第一篇：淺談數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

淺談數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)院姓名：王富超學(xué)號(hào)：201240433029班級(jí)：應(yīng)數(shù)（3）班

摘要：本文將說(shuō)明什么是數(shù)學(xué)思想方法及教學(xué)模式設(shè)計(jì)作一介紹，并對(duì)教學(xué)模式設(shè)計(jì)利用數(shù)學(xué)思想的必要性、重要性及其意義和總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)教學(xué)模式設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)不僅是教師傳遞學(xué)生知識(shí)、更是引導(dǎo)學(xué)生探究認(rèn)知知識(shí)的方案，教師的教不僅是是教學(xué)生基本知識(shí)，更是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的思想方法，教學(xué)設(shè)計(jì)其精髓就是思想方法的表達(dá)方案，把這種思想應(yīng)用到教學(xué)實(shí)際當(dāng)中去，學(xué)生只有領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想方法，才能有效地應(yīng)用知識(shí)，形成能力，而數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)實(shí)踐方面的應(yīng)用，更能加強(qiáng)教師的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)意識(shí)，更新教學(xué)觀念，形成有效的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)策略，提高教學(xué)水平。

一數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)，及規(guī)律的深刻認(rèn)識(shí)。它是指導(dǎo)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方式、觀點(diǎn)、策略、指導(dǎo)原則。它具有導(dǎo)向性、統(tǒng)攝性、遷移性。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的基本數(shù)學(xué)思想有對(duì)應(yīng)思想（函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想），系統(tǒng)與統(tǒng)計(jì)思想（整體思想、最優(yōu)化思想、統(tǒng)計(jì)思想），化歸與辯證思想（化歸思想、轉(zhuǎn)換思想）等。

數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法是指某一數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的途徑、程序、手段。它具有過(guò)程性、層次性、可操作性。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的基本數(shù)學(xué)方法：一是科學(xué)認(rèn)識(shí)方法：觀察與實(shí)驗(yàn)，比較與分類，歸納與類比，想象、直覺(jué)與頓悟；二是推理論證方法：綜合法與分析法，完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法，演繹法、反證法與同一法；三是求解方程：配方法、換元法、消元法、待定系數(shù)法、此模式適用于規(guī)律課（定理、公式、性質(zhì)）的教學(xué)，在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)從特殊到一般的方法。例如：三角形中位線定理的教學(xué)，可采用如下研究方法。①讓學(xué)生畫(huà)△ABC，取AB、AC的中點(diǎn)D、E，連DE； ②度量DE與BC的長(zhǎng)度，并觀察二者的位置關(guān)系； ③猜想規(guī)律，引出定理。

2、教學(xué)模式二：比較、歸納——探究式。運(yùn)用類比、對(duì)比幫助學(xué)生找出相關(guān)數(shù)學(xué)概念、相關(guān)數(shù)學(xué)命題之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而確切地去理解數(shù)學(xué) 概念系統(tǒng)，澄清一些易于混淆的概念、定理、公式。此模式適用于新課，復(fù)習(xí)課。在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)，結(jié)構(gòu)思想、最優(yōu)化思想、比較與分析、歸納與類比等方法。

例如：“冪”這個(gè)概念常與“乘方”混淆，在教學(xué)中可利用如下方法進(jìn)行： 加法運(yùn)算的結(jié)果 和 減法運(yùn)算的結(jié)果 差 乘法運(yùn)算的結(jié)果 積 除法運(yùn)算的結(jié)果 商 乘方運(yùn)算的結(jié)果 冪

通過(guò)對(duì)照，用已學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)幫助理解“乘方”與“冪”的概念及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。

教學(xué)模式三：建模——探究式，在數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中經(jīng)過(guò)逐步抽象，概括而得到數(shù)學(xué)模型、其程序是：理解題意——理清數(shù)量關(guān)系——建立數(shù)學(xué)模型——解答——應(yīng)用。此模式適用于數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)，在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)方程抽象、思想。

教學(xué)模式四：化歸、轉(zhuǎn)化——探究式。借助舊知識(shí)、舊經(jīng)驗(yàn)來(lái)處理面臨的新問(wèn)題。其程序是：對(duì)問(wèn)題觀察——聯(lián)想——回憶舊知識(shí)——問(wèn)題解決。此模式適用于“規(guī)律”課，復(fù)習(xí)課，在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想。

在此模式中，主要強(qiáng)調(diào)的是聯(lián)想和轉(zhuǎn)化聯(lián)想多數(shù)表現(xiàn)為接近聯(lián)想、相似聯(lián)想和類比聯(lián)想。如分式性質(zhì)聯(lián)想到分?jǐn)?shù)性質(zhì)、二次函數(shù)聯(lián)想到一次函數(shù)、立體幾何知識(shí)聯(lián)想到平面幾何知識(shí)、形聯(lián)想數(shù)、數(shù)聯(lián)想形等等。

轉(zhuǎn)化是一種重要的解題策略，人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)往往要盡可能地把它轉(zhuǎn)化為熟悉的、完題后進(jìn)行反思。反思⑴解法是怎樣想出來(lái)的？關(guān)鍵是哪一步？自己為什么沒(méi)想出來(lái)？⑵能找到更好的解題途徑嗎？這個(gè)方法能推廣嗎？⑶通過(guò)解決這個(gè)題，我們應(yīng)該學(xué)什么？這種反思能較好地概括思維本質(zhì)，從而上升到數(shù)學(xué)思想方法上來(lái)。著名數(shù)學(xué)教育家弗賴母登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力?！蔽覀円寣W(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣。

