第一篇:《12.3 角的平分線的性質(zhì)》教案1
《12.3角的平分線的性質(zhì)》教案
教學目標
1.掌握角平分線的畫法.
2.應用三角形全等的知識,解釋角平分線的原理. 3.掌握、運用角的平分線的性質(zhì).
教學重難點
1.利用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線. 2.角平分線的性質(zhì)及其應用.
教學過程
一、提出問題,思考引入
下圖是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?
要說明AC是∠DAC的平分線,其實就是證明∠CAD=∠CAB.
∠CAD和∠CAB分別在△CAD和△CAB中,那么證明這兩個三角形全等就可以了.(利用“邊邊邊”定理證明)通過上述探究,能否總結(jié)出尺規(guī)作已知角的平分線的一般方法.自己動手做做看.然后與同伴交流操作心得.(分小組完成這項活動,教師可參與到學生活動中,及時發(fā)現(xiàn)問題,給予啟發(fā)和指導,使講評更具有針對性)討論結(jié)果展示,作已知角的平分線的方法. 已知:∠AOB.求作:∠AOB的平分線. 作法:
(1)以O為圓心,適當長為半徑作弧,分別交OA、OB于M、N.(2)分別以M、N為圓心,大于
1MN的長為半徑作?。畠苫≡凇螦OB內(nèi)部交于點C. 2(3)作射線OC,射線OC即為所求.
二、思考、探索
同學閱讀教材48頁的第二個思考,量一量,回答問題.
我們發(fā)現(xiàn)PD=PE,于是我們猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等. 我們做出了猜想,下一步我們來驗證這個猜想是否正確. 證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中,∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.
這樣我們驗證了我們的猜想,通過(1)明確已知和所求;(2)根據(jù)題意,畫出圖形,并用數(shù)學符號表示已知和求證;(3)經(jīng)過分析,找出由已知推出結(jié)論的途徑,寫出證明過程.這樣的步驟,我們證明了一個幾何命題,得到了角的平分線的性質(zhì):角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
下面請同學們思考一個問題. 思考:如圖所示,要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場,使它到公路、鐵路距離相等,離公路與鐵路交叉處500m,這個集貿(mào)市場應建于何處(在圖上標出它的位置,比例尺為1:20000)?(學生以小組為單位討論,教師可深入到學生中,及時引導)引導學生總結(jié)出:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.利用這一結(jié)論解答上題.
三、例題
如圖,△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.求證:點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.
教師板書,解釋說明證明過程.
四、隨堂練習
課本第50頁的練習第1、2題.
五、課堂小結(jié)
今天,我們學習了角平分線的畫法和性質(zhì):角平分線上的點到角的兩邊的距離相等;到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.同學們要靈活運用性質(zhì),解決問題.
六、課后作業(yè)
課本第51頁習題12.3的第2、3、4、5題.
第二篇:12.3角平分線的性質(zhì)說課稿
《12.3角的平分線的性質(zhì)》說課稿
一、說教材
1、教材的地位及作用:
本節(jié)課是人教版八年級上第12章第3節(jié)第1課時教學內(nèi)容,是在學生學習了角平分線的概念和全等三角形的基礎上進行教學的,主要學習角平分線的作法和角平分線的性質(zhì)定理。這節(jié)課的學習將為證明線段相等開辟新的思路,簡化證明過程,是今后作圖、計算、證明的重要工具,并為今后對圓的內(nèi)心的學習作好知識準備.因此它既是對前面所學知識的應用,又是為后續(xù)學習作鋪墊,具有承前啟后舉足輕重的作用,因此本節(jié)課在教材中占有非常重要的地位。
2、教學目標:
根據(jù)《新課標》對本節(jié)課內(nèi)容的要求,并針對八年級學生的一知規(guī)律及學情特點制定如下教學目標。
知識與技能:
1、能用尺規(guī)作圖法畫一個已知角的角平分線。
2、探究并證明角平分線性質(zhì)定理能夠運用性質(zhì)定理證明兩條線段相等及衍生 的其它有關問題。過程與方法:
