第一篇：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)教學(xué)設(shè)計
2011—2012學(xué)年第一學(xué)期組內(nèi)公開課教學(xué)設(shè)計
課 題：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)教學(xué)目標(biāo)：① 讓學(xué)生理解拋物線的概念及與橢圓、雙曲線第二定義的聯(lián)系。
② 讓學(xué)生掌握拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程及其對應(yīng)的圖形。能力目標(biāo): ① 培養(yǎng)建立適當(dāng)坐標(biāo)系的能力。
② 培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析、概括的能力。情感態(tài)度：① 培養(yǎng)學(xué)生的探索精神
價值觀 ② 滲透辯證唯物主義的方法論和認(rèn)識論教育 教學(xué)重點：拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。
教學(xué)難點：標(biāo)準(zhǔn)方程的形式與圖形、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的對應(yīng)關(guān)系。教學(xué)方法：啟發(fā)誘導(dǎo)式 教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué) 教學(xué)過程：
一、溫故知新，導(dǎo)入新課 復(fù)習(xí)提問：什么是橢圓和雙曲線的第二定義？
學(xué)生回答：平面內(nèi)與一個定點F的距離和一條定直線l(F?l)的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡，當(dāng)O
指出：這就是拋物線，也是我們今天要研究的問題 二．動手實驗，得出定義 學(xué)生動手實驗，教師指導(dǎo)。教師演示動畫 學(xué)生得出拋物線定義
定義：平面內(nèi)到一個定點F的距離和到一條定直線l(F?l)的距離相等的點的軌
2011—2012學(xué)年第一學(xué)期組內(nèi)公開課教學(xué)設(shè)計
跡叫做拋物線。其中定點F叫做拋物線的焦點，定直線L叫拋物線的準(zhǔn)線。
三、適當(dāng)建系，推導(dǎo)方程
設(shè)問：回憶求曲線方程的一般步驟。
追問：如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，推導(dǎo)拋物線的方程。
教師巡視：利用投影儀展示學(xué)生中典型的建系方式以及得出的不同方式形式，讓學(xué)生觀察比較。
總結(jié)比較：得出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程
四、標(biāo)準(zhǔn)方程，四種形式
設(shè)問：推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它建系方式嗎？
追問：如何得到相應(yīng)的方程？請說出每個方程對應(yīng)曲線的對稱軸，開口方向焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，并從中找出規(guī)律。
五、運用概念，加深理解
2y例 ：(1)已知拋物線方程?6x，求焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程。
(2)已知拋物線焦點坐標(biāo)(0，－2)，求標(biāo)準(zhǔn)方程。
六、歸納小結(jié)，鞏固提高 學(xué)生歸納總結(jié)，教師補(bǔ)充。
第二篇：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
公開課教案
課題：2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
授課班級：高二18班（實驗樓四樓）授課時間：10.11早上第二節(jié) 執(zhí)教：魏金寶 教學(xué)目標(biāo)：
1.學(xué)生理解并掌握拋物線的定義，掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)。
2.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中P的幾何意義，能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的問題。教學(xué)難點：拋物線概念的形成
教學(xué)重點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和運用 教學(xué)環(huán)節(jié)：
環(huán)節(jié)一，回顧橢圓、雙曲線的定義，回顧橢圓和雙曲線的第二定義，引入拋物線。環(huán)節(jié)二，觀察和分析拋物線的形成過程，得出拋物線的定義并建系求解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
環(huán)節(jié)三：講解例題，學(xué)生課堂練習(xí)。環(huán)節(jié)四：介紹圓錐曲線名稱的來歷。環(huán)節(jié)五：小結(jié)，布置作業(yè)。附：教學(xué)設(shè)計PPT
第三篇：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計案例
課程分析：拋物線是解析幾何的重要組成部分，是今后學(xué)習(xí)解析幾何的基礎(chǔ)。本節(jié)對拋物線的教學(xué)，是在學(xué)生對于拋物線基本知識和研究方法已經(jīng)熟悉的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，所以學(xué)習(xí)時采用了類比的方法，讓學(xué)生通過自主研究、合作交流等方式自己構(gòu)建新知識。
