家。

1、我家的門牌號(hào)碼是由6、7、8這三個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)，請(qǐng)你猜一猜可能是多少？

2、是這6個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)兩位數(shù)。

學(xué)生先排列出6個(gè)兩位數(shù)，再找出其中最大的兩位數(shù)。2．感知組合

師：喜洋洋請(qǐng)小朋友們吃水果。蘋果、香蕉、梨子，只吃其中的兩種水果有幾種吃法。生：回答。

說出三種這后，還有孩子說有別的吃法，當(dāng)他列舉出來之后，再讓學(xué)生觀察。學(xué)生發(fā)現(xiàn)最后一種和前面其中一種是同樣的吃法。從而得出只有三種吃法。師質(zhì)疑：三張卡面取兩張擺兩位數(shù)能擺6個(gè)，而三種水果吃其中兩種確只有3種吃法？

請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生上黑板，一人擺卡片，一人取水果。然后交換位置。學(xué)生發(fā)現(xiàn)卡片交換位置得到兩個(gè)數(shù)，而水果交換位置之后得到的還是原來的兩種水果只能算一種吃法。

師小結(jié)：擺數(shù)與順序有關(guān)，取水果與順序無關(guān)。擺數(shù)可以交換位置，而取水果交換位置沒用。

三、應(yīng)用拓展，深化探究 來到游藝樂園，搭配衣服。

1、出示：四件衣服有幾種不同的穿法呢?在書上連一連，畫一畫。（學(xué)生操作）

學(xué)生說課件演示。

2、出示：如果三個(gè)人握手，每?jī)蓚€(gè)人握一次，三人一共要握多少次呢？ ２）小組合作演示，并記錄結(jié)果。３）小組匯報(bào)結(jié)果。

四、總結(jié)延伸，暢談感受

師：生活中哪里有排列與組合。

師總結(jié)：只要我們有心，你會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中處處有數(shù)學(xué)。愿孩子們做一個(gè)生活的有心人，去發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)。

2012-11-10

第三篇：排列與組合高考專題

高中數(shù)學(xué)《排列組合的復(fù)習(xí)》教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)目標(biāo)

（1）能夠熟練判斷所研究問題是否是排列或組合問題；（2）進(jìn)一步熟悉排列數(shù)、組合數(shù)公式的計(jì)算技能；（3）熟練應(yīng)用排列組合問題常見解題方法；

（4）進(jìn)一步增強(qiáng)分析、解決排列、組合應(yīng)用題的能力。2．能力目標(biāo)

認(rèn)清題目的本質(zhì)，排除非數(shù)學(xué)因素的干擾，抓住問題的主要矛盾，注重不同題目之間解題方法的聯(lián)系，化解矛盾，并要注重解題方法的歸納與總結(jié)，真正提高分析、解決問題的能力。3．德育目標(biāo)

（1）用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題；

（2）認(rèn)識(shí)事物在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化；（3）解決問題能抓住問題的本質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)：排列數(shù)與組合數(shù)公式的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：解題思路的分析

教學(xué)策略：以學(xué)生自主探究為主，教師在必要時(shí)給予指導(dǎo)和提示，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)采用自主探索和小組協(xié)作討論相結(jié)合的方法。

媒體選用：學(xué)生在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)教室通過專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站，利用網(wǎng)絡(luò)資源（如在線測(cè)度等）進(jìn)行自主探索和研究。教學(xué)過程

一、知識(shí)要點(diǎn)精析

（一）基本原理

1．分類計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它可以有 類辦法，在第一類辦法中有 種不同的方法，在第二類辦法中有 種不同的方法，??，在第 類辦法中有 種不同的辦法，那么完成這件事共有： ? 種不同的方法。

2．分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成 個(gè)步驟，做第一步有 種不同的方法，做第二步有 種不同的方法，??，做第 步有 種不同的辦法，那么完成這件事共有：

? 種不同的方法。

3．兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)即“聯(lián)斥性”：（1）對(duì)于加法原理有以下三點(diǎn)： ①“斥”——互斥獨(dú)立事件；

