第一篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例50篇__5_充分條件與必要條件

充分條件與必要條件

教材分析

充分條件與必要條件是簡易邏輯的重要內(nèi)容．學習數(shù)學需要全面地理解概念，正確地進行表述、判斷和推理，這就離不開對充分條件與必要條件的掌握和運用，而且它們也是認識問題、研究問題的工具．這節(jié)內(nèi)容在“四種命題”的基礎上，通過若干實例，總結出了充分條件、必要條件和充要條件的概念，給出了判斷充分條件、必要條件的方法和步驟．教學的重點與難點是關于充要條件的判斷．

教學目標

1.結合實例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義． 2.理解充要條件，掌握判斷充要條件的方法和步驟．

3.通過充要條件的學習，培養(yǎng)學生對數(shù)學的理解能力和邏輯推理能力，逐步提高學生分析問題、解決問題的能力．

任務分析

這節(jié)內(nèi)容是學生在學習了“四種命題”、會判斷一個命題的真假的基礎上，主要根據(jù)“pq”給出了充分條件、必要條件及充要條件．雖然從實例引入，但是學生對充分條件、必要條件的理解，特別是對必要條件的理解有一定困難．對于本節(jié)內(nèi)容的學習，首先要分清誰是條件，誰是結論，其次要進行兩次推理或判斷．

（1）若“條件（2）若“條件結論”，則條件是結論的充分條件，或稱結論是條件的必要條件． 結論”，則條件是結論的不充分條件，或稱結論是條件的不必要條件．

教學設計

一、問題情境 ［提出問題］

1.寫出命題“若x＞0，則x2＞0”的逆命題、否命題和逆否命題，并分別判斷原命題、逆命題、否命題、逆否命題的真假．

原命題：若x＞0，則x2＞0．真命題． 逆命題：若x2＞0，則x＞0．假命題． 否命題：若x≤0，則x2≤0．假命題． 逆否命題：若x2≤0，則x≤0．真命題．

2.“若p則q”形式的命題，其中有的命題為真，有的命題為假． “若p則q”為真，即如果p成立，那么q一定成立，記作p

q或q

p．

q． “若p則q”為假，即如果p成立，那么q不一定成立，即由p推不出q，記作p［進一步的問題］

“若x＞0，則x2＞0”，為真，可記作“p（1）x＞0是x2＞0的什么條件？（2）x2＞0是x＞0的什么條件？

二、建立模型

1.學生分析討論，教師點拔（1）x＞0x2＞０，x＞0是x2＞0的什么條件？

q”．

在這個問題中，“x＞0”是“條件”，“x2＞0”是“結論”；已知x＞0x2＞0表示若“條件”成立，則“結論”一定成立，說明“條件”蘊涵“結論”，說明“條件”是“結論”的充分條件．

（2）x2＞0x＞0，x2＞0是x＞0的什么條件？

在這個問題中，“x2＞0”是“條件”，“x＞0”是“結論”；已知x＞0x2＞0表示若“結論”成立，則“條件”一定成立，說明“結論”蘊涵“條件”，即若“條件”成立，則“結論”不一定成立，說明“結論”是“條件”的必要條件．

2.師生共同參與，給出充分條件、必要條件的定義 如果已知p3.充要條件

問題：記p：三角形的三條邊相等，q：三角形的三個角相等．問：p是q的什么條件？ 解：（1）p（2）qq，即p是q的充分條件． q，那么，p是q的充分條件，q是p的必要條件．

p，即p是q的必要條件．

綜合（1）（2），我們就說p是q的充要條件． 如果pq，且qp，記作pq，這時，p既是q的充分條件，又是q的必要條件，那么就說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．

4.提出問題，組織學生討論 如何判斷充要條件？

（1）分清誰是條件p，誰是結論q．（2）進行兩次推理或判斷，即判斷p（3）根據(jù)（2）寫出結論．

三、解釋應用 ［例 題］

1.指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件．（1）p：x＞0；q：x2＞0．

（p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件）（2）p：x＝y(tǒng)；q：x2＝y(tǒng)2．

（p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件）（3）p：兩三角形面積相等；q：兩三角形全等．（p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件）（4）p：兩直線平行；q：內(nèi)錯角相等．（p是q的充要條件，q是p的充要條件）（5）p：x＝y(tǒng)；q：x2＋y2＝1．

（p是q的既不充分又不必要條件，q是p的既不充分又不必要條件）2.指出下列各組命題中，p是q的什么條件．（1）p：（x－2）（x－3）＝0；q：x＝3．（2）p：四邊形對角線相等；q：四邊形是矩形．（3）p：a≠0；q：a·b≠0．

q是否成立，q

p是否成立．（4）p：a＋5是無理數(shù)；q：a是無理數(shù)．（5）p：x≤5；q：x≤3． ［練習］

1.下列各組命題中的p是q的什么條件？（1）p：x2＋y2＝0，q：x·y＝0．

（2）p：m＞0；q：x2＋x－m＝0有實數(shù)根．（3）p：a＞b；q：a2＞b2．

（4）p：x2＝3x＋4；q：x＝（5）p：x＞-1；q：x＞1．

（6）p：a，b都是偶數(shù)；q：a＋b是偶數(shù)．

2.（1）如果原命題若p則q為真而逆命題為假，那么p是q的條件．（2）如果原命題若p則q為假而逆命題為真，那么p是q的條件．（3）如果原命題若p則q與其逆命題都為真，那么p是q的條件．（4）如果原命題若p則q與其逆命題都為假，那么p是q的條件．

四、拓展延伸

1.已知p，q都是r的必要條件，S是r的充分條件，q是S的充分條件，那么，（1）S是q的什么條件？（2）r是q的什么條件？（3）p是q的什么條件？

2.“關于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負的實根”的充要條件是什么？ 3.“3x2－10x＋k＝0有兩個同號且不相等實根”的充要條件是什么？