學(xué)情分析：《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》高中數(shù)學(xué)（選修2-1）中的內(nèi)容，適用對象是高二年級的學(xué)生。學(xué)生在初中階段所學(xué)的二次函數(shù)中，已經(jīng)初步接觸過拋物線。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步了解拋物線所形成的幾何本質(zhì)。在研究橢圓和雙曲線的基礎(chǔ)上，通過類比來研究拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握研究曲線的基本方法，并為他們今后學(xué)習(xí)解析幾何奠定良好的基礎(chǔ)。類比學(xué)習(xí)時，要注意知識上的相似點和不同點，要注意加以區(qū)別，以防混淆。設(shè)計理念：本節(jié)課主要采用了誘思探究教學(xué)，改變了傳統(tǒng)教學(xué)中滿堂灌的教學(xué)方法，讓學(xué)生自己動手探索新知識新問題。通過日常生活中存在的數(shù)學(xué)問題創(chuàng)設(shè)情境引出新知，充分調(diào)動了學(xué)生探討問題的積極性；考慮到學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的能力較弱，設(shè)置了一系列探究問題，幫學(xué)生鋪設(shè)好臺階，引導(dǎo)學(xué)生討論、主動探索，自己構(gòu)建新知識，鼓勵提出不同見解，發(fā)表個人看法，真正成為課堂的主人。要讓學(xué)生在整個教學(xué)過程體會到發(fā)現(xiàn)的樂趣，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，充分發(fā)揮情意因素的作用。自制多媒體課件，用幾何畫板制作。通過多媒體，增強(qiáng)了教學(xué)的直觀性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)生興趣，同時又可提高課堂效率；使用了投影儀，迅速快捷地展示學(xué)生的解題方案，便于課堂討論和點評，不斷優(yōu)化學(xué)生思維，規(guī)范學(xué)生解題過程。建立了一種多媒體、大容量、高效率的教學(xué)模式，并通過這種教學(xué)示范培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、理解拋物線的定義，并能根據(jù)拋物線的定義恰當(dāng)?shù)倪x擇坐標(biāo)系，建立及推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
2、了解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)分析、歸納、推理等能力。
3、掌握用待定系數(shù)法求拋物線方程的方法，并能根據(jù)條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
教學(xué)流程：
1、創(chuàng)設(shè)情境
復(fù)習(xí)：（1）出示課件中的橢圓圖像，讓學(xué)生說出橢圓的第二種定義（屏幕顯示橢圓的定義 ：到定點與到定直線的距離的比是小于1的常數(shù)的點的軌跡是橢圓。）
（2）出示課件中的雙曲線圖像，讓學(xué)生說出雙曲線的第二種定義。（屏幕顯示雙曲線的定義：到定點與到定直線的距離的比是大于1的常數(shù)的點的軌跡是雙曲線。）
2、概念形成： 探究問題1：通過比較橢圓和雙曲線的定義思考：到定點的距離和到定直線的距離的比是等于1的常數(shù)的點的軌跡是什么？ 動畫演示拋物線的形成
（實錄：學(xué)生觀察曲線，更好的從圖象上了解拋物線）（點評：通過類比更好的凸現(xiàn)了拋物線的獨特之處）
屏幕顯示拋物線定義：到定點與到定直線的距離的比是等于1的常數(shù)的點的軌跡，即拋物線。
3、概念深化
問題：建立曲線方程一般有哪幾個步驟？
（學(xué)生回憶 建系--設(shè)點--列式--化簡--證明）探究問題2：如何選擇合適的坐標(biāo)系建立方程？
（實錄：學(xué)生結(jié)合剛才在幾何畫板上所做的拋物線，思考、討論該如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，教師巡視、傾聽，然后讓學(xué)生發(fā)言。學(xué)生共同探討出多種方案，其中有3種最為常見。
生1：以l為y軸，過點F垂直于l的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系。
生2：以定點F為原點，過點F垂直于l的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系。
生3：過焦點F作直線FN垂直于直線l，垂足為N。以直線NF為x軸，線段NF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系）
探究問題3：請在這三種建系方案下推導(dǎo)出拋物線的方程。提示以定義為依據(jù)求拋物線的方程。
（實錄：學(xué)生自己動手求解，紛紛發(fā)言，說出三種方案所求的結(jié)果。教師巡視、指導(dǎo)）
（點評：學(xué)生自己動手在不同的方案下推導(dǎo)方程，可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情，有助于增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果，加深對知識的理解。讓學(xué)生分組動手，在三個建系方案下進(jìn)行推導(dǎo)，然后通過對比得出標(biāo)準(zhǔn)方程，使學(xué)生更能體會不同坐標(biāo)系下方程的差異，進(jìn)一步認(rèn)識拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)及對應(yīng)參數(shù)的意義。）
探究問題4：通過以上過程的比較，哪種方案的結(jié)果具有較簡單的形式？
（實錄：學(xué)生對比發(fā)現(xiàn)第3種方案的結(jié)果不僅具有較簡單的形式，而且方程中的一次項系數(shù)是焦點到準(zhǔn)線的距離的兩倍。教師就勢引導(dǎo)： 這個方程就叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點在x軸的正半軸上，參數(shù)p的幾何意義：焦點到準(zhǔn)線的距離；焦點坐標(biāo)為：(x??p2p2,0)，準(zhǔn)線方程為：）
（點評：一題多解并選擇最優(yōu)解。給學(xué)生自己探索的空間，讓學(xué)生共同體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，提高分析問題的能力。學(xué)生在合作交流、與人分享、探討的氛圍中傾聽、質(zhì)疑、表述，體驗成功的喜悅；學(xué)會合作，并在合作中懂得欣賞他人）
