第一篇：數(shù)學(xué)思想方法研究綜述

“數(shù)學(xué)思想方法研究”綜述 連云港市新海實驗中學(xué)孫朝仁

自93年《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》明確提出數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分以來，數(shù)學(xué)教學(xué)中如何挖掘課本中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、如何有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)、如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想在近10中已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育工作者普遍關(guān)注和潛心探索的一項重要課題。筆者從93年初就參與了江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃課題“發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)”（簡稱為“MA”課題，“MA”是Mathematical Accomplishment的縮寫）的教學(xué)實驗研究工作，與課題組的老師們一道“抗戰(zhàn)”了8年，進(jìn)行了兩輪的實驗，取得了預(yù)期的成果，于2000年12月順利通過省級結(jié)題鑒定。現(xiàn)筆者結(jié)合“MA”課題組的研究所得，以及筆者所收集到的從1996年至2001年數(shù)學(xué)期刊上所刊載的160余篇直接談數(shù)學(xué)思想方法的文章，對中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的研究作粗淺綜述。數(shù)學(xué)思想方法概念的界定

要想進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究，作為一線教師必須先搞清數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系。

1．1 文[1]說數(shù)學(xué)思想是“指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。它是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識?！蔽腫2]一說數(shù)學(xué)思想是“人們對數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的深刻認(rèn)識。它是指導(dǎo)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的思維方式、觀點(diǎn)、策略、指導(dǎo)原則。”應(yīng)該說，這兩種說法是一致的。從狹義來理解，中學(xué)數(shù)學(xué)思想往往是指“數(shù)學(xué)思想中最常見、最基本、較淺顯的內(nèi)容”、“這些最常見、最基本的數(shù)學(xué)思想也是從某些具體的數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提升出來的認(rèn)識結(jié)果或觀點(diǎn)，并在后繼的認(rèn)識活動中被反復(fù)運(yùn)用和證實”（文[3]），而從廣義來說數(shù)學(xué)思想泛指“某些有重大意義的、內(nèi)容比較豐富、體系相當(dāng)完整的的數(shù)學(xué)成果”（文[4]），對“數(shù)學(xué)思想”這一術(shù)語，目前還未形成精確的定義，綜上所述比較一致的認(rèn)識是，數(shù)學(xué)思想就是人們對數(shù)學(xué)知識和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識、基本看法。

1．2 數(shù)學(xué)方法是指“人們解決數(shù)學(xué)問題的步驟、程序和格式，是實施有關(guān)數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段?！保ㄎ腫1]），而與之相一致的說法是“數(shù)學(xué)方法是指某一數(shù)學(xué)活動過程的途徑、程序、手段?！保ㄎ腫2]）由此可以看出，數(shù)學(xué)思想方法具有過程性、層次性、可操作性特點(diǎn)。

1．3 數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的區(qū)別與聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法既有差異性，又有同一性，其差異性表現(xiàn)在“數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段，‘方法’指向‘實踐’；而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，它指導(dǎo)方法的運(yùn)用”，“數(shù)學(xué)思想具有概括性和普遍性，而數(shù)學(xué)方法則具有操作性和具體性；數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱的，而數(shù)學(xué)方法是外顯的；數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更深刻、更抽象地反映數(shù)學(xué)對象間的內(nèi)在關(guān)系，是數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步的概括和升華”（文[1]）?？梢赃@樣理解，數(shù)學(xué)思想相當(dāng)于建筑的一張圖紙，而數(shù)學(xué)方法則相當(dāng)于建筑施工的手段，數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法在抽象程度上處于更高的層次，難怪說“數(shù)學(xué)思想是一般哲學(xué)思想在教學(xué)中的體現(xiàn)，是在對數(shù)學(xué)知識做進(jìn)一步認(rèn)識和概括的基礎(chǔ)上形成的觀念”（文[5]）；其同一性表現(xiàn)在“數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法同屬方法論的范疇”，它們有時是等同的，人們往往把某一數(shù)學(xué)成果籠統(tǒng)地稱之為數(shù)學(xué)思想方法，而當(dāng)“用它去解決某些具體數(shù)學(xué)問題時，又可具體稱之為數(shù)學(xué)方法”（文[3]），因而，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一般將數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。

2．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的分類以及在教材中的呈現(xiàn)方式

2．1關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的分類，近年來的數(shù)學(xué)期刊上所刊載的相當(dāng)多，歸納起來，有如下幾類：第一類是策略型思想方法，它包括化歸、抽象概括、方程與函數(shù)、猜想、數(shù)形結(jié)合、整體與系統(tǒng)等；第二類是邏輯型思想方法，它包括演繹、分類、特殊化、類比、歸納、反證等；第三類是操作型思想方法，它包括構(gòu)造、換元、待定系數(shù)、配方、參數(shù)、判別式等。上述三種類型中的各種思想方法的順序是按在教材中出現(xiàn)頻數(shù)的高低來排列的。

2．2上述所列的數(shù)學(xué)思想方法，在教材中多數(shù)沒有給出具體的名稱，只是在知識發(fā)生過程中應(yīng)用了或隱含著這些思想方法。比如，在初中六冊數(shù)學(xué)《教師用書》中，涉及數(shù)學(xué)思想方法就高達(dá)450次之多；再如，化歸思想在初中六冊教材總共210余節(jié)中，出現(xiàn)的總頻數(shù)約為108次，占總節(jié)次數(shù)的50%左右?？梢姡鳛橹袑W(xué)數(shù)學(xué)教師善于發(fā)現(xiàn)或揭示教材中所隱含的數(shù)學(xué)思想方法是很有必要的。文[6]給出了數(shù)學(xué)思想方法在教材中的三種表現(xiàn)形式，其一是“某個知識內(nèi)容直接反映了某個數(shù)學(xué)思想方法”；其二是“某個知識內(nèi)容隱含著某些數(shù)學(xué)思想方法”；其三是“在某個知識內(nèi)容中明確提出某一數(shù)學(xué)方法”。文[7]則從敘述方式或明顯程度這兩個方面，將數(shù)學(xué)思想方法呈現(xiàn)方式分為四類，“第一類，實話實說，標(biāo)明名稱；第二類，‘埋伏線’很長、須前后連貫方能領(lǐng)會其義，也須前后照應(yīng)整體實施的思想方法；第三類，是帶提示性的、或啟發(fā)式或綜合性的表述；第四類，采取隱晦的暗示的說法，看似沒有卻用意盡在其中”。所有這些都可為教師們所借鑒。3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的基本特征及其目標(biāo)設(shè)制

3．1在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師們普遍比較重視數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的研究，從1997年被中國人大報刊資料復(fù)印中心《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》G35復(fù)印轉(zhuǎn)載或索引的有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的共76篇文章來看，諸如“淺談××思想的教學(xué)”、“××思想的應(yīng)用”、“例談××思想方法在解中（高）題中的應(yīng)用”等的文章就有60篇，可以看出，大部分教師沒有就數(shù)學(xué)思想方法本身進(jìn)行深層次的研究，不能很好地把握數(shù)學(xué)思想的基本特征，因而就不能較好地發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的教學(xué)功能。文[3]論述了數(shù)學(xué)思想的四種基本特征，可供學(xué)習(xí)。這四種特征是“