點 評 這篇案例注重新、舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，以舊引新，過渡自然．首先，復習已學過的知識“四種命題”和判斷命題的真假，并以此巧妙地引出了推斷符號pq，pq．其次，在此基礎上，通過實例，創(chuàng)設問題情境，引出課題p是q的什么條件．最后，明確充要條件，并給出判斷充要條件的方法和步驟．環(huán)環(huán)相扣，層層深入，重點突出，抓住了關鍵．例題與練習由淺入深，符合學生的認知規(guī)律．拓展延伸富有新意，有利于培養(yǎng)學生的探索能力和創(chuàng)新意識，有利于培養(yǎng)學生的思維能力和思維品質(zhì)，整個設計圓滿地完成了教學任務．

第二篇：新課程高中數(shù)學教學設計與案例

新課程高中數(shù)學教學設計與案例

李代友

直線與平面平行的性質(zhì)

1.教學目的

(1)通過教師的適當引導和學生的自主學習，使學生由直觀感知、獲得猜想，經(jīng)過邏輯論證，推導出直線與平面平行的性質(zhì)定理，并掌握這一定理；

(2)通過直線與平面平行的性質(zhì)定理的實際應用，讓學生體會定理的現(xiàn)實意義與重要性；

(3)通過命題的證明，讓學生體會解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想，培養(yǎng)、提高學生分析、解決問題的能力。2.教學重點和難點

重點：直線與平面平行的性質(zhì)定理；

難點：直線與平面平行性質(zhì)定理的探索及P61例3。(人教版)3.教學基本流程

復習相關知識并由現(xiàn)實問題引入課題

引導學生探索、發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的性質(zhì)定理 分析定理，深化定理的理解 直線與平面平行的性質(zhì)定理的應用 學生練習，反饋學習效果 小結與作業(yè)4.教學過程

教師活動學生活動設計意圖【復習】以提問的形式引導學生回顧相關的知識：線線、線面的位置關系及判定線面平行的方法。思考并回答問題。溫故知新，為新課的學習做準備。【引入】(1)提出例3給出的實際問題，讓學生稍作思考；

(2)點明該問題解決的關鍵是由條件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面畫線，使得工人師傅按照畫線加工出滿足要求的工件；

(3)引入課題——在我們學習了《直線與平面平行的性質(zhì)》這一節(jié)課之后，我們就知道如何解決這個實際問題了。思考問題，進入新課的學習。通過實際例子，引發(fā)學生的學習興趣，突出學習直線和平面平行性質(zhì)的現(xiàn)實意義?！驹O問】

(1)提出本節(jié)《思考》的問題(1)：如果一條直線與平面平行，那么這條直線是否與這個平面內(nèi)的所有直線都平行? 1 引導學生做小實驗：利用筆和桌面做實驗，把一支筆放置到與桌面所在平面平行的位置上，把另一支筆放置在桌面，筆所在的直線代表桌面所在平面上的一條直線，移動桌面上的筆到不同的位置，觀察兩筆所在直線的位置關系。

(2)一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線有哪些位置關系? 分析：a∥αa與α無公共點 a與α內(nèi)的任何直線都無公共點 a與α內(nèi)的直線是異面直線或平行直線。

(1)學生動手做實驗，并觀察得出問題的結論：與平面平行的直線并不與這個平面內(nèi)的所有直線都平行。(2)學生由實驗結果猜想問題的答案，再由教師的引導進行嚴謹?shù)姆治?，確定猜想的正確性。通過學生的動手實驗，得出問題的結論，提高學生的探索問題的熱情。續(xù)表

教師活動學生活動設計意圖【探究】一條直線與一個平面平行，在什么條件下，平面內(nèi)的直線與這條直線平行? 講述：與平面平行的直線，和平面內(nèi)的直線或是異面直線或是平行直線，它們有一個區(qū)別是異面直線不共面，而平行直線共面，那么如何利用這個不同點，尋找這些平行直線呢? 長方體ABCD-AB(yǎng)CD中，AC平行于面ABCD，請在面ABCD內(nèi)找出一條直線與AC平行。分析：AC與AC這兩條平行直線共面，同在面AACC內(nèi)，可見AC是過AC的平面AACC與面ABCD的交線。

(2)在面ABCD內(nèi)，除了AC還有直線與AC平行嗎?如果有，可以通過什么方法找到? 利用課件演示AC任意作一平面AEFC與面ABCD相交于線EF，驗證學生的猜想。

分析：因為AC∥面ABCD，所以AC與這個面內(nèi)的直線EF沒有公共點，由大家的這個方法做出直線EF，就使得EF與AC共面，故EF∥AC。學生隨著教師的引導，思考問題，回答問題。(1)根據(jù)長方體的知識，學生能夠找到直線AC與AC平行。隨教師的引導，發(fā)現(xiàn)AC的特殊位置關系。(2)由上面特殊例子的啟發(fā)，學生逐漸形成對問題答案的猜想，隨教師的引導，證明猜想的正確性。以長方體為載體，引導學生猜想問題成立的條件，推導出定理。續(xù)表教師活動學生活動設計意圖【剖析定理】(1)證明定理；(2)分析定理成立的條件和結論；(3)指導學生閱讀課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。要求學生認真聽教師的分析，看定理的證明過程，閱讀和理解課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。深化學生對定理的理解，明確該定理給出了一種作平行線的重要方法?！眷柟叹毩暋?/p>

一、提出本節(jié)開始提出的問題(2)，讓學生自由發(fā)言。(不局限只有引平行線的方法)

二、判斷題

(1)如果a、b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面。(2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行。