探究問題5：拋物線其他三種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程。開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2?2px(p?0)，那么，對于開口向左、向上、向下的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程又是什么呢？類比開口向右的拋物線，把表格一一完善。
（實錄：投影學(xué)生答案，引導(dǎo)學(xué)生把圖形的位置特征和方程的形式結(jié)合起來記憶。）
探究問題6：通過四種標(biāo)準(zhǔn)方程的對比，從方程的形式上看，可以得出標(biāo)準(zhǔn)方程與圖像有何聯(lián)系？
（實錄：學(xué)生先各自獨立思考，然后四人一組，互相討論，小組之間互相交流意見，不能達(dá)成共識的請教老師。最后，得出：①方程的一次項決定焦點位置；②一次項系數(shù)的符號決定開口方向）
（點評：通過表格的形式，讓學(xué)生自主探求其中的關(guān)系，使學(xué)生從整體上理解和掌握四個標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形）
、遷移運用
例1根據(jù)下列拋物線的方程分別求出它們的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。
①y2=4x ②x2=-8y ③y=2x2
（實錄：學(xué)生分組討論，各抒己見，互相補(bǔ)充。及時對學(xué)生進(jìn)行鼓勵，并將學(xué)生的解法投影，展示學(xué)生的成果，學(xué)生感覺比較有成就感）
（點評：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，挖掘?qū)W生的潛能，鼓勵學(xué)生大膽創(chuàng)新與實踐。要讓學(xué)生在自主探索和合作交流過程中獲得基本數(shù)學(xué)知識和技能，進(jìn)一步深化方程與焦點、準(zhǔn)線的關(guān)系）
例2 根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
①經(jīng)過點P(-2,-4)
②拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為2
③以直線2x-3y+6=0與坐標(biāo)軸的交點為焦點
（實錄：學(xué)生分組討論，互相補(bǔ)充。將學(xué)生的解法投影，展示學(xué)生的成果，及時對學(xué)生進(jìn)行鼓勵）
（點評：題目層次清晰，由淺入深，借助幾何畫板分析題目，增強(qiáng)直觀性）
5、歸納總結(jié)，升華提高 學(xué)生分組討論本節(jié)內(nèi)容，師生共同整理完善：（1）拋物線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的形式（2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與圖像的關(guān)系
（3）數(shù)學(xué)思想方法：（數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想）
（點評:總結(jié)知識難度較大，因此設(shè)計學(xué)生討論且教師要適時點撥。學(xué)生通過反思總結(jié)提高了自己獲取知識的能力以及歸納概括能力，同時使自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更完整，知識更系統(tǒng)化）
6、反饋檢測，鞏固落實
（1）根據(jù)下列拋物線的方程分別求出它們的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。
①y2=-14x
②x2=18y ③y=-12x2
（2）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
①經(jīng)過點P(2,-4)②拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為8
（點評：通過設(shè)計與本節(jié)知識平行的題目，檢測學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)知識的掌握程度，落實知識情況，達(dá)到反饋矯正的目的。學(xué)生動手解答，展示出部分學(xué)生的解題過程，學(xué)生互相點評，可以進(jìn)一步加深學(xué)生對知識的理解程度）
（通過檢測，發(fā)現(xiàn)學(xué)生掌握得比較好）
7、布置作業(yè)
必作題：根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
1、經(jīng)過點P(8,16)
2、以直線4x-3y+12=0與坐標(biāo)軸的交點為焦點
選作題：已知拋物線y2=6x和點A(4,0).求拋物線上一點M與A距離的最小值，并指出M的坐標(biāo)。
（點評：分層次布置作業(yè)，讓有能力的學(xué)生能更好的發(fā)揮自己的能力）課后反思：本節(jié)課根據(jù)學(xué)生的實際情況進(jìn)行設(shè)計，并且讓學(xué)生真正成 為了課堂的主人。通過實物觀察和課件展示，學(xué)生積極思考，互相合 作，共同探究得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，他們的創(chuàng)造性思維得到了發(fā) 展；通過一系列思考和練習(xí)，學(xué)生加深了對知識和方法的理解。課堂 氣氛非?；钴S。
優(yōu)點：本節(jié)課的教學(xué)達(dá)到了預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，通過“類比－ 猜想－驗證－歸納”得出拋物線的定義，使學(xué)生體會到定義產(chǎn)生的全 過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。利用計算機(jī)輔助教學(xué)，將信息技術(shù)和課 堂教學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，有利于學(xué)生對知識的認(rèn)知和理解，有效地突 出了數(shù)形結(jié)合的思想。
不足：有時引導(dǎo)相對過細(xì)，沒能給學(xué)生創(chuàng)造更大的自主探索空間。
第四篇：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)案例
市教案設(shè)計一等獎
高中數(shù)學(xué)“情境·問題·反思·應(yīng)用”
——“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)案例
