第一篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設(shè)計案例50篇 34 誘導公式

誘導公式

教材分析

這節(jié)內(nèi)容以學生在初中已經(jīng)學習了銳角的三角函數(shù)值為基礎(chǔ)，利用單位圓和三角函數(shù)的定義，導出三角函數(shù)的五組誘導公式，即有關(guān)角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通過運用這些公式，把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想．這節(jié)課的重點是后四組誘導公式以及這五組公式的綜合運用．把這五組公式用一句話歸納出來，并切實理解這句話中每一詞語的含義，是切實掌握這五組公式的難點所在．準確把握每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并且把公式二、三與圖形對應起來，是突破上述難點的關(guān)鍵．

教學目標

1.在教師的引導下，啟發(fā)學生探索發(fā)現(xiàn)誘導公式及其證明，培養(yǎng)學生勇于探求新知、善于歸納總結(jié)的能力．

2.理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導公式，并能應用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題．

3.讓學生體驗探索后的成功喜悅，培養(yǎng)學生的自信心．

4.使學生認識到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的有效途徑，進一步樹立化歸思想．

任務分析

誘導公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值．在五組誘導公式中，關(guān)于180°＋α與－α的誘導公式是最基本的，也是最重要的．在推導這兩組公式時，應放手讓學生獨立探索，尋求“180°＋α與角α的終邊”及“－α與角α的終邊”之間的位置關(guān)系，從而完成公式的推導．此外，要把90°～360°范圍內(nèi)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，除了利用第二、四、五個公式外，還可以利用90°＋α，270°±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．應引導學生在掌握前五組誘導公式的基礎(chǔ)上進一步探求新的關(guān)系式，從而使學生在頭腦中形成完整的三角函數(shù)的認知結(jié)構(gòu)．

教學設(shè)計

一、問題情境 教師提出系列問題

1.在初中我們學習了求銳角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值呢？ 2.當α＝390°時，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ 3.由2你能否得出一般性的結(jié)論？試說明理由．

二、建立模型 1.分析1 在教師的指導下，學生獨立推出公式

（一），即

2.應用1 在公式的應用中讓學生體會公式的作用，即把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值．

練習：求下列各三角函數(shù)值．

（1）cos3.分析2 π．

（2）tan405°．

如果能夠把90°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，即可實現(xiàn)“把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值”的目標．例如，能否將120°，240°，300°角與我們熟悉的銳角建立某種聯(lián)系，進而求出其余弦值？

引導學生利用三角函數(shù)的定義并借助圖形，得到如下結(jié)果：

cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝4.分析3

．

一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）與cosα的關(guān)系如何？你能證明自己的結(jié)論嗎？由學生獨立完成下述推導： 設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）．由于角180°＋α的終邊就是角α的終邊的反向延長線，則角180°＋α的終邊與單位圓的交點P′與點P關(guān)于原點O對稱．

由此可知，點P′的坐標是（－x，－y）．

又∵單位圓的半徑r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，tanα＝（180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝從而得到：

．，cos（180°＋α）＝－x，sin

5.分析4 在推導公式三時，學生會遇到如下困難，即：若α為任意角，180°－α與角α的終邊的位置關(guān)系不容易判斷．這時，教師可引導學生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為－α的三角函數(shù)值，然后通過尋找－α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使原問題得到解決．

由學生獨立完成如下推導：

如圖，設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于P（x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點P′．∵這兩個角的終邊關(guān)于ｘ軸對稱，∴點P′的坐標是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝從而得到：

進而推出：

注：在問題的解決過程中，教師要注意讓學生充分體驗成功的快樂． 6.教師歸納

公式

（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導公式，利用它們可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)．那么，在轉(zhuǎn)化過程中，發(fā)生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規(guī)律？

引導學生進行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．為了便于記憶，還可編成一句口訣“函數(shù)名不變，符號看象限”．

