第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇___15_異面直線

異面直線

教材分析

異面直線是立體幾何中十分重要的概念．研究空間點、直線和平面之間的各種位置關(guān)系必須從異面直線開始．

教材首先通過實例讓學(xué)生弄懂“共面”、“異面”的區(qū)別，正確理解“異面”的含義，進(jìn)而介紹異面直線所成角及異面直線間的距離，這樣處理完全符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．處理好這節(jié)內(nèi)容，可以比較容易地引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)由平面直觀到空間想象的過渡．

教學(xué)重點是異面直線的概念，求異面直線所成的角和異面直線間的距離是這節(jié)的難點．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解異面直線的概念，了解空間中的直線的三種位置關(guān)系．

2.理解異面直線所成的角、異面直線間的距離的意義，體會空間問題平面化的基本數(shù)學(xué)思想方法．

3.通過異面直線的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步養(yǎng)成在空間考慮問題的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力．

任務(wù)分析

空間中的兩條直線的位置關(guān)系，是在平面中兩條直線位置關(guān)系及平面的基本性質(zhì)基礎(chǔ)上提出來的．學(xué)生對此已有一定的感性認(rèn)識，但是此認(rèn)識是膚淺的．同時，學(xué)生空間想象能力還較薄弱．因此，這節(jié)內(nèi)容課應(yīng)從簡單、直觀的圖形開始介紹．“直觀”是這節(jié)內(nèi)容的宗旨．多給學(xué)生思考的時間和空間，以有助于空間想象能力的形成．異面直線所成的角的意義及求法，充分體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想．要讓學(xué)生通過基本問題的解決，進(jìn)一步體會異面直線所成的角、異面直線間的距離的意義及其基本求法．

教學(xué)設(shè)計

一、問題情境（１）

1.同一平面內(nèi)的兩條直線有幾種位置關(guān)系？空間中的兩條直線呢？觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在直線的位置或觀察天安門廣場上旗桿所在直線與長安街所在直線的位置．

2.如圖15-1，長方體ABCD—A1B1C1D1中，線段A1B所在直線與線段C1C所在直線的位置關(guān)系如何？

二、建立模型（１）

1.首先引導(dǎo)學(xué)生觀察實例或幾何模型，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，空間兩直線除平行或相交外，還有一種位置關(guān)系：存在兩條直線既不平行又不相交，即不能共面的兩直線，并在此基礎(chǔ)上總結(jié)出異面直線的定義．

2.在學(xué)生討論歸納異面直線定義的基礎(chǔ)上，教師概括：我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．

強(qiáng)調(diào)：（1）所謂異面，即不共面，所以它們既不平行，也不相交．（2）“不共面”，指不在任何一個平面內(nèi)，關(guān)鍵是“任何”二字． 3.先讓學(xué)生總結(jié)空間中兩條直線的位置關(guān)系，然后教師明晰．（1）共面與異面．共面分為平行和相交．

（2）有無公共點．有且僅有一個公共點———相交直線，無公共點 ____________平行直線和異面直線．

4.異面直線的畫法．

先讓學(xué)生體會下列圖形，并讓其指出哪些更為直觀．

顯然，圖15-2或圖15-3較好．

因此，當(dāng)表示異面直線時，以平面襯托可以顯示得更清楚．

三、問題情境（2）刻畫兩條平行直線位置通常用距離，兩條相交直線通常用角度，那么，如何刻畫兩條異面直線的相對位置呢？容易想象要用角和距離，如何定義異面直線的角和距離呢？下面探究一個具體的問題：

如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，1.我們知道AB與A1B是共面的，它們成的角是45°，那么異面直線AB與D1C所成的角定義為多少度的角比較合理呢？

2.回憶我們已學(xué)過的“距離”概念，發(fā)現(xiàn)“距離”具有“最小性”，現(xiàn)在直線AB和D1C上各取一點，這兩點必然存在距離，試問在這所有可能的距離中，是否存在兩點，這兩點間距離最短？

進(jìn)一步思考：如何定義異面直線AB和D1C間的距離？

四、建立模型（2）

在學(xué)生充分討論、探究的基礎(chǔ)上，抽象概括出異面直線所成的角和異面直線間的距離的概念．

1.異面直線a與b所成的角

已知兩條異面直線a，b．經(jīng)過空間任一點O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角（或直角），叫作異面直線a與b所成的角．

強(qiáng)調(diào)：（1）“空間角”是通過“平面角”來定義的．

（2）“空間角”的大小，與空間點O的選取無關(guān)，依據(jù)是“等角定理”．為簡便，點O常取在兩條異面直線中的一條上．

（3）異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°．

（4）異面直線垂直的意義．今后所說的兩直線垂直，可能是相交直線，也可能是異面直線． 2.對于問題2，學(xué)生討論，可以發(fā)現(xiàn)：線段BC是在異面直線AB和D1C上各任取一點，且兩點間的距離為異面直線AB和D1C間的最小值．此時，我們就說BC的長度就是AB和D1C的距離．

引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析線段BC與AB，D1C之間的關(guān)系，得出公垂線段定義：和兩條異面直線都垂直且相交的線段．

強(qiáng)調(diào)：（1）“垂直”與“相交”同時成立．

（2）公垂線段的長度定義為異面直線間的距離．

五、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.如圖，點D是△ABC所在平面外一點，求證直線AB與直線CD是異面直線．