②模式：“做事”——“分類”——“加法”

③關(guān)鍵：抓住分類的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤诸?，要使分類既不遺漏也不重復(fù)。（2）對(duì)于乘法原理有以下三點(diǎn)：

洪恩網(wǎng)校

①“聯(lián)”——相依事件；

②模式：“做事”——“分步”——“乘法”

③關(guān)鍵：抓住特點(diǎn)進(jìn)行分步，要正確設(shè)計(jì)分步的程序使每步之間既互相聯(lián)系又彼此獨(dú)立。

（二）排列

1．排列定義：一般地說從 個(gè)不同元素中，任取 個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 個(gè)不同元素中，任取 個(gè)元素的一個(gè)排列。特別地當(dāng) 時(shí)，叫做 個(gè)不同元素的一個(gè)全排列。2．排列數(shù)定義：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào) 表示。3． 排列數(shù)公式：（1）?，特別地

（2）且規(guī)定

（三）組合

1．組合定義：一般地說從 個(gè)不同元素中，任取 個(gè)元素并成一組，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的一個(gè)組合。

2．組合數(shù)定義：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào) 表示。3． 組合數(shù)公式：（1）

（2）

4．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：（1）規(guī)定（2）

（四）排列與組合的應(yīng)用 1．排列的應(yīng)用問題

（1）無限制條件的簡(jiǎn)單排列應(yīng)用問題，可直接用公式求解。

（2）有限制條件的排列問題，可根據(jù)具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。2．組合的應(yīng)用問題

（1）無限制條件的簡(jiǎn)單組合應(yīng)用問題，可直接用公式求解。

（2）有限制條件的組合問題，可根據(jù)具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。3．排列、組合的綜合問題

排列組合的綜合問題，主要是排列組合的混合題，解題的思路是先解決組合問題，然后再討論排列問題。

在解決排列與組合的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）限制條件的排列問題常見命題形式： “在”與“不在” “相鄰”與“不相鄰”

在解決問題時(shí)要掌握基本的解題思想和方法：

①“相鄰”問題在解題時(shí)常用“捆綁法”，可以把兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素當(dāng)做一個(gè)元素來看，這是處理相鄰最常用的方法。

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②“不相鄰”問題在解題時(shí)最常用的是“插空法”。

③“在”與“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。

④元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后利用規(guī)定順序的實(shí)情求出結(jié)果。

（2）限制條件的組合問題常見命題形式： “含”與“不含” “至少”與“至多”

在解題時(shí)常用的方法有“直接法”或“間接法”。

（3）在處理排列組合綜合題時(shí)，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到不重復(fù)，不遺漏按事件的發(fā)生過程分類、分步，正確地交替使用兩個(gè)原理，這是解決排列問題的最基本，也是最重要的思想方法。

4、解題步驟：

（1）認(rèn)真審題：看這個(gè)問題是否與順序有關(guān)，先歸結(jié)為排列問題或組合問題或二者的綜合題，還應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)：

①在這個(gè)問題中 個(gè)不同的元素指的是什么？② 個(gè)元素指的又是什么？ ②從 個(gè)不同的元素中每次取出 個(gè)元素的排列（或組合）對(duì)應(yīng)的是什么事件；（2）列式并計(jì)算；（3）作答。

二、學(xué)習(xí)過程 題型一：排列應(yīng)用題

9名同學(xué)站成一排：（分別用A，B，C等作代號(hào)）（1）如果A必站在中間，有多少種排法？（答案：）（2）如果A不能站在中間，有多少種排法？（答案：）

（3）如果A必須站在排頭，B必須站在排尾，有多少種排法？（答案：）（4）如果A不能在排頭，B不能在排尾，有多少種排法？（答案：）（5）如果A，B必須排在兩端，有多少種排法？（答案：）（6）如果A，B不能排在兩端，有多少種排法？（答案：）（7）如果A，B必須在一起，有多少種排法？（答案：）（8）如果A，B必須不在一起，有多少種排法？（答案：）（9）如果A，B，C順序固定，有多少種排法？（答案：）題型二：組合應(yīng)用題

