第一篇：高三數(shù)學(xué)一輪教案：等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本運(yùn)算(二)

§3.2等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算

（二）【復(fù)習(xí)目標(biāo)】 靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的性質(zhì)簡(jiǎn)化數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算； 2 在解題中總結(jié)方法和規(guī)律，加深對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的理解。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

在解題中總結(jié)方法和規(guī)律，簡(jiǎn)化數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算 【課前預(yù)習(xí)】

9121．在等比數(shù)列{an}中，已知首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為3，公比為3，則項(xiàng)數(shù)n是

（）

A.3

B.4

C.5

D.6 2．等比數(shù)列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,則a5+a6是

（）

A.240

B.±240

C.480

D.±480 3．設(shè){an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a14=77，如果ak=13，那么k等于

A.16

B.18

C.20

D.22

（）【典型例題】

a1a2?a3a4?a5a6a1a6?a2a5例1

已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，求的值。

例2 已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為100，前100項(xiàng)的和為10，求前110項(xiàng)的和。

例3 已知等差數(shù)列n的前n項(xiàng)和為的通項(xiàng)公式。

?a?sn，令

bn?11a?b?,s3?s5?21.33?b?sn，2且求數(shù)列n

2{a}S??n?18n，試求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn的表述式。nn例4 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為

【鞏固練習(xí)】

1．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a6=9，則log3a1+log3a2+…+log3a10的值為

.2．在等比數(shù)列{an}中,已知a2a8=9，則a3a5a7等于

.a1?a3?a93．已知等差數(shù)列{a}的公差d≠0，且a,a,a成等比數(shù)列，則a2?a4?a10的值是

。n

9【本課小結(jié)】

【課后作業(yè)】

ac??24 設(shè)a,b,c成等比數(shù)列，x為a,b的等差中項(xiàng)，y為b,c的等差中項(xiàng)，求證xy.5 若a+b+c,b+c—a,a+c－b,a+b－c成等比數(shù)列，公比為q,求q+q2+q3的值。等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m≠2001時(shí)，有a2001=m,am=2001，若p∈N,且p>am，試比較am+p與0的大小關(guān)系。設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)的和Sn滿足關(guān)系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t>0,n=2,3,4,…)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列.8 設(shè)等差數(shù)列 ?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若a3?12，S12?0，S13?0。

（1）求公差的取值范圍；（2）指出S1，S2，……，S12中，哪個(gè)值最大？并說明理由。

第二篇：第2課時(shí)--等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算

一．課題：等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算

二．教學(xué)目標(biāo)：掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的公式，并能利用這些

知識(shí)解決有關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力．

三．教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的公式的應(yīng)用．

四．教學(xué)過程：

（一）主要知識(shí)：

1．等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；

2．等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式；

3．等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的概念．

（二）主要方法：

1．涉及等差（比）數(shù)列的基本概念的問題，常用基本量a1,d(q)來(lái)處理；

2．使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須弄清公比q是否可能等于1還是必不等于1，如果不能確定則需要討論；

3．若奇數(shù)個(gè)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間三項(xiàng)為a?d,a,a?d；若偶數(shù)個(gè)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)為a?d,a?d，其余各項(xiàng)再根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元．若干個(gè)數(shù)個(gè)成等比數(shù)列且積為定值時(shí)，設(shè)元方法與等差數(shù)列類似．

4．在求解數(shù)列問題時(shí)要注意運(yùn)用函數(shù)思想，方程思想和整體消元思想，設(shè)而不求．

（三）例題分析：

例1．（1）設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)為 2 ．

（2）已知等差數(shù)列{an}的公差d?0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，則a1?a3?a913?． a2?a4?a1016

例2．有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)書的和是12，求這四個(gè)數(shù)． ?(a?d)

2(a?d)?16?a?d?解：設(shè)這四個(gè)數(shù)為：a?d,a,a?d,，則? aa?2a?d?12?

?a?4?a?9解得：?或?，所以所求的四個(gè)數(shù)為：?4,4,12,36；或15,9,3,1． d?8d??6??2

例3．由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}，若前2n項(xiàng)之和等于它前2n項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和的11倍，第3項(xiàng)與第4項(xiàng)之和為第2項(xiàng)與第4項(xiàng)之積的11倍，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

解：當(dāng)q?1時(shí)，得2na1?11na1不成立，∴q?1，?a1(1?q2n)11a1q(1?q2n)?① ?21?q∴?1?q ?aq2?aq3?11aq?aq3② ?111

11由①得q?，代入②得a1?10，10

1n?2∴an?()． 10

說明：用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要注意討論公比是否為1．

第三章 數(shù)列——第2課時(shí)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

例4．已知等差數(shù)列110,116,122,?，（1）在區(qū)間[450,600]上，該數(shù)列有多少項(xiàng)？并求它們的和；

（2）在區(qū)間[450,600]上，該數(shù)列有多少項(xiàng)能被5整除？并求它們的和.解：an?110?6(n?1)?6n?104，（1）由450?6n?104?600，得58?n?82，又n?N, *

1(a58?a82)?25?13100．

2（2）∵an?110?6(n?1)，∴要使an能被5整除，只要n?1能被5整除，即n?1?5k，∴n?5k?1，∴58?5k?1?82，∴12?k?16，∴在區(qū)間[450,600]上該數(shù)列中能被5整

5(a61?a81)?2650． 除的項(xiàng)共有5項(xiàng)即第61,66,71,76,81項(xiàng)，其和S?2∴ 該數(shù)列在[450,600]上有25項(xiàng), 其和Sn?

