第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇___45_等差數(shù)列

等差數(shù)列

教材分析

等差數(shù)列是高中階段研究的兩種最常見的數(shù)列之一．這節(jié)內(nèi)容在一些具體實(shí)例的基礎(chǔ)上，歸納、抽象、概括出了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式．教學(xué)重點(diǎn)是等差數(shù)例的定義及通項(xiàng)公式的發(fā)現(xiàn)過程及有關(guān)知識的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)是理解公式的實(shí)質(zhì)并加以靈活運(yùn)用．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解等差數(shù)列的概念，掌握其通項(xiàng)公式及實(shí)質(zhì)并會熟練應(yīng)用．

2.通過對等差數(shù)列概念及通項(xiàng)公式的歸納、抽象和概括，體驗(yàn)等差數(shù)列概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括能力．

3.培養(yǎng)從特殊到一般，再從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，并鍛煉學(xué)生歸納、猜想、論證的能力．

任務(wù)分析

這節(jié)課是在實(shí)例的基礎(chǔ)上，采用從特殊到一般，再從一般到特殊的思想，對此，學(xué)生接受起來并不太困難．對于等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的發(fā)現(xiàn)，要完全地放給學(xué)生自己討論，探究，以便于充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，使其充分體驗(yàn)到成功的樂趣．對于通項(xiàng)公式，不要只看表面，更要看到公式的實(shí)質(zhì)———四個(gè)量之間的一個(gè)等量關(guān)系，以便于以后運(yùn)用方程思想靈活解決有關(guān)問題．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題情景

在現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常會遇到下面的特殊數(shù)列．

1.我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5個(gè)數(shù)一次，可以得到數(shù)列：

0.5，______________，______________，______________，______________，… 2.水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚．如果一個(gè)水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）： 18，______________，______________，______________，______________，5.5． 3.我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息．按照單利計(jì)算本利和的公式是：

本利和＝本金×（1＋利率×存期）．

例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和組成的數(shù)列是

______________，______________，______________，______________，______________ ．

問題：上面的數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？ 你能用數(shù)學(xué)語言（符號）描述這些特點(diǎn)嗎？

二、建立模型

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，即ａn＋1－ａn＝d（n∈N＋）．

［問 題］

（1）如果三個(gè)數(shù)ａ，A，ｂ成等差數(shù)列，那么A叫ａ，ｂ的等差中項(xiàng)．你能用ａ，ｂ表示A嗎？

（2）你能猜想出問題情景中的3個(gè)數(shù)列各自的通項(xiàng)公式嗎？

（3）一般地，對于等差數(shù)列｛ａn｝，你能用基本量ａ1，ｄ來表示其通項(xiàng)嗎？ 解法1：歸納：ａ1＝ａ1，ａ2＝ａ1＋ｄ，ａ3＝ａ1＋2ｄ，…，ａn＝ａ1＋（ｎ－1）d．

解法2：累加：ａ2－ａ1＝ｄ，ａ3－ａ2＝ｄ，…，ａn－ａn-1＝ｄ，各式相加，得ａn－ａ1＝（ｎ－1）ｄ，∴ａn＝ａ1＋（ｎ－1）ｄ． ［思 考］

（1）這個(gè)通項(xiàng)公式有何特點(diǎn)？是關(guān)于n的幾次式的形式？ｄ可以等0嗎？（2）此公式中有幾個(gè)量？ ［結(jié) 論］（1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次式的形式，ｎ的系數(shù)為ｄ．當(dāng)ｄ＝0時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列．

（2）此公式中有四個(gè)量，即ａn，ａ1，ｎ，ｄ，知道其中任何三個(gè)可求另外一個(gè)，所以，通項(xiàng)公式實(shí)質(zhì)是四個(gè)量之間的關(guān)系．

三、解釋應(yīng)用

［例 題］

1.（1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng)．

（2）－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

2.某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元／千米，起步價(jià)為10元，即最初的4km（不含4km）計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，須要支付多少車費(fèi)？

解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客須要支付1.2元．所以，可建立一個(gè)等差數(shù)列｛ａn｝來計(jì)算車費(fèi)．