1、在通過觀察、實驗、猜想、推理、驗證等過程探究角平分線的性質(zhì)定理,在 推導過程中,提高綜合運用三角形的有關知識解決問題的能力
2、并初步運用角平分線的性質(zhì)證明線段之間的相等關系。體會角的平分線的性 質(zhì)在生活生產(chǎn)中的應用;在學習過程中發(fā)展幾何直覺,培養(yǎng)數(shù)學推理能力。
情感態(tài)度:
1、通過對角平分線的進一步認識,滲透運用不同的觀點,從不同的側(cè)面認識 事物的辯證思維方法,體會知識點之間的緊密聯(lián)系,進一步感知幾何學習中位置關系與數(shù)量關系的相互轉(zhuǎn)化思想。
2、培養(yǎng)學生探究問題的興趣,增強解決問題的自信心。獲得解決問題的成功體驗,逐步發(fā)展培養(yǎng)學生的理性精神。
3、教學重點、難點:
根據(jù)教材的內(nèi)容及作用確定本節(jié)課的教學 重點:角平分線的性質(zhì)的證明及運用 難點:角平分線的尺規(guī)作圖法
二、學情分析
八年級學生具備基礎的幾何知識,能夠自主思考與學習,有一定的推理能力,好奇心強,有探究的欲望,能在教師的引導下發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學知識,并運用所學推出新知。
三、說教法
在教學過程中,學生是學習的主體,教師是學習的組織者、引導者與合作者,教學的一切活動都必須以強調(diào)學生的主動性、積極性為出發(fā)點。根據(jù)這一教學理念,結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容特點和學生的年齡特征,本節(jié)課我將借助多媒體,創(chuàng)設問題情境,采用 “啟發(fā)誘導—探索發(fā)現(xiàn)—猜想證明”以及“講練結(jié)合”的教學方法,以問題的提出、問題的解決為主線設置問題,倡導學生主動參與教學實踐活動,以獨立思考和相互交流的形式,在教師的引導下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題,給學生留出足夠的思考時間和空間,從真正意義上完成對知識的自我建構(gòu)。
四、說學法
數(shù)學課程標準中指出,學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外,動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數(shù)學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。因此通過本節(jié)課的教學,讓學生學會從生活實際中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題,探究原理并運用其解決問題;讓學生學會引申、變更問題,以培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的創(chuàng)造性能力。讓學生在觀察、實驗、猜想、推理、證明、應用等活動中,生通過自主學習,小組探究等方式成并建構(gòu)數(shù)學知識。
《12.3角的平分線的性質(zhì)》說課稿
烏十中 楊麗麗
“同課異構(gòu)”《12.3角平分線的性質(zhì)》教案
烏十中 楊麗麗
第三篇:角的平分線的性質(zhì)1教案
角的平分線的性質(zhì)
(一)教學目標
1、應用三角形全等的知識,解釋角平分線的原理.
2.會用尺規(guī)作一個已知角的平分線.
教學重點
利用尺規(guī)作已知角的平分線.
教學難點
角的平分線的作圖方法的提煉.
教學過程
Ⅰ.提出問題,創(chuàng)設情境
問題1:三角形中有哪些重要線段.
問題2:你能作出這些線段嗎?
Ⅱ.導入新課
在學直角三角形全等的條件時有這樣一個題:
在∠AOB的兩邊OA和OB上分別取OM=ON,MC⊥OA,NC⊥OB.MC與NC交于C點.
求證:∠MOC=∠NOC.
通過證明Rt△MOC≌Rt△NOC,即可證明∠MOC=∠NOC,所以射線OC就是∠AOB的平分線.
受這個題的啟示,我們能不能這樣做:
在已知∠AOB的兩邊上分別截取OM=ON,再分別過M、N作MC⊥OA,NC⊥OB,MC?與NC交于C點,連接OC,那么OC就是∠AOB的平分線了.
思考:這個方案可行嗎?(學生思考、討論后,統(tǒng)一思想,認為可行)
議一議:圖中是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?
要說明AC是∠DAC的平分線,其實就是證明∠CAD=∠CAB.
∠CAD和∠CAB分別在△CAD和△CAB中,那么證明這兩個三角形全等就可以了.
看看條件夠不夠.
所以△ABC≌△ADC(SSS).
所以∠CAD=∠CAB.即射線AC就是∠DAB的平分線.
