第一篇：示范教案(1.4.3 正切函數(shù)的性質與圖象)
1.4.3 正切函數(shù)的性質與圖象
整體設計
教學分析
本節(jié)課的背景是:這之前我們已經(jīng)用了三節(jié)課的時間學習了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質.函數(shù)的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般來說,對函數(shù)性質的研究總是先作圖象,通過觀察圖象獲得對函數(shù)性質的直觀認識,然后再從代數(shù)的角度對性質作出嚴格表述.但對正切函數(shù),教科書換了一個新的角度,采取了先根據(jù)已有的知識(如正切函數(shù)的定義、誘導公式、正切線等)研究性質,然后再根據(jù)性質研究正切函數(shù)的圖象.這樣處理,主要是為了給學生提供研究數(shù)學問題更多的視角,在性質的指導下可以更加有效地作圖、研究圖象,加強了理性思考的成分,并使數(shù)形結合的思想體現(xiàn)得更加全面.教師要在學生探究活動過程中引導學生體會這種解決問題的方法.通過多媒體教學,讓學生通過對圖象的動態(tài)觀察,對知識點的理解更加直觀、形象.以提高學生的學習興趣,提高課題教學質量.從學生的實際情況為教學出發(fā)點,通過各種數(shù)學思想的滲透,合理運用各種教學課件,逐步培養(yǎng)學生養(yǎng)成學會通過對圖象的觀察來整理相應的知識點的能力,學會運用數(shù)學思想解決實際問題的能力.這樣既加強了類比這一重要數(shù)學思想的培養(yǎng),也有利于學生綜合運用能力的提高,有利于學生把新舊知識前后聯(lián)系,融會貫通,提高教學效果.由于學生已經(jīng)有了研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質的經(jīng)驗,這種經(jīng)驗完全可以遷移到對正切函數(shù)性質的研究中,因此,我們可以通過“探究”提出,引導學生根據(jù)前面的經(jīng)驗研究正切函數(shù)的性質,讓學生深刻領悟這種遷移與類比的學習方法.三維目標
1.通過對正切函數(shù)的性質的研究,注重培養(yǎng)學生類比思想的養(yǎng)成,以及培養(yǎng)學生綜合運用新舊知識的能力.學會通過對圖象的觀察來整理相應的知識點,學會運用數(shù)學思想解決實際問題的能力.2.在學習了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質的基礎上,運用類比的方法,學習正切函數(shù)的圖象與性質,從而培養(yǎng)學生的類比思維能力.3.通過正切函數(shù)圖象的教學,培養(yǎng)學生欣賞(中心)對稱美的能力,激發(fā)學生熱愛科學、努力學好數(shù)學的信心.重點難點
教學重點:正切函數(shù)的性質與圖象的簡單應用.教學難點:正切函數(shù)性質的深刻理解及其簡單應用.課時安排 1課時
教學過程
導入新課
思路1.(直接導入)常見的三角函數(shù)還有正切函數(shù),前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質,你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質的經(jīng)驗,以同樣的方法研究正切函數(shù)的圖象與性質？由此展開新課.思路2.先由圖象開始,讓學生先畫正切線,然后類比正弦、余弦函數(shù)的幾何作圖法來畫出正切函數(shù)的圖象.這也是一種不錯的選擇,這是傳統(tǒng)的導入法.推進新課 新知探究 提出問題
①我們通過畫正弦、余弦函數(shù)圖象探究了正弦、余弦函數(shù)的性質.正切函數(shù)是我們高中要學習的最后一個基本初等函數(shù).你能運用類比的方法先探究出正切函數(shù)的性質嗎？都研究函數(shù)的哪幾個方面的性質？
②我們學習了正弦線、余弦線、正切線.你能畫出四個象限的正切線嗎？
③我們知道作周期函數(shù)的圖象一般是先作出長度為一個周期的區(qū)間上的圖象,然后向左、右擴展,這樣就可以得到它在整個定義域上的圖象.那么我們先選哪一個區(qū)間來研究正切函數(shù)呢？為什么？