(3)如果直線a、b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b。學生自由舉手發(fā)言，說明理由。通過練習再次深化對定理的理解?！局v解例題】例

3、例4要求學生跟隨教師的分析引導，自己思考和解決問題。讓學生體會定理的現(xiàn)實意義與重要性及解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想【課堂練習】 已知：α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF, 求證：CD∥EF

選取幾份有代表性的做法，利用投影儀，講評練習，反饋學習效果。及時解決學生學習上存在的問題【小結】(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理；(2)直線與平面平行性質(zhì)定理的應用。

【作業(yè)】習題22A組第5、6題總結歸納學習內(nèi)容，安排適當?shù)恼n后練習

第三篇：第二部分高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例

第二部分 高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例

正弦函數(shù)的性質(zhì)

教材分析

這篇案例的內(nèi)容是在學生已經(jīng)掌握正弦函數(shù)圖像的基礎上，通過觀察、歸納和總結，得出正弦函數(shù)的五個重要性質(zhì)，即正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．教學重點是正弦函數(shù)的圖像特征及五個重要性質(zhì)，難點是周期函數(shù)及最小正周期的意義．由于周期函數(shù)的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應注意通過具體實例讓學生充分體會這種“周而復始”的現(xiàn)象，體會新概念的形成過程．

教學目標

1.引導學生通過觀察，分析y＝sinx的圖像，進而歸納、總結出正弦函數(shù)的圖像特征，并抽象出函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學生觀察、分析圖像的能力和數(shù)形結合的能力．

2.理解和掌握正弦函數(shù)的五個重要性質(zhì)，能夠解決與正弦函數(shù)有關的函數(shù)的值域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間等簡單問題．

3.使學生進一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會分析、探索、化歸、類比的科學研究方法在解決數(shù)學問題中的應用．

4.使學生初步體會事物周期變化的一些奧秘，進一步提高學生對數(shù)學的學習興趣．

任務分析

這節(jié)內(nèi)容是在學生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)圖像特征的基礎上，運用數(shù)學的符號語言把圖像特征進一步“量化”，從而得出正弦函數(shù)的五個性質(zhì)．一般來說，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數(shù)的定義域、值域、最值、符號、周期性、奇偶性、單調(diào)性等，但對于周期性及單調(diào)區(qū)間的表述，學生可能會有一定的困難．因此，在引入周期函數(shù)的定義之前，要讓學生充分觀察圖像，必要時可把物理中的彈簧振動的實驗再做一做，讓學生體會“周而復始”的現(xiàn)象，體會概念的形成過程．

此外，對于周期函數(shù)，還應強調(diào)以下幾點： 1.x應是“定義域內(nèi)的每一個值”．

2.對于某些周期函數(shù)，在它所有的周期中，不一定存在一個最小的正周期，即某些周期函數(shù)沒有最小正周期． 3.對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

教學設計

一、問題情境

1.教師提出問題，引導學生總結

我們學習過正弦函數(shù)圖像的畫法，并通過觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)怎樣的性質(zhì)呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導學生探索正弦函數(shù)的性質(zhì)：

注：由此學生得出正弦函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）定義域為R．

（2）值域為［－1，1］，當且僅當x＝2kπ＋當且僅當x＝2kπ－

（k∈Z）時，正弦函數(shù)取得最大值1，（k∈Z）時，正弦函數(shù)取得最小值－1．

注：在此處，教師應提醒學生注意前面的“2kπ”，使學生初步感受一下正弦函數(shù)的“周而復始”性．

2.教師進一步提出問題

從正弦曲線我們注意到，函數(shù)y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

（設計目的：引導學生從物理中彈簧的振動，即小球在平衡位置的往復運動，體會事物的“周期性”變化）

（2）數(shù)學中的這種周期性變化能否用一個數(shù)學式子來體現(xiàn)？

二、建立模型 1.引導學生探究

2.教師明晰

通過學生的討論，歸納出周期函數(shù)的定義：

一般地，對于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)Ｔ叫作這個函數(shù)的周期．

說明：若學生歸納和總結出周期函數(shù)的如下定義，也應給以充分的肯定．

如果某函數(shù)對于自變量的一切值每增加或減少一個定值，函數(shù)值就重復出現(xiàn)，那么這個函數(shù)就叫作周期函數(shù)．

給出最小正周期的概念：對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作它的最小正周期．教科書中今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

3.深化定義的內(nèi)涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說是正弦函數(shù)（2）函數(shù)f（x）＝c是周期函數(shù)嗎？它有沒有最小正周期？ 3.歸納正弦函數(shù)的性質(zhì)

通過觀察圖像，我們得到了正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性等性質(zhì)，除此之外，正弦函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢？

教師引導學生歸納出以下兩條性質(zhì)：

奇偶性：由誘導公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱． 單調(diào)性：觀察正弦曲線可以看出，當x由－由－1增大到1；當x由

增大到

增大到時，曲線逐漸上升，sinx的值

時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［－增大到1；在每一個閉區(qū)間［小到－1．

三、解釋應用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數(shù)取得最大值和最小值的x的集合，并說出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時，函數(shù)y＝sin2x取得最

（k∈Z）時，函數(shù)y＝sin2x大值，最大值是1；當2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝sinx＋2同時取得最大值和最小值．因此，當x＝2kπ＋（k∈Z）時，函數(shù)y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當x＝2kπ－

（k∈Z）時，函數(shù)y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當a＞0時，使函數(shù)取得最大值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數(shù)取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當a＜0時，使函數(shù)取得最大值時的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數(shù)取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設t＝sinx，則y＝二次函數(shù)的最大值和最小值問題了．，且t∈［－1，1］，于是問題就變成求閉區(qū)間上當t＝1，即sinx＝1時，ymax＝1，取最大值時x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當t＝－1，即sinx＝－1時，ymin＝－9，取最小值時x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習］

