第一篇：“余弦定理”復(fù)習(xí)課：通過數(shù)學(xué)史體現(xiàn)綜合性

【編者按】 從2014年第5期開始，我們連續(xù)刊發(fā)了華東師范大學(xué)汪曉勤教授及其研究團(tuán)隊開發(fā)的HPM案例，為數(shù)學(xué)教學(xué)如何融入數(shù)學(xué)史提供了“例子”，倍受讀者朋友們的歡迎。本期呈現(xiàn)的是顧彥瓊、汪曉勤兩位老師的研究成果。

顧彥瓊1，汪曉勤2（1.上海市南匯中學(xué)，201399；2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，200241）

摘要：新授課中，教學(xué)起點(diǎn)和歐氏幾何方法的缺失使得余弦定理成了無源之水、無本之木，從而導(dǎo)致學(xué)生對余弦定理只知其然，而不知其所以然。通過對歷史材料的分析和對課前學(xué)情的調(diào)查，在復(fù)習(xí)課中以余弦定理的證明為線索，利用數(shù)學(xué)史引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生；從勾股定理開始，自然深入、逐步推廣，引出推導(dǎo)余弦定理的三種歐氏幾何方法、一種平面三角方法、一種向量幾何方法和一種解析幾何方法，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自覺養(yǎng)成追根溯源、形成知識網(wǎng)絡(luò)的習(xí)慣，充分體現(xiàn)知識的綜合性。關(guān)鍵詞：HPM 余弦定理 復(fù)習(xí)課 教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的重要環(huán)節(jié)，它具有重復(fù)性、概括性、系統(tǒng)性和綜合性等特點(diǎn)；數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要在重復(fù)和概括的基礎(chǔ)上進(jìn)行梳理，使數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)化、綜合化。在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，兼顧知識的鞏固提高和教學(xué)的新鮮活力，乃是一線教師孜孜以求的目標(biāo)；但是，在課業(yè)負(fù)擔(dān)繁重且有考試壓力的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要在協(xié)調(diào)教學(xué)進(jìn)度的同時讓復(fù)習(xí)課有文化內(nèi)涵，使學(xué)生在其中探奇尋樂，似乎已然成為遙不可及的追求。在滬教版高中數(shù)學(xué)教材的設(shè)計中，“余弦定理”的新授課被安排在高一第二學(xué)期，主要教學(xué)目標(biāo)是，掌握余弦定理的內(nèi)容及其證明，以及運(yùn)用余弦定理解決“邊角邊”和“邊邊邊”問題。但是，新授課中，教學(xué)起點(diǎn)和歐氏幾何方法的缺失使得余弦定理成了無源之水、無本之木，從而導(dǎo)致學(xué)生對余弦定理只知其然，而不知其所以然。受陳敏晧老師的“余弦定理”教學(xué)設(shè)計的啟發(fā)，我們嘗試將數(shù)學(xué)史運(yùn)用于“余弦定理”復(fù)習(xí)課中，以體現(xiàn)知識的系統(tǒng)性、綜合性。

一、歷史材料分析

余弦定理作為勾股定理的推廣，最早出現(xiàn)于歐幾里得的《幾何原本》第2卷中： 命題12在鈍角三角形中，鈍角對邊上的正方形面積大于兩銳角對邊上的正方形面積之和，其差為一矩形面積的兩倍，該矩形由一銳角的對邊和從該銳角（頂點(diǎn)）向?qū)呇娱L線作垂線，垂足到鈍角（頂點(diǎn)）之間的一段所構(gòu)成。命題13在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形面積小于該銳角兩邊上的正方形面積之和，其差為一矩形面積的兩倍，該矩形由另一銳角的對邊和從該銳角（頂點(diǎn)）向?qū)呑鞔咕€，垂足到原銳角（頂點(diǎn)）之間的一段所構(gòu)成。

命題12相當(dāng)于說，如圖1所示，在鈍角△ABC中，a2=b2+c2+2cm；命題13相當(dāng)于說，如圖2所示，在銳角△ABC中，a2=b2+c2－2cm。歐幾里得利用勾股定理對上述命題進(jìn)行了證明。