三、解釋應用 ［例 題］

1.求下列各三角函數(shù)值．

通過應用，讓學生體會誘導公式的作用：

①把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，其一般步驟為

評注：本題中，若代入cosα·cot3α形式，就須先求得cosα的值．由于不能確定角α所在象限，解題過程將變得煩鎖．以此提醒學生注意選取合理形式解決問題．

四、拓展延伸

教師出示問題：前面我們利用三角函數(shù)的定義及對稱性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數(shù)與角α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這些角有一個共同點，即：均為180°的整數(shù)倍加、減α．但是，在解題過程中，還會遇到另外的情況，如前面遇到的120°角，它既可以寫成180°－60°，也可以寫成90°＋30°，那么90°＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有著怎樣的關(guān)系呢？

學生探究：經(jīng)過獨立探求后，有學生可能會得到如下結(jié)果：

設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），角90°＋α的終邊與單位圓交于點P′（x′，y′）（如圖），則cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y(tǒng)′． 過P作PM⊥x軸，垂足為M，過P′作P′M′⊥y軸，垂足為M′，則△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y(tǒng)′，y＝x′．

進而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．對此結(jié)論和方法，教師不宜作任何評論，而應放手讓學生展開辯論和交流，最后得到正確結(jié)果：

由于OM與OM′，MP與M′P′僅是長度相等，而當點P在第一象限時，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x． 從而得到：

教師進一步引導：

（1）推導上面的公式時，利用了點P在第一象限的條件．當點Ｐ不在第一象限時，是否仍有上面的結(jié)論？

（通過多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景，使學生理解公式六中的角α可以為任意角）

（2）推導公式六時，采用了初中的平面幾何知識．是否也能像推導前五組公式那樣采用對稱變換的方式呢？

學生探究：學生先針對α為銳角時的情況進行探索，再推廣到α為任意角的情形． 設(shè)角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），（如圖）．由于角α的終邊經(jīng)過下述變換：2（＋α的終邊與單位圓的交點為P′（x′，y′）－α）＋2a＝，即可得到

＋α的終邊．這是兩次對稱變換，即先作P關(guān)于直線y＝x的對稱點M（y，x），再作點M關(guān)于y軸的對稱點P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．

由此，可進一步得到：

教師歸納：公式六、七、八、九也稱作誘導公式，利用它們可以把90°±α，270°±α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)．

引導學生總結(jié)出：

90°±α，270°±α的三角函數(shù)值等于α的余名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．

兩套公式合起來，可統(tǒng)一概括為 對于k·90°±α（k∈Z）的各三角函數(shù)值，當k為偶數(shù)時，得α的同名函數(shù)值；當k為奇數(shù)時，得α的余名函數(shù)值．然后，均在前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號看象限”．

點 評

這篇案例從學生的實際出發(fā)，充分尊重學生的思維特點，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)認知沖突，較好地調(diào)動了學生的積極性和主動性，符合新課程理念的精神．在教學設(shè)計中，教師以學生活動為主，注意師生互動，體現(xiàn)學生的自主學習．實際的課堂教學表明，在教學過程中，教師對每名同學的發(fā)言都給以充分地鼓勵，即使他的解法不完美，甚至不正確．這對保護學生大膽嘗試、認真思考的積極性至關(guān)重要．只有這樣，才能將教學效果落實到學生個體的學習行為上，進而實現(xiàn)預期的教學目標．總之，這篇案例的突出特點就是，注意通過問題驅(qū)動的方式，激發(fā)學生主動探究的熱情，完成五組誘導公式的推導．缺陷是，在關(guān)注五組誘導公式推導的“一氣呵成”的同時，鞏固、強化工作顯得單?。@是一對棘手的矛盾！

第二篇：高中數(shù)學《誘導公式》教學案例分析

高中數(shù)學《誘導公式》教學案例分析

來源：安徽省金寨第一中學 發(fā)布時間：2009-07-23 查看次數(shù)：424 高中數(shù)學《誘導公式》教學案例分析

一、教學設(shè)計：

1、教學任務分析：（1）：借助單位圓推導誘導公式，特別是學習對稱性與角終邊對稱性中，發(fā)現(xiàn)問題。提出研究方法

（2）能運用誘導公式求三角函數(shù)值，進行簡單三角函數(shù)式的化簡與恒等式的證明，并從中體會未知到已知，復雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程