令ａ1＝11.2，表示4km處的車費(fèi)，公差ｄ＝1.2．那么，當(dāng)出租車行至14km處時(shí)，ｎ＝11，此時(shí)須要支付車費(fèi)ａ11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2（元）．

答：須要支付車費(fèi)23.2元．

3.已知數(shù)列｛ａn｝的通項(xiàng)公式為ａn＝pn＋ｑ，其中ｐ，ｑ為常數(shù)，且ｐ≠０，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

分析：判定｛ａn｝是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看ａn－ａn-1（ｎ＞1）是不是一個(gè)與ｎ無關(guān)的常數(shù)．

解：取數(shù)列｛ａn｝中的任意相鄰兩項(xiàng)ａn與ａn-1（ｎ＞1），求差，得 ａn－ａn-1＝（ｐｎ＋ｑ）－［ｐ（ｎ－１）＋ｑ］＝ ｐｎ＋ｑ－（ｐｎ－ｐ＋ｑ）＝ｐ．

它是一個(gè)與ｎ無關(guān)的數(shù)．所以｛ａn｝是等差數(shù)列． ［練習(xí)］ 1.在等差數(shù)列中，（1）已知ａ5＝－1，ａ8＝2，求ａ1與ｄ．（2）已知ａ1＋ａ6＝12，ａ4＝7，求ａ9． 2.已知｛ａn｝是等差數(shù)列．

（1）2ａ5＝ａ3＋ａ7是否成立？2ａ5＝ａ1＋ａ9是否成立？

（2）2ａn＝ａn－2＋ａn＋２（ｎ＞2）是否成立？2ａn＝ａn－k＋ａn＋k（ｎ＞ｋ＞0）是否成立？

3.已知數(shù)列｛ａn｝，｛bn｝的通項(xiàng)公式分別為ａn＝ａn＋2，bn＝bn＋1（ａ，ｂ是常數(shù)），且ａ＞ｂ，那么這兩個(gè)數(shù)列中的序號與數(shù)值均相等的項(xiàng)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)？

四、拓展延伸

（1）在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為ａn＝3n－5的數(shù)列的圖像，并說出這個(gè)數(shù)列的圖像有什么特點(diǎn)．該圖像與ｙ＝3ｘ－5的圖像有什么關(guān)系？據(jù)此，你能得出一般性的結(jié)論嗎？

（2）通項(xiàng)公式的四個(gè)量中知道其中三個(gè)量可求另一個(gè)量，你能據(jù)此編出一些不同的題目嗎？

（3）對于兩個(gè)次數(shù)相同的等差數(shù)列｛ａn｝和｛bn｝，｛ａn＋bn｝，｛ａn·bn｝，（ｂｎ≠0）是否為等差數(shù)列？

點(diǎn) 評

教師能否調(diào)動學(xué)生的積極性和能否真正培養(yǎng)學(xué)生能力，提高課堂效率，很大程度上取決于教師能否設(shè)計(jì)出既符合教材要求又符合學(xué)生的認(rèn)知水平的問題．這節(jié)課正是通過恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)一系列問題，層層遞進(jìn)，使問題得到了全面解決，這樣不僅鍛煉了學(xué)生思維，培養(yǎng)了學(xué)生能力，而且也充分體現(xiàn)了新課程的理念．

值得一提的是，利用歸納的方式引導(dǎo)學(xué)生建立概念并及時(shí)在應(yīng)用中深化，是這篇案例的突出特點(diǎn)．

第二篇：第二部分高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例

第二部分 高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例

正弦函數(shù)的性質(zhì)

教材分析

這篇案例的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握正弦函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，通過觀察、歸納和總結(jié)，得出正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，即正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．教學(xué)重點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖像特征及五個(gè)重要性質(zhì)，難點(diǎn)是周期函數(shù)及最小正周期的意義．由于周期函數(shù)的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應(yīng)注意通過具體實(shí)例讓學(xué)生充分體會這種“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會新概念的形成過程．

教學(xué)目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，分析y＝sinx的圖像，進(jìn)而歸納、總結(jié)出正弦函數(shù)的圖像特征，并抽象出函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖像的能力和數(shù)形結(jié)合的能力．