公元2世紀(jì)，托勒密（C.Ptolemy，約100～170）在其《天文大成》中利用上述命題解決了“已知三角形三邊，求角”的問題，但并未明確提出余弦定理。不過，利用托勒密定理，我們的確能輕易證明余弦定理。

16世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家畢蒂克斯（B.Pitiscus，1561～1613）在其《三角學(xué)》中利用幾何方法求出了圖2（其中∠C為△ABC的最大角，可以是鈍角）中的m：m=(b2+c2－a2)/2c。畢蒂克斯于1595年首次將“三角學(xué)”（trigonometry）作為書名，他的方法成為了今天所謂“無字證明”的藍(lán)本。之后，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（F.Viète，1540～1603）明確給出了余弦定理的比例形式：2ab∶（a2+b2－c2）=1∶sin（90°－C）。

20世紀(jì)中葉以前，西方大多數(shù)三角學(xué)教材沿用了歐幾里得的方法來證明余弦定理，也有一些教材采用了畢蒂克斯的方法，或以一組射影公式a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA為出發(fā)點(diǎn)。英國數(shù)學(xué)家德摩根（A.de Morgan，1806～1871）則在其《三角形基礎(chǔ)》中別出心裁地利用和角公式和正弦定理來推導(dǎo)余弦定理。到了20世紀(jì)50年代，一些教材開始采用解析幾何的方法；而向量方法的出現(xiàn)，則是相當(dāng)晚近的事了。數(shù)學(xué)史告訴我們，余弦定理是作為勾股定理的推廣而誕生的，在18～19世紀(jì)的許多三角學(xué)著作中，它只是以幾何定理的身份出現(xiàn)；在從歐幾里得時代直到20世紀(jì)上半葉的兩千余年間，人們普遍采用幾何方法對余弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，正是包括今天所謂“無字證明”在內(nèi)的那些幾何方法，才使其展現(xiàn)出了迷人的魅力。因此，以勾股定理為起點(diǎn)，用不同的幾何方法來推導(dǎo)余弦定理，以彌補(bǔ)新授課中解析幾何方法的不足，是歷史帶給我們的“余弦定理”復(fù)習(xí)課的教學(xué)啟示。而且，不同于新授課，復(fù)習(xí)課中因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)學(xué)過余弦定理及其他相關(guān)內(nèi)容，所以對于數(shù)學(xué)史的運(yùn)用可以更加廣泛、自由。

二、課前學(xué)情調(diào)查

課前，我們通過問卷，對所教的兩個班級共84名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。所設(shè)計的問題是：（1）請寫出余弦定理；

（2）請說明余弦定理可以用來解決哪些解斜三角形問題；（3）請證明余弦定理。

對于前兩個問題，84名學(xué)生中的82名都能作出正確回答。對于第三個問題，則少有學(xué)生能正確給出完整的證明：其中41名學(xué)生直接回答“不知道”“不會”或“不清楚”；11名學(xué)生記得用平面向量的方法證明，但是只有4名學(xué)生能證明出來；13名學(xué)生記得用兩點(diǎn)之間的距離公式證明，但是有5名學(xué)生聯(lián)想到單位圓（通過訪談了解到，這是由于受到和角余弦公式證明的影響），只有3名學(xué)生能正確證明；其余學(xué)生的證明都不著邊際。

調(diào)查表明：學(xué)生對余弦定理的解析幾何證明方法和向量證明方法印象不深；學(xué)生有輕過程、重結(jié)論的傾向，即只求“魚”而不得“漁”。

以下是我們對一名數(shù)學(xué)成績一直比較優(yōu)秀的男生的訪談片段： 師 你還記得余弦定理嗎？

生 讓我想一下，是用來解斜三角形的那個東西嗎？ 師 是的。你還記得是什么嗎？（學(xué)生用紙筆寫下來。）師 你能證明一下嗎？

生 哦，我不記得了，一點(diǎn)兒也不記得了。師 真的嗎？請你再想一想。

生 好像是要建立平面直角坐標(biāo)系的。

師 那么，你可以把證明過程寫下來給我看一下嗎？

生 哦，那太難了！老師，你為什么要問我這樣的問題？ 師 因?yàn)槲以缟献隽藛柧碚{(diào)查，本來以為他們會用比較淳樸的方法做，但沒想到他們都沒做出來。

生 哦，老師，你要理解他們。在這種應(yīng)試教育下，能背出公式來，已經(jīng)很不容易了。師 可是我覺得，最近才剛學(xué)過一個新工具（平面向量），印象應(yīng)該會深刻一點(diǎn)?。浚▽W(xué)生嘗試著寫出證明過程，但數(shù)十分鐘后，仍然未能證明。）