④我們用“五點法”能簡捷地畫出正弦、余弦函數(shù)的簡圖,你能畫出正切函數(shù)的簡圖嗎？ 你能類比“五點法”也用幾個字總結出作正切簡圖的方法嗎？
活動:問題①,教師先引導學生回憶:正弦、余弦函數(shù)的性質是從定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性這幾個方面來研究的,有了這些知識準備,然后點撥學生也從這幾個方面來探究正切函數(shù)的性質.由于還沒有作出正切函數(shù)圖象,教師指導學生充分利用正切線的直觀性.(1)周期性 由誘導公式
tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠?+kπ,k∈Z
2可知,正切函數(shù)是周期函數(shù),周期是π.這里可通過多媒體課件演示,讓學生觀察由角的變化引起正切線的變化的周期性,直觀理解正切函數(shù)的周期性,后面的正切函數(shù)圖象作出以后,還可從圖象上觀察正切函數(shù)的這一周期性.(2)奇偶性 由誘導公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠?+kπ,k∈Z 2
可知,正切函數(shù)是奇函數(shù),所以它的圖象關于原點對稱.教師可進一步引導學生通過圖象還能發(fā)現(xiàn)對稱點嗎？與正余弦函數(shù)相對照,學生會發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)也是中心對稱函數(shù),它的對稱中心是(k?,0)k∈Z.2(3)單調性
通過多媒體課件演示,由正切線的變化規(guī)律可以得出,正切函數(shù)在(?又由正切函數(shù)的周期性可知,正切函數(shù)在開區(qū)間(?(4)定義域
??22,)內(nèi)是增函數(shù),?2+kπ,?+kπ),k∈Z內(nèi)都是增函數(shù).2y,顯然,當角α的終邊落在y軸上任意一點時,都有x=0,這時x?正切函數(shù)是沒有意義的；又因為終邊落在y軸上的所有角可表示為kπ+,k∈Z,所以正切函
2??數(shù)的定義域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},這個問題不少初學者很不理解,在22
根據(jù)正切函數(shù)的定義tanα=解題時又很容易出錯,教師應提醒學生注意這點,深刻明了其內(nèi)涵本質.(5)值域
由多媒體課件演示正切線的變化規(guī)律,從正切線知,當x大于??2且無限接近??2時,正
切線AT向Oy軸的負方向無限延伸;當x小于向無限延伸.因此,tanx在(???且無限接近時,正切線AT向Oy軸的正方22??22,)內(nèi)可以取任意實數(shù),但沒有最大值、最小值.因此,正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R.問題②,教師引導學生作出正切線,并觀察它的變化規(guī)律,如圖1.圖1
問題③,正切函數(shù)圖象選用哪個區(qū)間作為代表區(qū)間更加自然呢？教師引導學生在課堂上展開充分討論,這也體現(xiàn)了“教師為主導,學生為主體”的新課改理念.有的學生可能選取了［0,π］作為正切函數(shù)的周期選取,這正是學生作圖的真實性的體現(xiàn).此時,教師應調整計劃,把課件中先作出［-??,］內(nèi)的圖象,改為先作出［0,π］內(nèi)的圖象,再進行圖象的平移,得到整22??,)的圖象為好.22?+kπ(k∈Z)2個定義域內(nèi)函數(shù)的圖象,讓學生觀察思考.最后由學生來判斷究竟選用哪個區(qū)間段內(nèi)的函數(shù)圖象既簡單又能完全體現(xiàn)正切函數(shù)的性質,讓學生通過分析得到先作區(qū)間(-這時條件成熟,教師引導學生來作正切函數(shù)的圖象,如圖2.根據(jù)正切函數(shù)的周期性,把圖2向左、右擴展,得到正切函數(shù)y=tanx,x∈R,且x≠的圖象,我們稱正切曲線,如圖3.圖2
圖3