求下列函數(shù)的最值，以及使函數(shù)取得值時的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數(shù)的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數(shù)y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數(shù)2T的最小值是2π，∴當2T＝2π時，T＝π． 因此，函數(shù)y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數(shù)y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發(fā)，誘導學生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發(fā)現(xiàn)？（這類函數(shù)的周期好像只與x的系數(shù)有關）

（2）一般地，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數(shù)ωT，最小值是2π，∴當ωT＝2π時，T＝.因此，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習］ 求下列函數(shù)的周期．

4.進一步強化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數(shù)T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數(shù)的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下面是該港口的水深表： 表35-1

經(jīng)過長時間的觀察，描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)y＝Asinωt＋B的表達式．

（2）一般情況下，船舶航行時船底同海底的距離不少于4.5m時是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間（忽略離港用的時間）？

第四篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例50篇__44_數(shù)列

數(shù)列

教材分析

這節(jié)課主要研究數(shù)列的有關概念，并運用概念去解決有關問題，其中，對數(shù)列概念的理解及應用，既是教學的重點，也是教學的難點．

教學目標

1.理解數(shù)列及數(shù)列的通項公式等有關概念，會根據(jù)一個數(shù)列的有限項寫出這個數(shù)列的一個通項公式．

2.了解遞推數(shù)列，并會由遞推公式寫出此數(shù)列的若干項． 3.進一步培養(yǎng)學生觀察、歸納和猜想的能力．

任務分析這節(jié)內(nèi)容以往很少涉及，對學生來說，既新又抽象，所以，須要依靠實例進行教學．數(shù)列與函數(shù)的關系應在函數(shù)定義的基礎上加以理解．由若干項寫出數(shù)列的一個通項公式是難點，但這又是鍛煉學生的歸納、猜想能力的極好機會，應大膽讓學生親自歸納和猜想．

教學設計

一、問題情景

傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)．比如，他們研究過1，3，6，10，…由于這些數(shù)都能夠表示成三角形（如圖44-1），他們就將其稱為三角形數(shù)．類似地，1，4，9，16，…能夠表示成正方形（如圖44-2），他們就將其稱為正方形數(shù)．

二、建立模型

1.引導學生觀察、分析數(shù)列的順序要求，設法用自己的語言描述出數(shù)列的定義及有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、擺動數(shù)列等有關概念像1，4，9，16，…等按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)，就叫作數(shù)列．

［練習］

下面的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列？（1）全體自然數(shù)構成數(shù)列

0，1，2，3，…

（2）1996～2002年某市普通高中生人數(shù)（單位：萬人）構成數(shù)列

82，93，105，119，129，130，132．

（3）無窮多個3構成數(shù)列

3，3，3，3，…

（4）目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構成數(shù)列（單位：元）

100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．

（5）－1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，……構成數(shù)列

－1，1，－1，1，…

（6）的精確到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值與過剩近似值分別構成數(shù)列

1，1.4，1.41，1.414，… 2，1.5，1.42，1.415，…

2.引導學生根據(jù)實例、項和第n項等概念發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關系

如：數(shù)列1，2，0，－1，3，8，…，第1項是1，第4項是－1，……由此可以發(fā)現(xiàn)，對于一個給定的數(shù)列，當確定了項的位置后，這個數(shù)列的項也隨之唯一確定．一般地，數(shù)列可以看作定義域為Ｎ（或其子集）的函數(shù)當自變量依次為1，2，3，…時的一系列函數(shù)值．

［問 題］ 數(shù)列既然可以看作一列函數(shù)值，那么“這個函數(shù)”可以如何表示？一定有解析式嗎？你能舉出一些有解析式的例子嗎？根據(jù)學生的討論，探究，得出：數(shù)列可以用列表、圖像和函數(shù)解析式來表示，從而，解析式即為數(shù)列的通項公式．

三、解釋應用 ［例 題］

1.寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)．

（1）1，－，－．

（2）2，0，2，0．

解：（1）.（2）可以寫成n-

1也可以寫成an＝1＋（－1），（其中n＝1，2，…）．

注：對于（2），可以引導學生得到不同的結論，從而發(fā)現(xiàn)，根據(jù)數(shù)列的前若干項寫出的通項公式不一定唯一．

2.下圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形．在下圖4個三角形中，黑色三角形的個數(shù)依次構成一個數(shù)列的前4項，請寫出這個數(shù)列的一個通項公式，并在直角坐標系中畫出它的圖像．

解：如圖44-3，這4個三角形中的黑色三角形的個數(shù)依次為1，3，9，27，則所求數(shù)列的前4項都是3的指數(shù)冪，并且指數(shù)為序號減1．所以，這個數(shù)列的一個通項公式是an＝3n-1．

在直角坐標系中的圖像見下圖：

3.設數(shù)列滿足試寫出這個數(shù)列的前5項． 解：∵a1＝1，注：像這樣給出數(shù)列的方法叫逆推法． ［練習］

1.數(shù)列的前5項分別是以下各數(shù)，試分別寫出各數(shù)列的一個通項公式．

2.已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，an＝

－1（n＞1），試寫出它的前5項． 3.已知數(shù)列的通項公式為an＝n2－10n＋10，那么這個數(shù)列從第n項起各項的數(shù)值是否逐漸增大？從第n項起各項的數(shù)值是否均為正數(shù)？

四、拓展延伸

教師引導學生分析思考下面的兩個問題（可以在課堂上或課后完成）：

1.已知數(shù)列｛an｝滿足，問：此數(shù)列有無最大項和最小項？

2.通常用Sn表示數(shù)列｛an｝的前n項的和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an．已知｛an｝的前n項和Sn＝n2－3n＋2，試求｛an｝的通項公式．一般地，如何用Sn表示an呢？