策略五：學(xué)生提煉——不要包辦代替。柏拉圖說(shuō)：他從不把自己看作一個(gè)教師而是看作一個(gè)幫助別人產(chǎn)生他們自己思想的“助產(chǎn)生”。學(xué)習(xí)有一條很重要的原則，就是不可代替的原則。對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)也不僅僅靠灌輸。應(yīng)將概念、結(jié)論性知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)成再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的教學(xué)。通過(guò)探索研究活動(dòng)，使學(xué)生在動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的過(guò)程事領(lǐng)悟、體驗(yàn)、提煉數(shù)學(xué)思想方法，并逐步掌握及應(yīng)用它。

四、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意義

1、有利于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高思維能力。數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的深刻認(rèn)識(shí)，某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)不可能單獨(dú)存在，它必有它的來(lái)龍去脈，知識(shí)點(diǎn)之間是有關(guān)聯(lián)的，知識(shí)點(diǎn)也只有在與其他知識(shí)的關(guān)聯(lián)過(guò)程中，才能被理想、被錄用，才能發(fā)揮它的作用。知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)在課本中并未明顯敘述出來(lái)，而隱含在知識(shí)當(dāng)中，需要教師挖掘，用數(shù)學(xué)思想方法去溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使得對(duì)本質(zhì)及規(guī)律有深刻認(rèn)識(shí)。例如，在初中數(shù)學(xué)《有理數(shù)》一章中利用數(shù)形結(jié)合思想可以解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心，要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)并培養(yǎng)能力、發(fā)展智力和陶冶個(gè)性品質(zhì)，數(shù)學(xué)思維問(wèn)題是數(shù)學(xué)教育的核心?？梢?jiàn)數(shù)字教學(xué)改革，思維是根本的，對(duì)學(xué)生各種能力的培養(yǎng)，其核心是進(jìn)行思維能力的培養(yǎng)。

大綱對(duì)思維能力的界定：“觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括，會(huì)用歸納、演繹和類比進(jìn)行推理，會(huì)合手邏輯地、準(zhǔn)確地單述自己的思想和觀點(diǎn)；會(huì)適用數(shù)學(xué)概念、原理、思想和方法辯明數(shù)學(xué)關(guān)系?！倍^察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象、概括、歸納、演繹、類比正是數(shù)學(xué)思想方法體系中重要的科學(xué)認(rèn)識(shí)方法。這此方法是數(shù)學(xué)思維的基本形式，它們和思維內(nèi)容，思維形式及思維品質(zhì)相互聯(lián)結(jié)，是數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的主要成份。只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，才能優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)，從而提高思維能力。

第二篇：初中思想方法與初中數(shù)學(xué)教學(xué)

《初中思想方法與初中數(shù)學(xué)教學(xué)》――學(xué)習(xí)心得1

通過(guò)參加這次學(xué)習(xí)，我得到了很多的啟發(fā)，首先，我了解了什么是數(shù)學(xué)思想方法，并知道了數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本策略，它對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要的促進(jìn)和指導(dǎo)作用，它不僅是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，還是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)，形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵，因此我們要有加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意識(shí)并要在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中不斷地挖掘和滲透。其次，它也解決了我在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中所遇到困惑與不解，使我明確了在今后的教學(xué)中應(yīng)充分挖掘由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法。我們的教學(xué)實(shí)踐也表明：中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化，主要不是內(nèi)容的現(xiàn)代化，而是數(shù)學(xué)思想、方法及教學(xué)手段的現(xiàn)代化，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的關(guān)鍵，特別是對(duì)能力培養(yǎng)這一問(wèn)題的探討與摸索，以及社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的要求。使我們更進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性。

第三篇：數(shù)學(xué)思想方法與應(yīng)用

沈括運(yùn)糧故事淺析

田小寬

（數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2010212449）

【摘要】：沈括在其著作《夢(mèng)溪筆談》中，涉及了軍隊(duì)運(yùn)糧的有關(guān)問(wèn)題。他把每人背的糧食，每天的食量作為已知定值，將士兵作戰(zhàn)時(shí)不缺糧食的天數(shù)和需要的運(yùn)量人數(shù)作為未知數(shù)，通過(guò)這樣一個(gè)關(guān)系來(lái)說(shuō)明軍隊(duì)作戰(zhàn)乃是國(guó)之大事

【關(guān)鍵詞】：運(yùn)糧 運(yùn)籌 軍事

【引言】凡師行，因糧于敵，最為急務(wù)。運(yùn)糧不但多費(fèi)，而勢(shì)難行遠(yuǎn)。予嘗計(jì)之，人負(fù)米六斗，卒自攜五日干糧，人餉一卒，一去可十八日；米六斗，人食日二升，二人食之，十八日盡；若計(jì)復(fù)回，只可進(jìn)九日。二人餉一卒，一去可二十六日；（米一石二斗，三人食日六升，八日則一夫所負(fù)已盡，給六日糧遣回，后十八日，二人食日四或并糧）。叵計(jì)復(fù)回，止可進(jìn)十三日。（前八日日食六升，后五日并回程，日食四升并糧）三人餉一卒，一去可三十一日，米一石八斗，前六日半四人食日八升，減一夫，給四日糧；十七日三人食日六升，又減一夫，給九日糧；后十八日，二人食日四升并糧。計(jì)復(fù)回止可進(jìn)十六日，（前六日半日食八升，中七日日食六升，后十一日并回程日食四升并糧）。三人餉一卒，極矣。若興師十萬(wàn)，輜重三之一，止得駐戰(zhàn)之卒七萬(wàn)人，已用三十萬(wàn)人運(yùn)糧，此外難復(fù)加矣。（放回運(yùn)夫須有援卒，緣運(yùn)行死亡疾病，人數(shù)稍減，且以所減之食，備援卒所費(fèi)）。運(yùn)糧之法，人負(fù)六斗，此以總數(shù)率之也。