問題④,教師引導學生觀察正切曲線,點撥學生討論思考,只需確定哪些點或線就能畫出函數(shù)y=tanx,x∈(???22,)的簡圖.學生可看出有三個點很關鍵:(??4,-1),(0,0),（?,1),還有兩4條豎線.因此,畫正切函數(shù)簡圖的方法就是:先描三點(?x=??4,-1),(0,0),（?,1),再畫兩條平行線4?2,x=?,然后連線.教師要讓學生動手畫一畫,這對今后解題很有幫助.2討論結果:①略.②正切線是AT.③略.④能,“三點兩線”法.提出問題
①請同學們認真觀察正切函數(shù)的圖象特征,由數(shù)及形從正切函數(shù)的圖象討論它的性質.②設問:每個區(qū)間都是增函數(shù),我們可以說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？請舉一個例子.活動:問題①,從圖中可以看出,正切曲線是被相互平行的直線x=
?+kπ,k∈Z所隔開的無2窮多支曲線組成的.教師引導學生進一步思考,這點反應了它的哪一性質——定義域；并且函數(shù)圖象在每個區(qū)間都無限靠近這些直線,我們可以將這些直線稱之為正切函數(shù)的什么線——漸近線；從y軸方向看,上下無限延伸,得到它的哪一性質——值域為R；每隔π個單位,對應的函數(shù)值相等,得到它的哪一性質——周期π;在每個區(qū)間圖象都是上升趨勢,得到它的哪一性質——單調性,單調增區(qū)間是(??2+kπ,?+kπ),k∈Z,沒有減區(qū)間.它的圖象是關于原點對稱2的,得到是哪一性質——奇函數(shù).通過圖象我們還能發(fā)現(xiàn)是中心對稱,對稱中心是(k?,0),k∈Z.2問題②,正切函數(shù)在每個區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù).如在區(qū)間(0,π)上就沒有單調性.討論結果:①略.②略.應用示例
例1 比較大小.(1)tan138°與tan143°；(2)tan(?13?17?)與tan(?).4
5活動:利用三角函數(shù)的單調性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小,可以先利用誘導公式將已知角化為同一單調區(qū)間內(nèi)的角,然后再比較大小.教師可放手讓學生自己去探究完成,由學生類比正弦、余弦函數(shù)值的大小比較,學生不難解決,主要是訓練學生鞏固本節(jié)所學的基礎知識,加強類比思想的運用.解:(1)∵y=tanx在90°
點評:不要求學生強記正切函數(shù)的性質,只要記住正切函數(shù)的圖象或正切線即可.例2 用圖象求函數(shù)y=tan?3的定義域.活動:如圖4,本例的目的是讓學生熟悉運用正切曲線來解題.不足之處在于本例可以通過三角函數(shù)線來解決,教師在引導學生探究活動中,也應以兩種方法提出解決方案,但要有側重點,應體現(xiàn)函數(shù)圖象應用的重要性.圖4
圖5 解:由tanx-3≥0,得tanx≥3, 利用圖4知,所求定義域為［kπ+
??,kπ+)(k∈Z).32點評:先在一個周期內(nèi)得出x的取值范圍,然后再加周期即可,亦可利用單位圓求解,如圖5.本節(jié)的重點是正切線,但在今后解題時,學生哪種熟練就用哪種.變式訓練
根據(jù)正切函數(shù)的圖象,寫出使下列不等式成立的x的集合.(1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.解:(1)tanx≥-1, ??,kπ+),k∈Z;42??(2)x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.23??例3 求函數(shù)y=tan(x+)的定義域、周期和單調區(qū)間.23∴x∈［kπ-
活動:類比正弦、余弦函數(shù),本例應用的是換元法,由于在研究正弦、余弦函數(shù)的類似問題時已經(jīng)用過換元法,所以這里也就不用再介紹換元法,可以直接將可讓學生自己類比地探究,只是提醒學生注意定義域.解:函數(shù)的自變量x應滿足即x≠2k+