訪談表明，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生對已學(xué)過的余弦定理的證明同樣無從入手。

三、教學(xué)設(shè)計與實(shí)施

（一）提出問題，激發(fā)興趣 課始，教師開門見山地說道：“我們在高一第二學(xué)期學(xué)習(xí)了余弦定理，但課前的問卷調(diào)查卻表明，同學(xué)們普遍知道余弦定理是什么，可以用來解決什么樣的問題，卻不知道怎樣去證明余弦定理。高二第一學(xué)期即將結(jié)束，與高一相比，我們已經(jīng)儲備了更豐富的數(shù)學(xué)知識，證明余弦定理的方法也變得更多樣了。本節(jié)課中，就讓我們一起來回答以下兩個問題?！比缓?，教師出示本課的主旨問題： 問題1我們可以用怎樣的方法來證明余弦定理？ 問題2比較各種方法，我們更喜歡哪一種？

（二）以史開道，回歸起點(diǎn)

為了回答上述問題，教師首先要求學(xué)生回憶勾股定理的證明。少數(shù)學(xué)生說“模糊地記得”，多數(shù)學(xué)生則表示，初中時老師也只是一筆帶過，直接給出結(jié)論而并不作具體的證明。于是，教師說道：“歐幾里得很早就給出過勾股定理的證明。這一證法，被阿拉伯人形象地稱為‘新娘的座椅’?！比缓?，展示勾股定理的歐幾里得證明：

如圖3所示，分別在直角△ABC的三邊上作正方形ACDE、ABFG和BCHI，作CL⊥GF于L。連接BE和CG，則由AE和BC的平行關(guān)系，可得正方形ACDE的面積等于△AEB的兩倍；由AG和CM的平行關(guān)系，可得長方形AMLG的面積等于△ACG的兩倍。而△AEB≌△ACG，故知正方形ACDE和長方形AMLG的面積相等。同理，可得正方形BCHI與長方形BMLF的面積相等。

接著，教師引導(dǎo)道：“如果△ABC是斜三角形，那么其三邊又有怎樣的大小關(guān)系呢？”學(xué)生嘗試、討論之后，教師說道：“歐幾里得在《幾何原本》第2卷中將勾股定理進(jìn)行了推廣，分別給出了鈍角三角形和銳角三角形三邊之間的關(guān)系?！比缓?，展示余弦定理的歐幾里得證明： 如圖1和圖2，由勾股定理，分別得a2=h2+（c+m）2=h2+m2+c2+2cm =b2+c2+2cm，a2=h2+（c－m）2=h2+m2+c2－2cm=b2+c2－2cm。

（三）對話先哲，推陳出新 在歐幾里得證明的基礎(chǔ)上，教師問道：“歐幾里得對余弦定理的證明有什么不足？怎么將其改進(jìn)成我們現(xiàn)在的統(tǒng)一的形式呢？”由此，引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)對歐幾里得的證明稍加改進(jìn)： 在圖1中，有m=－bcosA，h=bsinA；在圖2中，有m=bcosA，h=bsinA。所以，在圖1和圖2中，由勾股定理，均可得（bsinA）2+（c－bcosA）2=a2，整理得a2=b2+c2－2bccosA。接著，教師引導(dǎo)道：“歐幾里得只是利用勾股定理來證明余弦定理。而我們能否利用他證明勾股定理的面積方法來推導(dǎo)余弦定理呢？”學(xué)生躍躍欲試，師生共同完成以下證明： 如圖4所示，△ABC為銳角三角形，仿照歐幾里得的做法，在其三邊外側(cè)分別作正方形ACDE、ABFG和BCHI；分別從三個頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足分別為K、M和N，與正方形另一邊的交點(diǎn)分別為L、P和Q。于是，SAMPE=SAKLG，SBNQI=SBKLF，因此，c2=SAMPE+SBNQI=a2+b2－（SMCDP+SNCHQ）。而又有SMCDP=b（acosC）=abcosC，SNCHQ=a（bcosC）=abcosC，故c2=a2+b2 －2abcosc。