注：主要考查異面直線的定義，這里可考慮用反證法證明．要讓學(xué)生體會用反證法的緣由．

2.已知：如圖，已知正方體ABCD—A′B′C′D′．

（1）哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？（2）直線BA′和CC′的夾角是多少？（3）哪些棱所在直線與直線AA′垂直？（4）直線BB′與DC間距離是多少？注：主要是理解、鞏固有關(guān)異面直線的一些基本概念．解題格式要規(guī)范，合理．

［練習(xí)］

1.如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂直？

2.垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？

3.與兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是怎樣的？

4.已知：如圖，在長方體ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．

（1）BC和A′C′所成角是多少度？（2）AA′和BC′所成角是多少度？（3）AA′和BC所成的角和距離是多少？（4）A′B與B′C所成的角是多少？（5）AC′與BD所成的角是多少？

四、拓展延伸

1.判斷異面直線除了定義之外，還有如下依據(jù)：過平面內(nèi)一點和平面外一點的直線與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線．請給以證明．

2.設(shè)點P是直線l外的一定點，過P與l成30°角的異面直線有 ____________ 條．（無數(shù)）

3.已知異面直線a與b成50°角，P為空間任一點，則過點P且與a，b所成的角都是30°的直線有 ____________ 條．（2）

若a與b所成的角是60°，65°和70°呢？ 點 評

這篇案例設(shè)計思路完整，條理清晰．案例首先通過直觀的圖形引出定義，這樣有利于學(xué)生的接受．然后探索了異面直線所成角與異面直線間距離的概念．探索過程有利于激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，體驗科學(xué)思維方法．列舉的例題有針對性，對知識的鞏固和形成起到了很好的作用．“拓展延伸”中提出的問題旨在開拓學(xué)生解題思路，增強(qiáng)學(xué)生空間想象能力．

第二篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇 18 直線與平面垂直

直線與平面垂直

教材分析

直線與平面垂直是在研究了直線與直線垂直、直線與平面平行、平面與平面平行的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．它是直線與直線垂直的延伸，是學(xué)習(xí)習(xí)近平面與平面垂直以及有關(guān)距離、空間角、多面體、旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)．這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可完善知識結(jié)構(gòu)，并對進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象能力，起著十分重要的作用．

直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理是這節(jié)課的重點．

學(xué)習(xí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理時，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生把直線和直線的關(guān)系問題有目的地轉(zhuǎn)化為直線與平面的關(guān)系問題，這是這節(jié)課的難點．

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握直線與直線垂直，直線與平面垂直的定義，以及直線與平面垂直的判定與性質(zhì)． 2.通過探索線面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理及其證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象、計算能力，并且加強(qiáng)對思維能力的訓(xùn)練．

3.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知的精神，滲透事物間相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點，并通過圖形的立體美，對稱美，培養(yǎng)教學(xué)審美意識．

任務(wù)分析

因為判定定理的證明有一定的難度，所以教材作為探索與研究來處理．又因為定理的論證層次多，構(gòu)圖復(fù)雜，輔助線多，運(yùn)用平面幾何的知識多，所以這節(jié)課的難點是判定定理的證明．突破難點的方法是充分運(yùn)用實物模型演示，以具體形象思維支持邏輯思維．

教學(xué)設(shè)計

一、問題情境

上海的標(biāo)志性建筑———東方明珠電視塔的中軸線垂直于地面，在這一點上，它與比薩斜塔完全不同．那么，直線與平面垂直如何定義和判定，又有什么性質(zhì)呢？這將是本節(jié)課要研究的問題．

二、建立模型

我們先來研究空間中兩條直線的垂直問題． 在平面內(nèi)，如果兩條直線互相垂直，則它們一定相交．在空間中，兩條互相垂直相交的直線中，如果固定其中一條，讓另一條平移到空間的某一個位置，就可能與固定的直線沒有公共點，這時兩條直線不會相交，也不會在同一平面內(nèi)（為什么），我們同樣稱它們相互垂直．下面我們給出空間任意兩條直線互相垂直的一般定義．

如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直．

有了直線與直線垂直的概念，我們就可以利用直線與直線垂直來定義直線與平面垂直了．

［問 題］

1.什么叫直線與平面垂直？

教師演示：如圖，直線l是線段AB的中垂線．固定線段AB，讓l保持與AB垂直并繞直線AB在空間旋轉(zhuǎn)．

教師讓學(xué)生討論：（1）直線l的軌跡是怎樣的圖形？（2）如何定義直線與平面垂直？

教師明晰：（1）線段AB所有垂直平分線構(gòu)成的集合是一個平面．

（2）如果一條直線（AB）和一個平面（α）相交于點O，并且和這個平面內(nèi)過交點O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直，這條直線叫作平面的垂線，這個平面叫作直線的垂面．交點叫作垂足．垂線上任一點到垂足間的線段，叫作這點到這個平面的垂線段．垂線段的長度叫作這個點到平面的距離．

2.如圖18-2，直線l⊥平面α，直線m

α，問l與m的關(guān)系怎樣．

學(xué)生討論后，得出結(jié)論：如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．

3.怎么畫直線與平面垂直？

學(xué)生討論后，教師總結(jié)：畫直線和平面垂直時，通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖18-2．