1、導(dǎo)向性。它是研究數(shù)學(xué)和解決問題的指導(dǎo)思想，是數(shù)學(xué)思維的策略。數(shù)學(xué)思想的導(dǎo)向性表現(xiàn)在它既是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的根源，又是建立數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)，還是解決具體問題的‘向?qū)А?/p>

2、統(tǒng)攝性。主要表現(xiàn)在兩個方面，一是優(yōu)化數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，二是發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；

3、概括性。??數(shù)學(xué)思想具有較高的概括性，概括性程度的高低決定了數(shù)學(xué)思想有層次之分，概括化程度高，其‘抽象度’大，對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性揭示的越深刻，對問題的理解也就愈透徹；

4、遷移性。??這種遷移性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)部：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓，這是數(shù)學(xué)知識遷移的基礎(chǔ)和源泉，是溝通數(shù)學(xué)各部分、各分支間聯(lián)系的橋梁和紐帶，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論的基石”。由此可見，只有了解數(shù)學(xué)思想的基本特征，才能在教學(xué)中有的放矢地滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，不斷提升自己的教學(xué)素質(zhì)。

3．2我們知道學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成需要經(jīng)歷一個從模糊到清晰，從理解到應(yīng)用的較長發(fā)展過程。這個過程目前比較一致的看法是從宏觀上劃分為四個層次，即滲透孕育期、領(lǐng)悟形成期、應(yīng)用發(fā)展期、鞏固深化期。數(shù)學(xué)思想從孕育到形成、發(fā)展，一般都需要經(jīng)歷這樣一個復(fù)雜的“潤物細(xì)無聲”的過程。而這個過程中的教學(xué)目標(biāo)往往不明確，課堂教學(xué)中的隨意性、盲目性大，缺少計劃性、系統(tǒng)性。既然數(shù)學(xué)思想方法被納入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的范疇，那么課堂教學(xué)中就應(yīng)該有數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)。文[8]中設(shè)制了如下的數(shù)學(xué)思想分層教學(xué)目標(biāo)： 層次

數(shù)學(xué)思想領(lǐng)域

認(rèn)知領(lǐng)域

教的目標(biāo)

學(xué)的目標(biāo)

教的目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)

初期

蘊(yùn)含

感受

滲透孕育

識記了解

中期

揭示

領(lǐng)悟

領(lǐng)悟形成

理解領(lǐng)會

后期

激活

發(fā)展

應(yīng)用發(fā)展

掌握應(yīng)用

并給出設(shè)定數(shù)學(xué)思想方法課堂教學(xué)目標(biāo)時應(yīng)注意的幾點(diǎn)：“

1、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)陳述的主語應(yīng)是學(xué)習(xí)活動的主體——學(xué)生；

2、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)要盡可能用學(xué)生的行為學(xué)習(xí)成果加以表述，即用那些可以外觀和測量的行為動詞來闡述目標(biāo)；

3、數(shù)學(xué)思想方法的課堂教學(xué)目標(biāo)應(yīng)有多少個目標(biāo)樣本組成，要依據(jù)課時內(nèi)容而定；

4、數(shù)學(xué)思想方法目標(biāo)的設(shè)定或陳述不能也不可能很具體，要把握好數(shù)學(xué)思想方法目標(biāo)的模糊程度，使得目標(biāo)陳述既能從總體上指導(dǎo)教學(xué)，又不過分限制教學(xué)活動；

5、數(shù)學(xué)思想方法的課堂教學(xué)目標(biāo)具有從簡單到復(fù)雜、從淺層到深層漸增的層次性，這種層次性常常與課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的各個重要環(huán)節(jié)相匹配，形成知識目標(biāo)與思想目標(biāo)的有機(jī)整合?！?4．?dāng)?shù)學(xué)思想方法教學(xué)的原則和教學(xué)基本途徑

4．1如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，筆者認(rèn)為，文[7]的四點(diǎn)建議“

（一）數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的前提——不斷強(qiáng)化教師的意識；

（二）數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的啟動——深入鉆研教材和教師教學(xué)用書；

（三）數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的關(guān)鍵——抓準(zhǔn)抓好知識與思想方法的結(jié)合點(diǎn)；

（四）數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的實施——‘點(diǎn)線面’教學(xué)法”，對我們進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)很有啟發(fā)。由于數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)是以數(shù)學(xué)知識教學(xué)為載體的，而它又不同于數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，它除應(yīng)遵循通常的數(shù)學(xué)教學(xué)原則外，還應(yīng)遵循如下原則“目標(biāo)性原則、滲透性原則、層次性原則、概括性原則、實踐性原則”（文[9]）、“計劃性原則、科學(xué)性原則、重復(fù)性原則”（文[10]）等。4．2關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的途徑問題，近年來有多篇文章從各個不同的角度進(jìn)行過闡述，筆者概括一下有以下4條，供教師們參考，“

1、在知識的發(fā)生過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法。⑴不簡單下定義，⑵定理公式教學(xué)中不過早給結(jié)論；

2、在思維教學(xué)活動過程中，揭示數(shù)學(xué)思想方法；

3、在問題解決方法的探索過程中，激活數(shù)學(xué)思想方法；在知識的總結(jié)歸納過程中，概括數(shù)學(xué)思想”（文[11]）。5．?dāng)?shù)學(xué)思想方法課堂教學(xué)模式

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不能游離于提出問題和解決問題的過程之外，不能離開活生生的教學(xué)活動。那種把數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)變成空洞的說教，變成華麗的名詞、術(shù)語的堆砌的做法是不足取的。因而，有必要研究數(shù)學(xué)思想方法課堂教學(xué)的模式，依據(jù)課型的不同，文[2]給出“觀察、猜想——探究式、比較、歸納——探究式、抽象、建?！骄渴健⒒瘹w、轉(zhuǎn)化——探究式”，而文[1]則給出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)設(shè)計的“四環(huán)節(jié)教學(xué)結(jié)構(gòu)”理論模式，具體為“概念課：

1、創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)思維動機(jī)，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想；

2、揭示概念背景，了解合理性和必要性，滲透數(shù)學(xué)思想；

3、暴露形成過程，概括本質(zhì)屬性，揭示數(shù)學(xué)思想；

4、拓展概念教學(xué)，深化理解定義，激活數(shù)學(xué)思想。規(guī)律課：??。問題課：??。綜合課：??”。沒有模式，就沒有特色，當(dāng)然，不能為模式為模式，把本應(yīng)生動活潑的課堂教學(xué)變成僵化的模式操作。

6．新課程理念下的數(shù)學(xué)思想方法研究 全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗稿）在總體目標(biāo)的設(shè)制中，明確指出“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識（包括數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。”應(yīng)該說，隨著教學(xué)理念的更新，數(shù)學(xué)思想方法仍將是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究仍是一項長期而艱巨的工作，為了進(jìn)一步推進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的研究，完善中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中的教學(xué)策略、評價檢測、育人功能等體系，筆者提出一些選題，愿與有志于進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法研究的朋友一同探航。附：數(shù)學(xué)思想方法研究選題

⑴數(shù)學(xué)思想方法的概念內(nèi)涵及外延體系；

⑵數(shù)學(xué)思想的教學(xué)體系（目標(biāo)體系、操作體系、評價體系）； ⑶學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成發(fā)展體系研究； ⑷學(xué)生數(shù)學(xué)思想形成的心理機(jī)制研究； ⑸數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)功能探討； ⑹數(shù)學(xué)思想、方法的解題功能研究；