此后，教師讓學(xué)生課后完成鈍角三角形情形的證明。

（四）汲取養(yǎng)料，拓寬思維

教師要求學(xué)生再次回顧“正弦定理擴(kuò)充定理”新授課中的證明方法，學(xué)生立刻想到可以引入輔助圓來證明余弦定理，教師便要求學(xué)生進(jìn)行小組討論。學(xué)生在證明過程中遇到了一些困惑，教師便順勢解惑，并引出了16世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家畢蒂克斯給出的類似證明方法： 在△ABC中，AC>BC。

如圖5所示，以C為圓心、BC為半徑作圓，交AC及其延長線于點(diǎn)F、E，交AB于另一點(diǎn)G。由平面幾何知識，可知AF·AE=AG·AB，此即（b－a）（b+a）=c（c－2acosB），整理得b2=a2+c2 －2accosB。

如圖6所示，若以AC為半徑作圓，則由BE·BF=BA·BG，同樣可得b2=a2+c2 －2accosB。

然后，教師請學(xué)生課后完成其他等式的證明。

（五）溫故知新，查缺補(bǔ)漏

對于學(xué)生自己想到的解析幾何法（利用兩點(diǎn)之間的距離公式）與向量法（數(shù)量積），為了增強(qiáng)學(xué)生的參與度，教師請學(xué)生板演，結(jié)果發(fā)現(xiàn)錯誤層出不窮：對于第一種方法，一些學(xué)生不恰當(dāng)?shù)剡x擇了原點(diǎn)，增加了計算的難度，這印證了學(xué)生對“適當(dāng)建立坐標(biāo)系”依然存在認(rèn)知缺陷；對于第二種方法，一名學(xué)生將向量與實(shí)數(shù)混為一談，得到|c|2=c·c=（a－b）·（a－b）=a2－2ab+b2，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)向量知識時出現(xiàn)的典型錯誤。通過展示與交流，學(xué)生糾正了錯誤，加深了理解。

最后，教師讓學(xué)生回顧△ABC中的和角正弦公式sin（A+B）=sinC=sinAcosB +cosAsinB，并簡單介紹了19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家德摩根給出的相關(guān)證明方法： 由sinC=sinAcosB+cosAsinB兩邊平方，得sin2C=sin2Acos2B +cos2Asin2B+2sinAsinBcosAcosB=sin2A+sin2B－2·sin2Asin2B+2sinAsinBcosAcosB=sin2A+sin2B+2sinAsinBcos（A+B）=sin2A+sin2B－2sinAsinBcosC。由正弦定理，即得c2=a2+b2－2abcosC。

（六）集思廣益，取其精華 在整節(jié)復(fù)習(xí)課臨近尾聲時，學(xué)生對證明方法的探索仍然意猶未盡。于是，教師布置家庭作業(yè)：（2）請列表比較證明余弦定理的幾種方法的特點(diǎn)。

四、結(jié)語

從歐幾里得開始，余弦定理經(jīng)歷了兩千多年的歷史，不同時空下的眾多數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)了自己的聰明才智。將數(shù)學(xué)史融入余弦定理復(fù)習(xí)課的教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的驚奇，感受數(shù)學(xué)的魅力，既為數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課染上了人文的色彩，也凸顯了數(shù)學(xué)背后探索和發(fā)現(xiàn)的精神，展現(xiàn)了精彩紛呈的思想方法。