點 評

這篇案例通過實例闡述了數(shù)列的有關概念，注意揭示了知識發(fā)生、發(fā)展的過程，比較好地調(diào)動了學生參與探索的積極性和主動性．問題情景設計新穎，合理；問題提出得準確，恰當；總體設計完整，清晰．另外，該案例還關注了學生科學地提出和解決問題的能力的培養(yǎng)． 美中不足的是，自“問題情景”到“建立模型”兩個環(huán)節(jié)的“交接處”顯得有些跳躍，步驟有些過簡．

第五篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例50篇31-34_三角函數(shù)

角的概念的推廣

教材分析

這節(jié)課主要是把學生學習的角從不大于周角的非負角擴充到任意角，使角有正角、負角和零角．首先通過生產(chǎn)、生活的實際例子闡明了推廣角的必要性和實際意義，然后又以“動”的觀點給出了正、負、零角的概念，最后引入了幾個與之相關的概念：象限角、終邊相同的角等．在這節(jié)課中，重點是理解任意角、象限角、終邊相同的角等概念，難點是把終邊相同的角用集合和符號語言正確地表示出來．理解任意角的概念，會在平面內(nèi)建立適當?shù)淖鴺讼?，通過數(shù)形結合來認識角的幾何表示和終邊相同的角的表示，是學好這節(jié)的關鍵．

教學目標

1.通過實例，體會推廣角的必要性和實際意義，理解正角、負角和零角的定義． 2.理解象限角的概念、意義及表示方法，掌握終邊相同的角的表示方法．

3.通過對“由一點出發(fā)的兩條射線形成的圖形”到“射線繞著其端點旋轉而形成角”的認識過程，使學生感受“動”與“靜”的對立與統(tǒng)一．培養(yǎng)學生用運動變化的觀點審視事物，用對立統(tǒng)一規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關系．

教學設計

一、問題情境 ［演 示］ 1.觀覽車的運動．

2.體操運動員、跳臺跳板運動員的前、后轉體動作． 3.鐘表秒針的轉動． 4.自行車輪子的滾動． ［問 題］

1.如果觀覽車兩邊各站一人，當觀覽車轉了兩周時，他們觀察到的觀覽車上的某個座位上的游客進行了怎樣的旋轉，旋轉了多大的角？

2.在運動員“轉體一周半動作”中，運動員是按什么方向旋轉的，轉了多大角？ 3.鐘表上的秒針（當時間過了1.5min時）是按什么方向轉動的，轉動了多大角？ 4.當自行車的輪子轉了兩周時，自行車輪子上的某一點，轉了多大角？

顯然，這些角超出了我們已有的認識范圍．本節(jié)課將在已掌握的0°～360°角的范圍的基礎上，把角的概念加以推廣，為進一步研究三角函數(shù)作好準備．

二、建立模型

1.正角、負角、零角的概念

在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點旋轉有兩個方向：順時針方向和逆時針方向．習慣上規(guī)定，按逆時針旋轉而成的角叫作正角；按順時針方向旋轉而成的角叫作負角；當射線沒有旋轉時，我們也把它看成一個角，叫作零角．

2.象限角

當角的頂點與坐標原點重合、角的始邊與ｘ軸正半軸重合時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫作第幾象限的角．如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限．

3.終邊相同的角

在坐標系中作出390°，－330°角的終邊，不難發(fā)現(xiàn)，它們都與30°角的終邊相同，并且這兩個角都可以表示成0°～360°角與k個（k∈Z）周角的和，即

390°＝30°＋360°，（k＝1）； －330°＝30°－360°，（k＝－1）．

設S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，則390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此時k＝0）．容易看出，所有與30°角終邊相同的角，連同30°角在內(nèi)，都是S中的元素；反過來，集合S中的任一元素均與30°角終邊相同．一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構成一個集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一與α終邊相同的角，都可以表求成角α與整數(shù)個周角的和．

三、解釋應用 ［例 題］

1.在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角．（1）－150°．

（2）650°．

（3）－950°5′．

2.分別寫出與下列角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素寫出來．

（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′． 3.寫出終邊在y軸上的角的集合．

解：在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在ｙ軸上的角有兩個，即90°，270°．因此，與這兩個角終邊相同的角構成的集合為

S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有與270°角終邊相同的角構成的集合為

S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝ ｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝． 于是，終邊在y軸上的角的集合為

S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．

注：會正確使用集合的表示方法和符號語言． ［練習］

1.寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來．

（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°． 2.辨析概念．（分別用集合表示出來）

（1）第一象限角．（2）銳角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角． 3.一角為30°，其終邊按逆時針方向旋轉三周后的角度數(shù)為．

4.終邊在x軸上的角的集合為；終邊在第一、三象限的角的平分線上的角集合為．

四、拓展延伸

1.若角α與β終邊重合，則α與β的關系是；若角α與β的終邊互為反向延長線，則角α與β的關系是．

2.如果α在第二象限時，那么2α，是第幾象限角？

注：（1）不能忽略2α的終邊可能在坐標軸上的情況．

（2）研究在哪個象限的方法：討論k的奇偶性．（如果是呢？）

任意角的三角函數(shù)

教材分析

這節(jié)課是在初中學習的銳角三角函數(shù)的基礎上，進一步學習任意角的三角函數(shù)．任意角的三角函數(shù)通常是借助直角坐標系來定義的．三角函數(shù)的定義是本章教學內(nèi)容的基本概念和重要概念，也是學習后續(xù)內(nèi)容的基礎，更是學好本章內(nèi)容的關鍵．因此，要重點地體會、理解和掌握三角函數(shù)的定義．在此基礎上，這節(jié)課又進一步研討了三角函數(shù)的定義域，函數(shù)值在各象限的符號，以及誘導公式