4.如何判斷直線與平面垂直？

教師引導(dǎo)：根據(jù)定義判定直線與平面垂直是困難的，如何用盡可能少的線線垂直來判定線面垂直呢？

學(xué)生討論后，教師總結(jié)．

（1）因為兩條相交直線確定一平面，所以只要直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，就可以判定直線和平面垂直．

（2）兩條平行直線也確定一平面，直線和這兩條平行直線垂直，不能判定直線就和平面垂直（教師作演示說明）．于是，歸納出直線和平面垂直的判定定理．

定理 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． 推論 如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面． 如圖18-3，如果直線l∥m，l⊥平面α，則l垂直于平面α內(nèi)任意兩條相交直線，如a，b．根據(jù)空間兩直線垂直的定義，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．

讓學(xué)生總結(jié)：判定直線與平面垂直的方法．

（1）定 義．（2）判定定理．（3）推 論．

4.在平面幾何中，同垂直于一條直線的兩條直線平行，那么，在空間幾何中，又有什么類似的結(jié)論呢？ 學(xué)生討論后，得出結(jié)論：同垂直于一個平面的兩條直線平行．于是有直線和平面垂直的性質(zhì)．

定理 如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行． 已知：如圖18-4，直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，垂足分別為A，B．

求證：l∥m．

證明：假設(shè)直線ｍ不與直線l平行．過直線m與平面α的交點B，作直線m′∥l，由直線與平面垂直的判定定理的推論可知，m′⊥α．設(shè)ｍ和m′確定的平面為β，α與β的交線為ａ，因為直線m和m′都垂直于平面α，所以直線m和m′都垂直于交線ａ．因為在同一平面內(nèi)，通過直線上一點并與已知直線垂直的直線有且僅有一條，所以直線m和m′必重合，即l∥m．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.過一點和已知平面垂直的直線只有一條．已知：平面α和一點P（如圖18-5）．求證：過點P與α垂直的直線只有一條．

證明：不論點P在α外或內(nèi)，設(shè)PA⊥α，垂足為A（或P）．如果過點P，除直線PA⊥α外，還有一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝ａ，于是在平面β內(nèi)過點P有兩條直線PA，PB垂直于交線ａ，這是不可能的．所以過點P與α垂直的直線只有一條． 2.如圖18-6，有一根旗桿AB高8m，它的頂端Ａ掛著兩條長10m的繩子．拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點C，D（和旗桿腳不在同一條直線上）．如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？

解：在△ABC和△ABD中，因為AB＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．

所以∠ABC＝∠ABD＝90°，即AB⊥BC，AB⊥BD． 又知B，C，D三點不共線，所以AB⊥平面BCD，即旗桿和地面垂直．

3.已知：直線l⊥平面α，垂足為A，直線AP⊥l（如圖18-7）． 求證：AP在α內(nèi)．

證明：設(shè)AP與l確定的平面為β．如果AP不在α內(nèi)，則可設(shè)α與β相交于直線AM，因為l⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β內(nèi)，過點Ａ有兩條直線垂直于l．這是不可能的，所以AP一定在α內(nèi)．

［練習(xí)］ 1.已知：如圖18-8，在平面α內(nèi)有PA＝PC，PB＝PD．求證：PO⊥α．

ABCD，O是它對角線的交點，點P在α外，且

2.已知：空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求證：BC⊥AD．

3.已知兩個平行平面中，有一個平面與一條已知直線垂直，問：另一平面與已知直線的位置關(guān)系怎樣？

四、拓展延伸

1.如圖18-9所示，在空間，如果直線ｍ，ｎ都是線段AA′的垂直平分線，設(shè)ｍ，ｎ確定的平面為α，證明：

（1）在平面α內(nèi)，通過線段AA′中點B的所有直線都是線段AA′的垂直平分線．（2）線段AA′的任一條垂直平分線都在α內(nèi)．

2.如圖18-10（1），如果平面α通過線段AA′的中點O，且垂直于直線AA′，那么平面α叫作線段AA′的垂直平分面（或中垂面），并稱點A，A′關(guān)于平面α成鏡面對稱，平面α叫作A，A′的對稱平面．

如圖18-10（2），如果一個圖形Ｆ內(nèi)的所有點關(guān)于平面α的對稱點構(gòu)成幾何圖形F′，則稱F，F(xiàn)′關(guān)于平面α成鏡面對稱．F到F′的圖形變換稱為鏡面對稱變換．

如果一個圖形Ｆ通過鏡面對稱變換后的圖形仍是它自身，則這個圖形被稱為鏡面對稱圖形． 根據(jù)以上定義，探索與研究以下問題：（1）線段的中垂面有哪些性質(zhì)？

（2）你學(xué)過的空間圖形，有哪些是鏡面對稱圖形？

（3）寫一篇研究鏡面對稱的小論文，探索鏡面對稱的性質(zhì)和應(yīng)用．

點 評

這篇案例設(shè)計完整，構(gòu)思嚴(yán)謹(jǐn)，突出的特點是把學(xué)科灰色的理論和鮮活的實際生活相結(jié)合，使學(xué)生能較好地理解和把握學(xué)科知識．同時，這篇案例注意了美育、科學(xué)精神和人文精神的滲透，能較好地培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力和實踐能力，符合新課改精神．

第三篇：第二部分高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例

第二部分 高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例

正弦函數(shù)的性質(zhì)