2.理解和掌握正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，能夠解決與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間等簡單問題．

3.使學(xué)生進(jìn)一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會分析、探索、化歸、類比的科學(xué)研究方法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用．

4.使學(xué)生初步體會事物周期變化的一些奧秘，進(jìn)一步提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)圖像特征的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號語言把圖像特征進(jìn)一步“量化”，從而得出正弦函數(shù)的五個(gè)性質(zhì)．一般來說，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數(shù)的定義域、值域、最值、符號、周期性、奇偶性、單調(diào)性等，但對于周期性及單調(diào)區(qū)間的表述，學(xué)生可能會有一定的困難．因此，在引入周期函數(shù)的定義之前，要讓學(xué)生充分觀察圖像，必要時(shí)可把物理中的彈簧振動的實(shí)驗(yàn)再做一做，讓學(xué)生體會“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會概念的形成過程．

此外，對于周期函數(shù)，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)： 1.x應(yīng)是“定義域內(nèi)的每一個(gè)值”．

2.對于某些周期函數(shù)，在它所有的周期中，不一定存在一個(gè)最小的正周期，即某些周期函數(shù)沒有最小正周期． 3.對于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題情境

1.教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)

我們學(xué)習(xí)過正弦函數(shù)圖像的畫法，并通過觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)怎樣的性質(zhì)呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導(dǎo)學(xué)生探索正弦函數(shù)的性質(zhì)：

注：由此學(xué)生得出正弦函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）定義域?yàn)镽．

（2）值域?yàn)椋郏?，1］，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最大值1，（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最小值－1．

注：在此處，教師應(yīng)提醒學(xué)生注意前面的“2kπ”，使學(xué)生初步感受一下正弦函數(shù)的“周而復(fù)始”性．

2.教師進(jìn)一步提出問題

從正弦曲線我們注意到，函數(shù)y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時(shí)的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

（設(shè)計(jì)目的：引導(dǎo)學(xué)生從物理中彈簧的振動，即小球在平衡位置的往復(fù)運(yùn)動，體會事物的“周期性”變化）

（2）數(shù)學(xué)中的這種周期性變化能否用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來體現(xiàn)？

二、建立模型 1.引導(dǎo)學(xué)生探究

2.教師明晰

通過學(xué)生的討論，歸納出周期函數(shù)的定義：

一般地，對于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)Ｔ叫作這個(gè)函數(shù)的周期．

說明：若學(xué)生歸納和總結(jié)出周期函數(shù)的如下定義，也應(yīng)給以充分的肯定．

如果某函數(shù)對于自變量的一切值每增加或減少一個(gè)定值，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，那么這個(gè)函數(shù)就叫作周期函數(shù)．

給出最小正周期的概念：對于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作它的最小正周期．教科書中今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

3.深化定義的內(nèi)涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說是正弦函數(shù)（2）函數(shù)f（x）＝c是周期函數(shù)嗎？它有沒有最小正周期？ 3.歸納正弦函數(shù)的性質(zhì)

通過觀察圖像，我們得到了正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性等性質(zhì)，除此之外，正弦函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下兩條性質(zhì)：

奇偶性：由誘導(dǎo)公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱． 單調(diào)性：觀察正弦曲線可以看出，當(dāng)x由－由－1增大到1；當(dāng)x由

增大到

增大到時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值

時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［小到－1．

三、解釋應(yīng)用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數(shù)取得最大值和最小值的x的集合，并說出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當(dāng)2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x取得最

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x大值，最大值是1；當(dāng)2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝sinx＋2同時(shí)取得最大值和最小值．因此，當(dāng)x＝2kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當(dāng)a＞0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當(dāng)a＜0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設(shè)t＝sinx，則y＝二次函數(shù)的最大值和最小值問題了．，且t∈［－1，1］，于是問題就變成求閉區(qū)間上當(dāng)t＝1，即sinx＝1時(shí)，ymax＝1，取最大值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當(dāng)t＝－1，即sinx＝－1時(shí)，ymin＝－9，取最小值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習(xí)］