2、教學重難點：

教學重點：誘導公式的探究，運用誘導公式進行簡單三角函數(shù)式的求值，化簡與恒等式的證明，提高對數(shù)學內(nèi)部的聯(lián)系。

教學難點：發(fā)現(xiàn)圓的幾何性質(zhì)（特別是對稱性）與三角函數(shù)的聯(lián)系，特別是直角坐標系內(nèi)關(guān)于直 y=x對稱的點的性質(zhì)與的 誘導公式的關(guān)系

3、教學基本流程：

4、教學情景設(shè)計：

問題 設(shè)計意圖 師生活動 閱讀 P26的“思考”，你能夠說說從

圓的對稱性可以得到哪些三角函數(shù)的性質(zhì)？ 引導學生建立圓的性質(zhì)與三角函數(shù)誘導公式之間的聯(lián)系 對稱性出發(fā)，思考并回答可以研究什么什么性質(zhì)，老師注意引導學生從圓的對稱性出發(fā)，思考相應角的關(guān)系，再進一步思考相應的三角函數(shù)值的關(guān)系。2.閱讀P26頁的“探究”并以問題1為例，說明你的探究結(jié)果 講“思考的問題具體化”進一步明確探究方向 教師引導學生思考終邊與角 的終邊關(guān)于原點對稱的角與 的數(shù)量關(guān)系，然后得出三角函數(shù)值之間的關(guān)系 3.說明自己的探究結(jié)果為什么成立 引導學生利用三角函數(shù)的定義進行證明公式 2 教師提出對探究結(jié)果證明的要求，并留給學生一定的思考時間，學生利用定義進行證明，教師提醒學生注意使用前面的探究結(jié)果 4.用類似的方法，探究終邊分別與角 的終邊關(guān)于x軸，關(guān)于y軸對稱的角與 的數(shù)量關(guān)系，他們的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？能否證明？ 讓學生加深理解利用單位圓的對稱性研究三角函數(shù)的性質(zhì)的思想方法 教師引導學生“并列學習”同樣的思路研究誘導公式 3.與4，學生獨立思考并自主探究和給出證明 5.概括公式2----4的探究思想方法 及時概括思想方法，提高學習活動中的思想性 引導學生概括出： 6.概括一下公式1--4的特點及其作用 深化對公式的理解 提醒學生注意公式兩邊角的共同點，學生討論并概括說明 7.例題1--2 通過公式的應用，較深對公式的理解 學生對公式的初步應用 8.借助單位圓探究終邊與角 的終邊關(guān)于直線 對稱的角與 有何數(shù)量關(guān)系？它們的正弦，余弦之間的關(guān)系式？ 根據(jù)公式 2--4的探究經(jīng)驗，引導學生獨立探究公式5 老師提出問題，學生看到網(wǎng)絡(luò)上的單位圓，發(fā)現(xiàn)角 的終邊關(guān)于直線 對稱的角與 的數(shù)量關(guān)系，關(guān)于直線 對稱的兩個點的坐標之間的關(guān)系進行引導 9.能否用已有的公式得到 的正弦，余弦與 的正弦，余弦之間的關(guān)系式？ 引導學生用已學的知識進行證明公式 6 教師引導學生將 轉(zhuǎn)化為 利用公式4.5推導公式6 10例題 加深公式 5.6的理解 學生完成，老師講解 11.在線測評 看看學生的掌握情況 學生測評，教師給以評價 12.總結(jié)這些公式，記憶方法。高中數(shù)學《誘導公式》網(wǎng)絡(luò)教學教師小結(jié)：林婉查

作為一名新老師，很榮幸能夠讓大家來聽我的課，通過這課，我學習到如下的東西： 1.要認真的研讀新課標，對教學的目標，重難點把握要到位 2.注意板書設(shè)計，注重細節(jié)的東西，語速需要改正

