第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 50 基本不等式

基本不等式：

教材分析

“”的證明學(xué)生比較容易理解，學(xué)生難理解的是“當(dāng)且僅當(dāng)ａ＝ｂ時(shí)取?＝?號(hào)”的真正數(shù)學(xué)內(nèi)涵，所謂“當(dāng)且僅當(dāng)”就是“充分必要”．

教學(xué)重點(diǎn)是定理及其應(yīng)用，難點(diǎn)是利用定理求函數(shù)的最值問(wèn)題，進(jìn)而解決一些實(shí)際問(wèn)題．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們積的2倍這一重要不等式的證明，并能從幾何意義的角度去解釋?zhuān)纬蓴?shù)形結(jié)合的完美統(tǒng)一．

2.理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明，及其幾何意義，會(huì)用這兩個(gè)重要不等式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用題．

3.通過(guò)定理的證明培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，通過(guò)定理的應(yīng)用揭示數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容從實(shí)際問(wèn)題情境展開(kāi)探討，“如要圍成面積為16ｍ2的一個(gè)矩形，所需繩子最短是多少？即設(shè)長(zhǎng)為ｘ，寬為，則周長(zhǎng)為l＝2ｘ＋2×，求當(dāng)ｘ取何值時(shí)，l最?。弊寣W(xué)生去猜測(cè)，去思考，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生的想象和猜想能力．當(dāng)學(xué)生猜想它應(yīng)為正方形這一結(jié)論時(shí)，教師適時(shí)引導(dǎo)如何去證明猜想的正確性，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，從而達(dá)到由問(wèn)題到結(jié)論的證明，開(kāi)闊學(xué)生的思路，陶冶學(xué)生的情操．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情境 教師出示問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析、思考：某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800ｍ，深為3ｍ．如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少元？

3二、建立模型

1.通過(guò)比較ａ＋ｂ與2ａｂ的大小，引入重要不等式． ∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，∴當(dāng)ａ≠ｂ時(shí)，（ａ－ｂ）＞0； 當(dāng)ａ＝ｂ時(shí)，（ａ－ｂ）2＝0．

即（ａ－ｂ）2≥0，從而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ． 2.結(jié)論明晰

定理1 如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（當(dāng)且僅當(dāng)ａ＝ｂ時(shí)，取“＝”號(hào)）．

22思考：對(duì)于定理1和定理2，當(dāng)且僅當(dāng)ａ＝ｂ時(shí)取“＝”號(hào)的具體含義是什么？

三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例 題］ 1.已知ｘ，ｙ都是正數(shù)，求證：

小結(jié)；上述結(jié)論是我們用定理求最值的依據(jù)，可簡(jiǎn)述為和為定值積最大，積為定值和最小．

2.設(shè)法解決本節(jié)課開(kāi)始提出的問(wèn)題．

因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40ｍ的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為297600元．

3.0求證：在直徑為ｄ的圓內(nèi)接矩形中，面積最大的是正方形，并且這個(gè)正方形的面積等于ｄ． 22.設(shè)計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為4840ｃｍ2，畫(huà)面的寬與高的比為λ（λ＜１），畫(huà)面的上、下各留8ｃｍ的空白，左、右各留5ｃｍ的空白．問(wèn)：怎樣確定畫(huà)面的高與寬的尺寸，才能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最?。?/p>

答：當(dāng)畫(huà)面高為88ｃｍ、寬為55ｃｍ時(shí)，所用紙張面積最小．

3.用一段長(zhǎng)為L(zhǎng)（ｍ）的籬笆圍成一個(gè)邊靠墻的矩形菜園，問(wèn)：當(dāng)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

上述兩種解答的答案不同，哪一種方法是錯(cuò)誤的，為什么？

四、拓展延伸

點(diǎn) 評(píng)