若從這9名同學(xué)中選出3名出席一會(huì)議

（10）若A，B兩名必在其內(nèi)，有多少種選法？（答案：）（11）若A，B兩名都不在內(nèi)，有多少種選法？（答案：）

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（12）若A，B兩名有且只有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案：）（13）若A，B兩名中至少有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案： 或）（14）若A，B兩名中至多有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案： 或）題型三：排列與組合綜合應(yīng)用題 若9名同學(xué)中男生5名，女生4名

（15）若選3名男生，2名女生排成一排，有多少種排法？（答案：）（16）若選3名男生2名女生排成一排且有一男生必須在排頭，有多少種排法？（答案：）

（17）若選3名男生2名女生排成一排且某一男生必須在排頭，有多少種排法？（答案：）

（18）若男女生相間，有多少種排法？（答案：）題型四：分組問題

6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？（19）一堆一本，一堆兩本，一堆三本（答案：）（20）甲得一本，乙得兩本，丙得三本（答案：）（21）一人得一本，一人得兩本，一人得三本（答案：）（22）平均分給甲、乙、丙三人（答案：）（23）平均分成三堆（答案：）

（24）分成四堆，一堆三本，其余各一本（答案：）（25）分給三人每人至少一本。（答案： + +）題型五：全能與專項(xiàng)

車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺(tái)機(jī)床，有多少種選派方法？

題型六：染色問題

（26）梯形的兩條對(duì)角線把梯形分成四部分，用五種不同顏色給這四部分涂不同顏色，且相鄰的區(qū)域不同色，問有（）種不同的涂色方法？（答案：260）

（27）某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖）?，F(xiàn)在栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相 鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有 種。分析：先排1、2、3排法 種排法；再排4，若4與2同色，5有 種排法，6有1種排法；若4與2不同色，4只有1種排法； 若5與2同色，6有 種排法；若5與3同色，6有1種排法 所以共有（+ +1）=120種

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題型七：編號(hào)問題

（28）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有多少種？（答案：144）

（29）將數(shù)字1，2，3，4填在標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填上一個(gè)數(shù)字且每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有多少種？（答案：9）題型八：幾何問題

（30）：（Ⅰ）四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一個(gè)平面上，有多少種不同的取法？

（Ⅱ）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，有多少種不同的取法？

解：（1）（直接法）如圖，含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有 5個(gè)點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面共有 種取法，含頂點(diǎn)A的 三條棱上各有三個(gè)點(diǎn)，它們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，與頂點(diǎn)A共面三點(diǎn)的取法有 +3=33（種）

（2）（間接法）如圖，從10個(gè)頂點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法有 種，除去4點(diǎn)共面 的取法種數(shù)可以得到結(jié)果。從四面體同一個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)取出4點(diǎn)必定共面。有 =60種，四面體的每一條棱上3點(diǎn)與相對(duì)棱中點(diǎn)共面，共有6種共面情況，從6條棱的中點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)時(shí)有3種共面情形（對(duì)棱中點(diǎn)連線兩兩相交且互相平分）故4點(diǎn)不共面的取法為

-（60+6+3）=141 題型九：關(guān)于數(shù)的整除個(gè)數(shù)的性質(zhì)：

①被2整除的：個(gè)位數(shù)為偶數(shù)；

②被3整除的：各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和被3整除；

③被6整除的：3的倍數(shù)且為偶數(shù)；

④被4整除的：末兩位數(shù)能被4整除；

⑤被8整除的：末三位數(shù)能被8整除；

⑥25的倍數(shù)：末兩位數(shù)為25的倍數(shù)；

⑦5的倍數(shù)：個(gè)位數(shù)是0，5；

⑧9的倍數(shù)：各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和為9的倍數(shù)。

（31）：用0,1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中5的倍數(shù)有多少個(gè)？（答案：216）