梁
家
斌
（江蘇省金湖中學(xué)，江蘇 金湖 211600）
摘要：通過幾何畫板及Fash的演示，使學(xué)生直觀感受拋物線的形成過程，然后學(xué)生運用類比的方法，自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，最后反思應(yīng)用。
關(guān)鍵詞：拋物線；標(biāo)準(zhǔn)方程；教學(xué) 1 教學(xué)設(shè)計
1.1 教學(xué)內(nèi)容分析
圓錐曲線是解析幾何中的一個重要內(nèi)容，本章圓錐曲線分為橢圓、雙曲線和拋物線三個部分，三部分在圓錐曲線中的地位相同。本章對拋物線的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因為學(xué)生對于橢圓、雙曲線的基本知識和研究方法已經(jīng)熟悉了，這里精簡介紹，學(xué)生是完全可以接受的，講解時應(yīng)采用類比的方法讓學(xué)生自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，最后反思應(yīng)用。本課是高二數(shù)學(xué)§8.5的第一課時，它是學(xué)習(xí)拋物線的性質(zhì)及其應(yīng)用的基礎(chǔ)。拋物線的定義很簡單但非常重要，學(xué)習(xí)時要注意和橢圓、雙曲線的第二定義相聯(lián)系，為深刻體會圓錐曲線的統(tǒng)一定義作好充分準(zhǔn)備。由橢圓、雙曲線、拋物線的定義可以看出，它們都是平面內(nèi)與一個定點的距離和它到一條直線的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡，隨著e的變化，軌跡的圖形發(fā)生變化，既可從中得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，又可對學(xué)生進(jìn)行運動、變化、對立、統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育。在由拋物線的定義導(dǎo)出它的標(biāo)準(zhǔn)方程時，可先讓學(xué)生考慮怎樣選擇坐標(biāo)系，在導(dǎo)出方程的過程中，設(shè)焦點到準(zhǔn)線的距離是p，這就是拋物線方程中參數(shù)p的幾何意義，所以p的值永遠(yuǎn)大于0。1.2 數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)
筆者上這一節(jié)課的時間是2003年12月10日上午第二節(jié)，當(dāng)時的背景是淮安市高
一、高二數(shù)學(xué)研討會在我校舉行，圍繞新課改的精神，如何進(jìn)行課堂教學(xué)上的一節(jié)公開課。筆者設(shè)置了以下的數(shù)學(xué)情境：
前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內(nèi)容是什么？
與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時是橢圓，當(dāng)e＞1時是雙曲線，那么，當(dāng)e=1時，它是什么曲線呢？
師生一起利用幾何畫板進(jìn)行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。1.3 教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)教學(xué)大綱和考試說明，結(jié)合數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，確定本節(jié)課的素質(zhì)教育目標(biāo)是： ⑴知識教學(xué)目標(biāo)：理解和掌握拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程。
⑵能力訓(xùn)練目標(biāo)：掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握拋物線的焦點、準(zhǔn)線及方程與焦點坐標(biāo)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比的思想。
⑶德育滲透目標(biāo)：根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，對學(xué)生進(jìn)行運動、變化、對立、統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育。2 教學(xué)過程 2.1 創(chuàng)設(shè)情境
師：前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內(nèi)容是什么？
生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時是橢圓，當(dāng)e＞1時是雙曲線，那么，當(dāng)e=1時，它是什么曲線呢？
師生一起利用幾何畫板進(jìn)行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。
（通過幾何畫板的演示，由e的變化揭示課題，通過研究e的值，得到拋物線，再觀察拋物線的點滿足的條件，由學(xué)生歸納拋物線的定義，生動、直觀。）2.2 探索研究
1、實驗、演示，觀察猜想。幾何畫板課件演示：
學(xué)生觀察 ① 動點M到焦點F的距離|MF|與動點M到定直線l的距離d之間的關(guān)系；② 觀察追蹤動點M得到的軌跡形狀。
探索出當(dāng)e ＝1時動點M的軌跡為拋物線，進(jìn)而給出拋物線的定義。
2、拋物線的定義：
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.3、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。師：下面，根據(jù)拋物線的定義，我們來求拋物線的方程，過F作準(zhǔn)線的垂線，垂足為K，設(shè)｜MK｜＝p，如何建立直角坐標(biāo)系？
先讓學(xué)生思考，獨立建立直角坐標(biāo)系，教師巡視，從學(xué)生中歸納出以下幾種解法，視頻展臺展出。
y2＝2px－p2(p＞0)
y2＝2px＋p2(p＞0)
y2＝2px(p＞0)
師：選擇哪一種方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？并說明理由。