3.進一步的學習網(wǎng)頁制作，讓你的網(wǎng)頁更加的完善，學生更容易操作

4.盡可能讓你的學生自主提出問題，自主的思考，能夠化被動學習為主動學習，充分享受學習數(shù)學的樂趣

5.上課的生動化，形象化需要加強

高中數(shù)學《誘導公式》網(wǎng)絡(luò)教學教師評語：林婉查

2006年11月22日數(shù)學林婉查K-12課題：誘導公式（校際課）

1．評議者：網(wǎng)絡(luò)輔助教學，起到了很好的效果；教態(tài)大方，作為新教師，開設(shè)校際課，勇氣可嘉！建議：感覺到老師有點緊張，其實可以放開點的，相信效果會更好的！重點不夠清晰，有引導數(shù)學時，最好值有個側(cè)重點；網(wǎng)絡(luò)設(shè)計上，網(wǎng)頁上公開的推導公式為上，留有更大的空間讓學生來思考。

2．評議者：網(wǎng)絡(luò)教學效果良好，給學生自主思考，學習的空間發(fā)揮，教學設(shè)計得好；建議：課堂講課聲音，語調(diào)可以更有節(jié)奏感一些，抑揚頓挫應注意課堂例題練習可以多兩題。3．評議者：學科網(wǎng)絡(luò)平臺的使用；建議：應重視引導學生將一些唾手可得的有用結(jié)論總結(jié)出來，并形成自我的經(jīng)驗。

4．評議者：引導學生通過網(wǎng)絡(luò)進行探究。建議：課件制作在線測評部分，建議不能重復選擇，應全部做完后，顯示結(jié)果，再重復測試；多提問學生。

（1）給學生思考的時間較長，語調(diào)相對平緩，總結(jié)時，給學生一些激勵的語言更好（2）這樣子的教學可以提高上課效率，讓學生更多的時間思考

（3）網(wǎng)絡(luò)平臺的使用，使得學生的參與度明顯提高，存在問題：1.公式對稱性的誘導，點與點的對稱的誘導，終邊的關(guān)系的誘導，要進一步的修正；2.公式的概括要注意引導學生怎么用，學習這個誘導公式的作用

（4）給學生答案，這個網(wǎng)頁要進一步的修正，答案能否不要一點就出來（5）1.板書設(shè)計要進一步的加強，2.語速相對是比較快的3.練習量比較少（6）讓學生多探究，課堂會更熱鬧

（7）注意引入的過程要帶有目的，帶著問題來教學，學生帶著問題來學習（8）教學模式相對簡單重復

（9）思路較為清晰，規(guī)范化的推理

第三篇：誘導公式教學設(shè)計

三角函數(shù)的誘導公式教學設(shè)計

教材分析 地位與作用

“三角函數(shù)的誘導公式”是普通高中課程標準實驗教科書人教A版必修4第一章第三節(jié)，其主要內(nèi)容是三角函數(shù)的誘導公式中的公式二至公式六。它是圓的對稱性的“代數(shù)表示”。利用對稱性，探究角的終邊分別關(guān)于原點或坐標軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想；誘導公式的主要用途是把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想。誘導公式學習還反映了從特殊到一般的歸納思維形式，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學生的思維能力具有積極的作用。教學目標 1.知識與技能

借助單位圓，推導出誘導公式，能正確運用誘導公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，掌握有關(guān)三角函數(shù)求值問題。2.過程與方法

經(jīng)歷誘導公式的探索過程，體驗未知到已知、復雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程，培養(yǎng)化歸思想。3.情感、態(tài)度與價值觀

感受數(shù)學探索的成功感，激發(fā)學習數(shù)學的熱情，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣，增強學習數(shù)學的信心。重、難點 1.重點：誘導公式二、三、四的探究，運用誘導公式進行簡單三角函數(shù)式的求值，提高對數(shù)學內(nèi)部聯(lián)系的認識。

2.難點：發(fā)現(xiàn)圓的對稱性與任意角終邊的坐標之間的聯(lián)系；誘導公式的合理運用。教學環(huán)節(jié)