題型十：隔板法：（適用于“同元”問題）

（32）：把12本相同的筆記本全部分給7位同學(xué)，每人至少一本，有多少種分法？ 分析：把12本筆記本排成一行，在它們之間有11個(gè)空當(dāng)（不含兩端）插上6塊板將本子分成7份，對(duì)應(yīng)著7名同學(xué)，不同的插法就是不同的分法，故有 種。

三、在線測(cè)試題

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1．以一個(gè)正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（D）個(gè)（A）70（B）64（C）60（D）58 2．3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所所為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有（D）

（A）90種（B）180種（C）270種（D）540種

3．將組成籃球隊(duì)的12個(gè)名額分配給7所學(xué)校，每校至少1個(gè)名額，則不同的名額分配方法共有（A）

（A）（B）（C）（D）

4．5本不同的書，全部分給四個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為（B）（A）480（B）240（C）120（D）96 5．編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)人分別去坐在編號(hào)為1，2，3，4，5的座位上，至多有兩個(gè)號(hào)碼一致的坐法種數(shù)為（C）

（A）90（B）105（C）109（D）100 6．如右圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)在4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有（B）種（用數(shù)字作答）（A）48（B）72（C）120（D）36 7．若把英語“error”中字母的拼寫順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤的種數(shù)是（A）。（A）19（B）20（C）119（D）60 8．某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場(chǎng)，得3分；平一場(chǎng)，得1分；負(fù)一場(chǎng)，得0分，一球隊(duì)打完15場(chǎng)，積分33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況有（D）（A）6 種（B）5種（C）4種（D）3種

四、課后練習(xí)

1．10個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒子的編數(shù)，問有 種不同的放法？

2．坐在一排9個(gè)椅子上，相鄰兩人之間至少有2個(gè)空椅子，則不同的坐法的種數(shù)是 3．如圖A，B，C，D為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)島連接起來，不同的建橋方案共有 種。

4．面直角坐標(biāo)系中，X軸正半軸上有5個(gè)點(diǎn)，Y軸正半軸有3個(gè)點(diǎn)，將X軸上這5個(gè)點(diǎn)或Y軸上這3個(gè)點(diǎn)連成15條線段，這15條線段在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)最多有 個(gè)。5．某郵局現(xiàn)只有郵票0．6元，0．8元，1．1元的三種面值郵票，現(xiàn)有郵資為7．5元的郵件一件，為使粘貼的郵票張數(shù)最小，且郵資恰為7．5元，則至少要購買 張郵票。6．（1）從1，2，?，30這前30個(gè)自然數(shù)中，每次取出不同的三個(gè)數(shù)，使這三個(gè) 數(shù)的和是3的倍數(shù)的取法有多少種？

（2）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)。

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（3）在1，2，3，?，100這100個(gè)自然數(shù)中，每次取出三個(gè)數(shù)，使它們構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，問這樣的等差數(shù)列共有多少個(gè)？

（4）1！+2！+3！+?+100！的個(gè)位數(shù)字是

7．5個(gè)身高均不等的學(xué)生站成一排合影，若高個(gè)子站中間，從中間到兩邊一個(gè)比一個(gè)矮，則這樣的排法種數(shù)共有（）

（A）6種（B）8種（C）10種（D）12種

8．某產(chǎn)品中有4只次品，6只正品（每只產(chǎn)品均可區(qū)別），每次取一只測(cè)試，直到4只次品全部測(cè)出為止，則第五次測(cè)試發(fā)現(xiàn)最后一只次品的可能情況共有多少種？

《排列和組合的綜合應(yīng)用》多媒體教學(xué)的教師小結(jié) 數(shù)學(xué)教師在傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境下也許會(huì)遭遇諸如以下的困難： ——我怎樣向?qū)W生提供更多的相關(guān)的學(xué)習(xí)資料？ ——我如何有效地進(jìn)行課堂檢測(cè)并及時(shí)反饋？