⑺試論數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想三者之間的關(guān)系； ⑻數(shù)學(xué)思想方法的素質(zhì)教育意義；

⑼試論數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化的核心要素； ⑽發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想，夯實數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)。[注] [1] “MA”課題組“發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)”教學(xué)實驗研究報告《課程·教材·教法》1997年第8期。

[2]

李麗娟“中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)實驗研究”綜述《中小學(xué)數(shù)學(xué)·教師版》2002年第1—2期。

[3]臧雷試析數(shù)學(xué)思想的含義及基本特征《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》1998年第5期。[4]張奠宙《數(shù)學(xué)方法論稿》。上海：上海教育出版社，1996。[5]朱銀坪在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實素質(zhì)教育初探《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》（蘭州）1997年第3期。[6]汪立愛也談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)《中小學(xué)數(shù)學(xué)·初中版》1997年第6期。[7]滿小瑩初中數(shù)學(xué)思想方法探微及教學(xué)探討《教學(xué)與管理》（太原）1999年第5期。[8] 臧雷試論數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)的設(shè)制《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》（西安）1997年第4期。[9]孫朝仁初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的基本原則《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》（西安）2000年第3期。[10] 臧雷數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)原則芻議《中學(xué)數(shù)學(xué)》1997年第4期。[11] 孫朝仁初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的基本途徑《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》（西安）1998年11期。

第二篇：滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的研究

滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的研究

在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要性和必要性大家已有認(rèn)識。那么在日常的教學(xué)中教師怎樣做才好呢？

“挖掘”、“統(tǒng)帥” 是前提，“引導(dǎo)”、“參與” 是關(guān)鍵。我們認(rèn)為：挖掘、統(tǒng)帥、引導(dǎo)、參與這八個字是滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的主題詞。

我們認(rèn)識到：學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是一個在已有知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動、積極的建構(gòu)過程。由原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，經(jīng)過 “同化”、“順應(yīng)”，產(chǎn)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而后又經(jīng)過實踐應(yīng)用，形成更新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在這個意義下可以認(rèn)為：數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)自己學(xué)會的，不是教師講會的。這決不是說學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)不需要教師了。恰恰相反，教師應(yīng)是建構(gòu)活動的深謀遠(yuǎn)慮的 設(shè)計 者、組織者、參與者、指導(dǎo)者和評估者。學(xué)生的學(xué)習(xí)活動應(yīng)該在教師的的效控制下進(jìn)行才會獲得高效益。

挖掘。數(shù)學(xué)思想方法是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識之中的。數(shù)學(xué)知識是顯化的，數(shù)學(xué)思想方法是潛在的。數(shù)學(xué)思想方法需要由教師充分挖掘、采用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ箤W(xué)生領(lǐng)悟才會見效。

例如，在進(jìn)行乘法公式教學(xué)時有的學(xué)生公式會背、語言敘述準(zhǔn)確無誤，一般的題都會做，就是不會做變式題。問題的原因不是乘法公式這節(jié)課，而是字母表示數(shù)式。字母（符號）表示變元，學(xué)生沒有真正理解所致。有相當(dāng)多的人一直以為 a 就是表示正數(shù)，如同 3 就是表示 3。他們不理解 a 可以表示任何實數(shù)，表示任何代數(shù)式等。由此可見，教師在初一進(jìn)行字母表示數(shù)、代數(shù)式的教學(xué)時，應(yīng)站在要滲透符號思想的高度來 設(shè)計 自己的教學(xué)過程。不能滿足于學(xué)生會用字母表示數(shù)后，將字母等同數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算的結(jié)果。應(yīng)該讓學(xué)生認(rèn)識到用數(shù)字表示數(shù)和用字母表示數(shù)的本質(zhì)區(qū)別 —— 數(shù)字僅表示某個確定的數(shù)，字母表示某個可變的確定的數(shù)（即變元）。在后面的教學(xué)中教師仍要不斷地強(qiáng)調(diào)，才會使學(xué)生獲得正饒認(rèn)識。進(jìn)行代數(shù)式一節(jié)的教學(xué)時仍要貫穿這一思想，要向?qū)W生指出：一個字母也可以表示一個代數(shù)式，使學(xué)生的認(rèn)識更深化一步。

又如，進(jìn)行概念教學(xué)時，學(xué)生能把某個定義背得很熟，但就是不會用。如果我們從中挖掘出其中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)換思想，情況就不會不同。因為數(shù)學(xué)中定義的概念與被定義兼具性質(zhì)、判定雙重功能。明確向?qū)W生指出這一點(diǎn)，會使他們對定義的理解、運(yùn)用更上一層樓。

直線上兩個點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段，這兩個點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn)。這是線段的定義，學(xué)生學(xué)習(xí)時一般只作順向理解，知道什么叫線段。但遇到直線上有三個點(diǎn)，問共有幾條線段的時就會答不全。我們認(rèn)為對于定義再作逆向理解：線段是由直線上兩個端點(diǎn)之間的部分構(gòu)成的。兩個端點(diǎn)，在確定一個端點(diǎn)的情況下，再按順序去確定另一個端點(diǎn)，于是直線上有三個點(diǎn)，共有三條線段的結(jié)論就不難得到了。更復(fù)雜一點(diǎn)，直線上有四個點(diǎn)，甚至有 99 個

點(diǎn)問共有多少條線段？通過歸納思維訓(xùn)練，學(xué)生也會正確解答。

類似地，角的定義也應(yīng)這樣教學(xué)，而且可用類比思維作指導(dǎo)，完全可以依照線段概念進(jìn)行教學(xué)。角的頂點(diǎn)在哪里，它是由哪兩條射線組成的圖形，是我們認(rèn)識角的基點(diǎn)。有了這樣的理念，在今后遇到的復(fù)雜圖形中，找出所需的角就不會是難事了。

我們認(rèn)為，教師要有意識地滲透數(shù)學(xué)思想方法的首要條件，是教師要從數(shù)學(xué)思維方法的角度對教材進(jìn)行分析、研究。要善于發(fā)現(xiàn)和挖掘教材內(nèi)容中所隱含的數(shù)學(xué)思想方法，做到胸中有數(shù)。由此再進(jìn)一步考慮如何 設(shè)計 教學(xué)過程，使學(xué)生逐步領(lǐng)悟、理解、掌握、運(yùn)用所學(xué)的某個數(shù)學(xué)思想方法。

統(tǒng)帥。我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要使學(xué)生掌握前人的數(shù)學(xué)成果（即教材中的各個知識點(diǎn)），更重要的是引導(dǎo)學(xué)生展開思維，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想和精神實質(zhì)，以便提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力。為此，教師在備課、講課、評課、輔導(dǎo)等環(huán)節(jié)中都要有意識地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，將其貫穿在整個教學(xué)過程之中。這就是我們所說的 “統(tǒng)帥” 的含義。

例如，《有理數(shù)的加法》教學(xué)，教材先通過 6 個運(yùn)動求和的實例，得到如下結(jié)果：（1）5+3=8 ；（4）5+（-3）=2 ；