生：將方程y2＝2px(p＞0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，因為此時方程最簡潔，頂點是原點。師：很好！我們把方程y2＝2px(p＞0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是(p/2,0),準(zhǔn)線方程是x＝－p/2。（Flash動畫演示）
強(qiáng)調(diào)：① p的幾何意義；
② 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p>0），迅速寫出它的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程； ③ 已知拋物線的焦點F（p/2，0）或準(zhǔn)線方程x＝－p/2（p>0），迅速寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程。練習(xí)：已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝6x，則焦點坐標(biāo)是________；準(zhǔn)線方程是_____________。生：焦點(3/2, 0)，準(zhǔn)線方程是x＝－3/2。
4、討論四種位置上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程
利用Fash，設(shè)置一個旋轉(zhuǎn)按鈕將焦點在x軸正半軸上的拋物線（上圖）逆時針旋轉(zhuǎn)分別得到下列圖形，由學(xué)生說出標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程。
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程：y2＝－2px（p>0）
x2＝2py（p>0）
x2＝－2py（p>0）焦
點：F(－p/2,0)
F(0，p/2)
F(0，－p/2)準(zhǔn)線方程：x＝p/2
y＝－p/2
y＝p/2 師：觀察上面的圖與表格，觀察、歸納，尋找異同？ 生：相同點 ① 頂點為原點； ② 對稱軸為坐標(biāo)軸；
③頂點到焦點的距離等于頂點到準(zhǔn)線的距離，其值為p(p＞0)。不同點 ①一次項變量為x（或y），則焦點在x（或y）軸；若系數(shù)為正，則焦點在正半軸上，系數(shù)為負(fù)，則焦點在負(fù)半軸上；
② 焦點在x（或y）軸的正半軸上，開口向右（向上），焦點在x（或y）軸的負(fù)半軸上，開口向左（向下）。
（學(xué)生先歸納，師然后點評）
師：知道拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何寫出焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程？
生1：先確定焦點的位置，然后根據(jù)表格寫出焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程。
生2：先觀察方程的結(jié)構(gòu)，若一次項變量為x，則焦點的橫坐標(biāo)是一次項系數(shù)的1/4，縱坐標(biāo)為0；若一次項變量為y，則焦點的縱坐標(biāo)是一次項系數(shù)的1/4，橫坐標(biāo)為0。2.3 反思應(yīng)用
例1 已知拋物線的焦點坐標(biāo)是F（0，－2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.生：因為焦點在y軸的負(fù)半軸上，并且所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=－8y.變：
⑴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=－6x，則它的焦點坐標(biāo)是＿，準(zhǔn)線方程是＿＿＿； 生：焦點(－3/2,0)，準(zhǔn)線方程x＝3/2 ⑵拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y=－x2/8，則它的焦點坐標(biāo)是＿，準(zhǔn)線方程是＿； 生：焦點(0，－2)，準(zhǔn)線方程x＝2 ⑶拋物線的焦點F(0,3)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是________； 生：x2＝12y ⑷拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝3,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是＿＿＿＿＿＿； 生：x2＝－12y ⑸拋物線的焦點在x軸上，且過點(－3,2)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____； 生：由拋物線過點(－3,2)，且焦點在x軸上，設(shè)方程為y2＝－2px(p>0), 將點(－3,2)代入方程得p＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。
師：大家想一想，在橢圓（或雙曲線）中，若橢圓（雙曲線）經(jīng)過兩個點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程時，我們是如何設(shè)方程的？
生：一般化，設(shè)mx2＋ny2＝1(m>0,n>0)師：這里能否一般化？
生2：能！∵拋物線的焦點在x軸上，∴設(shè)方程y2＝mx(m≠0)將點(－3,2)代入方程得m＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。例2 求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ⑴過點(－3,2)；
生：設(shè)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，將點的坐標(biāo)代入得
y2 ＝－4x/3或 x2＝9y/2 ⑵焦點為直線l：2x＋y－4＝0與坐標(biāo)軸的交點。生：先求出直線與坐標(biāo)軸的交點（2,0）或（0,4），故標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 ＝8x或 x2＝16y 例3 點P(2,y)為拋物線y2＝8x上的一點，F(xiàn)是它的焦點，則|PF|＝______，y＝_____。
生：由拋物線y2＝8x知準(zhǔn)線方程x＝－2，根據(jù)拋物線的定義知|PF|等于點P到準(zhǔn)線的距離4，將點的坐標(biāo)代入方程有y＝±4。