一、軍隊(duì)運(yùn)糧問(wèn)題與運(yùn)籌學(xué)聯(lián)系

軍隊(duì)運(yùn)糧需要注意許多的變量，并且在事先確定了一些量之后，可以確定另外的比較重要的量最合適的數(shù)值，比如：當(dāng)每人背的糧食和食量、前往作戰(zhàn)地所需的天數(shù)、作戰(zhàn)人數(shù)等確定之后可以得到數(shù)學(xué)模型下的理想的作戰(zhàn)的最長(zhǎng)天數(shù)與運(yùn)糧人數(shù)之間的一個(gè)關(guān)系式，即之間的一些線性關(guān)系，進(jìn)而在作戰(zhàn)之前可以把運(yùn)糧的大致工作安排妥當(dāng)，所以說(shuō)兵馬未動(dòng)糧草先行?？梢?jiàn)其是運(yùn)籌學(xué)所研究的問(wèn)題之一。

二、結(jié)合沈括著作《夢(mèng)溪筆談》中運(yùn)糧篇

先設(shè)定以下的量：士兵人數(shù)已知，x個(gè)農(nóng)夫餉一卒，其他量如同上文沈括運(yùn)糧問(wèn)題內(nèi)。

在沈括《夢(mèng)溪筆談》運(yùn)糧篇中，知道當(dāng)兩人餉一卒時(shí)，不計(jì)往返則是二十六天，三人餉一卒時(shí)不計(jì)往返可行三十一日，則此時(shí)足夠到達(dá)作戰(zhàn)地點(diǎn)，當(dāng)四人餉一卒時(shí)，不計(jì)往返可行三十四日，也能到達(dá)地點(diǎn)，并且此時(shí)若最后一批農(nóng)夫不回，可支撐士兵作戰(zhàn)四天。具體計(jì)算如下：

1.一人餉一卒：設(shè)可堅(jiān)持x天則有：2x+2(x-5)=60，x取整得18天

2．二人餉一卒：設(shè)第一個(gè)農(nóng)夫在a天后回，則有：6a+2(a-2)=60，則a=8，加上最后一農(nóng)夫所背糧食可支撐18天，則18+8=26 3.三人餉一卒：設(shè)第一個(gè)在b天后回，第二個(gè)在第一個(gè)回了c天后回，則有：8b+2(b-2)=60，則b取整為6天。又有：6c+2(b+c-2)=60，則c取整得7天，加上最后一人可支撐的18天，則有：6+7+18=31天

4.四人餉一卒：設(shè)第一個(gè)農(nóng)夫在a天后回，第二個(gè)農(nóng)夫在第一個(gè)回b天后回，第三個(gè)在第二個(gè)回c天后回，則：10a+2(a-2)=60,a取整得5,8b+2(b+5-2)=60,b取整得6天，2(c+5+6-2)+6c=60,c取整得5天，加上最后的18天，則5+6+5+18=34 用相同的方法以此類推，我們可以求得五人、六人以及更多人餉一卒的行軍的時(shí)間。到此時(shí)，我們乍一眼觀察，上面的運(yùn)籌學(xué)模型沒(méi)有問(wèn)題，可以把農(nóng)夫人數(shù)無(wú)限制的演算下去，但是結(jié)合各個(gè)未知量的實(shí)際意義，我們知道a是一個(gè)不能小于2的量，因?yàn)橛?a-2)的實(shí)際意義知a-2>0。而當(dāng)又當(dāng)x=14時(shí)，a=2，所以上面的運(yùn)籌學(xué)模型只適用于農(nóng)夫人數(shù)不大于14人時(shí)。若要繼續(xù)計(jì)算下去從十五人餉一卒開(kāi)始，每增加一人多走一天，而當(dāng)x>29時(shí)，此時(shí)農(nóng)夫的增加和第一個(gè)農(nóng)夫支撐天數(shù)a的對(duì)應(yīng)關(guān)系又變。對(duì)于上述證明如下：

2(x+1)a+2(a-2)=60

a=32/(x+2)經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，當(dāng)x=14時(shí)，a=2；當(dāng)x=30時(shí)，a=1,這時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)際情況是當(dāng)x=29時(shí)，a=1！所以得證。

另外，當(dāng)農(nóng)夫人數(shù)增多時(shí)，四舍五入的方法也不在適用，在上面的計(jì)算時(shí)我們得到的一些數(shù)字采用了四舍五入，其中四人餉一卒時(shí)，b=5.6，若要當(dāng)做6天計(jì)算，我們可以看到要多吃3.2升，那么農(nóng)夫要空腹三四天才能返回，但此時(shí)顯然與上面方程矛盾，因此四舍五入應(yīng)有限度。

有上述分析可知，解決這個(gè)運(yùn)糧問(wèn)題沒(méi)有一個(gè)固定的運(yùn)籌學(xué)模型，或者說(shuō)這個(gè)數(shù)學(xué)模型應(yīng)是分段的，而且每一段都是遵循線性規(guī)劃模型的。

而且從上面分析，我們也應(yīng)在四人餉一卒時(shí)應(yīng)減去一天，即堅(jiān)持33天。同樣在三人餉一卒時(shí)不能取整的天數(shù)也都舍掉零頭，這樣的意義是農(nóng)夫空腹返回的時(shí)間少于2天。

綜上若要行軍一月則至少需三人餉一卒，十萬(wàn)士兵就需要三十萬(wàn)農(nóng)夫運(yùn)糧，但古時(shí)作戰(zhàn)士兵人數(shù)大多是在三十萬(wàn)以上的，著名的赤壁之戰(zhàn)曹操號(hào)稱百萬(wàn)大軍，則需要三百萬(wàn)農(nóng)夫。

由此可見(jiàn)古時(shí)兩國(guó)交戰(zhàn)是一件多么應(yīng)該慎重的事，難怪真正懂得兵法人都說(shuō)：兵者，國(guó)之大事，死生之地，存亡之道，不可不察也。甚至兵法圣典《孫子兵法》把它列在第一篇里的開(kāi)頭。由此也可見(jiàn)運(yùn)籌學(xué)對(duì)于軍事的重要貢獻(xiàn)。【參考文獻(xiàn)】

[1].刁在筠 劉桂真 宿潔 馬建華

《運(yùn)籌學(xué)》（2007年1月第三版）

高等教育出版社 第82頁(yè)

[2].張俊杰 大眾文藝出版社 北京 2009年7月第一版 第10頁(yè) 《孫子兵法與三十六計(jì)》

第四篇：初中數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué).