教材分析

這篇案例的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握正弦函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，通過觀察、歸納和總結(jié)，得出正弦函數(shù)的五個重要性質(zhì)，即正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．教學(xué)重點是正弦函數(shù)的圖像特征及五個重要性質(zhì)，難點是周期函數(shù)及最小正周期的意義．由于周期函數(shù)的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應(yīng)注意通過具體實例讓學(xué)生充分體會這種“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會新概念的形成過程．

教學(xué)目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，分析y＝sinx的圖像，進(jìn)而歸納、總結(jié)出正弦函數(shù)的圖像特征，并抽象出函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖像的能力和數(shù)形結(jié)合的能力．

2.理解和掌握正弦函數(shù)的五個重要性質(zhì)，能夠解決與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間等簡單問題．

3.使學(xué)生進(jìn)一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會分析、探索、化歸、類比的科學(xué)研究方法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用．

4.使學(xué)生初步體會事物周期變化的一些奧秘，進(jìn)一步提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)圖像特征的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號語言把圖像特征進(jìn)一步“量化”，從而得出正弦函數(shù)的五個性質(zhì)．一般來說，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數(shù)的定義域、值域、最值、符號、周期性、奇偶性、單調(diào)性等，但對于周期性及單調(diào)區(qū)間的表述，學(xué)生可能會有一定的困難．因此，在引入周期函數(shù)的定義之前，要讓學(xué)生充分觀察圖像，必要時可把物理中的彈簧振動的實驗再做一做，讓學(xué)生體會“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會概念的形成過程．

此外，對于周期函數(shù)，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點： 1.x應(yīng)是“定義域內(nèi)的每一個值”．

2.對于某些周期函數(shù)，在它所有的周期中，不一定存在一個最小的正周期，即某些周期函數(shù)沒有最小正周期． 3.對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

教學(xué)設(shè)計

一、問題情境

1.教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)

我們學(xué)習(xí)過正弦函數(shù)圖像的畫法，并通過觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)怎樣的性質(zhì)呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導(dǎo)學(xué)生探索正弦函數(shù)的性質(zhì)：

注：由此學(xué)生得出正弦函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）定義域為R．

（2）值域為［－1，1］，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時，正弦函數(shù)取得最大值1，（k∈Z）時，正弦函數(shù)取得最小值－1．

注：在此處，教師應(yīng)提醒學(xué)生注意前面的“2kπ”，使學(xué)生初步感受一下正弦函數(shù)的“周而復(fù)始”性．

2.教師進(jìn)一步提出問題

從正弦曲線我們注意到，函數(shù)y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

（設(shè)計目的：引導(dǎo)學(xué)生從物理中彈簧的振動，即小球在平衡位置的往復(fù)運(yùn)動，體會事物的“周期性”變化）

（2）數(shù)學(xué)中的這種周期性變化能否用一個數(shù)學(xué)式子來體現(xiàn)？

二、建立模型 1.引導(dǎo)學(xué)生探究

2.教師明晰

通過學(xué)生的討論，歸納出周期函數(shù)的定義：

一般地，對于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)Ｔ叫作這個函數(shù)的周期．

說明：若學(xué)生歸納和總結(jié)出周期函數(shù)的如下定義，也應(yīng)給以充分的肯定．

如果某函數(shù)對于自變量的一切值每增加或減少一個定值，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，那么這個函數(shù)就叫作周期函數(shù)．

給出最小正周期的概念：對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作它的最小正周期．教科書中今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

3.深化定義的內(nèi)涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說是正弦函數(shù)（2）函數(shù)f（x）＝c是周期函數(shù)嗎？它有沒有最小正周期？ 3.歸納正弦函數(shù)的性質(zhì)

通過觀察圖像，我們得到了正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性等性質(zhì)，除此之外，正弦函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下兩條性質(zhì)：

奇偶性：由誘導(dǎo)公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱． 單調(diào)性：觀察正弦曲線可以看出，當(dāng)x由－由－1增大到1；當(dāng)x由

增大到

增大到時，曲線逐漸上升，sinx的值

時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［－增大到1；在每一個閉區(qū)間［小到－1．

三、解釋應(yīng)用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數(shù)取得最大值和最小值的x的集合，并說出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當(dāng)2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時，函數(shù)y＝sin2x取得最

（k∈Z）時，函數(shù)y＝sin2x大值，最大值是1；當(dāng)2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝sinx＋2同時取得最大值和最小值．因此，當(dāng)x＝2kπ＋（k∈Z）時，函數(shù)y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時，函數(shù)y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當(dāng)a＞0時，使函數(shù)取得最大值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數(shù)取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當(dāng)a＜0時，使函數(shù)取得最大值時的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數(shù)取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設(shè)t＝sinx，則y＝二次函數(shù)的最大值和最小值問題了．，且t∈［－1，1］，于是問題就變成求閉區(qū)間上當(dāng)t＝1，即sinx＝1時，ymax＝1，取最大值時x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當(dāng)t＝－1，即sinx＝－1時，ymin＝－9，取最小值時x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習(xí)］

求下列函數(shù)的最值，以及使函數(shù)取得值時的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數(shù)的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數(shù)y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數(shù)2T的最小值是2π，∴當(dāng)2T＝2π時，T＝π． 因此，函數(shù)y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數(shù)y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發(fā)，誘導(dǎo)學(xué)生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發(fā)現(xiàn)？（這類函數(shù)的周期好像只與x的系數(shù)有關(guān)）