——我怎樣讓每個(gè)學(xué)生都參與討論并且使討論的結(jié)果都呈現(xiàn)出來？

這種在教學(xué)資源、教學(xué)檢測(cè)、教學(xué)組織上所體現(xiàn)出來的局限，不僅在傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境下難以改變，即使在多媒體輔助教學(xué)下也是捉襟見肘。它不僅影響了數(shù)學(xué)教學(xué)效率的提高，更是阻礙了數(shù)學(xué)教改的進(jìn)程。

幸而，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)到了網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，基于Web的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了革命的曙光。鑒此認(rèn)真分析教材特點(diǎn)，學(xué)生特點(diǎn)開了《排列和組合的綜合應(yīng)用》這堂網(wǎng)絡(luò)課，現(xiàn)對(duì)此進(jìn)行課后總結(jié)：

《排列和組合的綜合應(yīng)用》這堂網(wǎng)絡(luò)課，教學(xué)重點(diǎn)是幾種常見命題的形式的解題思路及有關(guān)應(yīng)用。首先，通過排列和組合有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)排列和組合有一個(gè)整體上的認(rèn)識(shí)，給學(xué)生打下了很好的基礎(chǔ)。其次，在教學(xué)中，本著以學(xué)生為本的原則，讓學(xué)生自己動(dòng)手參與實(shí)踐，使之獲取知識(shí)。在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，學(xué)生主要依靠老師，自主探索的能力不強(qiáng)，因此在本節(jié)課學(xué)習(xí)中，教師在課堂上適時(shí)拋出問題，使學(xué)生有的放矢，有針對(duì)性，知道自己下一步應(yīng)該做什么，同時(shí)組織學(xué)生以小組進(jìn)行討論學(xué)習(xí)，防止出現(xiàn)學(xué)生純粹瀏覽網(wǎng)頁這種現(xiàn)象。在強(qiáng)大的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，讓學(xué)生探討排列和組合的區(qū)別與聯(lián)系，自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論，以人機(jī)交互的方式，使個(gè)性化學(xué)習(xí)成為可能，體現(xiàn)了學(xué)科教學(xué)與教育技術(shù)的整合。第三、針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，在學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論后，還需在理論上給予支持。因此，對(duì)各種常見的類型，教師在課堂上分別給予小結(jié)，目的是讓學(xué)生在今后的自主學(xué)習(xí)中，若遇到同樣的問題，有能力自己解決。從而讓學(xué)生逐步熟悉、形成較為完整的一套自主學(xué)習(xí)的方法。

在上課的過程中，充分體現(xiàn)出計(jì)算機(jī)的交互和便捷的特點(diǎn)，學(xué)生可以根據(jù)需要，在老師的引導(dǎo)下，選擇自己學(xué)習(xí)的進(jìn)度和內(nèi)容，去自主的學(xué)習(xí)和探索。通過實(shí)際操作，幫助理解和掌握本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容。在上課過程中，學(xué)生積極思考，相互協(xié)作討論，踴躍回答問題，氣氛

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活躍，教學(xué)效果好。在學(xué)生課后的反饋中，總體的反映都覺得各自獲益匪淺，從中學(xué)到了不少的東西，切實(shí)掌握了排列和組合的有關(guān)知識(shí)。

當(dāng)然，本節(jié)課還有許多需要改進(jìn)的地方，如課堂上安排節(jié)奏比較快，例題，練習(xí)留給學(xué)生探索，動(dòng)手的時(shí)間還可以再多一些；另外由于學(xué)生電腦的水平以及數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，所以許多學(xué)生不能很熟練地操作電腦，許多數(shù)學(xué)符號(hào)，公式無法在討論區(qū)中體現(xiàn)。