這篇案例由實(shí)際問(wèn)題引入課題，既自然，又能引起學(xué)生的興趣，激發(fā)起學(xué)生的求知欲望，為本節(jié)重點(diǎn)的突破打下良好的基礎(chǔ)．由學(xué)生已有知識(shí)歸納和總結(jié)得到這節(jié)課的兩個(gè)定理，使學(xué)生易于理解和接受．由典型例題的證明，歸納出一般結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力．由練習(xí)的變形培養(yǎng)了學(xué)生靈活處理問(wèn)題的能力．對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．重要不等式靈活變形的使用不僅加深了對(duì)推理的理解，同時(shí)突破了對(duì)本節(jié)難點(diǎn)“等號(hào)成立的條件”的理解．“拓展延伸”給學(xué)生以發(fā)揮的空間，啟發(fā)學(xué)生由已知到未知的探索能力． 總之，關(guān)注基本不等式與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系是這篇案例的突出特點(diǎn)，“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式”的設(shè)計(jì)是這篇案例成功的關(guān)鍵，而“從問(wèn)題出發(fā)構(gòu)建模型，反過(guò)來(lái)，又利用建立的模型解決開(kāi)始的問(wèn)題”的設(shè)計(jì)又可以使學(xué)生領(lǐng)略到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功和勝利喜悅．

第二篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇___49_一元二次不等式

一元二次不等式

教材分析

一元二次不等式的解法是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)，同時(shí)是解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的重要方法之一．這節(jié)課通過(guò)具體例子，借助二次函數(shù)的圖像求解不等式，進(jìn)而歸納、總結(jié)出一元二次不等式，一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，得到利用二次函數(shù)圖像求解一元二次不等式的方法．最后，說(shuō)明一元二次不等式可以轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，由此又引出了簡(jiǎn)單分式不等式的解法．這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是一元二次不等式的解法，難點(diǎn)是弄清一元二次不等式、一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系．

教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程．

2.通過(guò)函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，熟練掌握應(yīng)用二次函數(shù)圖像解一元二次不等式的方法．

3.通過(guò)一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組的解法，讓學(xué)生體會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力．

任務(wù)分析

這節(jié)課的主要任務(wù)是應(yīng)用二次函數(shù)的圖像解一元二次不等式．首先通過(guò)實(shí)例抽象出一元二次不等式模型，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的一元二次不等式，從而得出本節(jié)的主要任務(wù)．然后通過(guò)解決一些具體的一元二次不等式，讓學(xué)生體會(huì)和總結(jié)出借助二次函數(shù)的圖像解一元二次不等式的方法．最后抽象和概括出一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系．學(xué)習(xí)方法是講練結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生從具體到一般地總結(jié)出一元二次不等式的圖像解法．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情境 1.出示問(wèn)題

（1）某產(chǎn)品的總成本ｃ（萬(wàn)元）與產(chǎn)量ｘ（臺(tái)）之間滿足關(guān)系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ，若每臺(tái)產(chǎn)品售價(jià)25萬(wàn)元，試求生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量ｘ．

引導(dǎo)學(xué)生建立一元二次不等式模型： 由題意，得銷(xiāo)售收入為25ｘ（萬(wàn)元），要使生產(chǎn)者不虧本，必須使

3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0．

（2）國(guó)家為了加強(qiáng)對(duì)某特種商品生產(chǎn)的宏觀管理，實(shí)行征收附加稅政策．現(xiàn)知每件產(chǎn)品70元，不加收附加稅時(shí)，每年大約產(chǎn)銷(xiāo)100萬(wàn)件，若政府征收附加稅，每銷(xiāo)售100元要征稅R元（即稅率為R％），則每年的產(chǎn)銷(xiāo)量要減少10R萬(wàn)件．要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取的附加稅稅金不少于112萬(wàn)元，問(wèn)R應(yīng)怎樣確定．

2.引導(dǎo)學(xué)生建立一元二次不等式模型

設(shè)產(chǎn)銷(xiāo)量為每年x（萬(wàn)件），則銷(xiāo)售收入為每年70x（萬(wàn)元），從中征收的稅金為70x·R％（萬(wàn)元），并且ｘ＝100－10R．

由題意，知70（100－10R）·R％≥112，即R2－10R＋16≤0．

如何求解以上兩個(gè)一元二次不等式呢？

二、建立模型

1.對(duì)于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函數(shù)的圖像來(lái)解決

設(shè)二次函數(shù)f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，拋物線開(kāi)口向上，與ｘ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相應(yīng)二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此時(shí)ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如圖，所謂解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相當(dāng)于求使函數(shù)f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考慮圖像在ｘ軸及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相應(yīng)的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．結(jié)合實(shí)際，可知生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量為150臺(tái)．

運(yùn)用完全類(lèi)似的方法，可以求解不等式R2－10R＋16≤0的解集為｛R｜2≤R≤8｝． 2.教師明晰

設(shè)ａ＞0，解一元二次不等式ａx2＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0），首先，設(shè)ｆ（ｘ）＝ａs2＋ｂｘ＋ｃ．（1）計(jì)算Δ＝ｂ2－4ａｃ，判斷拋物線ｙ＝ｆ（ｘ）與ｘ軸交點(diǎn)的情況．