初中數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)(1)

新課程教學(xué)大綱提出：初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是初中代數(shù)、幾何中的要領(lǐng)法規(guī)、公式、性質(zhì)、公理、定理以及其內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法。數(shù)學(xué)思想、方法反映著數(shù)學(xué)概念、原理及規(guī)律的聯(lián)系和本質(zhì)，是學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和紐帶，是培養(yǎng)學(xué)生能力的橋梁。在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想、方法是全面提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的重要途徑。

一、初中數(shù)學(xué)思想和方法

數(shù)學(xué)思想是研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的指導(dǎo)思想，是在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)和概括的基礎(chǔ)上形成的一般性觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)方法是指具有可操作性并能具體解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，數(shù)學(xué)思想來(lái)源于數(shù)學(xué)方法，是數(shù)學(xué)方法的抽象和概括，反過(guò)來(lái)又指導(dǎo)數(shù)學(xué)方法的實(shí)施，而數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)。

（一）數(shù)學(xué)思想

初中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想很多，這里著重談一談轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類思想。

1.轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指在研究和解決數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)題時(shí)由一種教學(xué)對(duì)象轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)所采用的數(shù)學(xué)方法的指導(dǎo)思想。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想可以把生疏的新的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的舊的問(wèn)題，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化成特殊的問(wèn)題，從而完成數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化，形與形的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法、代換法、換元法、配方法等也是體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的具體的數(shù)學(xué)方法，下面看兩個(gè)例子：

例1 已知：如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于E，BD⊥CD。

求證：CD= BE。

分析一：要證明CS=

BE，只須證明2CD=BE

為此，需要延長(zhǎng)CD，BA交于F點(diǎn)，只要證明DF=CD，△CFA≌△BEA。

分析二：要證明CD= BE，在BE上取中點(diǎn)G，只須證明CD=EG。

為此，需要作GH⊥BE交BC于H，連結(jié)HE（如圖2）。

只要證明△CDE≌△EGH。

分析三：要證明CD=

BE，取BE中點(diǎn)G，連接AG、AD（如圖3）。

只須證明，AG=AD=CD

為此，只要證明A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∠1=∠2=45°，∠3=∠4=22.5°

說(shuō)明，把證明線段的和、差、倍、分問(wèn)題轉(zhuǎn)化或證明兩條線段相等的問(wèn)題。

例2 已知：如圖4，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PA:PB:PC=1:2:3。

求證：∠APB=135°

分析一：要證明，∠APB=135°=45°+90°

為此，將△APB繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，落到△CP’B的位置，只須證明∠BP’P=45°，∠PP’C=90°，只要證明BP’=BP=2X，PP’2+P’C2=9X2=PC2。

分析二：要證明∠APB=135°，只須證明tg∠APB=-1，只質(zhì)證明sin∠APB=-cos∠APB，為此，設(shè)PA=X，PB=2X，PC=3X，AB=BC=a

只須證明，只要證明cos∠PBC=

,sin∠ABP=cos∠PBC

說(shuō)明，分析一體現(xiàn)著把135°轉(zhuǎn)化成兩個(gè)特殊角（45°和90°），由旋轉(zhuǎn)法完成數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。分析二體現(xiàn)著把求∠APB=135°問(wèn)題轉(zhuǎn)化成用正弦定理，余弦定理，同角或互為余角間的三角函數(shù)關(guān)系式來(lái)解決。

2.方程思想

方程思想是指利用方程或方程組解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想。在研究平面幾何時(shí)，若所涉及到元素之間的關(guān)系，可考慮通過(guò)設(shè)輔助未知數(shù)并列出方程或方程組，使有關(guān)的幾何量之間的關(guān)系顯現(xiàn)出來(lái)，從而使所研究的問(wèn)題比較簡(jiǎn)捷地加以解決。

例3，已知：如圖5，AB、CD分別切⊙O于A/D點(diǎn)，且AB∥DC，BC切⊙O于E。

求證：OE≤

BC

分析：要證明OE≤

BC

只須證明

2OE≤BC

只須證明

4OE2≤BC2

只須證明

BC2-4OE2≥0

由已知

BE+CE=BC

只要證明

BE?CE=OE2，那么BE、CE就是方程X2-BCX+OE2=0的二根。

為此，連結(jié)OB、OC，只要證明∠BOC=90°。

說(shuō)明

由分析體現(xiàn)幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程及其根的判別式的性質(zhì)問(wèn)題，例2的分析二也體現(xiàn)了方程思想。

3.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合來(lái)研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中運(yùn)用最普遍的思想，它可以使抽象問(wèn)題具體化、形象化，使幾何的圖形問(wèn)題數(shù)量化，下面我們也看兩上例題。

例4 K為何值時(shí)，方程

X2+2（K+3）X+2K+4=0的一個(gè)

根小于3，而另一個(gè)根大于3。

分析：為了求出K值，設(shè)y=x2+2(k+3)x+2k+4，并根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)圖象的草圖（如圖6），yx=3<0。

本篇論文由網(wǎng)友投稿，讀書(shū)人只給大家提供一個(gè)交流平臺(tái)，請(qǐng)大家參考，如有版權(quán)問(wèn)題請(qǐng)聯(lián)系我們盡快處理。