由此,我們總結(jié)出作已知角的平分線的已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分線.
作法:
①以O為圓心,適當長為半徑作弧,分OB于M、N.
別交OA、方法:
②分別以M、N為圓心,大于MN的長為半徑作弧.兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.
③作射線OC,射線OC即為所求.
議一議:
1.在上面作法的第二步中,去掉“大于MN的長”這個條件行嗎?
2.第二步中所作的兩弧交點一定在∠AOB的內(nèi)部嗎?
總結(jié):
1.去掉“大于MN的長”這個條件,所作的兩弧可能沒有交點,所以就找不到角平分線.
2.若分別以M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫兩弧,兩弧的交點可能在∠AOB?的內(nèi)部,也可能在∠AOB的外部,而我們要找的是∠AOB內(nèi)部的交點,?否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是∠AOB的平分線了.
3.角的平分線是一條射線.它不是線段,也不是直線,?所以第二步中的兩個限制缺一不可.
4.這種作法的可行性可以通過全等三角形來證明.
探索活動
按以下步驟折紙
1.在準備好的三角形的每個頂點上標好字母;A、B、C;把角A對折,使得這個角的兩邊重合;
2、在折痕(即平分線)上任意找一點O;
過點O折AC邊的垂線,得到新的折痕OD,其中,點D是折痕與AC的交點,即垂足;
4、將紙打開,新的折痕與AB邊交點為E.我們由此得出:
角平分線的性質(zhì):角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
下面用我們學過的知識證明發(fā)現(xiàn):
如圖,已知AO平分∠BAC,OE⊥AB,OD⊥AC.求證:OE=OD.
Ⅲ. 課時小結(jié)
本節(jié)課中我們利用已學過的三角形全等的知識,探究得到了角平分線儀器的操作原理,由此歸納出角的平分線的尺規(guī)畫法,并進一步探究到角平分線的性質(zhì).
Ⅳ.思考
在一節(jié)數(shù)學課上,老師要求同學們練習一道題,題目的圖形如圖所示,圖中的BD是∠ABC的平分線,在同學們忙于畫圖和分析題目時,小明同學忽然興奮地大聲說:“我有個發(fā)現(xiàn)!”原來他自己創(chuàng)造了一個在直角三角形中畫銳角的平分線的方法.他的方法是這樣的,在AB上取點E,使BE=BC,然后畫DE⊥AB交AC于D,?那么BD?就是∠ABC的平分線.
有的同學對小明的畫法表示懷疑,你認為他的畫法對不對呢?請你來說明理由.
第四篇:角平分線性質(zhì)教案
教學設計
一、教學目標
(一)知識與技能目標
1.掌握作角的平分線和作直線垂線的方法 2.學握角平分線的性質(zhì)
(二)情感態(tài)度目標
1.在探討做角平分線的方法及角平分線性質(zhì)的過程中,培養(yǎng)學生探究問題的興趣,增強解決問題的信心,獲得解決問題的成功體驗。2.培養(yǎng)學生團結(jié)合作精神。
教學重點: 掌握角平分線的尺規(guī)作圖,理解角的平分線的性質(zhì)并能初步運用。教學難點: 1.對角平分線性質(zhì)定理中點到角兩邊的距離的正確理解; 2.對于性質(zhì)定理的運用。
教學工具: 多媒體 課件。直尺,圓規(guī)等
二、教學過程設計
(一)復習引入 1.角平分線的定義。2.點到直線的距離。
學生思考,回答問題。(設計意圖:復習已學知識,為下面研究創(chuàng)造條件。)
(二)設計活動,引出內(nèi)容 【活動一】
問題 1 :利用之前學過的知識,如何確定一個角的角平分線。
問題 2 :不利用工具,將一張用紙片做的角分成兩個相等的角,你有什么辦法?(對折)學生活動:學生用量角器去量,讓一個學生上講臺用折紙的方法得到角平分線展示給大家。
(設計意圖:掌握作角的平分線的簡易方法)
假如我們要將紙片換成木板、鋼板等沒法折的角,又該怎么辦呢?那么我們除了使用量角器外,我再給大家介紹另一種儀器——角平分儀(展示課件)如圖,是一個平分角的儀器,其中 AB=AD,BD=DC,將點 A 放在角的頂點,AB 和 AD 沿著角的兩邊放下,沿 AC 畫一條射線 AE,AE 就是這個角的平分線,你能說明它的道理嗎?