五．課后作業(yè)：《優(yōu)化設(shè)計(jì)》基礎(chǔ)過關(guān)題

六．教學(xué)反思：

１．掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的公式并應(yīng)用解題．

２．善于靈活運(yùn)用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的性質(zhì)．

３．在求解數(shù)列問題時(shí)要注意運(yùn)用函數(shù)思想，方程思想和整體消元思想．

第三章 數(shù)列——第2課時(shí)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

第三篇：數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)名師精品教案：第22課時(shí)：第三章 數(shù)列-等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)名師精品教案

第22課時(shí)：

第三章 數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

一．課題：等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算

二．教學(xué)目標(biāo)：掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的公式，并能利用這些知識(shí)解決有關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力．

三．教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的公式的應(yīng)用．

四．教學(xué)過程：

（一）主要知識(shí)：

1．等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式； 2．等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式； 3．等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的概念．

（二）主要方法：

1．涉及等差（比）數(shù)列的基本概念的問題，常用基本量a1,d(q)來(lái)處理； 2．使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須弄清公比q是否可能等于1還是必不等于1，如果不能確定則需要討論；

3．若奇數(shù)個(gè)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間三項(xiàng)為a?d,a,a?d；若偶數(shù)個(gè)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)為a?d,a?d，其余各項(xiàng)再根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元．若干個(gè)數(shù)個(gè)成等比數(shù)列且積為定值時(shí)，設(shè)元方法與等

差數(shù)列類似．

4．在求解數(shù)列問題時(shí)要注意運(yùn)用函數(shù)思想，方程思想和整體消元思想，設(shè)而不求．

（三）例題分析：

例1．（1）設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)為 2 ．

（2）已知等差數(shù)列{an}的公差d?0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，則

a1?a3?a913?．

a2?a4?a1016例2．有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)書的和是12，求這四個(gè)數(shù)．

?(a?d)2(a?d)a?d??16解：設(shè)這四個(gè)數(shù)為：a?d,a,a?d,，則? a?a?2a?d?12?2解得：? ?a?4?a?9或?，所以所求的四個(gè)數(shù)為：?4,4,12,36；或15,9,3,1． ?d?8?d??6例3．由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}，若前2n項(xiàng)之和等于它前2n項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和的11倍，第3項(xiàng)與第4項(xiàng)之和為第2項(xiàng)與第4項(xiàng)之積的11倍，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

解：當(dāng)q?1時(shí)，得2na1?11na1不成立，∴q?1，?a1(1?q2n)11a1q(1?q2n)① ??21?q∴?1?q

?aq2?aq3?11aq?aq3② ?1111由①得q?1101，代入②得a1?10，10∴an?()n?2．

說明：用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要注意討論公比是否為1．

例4．已知等差數(shù)列110,116,122,?，（1）在區(qū)間[450,600]上，該數(shù)列有多少項(xiàng)？并求它們的和；

（2）在區(qū)間[450,600]上，該數(shù)列有多少項(xiàng)能被5整除？并求它們的和.解：an?110?6(n?1)?6n?104，（1）由450?6n?104?600，得58?n?82，又n?N*, ∴ 該數(shù)列在[450,600]上有25項(xiàng), 其和Sn?(a58?a82)?25?13100．

（2）∵an?110?6(n?1)，∴要使an能被5整除，只要n?1能被5整除，即n?1?5k，∴n?5k?1，∴58?5k?1?82，∴12?k?16，∴在區(qū)間[450,600]上該數(shù)列中能被5整除的項(xiàng)共有5項(xiàng)即第61,66,71,76,81項(xiàng)，其和S?

5(a61?a81)?2650． 212 3

第四篇：高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列教案(二)

課題：3.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

（二）6161,又∵n∈N*∴滿足不等式n＜的正整數(shù)一共有30個(gè).2

2二、例題講解例1.求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素個(gè)數(shù)及這些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜

即 集合M中一共有30個(gè)元素，可列為：1，3，5，7，9，…，59，組成一個(gè)以a1=1, an(a1?an)30=59,n=30的等差數(shù)列.∵Sn=2,∴S30(1?59)

30=2=900.答案：集合M中一共有30個(gè)元素，其和為900.例2.在小于100的正整數(shù)中共有多少個(gè)數(shù)能被3除余2分析：滿足條件的數(shù)屬于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}

解：分析題意可得滿足條件的數(shù)屬于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*} 由3n+2＜100,得n＜322

3,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.即 在小于100的正整數(shù)中共有33個(gè)數(shù)能被3除余2.把這些數(shù)從小到大排列出來(lái)就是：2，5，8，…，98.它們可組成一個(gè)以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差數(shù)列.由Sn(a1?an)n=2,得S33(2?98)