一、課題引入

問題1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？ 學生口述三角函數(shù)的單位圓定義：sin=y,cos=x, tan=(x≠0)問題2：求下列三角函數(shù)值：（1）sin，（2）cos，（3）tan。

給學生3分鐘左右的時間獨立思考，教師請1名學生到黑板上展示其答題情況。學生獨立思考，嘗試用定義解答。1名學生到黑板上板演。抓住學求的三角函數(shù)值時產(chǎn)生思維上認識的沖突，引出課題《三角函數(shù)的誘導公式》。

根據(jù)教師的引導產(chǎn)生探索新知識的欲望

設(shè)計意圖（三角函數(shù)的定義是學習誘導公式的基礎(chǔ)，設(shè)置問題情境，產(chǎn)生知識沖突，引發(fā)思考，既調(diào)動學生學習積極性，激發(fā)探究欲望，又順利導入新課。）

二、合作探究公式

1.根據(jù)學生黑板上用定義求角考：

問題3：（1）角（2）設(shè)角與角

和角的終邊有何關(guān)系？ 的三角函數(shù)值的情況，引導學生思的終邊分別交單位圓于點P1、P2，點P1的坐標為P1(x，y)，則點 P2的坐標如何表示？（3）它們的三角函數(shù)值有何關(guān)系？

2.教師用幾何畫板演示角α可以是任意角，引導學生體會 1.學生觀察圖形，結(jié)合教師的問題發(fā)現(xiàn)：角

和角

數(shù)量上相差，圖形上它們的終邊關(guān)于原點對稱，與單位圓的交點坐標互為相反數(shù)。再根據(jù)定義得出角

和角

三角函數(shù)之間的關(guān)系。

2.觀察教師給出的動畫演示,體會角α的任意性，得出任意角α與角π＋α的終邊關(guān)于

原點對稱，其三角函數(shù)值之間滿足公式二。特殊角到一般角的變化，歸納出公式二： sin（π＋α）=-sinα，cos（π＋α）=-cosα，tan（π＋α）= tanα。3.練習：求sin2250

學生根據(jù)公式二求2250的正弦值。自主探究公式

三、公式四

1.引導學生回顧剛才探索公式二的過程，明確研究三角函數(shù)誘導公式的路線圖：角間關(guān)系→對稱關(guān)系→坐標關(guān)系→三角函數(shù)值間關(guān)系。為學生指明探索公式三、四的方向。2.探究：給定一個角a。

（1）角π-a和角a的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？

（2）角-a和角a的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？

3.組織學生分組探索角π-a和角a、角-a和角a的三角函數(shù)之間的關(guān)系。

先讓學生先獨立思考，然后小組交流。在學生交流時教師巡視，讓兩個小組到黑板上展示。同時派出優(yōu)秀學生到其他小組提供幫助。4.在學生解答后教師用幾何畫板演示其中的角a也可以為任意角，驗證學生的結(jié)論。1.體會研究誘導公式的線路圖。畫出圖形，先獨立思考嘗試自主解答，一定時間后在組長的帶領(lǐng)下展開組內(nèi)討論。

2.兩個小組的代表到黑板上展示。3至4名優(yōu)秀學生到其他小組提供幫助。

3.觀察教師的動畫演示，驗證討論的結(jié)論。得到公式三： sin(-a)=-sin a，cos(-a)= cos a，tan(-a)=-tan a。公式四：

sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα.4.學生先自由發(fā)言，嘗試歸納公式的特征。然后在教師的引導下小組交流討論形成對公式的正確認識。歸納出公式的特征： 的三角函數(shù)值，等于a的同名函數(shù)

活動四：公式運用

練習：利用公式求下列各三角函數(shù)值：(1)sin;(2)cos();(3)tan(-2040°)1.讓3名學生到黑板上板演，組織全班學生觀察糾錯。

2.引導學生歸納用誘導公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)的一般步驟。課堂小結(jié)：