總之，網(wǎng)絡(luò)探究的最大好處是學(xué)生能夠在網(wǎng)絡(luò)中找到課堂教學(xué)中體驗(yàn)過和未體驗(yàn)過的感性知識(shí)，提高學(xué)生求知欲，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自主性，使學(xué)生的個(gè)性在學(xué)習(xí)中得以充分張揚(yáng)。而探究過程中的相互交流不僅可擴(kuò)大知識(shí)的攝入量，更可培養(yǎng)學(xué)生形成一種在交流中學(xué)習(xí)成長(zhǎng)的意識(shí)。因此在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)這領(lǐng)域中，今后還有很大的學(xué)習(xí)空間，做為一名教師，要適應(yīng)時(shí)代的需要，改善自己平時(shí)的傳統(tǒng)教學(xué)思維，大膽創(chuàng)新，努力學(xué)習(xí)，不斷地探索，不斷反思。樹立現(xiàn)代教育觀念，不斷學(xué)習(xí)現(xiàn)代化技術(shù)，完善自己，提高素質(zhì)，才能擔(dān)負(fù)起祖國賦于我們肩上的重任。

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第四篇：數(shù)學(xué) -排列、組合、二項(xiàng)式定理-基本原理 -數(shù)學(xué)教案

教學(xué)目標(biāo)

（1）正確理解加法原理與乘法原理的意義，分清它們的條件和結(jié)論；

（2）能結(jié)合樹形圖來幫助理解加法原理與乘法原理；

（3）正確區(qū)分加法原理與乘法原理，哪一個(gè)原理與分類有關(guān)，哪一個(gè)原理與分步有關(guān)；

（4）能應(yīng)用加法原理與乘法原理解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題，提高學(xué)生理解和運(yùn)用兩個(gè)原理的能力；

（5）通過對(duì)加法原理與乘法原理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好習(xí)慣。

教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)是加法原理與乘法原理，難點(diǎn)是準(zhǔn)確區(qū)分加法原理與乘法原理。

加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。這兩個(gè)原理是學(xué)習(xí)排列組合內(nèi)容的基礎(chǔ)，貫穿整個(gè)內(nèi)容之中，一方面它是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)的基礎(chǔ)；另一方面它的結(jié)論與其思想在方法本身又在解題時(shí)有許多直接應(yīng)用。

兩個(gè)原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法種數(shù)是多少的問題，其區(qū)別在于：運(yùn)用加法原理的前提條件是，做一件事有n類方案，選擇任何一類方案中的任何一種方法都可以完成此事，就是說，完成這件事的各種方法是相互獨(dú)立的；運(yùn)用乘法原理的前提條件是，做一件事有n個(gè)驟，只要在每個(gè)步驟中任取一種方法，并依次完成每一步驟就能完成此事，就是說，完成這件事的各個(gè)步驟是相互依存的。簡(jiǎn)單的說，如果完成一件事情的所有方法是屬于分類的問題，每次得到的是最后結(jié)果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是屬于分步的問題，每次得到的該步結(jié)果，就要用乘法原理。

三、教法建議

關(guān)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的教學(xué)要分三個(gè)層次：

第一是對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的認(rèn)識(shí)與理解．這里要求學(xué)生理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的意義，并弄清兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別．知道什么情況下使用加法計(jì)數(shù)原理，什么情況下使用乘法計(jì)數(shù)原理．（建議利用一課時(shí)）．

第二是對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的使用．可以讓學(xué)生做一下習(xí)題（建議利用兩課時(shí)）：

①用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)8位號(hào)碼；

②用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)8位整數(shù)；

③用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)； ④用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)有重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)； ⑤用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的4位奇數(shù)；

⑥用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)有兩個(gè)重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)等等．

第三是使學(xué)生掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，這個(gè)過程應(yīng)該貫徹整個(gè)教學(xué)中，每個(gè)排列數(shù)、組合數(shù)公式及性質(zhì)的推導(dǎo)都要用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，每一道排列、組合問題都可以直接利用兩個(gè)原理求解，另外直接計(jì)算法、間接計(jì)算法都是兩個(gè)原理的一種體現(xiàn)．教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地分析題意，恰當(dāng)?shù)姆诸?、分步，用好、用活兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理． 教學(xué)設(shè)計(jì)示例

加法原理和乘法原理

教學(xué)目標(biāo)

正確理解和掌握加法原理和乘法原理，并能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問題，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：加法原理和乘法原理．