(總結(jié)學生思路——利用三角形全等)
(設計意圖:訓練書寫數(shù)學語言)
引導學生觀察這個角分儀,根據(jù)這個角分儀的制作原理,通過小組討論總結(jié),歸納出作一個已知角角平分線的方法。(分小組完成這項活動,教師可參與到學生活動中,及時發(fā)現(xiàn)問題,給予啟發(fā)和指導,使講評更具有針對性)
通過小組討論的結(jié)果,讓同學在黑板上演示作圖過程及復述畫法,再利用多媒體演示,加深印象,并強調(diào)尺規(guī)的規(guī)范性。討論結(jié)果展示:
作已知角平分線的方法: 已知:∠ AOB .
求作:∠ AOB 的平分線. 作法:
(1)以 O 為圓心,適當長為半徑作弧,分別交 OA、OB 于 M、N.(2)分別以 M、N 為圓心,大于 MN 的長為半徑作弧.兩弧在∠ AOB 內(nèi)部交于點 C.(3)作射線 OC,射線 OC 即為所求.設置問題:
1.在上面作法的第二步中,“大于 MN 的長”這個條件改成“小于或等于
MN 的長”不行嗎?
2.第二步中所作的兩弧交點一定在∠ AOB 的內(nèi)部嗎?
(設計這兩個問題的目的在于加深對角的平分線的作法的理解,培養(yǎng)數(shù)學嚴密性的良好學習習慣。)學生討論結(jié)果總結(jié):
1.不行,若改成“小于或等于 MN 的長”,那么所作的兩弧可能沒有交點,所以就找不到角的平分線。
2.若分別以 M、N 為圓心,大于 MN 的長為半徑畫兩弧,兩弧的交點可能在∠ AOB 的內(nèi)部,也可能在∠ AOB 的外部,而我們要找的是∠ AOB 內(nèi)部的交點,? 否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是∠ AOB 的平分線了。應用:平分平角∠ AOB(學生口述)由平分平角的步驟,得出結(jié)論: 作平角的平分線即可平分平角,由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法。
【活動二】
拿出用紙片做的角 ∠ AOB,在這個角的角平分線上任意取一點 P,過點 P 分別向角的兩邊做垂線,量一量點 P 到將兩邊的垂線段的長有什么關系?再在這個角平分線上任取 3 個點,也分別向角的兩邊做垂線,看看這些點到角的兩邊的垂線段的長有什么關系?
學生動手操作,通過觀察,用尺子測量,得出結(jié)論: 角平分線上的點到角兩邊的距離相等。
這是從直觀上得出的結(jié)論,從理論上要證明這個結(jié)論。
(設計意圖:解決實際問題,拓展學生思維,引導角平分線的性質(zhì)定理總結(jié),規(guī)律化規(guī)范語言,深化記憶定理)
證一證: 引導學生證明角平分線的性質(zhì),分清題設、結(jié)論,將文字變成符號并加以證明。學生板眼,挑出問題,糾正問題,得出完整過程。
由此,得到角平分線的性質(zhì):角平分線上的點到角兩邊的距離相等。用符號語言表示為: ∵ OP平分∠ AOB PD ⊥ OA,PE ⊥ OB ∴ PD=PE 定理的作用:證明線段相等。練習:判斷正誤,并說明理由:
(1)如圖 1,P 在射線 OC 上,PE ⊥ OA,PF ⊥ OB,則 PE=PF。(2)如圖 2,P 是∠ AOB 的平分線 OC 上的一點,E、F 分別在 OA、OB 上,則 PE=PF。
(3)如圖 3,在∠ AOB 的平分線 OC 上任取一點 P,若 P 到 OA 的距離為 3cm,則 P 到 OB 的距離邊為 3cm。
(三)知識回顧 1.角平分線的畫法
2.角平分線的性質(zhì):角平分線的點到角兩邊的距離相等
(四)板書設計
第五篇:11.3 角的平分線的性質(zhì) 教案1
§13.3.2 角的平分線的性質(zhì)
(二)教學目標
(一)教學知識點
角的平分線的性質(zhì)
(二)能力訓練要求
1.會敘述角的平分線的性質(zhì)及“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”. 2.能應用這兩個性質(zhì)解決一些簡單的實際問題.