本節(jié)復(fù)習(xí)課中，我們以余弦定理的證明為線索，利用數(shù)學(xué)史引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生；使余弦定理的證明從勾股定理開始自然深入、逐步推廣，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自覺養(yǎng)成追根溯源、形成知識網(wǎng)絡(luò)的習(xí)慣——如果學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過勾股定理的嚴(yán)格證明，則也能起到銜接初、高中教學(xué)的作用。本節(jié)復(fù)習(xí)課中，我們主要采用了六種方法來推導(dǎo)余弦定理，其中三種為歐氏幾何方法，另外三種分屬平面三角、向量幾何和解析幾何方法，充分體現(xiàn)了知識的綜合性（如圖7所示）。課后的問卷調(diào)查表明：超過80%的學(xué)生對歐幾里得的面積方法以及畢蒂克斯的輔助圓方法印象深刻，他們認(rèn)為，“這些方法太新奇了”“沒想到還會有這樣的證明方法”。

對于如何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，更好地開發(fā)HPM課例，本節(jié)課也有頗多啟示：

首先，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的豐富資源，而對數(shù)學(xué)史的獲取僅憑一己之力確實(shí)會力不從心且舉步維艱——正如從開采玉石到雕琢玉器，再到出售玉飾這一浩大工程又怎么會是一個人可以包攬下來的。而跨越這層障礙的最佳方式無疑是推行一種模式：先由大學(xué)教師完成相關(guān)主題的歷史研究，以獲得歷史材料，再由大學(xué)教師與中學(xué)教師合作，對材料進(jìn)行加工，使之適合于教學(xué)。

其次，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，使用數(shù)學(xué)史大可不必拘泥于單一的課型，新授課、復(fù)習(xí)課、試卷講評課中都可以體現(xiàn)其教育價值。而通過本節(jié)課的教學(xué)，顯然可見復(fù)習(xí)課也會因數(shù)學(xué)史元素的融入而更為新鮮有趣。

第三，在課后與學(xué)生的交談中，我們獲知，學(xué)生除了對數(shù)學(xué)史懷有濃厚的興趣外，還希望能在課堂上體現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系。這無疑也為HPM教學(xué)設(shè)計指明了更符合學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)的模式：從數(shù)學(xué)概念、定理在歷史上的來源與發(fā)展，到現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用及前景，如此“一站式教學(xué)”，能更好地讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)有趣、有用的真實(shí)所在。

第二篇：余弦定理數(shù)學(xué)史

三角學(xué)的歷史早期三角學(xué)不是一門獨(dú)立的學(xué)科，而是依附于天文學(xué)，是天文觀測結(jié)果推算的一種方法，因而最先發(fā)展起來的是球面三角學(xué)．希臘、印度、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中都有三角學(xué)的內(nèi)容，可大都是天文觀測的副產(chǎn)品．例如，古希臘門納勞斯（Ｍｅｎｅｌａｕｓ ｏｆ Ａｌｅｘａｎｄｒｉａ，公元 100 年左右）著《球面學(xué)》，提出了三角學(xué)的基礎(chǔ)問題和基本概念，特別是提出了球面三角學(xué)的門納勞斯定理； 50 年后，另一個古希臘學(xué)者托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ）著《天文學(xué)大成》，初步發(fā)展了三角學(xué)．而在公元 499 年，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多（ｒｙａｂｈａｔａ Ｉ）也表述出古代印度的三角學(xué)思想；其后的瓦拉哈米希拉（Ｖａｒａｈａｍｉｈｉｒａ，約 505 ～ 587）最早引入正弦概念，并給出最早的正弦表；公元 10 世紀(jì)的一些阿拉伯學(xué)者進(jìn)一步探討了三角學(xué)．當(dāng)然，所有這些工作都是天文學(xué)研究的組成部分．直到納西爾?。ǎ危幔螅椋?ｅｄ-Ｄｉｎ ａｌ Ｔｕｓｉ，1201 ～ 1274）的《橫截線原理書》才開始使三角學(xué)脫離天文學(xué)，成為純粹數(shù)學(xué)的一個獨(dú)立分支．而在歐洲，最早將三角學(xué)從天文學(xué)獨(dú)立出來的數(shù)學(xué)家是德國人雷格蒙塔努斯（Ｊ·Ｒｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，1436 ～ 1476）．

雷格蒙塔努斯的主要著作是 1464 年完成的《論各種三角形》．這是歐洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作．全書共 5 卷，前 2 卷論述平面三角學(xué)，后 3 卷討論球面三角學(xué)，是歐洲傳播三角學(xué)的源泉．雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數(shù)表．