求下列函數(shù)的最值，以及使函數(shù)取得值時(shí)的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數(shù)的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數(shù)y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數(shù)2T的最小值是2π，∴當(dāng)2T＝2π時(shí)，T＝π． 因此，函數(shù)y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數(shù)y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發(fā)，誘導(dǎo)學(xué)生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發(fā)現(xiàn)？（這類函數(shù)的周期好像只與x的系數(shù)有關(guān)）

（2）一般地，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數(shù)ωT，最小值是2π，∴當(dāng)ωT＝2π時(shí)，T＝.因此，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習(xí)］ 求下列函數(shù)的周期．

4.進(jìn)一步強(qiáng)化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數(shù)T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數(shù)的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下面是該港口的水深表： 表35-1

經(jīng)過長時(shí)間的觀察，描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)y＝Asinωt＋B的表達(dá)式．

（2）一般情況下，船舶航行時(shí)船底同海底的距離不少于4.5m時(shí)是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長時(shí)間（忽略離港用的時(shí)間）？

第三篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 46 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

教材分析

等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是數(shù)列研究的基本問題．在現(xiàn)實(shí)生活中，等差數(shù)列的求和是經(jīng)常遇到的一類問題．等差數(shù)列的求和公式，為我們求等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和提供了一種重要方法．

教材首先通過具體的事例，探索歸納出等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和的求法，接著推廣到一般情況，推導(dǎo)出等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式．為深化對公式的理解，通過對具體例子的研究，弄清等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差之間的關(guān)系，并能熟練地運(yùn)用等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式解決問題．這節(jié)內(nèi)容重點(diǎn)是探索掌握等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式，并能應(yīng)用公式解決一些實(shí)際問題，難點(diǎn)是前ｎ項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的形成．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生、形成的過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力．

2.理解和掌握等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式，體會等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系，并能用公式解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力．

3.在研究公式的形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和科學(xué)的思維方法．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容主要涉及等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)公式及其應(yīng)用．

對公式的推導(dǎo)，為便于學(xué)生理解，采取從特殊到一般的研究方法比較適宜，如從歷史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出發(fā)，一方面引發(fā)學(xué)生對等差數(shù)列求和問題的興趣，另一方面引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列中任意的第ｋ項(xiàng)與倒數(shù)第ｋ項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)求等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和的一般方法，這樣自然地過渡到一般等差數(shù)列的求和問題．對等差數(shù)列的求和公式，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識公式本身的結(jié)構(gòu)特征，弄清前ｎ項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差之間的關(guān)系．為加深對公式的理解和運(yùn)用，要強(qiáng)化對實(shí)例的教學(xué)，并通過對具體實(shí)例的分析，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解決問題的方法．特別是對實(shí)際問題，要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的模型，恰當(dāng)選擇公式．對于等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和公式和二次函數(shù)之間的聯(lián)系，可引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題情景

1.在200多年前，有個(gè)10歲的名叫高斯的孩子，在老師提出問題：“1＋2＋3＋…＋100＝？”時(shí)，很快地就算出了結(jié)果．他是怎么算出來的呢？他發(fā)現(xiàn)1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．

2.受高斯算法啟發(fā)，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．

3.高斯的方法妙在哪里呢？這種方法能否推廣到求一般等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和？

二、建立模型

1.數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和定義

對于數(shù)列｛ａn｝，我們稱ａ1＋ａ2＋…＋ａn為數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項(xiàng)和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．

2.等差數(shù)列的求和公式

（1）如何用高斯算法來推導(dǎo)等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式？ 對于公差為ｄ的等差數(shù)列｛ａn｝：

Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，①

依據(jù)高斯算法，將Sn表示為Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．

②

由此得到等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式

小結(jié)：這種方法稱為反序相加法，是數(shù)列求和的一種常用方法．

（2）結(jié)合通項(xiàng)公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎樣的公式？

（３）兩個(gè)公式有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，各反映了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？ 學(xué)生討論后，教師總結(jié)：相同點(diǎn)是利用二者求和都須知道首項(xiàng)ａ1和項(xiàng)數(shù)ｎ；不同點(diǎn)是前者還須要知道ａn，后者還須要知道ｄ．因此，在應(yīng)用時(shí)要依據(jù)已知條件合適地選取公式．公式本身也反映了等差數(shù)列的性質(zhì)：前者反映了等差數(shù)列的任意的第ｋ項(xiàng)與倒數(shù)第ｋ項(xiàng)的和都等于首、末兩項(xiàng)之和，后者反映了等差數(shù)的前ｎ項(xiàng)和是關(guān)于ｎ的沒有常數(shù)項(xiàng)的“二次函數(shù)”．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項(xiàng)和Sn．

（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．

注：恰當(dāng)選用公式進(jìn)行計(jì)算．

2.已知一個(gè)等差數(shù)列｛ａn｝前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220．由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和的公式嗎？

分析：將已知條件代入等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和的公式后，可得到兩個(gè)關(guān)于ａ1與ｄ的關(guān)系式，它們都是關(guān)于ａ1與ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1與ｄ，從而得到所求前ｎ項(xiàng)和的公式．

解：由題意知

注：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和公式，就是一個(gè)關(guān)于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使學(xué)生能把方程思想和前ｎ項(xiàng)和公式相結(jié)合，再結(jié)合通項(xiàng)公式，對ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn這五個(gè)量知其三便可求其二．

（2）本題的解法還有很多，教學(xué)時(shí)可鼓勵(lì)學(xué)生探索其他的解法．例如，3.2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》．某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從20XX年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)．據(jù)測算，20XX年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)500萬元．為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元．那么從20XX年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？

教師引學(xué)生分析：每年“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)數(shù)構(gòu)成公差為５０的等差數(shù)列．問題實(shí)質(zhì)是求該數(shù)列的前10項(xiàng)的和．

解：根據(jù)題意，從2001～20XX年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元．所以，可以建立一個(gè)等差數(shù)列｛ａn｝，表示從20XX年起各年投入的資金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50．

那么，到20XX年（ｎ＝10），投入的資金總額為

答：從2001～20XX年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元． 注：教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范應(yīng)用題的解題步驟．

4.已知數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項(xiàng)和Sn＝ｎ2＋

ｎ，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？

解：根據(jù)

由此可知，數(shù)列｛ａn｝是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列．

思考：一般地，數(shù)列｛ａn｝前ｎ項(xiàng)和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），這時(shí)｛ａn｝是等差數(shù)列嗎？為什么？

［練習(xí)］

1.一名技術(shù)人員計(jì)劃用下面的辦法測試一種賽車：從時(shí)速10ｋｍ／ｈ開始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果測試時(shí)間是30ｓ，測試距離是多長？

2.已知數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項(xiàng)的和為Sn＝

ｎ2＋

ｎ＋4，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

3.求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和．

四、拓展延伸

1.數(shù)列｛ａn｝前ｎ項(xiàng)和Sn為Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ?yàn)槌?shù)且ｐ≠０），則｛ａn｝成等差數(shù)列的條件是什么？

2.已知等差數(shù)列5，4，3，…的前ｎ項(xiàng)和為Sn，求使Sn最大的序號ｎ的值．

分析1：等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式可以寫成Sn＝以看成函數(shù)ｙ＝x2＋（ａ1－

ｎ2＋（ａ1－）ｎ，所以Sn可）ｘ（ｘ∈N*）．當(dāng)ｘ＝ｎ時(shí)的函數(shù)值．另一方面，容易知道Sn關(guān)于ｎ的圖像是一條拋物線上的一些點(diǎn)．因此，我們可以利用二次函數(shù)來求ｎ的值．

解：由題意知，等差數(shù)列5，4，3，…的公差為－，所以

于是，當(dāng)ｎ取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，Sn取最大值．

分析2：因?yàn)楣睿洌?－＜０，所以此數(shù)列為遞減數(shù)列，如果知道從哪一項(xiàng)開始它后邊的項(xiàng)全為負(fù)的，而它之前的項(xiàng)是正的或者是零，那么就知道前多少項(xiàng)的和最大了．即使然后從中求出ｎ．