(三)情感與價值觀要求
通過折紙、畫圖、文字一符號的翻譯活動,培養(yǎng)學生的聯(lián)想、探索、概括歸納的能力,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.
教學重點
角平分線的性質(zhì)及其應用.
教學難點
靈活應用兩個性質(zhì)解決問題.
教學方法
探索、歸納的方法.
教具準備
剪刀、折紙、投影片.
教學過程
Ⅰ.創(chuàng)設情境,引入新課
[師]請同學們拿出準備好的折紙與剪刀,自己動手,剪一個角,把剪好的角對折,使角的兩邊疊合在一起,再把紙片展開,你看到了什么?把對折的紙片再任意折一次,然后把紙片展開,又看到了什么?
[生]我發(fā)現(xiàn)
[生]同學乙的畫法是正確的.同學甲畫的是過角平分線上一點畫角平分線的垂線,而不是過角平分線上一點畫兩邊的垂線段,所以同學甲的畫法不符合要求. [生甲]噢,對于,我知道了.
[師]同學甲,你再做一遍加深一下印象.
問題1:你能用文字語言敘述所畫圖形的性質(zhì)嗎? [生]角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
問題2:(出示投影片)
能否用符號語言來翻譯“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”這句話.請?zhí)钕卤恚?/p>
學生通過討論作出下列概括:
已知事項:OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D、E為垂足.
由已知事項推出的事項:PD=PE.
于是我們得角的平分線的性質(zhì):
在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
[師]那么到角的兩邊距離相等的點是否在角的平分線上呢?(出示投影)
問題3:根據(jù)下表中的圖形和已知事項,猜想由已知事項可推出的事項,并用符號語言填寫下表:
[生討論]已知事項符合直角三角形全等的條件,所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得
∠PDE=∠POD.
由已知推出的事項:點P在∠AOB的平分線上. [師]這樣的話,我們又可以得到一個性質(zhì):到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.同學們思考一下,這兩個性質(zhì)有什么聯(lián)系嗎?
[生]這兩個性質(zhì)已知條件和所推出的結(jié)論可以互換. [師]對,這是自己的語言,這一點在數(shù)學上叫“互逆性”.
下面請同學們思考一個問題.
思考:
如圖所示,要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場,使它到公路、鐵路距離相等,?離公路與鐵路交叉處500m,這個集貿(mào)市場應建于何處(在圖上標出它的位置,比例尺為1:20000)?
1.集貿(mào)市場建于何處,和本節(jié)學的角平分線性質(zhì)有關嗎?用哪一個性質(zhì)可以解決這個問題?
2.比例尺為1:20000是什么意思?
(學生以小組為單位討論,教師可深入到學生中,及時引導)
討論結(jié)果展示:
1.應該是用
[師生共析]點P到AB、BC、CA的垂線段PD、PE、PF的長就是P點到三邊的距離,?也就是說要證:PD=PE=PF.而BM、CN分別是∠B、∠C的平分線,?根據(jù)角平分線性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個問題.
證明:過點P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足為D、E、F.
因為BM是△ABC的角平分線,點P在BM上.
所以PD=PE.
同理PE=PF.
所以PD=PE=PF.
即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.
Ⅲ.隨堂練習
1.課本P107練習.
2.課本P108習題13.3─2.
在這里要提醒學生直接利用角平分線的性質(zhì),無須再證三角形全等.
Ⅳ.課時小結(jié)
今天,我們學習了關于角平分線的兩個性質(zhì):①角平分線上的點到角的兩邊的距離相等;②到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.它們具有互逆性,可以看出,隨著研究的深入,解決問題越來越簡便了.像與角平分線有關的求證線段相等、角相等問題,我們可以直接利用角平分線的性質(zhì),而不必再去證明三角形全等而得出線段相等.
Ⅴ.課后作業(yè)
課本習題13.3─3、4、5題.