（2）若Δ≥０，解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0，得兩根為ｘ1，ｘ2，（ｘ1≤ｘ2）．（3）結(jié)合（1）（2）畫(huà)出ｙ＝ｆ（ｘ）的圖像．

（4）解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞0，就相當(dāng)于使ｆ（ｘ）＞0．考慮圖像在ｘ軸上方的部分，即ｆ（ｘ）＞0，相應(yīng)的ｘ的集合就是ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集．

解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＜0，就相當(dāng)于使ｆ（ｘ）＜0．考慮圖像在ｘ軸下方的部分，即ｆ（ｘ）＜0，相應(yīng)的ｘ的集合就是ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜0的解集．

根據(jù)上述內(nèi)容，結(jié)合圖像寫(xiě)出不等式的解集．

思考：對(duì)于一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)ａ，如果ａ＜0，上述結(jié)論如何？

三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例 題］

1.解不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0．

解：∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，方程2ｘ2－3ｘ－2＝0的兩根為ｘ1＝－，ｘ2＝2，∴不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0的解集為｛ｘ｜ｘ＜－2.解不等式－ｘ2＋2ｘ－3≥0．

或ｘ＞2｝．

3.已知不等式ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ＞0的解集為R，求ｍ的取值范圍． 解：（1）當(dāng)ｍ＝0時(shí)，原不等式可化為2ｘ＞0，解集不是R．（2）當(dāng)ｍ＜0時(shí)，拋物線ｙ＝ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ開(kāi)口向下，解集也不是R．

（3）當(dāng)ｍ＞0時(shí)，須滿足

［練習(xí)］ 1.解下列不等式．

（1）－3ｘ2＋6ｘ＞2．

（2）4ｘ2－4ｘ－1＞0．（3）ｘ2－3ｘ＋5＞0．

（4）－6ｘ2－ｘ＋2≤0．

4.以每秒ａ（ｍ）的速度從地面垂直向上發(fā)射子彈，t（ｓ）后，子彈上升的高度ｘ可由ｘ＝ａｂ－4.9ｔ2確定．已知發(fā)射后5ｓ，子彈上升的高度為245ｍ，問(wèn)：子彈保持在245ｍ以上高度有多少秒？

四、拓展延伸

一元二次不等式（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＞0（＜0）也可以根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則求解，如解不等式（ｘ＋4）（ｘ－１）＜0．

注意到不等式左邊是兩個(gè)ｘ的一次式的積，右邊是0，那么它可以根據(jù)積的符號(hào)法則化為一次不等式組：

點(diǎn) 評(píng)

這篇案例設(shè)計(jì)完整，思想清晰．案例首先從實(shí)際問(wèn)題情境引入，關(guān)注不等式從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的抽象過(guò)程，進(jìn)而利用從已有知識(shí)，即二次方程的根的情況及一元二次函數(shù)的圖像與一元二次不等式的解的關(guān)系歸納出一般結(jié)論，體現(xiàn)了用數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題的思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生的類(lèi)比推理能力．例、習(xí)題的變形培養(yǎng)了學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)，處理問(wèn)題的能力，既鞏固了所學(xué)新知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生靈活解題的能力．“拓展延伸”開(kāi)發(fā)了學(xué)生的內(nèi)在潛力，培養(yǎng)了學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化意識(shí)，為將來(lái)處理較復(fù)雜問(wèn)題提供了行之有效的方法．

第三篇：第二部分高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例

第二部分 高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例

正弦函數(shù)的性質(zhì)

教材分析

這篇案例的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握正弦函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、歸納和總結(jié)，得出正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，即正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．教學(xué)重點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖像特征及五個(gè)重要性質(zhì)，難點(diǎn)是周期函數(shù)及最小正周期的意義．由于周期函數(shù)的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應(yīng)注意通過(guò)具體實(shí)例讓學(xué)生充分體會(huì)這種“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會(huì)新概念的形成過(guò)程．

教學(xué)目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，分析y＝sinx的圖像，進(jìn)而歸納、總結(jié)出正弦函數(shù)的圖像特征，并抽象出函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖像的能力和數(shù)形結(jié)合的能力．

2.理解和掌握正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，能夠解決與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間等簡(jiǎn)單問(wèn)題．