雷格蒙塔努斯的工作為三角學(xué)在平面和球面幾何中的應(yīng)用建立了牢固的基礎(chǔ)．他去世以后，其著作手稿在學(xué)者中廣為傳閱，并最終出版，對 16 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響，也對哥白尼等一批天文學(xué)家產(chǎn)生了直接或間接的影響．

三角學(xué)一詞的英文是ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，來自拉丁文ｔｕｉｇｏｎｏｍｅｔｕｉａ．最先使用該詞的是文藝復(fù)興時期的德國數(shù)學(xué)家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐｉｔｉｓｃｕｓ，1561 ～ 1613），他在 1595 年出版的《三角學(xué)：解三角形的簡明處理》中創(chuàng)造這個詞．其構(gòu)成法是由三角形（ｔｕｉａｎｇｕｌｕｍ）和測量（ｍｅｔｕｉｃｕｓ）兩字湊合而成．要測量計算離不開三角函數(shù)表和三角學(xué)公式，它們是作為三角學(xué)的主要內(nèi)容而發(fā)展的．16 世紀(jì)三角函數(shù)表的制作首推奧地利數(shù)學(xué)家雷蒂庫斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｕｃｕ ｓ，1514 ～ 1574）．他 1536 年畢業(yè)于滕貝格（Ｗｉｔｔｅｎｂｅｒｙ）大學(xué)，留校講授算術(shù)和幾何． 1539 年赴波蘭跟隨著名天文學(xué)家哥白尼學(xué)習(xí)天文學(xué)，1542 年受聘為萊比錫大學(xué)數(shù)學(xué)教授．雷蒂庫斯首次編制出全部 6 種三角函數(shù)的數(shù)表，包括第一張詳盡的正切表和第一張印刷的正割表．世紀(jì)初對數(shù)發(fā)明后大大簡化了三角函數(shù)的計算，制作三角函數(shù)表已不再是很難的事，人們的注意力轉(zhuǎn)向了三角學(xué)的理論研究．不過三角函數(shù)表的應(yīng)用卻一直占據(jù)重要地位，在科學(xué)研究與生產(chǎn)生活中發(fā)揮著不可替代的作用．三角公式是三角形的邊與角、邊與邊或角與角之間的關(guān)系式．三角函數(shù)的定義已體現(xiàn)了一定的關(guān)系，一些簡單的關(guān)系式在古希臘人以及后來的阿拉伯人中已有研究．

文藝復(fù)興后期，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（Ｆ．Ｖｉｅｔａ）成為三角公式的集大成者．他的《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》（1579）是較早系統(tǒng)論述平面和球面三角學(xué)的專著之一．其中第一部分列出 6 種三角函數(shù)表，有些以分和度為間隔．給出精確到 5 位和 10 位小數(shù)的三角函數(shù)值，還附有與三角值有關(guān)的乘法表、商表等．第二部分給出造表的方法，解釋了三角形中諸三角線量值關(guān)系的運(yùn)算公式．除匯總前人的成果外，還補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式．如正切定律、和差化積公式等等．他將這些公式列在一個總表中，使得任意給出某些已知量后，可以從表中得出未知量的值．該書以直角三角形為基礎(chǔ)．對斜三角形，韋達(dá)仿效古人的方法化為直角三角形來解決．對球面直角三角形，給出計算的完整公式及其記憶法則，如余弦定理，1591 年韋達(dá)又得到多倍角關(guān)系式，1593 年又用三角方法推導(dǎo)出余弦定理．

1722 年英國數(shù)學(xué)家棣莫弗（Ａ．Ｄｅ Ｍｅｉｖｅｒ）得到以他的名字命名的三角學(xué)定理

（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）ｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，并證明了ｎ是正有理數(shù)時公式成立； 1748 年歐拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ）證明了ｎ是任意實(shí)數(shù)時公式也成立，他還給出另一個著名公式 ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，對三角學(xué)的發(fā)展起到了重要的推動作用．