1.本節(jié)課我們學習了什么知識？ 2.談談您本節(jié)課學習的感想！

引導學生回憶誘導公式的內(nèi)容及其作用。強調(diào)探索誘導公式中的思想方法。作業(yè)：

習題1.3A組 1、2；

第四篇：第二部分高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設(shè)計案例

第二部分 高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設(shè)計案例

正弦函數(shù)的性質(zhì)

教材分析

這篇案例的內(nèi)容是在學生已經(jīng)掌握正弦函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，通過觀察、歸納和總結(jié)，得出正弦函數(shù)的五個重要性質(zhì)，即正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．教學重點是正弦函數(shù)的圖像特征及五個重要性質(zhì)，難點是周期函數(shù)及最小正周期的意義．由于周期函數(shù)的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應注意通過具體實例讓學生充分體會這種“周而復始”的現(xiàn)象，體會新概念的形成過程．

教學目標

1.引導學生通過觀察，分析y＝sinx的圖像，進而歸納、總結(jié)出正弦函數(shù)的圖像特征，并抽象出函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學生觀察、分析圖像的能力和數(shù)形結(jié)合的能力．

2.理解和掌握正弦函數(shù)的五個重要性質(zhì)，能夠解決與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間等簡單問題．

3.使學生進一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會分析、探索、化歸、類比的科學研究方法在解決數(shù)學問題中的應用．

4.使學生初步體會事物周期變化的一些奧秘，進一步提高學生對數(shù)學的學習興趣．

任務分析

這節(jié)內(nèi)容是在學生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)圖像特征的基礎(chǔ)上，運用數(shù)學的符號語言把圖像特征進一步“量化”，從而得出正弦函數(shù)的五個性質(zhì)．一般來說，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數(shù)的定義域、值域、最值、符號、周期性、奇偶性、單調(diào)性等，但對于周期性及單調(diào)區(qū)間的表述，學生可能會有一定的困難．因此，在引入周期函數(shù)的定義之前，要讓學生充分觀察圖像，必要時可把物理中的彈簧振動的實驗再做一做，讓學生體會“周而復始”的現(xiàn)象，體會概念的形成過程．

此外，對于周期函數(shù)，還應強調(diào)以下幾點： 1.x應是“定義域內(nèi)的每一個值”．

2.對于某些周期函數(shù)，在它所有的周期中，不一定存在一個最小的正周期，即某些周期函數(shù)沒有最小正周期． 3.對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

教學設(shè)計

一、問題情境

1.教師提出問題，引導學生總結(jié)

我們學習過正弦函數(shù)圖像的畫法，并通過觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)怎樣的性質(zhì)呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導學生探索正弦函數(shù)的性質(zhì)：

注：由此學生得出正弦函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）定義域為R．

（2）值域為［－1，1］，當且僅當x＝2kπ＋當且僅當x＝2kπ－

（k∈Z）時，正弦函數(shù)取得最大值1，（k∈Z）時，正弦函數(shù)取得最小值－1．

注：在此處，教師應提醒學生注意前面的“2kπ”，使學生初步感受一下正弦函數(shù)的“周而復始”性．

2.教師進一步提出問題

從正弦曲線我們注意到，函數(shù)y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

（設(shè)計目的：引導學生從物理中彈簧的振動，即小球在平衡位置的往復運動，體會事物的“周期性”變化）

（2）數(shù)學中的這種周期性變化能否用一個數(shù)學式子來體現(xiàn)？

二、建立模型 1.引導學生探究

2.教師明晰

通過學生的討論，歸納出周期函數(shù)的定義：

一般地，對于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)Ｔ叫作這個函數(shù)的周期．

說明：若學生歸納和總結(jié)出周期函數(shù)的如下定義，也應給以充分的肯定．

如果某函數(shù)對于自變量的一切值每增加或減少一個定值，函數(shù)值就重復出現(xiàn)，那么這個函數(shù)就叫作周期函數(shù)．

給出最小正周期的概念：對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作它的最小正周期．教科書中今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