33=2=1650.答：在小于100的正整數(shù)中共有33個(gè)數(shù)能被3除余2，這些數(shù)的和是1650.例3已知數(shù)列?an?,是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，求證：⑴S6，S12-S6，S18-S12成等差數(shù)列；

⑵設(shè)Sk,S2k?Sk,S3k?S2k（k?N?）成等差數(shù)列

證明：設(shè)?an?,首項(xiàng)是a1，公差為d

則S6?a1?a2?a3?a4?a5?a6

∵S12?S6?a7?a8?a9?a10?a11?a12

?(a1?6d)?(a2?6d)?(a3?6d)?(a4?6d)?(a5?6d)?(a6?6d)?(a1?a2?a3?a4?a5?a6)?36d?S6?36d∵S18?S12?a13?a14?a15?a16?a17?a18

?(a7?6d)?(a8?6d)?(a9?6d)?(a10?6d)?(a11?6d)?(a12?6d)

?(a7?a8?a9?a10?a11?a12)?36d?(S12?S6)?36d∴

?S6,S12?S6,S18?S12是以36d同理可得Sk,S2k?Sk,S3k?S2k是以kd為公差的等差數(shù)列.三、練習(xí)：

1．一個(gè)等差數(shù)列前4項(xiàng)的和是24，前5項(xiàng)的和與前2項(xiàng)的和的差是27，求這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.分析：將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后再解.解：根據(jù)題意，得S4=24, S5－S2=27

則設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1,公差為d, 2

4(4?1)d?4a??24??12則 ?

?(5a?5(5?1)d)?(2a?2(2?1)d)?2711?22?

?a1?3解之得：?∴an=3+2（n－1）=2n+1.d?2?

2．兩個(gè)數(shù)列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差數(shù)列公差分別是d1, d2, 求x?x2????x7d1與1y1?y2????y6d2

解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝;d2278

x1+x2+……+x7＝7x4＝7×1?5＝21,2

y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18,∴x1?x2????x77＝.y1?y2????y66

3．在等差數(shù)列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和SnSn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,3n(n?1)3512512

∴ Sn＝－24n＋＝[(n－)－],36226

∴ 當(dāng)|n－51|最小時(shí)，Sn最小，6

即當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，S8＝S9＝－108最小.解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1),由an≤0得n≤9且a9＝0,∴當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，S8＝S9＝－108最小.四、小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：?an?是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，則Sk,S2k?Sk,S3k?S2k（k?N?

五、課后作業(yè)：

1．一凸n邊形各內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，公差是10°,最小內(nèi)角為100°,求邊數(shù)n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n?1)×10，2

求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,當(dāng)n＝9時(shí), 最大內(nèi)角100＋(9－1)×10＝180°不合題意，舍去，∴ n＝8.2．已知非常數(shù)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足

10Sn?m2?3n?2(m?1)n?mn

解：由題設(shè)知

2n2(n∈N, m∈R), 求數(shù)列{a5n?3}的前n項(xiàng)和.Sn＝lg(m?3?2

即 Sn＝[(m?1)n2?mn(m?1)n2?mn)＝lgm＋nlg3＋lg2, 52(m?1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2,55

∵ {an}是非常數(shù)等差數(shù)列，當(dāng)d≠0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式(m?1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5

212 ∴ Sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,55則 當(dāng)n=1時(shí)，a1＝lg3?lg2 5

21當(dāng)n≥2時(shí),an＝Sn－Sn?1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)55

41＝?nlg2?lg3?lg2 55∴

41nlg2?lg3?lg2 55d=an?1?an=?lg2 5

41a5n?3=?(5n?3)lg2?lg3?lg2 55

11=?4nlg2?lg3?lg2 5

31數(shù)列{a5n?3}是以a8=lg3?lg2為首項(xiàng),5d=?4lg2為公差的等差數(shù)列，∴數(shù)列5∴an＝?

{a5n?3}的前n項(xiàng)和為

n·(lg3?31211lg2)＋n(n－1)·(?4lg2)＝?2n2lg2?(lg3?lg2)n 255

3．一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32:27，求公差d.解：設(shè)這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1, 公差為d，則偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)分別都是公差為2d的等?12a1?66d?354?32, 解得d＝5.差數(shù)列，由已知得?6a2?30d???6a1?30d27

解法2：設(shè)偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和分別為S偶，S奇，則由已知得

?S偶?S奇?354?S32,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5.偶???S27奇?

4．兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和之比為5n?3, 2n?1

解：a9a1?a17?b9b1?b1717(a1?a17)S8.??17?'17S173(b1?b17)2

5．一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，求它的前110 解：在等差數(shù)列中，S10, S20－S10, S30－S20, ……, S100－S90, S110－S100, 成等差數(shù)列，∴ 新數(shù)列的前10項(xiàng)和＝原數(shù)列的前100項(xiàng)和，10S10＋10?9·D＝S100＝10, 解得D＝－22 2

∴ S110－S100＝S10＋10×D＝－120, ∴ S110＝－110.6．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0，(1)求公差d的取

值范圍；

(2)指出S1, S2, S3, ……, S1212?11?S?12a?d?01?12?2a1?11d?02?解：(1)?,?13?12a?6d?0?1?S13?13a1?d?02?

∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得??24?7d?024, ∴ －

(2)S13＝13a7<0, ∴ a7<0, 由S12＝6(a6＋a7)>0, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0,S6最大.六、板書設(shè)計(jì)（略）

七、課后記：

第五篇：2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案

2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案――排列組合二項(xiàng)式定理概率統(tǒng)計(jì)（附高考預(yù)測(cè)）

二、重點(diǎn)知識(shí)回顧 1.排列與組合

? 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理是關(guān)于計(jì)數(shù)的兩個(gè)基本原理，兩者的區(qū)別在于分步計(jì)數(shù)原理和分步有關(guān)，分類計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān).? 排列與組合主要研究從一些不同元素中，任取部分或全部元素進(jìn)行排列或組合，求共有多少種方法的問題.區(qū)別排列問題與組合問題要看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的屬于排列問題，與順序無(wú)關(guān)的屬于組合問題.? 排列與組合的主要公式 ①排列數(shù)公式：(m≤n)

A =n!=n(n―1)(n―2)?…?2?1.②組合數(shù)公式：

(m≤n).③組合數(shù)性質(zhì)：①(m≤n).② ③

2.二項(xiàng)式定理 ? 二項(xiàng)式定理

(a +b)n =C an +C an－1b+…+C an－rbr +…＋C bn，其中各項(xiàng)系數(shù)就是組合數(shù)C，展開式共有n+1項(xiàng)，第r+1項(xiàng)是Tr+1 =C an－rbr.? 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)Tr+1=C an－rbr(r=0,1,…n)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式。? 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①在二項(xiàng)式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C = C(r=0,1,2,…,n).②若n是偶數(shù)，則中間項(xiàng)(第 項(xiàng))的二項(xiàng)公式系數(shù)最大，其值為C ；若n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)(第 項(xiàng)和第 項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等，并且最大，其值為C = C.③所有二項(xiàng)式系數(shù)和等于2n，即C +C ＋C +…+C =2n.④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即C +C +…=C +C +…=2n―1.3.概率

（1）事件與基本事件：

基本事件：試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的“單位”隨機(jī)事件；一次試驗(yàn)等可能的產(chǎn)生一個(gè)基本事件；任意兩個(gè)基本事件都是互斥的；試驗(yàn)中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式來(lái)表示．

（2）頻率與概率：隨機(jī)事件的頻率是指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值．頻率往往在概率附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加而變化，擺動(dòng)幅度會(huì)越來(lái)越?。S機(jī)事件的概率是一個(gè)常數(shù)，不隨具體的實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．

（3）互斥事件與對(duì)立事件： 事件 定義 集合角度理解 關(guān)系

互斥事件 事件 與 不可能同時(shí)發(fā)生 兩事件交集為空 事件 與 對(duì)立，則 與 必為互斥事件； 事件 與 互斥，但不一是對(duì)立事件

對(duì)立事件 事件 與 不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生 兩事件互補(bǔ)

（4）古典概型與幾何概型：

古典概型：具有“等可能發(fā)生的有限個(gè)基本事件”的概率模型．

幾何概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例．

兩種概型中每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，但古典概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，而幾何概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無(wú)限個(gè)．

（5）古典概型與幾何概型的概率計(jì)算公式：

古典概型的概率計(jì)算公式： ．

幾何概型的概率計(jì)算公式： ．

兩種概型概率的求法都是“求比例”，但具體公式中的分子、分母不同．

（6）概率基本性質(zhì)與公式 ①事件 的概率 的范圍為： ．

②互斥事件 與 的概率加法公式： ． ③對(duì)立事件 與 的概率加法公式： ．

（7）如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，則它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率是pn(k)= C pk(1―p)n―k.實(shí)際上，它就是二項(xiàng)式[(1―p)+p]n的展開式的第k+1項(xiàng).（8）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

①．一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．注意這里強(qiáng)調(diào)了三點(diǎn)：（1）相同條件；（2）多次重復(fù)；（3）各次之間相互獨(dú)立；

②．二項(xiàng)分布的概念：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為 ．此時(shí)稱隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布，記作，并稱 為成功概率．

4、統(tǒng)計(jì)

（1）三種抽樣方法

①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種最簡(jiǎn)單、最基本的抽樣方法．抽樣中選取個(gè)體的方法有兩種：放回和不放回．我們?cè)诔闃诱{(diào)查中用的是不放回抽?。?/p>

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)有限．從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取，使抽樣便于在實(shí)踐中操作．它是不放回抽取，這使其具有廣泛應(yīng)用性．每一次抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體等可能的被抽到，保證了抽樣方法的公平性．

實(shí)施抽樣的方法：抽簽法：方法簡(jiǎn)單，易于理解．隨機(jī)數(shù)表法：要理解好隨機(jī)數(shù)表，即表中每個(gè)位置上等可能出現(xiàn)0，1，2，…，9這十個(gè)數(shù)字的數(shù)表．隨機(jī)數(shù)表中各個(gè)位置上出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的等可能性，決定了利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣時(shí)抽取到總體中各個(gè)個(gè)體序號(hào)的等可能性．