（2）一般地，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數(shù)ωT，最小值是2π，∴當(dāng)ωT＝2π時，T＝.因此，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習(xí)］ 求下列函數(shù)的周期．

4.進(jìn)一步強(qiáng)化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數(shù)T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數(shù)的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下面是該港口的水深表： 表35-1

經(jīng)過長時間的觀察，描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)y＝Asinωt＋B的表達(dá)式．

（2）一般情況下，船舶航行時船底同海底的距離不少于4.5m時是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間（忽略離港用的時間）？

第四篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇__24_點到直線的距離

點到直線的距離

教材分析

點到直線的距離是解析幾何的重要內(nèi)容之一，它的應(yīng)用十分廣泛．點到直線的距離是指由點向直線引垂線的垂線段的長．我們知道，求點到點的距離，有“工具”———兩點間的距離公式可用，同樣有必要創(chuàng)造出一套“工具”來方便地解決點到直線的距離問題，也就是說：已知點P（x1，y1）和直線l：Ax＋By＋C＝0，（A，B不全為0），目標(biāo)是設(shè)法用已知的量x1，y1，A，B，C把點P到l的距離表示出來，當(dāng)作公式用．教材上公式的推導(dǎo)運(yùn)用了兩點間的距離公式，具體做法是作直線m過點P與l垂直，設(shè)垂足為Po（xo，yo），Po滿足直線m的方程，也滿足直線l的方程，將Po的坐標(biāo)分別代入直線m和直線l的方程，通過恒等變形利用兩點間的距離公式，推出點到直線的距離公式．這種方法思路清晰，學(xué)生易于接受，但恒等變形較抽象，學(xué)生難于掌握，故教學(xué)中應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生怎樣想到這樣變形．這樣既可以活躍學(xué)生的思維，又可以鍛煉其發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力．公式的推導(dǎo)方法還有很多，對學(xué)有余力的同學(xué)可加以啟發(fā)，展開討論，以培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力．

這節(jié)課的重點是理解和掌握點到直線的距離公式，并能熟練地應(yīng)用公式求點到直線的距離，難點是點到直線的距離公式的推導(dǎo)．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過探索點到直線距離公式的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生探索與研究問題能力． 2.理解和掌握點到直線的距離公式，體會知識發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用的過程，數(shù)形結(jié)合、化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力．

任務(wù)分析

這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了“兩點間的距離公式”、“兩條直線的位置關(guān)系”的基礎(chǔ)上引入的，通過復(fù)習(xí)兩直線垂直、兩直線相交及兩點間的距離公式，學(xué)生容易想到把點到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題．為了利用兩點間的距離公式，須要求垂足的坐標(biāo)．若利用垂線與已知直線相交解出垂足的坐標(biāo)，想法自然，但求解較繁，為了簡化解題過程，自然要想其他方法，教材采用了設(shè)而不求，整體代換來解決問題，簡單明了，但恒等變形較難，因此，通過分析兩點間的距離公式與點到直線距離的聯(lián)系和區(qū)別，找到恒等變形的思路是解決問題的關(guān)鍵．本課通過觀察、分析掌握兩點間距離公式的特點，總結(jié)應(yīng)用兩點間距離公式的步驟；通過例題和練習(xí)使學(xué)生掌握并能應(yīng)用兩點間距離公式解決有關(guān)問題；通過探索和研究有關(guān)問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．

教學(xué)設(shè)計

一、問題情境 1.某供電局計劃年底解決本地區(qū)一個村莊的用電問題，經(jīng)過測量，若按部門內(nèi)部設(shè)計好的坐標(biāo)圖（以供電局為原點，正東方向為x軸的正半軸，正北方向為ｙ軸的正半軸，長度單位為km），則這個村莊的坐標(biāo)是（15，20），它附近只有一條線路通過，其方程為3x－4y－10＝0．問：要完成任務(wù)，至少需要多長的電線？

這實際上是一個求點到直線的距離問題，那么什么是點到直線的距離，如何求村莊到線路的距離呢？

2.在學(xué)生思考討論的基礎(chǔ)上，教師收集學(xué)生各種的求法，得常見求法如下：（1）設(shè)過點P（15，20）與l：3x－4y－10＝0垂直的直線為m，易求m的方程為4x＋3y－120＝0．由

解得即m與l的交點

由兩點間的距離公式，得

故要完成任務(wù)，至少需要9km長的電線．

（2）設(shè)直線l：3x－4y－10＝0與x軸的交點為Q，則Q（一點M（0，－），易讓向量

＝（，0）．在直線l上任取）與向量n＝（3，－4）垂直．

設(shè)向量知 與向量n的夾角為θ，點P到直線l的距離為d，由向量的數(shù)量積的定義易

（3）設(shè)過點P（15，20）與l：3x－4y－10＝0垂直的直線為ｍ，易求ｍ的方程為4（x－15）＋3（y－20）＝0． 設(shè)垂足為Po（xo，yo），則4（xo－15）＋3（yo－20）＝0，①

又因為點Po在l上，所以3xo－4yo－10＝0，即3xo－4yo＝10，而3×15－4×20－10＝3×15－4×20－3xo＋4yo＝－3（xo－15）＋4（yo－20），即3（xo－15）－4（yo－20）＝45．