例5 已知：如圖7，圓內(nèi)接四邊形ABCD。

求證：AC?BD=AB?CD+BC?AD

分析：要證明 AC?BD=AB?CD+BC?AD，AB?CD=AC?X，只須證明

BC?AD=AC?Y

X+Y=BD

這時(shí)的X、Y為BD上的兩條線須，其長(zhǎng)待定，在BD上設(shè)一待定點(diǎn)P，PD=X，PB=Y，連結(jié)CP。

只質(zhì)證明

只須證明

△ABC∽△DCP，△BCP∽△ACD

為此，需作∠DCP=∠ACB交BD于P點(diǎn)。

說(shuō)明，前例體現(xiàn)方程問(wèn)題可以充分利用同次函數(shù)的圖象和性質(zhì)幫助我們分析和解決問(wèn)題。后一例是利用待定的思想方法，逐步推斷出輔助線CP的引法。

4.分類思想

分類思想是根據(jù)要求確定分類標(biāo)準(zhǔn)，然后將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為不同種類加以研究的指導(dǎo)思想。對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象分類時(shí)應(yīng)遵循兩個(gè)原則：（1）在同一問(wèn)題中分類按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；（2）分類要做到不重、不漏。分類有利于對(duì)問(wèn)題的深入研究，有助于發(fā)現(xiàn)解題思路和運(yùn)用技能技巧，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力大有幫助?？聪旅胬}：

例6

已知：如圖8，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，分別以A、B、C、D為圓心，以a為半徑向正方形內(nèi)作圓弧，求圖中陰影部分的面積。

分析

由圖形的對(duì)稱性，把正方形分割為三類圖形，其面積分別以x、y、z來(lái)表示

說(shuō)明，把圖形進(jìn)行分類，將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程組，這是求面積問(wèn)題的一種巧妙、簡(jiǎn)捷的解法。

（二）數(shù)學(xué)方法

初中數(shù)學(xué)所涉及到的數(shù)學(xué)方法也很多，如構(gòu)造法、代換法、消元法、降次法、換元法、配方法、配方法、特定系數(shù)法、圖象法、輔助元素法等等，另外還包括一些常用的推理論證方法，如歸納法、類比法、演繹法、分析法、綜合法、反證法、同一法等。這些數(shù)學(xué)方法都是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到的，因此需要很好地掌握。

二、數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)

（一）認(rèn)真鉆研教材，充分發(fā)掘教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法

我們?cè)趥湔n時(shí)要認(rèn)真鉆研教材，充分發(fā)掘提煉在教材中的數(shù)學(xué)思想和方法，并弄清每一章節(jié)主要體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)方法，做到心中有數(shù)。例如平面幾何圓這一章就是用分類和聯(lián)系的思想把全章分成；圓的有關(guān)性質(zhì)；直線和圓的位置關(guān)系；圓和圓的位置關(guān)系；正多邊形和圓四大類，在根據(jù)不同的類型研究各自圖形的性質(zhì)和判定，此外還要掌握四點(diǎn)共圓的方法，把直線形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓的問(wèn)題，再歸納在四大類中分別運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)加以解決。再如一元二次方程這一章，內(nèi)容豐富，方法多樣，蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化的思想，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程，把多元方程轉(zhuǎn)化為一元方程，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題等。

（二）提高認(rèn)識(shí)，把數(shù)學(xué)思想和方法的數(shù)學(xué)納入教學(xué)目的數(shù)學(xué)思想、方法的數(shù)學(xué)是數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的重要組成部分，為了使數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)落到實(shí)處，首先要從思想上提高對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)的重要性的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而把數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)納入教學(xué)目的中去，并且具體落實(shí)在每節(jié)課的教學(xué)目的中。

（三）結(jié)合教材內(nèi)容，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和方法的滲透、解釋和歸納

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，對(duì)教材內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想、方法要結(jié)合教學(xué)實(shí)際分別予以滲透、解釋和總結(jié)歸納，以提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法解決問(wèn)題的能力。例如在代數(shù)中數(shù)形結(jié)合的思想就滲透到各個(gè)章節(jié)，適時(shí)的為學(xué)生歸納和總結(jié)利用數(shù)形結(jié)合研究代數(shù)問(wèn)題的規(guī)律和方法，就成了代數(shù)教學(xué)的基本特點(diǎn)。同樣，在幾何中分類思想和轉(zhuǎn)化思想也是滲透在各個(gè)章節(jié)，因此，在講圓這一章時(shí)，有必要給學(xué)生總結(jié)出如何用分類思想和轉(zhuǎn)化思想來(lái)解幾何題的規(guī)律和方法。

總之。數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)研究是中學(xué)數(shù)學(xué)教研的一個(gè)重要課題，是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵，因此必須予以重視。

第五篇：數(shù)學(xué)思想方法縮印

數(shù)學(xué)思想方法：是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。

數(shù)學(xué)方法：是從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程中所采用的方式，手段，途徑等。

中學(xué)數(shù)學(xué)涉及的思想方法有：1用字母代替的數(shù)的思想方法2集合的思想方法3函數(shù)、映射、對(duì)應(yīng)的思想方法4統(tǒng)計(jì)思想和數(shù)據(jù)處理方法5算法思想6數(shù)形結(jié)合的思想方法7最優(yōu)化的思想方法8極限思想和逼近方法9分類的思想方法10參數(shù)的思想方法 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的特點(diǎn)：1隱喻性2活動(dòng)性3主觀性4差異性