（2）（-5）+（-3）=-8 ；（5）3+（-5）=-2 ；

（3）5+（-5）=0 ；（6）（-5）+0=-5。

由此歸納、概括得出有理數(shù)的加法法則。如果我們有分類思想作指導(dǎo)，便可引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察上面 6 個等式。便不難看出：（1）和（2），實質(zhì)上同號兩數(shù)相加，可分兩種情況：即正 + 正 = 正，負(fù) + 負(fù) = 負(fù)；（3）、（4）、（5）是異號相加，又可分為三種情況，即按兩個加數(shù)的絕對值大小分為三類：兩加數(shù)絕對值相等時和為零，正加數(shù)絕對值大于負(fù)加數(shù)絕對值時和為正，正加數(shù)的絕對值小于負(fù)加數(shù)絕對值時和為負(fù)；（6）是有一加數(shù)為 0 的情況（由于正數(shù) + 零與零 + 零在小學(xué)已學(xué)過，未列出）。這樣，把兩個加數(shù)按符號進(jìn)行了分類，使學(xué)生在眾多的數(shù)學(xué)當(dāng)中分辨清數(shù)的各種可能情況，滲透了分類既不重復(fù)又不遺漏的原則。

又如，在學(xué)了角的比較大小后，對于小于平角的角分為銳角、直角、鈍角三類，就是分類思想的體現(xiàn)。再如三角形的分類：如果三角形按照邊的長短關(guān)系通常分為：

（1）不等邊三角形 —— 三邊都不相等；

（2）等腰三角形 —— 三邊中只有兩邊相等；

（3）等邊三角形 —— 三邊都相等。

如果三角形按角的大小關(guān)系來分，則可分為：

（1）銳角三角形 —— 各個角都是銳角；

（2）直角三角形 —— 有一個角是直角；

（3）鈍角三角形 —— 有一個角是鈍角。

由此讓學(xué)生初步體會：同一類事物按不同的標(biāo)準(zhǔn)可進(jìn)行不同的分類，但在同一標(biāo)準(zhǔn)下必須做到不重、不漏。

滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，我們提出挖掘、統(tǒng)帥是前提，還要明確三點(diǎn)：（2）數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含在教材的各個知識點(diǎn)中，即使是同一種數(shù)學(xué)思想方法，在不同的章節(jié)中，要求的層次也是不同的；

（3）學(xué)生對某個數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識、理解、掌握需要有一個 “認(rèn)同”、“順應(yīng)” 的過程。只有當(dāng)某個數(shù)學(xué)思想方法真正納入到他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中了，才會成為他們的自覺行動。因此，滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是一個長久的漸進(jìn)的過程。

現(xiàn)代認(rèn)知科學(xué)理論認(rèn)為：知識是無法傳授的，傳遞的只是信息。還認(rèn)為學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中的認(rèn)知主體，是建構(gòu)活動中的行為主體，而其他則是客體或載體。學(xué)生作為主體的作用，體現(xiàn)在認(rèn)知活動的中參與功能。沒有主體參與，老師的任何傳授將毫無意義，教師的主導(dǎo)作用也無從發(fā)揮。因此，在滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)中，我們提出：引導(dǎo)、參與是關(guān)鍵。

引導(dǎo)。由于任何一種數(shù)學(xué)思想方法都不能很快地被人掌握，需要經(jīng)歷了解（孕育）、理解（領(lǐng)悟）、掌握（形成）、應(yīng)用的過程；又由于數(shù)學(xué)思想方法是蘊(yùn)含于各個知識點(diǎn)中，在某個知識點(diǎn)的教學(xué)時，突出什么數(shù)學(xué)思想方法，挖掘到什么深度，要求到什么程度，在什么知識點(diǎn)的教學(xué)再反復(fù)、深入提高 ?? 都要由教師進(jìn)行系統(tǒng)地研究，作出周密的安排。具體到某節(jié)課的教學(xué)，教師都要從學(xué)生的角度來考慮，創(chuàng)設(shè)怎樣的情況、提出怎樣的問題、講授怎樣的內(nèi)容、設(shè)計 怎樣的活動、安排怎樣的練習(xí)等促使學(xué)生積極思維。通過學(xué)生自己主動的建構(gòu)活動，學(xué)會他們所要學(xué)的知識和技能要由教師來引導(dǎo)。

實踐證明，數(shù)學(xué)思想方法的掌握，需要學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中長期地實踐、積累，不斷地體驗才能逐步做到。在這個過程中，教師要適時地點(diǎn)撥與指導(dǎo)。到一定階段（例如某一個教學(xué)段落、學(xué)期結(jié)束、考前總復(fù)習(xí)等）教師再作必要的概括提高，從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)為、掌握提高到一個新的水平。

參與。指的是教師、學(xué)生都要投入到教學(xué)活動中來。學(xué)生的參與尤其重要，如果沒能

學(xué)生的積極參與，這樣的教學(xué)活動決不會是成功的。

例如，有理數(shù)的分類可分成正數(shù)、零、負(fù)數(shù)，也可分整數(shù)、分?jǐn)?shù)（小數(shù)）。在有理數(shù)的混合運(yùn)算

（一）這節(jié)課的教學(xué)中，教師采用提出問題，讓學(xué)生自己想，然后相互討論，再板演的方式進(jìn)行。允許學(xué)生用不同的方法解題，從中發(fā)現(xiàn)較簡捷的解法。在這節(jié)課中，滲透了分類和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生運(yùn)用了運(yùn)算律，使有理數(shù)的混合運(yùn)算達(dá)到正確、簡捷的目的。學(xué)生通過討論達(dá)到參與、交流的目的。教師在教學(xué)中，不斷向?qū)W生提問、質(zhì)疑、鼓勵，起到了積極引導(dǎo)的作用。（此課例可參看錄相看片《認(rèn)識建構(gòu)與數(shù)學(xué)教學(xué) ∧ 第十集中 詹寶玲老師做的課）。又如，定理教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。如何使學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理的形成過程，定理證明思履來歷，特別是輔助線的添加方法一直是教學(xué)中研究的重點(diǎn)。在《三角形中位線定理》一節(jié)課的教學(xué)中，我們運(yùn)用計算機(jī)輔助教學(xué)手段，采用《幾何畫板》軟件，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個理想的情境，所畫的三角形可以任意變化，（體現(xiàn)定理對于任意三角形都成立）可測算出一組同位角始終相等，中位線的長是第三邊長的一半。學(xué)生經(jīng)過對圖形的觀察很容易得到定理的結(jié)論。（這個過程是一個實驗過程，讓學(xué)生從感性上認(rèn)識定理的正確性。定理的結(jié)論是由學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)。體現(xiàn)了 “做數(shù)學(xué)” 的理念。）定理的證明實質(zhì)是經(jīng)過平移變換或旋轉(zhuǎn)變換，將三角形圖形轉(zhuǎn)化為平行四邊形而證明的?！稁缀萎嫲濉纺芎芎玫匮菔旧鲜鲞^程。所以定理的證明思路、輔助線的添加方法都是顯得十分自然。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生積極地參與，整個教學(xué)過程是學(xué)生的思維步步深入的過程，達(dá)到了理想的教學(xué)效果。必須指出，這節(jié)課的教學(xué)《幾何畫板》軟件發(fā)揮了傳統(tǒng)教學(xué)手段達(dá)不到的效果。因此按照教學(xué)的需要，采用現(xiàn)代教育技術(shù)手段是非常必要的。（此課例可參看錄相片《認(rèn)識建構(gòu)與數(shù)學(xué)教學(xué) ∧ 第十一集中場革老師做的課。）