②系統(tǒng)抽樣

系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多的情況．

系統(tǒng)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣之間存在著密切聯(lián)系，即在將總體中的個(gè)體均分后的每一段中進(jìn)行抽樣時(shí)，采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．

系統(tǒng)抽樣的操作步驟：第一步，利用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)；第二步，將總體的編號(hào)分段，要確定分段間隔，當(dāng)（Ｎ為總體中的個(gè)體數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時(shí)，；當(dāng) 不是整數(shù)時(shí)，通過從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的個(gè)體個(gè)數(shù)Ｎ能被n整除，這時(shí) ；第三步，在第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體編號(hào)，再按事先確定的規(guī)則抽取樣本．通常是將 加上間隔k得到第2個(gè)編號(hào)，將 加上k，得到第3個(gè)編號(hào)，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本．

③分層抽樣

當(dāng)總體由明顯差別的幾部分組成時(shí)，為了使抽樣更好地反映總體情況，將總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不重疊的部分，每一部分叫層；在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．

分層抽樣的過程可分為四步：第一步，確定樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比；第二步，計(jì)算出各層需抽取的個(gè)體數(shù)；第三步，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取個(gè)體；第四步，將各層中抽取的個(gè)體合在一起，就是所要抽取的樣本．

（2）用樣本估計(jì)總體

樣本分布反映了樣本在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率，我們常常使用頻率分布直方圖來(lái)表示相應(yīng)樣本的頻率分布，有時(shí)也利用莖葉圖來(lái)描述其分布，然后用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布，總體一定時(shí)，樣本容量越大，這種估計(jì)也就越精確．

①用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布時(shí)，通常要對(duì)給定一組數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理．作頻率分布表與頻率分布直方圖時(shí)要注意方法步驟．畫樣本頻率分布直方圖的步驟：求全距→決定組距與組數(shù)→分組→列頻率分布表→畫頻率分布直方圖．

②莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是所有的信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，但數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)不夠方便．

③平均數(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準(zhǔn)差反映了樣本數(shù)據(jù)相對(duì)平均數(shù)的波動(dòng)程度，其計(jì)算公式為 ． 有時(shí)也用標(biāo)準(zhǔn)差的平方———方差來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)差，兩者實(shí)質(zhì)上是一樣的．

（3）兩個(gè)變量之間的關(guān)系

變量與變量之間的關(guān)系，除了確定性的函數(shù)關(guān)系外，還存在大量因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系．在本章中，我們學(xué)習(xí)了一元線性相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程就可以根據(jù)其部分觀測(cè)值，獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間的整體關(guān)系的了解．分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí),我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘估計(jì)求出回歸直線方程．通常我們使用散點(diǎn)圖，首先把樣本數(shù)據(jù)表示的點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中作出，形成散點(diǎn)圖．然后從散點(diǎn)圖上，我們可以分析出兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系：如果這些點(diǎn)大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，其對(duì)應(yīng)的方程叫做回歸直線方程．在本節(jié)要經(jīng)常與數(shù)據(jù)打交道，計(jì)算量大，因此同學(xué)們要學(xué)會(huì)應(yīng)用科學(xué)計(jì)算器．

（4）求回歸直線方程的步驟：

第一步：先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計(jì)算出 ；

第二步：計(jì)算回歸系數(shù)的a，b，公式為

第三步：寫出回歸直線方程 ．（4）獨(dú)立性檢驗(yàn)

① 列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量 和，它們的取值分別為 和 的樣本頻數(shù)表稱為 列聯(lián)表1 分類 1 2 總計(jì) 1 2

總計(jì)

構(gòu)造隨機(jī)變量（其中）

得到 的觀察值 常與以下幾個(gè)臨界值加以比較：

如果，就有 的把握因?yàn)閮煞诸愖兞?和 是有關(guān)系； 如果

就有 的把握因?yàn)閮煞诸愖兞?和 是有關(guān)系； 如果

就有 的把握因?yàn)閮煞诸愖兞?和 是有關(guān)系；

如果低于，就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)說明變量 和 是有關(guān)系．

②三維柱形圖：如果列聯(lián)表1的三維柱形圖如下圖

由各小柱形表示的頻數(shù)可見，對(duì)角線上的頻數(shù)的積的差的絕對(duì)值

較大，說明兩分類變量 和 是有關(guān)的，否則的話是無(wú)關(guān)的．

重點(diǎn)：一方面考察對(duì)角線頻數(shù)之差，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思路方法。

③二維條形圖（相應(yīng)于上面的三維柱形圖而畫）

由深、淺染色的高可見兩種情況下所占比例，由數(shù)據(jù)可知 要比 小得多，由于差距較大，因此，說明兩分類變量 和 有關(guān)系的可能性較大，兩個(gè)比值相差越大兩分類變量 和 有關(guān)的可能性也越的．否則是無(wú)關(guān)系的．

重點(diǎn)：通過圖形以及所占比例直觀地粗略地觀察是否有關(guān)，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法。