??x+作為一個整體.教師23???x+≠kπ+,k∈Z, 2321,k∈Z.31,k∈Z}.3??????由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2), 232323所以函數(shù)的定義域是{x|x≠2k+因此,函數(shù)的周期為2.51????+kπ 點評:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一樣,這里可引導學生探究 y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=變式訓練 求函數(shù)y=tan(x+解:由x+ ?.??)的定義域,值域,單調區(qū)間,周期性.4???≠kπ+,k∈Z可知,定義域為{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.424值域為R.3?????∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函數(shù).44224?周期是π,也可看作由y=tanx的圖象向左平移個單位得到,其周期仍然是π.4由x+例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的順序排列,并說明理由.活動:引導學生利用函數(shù)y=tanx的單調性探究解題方法.也可利用單位圓中的正切線探究解題方法.但要提醒學生注意本節(jié)中活動的結論:正切函數(shù)在定義域內(nèi)的每個區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù).學生可能的錯解有: 錯解1:∵函數(shù)y=tanx是增函數(shù),又1<2<3<4,∴tan1 ?3?,)上是單調遞增函數(shù), 223??且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<，22解法一:∵函數(shù)y=tanx在區(qū)間(∴tan2 課本本節(jié)練習1—5.解答: 1.在x軸上任取一點O1,以O1為圓心,單位長為半徑作圓,作垂直于x軸的直徑,將⊙O1分成左右兩個半圓,過右半圓與x軸的交點作⊙O1的切線,然后從圓心O1引7條射線把右半圓分成8等份,并與切線相交,得到對應于?軸上從?????3?3?,?,?,0，,等角的正切線.相應地,再把x488848?這一段分成8等份.把角x的正切線向右平行移動,使它的起點與x軸上的點22??x重合,再把這些正切線的終點用光滑的曲線連結起來,就得到函數(shù)y=tanx,x∈(?,)的圖 22到 ?象.點評:可類比正弦函數(shù)圖象的作法.2.(1){x|kπ ??+kπ,k∈Z};(2){x|x=kπ,k∈Z};(3){x|?+kπ 22(2)不會.因為對于任何區(qū)間A來說,如果A不含有側的圖象都是上升的(隨自變量由小到大).點評:理解正切函數(shù)的單調性.課堂小結 1.先由學生回顧本節(jié)都學到了哪些知識方法,有哪些啟發(fā)、收獲.本節(jié)課我們是在研究完正、余弦函數(shù)的圖象與性質之后,研究的又一個具體的三角函數(shù),與研究正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質有什么不同?研究正、余弦函數(shù),是由圖象得性質,而這節(jié)課我們從正切函數(shù)的定義出發(fā)得出一些性質,并在此基礎上得到圖象,最后用圖象又驗證了函數(shù)的性質.2.(教師點撥)本節(jié)研究的過程是由數(shù)及形,又由形及數(shù)相結合,也是我們研究函數(shù)的基本方法,特別是又運用了類比的方法、數(shù)形結合的方法、化歸的方法.請同學們課后思考總結:這種多角度觀察、探究問題的方法對我們今后學習有什么指導意義？ 作業(yè) 課本習題1.4 A組6、8、9.設計感想 1.本教案的設計背景剛剛學完正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質.因此教案的設計主線是始終抓住類比思想這條主線,讓學生在鞏固原有知識的基礎上,通過類比,由學生自己來對新知識進行分析、探究、猜想、證明,使新舊知識點有機地結合在一起,學生對新知識也較易接受.2.本教案設計的學習程序是:溫故(相關知識準備)→新的學習對象與舊知識的聯(lián)系→類比探究→解決問題→應用成果→歸納總結→進一步的發(fā)散思考→探索提高. 《正切函數(shù)的圖象與性質》教學設計 教學年級。