從學(xué)生的認(rèn)知角度看，數(shù)學(xué)思想方法的構(gòu)建有三個(gè)階段：潛意識(shí)階段，明朗和形成階段，深化階段 在數(shù)學(xué)教學(xué)的不同階段，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)；1在知識(shí)形成階段，可有計(jì)劃有步驟地選用觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法。字母代替數(shù)的思想方法、函數(shù)的思想方法、方程的思想方法、極限的思想方法、統(tǒng)計(jì)的思想方法等2在知識(shí)結(jié)論推導(dǎo)階段和解題教學(xué)中，可選用分類討論、化歸、等價(jià)轉(zhuǎn)換、特殊化與一般化、歸納、類比等思想方法3在知識(shí)的總結(jié)性階段，可采用結(jié)構(gòu)化、公理化等思想方法 化歸方法的基本思想是什么“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱。其基本思想是：人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常是將待解決的問(wèn)題A，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)問(wèn)題B，而問(wèn)題B是相對(duì)交易解決或已有固定解決程式的問(wèn)題，且通過(guò)對(duì)問(wèn)題B的解決可得到原問(wèn)題A的解答 化歸方法的基本原則：1化歸目標(biāo)簡(jiǎn)單化原則2具體化原則3和諧統(tǒng)一性4形式標(biāo)準(zhǔn)化原則5低層次化原則 RMI原理：通過(guò)建立歐式平面到有序?qū)崝?shù)對(duì)集合的映射，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)析幾何問(wèn)題的過(guò)程，以及通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系到復(fù)數(shù)集的映射，將幾何問(wèn)題化歸為復(fù)數(shù)問(wèn)題的過(guò)程。它們有著共同的形式，即通過(guò)尋找適當(dāng)映射實(shí)現(xiàn)化歸的策略進(jìn)一步形式化地抽象為關(guān)系映射反演原理簡(jiǎn)稱RMI原理

數(shù)學(xué)抽象的基本原則是邏輯建構(gòu)形式化原則

數(shù)學(xué)抽象的主要方法：性質(zhì)抽象，關(guān)系抽象，等置抽象，無(wú)限抽象，弱抽象和強(qiáng)抽象

數(shù)學(xué)模型方法是借用數(shù)學(xué)模型來(lái)研究原型的功能特征及其內(nèi)在規(guī)律，并應(yīng)用于實(shí)際的一種方法

數(shù)學(xué)建模的一般原則：1簡(jiǎn)化原則 2可推演，3反映性 必真推理方法包括演繹法和完全歸納法。完全歸納法常會(huì)用到窮舉和類分的方法

類比法：類比法是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們?cè)谄渌麑傩陨弦蚕嗤蛳嗨频耐评矸椒?/p>

人們經(jīng)常在數(shù)與式之間、平面與立體之間、一維與多維之間進(jìn)行種種類比

類比的一般模式A類事物具有性質(zhì)a1,a2,a3,a4，B類事物具有性質(zhì)a1,a2,a3,所以B類事物可能具有性質(zhì)a4 類比的三個(gè)環(huán)節(jié)：1依據(jù)某種相似性尋找適合的類比物2將兩個(gè)對(duì)象的相似性進(jìn)一步明確化3依據(jù)1、2步中明確化的相似性推測(cè)相似結(jié)論，得到命題或證明方法的猜想 反證法：當(dāng)證明論題p→q時(shí)，不去直接證明它，而是把﹁q作為前提，加進(jìn)原論題的前提，并根據(jù)已知真命題和推理規(guī)則推出與另一已知真命題或原論題的前提相矛盾的結(jié)論，或者導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論，從而確立論題的正確性

計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)科學(xué)的迅速發(fā)展推動(dòng)了幾何定理證明機(jī)械化的進(jìn)程，吳文俊先生研究幾何證明的機(jī)械化方法 算法是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類問(wèn)題的程序或步驟，它的主要特征是程序性、明確性和有限性

在向量運(yùn)算的教學(xué)中，特別要重視向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算

公理化方法：從盡可能少的一組原始概念和公設(shè)和公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理原則，建立科學(xué)體系的方法。具體形態(tài)：1實(shí)體性公理化方法，形態(tài)公理化方法和純形式公理化方法

公理化方法的邏輯特征：1無(wú)矛盾性2獨(dú)立性3完備性 公理化方法對(duì)教學(xué)的啟示：1啟發(fā)學(xué)生自己去尋找依據(jù)2使學(xué)生在尋找體驗(yàn)依據(jù)的過(guò)程中，培養(yǎng)起”說(shuō)理有據(jù)“的習(xí)慣和能力3在運(yùn)用公理化方法解決問(wèn)題時(shí)，要幫助學(xué)生將命題的條件和結(jié)論聯(lián)系起來(lái)4應(yīng)讓學(xué)生在公理化方法中學(xué)到從一般到特殊邏輯和直觀的教學(xué)的基本要素5要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)運(yùn)算是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷得到一個(gè)新判斷思維過(guò)程

在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分析和綜合的二種意義：1分析與綜合可以理解為證明定理和解題的思維方法2分析與綜合可以理解為研究數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的方法

數(shù)學(xué)方法在實(shí)際應(yīng)用中往往具有過(guò)程性和層次性的特點(diǎn) 涉及到無(wú)限概念的抽象為無(wú)限抽象，它分為潛無(wú)限抽象和實(shí)無(wú)限抽象

等置抽象是按某種等價(jià)關(guān)系，抽取一類對(duì)象共同性質(zhì)特征的抽象

性質(zhì)抽象是考察被研究對(duì)象某一方面的性質(zhì)或?qū)傩?，而抽取向量性方面的性質(zhì)或?qū)傩缘某橄蠓椒?/p>

關(guān)系抽象是指根據(jù)認(rèn)識(shí)目的，從研究對(duì)象中抽取或建構(gòu)若干構(gòu)成要素之間的數(shù)量關(guān)系或空間位置關(guān)系，而舍棄其他無(wú)關(guān)特征或物理現(xiàn)實(shí)意義的抽象方法