④等高條形圖（相應(yīng)于上面的條形圖而畫）

由深、淺染色的高可見兩種情況下的百分比；另一方面，數(shù)據(jù)

要比 小得多，因此，說明兩分類變量 和 有關(guān)系的可能性較大，否則是無(wú)關(guān)系的．

重點(diǎn)：直觀地看出在兩類分類變量頻數(shù)相等的情況下，各部分所占的比例情況，是在圖２的基礎(chǔ)上換一個(gè)角度來(lái)理解。

三、考點(diǎn)剖析 考點(diǎn)一：排列組合 【方法解讀】

1、解排列組合題的基本思路：

① 將具體問題抽象為排列組合問題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步 ② 對(duì)“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑?jì)算是解組合題的常用方法；

③ 是用“直接法”還是用“間接法”解組合題，其前提是“正難則反”；

2、解排列組合題的基本方法：

（1）優(yōu)限法：元素分析法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；

（2）排異法：對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。（3）分類處理：某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論；注意：分類不重復(fù)不遺漏。

（4）分步處理：對(duì)某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干步，再由分步計(jì)數(shù)原理解決；在解題過程中，常常要既要分類，以要分步，其原則是先分類，再分步。

（5）插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。

（6）捆綁法：把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列。

（7）窮舉法：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來(lái)；這種方法常用于方法數(shù)比較少的問題。

【命題規(guī)律】排列組合的知識(shí)在高考中經(jīng)常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度屬中等。例

1、(2008安徽理)12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是()A．

B．

C． D．

解：從后排8人中選2人共 種選法，這2人插入前排4人中且保證前排人的順序不變，則先從4人中的5個(gè)空擋插入一人，有5種插法；余下的一人則要插入前排5人的空擋，有6種插法，故為 ；綜上知選C。

例

2、(2008全國(guó)II理)12．如圖，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法種數(shù)為(A)96(B)84(C)60(D)48 解：分三類：種兩種花有 種種法；種三種花有 種種法；種四種花有 種種法.共有.例

3、(2008陜西省理)16．某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種．（用數(shù)字作答）解：分兩類：第一棒是丙有 ,第一棒是甲、乙中一人有

因此共有方案 種 考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理

【內(nèi)容解讀】掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問題。對(duì)二項(xiàng)式定理的考查主要有以下兩種題型：

1、求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)問題：方法主要是運(yùn)用二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式；

2、求二項(xiàng)展開式中的多個(gè)系數(shù)的和：此類問題多用賦值法；要注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別； 【命題規(guī)律】

歷年高考二項(xiàng)式定理的試題以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習(xí)題遷移的改編題，難度不大，重點(diǎn)考查運(yùn)用二項(xiàng)式定理去解決問題的能力和邏輯劃分、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法。為此，只要我們把握住二項(xiàng)式定理及其系數(shù)性質(zhì)，會(huì)把實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)模型問題或方程問題去解決，就可順利獲解。例

4、（2008安徽理）設(shè) 則 中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5 解：由題知，逐個(gè)驗(yàn)證知，其它為偶數(shù)，選A。

例

5、(2008上海理)12.組合數(shù)Crn（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）

A．r+1n+1Cr-1n-1 B．(n+1)(r+1)Cr-1n-1 C．nr Cr-1n-1 D．nrCr-1n-1 解：由.例

6、(2008浙江文)（6）在 的展開式中，含 的項(xiàng)的系數(shù)是（A）-15（B）85（C）-120（D）274 解：本題可通過選括號(hào)（即5個(gè)括號(hào)中4個(gè)提供，其余1個(gè)提供常數(shù)）的思路來(lái)完成。故含 的項(xiàng)的系數(shù)為

例

7、(2008重慶文)(10)若(x+)n的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)，則展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)為

(A)6(B)7(C)8(D)9

解：因?yàn)?的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)、、成等差數(shù)列，所以，即，解得： 或（舍）。令 可得，所以 的系數(shù)為，故選B?？键c(diǎn)三：概率

【內(nèi)容解讀】概率試題主要考查基本概念和基本公式，對(duì)等可能性事件的概率、互斥事件的概率、獨(dú)立事件的概率、事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰發(fā)生k次的概率、離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等內(nèi)容都進(jìn)行了考查。掌握古典概型和幾何概型的概率求法。【命題規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計(jì)試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。

（2）概率統(tǒng)計(jì)試題通常是通過對(duì)課本原題進(jìn)行改編，通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時(shí)代氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)了人文教育的精神。

例

8、(2008江蘇)在平面直角坐標(biāo)系 中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點(diǎn)，則落入E中的概率為。

解：如圖：區(qū)域D表示邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此。

答案

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型，利用面積相比求概率。

例

9、(2008重慶文)(9)從編號(hào)為1,2,…,10的10個(gè)大小相同的球中任取4個(gè)，則所取4個(gè)球的最大號(hào)碼是6的概率為

(A)(B)(C)(D)解：，故選B。

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查組合的基本知識(shí)及等可能事件的概率。

例

10、(2008山東理)在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)為1，2，3，…，18的18名火炬手.若從中任選3人，則選出的火炬手的編號(hào)能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為（A）