點(diǎn) 評

這篇案例從具體的實(shí)例出發(fā)，引出等差數(shù)列的求和問題，在設(shè)計(jì)上，設(shè)計(jì)者注意激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，通過等差數(shù)列求和公式的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題的能力．

對例題、練習(xí)的安排，這篇案例注意由淺入深，完整，全面．拓展延伸的設(shè)計(jì)有新意，有深度，符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，有利于學(xué)生理解、掌握這節(jié)內(nèi)容．

就總體而言，這篇案例體現(xiàn)了新課程的基本理念，尤其關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力．另外，這篇案例對于繼承傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)注重“雙基”、關(guān)注學(xué)生的落實(shí)，同時(shí)注意著眼于學(xué)生的全面發(fā)展，有比較好的體現(xiàn)。

第四篇：新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例

新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例

李代友

直線與平面平行的性質(zhì)

1.教學(xué)目的

(1)通過教師的適當(dāng)引導(dǎo)和學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，使學(xué)生由直觀感知、獲得猜想，經(jīng)過邏輯論證，推導(dǎo)出直線與平面平行的性質(zhì)定理，并掌握這一定理；

(2)通過直線與平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生體會定理的現(xiàn)實(shí)意義與重要性；

(3)通過命題的證明，讓學(xué)生體會解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想，培養(yǎng)、提高學(xué)生分析、解決問題的能力。2.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：直線與平面平行的性質(zhì)定理；

難點(diǎn)：直線與平面平行性質(zhì)定理的探索及P61例3。(人教版)3.教學(xué)基本流程

復(fù)習(xí)相關(guān)知識并由現(xiàn)實(shí)問題引入課題

引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的性質(zhì)定理 分析定理，深化定理的理解 直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 學(xué)生練習(xí)，反饋學(xué)習(xí)效果 小結(jié)與作業(yè)4.教學(xué)過程

教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖【復(fù)習(xí)】以提問的形式引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)的知識：線線、線面的位置關(guān)系及判定線面平行的方法。思考并回答問題。溫故知新，為新課的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備?！疽搿?1)提出例3給出的實(shí)際問題，讓學(xué)生稍作思考；

(2)點(diǎn)明該問題解決的關(guān)鍵是由條件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面畫線，使得工人師傅按照畫線加工出滿足要求的工件；

(3)引入課題——在我們學(xué)習(xí)了《直線與平面平行的性質(zhì)》這一節(jié)課之后，我們就知道如何解決這個(gè)實(shí)際問題了。思考問題，進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)。通過實(shí)際例子，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，突出學(xué)習(xí)直線和平面平行性質(zhì)的現(xiàn)實(shí)意義?！驹O(shè)問】

(1)提出本節(jié)《思考》的問題(1)：如果一條直線與平面平行，那么這條直線是否與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行? 1 引導(dǎo)學(xué)生做小實(shí)驗(yàn)：利用筆和桌面做實(shí)驗(yàn)，把一支筆放置到與桌面所在平面平行的位置上，把另一支筆放置在桌面，筆所在的直線代表桌面所在平面上的一條直線，移動桌面上的筆到不同的位置，觀察兩筆所在直線的位置關(guān)系。

(2)一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線有哪些位置關(guān)系? 分析：a∥αa與α無公共點(diǎn) a與α內(nèi)的任何直線都無公共點(diǎn) a與α內(nèi)的直線是異面直線或平行直線。

(1)學(xué)生動手做實(shí)驗(yàn)，并觀察得出問題的結(jié)論：與平面平行的直線并不與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行。(2)學(xué)生由實(shí)驗(yàn)結(jié)果猜想問題的答案，再由教師的引導(dǎo)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治?，確定猜想的正確性。通過學(xué)生的動手實(shí)驗(yàn)，得出問題的結(jié)論，提高學(xué)生的探索問題的熱情。續(xù)表