強(qiáng)抽象是指通過(guò)強(qiáng)化對(duì)象的特征，即增加對(duì)象的性特征來(lái)完成抽象建構(gòu)，已形成新概念或模式的抽象方式 弱抽象是指由原型中抽取其某一方面的特征或側(cè)面加以概括，從而形成比原對(duì)象更為一般的概念或理論的一種抽象方式

數(shù)學(xué)抽象是一種特殊的抽象，具體表現(xiàn)為它的抽象的內(nèi)容，程度和方法上

數(shù)學(xué)中的三種母結(jié)構(gòu)為代數(shù)結(jié)構(gòu)，序結(jié)構(gòu)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)推理：是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷得到一個(gè)新的判斷的思維形式

推理的種類：安思維的方向性，可分為演繹推理、歸納推理、類比推理

推理有內(nèi)容和形式兩方面。內(nèi)容指前提和結(jié)論的真假性問(wèn)題，形式是所推理的結(jié)構(gòu)形式問(wèn)題

數(shù)學(xué)推理的規(guī)則：1三段論推理規(guī)則2聯(lián)言推理規(guī)則3選言推理規(guī)則4分離規(guī)則5否定推理規(guī)則5逆推理規(guī)則6逆否規(guī)則

不完全歸納的理論依據(jù)：1共性存在于個(gè)性之中2普遍性寓于特殊性之中

為什么說(shuō)數(shù)形結(jié)合方法是最基本最常用的方法，如何用？數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。即就是研究數(shù)與形的科學(xué)，而且數(shù)學(xué)的高度抽象性，帶來(lái)了數(shù)學(xué)的難教、難懂、難學(xué)。正是數(shù)學(xué)科學(xué)的研究對(duì)象和特點(diǎn)，決定于數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思考和研究問(wèn)題的基本方法，它可以幫助人們將抽象的而難題變得直觀、形象，便于思考和研究，也可以幫助人們將直觀問(wèn)題數(shù)量化、精確化，促進(jìn)問(wèn)題的解決。如何用？1從數(shù)到形，以形論數(shù)2從形到數(shù)，以數(shù)論形3數(shù)形結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化，互相補(bǔ)充 公理化方法的意義和作用？1公理化方法有利于在理論上探索事物的發(fā)展規(guī)律2公理化方法有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力3公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起的積極作用及其局限性

不完全歸納：不完全歸納法即不完全歸納推理，是根據(jù)考察的一類事物的部分對(duì)象具有某一屬性，向做出該類事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的歸納推理

數(shù)學(xué)思想方法：是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。

數(shù)學(xué)方法：是從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程中所采用的方式，手段，途徑等。

中學(xué)數(shù)學(xué)涉及的思想方法有：1用字母代替的數(shù)的思想方法2集合的思想方法3函數(shù)、映射、對(duì)應(yīng)的思想方法4統(tǒng)計(jì)思想和數(shù)據(jù)處理方法5算法思想6數(shù)形結(jié)合的思想方法7最優(yōu)化的思想方法8極限思想和逼近方法9分類的思想方法10參數(shù)的思想方法 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的特點(diǎn)：1隱喻性2活動(dòng)性3主觀性4差異性

從學(xué)生的認(rèn)知角度看，數(shù)學(xué)思想方法的構(gòu)建有三個(gè)階段：潛意識(shí)階段，明朗和形成階段，深化階段 在數(shù)學(xué)教學(xué)的不同階段，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)；1在知識(shí)形成階段，可有計(jì)劃有步驟地選用觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法。字母代替數(shù)的思想方法、函數(shù)的思想方法、方程的思想方法、極限的思想方法、統(tǒng)計(jì)的思想方法等2在知識(shí)結(jié)論推導(dǎo)階段和解題教學(xué)中，可選用分類討論、化歸、等價(jià)轉(zhuǎn)換、特殊化與一般化、歸納、類比等思想方法3在知識(shí)的總結(jié)性階段，可采用結(jié)構(gòu)化、公理化等思想方法 化歸方法的基本思想是什么“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱。其基本思想是：人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常是將待解決的問(wèn)題A，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)問(wèn)題B，而問(wèn)題B是相對(duì)交易解決或已有固定解決程式的問(wèn)題，且通過(guò)對(duì)問(wèn)題B的解決可得到原問(wèn)題A的解答 化歸方法的基本原則：1化歸目標(biāo)簡(jiǎn)單化原則2具體化原則3和諧統(tǒng)一性原則4形式標(biāo)準(zhǔn)化原則5低層次化原則

RMI原理：通過(guò)建立歐式平面到有序?qū)崝?shù)對(duì)集合的映射，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)析幾何問(wèn)題的過(guò)程，以及通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系到復(fù)數(shù)集的映射，將幾何問(wèn)題化歸為復(fù)數(shù)問(wèn)題的過(guò)程。它們有著共同的形式，即通過(guò)尋找適當(dāng)映射實(shí)現(xiàn)化歸的策略進(jìn)一步形式化地抽象為關(guān)系映射反演原理簡(jiǎn)稱RMI原理

數(shù)學(xué)抽象的基本原則是邏輯建構(gòu)形式化原則

數(shù)學(xué)抽象的主要方法：性質(zhì)抽象，關(guān)系抽象，等置抽象，無(wú)限抽象，弱抽象和強(qiáng)抽象

數(shù)學(xué)模型方法是借用數(shù)學(xué)模型來(lái)研究原型的功能特征及其內(nèi)在規(guī)律，并應(yīng)用于實(shí)際的一種方法

數(shù)學(xué)建模的一般原則：簡(jiǎn)化原則，可推演原則，反映性原則

必真推理方法包括演繹法和完全歸納法。完全歸納法常會(huì)用到窮舉和類分的方法

類比法：類比法是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們?cè)谄渌麑傩陨弦蚕嗤蛳嗨频耐评矸椒?/p>