3.使學(xué)生進(jìn)一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會(huì)分析、探索、化歸、類(lèi)比的科學(xué)研究方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用．

4.使學(xué)生初步體會(huì)事物周期變化的一些奧秘，進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)圖像特征的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言把圖像特征進(jìn)一步“量化”，從而得出正弦函數(shù)的五個(gè)性質(zhì)．一般來(lái)說(shuō)，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數(shù)的定義域、值域、最值、符號(hào)、周期性、奇偶性、單調(diào)性等，但對(duì)于周期性及單調(diào)區(qū)間的表述，學(xué)生可能會(huì)有一定的困難．因此，在引入周期函數(shù)的定義之前，要讓學(xué)生充分觀察圖像，必要時(shí)可把物理中的彈簧振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)再做一做，讓學(xué)生體會(huì)“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會(huì)概念的形成過(guò)程．

此外，對(duì)于周期函數(shù)，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)： 1.x應(yīng)是“定義域內(nèi)的每一個(gè)值”．

2.對(duì)于某些周期函數(shù)，在它所有的周期中，不一定存在一個(gè)最小的正周期，即某些周期函數(shù)沒(méi)有最小正周期． 3.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情境

1.教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)

我們學(xué)習(xí)過(guò)正弦函數(shù)圖像的畫(huà)法，并通過(guò)觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)怎樣的性質(zhì)呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導(dǎo)學(xué)生探索正弦函數(shù)的性質(zhì)：

注：由此學(xué)生得出正弦函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）定義域?yàn)镽．

（2）值域?yàn)椋郏?，1］，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最大值1，（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最小值－1．

注：在此處，教師應(yīng)提醒學(xué)生注意前面的“2kπ”，使學(xué)生初步感受一下正弦函數(shù)的“周而復(fù)始”性．

2.教師進(jìn)一步提出問(wèn)題

從正弦曲線我們注意到，函數(shù)y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時(shí)的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

（設(shè)計(jì)目的：引導(dǎo)學(xué)生從物理中彈簧的振動(dòng)，即小球在平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，體會(huì)事物的“周期性”變化）

（2）數(shù)學(xué)中的這種周期性變化能否用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來(lái)體現(xiàn)？

二、建立模型 1.引導(dǎo)學(xué)生探究

2.教師明晰

通過(guò)學(xué)生的討論，歸納出周期函數(shù)的定義：

一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)Ｔ叫作這個(gè)函數(shù)的周期．

說(shuō)明：若學(xué)生歸納和總結(jié)出周期函數(shù)的如下定義，也應(yīng)給以充分的肯定．

如果某函數(shù)對(duì)于自變量的一切值每增加或減少一個(gè)定值，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，那么這個(gè)函數(shù)就叫作周期函數(shù)．

給出最小正周期的概念：對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作它的最小正周期．教科書(shū)中今后涉及的周期，如果不加特殊說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

3.深化定義的內(nèi)涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說(shuō)是正弦函數(shù)（2）函數(shù)f（x）＝c是周期函數(shù)嗎？它有沒(méi)有最小正周期？ 3.歸納正弦函數(shù)的性質(zhì)

通過(guò)觀察圖像，我們得到了正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性等性質(zhì)，除此之外，正弦函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下兩條性質(zhì)：

奇偶性：由誘導(dǎo)公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． 單調(diào)性：觀察正弦曲線可以看出，當(dāng)x由－由－1增大到1；當(dāng)x由

增大到

增大到時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值

時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［小到－1．

三、解釋?xiě)?yīng)用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數(shù)取得最大值和最小值的x的集合，并說(shuō)出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當(dāng)2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x取得最

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x大值，最大值是1；當(dāng)2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝sinx＋2同時(shí)取得最大值和最小值．因此，當(dāng)x＝2kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當(dāng)a＞0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當(dāng)a＜0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設(shè)t＝sinx，則y＝二次函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題了．，且t∈［－1，1］，于是問(wèn)題就變成求閉區(qū)間上當(dāng)t＝1，即sinx＝1時(shí)，ymax＝1，取最大值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當(dāng)t＝－1，即sinx＝－1時(shí)，ymin＝－9，取最小值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習(xí)］