（一），這既是對三角函數(shù)的簡單應用，也是為學習后續(xù)內(nèi)容做了必要準備．

教學目標

1.讓學生認識三角函數(shù)推廣的必要性，經(jīng)歷三角函數(shù)的推廣的過程，增強對數(shù)的理解能力．

2.理解和掌握三角函數(shù)的定義，在此基礎上探索與研究三角函數(shù)定義域、三角函數(shù)值的符號和誘導公式

（一），并能初步應用它們解決一些問題．

3.通過對任意角的三角函數(shù)的學習，初步體會數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和運用的過程，提高學生的科學思維水平．

教學設計

一、情景設置

初中我們學習過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，由其所在的直角三角形的對應邊的比值為函數(shù)值，并且定義了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)．這節(jié)課，我們研究當α是一個任意角時的三角函數(shù)的定義．

在初中，三角函數(shù)的定義是借助直角三角形來定義的．如圖32-1，在Rt△ABC中，現(xiàn)在，把三角形放到坐標系中．如圖32-2，設點B的坐標為（x，y），則OC＝b＝x，CB＝a＝y(tǒng)，OB＝，從而

即角α的三角函數(shù)可以理解為坐標的比值，在此意義下對任意角α都可以定義其三角函數(shù)．

二、建立模型

一般地，設α是任意角，以α的頂點O為坐標原點，以角α的始邊的方向作為ｘ軸的正方向，建立直角坐標系xOy．P（x，y）為α終邊上不同于原點的任一點．如圖：

那么，OP＝，記作r，（r＞0）．

對于三個量x，y，r，一般地，可以產(chǎn)生六個比值：.當α確定時，根據(jù)初中三角形相似的知識，可知這六個比值也隨之相應的唯一確定．根據(jù)函數(shù)的定義可以看出，這六個比值都是以角為自變量的函數(shù)，分別把角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數(shù)，記為

稱之為α

對于定義，思考如下問題：

1.當角α確定后，比值與P點的位置有關嗎？為什么？

2.利用坐標法定義三角函數(shù)與利用直角三角形定義三角函數(shù)有什么關系？ 3.任意角α的正弦、余弦、正切都有意義嗎？為什么？

三、解釋應用 ［例 題］

1.已知角α的終邊經(jīng)過P（－2，3），求角α的六個三角函數(shù)值． 思考：若P（－2，3）變?yōu)椋ǎ?m，3m）呢？（m≠0）2.求下列角的六個三角函數(shù)值．

注：強化定義． ［練習］

1.已知角α的終邊經(jīng)過下列各點，求角α的六個三角函數(shù)值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）． 2.計 算．

（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．

四、拓展延伸 1.由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應的關系，三角函數(shù)可以看成以實數(shù)為自變量的函數(shù)，如sina＝，不論α取任何實數(shù)，恒有意義，所以sina的定義域為｛α｜α∈R｝．類似地，研究cosa，tana，cota的定義域．

2.根據(jù)三角函數(shù)的定義以及x，y，r在不同象限內(nèi)的符號，研究sina，cosa，tana，cota的值在各個象限的符號．

3.計算下列各組角的函數(shù)值，并歸納和總結出一般性的規(guī)律．（1）sin30°，sin390°．

（2）cos45°，cos（－315°）．

規(guī)律：終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．

五、應用與深化 ［例 題］

1.確定下列三角函數(shù)值的符號．

2.求證：角α為第三象限角的充要條件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 證明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ為第三象限角．

∵sinθ＜0成立，所以θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負半軸上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的終邊只能位于第三象限．

必要性：若θ為第三象限角，由三角函數(shù)值在各個象限的符號，知sinθ＜0，tanθ＞0． 從而結論成立． ［練習］

1.設α是三角形的一個內(nèi)角，問：在sina，cosa，tana，tan取負值？為什么？

中，哪些三角函數(shù)可能2.函數(shù) 的值域是 ____________ ．

同角三角函數(shù)的基本關系式

教材分析

這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義，導出同角三角函數(shù)的兩個基本關系式sina＋cosa＝1與＝1與，并初步進行這些公式的兩類基本應用．教學重點是公式sina＋cosa的推導及以下兩類基本應用：

2（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一個，求其余兩個三角函數(shù)．（2）化簡三角函數(shù)式及證明簡單的三角恒等式．

其中，已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時，正負號的選擇是本節(jié)的一個難點，正確運用平方根及象限角的概念是突破這一難點的關鍵；證明恒等式是這節(jié)課的另一個難點．課堂上教師應放手讓學生獨立解決問題，優(yōu)化自己的解題過程．

教學目標

1.讓學生經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關系的探索、發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學生的動手實踐、探索、研究能力．

2.理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關系式，并能初步運用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題，培養(yǎng)學生的運算能力，邏輯推理能力．

3.通過同角三角函數(shù)基本關系的學習，揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義世界觀．

任務分析 這節(jié)課的主要任務是引導學生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個基本關系式：sin2a＋cos2a＝1及，并進行初步的應用．由于該節(jié)內(nèi)容比較容易，所以，課堂上無論是關系式的探索還是例、習題的解決都可以放手讓學生獨立完成，即由學生自己把要學的知識探索出來，并用以解決新的問題．必要時，教師可以在以下幾點上加以強調(diào)：（1）“同角”二字的含義．（2）關系式的適用條件．（3）化簡題最后結果的形式．（4）怎樣優(yōu)化解題過程．