近代三角學(xué)是從歐拉的《無窮分析引論》開始的．他定義了單位圓，并以函數(shù)線與半徑的比值定義三角函數(shù)，他還創(chuàng)用小寫拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三條邊，大寫拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三個角，從而簡化了三角公式．使三角學(xué)從研究三角形 解法進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為研究三角函數(shù)及其應(yīng)用，成為一個比較完整的數(shù)學(xué)分支學(xué)科．而由于上述諸人及 19 世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家的努力，形成了現(xiàn)代的三角函數(shù)符號和三角學(xué)的完整的理論

第三篇：余弦定理說課

余弦定理

大家好！今天我說課的內(nèi)容是《余弦定理》。下面，我將從教材分析、教法學(xué)法分析、教學(xué)流程等方面闡述我對本節(jié)課的理解。

一 教材分析

1、本節(jié)的地位和作用

《余弦定理》是人教版數(shù)學(xué)必修五第一章《解三角形》第一節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)知識與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊角基本關(guān)系以及三角形全等的判定有密切聯(lián)系，就高中的整個知識體系而言，余弦定理是解三角形的基礎(chǔ)，而且解三角形經(jīng)常和三角函數(shù)聯(lián)系在一起考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力和應(yīng)用意識。所以，余弦定理的知識非常重要。

因此，我將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為：

（1）知識與技能：掌握余弦定理的兩種表現(xiàn)形式，應(yīng)用余弦定理解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題；

（2）過程與方法：通過探究余弦定理的過程學(xué)會分析問題從特殊到一般的過程與方法提高運(yùn)用已有知識分析、解決問題的能力；

（3）情感態(tài)度價值觀：讓學(xué)生在探索的過程中形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維方式，在解決問題中感受成功的喜悅，培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

另外，我將本節(jié)課的重點(diǎn)定為：余弦定理的證明及基本應(yīng)用。

難點(diǎn)定為：余弦定理的探索及證明，靈活運(yùn)用余弦定理解決相關(guān)的實(shí)際問題。

二、教學(xué)與學(xué)法

教法：為了充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生個性思維品質(zhì)，本節(jié)課主要采用“提問法、發(fā)現(xiàn)法、分析法、啟發(fā)式相結(jié)合的方法”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，探索問題，并解決問題。

學(xué)法：古人云：“供人以魚，只解一餐；授人以漁，終身受用?！苯虒W(xué)過程要不斷給學(xué)生進(jìn)行學(xué)法上的指導(dǎo)。本節(jié)課主要是通過余弦定理的證明，讓學(xué)生學(xué)會用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，體會知識間的聯(lián)系，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。

三、教學(xué)流程：

（1）復(fù)習(xí)引入、導(dǎo)入課題；

（2）引導(dǎo)探究、獲得性質(zhì)；

（3）應(yīng)用遷移、交流反思；

（4）拓展升華、發(fā)散思維；

（5）小結(jié)歸納、布置作業(yè)

第四篇：正弦定理和余弦定理的復(fù)習(xí)

第十九教時

教材：正弦定理和余弦定理的復(fù)習(xí)《教學(xué)與測試》76、77課

目的：通過復(fù)習(xí)、小結(jié)要求學(xué)生對兩個定理的掌握更加牢固，應(yīng)用更自如。過程：

一、復(fù)習(xí)正弦定理、余弦定理及解斜三角形 解之：x?6?2 22?(6?22)?3b?c?a1?3?6?22??? 當(dāng)c?時cosA?222

二、例一 證明在△ABC中asinA=bsinB=csinC=2R，其中R是三角形外接圓半徑

證略 見P159 注意：1．這是正弦定理的又一種證法(現(xiàn)在共用三種方法證明)2.正弦定理的三種表示方法(P159)例二 在任一△ABC中求證：a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0

證：左邊=2RsinA(sinB?sinC)?2RsinB(sinC?sinA)?2RsinC(sinA?sinB)

=2R[sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB]=0=右邊

例三 在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45 求A、C及c

解一：由正弦定理得：sinA?asinB3sin45?3b?2?2 ∵B=45<90

即b

?當(dāng)A=60時C=7c?bsinC2sinsinB?756?2sin45??2 當(dāng)A=120時C=15

c?bsinC2sin15?6sinB?sin45???22 解二：設(shè)c=x由余弦定理 b2?a2?c2?2accosB 將已知條件代入，整理：x2?6x?1?0

22bc2?2?6?22(3?1)22從而A=60

C=75

當(dāng)c?6?22時同理可求得：A=120 C=15

例四 試用坐標(biāo)法證明余弦定理 證略見P161

例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x2?23x?2?0的兩個根，且

2cos(A+B)=1 求 1角C的度數(shù) 2AB的長度 3△ABC的面積

解：

1cosC=cos[

(A+B)]=

cos(A+B)=∴C=120

2由題設(shè)：??a?b?23?a?b?2

∴AB

2=AC2

+BC

2AC?BC?osC?a2?b2?2abcos120?