（B）

（C）

（D）

解：基本事件總數(shù)為。

選出火炬手編號(hào)為，時(shí)，由 可得4種選法；

時(shí)，由 可得4種選法； 時(shí)，由 可得4種選法。

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及排列組合問題。

例

11、(2008福建理)(5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為 ,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（）

A.B.C.D.解：獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，例

12、(2008陜西省理)某射擊測(cè)試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標(biāo)即終止射擊，第 次擊中目標(biāo)得 分，3次均未擊中目標(biāo)得0分．已知某射手每次擊中目標(biāo)的概率為0.8，其各次射擊結(jié)果互不影響．

（Ⅰ）求該射手恰好射擊兩次的概率；

（Ⅱ）該射手的得分記為，求隨機(jī)變量 的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解：（Ⅰ）設(shè)該射手第 次擊中目標(biāo)的事件為，則，．

（Ⅱ）可能取的值為0，1，2，3． 的分布列為

0 1 2 3

0.008 0.032 0.16 0.8 例

13、（2008廣東卷17）．隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為 ．

（1）求 的分布列；（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即 的數(shù)學(xué)期望）；

（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為 ．如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？ 解： 的所有可能取值有6，2，1，-2；，故 的分布列為： 2 1-2

0.63 0.25 0.1 0.02（2）

（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為

依題意，即，解得 所以三等品率最多為

考點(diǎn)四：統(tǒng)計(jì) 【內(nèi)容解讀】理解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的概念，了解它們各自的特點(diǎn)及步驟．會(huì)用三種抽樣方法從總體中抽取樣本．會(huì)用樣本頻率分布估計(jì)總體分布．會(huì)用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征．會(huì)利用散點(diǎn)圖和線性回歸方程，分析變量間的相關(guān)關(guān)系；掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟與方法。

【命題規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計(jì)試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。

（2）概率統(tǒng)計(jì)試題通常是通過對(duì)課本原題進(jìn)行改編，通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時(shí)代氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)了人文教育的精神。

例

14、（2007廣東）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生

產(chǎn)能耗Y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)

y 2.5 3 4 4.5(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，崩最小二乘法求出Y關(guān)于x的線性回歸方程Y=bx+a；

(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?(參考數(shù)值：32．5+43+54+64．5=66.5)解：(1)散點(diǎn)圖略.(2), , ，由所提供的公式可得 ,故所求線性回歸方程為 10分

(3)噸.例

15、（2008江蘇模擬）為了研究某高校大學(xué)新生學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名進(jìn)校學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖,如圖.已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列 的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列 的前六項(xiàng)．(Ⅰ)求等比數(shù)列 的通項(xiàng)公式;（Ⅱ)求等差數(shù)列 的通項(xiàng)公式；

(Ⅲ)若規(guī)定視力低于5.0的學(xué)生屬于近視學(xué)生,試估計(jì)該校新生的近視率 的大小.解：（I）由題意知：，∵數(shù)列 是等比數(shù)列，∴公比

∴.(II)∵ =13, ∴，∵數(shù)列 是等差數(shù)列，∴設(shè)數(shù)列 公差為，則得，∴ ＝87，，(III)= ,(或 =)答:估計(jì)該校新生近視率為91%.例

16、（2008江蘇模擬）某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料: 日 期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 晝夜溫差x(°C)10 11 13 12 8 6 就診人數(shù)y(個(gè))22 25 29 26 16 12 該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).(Ⅰ)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的概率；(5分)(Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程 ；(6分)(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?(3分)(參考公式:)解：(Ⅰ)設(shè)抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)為事件A.因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選 取2組數(shù)據(jù)共有15種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的 其中,抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)的情況有5種

所以

(Ⅱ)由數(shù)據(jù)求得

由公式求得

再由

所以 關(guān)于 的線性回歸方程為

(Ⅲ)當(dāng) 時(shí), , ； 同樣, 當(dāng) 時(shí), ，所以,該小組所得線性回歸方程是理想的.四、方法總結(jié)與2010年高考預(yù)測(cè) 1.排列組合應(yīng)用題的處理方法和策略

? 使用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理要根據(jù)我們完成某件事情時(shí)采取的方式而定，分類來(lái)完成這件事情時(shí)用分類計(jì)數(shù)原理，分步驟來(lái)完成這件事情時(shí)用分步計(jì)數(shù)原理.怎樣確定是分類，還是分步驟？“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給事件，而“分步驟”必須把各步驟均完成才能完成所給事情.所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于明確：分類計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，彼此之間交集為空集，并集為全集，不論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成事件；分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成事件，步與步之間互不影響，即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法.? 排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān).? 復(fù)雜的排列問題常常通過試驗(yàn)、畫簡(jiǎn)圖、小數(shù)字簡(jiǎn)化等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難以直接檢驗(yàn)，因而常需要用不同的方法求解來(lái)獲得檢驗(yàn).? 按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，是處理組合問題的基本思想方法，要注意題設(shè)中“至少”“至多”等限制詞的意義.? 處理排列組合的綜合性問題，一般思想方法是先選元素(組合)，后排列，按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本方法和原理，通過解題訓(xùn)練要注意積累分類和分步的基本技能.? 在解決排列組合綜合性問題時(shí)，必須深刻理解排列與組合的概念，能夠熟練確定——問題是排列問題還是組合問題，牢記排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式與組合數(shù)性質(zhì).容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù).常見的解題策略有以下幾種： ①特殊元素優(yōu)先安排的策略； ②合理分類與準(zhǔn)確分步的策略；