人們經(jīng)常在數(shù)與式之間、平面與立體之間、一維與多維之間進(jìn)行種種類比

類比的一般模式為：A類事物具有性質(zhì)a1,a2,a3,a4，B類事物具有性質(zhì)a1,a2,a3,所以B類事物可能具有性質(zhì)a4

類比的三個(gè)環(huán)節(jié)：1依據(jù)某種相似性尋找適合的類比物2將兩個(gè)對(duì)象的相似性進(jìn)一步明確化3依據(jù)1、2步中明確化了的相似性，推測(cè)相似結(jié)論，得到命題或證明方法的猜想

反證法：當(dāng)證明論題p→q時(shí)，不去直接證明它，而是把﹁q作為前提，加進(jìn)原論題的前提，并根據(jù)已知真命題和推理規(guī)則推出與另一已知真命題或原論題的前提相矛盾的結(jié)論，或者導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論，從而確立論題的正確性

計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)科學(xué)的迅速發(fā)展，推動(dòng)了幾何定理證明機(jī)械化的進(jìn)程，吳文俊先生研究幾何證明的機(jī)械化方法

算法是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類問(wèn)題的程序或步驟，它的主要特征是程序性、明確性和有限性

在向量運(yùn)算的教學(xué)中，特別要重視向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算

公理化方法：從盡可能少的一組原始概念和公設(shè)和公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理原則，建立科學(xué)體系的方法。具體形態(tài)：1實(shí)體性公理化方法，形態(tài)公理化方法和純形式公理化方法

公理化方法的邏輯特征：1無(wú)矛盾性2獨(dú)立性3完備性 公理化方法對(duì)教學(xué)的啟示：1啟發(fā)學(xué)生自己去尋找依據(jù)2使學(xué)生在尋找體驗(yàn)依據(jù)的過(guò)程中，培養(yǎng)起”說(shuō)理有據(jù)“的習(xí)慣和能力3在運(yùn)用公理化方法解決問(wèn)題時(shí)，要幫助學(xué)生將命題的條件和結(jié)論聯(lián)系起來(lái)4應(yīng)讓學(xué)生在公理化方法中學(xué)到從一般到特殊邏輯和直觀的教學(xué)的基本要素5要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)運(yùn)算是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷得到一個(gè)新判斷的思維過(guò)程

在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分析和綜合的二種意義：1分析與綜合可以理解為證明定理和解題的思維方法2分析與綜合可以理解為研究數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的方法

數(shù)學(xué)方法在實(shí)際應(yīng)用中往往具有過(guò)程性和層次性的特點(diǎn) 涉及到無(wú)限概念的抽象為無(wú)限抽象，它分為潛無(wú)限抽象和實(shí)無(wú)限抽象

等置抽象是按某種等價(jià)關(guān)系，抽取一類對(duì)象共同性質(zhì)特征的抽象

性質(zhì)抽象是考察被研究對(duì)象某一方面的性質(zhì)或?qū)傩裕槿∠蛄啃苑矫娴男再|(zhì)或?qū)傩缘某橄蠓椒?/p>

關(guān)系抽象是指根據(jù)認(rèn)識(shí)目的，從研究對(duì)象中抽取或建構(gòu)若干構(gòu)成要素之間的數(shù)量關(guān)系或空間位置關(guān)系，而舍棄其他無(wú)關(guān)特征或物理現(xiàn)實(shí)意義的抽象方法

強(qiáng)抽象是指通過(guò)強(qiáng)化對(duì)象的特征，即增加對(duì)象的性特征來(lái)完成抽象建構(gòu)，已形成新概念或模式的抽象方式 弱抽象是指由原型中抽取其某一方面的特征或側(cè)面加以概括，從而形成比原對(duì)象更為一般的概念或理論的一種抽象方式

數(shù)學(xué)抽象是一種特殊的抽象，具體表現(xiàn)為它的抽象的內(nèi)容，程度和方法上

數(shù)學(xué)中的三種母結(jié)構(gòu)為代數(shù)結(jié)構(gòu)，序結(jié)構(gòu)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)推理：是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷得到一個(gè)新的判斷的思維形式

推理的種類：安思維的方向性，可分為演繹推理、歸納推理、類比推理

推理有內(nèi)容和形式兩方面。內(nèi)容指前提和結(jié)論的真假性問(wèn)題，形式是所推理的結(jié)構(gòu)形式問(wèn)題

數(shù)學(xué)推理的規(guī)則：1三段論推理規(guī)則2聯(lián)言推理規(guī)則3選言推理規(guī)則4分離規(guī)則5否定推理規(guī)則5逆推理規(guī)則6逆否規(guī)則

不完全歸納的理論依據(jù)：1共性存在于個(gè)性之中2普遍性寓于特殊性之中

為什么說(shuō)數(shù)形結(jié)合方法是最基本最常用的方法，如何用？數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。即就是研究數(shù)與形的科學(xué)，而且數(shù)學(xué)的高度抽象性，帶來(lái)了數(shù)學(xué)的難教、難懂、難學(xué)。正是數(shù)學(xué)科學(xué)的研究對(duì)象和特點(diǎn)，決定于數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思考和研究問(wèn)題的基本方法，它可以幫助人們將抽象的而難題變得直觀、形象，便于思考和研究，也可以幫助人們將直觀問(wèn)題數(shù)量化、精確化，促進(jìn)問(wèn)題的解決。如何用？1從數(shù)到形，以形論數(shù)2從形到數(shù)，以數(shù)論形3數(shù)形結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化，互相補(bǔ)充 公理化方法的意義和作用？1公理化方法有利于在理論上探索事物的發(fā)展規(guī)律2公理化方法有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力3公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起的積極作用及其局限性

不完全歸納：不完全歸納法即不完全歸納推理，是根據(jù)考察的一類事物的部分對(duì)象具有某一屬性，向做出該類事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的歸納推理