在一單元或一章教學(xué)結(jié)束后，特別是在期末復(fù)習(xí)或總復(fù)習(xí)時，教師更應(yīng)該用數(shù)學(xué)思想來統(tǒng)帥教學(xué)過程。讓學(xué)生認(rèn)識到從數(shù)學(xué)思想的高度來總結(jié)學(xué)過的知識，好比用一根線把一串珍珠（知識點(diǎn)）連起來，既有條理，又不易遺忘。

例如，在中考復(fù)習(xí)時，把初中階段學(xué)過的各種方程（組）解法，在轉(zhuǎn)化思想的指引下，運(yùn)用消元、降次、換元等方法，最終化為 x=a 的形式，從而求得方程（組）的解。這樣處理不僅總結(jié)、歸納了初中已學(xué)過的知識，而且為高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程等的解法準(zhǔn)備了思想基礎(chǔ)。

總之，數(shù)學(xué)思想方法是 中學(xué) 數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一。任何數(shù)學(xué)總是的解決無不以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，以數(shù)學(xué)方法為手段。數(shù)學(xué)思想是教材體系的靈魂，是教學(xué) 設(shè)計 的指導(dǎo)，是課堂教學(xué)的統(tǒng)帥，是解題思履指南。把數(shù)學(xué)知識的精髓 —— 數(shù)學(xué)思想方法納入基礎(chǔ)知識范疇是加強(qiáng)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個重要舉措。隨著對數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究的深入，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的實施，必將進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

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第三篇：數(shù)學(xué)思想方法縮印

數(shù)學(xué)思想方法：是對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)認(rèn)識，對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。

數(shù)學(xué)方法：是從數(shù)學(xué)的角度提出問題，解決問題的過程中所采用的方式，手段，途徑等。

中學(xué)數(shù)學(xué)涉及的思想方法有：1用字母代替的數(shù)的思想方法2集合的思想方法3函數(shù)、映射、對應(yīng)的思想方法4統(tǒng)計思想和數(shù)據(jù)處理方法5算法思想6數(shù)形結(jié)合的思想方法7最優(yōu)化的思想方法8極限思想和逼近方法9分類的思想方法10參數(shù)的思想方法 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的特點(diǎn)：1隱喻性2活動性3主觀性4差異性

從學(xué)生的認(rèn)知角度看，數(shù)學(xué)思想方法的構(gòu)建有三個階段：潛意識階段，明朗和形成階段，深化階段 在數(shù)學(xué)教學(xué)的不同階段，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)；1在知識形成階段，可有計劃有步驟地選用觀察、實驗、比較、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法。字母代替數(shù)的思想方法、函數(shù)的思想方法、方程的思想方法、極限的思想方法、統(tǒng)計的思想方法等2在知識結(jié)論推導(dǎo)階段和解題教學(xué)中，可選用分類討論、化歸、等價轉(zhuǎn)換、特殊化與一般化、歸納、類比等思想方法3在知識的總結(jié)性階段，可采用結(jié)構(gòu)化、公理化等思想方法 化歸方法的基本思想是什么“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱。其基本思想是：人們在解決數(shù)學(xué)問題時，常常是將待解決的問題A，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個問題B，而問題B是相對交易解決或已有固定解決程式的問題，且通過對問題B的解決可得到原問題A的解答 化歸方法的基本原則：1化歸目標(biāo)簡單化原則2具體化原則3和諧統(tǒng)一性4形式標(biāo)準(zhǔn)化原則5低層次化原則 RMI原理：通過建立歐式平面到有序?qū)崝?shù)對集合的映射，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為簡析幾何問題的過程，以及通過建立平面直角坐標(biāo)系到復(fù)數(shù)集的映射，將幾何問題化歸為復(fù)數(shù)問題的過程。它們有著共同的形式，即通過尋找適當(dāng)映射實現(xiàn)化歸的策略進(jìn)一步形式化地抽象為關(guān)系映射反演原理簡稱RMI原理

數(shù)學(xué)抽象的基本原則是邏輯建構(gòu)形式化原則

數(shù)學(xué)抽象的主要方法：性質(zhì)抽象，關(guān)系抽象，等置抽象，無限抽象，弱抽象和強(qiáng)抽象

數(shù)學(xué)模型方法是借用數(shù)學(xué)模型來研究原型的功能特征及其內(nèi)在規(guī)律，并應(yīng)用于實際的一種方法

數(shù)學(xué)建模的一般原則：1簡化原則 2可推演，3反映性 必真推理方法包括演繹法和完全歸納法。完全歸納法常會用到窮舉和類分的方法

類比法：類比法是根據(jù)兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理方法

人們經(jīng)常在數(shù)與式之間、平面與立體之間、一維與多維之間進(jìn)行種種類比

類比的一般模式A類事物具有性質(zhì)a1,a2,a3,a4，B類事物具有性質(zhì)a1,a2,a3,所以B類事物可能具有性質(zhì)a4 類比的三個環(huán)節(jié)：1依據(jù)某種相似性尋找適合的類比物2將兩個對象的相似性進(jìn)一步明確化3依據(jù)1、2步中明確化的相似性推測相似結(jié)論，得到命題或證明方法的猜想 反證法：當(dāng)證明論題p→q時，不去直接證明它，而是把﹁q作為前提，加進(jìn)原論題的前提，并根據(jù)已知真命題和推理規(guī)則推出與另一已知真命題或原論題的前提相矛盾的結(jié)論，或者導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論，從而確立論題的正確性

計算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)科學(xué)的迅速發(fā)展推動了幾何定理證明機(jī)械化的進(jìn)程，吳文俊先生研究幾何證明的機(jī)械化方法 算法是指可以用計算機(jī)來解決的某一類問題的程序或步驟，它的主要特征是程序性、明確性和有限性

在向量運(yùn)算的教學(xué)中，特別要重視向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算

公理化方法：從盡可能少的一組原始概念和公設(shè)和公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理原則，建立科學(xué)體系的方法。具體形態(tài)：1實體性公理化方法，形態(tài)公理化方法和純形式公理化方法

公理化方法的邏輯特征：1無矛盾性2獨(dú)立性3完備性 公理化方法對教學(xué)的啟示：1啟發(fā)學(xué)生自己去尋找依據(jù)2使學(xué)生在尋找體驗依據(jù)的過程中，培養(yǎng)起”說理有據(jù)“的習(xí)慣和能力3在運(yùn)用公理化方法解決問題時，要幫助學(xué)生將命題的條件和結(jié)論聯(lián)系起來4應(yīng)讓學(xué)生在公理化方法中學(xué)到從一般到特殊邏輯和直觀的教學(xué)的基本要素5要幫助學(xué)生認(rèn)識運(yùn)算是從一個或幾個已知判斷得到一個新判斷思維過程

在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分析和綜合的二種意義：1分析與綜合可以理解為證明定理和解題的思維方法2分析與綜合可以理解為研究數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的方法