遼河油田第二高級中學高一學年 版本：人教B版 課時：第10課時 一、教學目標 知識與技能：掌握正切函數(shù)的性質與圖象，會應用正切函數(shù)的性質解決問題 過程與方法：類比正弦函數(shù)的性質和圖象得出正切函數(shù)的性質和圖象，體會類比與歸納的應用 情感態(tài)度與價值觀：類比不同的函數(shù)得出不同的性質，學會分析問題，透過現(xiàn)象看本質 二、教學重點與難點 重點：正切函數(shù)的圖象和性質 難點：利用正切線畫正切曲線 三、教學方法：啟發(fā)、引導自學探究 四、教學流程(一)導入新課 1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質及作圖過程 作圖利用描點法、采用幾何方法，平移正弦線作正弦函數(shù)圖象 教學處理：學生回顧正弦函數(shù)的研究過程。 設計意圖：通過對正弦函數(shù)研究過程的回顧，為研究正切函數(shù)的圖象與性質做好準備。 （二）新課講析 2、給出正切函數(shù)定義，探究正切函數(shù)的圖象并研究正切函數(shù)的性質。 教學處理：學生自主探究，交流結果，分析方法，教師引導學生歸結作圖的基本方法與研究正切函數(shù)性質的基本方法。設計意圖：學生通過對正弦函數(shù)的學習，學會利用學過的知識與方法通過類比的方式去解決具體問題。 3、歸納圖象、性質 教學處理：歸納正切函數(shù)的性質 設計意圖：使學生掌握正切函數(shù)的圖象與性質。 4、例題：求函數(shù)y?tan??x???的定義域、周期、和單調區(qū)間 ???23?教學處理：學生自主探究，歸納方法與結論。 設計意圖：學生利用正切函數(shù)的圖象自主研究形如y?Atan5、比較大小 (1)tan1380與tan143(2)tan??13??與tan??17?? ????0??x???的性質。 ?4??5?教學處理：學生獨立思考，歸納方法 設計意圖：應用正切函數(shù)的性質解決具體問題 （三）課堂教學檢測 1、求函數(shù)y??tan????x??6???2的定義域 2、求函數(shù)y?tan??2x????,x?5??12?k?2?k?Z?的最小正周期 3? 3、比較大小 （1）tan??????與5??tan????3?? 7??(2)tan15190與tan14930 4、寫出下列不等式成立的x的集合 （1）1?tanx?0（2）tanx?3?0 （四）課堂小結：掌握研究正切函數(shù)的方法及正切函數(shù)的圖象與性質。 《1.4.3 正切函數(shù)的性質與圖象》教學設計 一、教材內(nèi)容分析 本節(jié)課內(nèi)容是《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學》人教A版必修4第一章《三角函數(shù)》1.4《三角函數(shù)的圖象與性質》中的第1.4.3節(jié)《正切函數(shù)的性質與圖象》，屬于本小節(jié)第四課時.第一課時我們學習了“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”，第二課時學習了“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質中的周期性”，第三課時學習了“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質中的奇偶性、單調性”，學生通過前面幾節(jié)內(nèi)容的學習，對研究函數(shù)的方法有了一個更加清晰的認識，即先給出函數(shù)的定義，然后研究函數(shù)的圖象，最后得到函數(shù)的性質，事實上這種研究方法是我們在一直采用的方法.有了前面的研究經(jīng)驗，加之有些函數(shù)的圖象并不好畫，因此本節(jié)我們從一個新的角度研究正切函數(shù),先研究它的性質，在對性質有了一個初步了解后，再來研究函數(shù)的圖象，最后利用圖象驗證我們之前所得到的性質，本節(jié)給出了研究函數(shù)的另一種方法.例題的編寫意圖：這是一個與復合函數(shù)有關的問題，是對正切函數(shù)性質的深入應用.學生在求定義域時容易想到換元法，讓“新元”落在正切函數(shù)的定義域內(nèi)解出自變量x的取值范圍；關于該函數(shù)的周期學生有了前面求正弦型函數(shù)周期的經(jīng)驗，利用類比的方法猜想T??