?a2?b2?ab?(a?b)2?ab?(23)2?2?10 即AB=10

3S1113△ABC=2absinC?2absin120??2?2?2?32

例六 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD

CD, AD=10, AB=14，BDA=60BCD=135

求BC的長

D

C

解：在△ABD中，設(shè)BD=x

則BA2?BD2?AD2?2BD?AD?cos?BDA

A

B ，即142?x2?102?2?10x?cos60? 整理得：x2?10x?96?0

解之：x1?16 x2??6（舍去）由余弦定理：

BCBD16???sin30?82

∴BC??sin?CDBsin?BCDsin135

例七（備用）△ABC中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，1求最大角 2

求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積。解：1設(shè)三邊a?k?1,b?k,c?k?1 k?N?且k?1

a2?b2?c2k?4∵C為鈍角 ∴cosC???0解得1?k?4

2ac2(k?1)∵k?N? ∴k?2或3 但k?2時不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去

1當(dāng)k?3時 a?2,b?3,c?4,cosC??,C?109?

42設(shè)夾C角的兩邊為x,y x?y?4

1515??(?x2?4x)44S?xysinC?x(4?x)?當(dāng)x?2時S最大=15

三、作業(yè)：《教學(xué)與測試》76、77課中練習(xí)

a2?b2b2?c2c2?a2???0 補(bǔ)充：1．在△ABC中，求證：

cosA?cosBcosB?cosCcosC?cosAD A

2．如圖ABBCD=75

BC CD=33 BDC=45

ACB=30

求AB的長(112)

B

C

第五篇：努力體現(xiàn)語文的綜合性和實(shí)踐性

努力體現(xiàn)語文的綜合性和實(shí)踐性

語文是綜合性、實(shí)踐性很強(qiáng)的一門課程。有人說：語文就像一個筐，什么都能往里裝；語文又像一匹馬，什么東西都能拉。這恰好說明了語文教學(xué)的龐雜。正是由于語文有如此強(qiáng)大的包容性，才為我們的教學(xué)提供了更多的方法與機(jī)會，這就是語文綜合性的表現(xiàn)。要體現(xiàn)語文的綜合性，首先，要緊密聯(lián)系生活，從中挖掘出貼近學(xué)生又便于操作的語文資源，然后明確課題，精心設(shè)計活動內(nèi)容。再次，通過綜合性學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生善于積累的好習(xí)慣。

語文教學(xué)的過程，也應(yīng)該是學(xué)生的語文實(shí)踐過程。語文教師要努力改進(jìn)課堂教學(xué)，溝通課堂和學(xué)生生活的聯(lián)系，讓學(xué)生不僅從書本中學(xué)語文，還要在生活中學(xué)語文，努力體現(xiàn)出語文的實(shí)踐性特點(diǎn)。

首先，要關(guān)注學(xué)生的語文學(xué)習(xí)過程。關(guān)注學(xué)生對學(xué)習(xí)活動的參與程度。

其次，要重視學(xué)習(xí)方法的掌握。語文課程實(shí)施的各個環(huán)節(jié)都要重視“方法”的教育，學(xué)生掌握這些方法的途徑主要是通過點(diǎn)撥、示范和在實(shí)踐中體驗(yàn)，不需要講授一套又一套有關(guān)方法的知識。

第三，要關(guān)注學(xué)生的個性差異。教師要重視個性差異，善于引導(dǎo)，因材施教，使全體學(xué)生都得到發(fā)展。

總之，一句話，要體現(xiàn)語文課程的綜合性和實(shí)踐性特點(diǎn)，教師就得想方設(shè)法讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人