數(shù)學(xué)方法在實際應(yīng)用中往往具有過程性和層次性的特點(diǎn) 涉及到無限概念的抽象為無限抽象，它分為潛無限抽象和實無限抽象

等置抽象是按某種等價關(guān)系，抽取一類對象共同性質(zhì)特征的抽象

性質(zhì)抽象是考察被研究對象某一方面的性質(zhì)或?qū)傩?，而抽取向量性方面的性質(zhì)或?qū)傩缘某橄蠓椒?/p>

關(guān)系抽象是指根據(jù)認(rèn)識目的，從研究對象中抽取或建構(gòu)若干構(gòu)成要素之間的數(shù)量關(guān)系或空間位置關(guān)系，而舍棄其他無關(guān)特征或物理現(xiàn)實意義的抽象方法

強(qiáng)抽象是指通過強(qiáng)化對象的特征，即增加對象的性特征來完成抽象建構(gòu)，已形成新概念或模式的抽象方式 弱抽象是指由原型中抽取其某一方面的特征或側(cè)面加以概括，從而形成比原對象更為一般的概念或理論的一種抽象方式

數(shù)學(xué)抽象是一種特殊的抽象，具體表現(xiàn)為它的抽象的內(nèi)容，程度和方法上

數(shù)學(xué)中的三種母結(jié)構(gòu)為代數(shù)結(jié)構(gòu)，序結(jié)構(gòu)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)推理：是從一個或幾個已知判斷得到一個新的判斷的思維形式

推理的種類：安思維的方向性，可分為演繹推理、歸納推理、類比推理

推理有內(nèi)容和形式兩方面。內(nèi)容指前提和結(jié)論的真假性問題，形式是所推理的結(jié)構(gòu)形式問題

數(shù)學(xué)推理的規(guī)則：1三段論推理規(guī)則2聯(lián)言推理規(guī)則3選言推理規(guī)則4分離規(guī)則5否定推理規(guī)則5逆推理規(guī)則6逆否規(guī)則

不完全歸納的理論依據(jù)：1共性存在于個性之中2普遍性寓于特殊性之中

為什么說數(shù)形結(jié)合方法是最基本最常用的方法，如何用？數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。即就是研究數(shù)與形的科學(xué)，而且數(shù)學(xué)的高度抽象性，帶來了數(shù)學(xué)的難教、難懂、難學(xué)。正是數(shù)學(xué)科學(xué)的研究對象和特點(diǎn)，決定于數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思考和研究問題的基本方法，它可以幫助人們將抽象的而難題變得直觀、形象，便于思考和研究，也可以幫助人們將直觀問題數(shù)量化、精確化，促進(jìn)問題的解決。如何用？1從數(shù)到形，以形論數(shù)2從形到數(shù)，以數(shù)論形3數(shù)形結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化，互相補(bǔ)充 公理化方法的意義和作用？1公理化方法有利于在理論上探索事物的發(fā)展規(guī)律2公理化方法有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力3公理化方法對數(shù)學(xué)的發(fā)展起的積極作用及其局限性

不完全歸納：不完全歸納法即不完全歸納推理，是根據(jù)考察的一類事物的部分對象具有某一屬性，向做出該類事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的歸納推理

數(shù)學(xué)思想方法：是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。

數(shù)學(xué)方法：是從數(shù)學(xué)的角度提出問題，解決問題的過程中所采用的方式，手段，途徑等。

中學(xué)數(shù)學(xué)涉及的思想方法有：1用字母代替的數(shù)的思想方法2集合的思想方法3函數(shù)、映射、對應(yīng)的思想方法4統(tǒng)計思想和數(shù)據(jù)處理方法5算法思想6數(shù)形結(jié)合的思想方法7最優(yōu)化的思想方法8極限思想和逼近方法9分類的思想方法10參數(shù)的思想方法 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的特點(diǎn)：1隱喻性2活動性3主觀性4差異性

從學(xué)生的認(rèn)知角度看，數(shù)學(xué)思想方法的構(gòu)建有三個階段：潛意識階段，明朗和形成階段，深化階段 在數(shù)學(xué)教學(xué)的不同階段，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)；1在知識形成階段，可有計劃有步驟地選用觀察、實驗、比較、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法。字母代替數(shù)的思想方法、函數(shù)的思想方法、方程的思想方法、極限的思想方法、統(tǒng)計的思想方法等2在知識結(jié)論推導(dǎo)階段和解題教學(xué)中，可選用分類討論、化歸、等價轉(zhuǎn)換、特殊化與一般化、歸納、類比等思想方法3在知識的總結(jié)性階段，可采用結(jié)構(gòu)化、公理化等思想方法 化歸方法的基本思想是什么“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱。其基本思想是：人們在解決數(shù)學(xué)問題時，常常是將待解決的問題A，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個問題B，而問題B是相對交易解決或已有固定解決程式的問題，且通過對問題B的解決可得到原問題A的解答 化歸方法的基本原則：1化歸目標(biāo)簡單化原則2具體化原則3和諧統(tǒng)一性原則4形式標(biāo)準(zhǔn)化原則5低層次化原則

RMI原理：通過建立歐式平面到有序?qū)崝?shù)對集合的映射，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為簡析幾何問題的過程，以及通過建立平面直角坐標(biāo)系到復(fù)數(shù)集的映射，將幾何問題化歸為復(fù)數(shù)問題的過程。它們有著共同的形式，即通過尋找適當(dāng)映射實現(xiàn)化歸的策略進(jìn)一步形式化地抽象為關(guān)系映射反演原理簡稱RMI原理

數(shù)學(xué)抽象的基本原則是邏輯建構(gòu)形式化原則

數(shù)學(xué)抽象的主要方法：性質(zhì)抽象，關(guān)系抽象，等置抽象，無限抽象，弱抽象和強(qiáng)抽象

數(shù)學(xué)模型方法是借用數(shù)學(xué)模型來研究原型的功能特征及其內(nèi)在規(guī)律，并應(yīng)用于實際的一種方法

數(shù)學(xué)建模的一般原則：簡化原則，可推演原則，反映性原則

必真推理方法包括演繹法和完全歸納法。完全歸納法常會用到窮舉和類分的方法

類比法：類比法是根據(jù)兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理方法

人們經(jīng)常在數(shù)與式之間、平面與立體之間、一維與多維之間進(jìn)行種種類比

類比的一般模式為：A類事物具有性質(zhì)a1,a2,a3,a4，B類事物具有性質(zhì)a1,a2,a3,所以B類事物可能具有性質(zhì)a4

類比的三個環(huán)節(jié)：1依據(jù)某種相似性尋找適合的類比物2將兩個對象的相似性進(jìn)一步明確化3依據(jù)1、2步中明確化了的相似性，推測相似結(jié)論，得到命題或證明方法的猜想

反證法：當(dāng)證明論題p→q時，不去直接證明它，而是把﹁q作為前提，加進(jìn)原論題的前提，并根據(jù)已知真命題和推理規(guī)則推出與另一已知真命題或原論題的前提相矛盾的結(jié)論，或者導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論，從而確立論題的正確性

計算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)科學(xué)的迅速發(fā)展，推動了幾何定理證明機(jī)械化的進(jìn)程，吳文俊先生研究幾何證明的機(jī)械化方法

算法是指可以用計算機(jī)來解決的某一類問題的程序或步驟，它的主要特征是程序性、明確性和有限性

在向量運(yùn)算的教學(xué)中，特別要重視向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算

公理化方法：從盡可能少的一組原始概念和公設(shè)和公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理原則，建立科學(xué)體系的方法。具體形態(tài)：1實體性公理化方法，形態(tài)公理化方法和純形式公理化方法