②

把等式①和等式②兩邊相加，得 25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452，∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝，3.教師展現(xiàn)學(xué)生們的求法，師生共同點評各種求法，得出：求垂線與直線的交點坐標(biāo)，再用兩點間的距離公式使問題得解，想法雖自然，但計算量較大；不求垂足的坐標(biāo)，設(shè)出垂足的坐標(biāo)代入直線方程，進(jìn)而通過等式變形，利用兩點間的距離公式求得結(jié)果，想法既巧妙，又簡單明了．

二、建立模型

設(shè)坐標(biāo)平面上（如圖24-1），有點P（x1，y1）和直線l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全為0）．

我們來尋求點到直線l距離的算法．

作直線m通過點P（x1，y1），并且與直線l垂直，設(shè)垂足為P0（x0，y0）．容易求得直線m的方程為

B（x－x1）－A（y－y1）＝0． 由此得B（x0－x1）－A（y0－y1）＝0．① 由點P0在直線l上，可知Ax0＋By0＋C＝0，即C＝－Ax0－By0．

所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．② 把等式①和②兩邊平方后相加，整理可得

（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝

容易看出，等式左邊即為點P（x1，y1）到直線l距離的平方．由此我們可以得到點P（x1，y1）到直線l的距離d的計算公式：

歸納求點P（x1，y1）到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離的計算步驟如下：（1）給出點的坐標(biāo)x1和y1賦值．（2）給A，B，C賦值．

（3）計算

注意：（1）在求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式．

（2）當(dāng)直線與x軸或y軸平行時，公式也成立，但此時求距離一般不用公式．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.求點P（－1，2）到下列直線的距離： l1：2x＋y＝5，l2：3x＝2． 注意：規(guī)范解題格式．

2.求兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之間的距離． 分析：求兩條平行線間的距離，就是在其中一條直線上任取一點，求該點到另一條直線的距離．

解：在l1上任取一點P（x1，y1），則Ax1＋By＝－C1，點P到l2的距離d＝

3.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，證明：等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高．

解：以等腰三角形底邊所在的直線為x軸，底邊上的高所在的直線為ｙ軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖24-2）．

不妨設(shè)底邊｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝b，則直線AC：即bx－ay＋ab＝0；

直線BC：∴點B（a，0）．，即bx＋ay－ab＝0，在線段AB上任取一點D（m，0），則－a≤m≤a．

∴d1＋d2＝的高．

［練習(xí)］，即等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上1.求下列點到直線的距離．

（1）0（0，0），l1：3x＋4y－5＝0．

（2）A（1，0），l2：

x＋y－＝0．

（3）B（1，2），l3：3x＋y＝0．（4）C（－2，3），l4：y－7＝0．

2.求兩條平行直線2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之間的距離．

3.（1）求過點A（－1，2），且與原點的距離為的直線方程．

（2）若點P（x，y）在直線x＋y－4＝0上，O為原點，求OP的最小值．

（3）若△ABC的三頂點分別為A（7，8），B（0，4），C（2，－4），求△ABC的面積．

（4）求點P（0，1）關(guān)于直線x－2y＋1＝0的對稱點的坐標(biāo)．（5）求直線2x＋11y＋16＝0關(guān)于點P（0，1）對稱的直線方程．

四、拓展延伸

1.點到直線的距離公式應(yīng)用非常廣泛，你能舉例說明它在解決實際問題中的應(yīng)用嗎？ 2.點到直線的距離公式的推導(dǎo)方法有很多，對學(xué)有余力的同學(xué)可探索其他推導(dǎo)方法，下面介紹兩種常見的推導(dǎo)方法．（1）如圖，已知點P0（x0，y0），直線l：Ax＋By＋C＝0，求點P0到直線l的距離． 不妨設(shè)A≠0，B≠0，這時l和x軸、y軸都相交．過點P0作直線l的垂線，交l于Q．令｜P0Q｜＝d，過P0作x軸的平行線交l于R（x1，y0），作y軸的平行線交l于S（x0，y2）．

由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得

易證A＝0或B＝0，公式也成立．

（2）點到直線的距離公式也可用向量的知識求得，此法更能體現(xiàn)出代數(shù)與幾何的聯(lián)系，比其他方法更簡單，直觀，易懂．求法如下：

①如圖24-4，證明向量n＝（A，B）與直線l垂直．

不妨設(shè)A≠0，直線l與x軸的交點是Q（－，0）．

如果P1（x1，y1）是直線l上不同于Q的點，則Ax1＋By1＋C＝0．

∴A（x1＋）＋B（y1－0）＝0，即（A，B）·（x1＋，y1－0）＝0，∴向量n＝（A，B），與向量直．

②求點P0到直線l的距離d．

＝（x1＋，y1－0）垂直，即向量n與直線l垂由數(shù)量積的定義，如果向量

與向量n的夾角為θ，那么

易證當(dāng)A＝0或B＝0時，公式也成立．

點 評

這節(jié)課首先通過實例闡述了點到直線距離的產(chǎn)生背景，并通過學(xué)生思考討論，歸納和概括出了求點到直線的距離的常用方法，然后按照由特殊到一般的思路，找出了推導(dǎo)點到直線距離公式的方法．這種安排充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)理念，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)精神．例題與練習(xí)的設(shè)計由淺入深，完整，全面．解釋應(yīng)用深有新意，有深度．拓展延伸活躍了學(xué)生思維，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力．總之，這篇案例較好地體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)教育發(fā)展的一絲新理念．