③排列、組合混合問題先選后排的策略； ④正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略； ⑤相鄰問題捆綁處理的策略； ⑥不相鄰問題插空處理的策略； ⑦定序問題除法處理的策略； ⑧分排問題直排處理的策略；

⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略； ⑩構(gòu)造模型的策略.2.二項(xiàng)定理問題的處理方法和技巧

? 運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)Tr+1 =C an－rbr，注意(a +b)n與(b+a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，我們一定要注意順序問題.另外二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分.? 對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問題，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；

②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法； ③證明不等式時(shí)，應(yīng)注意運(yùn)用放縮法.? 求二項(xiàng)展開式中指定的項(xiàng)，通常是先根據(jù)已知條件求r，再求Tr+1，有時(shí)還需先求n，再求r，才能求出Tr+1.? 有些三項(xiàng)展開式問題可以變形為二項(xiàng)式問題加以解決；有時(shí)也可以通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏.? 對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問題，首先要熟記二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項(xiàng)式系數(shù)問題的一個(gè)重要手段.?近似計(jì)算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項(xiàng).? 用二項(xiàng)式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項(xiàng)式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.3.求事件發(fā)生的概率的處理方法和技巧

? 解決等可能性事件的概率問題的關(guān)鍵是：正確求出基本事件總數(shù)和事件A包含的基本事件數(shù)，這就需要有較好的排列、組合知識(shí).? 要注意恰有k次發(fā)生和指定的k次發(fā)生的關(guān)系，對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來(lái)說，前者的概率為C pk(1―p)n―k，后者的概率為pk(1―p)n―k.（3）計(jì)算古典概型問題的關(guān)鍵是怎樣把一個(gè)事件劃分為基本事件的和的形式，以便準(zhǔn)確計(jì)算事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)和總的基本事件個(gè)數(shù)；計(jì)算幾何概型問題的關(guān)鍵是怎樣把具體問題（如時(shí)間問題等）轉(zhuǎn)化為相應(yīng)類型的幾何概型問題，及準(zhǔn)確計(jì)算事件A所包含的基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域的長(zhǎng)度、面積或體積．

（4）在古典概型問題中，有時(shí)需要注意區(qū)分試驗(yàn)過程是有序還是無(wú)序；在幾何概型問題中需注意先判斷基本事件是否是“等可能”的．

（5）幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果．

4、關(guān)于統(tǒng)計(jì)

（1）對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣公平性的理解，即每一次抽取時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等．

（2）隨機(jī)數(shù)表產(chǎn)生的隨機(jī)性．計(jì)算器和許多計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件都能很方便地生成隨機(jī)數(shù)表．

（3）系統(tǒng)抽樣中當(dāng)總體個(gè)數(shù)Ｎ不能被樣本容量整除時(shí)，應(yīng)注意如何從總體中剔除一些個(gè)體．

（4）用系統(tǒng)抽樣法在第一段抽樣時(shí)，采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因此第一段內(nèi)每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同，而總體中個(gè)體編號(hào)也是隨機(jī)的，所以保證了整個(gè)系統(tǒng)抽樣的公平性．

（5）分層抽樣適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況．每一層抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣．分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性也是相同的．

（6）分層抽樣充分利用了已知信息，使樣本具有較好的代表性，在各層抽樣時(shí)，根據(jù)具體情況可采用不同的抽樣方法，因此分層抽樣在實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用．

2010高考預(yù)測(cè)

2010年高考中，本節(jié)的內(nèi)容還是一個(gè)重點(diǎn)考查的內(nèi)容，因?yàn)檫@部分內(nèi)容與實(shí)際生活聯(lián)系比較大，隨著新課改的深入，高考將越來(lái)越重視這部分的內(nèi)容，排列、組合、概率、統(tǒng)計(jì)都將是重點(diǎn)考查內(nèi)容，至少會(huì)考查其中的兩種類型。

五、復(fù)習(xí)建議

1.對(duì)于一些容易混淆的概念，如排列與排列數(shù)、組合與組合數(shù)、排列與組合、二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)等，應(yīng)注意弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.2.復(fù)習(xí)中，對(duì)于排列組合應(yīng)用題，注意從不同的角度去進(jìn)行求解，以開闊思維，提高解題能力.3.注意體會(huì)解決概率應(yīng)用題的思考方法，正向思考時(shí)要善于將較復(fù)雜的問題進(jìn)行分解，解決有些問題時(shí)還要學(xué)會(huì)運(yùn)用逆向思考的方法.4、注意復(fù)習(xí)求線性回歸方程的方法，回歸分析方法，獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法及其應(yīng)用問題。