求下列函數(shù)的最值，以及使函數(shù)取得值時(shí)的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數(shù)的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數(shù)y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數(shù)2T的最小值是2π，∴當(dāng)2T＝2π時(shí)，T＝π． 因此，函數(shù)y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數(shù)y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發(fā)，誘導(dǎo)學(xué)生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發(fā)現(xiàn)？（這類(lèi)函數(shù)的周期好像只與x的系數(shù)有關(guān)）

（2）一般地，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數(shù)ωT，最小值是2π，∴當(dāng)ωT＝2π時(shí)，T＝.因此，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習(xí)］ 求下列函數(shù)的周期．

4.進(jìn)一步強(qiáng)化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數(shù)T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數(shù)的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下面是該港口的水深表： 表35-1

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的觀察，描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)y＝Asinωt＋B的表達(dá)式．

（2）一般情況下，船舶航行時(shí)船底同海底的距離不少于4.5m時(shí)是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間（忽略離港用的時(shí)間）？

第四篇：新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例

新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例

李代友

直線與平面平行的性質(zhì)

1.教學(xué)目的

(1)通過(guò)教師的適當(dāng)引導(dǎo)和學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，使學(xué)生由直觀感知、獲得猜想，經(jīng)過(guò)邏輯論證，推導(dǎo)出直線與平面平行的性質(zhì)定理，并掌握這一定理；

(2)通過(guò)直線與平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)定理的現(xiàn)實(shí)意義與重要性；

(3)通過(guò)命題的證明，讓學(xué)生體會(huì)解決立體幾何問(wèn)題的重要思想方法——化歸思想，培養(yǎng)、提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力。2.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：直線與平面平行的性質(zhì)定理；

難點(diǎn)：直線與平面平行性質(zhì)定理的探索及P61例3。(人教版)3.教學(xué)基本流程

復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)并由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題引入課題

引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的性質(zhì)定理 分析定理，深化定理的理解 直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 學(xué)生練習(xí)，反饋學(xué)習(xí)效果 小結(jié)與作業(yè)4.教學(xué)過(guò)程

教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖【復(fù)習(xí)】以提問(wèn)的形式引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)的知識(shí)：線線、線面的位置關(guān)系及判定線面平行的方法。思考并回答問(wèn)題。溫故知新，為新課的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。【引入】(1)提出例3給出的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生稍作思考；

(2)點(diǎn)明該問(wèn)題解決的關(guān)鍵是由條件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面畫(huà)線，使得工人師傅按照畫(huà)線加工出滿足要求的工件；

(3)引入課題——在我們學(xué)習(xí)了《直線與平面平行的性質(zhì)》這一節(jié)課之后，我們就知道如何解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題了。思考問(wèn)題，進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)。通過(guò)實(shí)際例子，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，突出學(xué)習(xí)直線和平面平行性質(zhì)的現(xiàn)實(shí)意義?！驹O(shè)問(wèn)】

(1)提出本節(jié)《思考》的問(wèn)題(1)：如果一條直線與平面平行，那么這條直線是否與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行? 1 引導(dǎo)學(xué)生做小實(shí)驗(yàn)：利用筆和桌面做實(shí)驗(yàn)，把一支筆放置到與桌面所在平面平行的位置上，把另一支筆放置在桌面，筆所在的直線代表桌面所在平面上的一條直線，移動(dòng)桌面上的筆到不同的位置，觀察兩筆所在直線的位置關(guān)系。

(2)一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線有哪些位置關(guān)系? 分析：a∥αa與α無(wú)公共點(diǎn) a與α內(nèi)的任何直線都無(wú)公共點(diǎn) a與α內(nèi)的直線是異面直線或平行直線。

(1)學(xué)生動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，并觀察得出問(wèn)題的結(jié)論：與平面平行的直線并不與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行。(2)學(xué)生由實(shí)驗(yàn)結(jié)果猜想問(wèn)題的答案，再由教師的引導(dǎo)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治?，確定猜想的正確性。通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，得出問(wèn)題的結(jié)論，提高學(xué)生的探索問(wèn)題的熱情。續(xù)表

教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖【探究】一條直線與一個(gè)平面平行，在什么條件下，平面內(nèi)的直線與這條直線平行? 講述：與平面平行的直線，和平面內(nèi)的直線或是異面直線或是平行直線，它們有一個(gè)區(qū)別是異面直線不共面，而平行直線共面，那么如何利用這個(gè)不同點(diǎn)，尋找這些平行直線呢? 長(zhǎng)方體ABCD-AB(yǎng)CD中，AC平行于面ABCD，請(qǐng)?jiān)诿鍭BCD內(nèi)找出一條直線與AC平行。分析：AC與AC這兩條平行直線共面，同在面AACC內(nèi)，可見(jiàn)AC是過(guò)AC的平面AACC與面ABCD的交線。