3.深化定義的內(nèi)涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說是正弦函數(shù)（2）函數(shù)f（x）＝c是周期函數(shù)嗎？它有沒有最小正周期？ 3.歸納正弦函數(shù)的性質(zhì)

通過觀察圖像，我們得到了正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性等性質(zhì)，除此之外，正弦函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢？

教師引導學生歸納出以下兩條性質(zhì)：

奇偶性：由誘導公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱． 單調(diào)性：觀察正弦曲線可以看出，當x由－由－1增大到1；當x由

增大到

增大到時，曲線逐漸上升，sinx的值

時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［－增大到1；在每一個閉區(qū)間［小到－1．

三、解釋應用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數(shù)取得最大值和最小值的x的集合，并說出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時，函數(shù)y＝sin2x取得最

（k∈Z）時，函數(shù)y＝sin2x大值，最大值是1；當2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝sinx＋2同時取得最大值和最小值．因此，當x＝2kπ＋（k∈Z）時，函數(shù)y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當x＝2kπ－

（k∈Z）時，函數(shù)y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當a＞0時，使函數(shù)取得最大值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數(shù)取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當a＜0時，使函數(shù)取得最大值時的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數(shù)取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設(shè)t＝sinx，則y＝二次函數(shù)的最大值和最小值問題了．，且t∈［－1，1］，于是問題就變成求閉區(qū)間上當t＝1，即sinx＝1時，ymax＝1，取最大值時x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當t＝－1，即sinx＝－1時，ymin＝－9，取最小值時x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習］

求下列函數(shù)的最值，以及使函數(shù)取得值時的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數(shù)的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數(shù)y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數(shù)2T的最小值是2π，∴當2T＝2π時，T＝π． 因此，函數(shù)y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數(shù)y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發(fā)，誘導學生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發(fā)現(xiàn)？（這類函數(shù)的周期好像只與x的系數(shù)有關(guān)）

（2）一般地，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數(shù)ωT，最小值是2π，∴當ωT＝2π時，T＝.因此，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習］ 求下列函數(shù)的周期．

4.進一步強化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數(shù)T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數(shù)的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下面是該港口的水深表： 表35-1

經(jīng)過長時間的觀察，描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)y＝Asinωt＋B的表達式．

（2）一般情況下，船舶航行時船底同海底的距離不少于4.5m時是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間（忽略離港用的時間）？

第五篇：新課程高中數(shù)學教學設(shè)計與案例

新課程高中數(shù)學教學設(shè)計與案例

李代友

直線與平面平行的性質(zhì)

1.教學目的

(1)通過教師的適當引導和學生的自主學習，使學生由直觀感知、獲得猜想，經(jīng)過邏輯論證，推導出直線與平面平行的性質(zhì)定理，并掌握這一定理；

(2)通過直線與平面平行的性質(zhì)定理的實際應用，讓學生體會定理的現(xiàn)實意義與重要性；

(3)通過命題的證明，讓學生體會解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想，培養(yǎng)、提高學生分析、解決問題的能力。2.教學重點和難點

重點：直線與平面平行的性質(zhì)定理；

難點：直線與平面平行性質(zhì)定理的探索及P61例3。(人教版)3.教學基本流程

復習相關(guān)知識并由現(xiàn)實問題引入課題

引導學生探索、發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的性質(zhì)定理 分析定理，深化定理的理解 直線與平面平行的性質(zhì)定理的應用 學生練習，反饋學習效果 小結(jié)與作業(yè)4.教學過程

教師活動學生活動設(shè)計意圖【復習】以提問的形式引導學生回顧相關(guān)的知識：線線、線面的位置關(guān)系及判定線面平行的方法。思考并回答問題。溫故知新，為新課的學習做準備?！疽搿?1)提出例3給出的實際問題，讓學生稍作思考；

(2)點明該問題解決的關(guān)鍵是由條件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面畫線，使得工人師傅按照畫線加工出滿足要求的工件；