教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖【探究】一條直線與一個(gè)平面平行，在什么條件下，平面內(nèi)的直線與這條直線平行? 講述：與平面平行的直線，和平面內(nèi)的直線或是異面直線或是平行直線，它們有一個(gè)區(qū)別是異面直線不共面，而平行直線共面，那么如何利用這個(gè)不同點(diǎn)，尋找這些平行直線呢? 長方體ABCD-AB(yǎng)CD中，AC平行于面ABCD，請?jiān)诿鍭BCD內(nèi)找出一條直線與AC平行。分析：AC與AC這兩條平行直線共面，同在面AACC內(nèi)，可見AC是過AC的平面AACC與面ABCD的交線。

(2)在面ABCD內(nèi)，除了AC還有直線與AC平行嗎?如果有，可以通過什么方法找到? 利用課件演示AC任意作一平面AEFC與面ABCD相交于線EF，驗(yàn)證學(xué)生的猜想。

分析：因?yàn)锳C∥面ABCD，所以AC與這個(gè)面內(nèi)的直線EF沒有公共點(diǎn)，由大家的這個(gè)方法做出直線EF，就使得EF與AC共面，故EF∥AC。學(xué)生隨著教師的引導(dǎo)，思考問題，回答問題。(1)根據(jù)長方體的知識，學(xué)生能夠找到直線AC與AC平行。隨教師的引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)AC的特殊位置關(guān)系。(2)由上面特殊例子的啟發(fā)，學(xué)生逐漸形成對問題答案的猜想，隨教師的引導(dǎo)，證明猜想的正確性。以長方體為載體，引導(dǎo)學(xué)生猜想問題成立的條件，推導(dǎo)出定理。續(xù)表教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖【剖析定理】(1)證明定理；(2)分析定理成立的條件和結(jié)論；(3)指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。要求學(xué)生認(rèn)真聽教師的分析，看定理的證明過程，閱讀和理解課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。深化學(xué)生對定理的理解，明確該定理給出了一種作平行線的重要方法?！眷柟叹毩?xí)】

一、提出本節(jié)開始提出的問題(2)，讓學(xué)生自由發(fā)言。(不局限只有引平行線的方法)

二、判斷題

(1)如果a、b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面。(2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行。

(3)如果直線a、b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b。學(xué)生自由舉手發(fā)言，說明理由。通過練習(xí)再次深化對定理的理解?！局v解例題】例

3、例4要求學(xué)生跟隨教師的分析引導(dǎo)，自己思考和解決問題。讓學(xué)生體會定理的現(xiàn)實(shí)意義與重要性及解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想【課堂練習(xí)】 已知：α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF, 求證：CD∥EF

選取幾份有代表性的做法，利用投影儀，講評練習(xí)，反饋學(xué)習(xí)效果。及時(shí)解決學(xué)生學(xué)習(xí)上存在的問題【小結(jié)】(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理；(2)直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用。

【作業(yè)】習(xí)題22A組第5、6題總結(jié)歸納學(xué)習(xí)內(nèi)容，安排適當(dāng)?shù)恼n后練習(xí)

第五篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇__44_數(shù)列

數(shù)列

教材分析

這節(jié)課主要研究數(shù)列的有關(guān)概念，并運(yùn)用概念去解決有關(guān)問題，其中，對數(shù)列概念的理解及應(yīng)用，既是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式等有關(guān)概念，會根據(jù)一個(gè)數(shù)列的有限項(xiàng)寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．

2.了解遞推數(shù)列，并會由遞推公式寫出此數(shù)列的若干項(xiàng)． 3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納和猜想的能力．

任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以往很少涉及，對學(xué)生來說，既新又抽象，所以，須要依靠實(shí)例進(jìn)行教學(xué)．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)在函數(shù)定義的基礎(chǔ)上加以理解．由若干項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是難點(diǎn)，但這又是鍛煉學(xué)生的歸納、猜想能力的極好機(jī)會，應(yīng)大膽讓學(xué)生親自歸納和猜想．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題情景

傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子來表示數(shù)．比如，他們研究過1，3，6，10，…由于這些數(shù)都能夠表示成三角形（如圖44-1），他們就將其稱為三角形數(shù)．類似地，1，4，9，16，…能夠表示成正方形（如圖44-2），他們就將其稱為正方形數(shù)．