(2)在面ABCD內(nèi)，除了AC還有直線與AC平行嗎?如果有，可以通過(guò)什么方法找到? 利用課件演示AC任意作一平面AEFC與面ABCD相交于線EF，驗(yàn)證學(xué)生的猜想。

分析：因?yàn)锳C∥面ABCD，所以AC與這個(gè)面內(nèi)的直線EF沒(méi)有公共點(diǎn)，由大家的這個(gè)方法做出直線EF，就使得EF與AC共面，故EF∥AC。學(xué)生隨著教師的引導(dǎo)，思考問(wèn)題，回答問(wèn)題。(1)根據(jù)長(zhǎng)方體的知識(shí)，學(xué)生能夠找到直線AC與AC平行。隨教師的引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)AC的特殊位置關(guān)系。(2)由上面特殊例子的啟發(fā)，學(xué)生逐漸形成對(duì)問(wèn)題答案的猜想，隨教師的引導(dǎo)，證明猜想的正確性。以長(zhǎng)方體為載體，引導(dǎo)學(xué)生猜想問(wèn)題成立的條件，推導(dǎo)出定理。續(xù)表教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖【剖析定理】(1)證明定理；(2)分析定理成立的條件和結(jié)論；(3)指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本60頁(yè)倒數(shù)第一段的內(nèi)容。要求學(xué)生認(rèn)真聽(tīng)教師的分析，看定理的證明過(guò)程，閱讀和理解課本60頁(yè)倒數(shù)第一段的內(nèi)容。深化學(xué)生對(duì)定理的理解，明確該定理給出了一種作平行線的重要方法?！眷柟叹毩?xí)】

一、提出本節(jié)開(kāi)始提出的問(wèn)題(2)，讓學(xué)生自由發(fā)言。(不局限只有引平行線的方法)

二、判斷題

(1)如果a、b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面。(2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行。

(3)如果直線a、b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b。學(xué)生自由舉手發(fā)言，說(shuō)明理由。通過(guò)練習(xí)再次深化對(duì)定理的理解?！局v解例題】例

3、例4要求學(xué)生跟隨教師的分析引導(dǎo)，自己思考和解決問(wèn)題。讓學(xué)生體會(huì)定理的現(xiàn)實(shí)意義與重要性及解決立體幾何問(wèn)題的重要思想方法——化歸思想【課堂練習(xí)】 已知：α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF, 求證：CD∥EF

選取幾份有代表性的做法，利用投影儀，講評(píng)練習(xí)，反饋學(xué)習(xí)效果。及時(shí)解決學(xué)生學(xué)習(xí)上存在的問(wèn)題【小結(jié)】(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理；(2)直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用。

【作業(yè)】習(xí)題22A組第5、6題總結(jié)歸納學(xué)習(xí)內(nèi)容，安排適當(dāng)?shù)恼n后練習(xí)

第五篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇__44_數(shù)列

數(shù)列

教材分析

這節(jié)課主要研究數(shù)列的有關(guān)概念，并運(yùn)用概念去解決有關(guān)問(wèn)題，其中，對(duì)數(shù)列概念的理解及應(yīng)用，既是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式等有關(guān)概念，會(huì)根據(jù)一個(gè)數(shù)列的有限項(xiàng)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．

2.了解遞推數(shù)列，并會(huì)由遞推公式寫(xiě)出此數(shù)列的若干項(xiàng)． 3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納和猜想的能力．

任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以往很少涉及，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，既新又抽象，所以，須要依靠實(shí)例進(jìn)行教學(xué)．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)在函數(shù)定義的基礎(chǔ)上加以理解．由若干項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是難點(diǎn)，但這又是鍛煉學(xué)生的歸納、猜想能力的極好機(jī)會(huì)，應(yīng)大膽讓學(xué)生親自歸納和猜想．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，他們?cè)谏碁┥袭?huà)點(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)．比如，他們研究過(guò)1，3，6，10，…由于這些數(shù)都能夠表示成三角形（如圖44-1），他們就將其稱(chēng)為三角形數(shù)．類(lèi)似地，1，4，9，16，…能夠表示成正方形（如圖44-2），他們就將其稱(chēng)為正方形數(shù)．