(3)引入課題——在我們學習了《直線與平面平行的性質(zhì)》這一節(jié)課之后，我們就知道如何解決這個實際問題了。思考問題，進入新課的學習。通過實際例子，引發(fā)學生的學習興趣，突出學習直線和平面平行性質(zhì)的現(xiàn)實意義?！驹O(shè)問】

(1)提出本節(jié)《思考》的問題(1)：如果一條直線與平面平行，那么這條直線是否與這個平面內(nèi)的所有直線都平行? 1 引導學生做小實驗：利用筆和桌面做實驗，把一支筆放置到與桌面所在平面平行的位置上，把另一支筆放置在桌面，筆所在的直線代表桌面所在平面上的一條直線，移動桌面上的筆到不同的位置，觀察兩筆所在直線的位置關(guān)系。

(2)一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線有哪些位置關(guān)系? 分析：a∥αa與α無公共點 a與α內(nèi)的任何直線都無公共點 a與α內(nèi)的直線是異面直線或平行直線。

(1)學生動手做實驗，并觀察得出問題的結(jié)論：與平面平行的直線并不與這個平面內(nèi)的所有直線都平行。(2)學生由實驗結(jié)果猜想問題的答案，再由教師的引導進行嚴謹?shù)姆治?，確定猜想的正確性。通過學生的動手實驗，得出問題的結(jié)論，提高學生的探索問題的熱情。續(xù)表

教師活動學生活動設(shè)計意圖【探究】一條直線與一個平面平行，在什么條件下，平面內(nèi)的直線與這條直線平行? 講述：與平面平行的直線，和平面內(nèi)的直線或是異面直線或是平行直線，它們有一個區(qū)別是異面直線不共面，而平行直線共面，那么如何利用這個不同點，尋找這些平行直線呢? 長方體ABCD-AB(yǎng)CD中，AC平行于面ABCD，請在面ABCD內(nèi)找出一條直線與AC平行。分析：AC與AC這兩條平行直線共面，同在面AACC內(nèi)，可見AC是過AC的平面AACC與面ABCD的交線。

(2)在面ABCD內(nèi)，除了AC還有直線與AC平行嗎?如果有，可以通過什么方法找到? 利用課件演示AC任意作一平面AEFC與面ABCD相交于線EF，驗證學生的猜想。

分析：因為AC∥面ABCD，所以AC與這個面內(nèi)的直線EF沒有公共點，由大家的這個方法做出直線EF，就使得EF與AC共面，故EF∥AC。學生隨著教師的引導，思考問題，回答問題。(1)根據(jù)長方體的知識，學生能夠找到直線AC與AC平行。隨教師的引導，發(fā)現(xiàn)AC的特殊位置關(guān)系。(2)由上面特殊例子的啟發(fā)，學生逐漸形成對問題答案的猜想，隨教師的引導，證明猜想的正確性。以長方體為載體，引導學生猜想問題成立的條件，推導出定理。續(xù)表教師活動學生活動設(shè)計意圖【剖析定理】(1)證明定理；(2)分析定理成立的條件和結(jié)論；(3)指導學生閱讀課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。要求學生認真聽教師的分析，看定理的證明過程，閱讀和理解課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。深化學生對定理的理解，明確該定理給出了一種作平行線的重要方法?！眷柟叹毩暋?/p>

一、提出本節(jié)開始提出的問題(2)，讓學生自由發(fā)言。(不局限只有引平行線的方法)

二、判斷題

(1)如果a、b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面。(2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行。

(3)如果直線a、b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b。學生自由舉手發(fā)言，說明理由。通過練習再次深化對定理的理解?！局v解例題】例

3、例4要求學生跟隨教師的分析引導，自己思考和解決問題。讓學生體會定理的現(xiàn)實意義與重要性及解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想【課堂練習】 已知：α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF, 求證：CD∥EF

選取幾份有代表性的做法，利用投影儀，講評練習，反饋學習效果。及時解決學生學習上存在的問題【小結(jié)】(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理；(2)直線與平面平行性質(zhì)定理的應用。

【作業(yè)】習題22A組第5、6題總結(jié)歸納學習內(nèi)容，安排適當?shù)恼n后練習