師：解決這類問題，首先心中要有一個圖形，利用定義求解是關(guān)鍵。變：若點Q為拋物線的一點，⑴若|QF|＝4，則點Q的坐標(biāo)是_________； 生：(2,±4)⑵|QF|的最小值是_______； 生：2 ⑶若A(3,4),則|QA|＋|QF|的最小值是____，此時點Q的坐標(biāo)是_______。生：5；（2,4）2.4 歸納總結(jié)
師：下面請同學(xué)們回憶一下，這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容？
生：⑴拋物線的定義、焦點、準(zhǔn)線、標(biāo)準(zhǔn)方程等基本知識及其相互聯(lián)系； ⑵理解p的幾何意義，即焦點到準(zhǔn)線的距離，p>0；
⑶掌握用坐標(biāo)法求曲線方程的方法，要注意選好坐標(biāo)系的恰當(dāng)位置。師：用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法：
生：坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法、定義法 師：一起觀看表格，并填充（表在幾何畫板上）3 回顧反思
這堂課受到聽課教師和學(xué)生的好評，主要是因為把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)情境，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容直觀、生動，抓住解析幾何的核心─數(shù)形結(jié)合。3.1創(chuàng)設(shè)情境是上好課的基礎(chǔ)
利用幾何畫板從學(xué)生已有的知識進(jìn)行遷移，采用類比的方法讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)、合作交流，體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力。3.2恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題
在上課前需要事先預(yù)想學(xué)生可能會提出的問題以及可能提出的解決方法，但是也不能忽視學(xué)生的發(fā)散思維，在講授過程中并不是每一個環(huán)節(jié)都能按照教師預(yù)想的步驟進(jìn)行，對于課堂上突發(fā)性的問題，教師要能自如地應(yīng)對。比如，在如何建立直角坐標(biāo)系求方程時，有一個學(xué)生提出以FK為y軸，F(xiàn)K的中垂線為x軸，雖然與我們的過程不一致，也要加以肯定與鼓勵，其實從另一個角度來看，反而是一件好事，為我們后面談其它三種形式埋下引子。3.3 變式訓(xùn)練，提高學(xué)生解題能力與思維深度
在本例中，我們圍繞例1進(jìn)行變式訓(xùn)練，師生圍繞幾個典型問題展開了充分的討論，學(xué)生在質(zhì)疑、討論、總結(jié)的過程中，理解了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，形成了自己的數(shù)學(xué)思想方法，更觸發(fā)了學(xué)生積極思考、勤奮探索的動力，開發(fā)了學(xué)生的智慧源泉，實現(xiàn)了舉一反
三、觸類旁通的效果。3.4 教師的反思
第五篇：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)案例
“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)案例教學(xué)設(shè)計
1.1 教學(xué)內(nèi)容分析
圓錐曲線是解析幾何中的一個重要內(nèi)容，本章圓錐曲線分為橢圓、雙曲線和拋物線三個部分，三部分在圓錐曲線中的地位相同。本章對拋物線的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因為學(xué)生對于橢圓、雙曲線的基本知識和研究方法已經(jīng)熟悉了，這里精簡介紹，學(xué)生是完全可以接受的，講解時應(yīng)采用類比的方法讓學(xué)生自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，最后反思應(yīng)用。本課是高二數(shù)學(xué)8.5的第一課時，它是學(xué)習(xí)拋物線的性質(zhì)及其應(yīng)用的基礎(chǔ)。拋物線的定義很簡單但非常重要，學(xué)習(xí)時要注意和橢圓、雙曲線的第二定義相聯(lián)系，為深刻體會圓錐曲線的統(tǒng)一定義作好充分準(zhǔn)備。由橢圓、雙曲線、拋物線的定義可以看出，它們都是平面內(nèi)與一個定點的距離和它到一條直線的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡，隨著e的變化，軌跡的圖形發(fā)生變化，既可從中得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，又可對學(xué)生進(jìn)行運動、變化、對立、統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育。在由拋物線的定義導(dǎo)出它的標(biāo)準(zhǔn)方程時，可先讓學(xué)生考慮怎樣選擇坐標(biāo)系，在導(dǎo)出方程的過程中，設(shè)焦點到準(zhǔn)線的距離是p，這就是拋物線方程中參數(shù)p的幾何意義，所以p的值永遠(yuǎn)大于0。1.2 數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)
筆者上這一節(jié)課的時間是2015年4月10日上午第二節(jié)，當(dāng)時的背景是高
一、高二數(shù)學(xué)研討會在我校舉行，圍繞新課改的精神，如何進(jìn)行課堂教學(xué)上的一節(jié)公開課。筆者設(shè)置了以下的數(shù)學(xué)情境：
前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內(nèi)容是什么？
與一個 定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時是橢圓，當(dāng)e＞1時是雙曲線，那么，當(dāng)e=1時，它是什么曲線呢？
師生一起利用幾何畫板進(jìn)行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。1.3 教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)教學(xué)大綱和考試說明，結(jié)合數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，確定本節(jié)課的素質(zhì)教育目標(biāo)是：