二、建立模型

1.引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析數(shù)列的順序要求，設(shè)法用自己的語(yǔ)言描述出數(shù)列的定義及有窮數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列、遞增數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列等有關(guān)概念像1，4，9，16，…等按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)，就叫作數(shù)列．

［練習(xí)］

下面的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列？（1）全體自然數(shù)構(gòu)成數(shù)列

0，1，2，3，…

（2）1996～2002年某市普通高中生人數(shù)（單位：萬(wàn)人）構(gòu)成數(shù)列

82，93，105，119，129，130，132．

（3）無(wú)窮多個(gè)3構(gòu)成數(shù)列

3，3，3，3，…

（4）目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列（單位：元）

100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．

（5）－1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，……構(gòu)成數(shù)列

－1，1，－1，1，…

（6）的精確到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值與過(guò)剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列

1，1.4，1.41，1.414，… 2，1.5，1.42，1.415，…

2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)例、項(xiàng)和第n項(xiàng)等概念發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

如：數(shù)列1，2，0，－1，3，8，…，第1項(xiàng)是1，第4項(xiàng)是－1，……由此可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，當(dāng)確定了項(xiàng)的位置后，這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)也隨之唯一確定．一般地，數(shù)列可以看作定義域?yàn)椋危ɑ蚱渥蛹┑暮瘮?shù)當(dāng)自變量依次為1，2，3，…時(shí)的一系列函數(shù)值．

［問(wèn) 題］ 數(shù)列既然可以看作一列函數(shù)值，那么“這個(gè)函數(shù)”可以如何表示？一定有解析式嗎？你能舉出一些有解析式的例子嗎？根據(jù)學(xué)生的討論，探究，得出：數(shù)列可以用列表、圖像和函數(shù)解析式來(lái)表示，從而，解析式即為數(shù)列的通項(xiàng)公式．

三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例 題］

1.寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)．

（1）1，－，－．

（2）2，0，2，0．

解：（1）.（2）可以寫(xiě)成n-

1也可以寫(xiě)成an＝1＋（－1），（其中n＝1，2，…）．

注：對(duì)于（2），可以引導(dǎo)學(xué)生得到不同的結(jié)論，從而發(fā)現(xiàn)，根據(jù)數(shù)列的前若干項(xiàng)寫(xiě)出的通項(xiàng)公式不一定唯一．

2.下圖中的三角形稱(chēng)為希爾賓斯基三角形．在下圖4個(gè)三角形中，黑色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出它的圖像．

解：如圖44-3，這4個(gè)三角形中的黑色三角形的個(gè)數(shù)依次為1，3，9，27，則所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪，并且指數(shù)為序號(hào)減1．所以，這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝3n-1．

在直角坐標(biāo)系中的圖像見(jiàn)下圖：

3.設(shè)數(shù)列滿足試寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)． 解：∵a1＝1，注：像這樣給出數(shù)列的方法叫逆推法． ［練習(xí)］

1.數(shù)列的前5項(xiàng)分別是以下各數(shù)，試分別寫(xiě)出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．

2.已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，an＝

－1（n＞1），試寫(xiě)出它的前5項(xiàng)． 3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n2－10n＋10，那么這個(gè)數(shù)列從第n項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值是否逐漸增大？從第n項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值是否均為正數(shù)？

四、拓展延伸

教師引導(dǎo)學(xué)生分析思考下面的兩個(gè)問(wèn)題（可以在課堂上或課后完成）：

1.已知數(shù)列｛an｝滿足，問(wèn)：此數(shù)列有無(wú)最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？

2.通常用Sn表示數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an．已知｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝n2－3n＋2，試求｛an｝的通項(xiàng)公式．一般地，如何用Sn表示an呢？

點(diǎn) 評(píng)

這篇案例通過(guò)實(shí)例闡述了數(shù)列的有關(guān)概念，注意揭示了知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，比較好地調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與探索的積極性和主動(dòng)性．問(wèn)題情景設(shè)計(jì)新穎，合理；問(wèn)題提出得準(zhǔn)確，恰當(dāng)；總體設(shè)計(jì)完整，清晰．另外，該案例還關(guān)注了學(xué)生科學(xué)地提出和解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng)． 美中不足的是，自“問(wèn)題情景”到“建立模型”兩個(gè)環(huán)節(jié)的“交接處”顯得有些跳躍，步驟有些過(guò)簡(jiǎn)．