二、建立模型

1.引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析數(shù)列的順序要求，設(shè)法用自己的語言描述出數(shù)列的定義及有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、擺動數(shù)列等有關(guān)概念像1，4，9，16，…等按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)，就叫作數(shù)列．

［練習(xí)］

下面的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列？（1）全體自然數(shù)構(gòu)成數(shù)列

0，1，2，3，…

（2）1996～2002年某市普通高中生人數(shù)（單位：萬人）構(gòu)成數(shù)列

82，93，105，119，129，130，132．

（3）無窮多個(gè)3構(gòu)成數(shù)列

3，3，3，3，…

（4）目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列（單位：元）

100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．

（5）－1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，……構(gòu)成數(shù)列

－1，1，－1，1，…

（6）的精確到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值與過剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列

1，1.4，1.41，1.414，… 2，1.5，1.42，1.415，…

2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)例、項(xiàng)和第n項(xiàng)等概念發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

如：數(shù)列1，2，0，－1，3，8，…，第1項(xiàng)是1，第4項(xiàng)是－1，……由此可以發(fā)現(xiàn)，對于一個(gè)給定的數(shù)列，當(dāng)確定了項(xiàng)的位置后，這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)也隨之唯一確定．一般地，數(shù)列可以看作定義域?yàn)椋危ɑ蚱渥蛹┑暮瘮?shù)當(dāng)自變量依次為1，2，3，…時(shí)的一系列函數(shù)值．

［問 題］ 數(shù)列既然可以看作一列函數(shù)值，那么“這個(gè)函數(shù)”可以如何表示？一定有解析式嗎？你能舉出一些有解析式的例子嗎？根據(jù)學(xué)生的討論，探究，得出：數(shù)列可以用列表、圖像和函數(shù)解析式來表示，從而，解析式即為數(shù)列的通項(xiàng)公式．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)．

（1）1，－，－．

（2）2，0，2，0．

解：（1）.（2）可以寫成n-

1也可以寫成an＝1＋（－1），（其中n＝1，2，…）．

注：對于（2），可以引導(dǎo)學(xué)生得到不同的結(jié)論，從而發(fā)現(xiàn)，根據(jù)數(shù)列的前若干項(xiàng)寫出的通項(xiàng)公式不一定唯一．

2.下圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形．在下圖4個(gè)三角形中，黑色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，請寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖像．

解：如圖44-3，這4個(gè)三角形中的黑色三角形的個(gè)數(shù)依次為1，3，9，27，則所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪，并且指數(shù)為序號減1．所以，這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝3n-1．

在直角坐標(biāo)系中的圖像見下圖：

3.設(shè)數(shù)列滿足試寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)． 解：∵a1＝1，注：像這樣給出數(shù)列的方法叫逆推法． ［練習(xí)］

1.數(shù)列的前5項(xiàng)分別是以下各數(shù)，試分別寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．

2.已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，an＝

－1（n＞1），試寫出它的前5項(xiàng)． 3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n2－10n＋10，那么這個(gè)數(shù)列從第n項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值是否逐漸增大？從第n項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值是否均為正數(shù)？

四、拓展延伸

教師引導(dǎo)學(xué)生分析思考下面的兩個(gè)問題（可以在課堂上或課后完成）：

1.已知數(shù)列｛an｝滿足，問：此數(shù)列有無最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？

2.通常用Sn表示數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an．已知｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝n2－3n＋2，試求｛an｝的通項(xiàng)公式．一般地，如何用Sn表示an呢？

點(diǎn) 評

這篇案例通過實(shí)例闡述了數(shù)列的有關(guān)概念，注意揭示了知識發(fā)生、發(fā)展的過程，比較好地調(diào)動了學(xué)生參與探索的積極性和主動性．問題情景設(shè)計(jì)新穎，合理；問題提出得準(zhǔn)確，恰當(dāng)；總體設(shè)計(jì)完整，清晰．另外，該案例還關(guān)注了學(xué)生科學(xué)地提出和解決問題的能力的培養(yǎng)． 美中不足的是，自“問題情景”到“建立模型”兩個(gè)環(huán)節(jié)的“交接處”顯得有些跳躍，步驟有些過簡．