教學設計

一、問題情境

教師出示問題：上一節(jié)內(nèi)容，我們學習了任意角α的六個三角函數(shù)及正弦線、余弦線和正切線，你知道它們之間有什么聯(lián)系嗎？你能得出它們之間的直接關系嗎？

二、建立模型

1.引導學生寫出任意角α的六個三角函數(shù)，并探索它們之間的關系

在角α的終邊上任取一點P（x，y），它與原點的距離是r（r＞0），則角α的六個三角函數(shù)值是

2.推導同角三角函數(shù)關系式

引導學生通過觀察、分析和討論，消元（消去x，y，r），從而獲取下述基本關系．（1）平方關系：sin2a＋cos2a＝1．

（2）商數(shù)關系：t：

說明：①當放手讓學生推導同角三角函數(shù)的基本關系時，部分學生可能會利用三角函數(shù)線，借助勾股定理及相似三角形的知識來得出結論．對于這種推導方法，教師也應給以充分肯定，并進一步引導學生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1．

②除以上兩個關系式外，也許部分學生還會得出如下關系式：.教師點撥：這些關系式都很對，但最基本的還是（1）和（2），故為了減少大家的記憶負擔，只須記?。?）和（2）即可．以上關系式均為同角三角函數(shù)的基本關系式．

教師啟發(fā)：（1）對“同角”二字，大家是怎樣理解的？（2）這兩個基本關系式中的角α有沒有范圍限制？

（3）自然界的萬物都有著千絲萬縷的聯(lián)系，大家只要養(yǎng)成善于觀察的習慣，也許每天都會有新的發(fā)現(xiàn)．剛才我們發(fā)現(xiàn)了同角三角函數(shù)的基本關系式，那么這些關系式能用于解決哪些問題呢？

三、解釋應用 ［例 題］

1.已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值．

2.已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值．

說明：這兩個題是關系式的基本應用，應讓學生獨立完成．可選兩名同學到黑板前板書，以便規(guī)范解題步驟．

變式1 在例2中若去掉“且α是第二象限角”，該題的解答過程又將如何？ 師生一起完成該題的解答過程．

解：由題意和基本關系式，列方程組，得

由②，得sinα＝－

cosα，代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝

．

∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角．

當α是第二象限角時，cosα＝－，代入②式，得；

當α是第四象限角時，cosα＝，代入②式，得.小結：由平方關系求值時，要涉及開方運算，自然存在符號的選取問題．由于本題沒有具體指明α是第幾象限角，因此，應針對α可能所處的象限，分類討論．

變式2 把例2變?yōu)椋?/p>

已知tanα＝－，求的值．

解法1：由tanα＝－及基本關系式可解得

針對兩種情況下的結果居然一致的情況，教師及時點撥：

觀察所求式子的特點，看能不能不通過求sinα，cosα的值而直接得出該分式的值． 學生得到如下解法：

由此，引出變式3．

已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．

有了上一題的經(jīng)驗，學生會得到如下解法：

教師歸納、啟發(fā)：這個方法成功地避免了開方運算，因而也就避開了不必要的討論．遺憾的是，因為它不是分式形式，所以解題過程不像“變式2”那樣簡捷．那么，能解決這一矛盾嗎？

學生得到如下解法：

教師引導學生反思、總結：（1）由于開方運算一般存在符號選取問題，因此，在求值過程中，若能避免開方的應盡量避免．

（2）當式子為分式且分子、分母都為三角函數(shù)的n（n∈N且n≥1）次冪的齊次式時，采用上述方法可優(yōu)化解題過程．

［練習］

當學生完成了以上題目后，教師引導學生討論如下問題：

（1）化簡題的結果一定是“最簡”形式，對三角函數(shù)的“最簡”形式，你是怎樣理解的？（2）關于三角函數(shù)恒等式的證明，一般都有哪些方法？你是否發(fā)現(xiàn)了一些技巧？

四、拓展延伸

教師出示問題，啟發(fā)學生一題多解，并激發(fā)學生的探索熱情．

已知sinα－cosα＝－，180°＜α＜270°，求tanα的值．

解法1：由sinα－cosα＝－，得

反思：（1）解法1的結果比解法2的結果多了一個，看來產(chǎn)生了“增根”，那么，是什么原因產(chǎn)生了增根呢？

（2）當學生發(fā)現(xiàn)了由sinα－cosα＝－α的范圍變大了時，教師再點撥：

怎樣才能使平方變形是等價的呢？ 由學生得出如下正確答案：

得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的過程中，∵180°＜α＜270°，且sinα－cosα＝－cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．

＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜強調(diào)：非等價變形是解法1出錯的關鍵！

誘導公式 教材分析

這節(jié)內(nèi)容以學生在初中已經(jīng)學習了銳角的三角函數(shù)值為基礎，利用單位圓和三角函數(shù)的定義，導出三角函數(shù)的五組誘導公式，即有關角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通過運用這些公式，把求任意角的三角函數(shù)值轉化為求銳角的三角函數(shù)值，從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想．這節(jié)課的重點是后四組誘導公式以及這五組公式的綜合運用．把這五組公式用一句話歸納出來，并切實理解這句話中每一詞語的含義，是切實掌握這五組公式的難點所在．準確把握每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并且把公式二、三與圖形對應起來，是突破上述難點的關鍵．

教學目標

1.在教師的引導下，啟發(fā)學生探索發(fā)現(xiàn)誘導公式及其證明，培養(yǎng)學生勇于探求新知、善于歸納總結的能力．

2.理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導公式，并能應用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題．