⑴知識教學(xué)目標(biāo)：理解和掌握拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程。
⑵能力訓(xùn)練目標(biāo)：掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握拋物線的焦點、準(zhǔn)線及方程與焦點坐標(biāo)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比的思想。
⑶德育滲透目標(biāo)：根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，對學(xué)生進(jìn)行運動、變化、對立、統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育。教學(xué)過程
2.1 創(chuàng)設(shè)情境
師：前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內(nèi)容是什么？
生：與一個 定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時是橢圓，當(dāng)e＞1時是雙曲線，那么，當(dāng)e=1時，它是什么曲線呢？
師生一起利用幾何畫板進(jìn)行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。（通過幾何畫板的演示，由e的變化揭示課題，通過研究e的值，得到拋物線，再觀察拋物線的點滿足的條件，由學(xué)生歸納拋物線的定義，生動、直觀。）2.2 探索研究
1、實驗、演示，觀察猜想。幾何畫板課件演示：
學(xué)生觀察 ① 動點M到焦點F的距離|MF|與動點M到定直線l的距離d之間的關(guān)系；② 觀察追蹤動點M得到的軌跡形狀。
探索出當(dāng)e ＝1時動點M的軌跡為拋物線，進(jìn)而給出拋物線的定義。
2、拋物線的定義：
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.3、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
師：下面，根據(jù)拋物線的定義，我們來求拋物線的方程，過F作準(zhǔn)線的垂線，垂足為K，設(shè)｜MK｜＝p，如何建立直角坐標(biāo)系？
先讓學(xué)生思考，獨立建立直角坐標(biāo)系，教師巡視，從學(xué)生中歸納出以下幾種解法，視頻展臺展出。
(x?p)2?y2?|x|
x2?y2?|x?p|
pp(x?)2?y2?|x?|
22y2＝2px－p2(p＞0)
y2＝2px＋p2(p＞0)
y2＝2px(p＞0)
師：選擇哪一種方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？并說明理由。
生：將方程y2＝2px(p＞0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，因為此時方程最簡潔，頂點是原點。
師：很好！我們把方程y2＝2px(p＞0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是(p/2,0),準(zhǔn)線方程是x＝－p/2。
2（Flash動畫演示）
強(qiáng)調(diào)：① p的幾何意義；
② 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p>0），迅速寫出它的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程； ③ 已知拋物線的焦點F（p/2，0）或準(zhǔn)線方程x＝－p/2（p>0），迅速寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程。練習(xí)：已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝6x，則焦點坐標(biāo)是________；準(zhǔn)線方程是_____________。
生：焦點(3/2, 0)，準(zhǔn)線方程是x＝－3/2。
4、討論四種位置上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程
利用Fash，設(shè)置一個旋轉(zhuǎn)按鈕將焦點在x軸正半軸上的拋物線（上圖）逆時針旋轉(zhuǎn)分別得到下列圖形，由學(xué)生說出標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程。
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程：y2＝－2px（p>0）
x2＝2py（p>0）
x2＝－2py（p>0）焦
點：F(－p/2,0)
F(0，p/2)
F(0，－p/2)準(zhǔn)線方程：x＝p/2 y＝－p/2 y＝p/2 師：觀察上面的圖與表格，觀察、歸納，尋找異同？ 生：相同點
① 頂點為原點；
② 對稱軸為坐標(biāo)軸；
③頂點到焦點的距離等于頂點到準(zhǔn)線的距離，其值為p(p＞0)。不同點
①一次項變量為x（或y），則焦點在x（或y）軸；若系數(shù)為正，則焦點在正半軸上，系數(shù)為負(fù)，則焦點在負(fù)半軸上；
② 焦點在x（或y）軸的正半軸上，開口向右（向上），焦點在x（或y）軸的負(fù)半軸上，開口向左（向下）。
（學(xué)生先歸納，師然后點評）
師：知道拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何寫出焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程？
生1：先確定焦點的位置，然后根據(jù)表格寫出焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程。
生2：先觀察方程的結(jié)構(gòu)，若一次項變量為x，則焦點的橫坐標(biāo)是一次項系 3 數(shù)的1/4，縱坐標(biāo)為0；若一次項變量為y，則焦點的縱坐標(biāo)是一次項系數(shù)的1/4，橫坐標(biāo)為0。2.3 反思應(yīng)用
例1 已知拋物線的焦點坐標(biāo)是F（0，－2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.p生：因為焦點在y軸的負(fù)半軸上，并且?2,p?4,所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)
22方程是x=－8y.變：