第五篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇(23)直線方程的幾種形式

直線方程的幾種形式

教材分析

這節(jié)內(nèi)容介紹了直線方程的幾種主要形式：點斜式、兩點式和一般式，并簡單介紹了斜截式和截距式．直線方程的點斜式是其他直線方程形式的基礎(chǔ)，因此它是本節(jié)學(xué)習(xí)的重點．在推導(dǎo)直線方程的點斜式時，要使學(xué)生理解：（1）建立點斜式的主要依據(jù)是，經(jīng)過直線上一個定點與這條直線上任意一點的直線是唯一的，其斜率等于k．（2）在得出方程

后，要把它變成方程y－y1＝k（x－x1）．因為前者表示的直線缺少一個點P1（x1，y1），而后者才是這條直線的方程．（3）當(dāng)直線的斜率不存在時，不能用點斜式求它的方程，這時的直線方程為x＝x1．在學(xué)習(xí)了點斜式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步介紹直線方程的其他幾種形式：斜截式、兩點式、截距式和一般式，并探索它們的適用范圍和相互聯(lián)系與區(qū)別．通過研究直線方程的幾種形式，指出它們都是關(guān)于x，y的二元一次方程，然后從兩個方面進(jìn)一步研究直線和二元一次方程的關(guān)系，使學(xué)生明確一個重要事實：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線的方程，都可以寫成關(guān)于x，y的一次方程；反過來，任何一個關(guān)于x，y的一次方程都表示一條直線，為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線和方程”打下基礎(chǔ)．因為這部分內(nèi)容較為抽象，所以它是本節(jié)學(xué)習(xí)的難點．

教學(xué)目標(biāo)

1.在“直線與方程”和直線的斜率基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探索由一個點和斜率推導(dǎo)出直線方程，初步體會直線方程建立的方法．

2.理解和掌握直線方程的點斜式，并在此基礎(chǔ)上研究直線方程的其他幾種形式，掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程．

3.理解直線和二元一次方程的關(guān)系，并能用直線方程解決和研究有關(guān)問題．

4.通過直線方程幾種形式的學(xué)習(xí)，初步體會知識發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過程，培養(yǎng)學(xué)生多向思維的能力．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了直線方程的概念與直線的斜率基礎(chǔ)上，具體地研究直線方程的幾種形式，而這幾種形式的關(guān)鍵是推導(dǎo)點斜式方程．因此，在推導(dǎo)點斜式方程時，要使學(xué)生理解：已知直線的斜率和直線上的一個點，這條直線就確定了，進(jìn)而直線方程也就確定了．求直線方程就是把直線上任一點用斜率和直線上已知點來表示，這樣由兩點的斜率公式即可推出直線的點斜式方程．在直線的點斜式方程基礎(chǔ)上，由學(xué)生推出直線方程的其他幾種形式，并使學(xué)生明確直線方程各種形式的使用范圍，以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別．對于直線和方程的一一對應(yīng)關(guān)系是本節(jié)課的難點，在論證直線和方程的關(guān)系時，一方面分斜率存在與斜率不存在兩類，另一方面又分B≠0與B＝0兩類．這種“兩分法”的分類，科學(xué)嚴(yán)密，可培養(yǎng)學(xué)生全面系統(tǒng)和周密地討論問題的能力．

教學(xué)設(shè)計

一、問題情境

飛逝的流星形成了一條美麗的弧線，這條弧線可以看作滿足某種條件的點的集合．在平面直角坐標(biāo)系中，直線也可以看作滿足某種條件的點的集合．為研究直線問題，須要建立直線的方程．直線可由兩點唯一確定，也可由一個點和一個方向來確定．如果已知直線上一個點的坐標(biāo)和斜率，那么如何建立這條直線的方程呢？

二、建立模型

1.教師提出一個具體的問題若直線l經(jīng)過點A（－1，3），斜率為－2，點P在直線l上運(yùn)動，那么點P的坐標(biāo)滿足什么條件？

設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），那么當(dāng)P在直線l上運(yùn)動時（除點A外），點P與定點A確定的直線就是l，它的斜率恒為－2，所以

＝－2，即2x＋y－1＝0．

顯然，點A（－1，3）滿足此方程，因此，當(dāng)點P在直線l上運(yùn)動時，其坐標(biāo)（x，y）滿足方程2x＋y－1＝0．

2.教師明晰一般地，設(shè)直線l經(jīng)過點P1（x1，y1），且斜率為k，對于直線l上任意一點P（x，y）（不同于點P1），當(dāng)點P在直線l上運(yùn)動時，PP1的斜率始終為k，則即y－y1＝k（x－x1）．

可以驗證：直線l上的每個點（包括點P1）的坐標(biāo)都是這個方程的解；反過來，以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在直線l上，這個方程就是過點P1、斜率為k的方程，我們把這個方程叫作直線的點斜式方程．

當(dāng)直線l與x軸垂直時，斜率不存在，其方程不能用點斜式表示，但因為直線l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x＝x1．，思考：（1）方程