3.讓學生體驗探索后的成功喜悅，培養(yǎng)學生的自信心．

4.使學生認識到轉化“矛盾”是解決問題的有效途徑，進一步樹立化歸思想．

任務分析

誘導公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數(shù)值轉化為求銳角的三角函數(shù)值．在五組誘導公式中，關于180°＋α與－α的誘導公式是最基本的，也是最重要的．在推導這兩組公式時，應放手讓學生獨立探索，尋求“180°＋α與角α的終邊”及“－α與角α的終邊”之間的位置關系，從而完成公式的推導．此外，要把90°～360°范圍內(nèi)的三角函數(shù)轉化為銳角的三角函數(shù)，除了利用第二、四、五個公式外，還可以利用90°＋α，270°±α與α的三角函數(shù)值之間的關系．應引導學生在掌握前五組誘導公式的基礎上進一步探求新的關系式，從而使學生在頭腦中形成完整的三角函數(shù)的認知結構．

教學設計

一、問題情境 教師提出系列問題

1.在初中我們學習了求銳角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數(shù)值轉化為銳角的三角函數(shù)值呢？

2.當α＝390°時，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ 3.由2你能否得出一般性的結論？試說明理由．

二、建立模型 1.分析1 在教師的指導下，學生獨立推出公式

（一），即

2.應用1 在公式的應用中讓學生體會公式的作用，即把任意角的三角函數(shù)值轉化為0°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值．

練習：求下列各三角函數(shù)值．

（1）cos3.分析2 π．

（2）tan405°．

如果能夠把90°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉化為銳角的三角函數(shù)值，即可實現(xiàn)“把任意角的三角函數(shù)值轉化為銳角的三角函數(shù)值”的目標．例如，能否將120°，240°，300°角與我們熟悉的銳角建立某種聯(lián)系，進而求出其余弦值？

引導學生利用三角函數(shù)的定義并借助圖形，得到如下結果：

cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝4.分析3

．

一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）與cosα的關系如何？你能證明自己的結論嗎？由學生獨立完成下述推導： 設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）．由于角180°＋α的終邊就是角α的終邊的反向延長線，則角180°＋α的終邊與單位圓的交點P′與點P關于原點O對稱．

由此可知，點P′的坐標是（－x，－y）．

又∵單位圓的半徑r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，tanα＝（180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝從而得到：

．，cos（180°＋α）＝－x，sin

5.分析4 在推導公式三時，學生會遇到如下困難，即：若α為任意角，180°－α與角α的終邊的位置關系不容易判斷．這時，教師可引導學生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函數(shù)值轉化為－α的三角函數(shù)值，然后通過尋找－α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關系，使原問題得到解決．

由學生獨立完成如下推導：

如圖，設任意角α的終邊與單位圓相交于P（x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點P′．∵這兩個角的終邊關于ｘ軸對稱，∴點P′的坐標是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝從而得到：

進而推出：

注：在問題的解決過程中，教師要注意讓學生充分體驗成功的快樂． 6.教師歸納

公式

（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導公式，利用它們可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函數(shù)轉化為α的三角函數(shù)．那么，在轉化過程中，發(fā)生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規(guī)律？

引導學生進行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．為了便于記憶，還可編成一句口訣“函數(shù)名不變，符號看象限”．

三、解釋應用 ［例 題］

1.求下列各三角函數(shù)值．

通過應用，讓學生體會誘導公式的作用：

①把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù)，其一般步驟為

評注：本題中，若代入cosα·cot3α形式，就須先求得cosα的值．由于不能確定角α所在象限，解題過程將變得煩鎖．以此提醒學生注意選取合理形式解決問題．

四、拓展延伸

教師出示問題：前面我們利用三角函數(shù)的定義及對稱性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數(shù)與角α的三角函數(shù)之間的關系，這些角有一個共同點，即：均為180°的整數(shù)倍加、減α．但是，在解題過程中，還會遇到另外的情況，如前面遇到的120°角，它既可以寫成180°－60°，也可以寫成90°＋30°，那么90°＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有著怎樣的關系呢？

學生探究：經(jīng)過獨立探求后，有學生可能會得到如下結果：

設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），角90°＋α的終邊與單位圓交于點P′（x′，y′）（如圖），則cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y(tǒng)′． 過P作PM⊥x軸，垂足為M，過P′作P′M′⊥y軸，垂足為M′，則△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y(tǒng)′，y＝x′．

進而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．對此結論和方法，教師不宜作任何評論，而應放手讓學生展開辯論和交流，最后得到正確結果：

由于OM與OM′，MP與M′P′僅是長度相等，而當點P在第一象限時，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x． 從而得到：

教師進一步引導：

（1）推導上面的公式時，利用了點P在第一象限的條件．當點Ｐ不在第一象限時，是否仍有上面的結論？

（通過多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景，使學生理解公式六中的角α可以為任意角）

（2）推導公式六時，采用了初中的平面幾何知識．是否也能像推導前五組公式那樣采用對稱變換的方式呢？

學生探究：學生先針對α為銳角時的情況進行探索，再推廣到α為任意角的情形． 設角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），（如圖）．由于角α的終邊經(jīng)過下述變換：2（軸的對稱點P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．

＋α的終邊與單位圓的交點為P′（x′，y′）－α）＋2a＝，即可得到

＋α的終邊．這是兩次對稱變換，即先作P關于直線y＝x的對稱點M（y，x），再作點M關于y

由此，可進一步得到：

教師歸納：公式六、七、八、九也稱作誘導公式，利用它們可以把90°±α，270°±α的三角函數(shù)轉化為α的三角函數(shù)．

引導學生總結出：

90°±α，270°±α的三角函數(shù)值等于α的余名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．

兩套公式合起來，可統(tǒng)一概括為 對于k·90°±α（k∈Z）的各三角函數(shù)值，當k為偶數(shù)時，得α的同名函數(shù)值；當k為奇數(shù)時，得α的余名函數(shù)值．然后，均在前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號看象限”．