⑴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=－6x，則它的焦點坐標(biāo)是＿，準(zhǔn)線方程是＿＿＿； 生：焦點(－3/2,0)，準(zhǔn)線方程x＝3/2
2⑵拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y=－x/8，則它的焦點坐標(biāo)是＿，準(zhǔn)線方程是＿； 生：焦點(0，－2)，準(zhǔn)線方程x＝2
師：大家想一想，在橢圓（或雙曲線）中，若橢圓（雙曲線）經(jīng)過兩個點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程時，我們是如何設(shè)方程的？
生：一般化，設(shè)mx2＋ny2＝1(m>0,n>0)師：這里能否一般化？
生2：能！∵拋物線的焦點在x軸上，∴設(shè)方程y2＝mx(m≠0)將點(－3,2)代入方程得m＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。
例2 求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ⑴過點(－3,2)；
生：設(shè)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，將點的坐標(biāo)代入得
y2 ＝－4x/3或 x2＝9y/2 ⑵焦點為直線l：2x＋y－4＝0與坐標(biāo)軸的交點。生：先求出直線與坐標(biāo)軸的交點（2,0）或（0,4），故標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 ＝8x或 x2＝16y
例3 點P(2,y)為拋物線y2＝8x上的一點，F(xiàn)是它的焦點，則|PF|＝______，y＝_____。
生：由拋物線y2＝8x知準(zhǔn)線方程x＝－2，根據(jù)拋物線的定義知|PF|等于點P到準(zhǔn)線的距離4，將點的坐標(biāo)代入方程有y＝±4。
師：解決這類問題，首先心中要有一個圖形，利用定義求解是關(guān)鍵。
變：若點Q為拋物線的一點，⑴若|QF|＝4，則點Q的坐標(biāo)是_________； 生：(2,±4)⑵|QF|的最小值是_______； 生：2 ⑶若A(3,4),則|QA|＋|QF|的最小值是____，此時點Q的坐標(biāo)是_______。生：5；（2,4）2.4 歸納總結(jié)
師：下面請同學(xué)們回憶一下，這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容？
生：⑴拋物線的定義、焦點、準(zhǔn)線、標(biāo)準(zhǔn)方程等基本知識及其相互聯(lián)系； ⑵理解p的幾何意義，即焦點到準(zhǔn)線的距離，p>0；
⑶掌握用坐標(biāo)法求曲線方程的方法，要注意選好坐標(biāo)系的恰當(dāng)位置。師：用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法：
生：坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法、定義法 師：一起觀看表格，并填充（表在幾何畫板上）回顧反思
這堂課受到聽課教師和學(xué)生的好評，主要是因為把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)情境，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容直觀、生動，抓住解析幾何的核心─數(shù)形結(jié)合。
3.1創(chuàng)設(shè)情境是上好課的基礎(chǔ)
利用幾何畫板從學(xué)生已有的知識進(jìn)行遷移，采用類比的方法讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)、合作交流，體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力。3.2恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題
在上課前需要事先預(yù)想學(xué)生可能會提出的問題以及可能提出的解決方法，但是也不能忽視學(xué)生的發(fā)散思維，在講授過程中并不是每一個環(huán)節(jié)都能按照教師預(yù)想的步驟進(jìn)行，對于課堂上突發(fā)性的問題，教師要能自如地應(yīng)對。比如，在如何建立直角坐標(biāo)系求方程時，有一個學(xué)生提出以FK為y軸，F(xiàn)K的中垂線為x軸，雖然與我們的過程不一致，也要加以肯定與鼓勵，其實從另一個角度來看，反而是一件好事，為我們后面談其它三種形式埋下引子。3.3 變式訓(xùn)練，提高學(xué)生解題能力與思維深度
在本例中，我們圍繞例1進(jìn)行變式訓(xùn)練，師生圍繞幾個典型問題展開了充分的討論，學(xué)生在質(zhì)疑、討論、總結(jié)的過程中，理解了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，形成了自己的數(shù)學(xué)思想方法，更觸發(fā)了學(xué)生積極思考、勤奮探索的動力，開發(fā)了學(xué)生的智慧源泉，實現(xiàn)了舉一反
三、觸類旁通的效果。3.4 教師的反思
雖然本節(jié)課基本體現(xiàn)了新課改的精神，培養(yǎng)學(xué)生積極參與的習(xí)慣，并運用多媒體進(jìn)行輔助教學(xué)，但是仍存在不足之處，如：拋物線的定義“平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線.”從嚴(yán)格意義看是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，此時如設(shè)問“若定點F在定直線l上，則軌跡是什么呢？”可強(qiáng)化學(xué)生對拋物線的定義的理解；其次歸納總結(jié)時在深化一下，如“知道拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何畫拋物線的簡圖？”可引導(dǎo)學(xué)生課后有目的的預(yù)習(xí)，效果會更好；再次，如何根據(jù)學(xué)生發(fā)展的需要創(chuàng)造性的使用教材，學(xué)會靈活、能動地運用教材，根據(jù)學(xué)生的實際調(diào)整、增刪教學(xué)內(nèi)容，這幾個方面還有許多值得改進(jìn)的地方。
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