與方程y－y1＝k（x－x1）表示同一圖形嗎？

（2）每一條直線都可用點斜式方程表示嗎？ ［例 題］

求滿足下列條件的直線方程．（1）直線l1：過點（2，5），k＝－1．

（2）直線l2：過點（0，1），k＝－

.（3）直線l3：過點（2，1）和點（3，4）．（4）直線l4：過點（2，3）平行于y軸．（5）直線l5：過點（2，3）平行于x軸．

參考答案：（1）x＋y－7＝0．（2）y＝－y＝3． ［練習(xí)］ 求下列直線方程．

x＋1．（3）3x－y－5＝0．（4）x＝2．（5）（1）已知直線l的斜率為k，與y軸的交點P（0，b）．

（如果直線l的方程為y＝kx＋b，則稱b是直線l在y軸上的截距，這個方程叫直線的斜截式方程）

（2）已知直線l經(jīng)過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）．

（如果直線l的方程為y－y1＝方程）

（x－x1），（x1≠x2），則這個方程叫直線的兩點式（3）已知直線l經(jīng)過兩點A（ａ，0），B（0，b），其中ab≠0．

（如果直線l的方程為，（ab≠0），則a，b分別稱為直線l在x軸、y軸上的截距，這個方程叫直線的截距式方程）

進(jìn)一步思考討論：前面所學(xué)的直線方程的幾種形式都是關(guān)于x，y的二元一次方程，那么任何一條直線的方程是否為關(guān)于x，y的二元一次方程？反過來，關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線嗎？

通過學(xué)生討論后，師生共同明晰：

在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線的方程都是關(guān)于x，y的二元一次方程．

事實上，當(dāng)直線斜率存在時，它的方程可寫成y＝kx＋b，它可變形為kx－y＋b＝0，若設(shè)A＝k，B＝－1，C＝b，它的方程可化為Ax＋By＋C＝0；當(dāng)直線斜率不存在時，它的方程可寫成x＝x1，即x－x1＝0，設(shè)A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化為Ax＋By＋C＝0．即任何一條直線的方程都可以表示為Ax＋By＋C＝0；反過來，關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全為0）的圖像是一條直線．

事實上，對于方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全為0），當(dāng)B≠0時，方程可化為y＝－x－x＝－，它表示斜率為－，在y軸上截距為－的直線；當(dāng)B＝0時，A≠0，方程可化為，它表示一條與ｙ軸平行或重合的直線．

綜上可知：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與關(guān)于x，y的二元一次方程是一一對應(yīng)的．我們把方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全為0）叫作直線的一般式方程．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.已知直線l通過點（－2，5），且斜率為－（1）求直線的一般式方程．（2）求直線在x軸、y軸上的截距．

．

（3）試畫出直線l．解答過程由學(xué)生討論回答，教師適時點撥． 2.求直線l：2x－3y＋6＝0的斜率及在x軸與y軸上的截距．

解：已知直線方程可化為y＝x＋2，所以直線l的斜率為，在y軸上的截距為2．在方程2x－3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直線在x軸上的截距為－3． ［練習(xí)］

1.求滿足下列條件的直線方程，并畫出圖形．（1）過原點，斜率為－2．（2）過點（0，3），（2，1）．（3）過點（－2，1），平行于x軸．（4）斜率為－1，在y軸上的截距為5．（5）在x軸、y軸上的截距分別為3，－5． 2.求過點（3，－4），且在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程．

3.設(shè)直線l的方程為（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根據(jù)下列條件確定m的值．

（1）直線l在x軸上的截距為－3．（2）直線l的斜率為1．

（3）直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為10．

四、拓展延伸

1.在直線方程y－1＝k（x－1）中，k取所有實數(shù)，可得到無數(shù)條直線，這無數(shù)條直線具有什么共同特點？

2.在直線方程Ax＋By＋C＝0中，當(dāng)A，B，C分別滿足什么條件時，直線有如下性質(zhì)：（1）過坐標(biāo)原點．

（2）與兩坐標(biāo)軸都相交．（3）只與x軸相交．

（4）只與y軸相交．（5）與x軸重合．

（6）與y軸重合．

3.直線方程的一般式與幾種特殊形式有什么區(qū)別與聯(lián)系？你能說明它們的適用范圍以及相互轉(zhuǎn)化的條件嗎？ 參考答案：

1.直線過點（1，1），它不包括直線x＝1．

2.（1）C＝0．A，B不全為0；

（2）A，B都不為0．（3）A≠0，B＝0，C≠0．

（4）A＝0，B≠0，C≠0．（5）A＝0，B≠0，C＝0．

（6）A≠0，B＝0，C＝0． 3.略．

點 評

這篇案例在直線與方程和直線的斜率基礎(chǔ)上，通過實例探索出過一點且斜率已知的直線的方程，然后按照由特殊到一般的方程建立了直線的點斜式方程，在點斜式方程的基礎(chǔ)上由學(xué)生自主的探究出直線方程的其他形式，并研究了幾種直線方程的聯(lián)系與區(qū)別以及它們的適用范圍．在案例的設(shè)計上注意了知識的發(fā)生、發(fā)展和適用的過程．在例題與練習(xí)的設(shè)計上，注意了層次性和知識的完整性的結(jié)合，在培養(yǎng)學(xué)生的能力上，注意了數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、化歸、轉(zhuǎn)化、抽象、概括以及函數(shù)與方程的思想．在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識、探索研究、分析解決問題的能力等方面，做了一些嘗試，體現(xiàn)了新課程的教學(xué)理念，能夠較好地完成本節(jié)的教育教學(xué)任務(wù)．