公理化方法的邏輯特征：1無矛盾性2獨(dú)立性3完備性 公理化方法對教學(xué)的啟示：1啟發(fā)學(xué)生自己去尋找依據(jù)2使學(xué)生在尋找體驗依據(jù)的過程中，培養(yǎng)起”說理有據(jù)“的習(xí)慣和能力3在運(yùn)用公理化方法解決問題時，要幫助學(xué)生將命題的條件和結(jié)論聯(lián)系起來4應(yīng)讓學(xué)生在公理化方法中學(xué)到從一般到特殊邏輯和直觀的教學(xué)的基本要素5要幫助學(xué)生認(rèn)識運(yùn)算是從一個或幾個已知判斷得到一個新判斷的思維過程

在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分析和綜合的二種意義：1分析與綜合可以理解為證明定理和解題的思維方法2分析與綜合可以理解為研究數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的方法

數(shù)學(xué)方法在實際應(yīng)用中往往具有過程性和層次性的特點(diǎn) 涉及到無限概念的抽象為無限抽象，它分為潛無限抽象和實無限抽象

等置抽象是按某種等價關(guān)系，抽取一類對象共同性質(zhì)特征的抽象

性質(zhì)抽象是考察被研究對象某一方面的性質(zhì)或?qū)傩?，而抽取向量性方面的性質(zhì)或?qū)傩缘某橄蠓椒?/p>

關(guān)系抽象是指根據(jù)認(rèn)識目的，從研究對象中抽取或建構(gòu)若干構(gòu)成要素之間的數(shù)量關(guān)系或空間位置關(guān)系，而舍棄其他無關(guān)特征或物理現(xiàn)實意義的抽象方法

強(qiáng)抽象是指通過強(qiáng)化對象的特征，即增加對象的性特征來完成抽象建構(gòu)，已形成新概念或模式的抽象方式 弱抽象是指由原型中抽取其某一方面的特征或側(cè)面加以概括，從而形成比原對象更為一般的概念或理論的一種抽象方式

數(shù)學(xué)抽象是一種特殊的抽象，具體表現(xiàn)為它的抽象的內(nèi)容，程度和方法上

數(shù)學(xué)中的三種母結(jié)構(gòu)為代數(shù)結(jié)構(gòu)，序結(jié)構(gòu)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)推理：是從一個或幾個已知判斷得到一個新的判斷的思維形式

推理的種類：安思維的方向性，可分為演繹推理、歸納推理、類比推理

推理有內(nèi)容和形式兩方面。內(nèi)容指前提和結(jié)論的真假性問題，形式是所推理的結(jié)構(gòu)形式問題

數(shù)學(xué)推理的規(guī)則：1三段論推理規(guī)則2聯(lián)言推理規(guī)則3選言推理規(guī)則4分離規(guī)則5否定推理規(guī)則5逆推理規(guī)則6逆否規(guī)則

不完全歸納的理論依據(jù)：1共性存在于個性之中2普遍性寓于特殊性之中

為什么說數(shù)形結(jié)合方法是最基本最常用的方法，如何用？數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。即就是研究數(shù)與形的科學(xué)，而且數(shù)學(xué)的高度抽象性，帶來了數(shù)學(xué)的難教、難懂、難學(xué)。正是數(shù)學(xué)科學(xué)的研究對象和特點(diǎn)，決定于數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思考和研究問題的基本方法，它可以幫助人們將抽象的而難題變得直觀、形象，便于思考和研究，也可以幫助人們將直觀問題數(shù)量化、精確化，促進(jìn)問題的解決。如何用？1從數(shù)到形，以形論數(shù)2從形到數(shù)，以數(shù)論形3數(shù)形結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化，互相補(bǔ)充 公理化方法的意義和作用？1公理化方法有利于在理論上探索事物的發(fā)展規(guī)律2公理化方法有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力3公理化方法對數(shù)學(xué)的發(fā)展起的積極作用及其局限性

不完全歸納：不完全歸納法即不完全歸納推理，是根據(jù)考察的一類事物的部分對象具有某一屬性，向做出該類事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的歸納推理

第四篇：數(shù)學(xué)思想方法心得體會

數(shù)學(xué)思想方法心得體會

數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁。下面是小編幫大家整理的數(shù)學(xué)思想方法心得體會，希望大家喜歡。

隨著素質(zhì)教育的深入開展,數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要內(nèi)容已引起教育界的普遍關(guān)注和高度重視。做為未來高中教師的初等教育系的學(xué)生肩負(fù)著基礎(chǔ)教育的重任,所以更應(yīng)具有創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。那么,應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識數(shù)學(xué)思想方法?數(shù)學(xué)思想方法與初等數(shù)學(xué)又有什么樣的關(guān)系?在初等數(shù)學(xué)的教學(xué)中又如何體現(xiàn)和滲透數(shù)學(xué)思想方法?

數(shù)學(xué)關(guān)鍵就在一個悟字，所謂悟，就是開竅，如何開竅，就要求講師不要只講題目的做法，而是包括，是怎么想到要這么做的，以引導(dǎo)學(xué)生去理解，去悟，對于初等數(shù)學(xué)，本人的看法是隨便怎么做，因為初等數(shù)學(xué)的試題必然有解，必然是可以通過所給條件經(jīng)過N多步驟推出來，不信可以試試，拿一道，先什么都不要管，只管把已知條件以全排列方式組合，以推出新的條件，再將所得條件組合，再推，直到最后推無可推，你會發(fā)現(xiàn)題目所求就在其中，甚至簡單的可能是離最終結(jié)論還有N步，復(fù)雜的估計也就是最終結(jié)論了，所以以高考為目的的初等數(shù)學(xué)題目是不經(jīng)做的，因為只要你做，就一定能做出來，而之所以很多學(xué)生覺得難，沒處著筆，不知道改該怎么做，很大一部分是因為懶，不愿動筆，而只是

呆看，簡單的能看出來，復(fù)雜的是很難看出來的，如果說那種直接推導(dǎo)的辦法太耗時間，那么只能說是因為不熟練，一旦題目做多了，思維形成了，差不多就可以一眼看出來，頂多推兩步，就知道后面的怎么推了，從而省略了N多的分支，古往今來的題海戰(zhàn)術(shù)不是沒有依據(jù)的，熟能生巧，見得多了，做的多了，自然可以找到某種規(guī)律

初數(shù)研究課在研究初等數(shù)學(xué)問題時，大多采用專題討論的方法，都有一套完整的體系。如果過分強(qiáng)調(diào)自身完整的邏輯系統(tǒng)，容易導(dǎo)致不同學(xué)科、不同課程的內(nèi)客及方法有很多重復(fù)和交叉。

如數(shù)與初等數(shù)論中的相關(guān)內(nèi)容，解析式的恒等變形，方程、不等式的解法與證明，幾何證題法與證題術(shù)排列、組合及數(shù)列的一些解題方法等。如果不處理好它們之間的關(guān)系，只是簡單地追求各門課程自身體系的完整，既不利于學(xué)生整體數(shù)學(xué)思想的建立，又制約了他們數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力的提高，同時占用了很多的課時，所以，對于相關(guān)課程中己作詳盡討論過的知識及理論，應(yīng)作為工具來應(yīng)用，避免一些不必要的重復(fù)。