難點(diǎn)：加法原理和乘法原理的準(zhǔn)確應(yīng)用． 教學(xué)用具

投影儀． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）引入新課

從本節(jié)課開始，我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個(gè)獨(dú)特的部分——排列、組合、二項(xiàng)式定理．它們研究對(duì)象獨(dú)特，研究問題的方法不同一般．雖然份量不多，但是與舊知識(shí)的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問題，就離不開它．

今天我們先學(xué)習(xí)兩個(gè)基本原理．

（二）講授新課

1．介紹兩個(gè)基本原理

先考慮下面的問題：

問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船．一天中，火車有4個(gè)班次，汽車有2個(gè)班次，輪船有3個(gè)班次．那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？

因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情．所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法．

這個(gè)問題可以http://jiaoan.cnkjz.com/Article/Index.html>總結(jié)為下面的一個(gè)基本原理（打出片子——加法原理）：

加法原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法．

請(qǐng)大家再來考慮下面的問題（打出片子——問題2）：

問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條（見下圖），從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？

這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后，再從B村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的走法．

一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法． 2．淺釋兩個(gè)基本原理

兩個(gè)基本原理的用途是計(jì)算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)．

比較兩個(gè)基本原理，想一想，它們有什么區(qū)別？

兩個(gè)基本原理的區(qū)別在于：一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)．

看下面的分析是否正確（打出片子——題1，題2）：

題1：找1～10這10個(gè)數(shù)中的所有合數(shù)．第一類辦法是找含因數(shù)2的合數(shù)，共有4個(gè)；第二類辦法是找含因數(shù)3的合數(shù)，共有2個(gè)；第三類辦法是找含因數(shù)5的合數(shù)，共有1個(gè)． 1～10中一共有N=4＋2＋1=7個(gè)合數(shù)．

題2：在前面的問題2中，步行從A村到B村的北路需要8時(shí)，中路需要4時(shí)，南路需要6時(shí)，B村到C村的北路需要5時(shí)，南路需要3時(shí)，要求步行從A村到C村的總時(shí)數(shù)不超過12時(shí)，共有多少種不同的走法？

第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法．

題2中的合數(shù)是4，6，8，9，10這五個(gè)，其中6既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)3；10既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)5．題中的分析是錯(cuò)誤的．

從A村到C村總時(shí)數(shù)不超過12時(shí)的走法共有5種．題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法．

（此時(shí)給出題1和題2的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用兩個(gè)基本原理的注意事項(xiàng)，這樣安排，不但可以使學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本原理的理解更深刻，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力）

進(jìn)行分類時(shí)，要求各類辦法彼此之間是相互排斥的，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨(dú)完成這件事．只有滿足這個(gè)條件，才能直接用加法原理，否則不可以．

如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨(dú)立，即相對(duì)于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，就可以直接應(yīng)用乘法原理．

也就是說：類類互斥，步步獨(dú)立．

（在學(xué)生對(duì)問題的分析不是很清楚時(shí)，教師及時(shí)地歸納小結(jié)，能使學(xué)生在應(yīng)用兩個(gè)基本原理時(shí)，思路進(jìn)一步清晰和明確，不再簡(jiǎn)單地認(rèn)為什么樣的分類都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法．從而深入理解兩個(gè)基本原理中分類、分步的真正含義和實(shí)質(zhì)）

（三）應(yīng)用舉例

現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個(gè)基本原理，我們可以用它們來解決一些簡(jiǎn)單問題了．

例1 書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．

（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

（2）若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

（讓學(xué)生思考，要求依據(jù)兩個(gè)基本原理寫出這3個(gè)問題的答案及理由，教師巡視指導(dǎo)，并適時(shí)口述解法）

（1）從書架上任取一本書，可以有3類辦法：第一類辦法是從3本不同數(shù)學(xué)書中任取1本，有3種方法；第二類辦法是從5本不同的語文書中任取1本，有5種方法；第三類辦法是從6本不同的英語書中任取一本，有6種方法．根據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是 N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故從書架上任取一本書的不同取法有14種．

（2）從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本，需要分成三個(gè)步驟完成，第一步取1本數(shù)學(xué)書，有3種方法；第二步取1本語文書，有5種方法；第三步取1本英語書，有6種方法．根據(jù)乘法原

第五篇：小學(xué)奧數(shù)經(jīng)典專題點(diǎn)撥：排列與組合

排列與組合

【有條件排列組合】

例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字能夠組成______個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。

（哈爾濱市第七屆小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

講析：用這十個(gè)數(shù)字排列成一個(gè)不重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)時(shí)，百位上不能為0，故共有9種不同的取法。

因?yàn)榘傥簧弦讶∽咭粋€(gè)數(shù)字，所以十位上只剩下9個(gè)數(shù)字了，故十位上有9種取法。

同理，百位上和個(gè)位上各取走一個(gè)數(shù)字，所以還剩下8個(gè)數(shù)字，供個(gè)位上取。

所以，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有

9×9×8=648（個(gè)）。

例2 甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)排成一排，從左到右數(shù)，如果甲不排在第一個(gè)位置上，乙不排在第二個(gè)位置上，丙不排在第三個(gè)位置上，丁不排在第四個(gè)位置上，那么不同的排法共有______種。

（1994年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）

講析：因每個(gè)人都不排在原來的位置上，所以，當(dāng)乙排在第一位時(shí)，其他幾人的排法共有3種；同理，當(dāng)丙、丁排在第一位時(shí)，其他幾人的排法也各有3種。

因此，一共有9種排法。

例3 有一種用六位數(shù)表示日期的方法，如890817表示1989年8月17日，也就是從左到右第一、二位數(shù)表示年，第三、四位數(shù)表示月，第五、六位數(shù)表示日。如果用這種方法表示1991年的日期，那么全年中六個(gè)數(shù)字都不相同的日期共有______天。

（1991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）

講析：第一、二位數(shù)字顯然只能取9和1，于是第三位只能取0。

第五位數(shù)字只能取0、1、2或3，而0和1已取走，當(dāng)取3時(shí)，第六位上只能取0和1，顯然不行。因此，第五位上只能取2。

于是，第四位上只能取3、4、5、6、7、8；第六位上也只能取3、4、5、6、7、8，且第四、六位上數(shù)字不能取同。

所以，一共有 6×5=30（種）。【環(huán)形排列】

例1 編號(hào)為1、2、3、4的四把椅子，擺成一個(gè)圓圈?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人去坐，規(guī)定甲、乙兩人必須坐在相鄰座位上，一共有多少種坐法？

（長(zhǎng)沙市奧林匹克代表隊(duì)集訓(xùn)試題）

講析：如圖5.87，四把椅子排成一個(gè)圓圈。

當(dāng)甲坐在①號(hào)位時(shí)，乙只能坐在②或④

號(hào)位上，則共有4種排法；同理，當(dāng)甲分別坐在②、③、④號(hào)位上時(shí)，各有4種排法。

所以，一共有16種排列法。

例2 從1至9這九個(gè)數(shù)字中挑出六個(gè)不同的數(shù)填在圖5.88的六個(gè)圓圈中，使任意相鄰兩個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)，那么最多能找出______種不同的挑法來。（挑出的數(shù)字相同，而排列次序不同的都只算一種）

（北京市第九屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

講析：在1至9這九個(gè)自然數(shù)中，奇數(shù)有1、3、5、7、9五個(gè)，偶數(shù)有2、4、6、8四個(gè)。要使排列之后，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之和為質(zhì)數(shù)，則必須奇數(shù)與偶數(shù)間隔排列，也就是每次取3個(gè)奇數(shù)和3個(gè)偶數(shù)。

從五個(gè)奇數(shù)中，取3個(gè)數(shù)共有10種方法；

從四個(gè)偶數(shù)中，取3個(gè)數(shù)共有4種方法。

但并不是每一種3個(gè)奇數(shù)和3個(gè)偶數(shù)都可以排成符合要求的排列。經(jīng)檢驗(yàn)，共有26種排法。