１.知識系統(tǒng)的探究

初數(shù)研究課涉及大量的理論，教師講、學(xué)生聽的傳統(tǒng)教學(xué)模式既占用課時多，又難以體現(xiàn)學(xué)生的主體性。因此對理論性較強(qiáng)的內(nèi)容，教師可以先提出一些切題的問題作為一堂

課的鍥子，留待后面逐個解決。這些問題將整個教學(xué)內(nèi)容串起來，起到提綱摯領(lǐng)的作用，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，集中學(xué)習(xí)資源有針對性地去探究問題，然后教師組織學(xué)生對探究的結(jié)果進(jìn)行歸納整理，形成較完整的知識體系。當(dāng)然一個問題的解訣并非探究的終結(jié)，在探究過程中教師與學(xué)生都可以提出一些新問題，延續(xù)學(xué)生探究的熱情，在合作交流的民主和諧的氛圍里，盡可能地讓學(xué)生走向自由探究。

２.解題方法的探究

從學(xué)生的認(rèn)知角度未說，解題過程是獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)、探索與積極思考的過程，這種探索過程中所形成的意識和思維，就是真正的創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)。應(yīng)該說，解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一，設(shè)置初數(shù)研究課程的目的之一，就是結(jié)合中學(xué)實際對解題作專門的訓(xùn)練。

３.條件與結(jié)論的探究

對一個問題的條件或結(jié)論進(jìn)行探究是對問題深入研究的重要組成部分，也是初數(shù)研究課程中具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)之一，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同層面來看問題，對學(xué)生的發(fā)散思維及創(chuàng)造思維的培養(yǎng)，都能起到良好的推動作用。

隨著教學(xué)改革的深化，教學(xué)思想方法不僅要在理論上做研究探討，更重要的是需要在實踐中不斷地創(chuàng)造與完善，才能使教學(xué)取得較好的效果。

第五篇：小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)心得

《小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法》學(xué)有所得

我們在老師的指導(dǎo)下著重學(xué)習(xí)了《小學(xué)數(shù)學(xué)教材概說》第二章的小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法中的集合思想、對應(yīng)思想、符號化思想、極限思想、統(tǒng)計思想、數(shù)學(xué)模型方法，并分析了這些思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的滲透。

通過在課堂上對小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，我深刻地認(rèn)識到學(xué)習(xí)并研究數(shù)學(xué)思想方法對于數(shù)學(xué)教學(xué)具有重大意義。首先，懂得數(shù)學(xué)思想方法有利于教師深刻地認(rèn)識數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，正確把握教材體系，以較高的觀點(diǎn)分析和處理小學(xué)教材。小學(xué)教材體系就兩條主線：

一、數(shù)學(xué)知識；

二、數(shù)學(xué)思想。教師會分析教材，就能明確數(shù)學(xué)知識；而數(shù)學(xué)思想是必須掌握了它的方法才能明確為什么要這樣寫，才能從整體上、本質(zhì)去理解教材，也才能科學(xué)、靈活地設(shè)計教學(xué)方法，提高課堂教學(xué)效率。其次，懂得數(shù)學(xué)思想方法有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。最后，有利于對學(xué)生進(jìn)行美育滲透和辯證唯物主義的啟蒙教育。

正是因為我意識到懂得數(shù)學(xué)思想方法對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)具有重大意義，所以我利用課余時間學(xué)習(xí)了小學(xué)數(shù)學(xué)的其他思想方法：類比思想、轉(zhuǎn)化思想、分類思想、代換思想、可逆思想、化歸思想、整體思想、比較思想、假設(shè)思想、數(shù)形結(jié)合思想。

其中我對類比思想方法頗感興趣，對它的了解比較深刻。類比思想是把某一或幾個方面彼此一致的新舊事物放在一起相比較, 讓學(xué)生由舊事物的已知屬性推出或猜想新事物也具有相同或類似屬性的一種邏輯推理方法, 它包含特殊到特殊, 也包含一般到一般。整個思維過程是以“聯(lián)想”為前提；以“相似性”為向?qū)?；以提出“猜想”為使命；以發(fā)現(xiàn)“新規(guī)律”為目的。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透類比思想，通過以下幾個方面實現(xiàn)：（1）滲透類比思想探究新知（2）滲透類比思想建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)

（3）滲透類比思想激發(fā)創(chuàng)新思維（4）滲透類比思想加深對概念的理解。在運(yùn)用類比方法時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

（一）類比的結(jié)論具有或然性：或者正確，或者不正確，或者不完全正確，對類比的結(jié)論能進(jìn)行辯證的處理。

（二）類比推理需要相當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，且學(xué)生容易為表面上相似的類比所誤導(dǎo),有位數(shù)學(xué)家于1992年提出幾個克服類比障礙的方法：（1）由學(xué)生自己類比。（2）使用多種類比。（3）教師應(yīng)明確指出類比推理可能失敗之處。

（三）要想讓學(xué)生掌握一些類比思維，作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：

1、教師應(yīng)該從自身做起，先要使自己充實起來，這樣才能將思想，方法逐漸滲透到學(xué)生的思維中，因此教師迫切需要學(xué)習(xí)和掌握以下知識：（1）補(bǔ)充綜合性知識。從今后發(fā)展來看，知識也是日趨綜合化，很多問題不是只用一門學(xué)科知識就能解決和回答的。老師必須在知識上融會貫通，才能更好的在課堂上啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，實現(xiàn)縱橫類比。（2）挖掘教材中的潛在知識。有些知識書本沒有明確給出要求,但是必要時要給予補(bǔ)充。例如：蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第六冊第94-95頁，這部分內(nèi)容講的雖是長方形面積，但是從教材中可以發(fā)現(xiàn)它隱含了簡單的統(tǒng)計思想。教師教學(xué)時要注意挖掘這部分知識。

2、老師在教學(xué)過程中也要創(chuàng)設(shè)一種有培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的教學(xué)情境。如采用開放式教學(xué)。

3、要培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力，首先要注意培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力，只有概括出不同知識的相同或相似的性質(zhì)，才能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比。古代學(xué)者韓愈提倡讀書學(xué)習(xí)先要入書，后要出書，要先把書讀厚，再把書讀薄。這就是說要總結(jié)，要概括，要深入認(rèn)識問題的精神實質(zhì)。運(yùn)用類比讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，去創(chuàng)造，讓教學(xué)充滿創(chuàng)新與活力。懂得了數(shù)學(xué)思想方法也意識到了它的重要性，那么在教學(xué)中，如何將這些方法滲透呢？經(jīng)過思考我個人有幾點(diǎn)看法：（1）提高滲透的自覺性，在知識的形成、發(fā)展過程中，滲透數(shù)學(xué)思想與方法；（2）把握滲透的可行性，在解題思路的探索中，揭示數(shù)學(xué)思想與方法；（3）豐富數(shù)學(xué)滲透的人文性，在問題解決方法的探索過程中，激活數(shù)學(xué)思想與方法；（4）注重滲透的反復(fù)性，在知識的總結(jié)歸納過程中，概括數(shù)學(xué)思想與方法。

以上是我在小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法這一章學(xué)習(xí)之后的心得與思考，若有不妥的的地方還請老師指點(diǎn)迷津，謝謝啦！