，接下來需要利用周期函數(shù)的定義驗證這一猜想；本例題比較難處理的地方是單調?1?x?)，x?[?2?,2?]的增區(qū)間的求法，這使得學生對方法的接受變得自23性，教材為了化解難點，在必修一研究了復合函數(shù)單調性的判斷方法，在上一節(jié)的例5給出了函數(shù)y?sin(然.課后習題正切函數(shù)的性質及其圖象的應用，針對性強.二、學情分析 學生在初中學習了簡單的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，進入高中以后又學習了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，還有前兩節(jié)學習的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，我們在學習這些函數(shù)的時候都是先研究函數(shù)的圖象，在由圖象得到函數(shù)的性質.但是在學習過程中，他們會遇到某些函數(shù)的圖象并不容易直接作出的情況，此時就需要有一種新的研究方法出現(xiàn)，即本節(jié)的研究方法，先研究函數(shù)的性質再研究函數(shù)圖象.有了前面三節(jié)課的研究經(jīng)驗，學生容易想到從兩域三性的角度研究.首先通過探究（幾何畫板演示）獲得正切函數(shù)的性質，接下來采用類比的方法利用正切線作正切函數(shù)在(???,)上的圖象，結合正切函數(shù)的周期性得到正切22函數(shù)在整個定義域上的圖象，最后利用圖象討論函數(shù)的性質.學生在例題的接受上可能會存在較大的困難，結合之前學習的正弦型函數(shù)的周期及單調區(qū)間的求法再來理解本例題會變得更加容易.三、教學目標分析 知識與技能： 1.理解并掌握正切函數(shù)的定義域、周期性、奇偶性、單調性和值域等基本性質及正切函數(shù)的圖象； ππ 2.了解用正切線作正切函數(shù)在(-,)內(nèi)的圖象.22過程與方法： 1.通過探究（觀察-猜想-驗證）獲得正切函數(shù)的性質,體會數(shù)形結合的數(shù)學思想； 2.利用類比的方法獲得正切函數(shù)的圖象； 3.講解例題，總結方法，鞏固練習.情感態(tài)度與價值觀： 1.通過幾何畫板演示，引發(fā)學生的學習興趣； 2.創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生分析、探求的學習態(tài)度，增強學生的探究意識； 四、教學重點、難點分析 教學重點： 1.正切函數(shù)的性質的探究； 2.利用正切線作正切函數(shù)的圖象.教學難點： 正切函數(shù)性質的應用（例題）.五、教學支持條件分析 為了更加直觀地突出重點、突破難點，激發(fā)學生的學習興趣，本節(jié)課以幾何畫板為依托，對正切函數(shù)的性質逐一探究，并利用正切線作出正切函數(shù)的圖象，讓學生體會“類比”的方法及“數(shù)形結合”的數(shù)學思想.六、教學方法分析 本節(jié)采用引導探究、講練結合的教學方法，通過幾何畫板演示讓學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想、驗證猜想，經(jīng)歷問題解決的過程，體會研究問題的方法.通過老師分析例題，加強學生分析問題的能力.七、教學過程 （一）復習引入 1、研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的方法是什么？ 師生活動：共同回憶之前研究函數(shù)的方法.設計意圖：之前研究函數(shù)的方法是先給出定義然后研究圖象，再由圖象得函數(shù)的性質.本節(jié)采用的研究方法是先研究性質再研究圖象，提供了研究函數(shù)的另一種方法.2、正切函數(shù)是如何定義的？ 師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生回憶正切函數(shù)的定義.設計意圖：為接下來性質的探究做好準備.（二）新課講解 探究 （一）正切函數(shù)的性質 知識探究1 正切函數(shù)的定義域 問題1 研究一個函數(shù)，我們需要先考慮它的什么性質？ 師生活動：教師利用幾何畫板演示角x終邊的情況，學生思考x的取值范圍并得出結論，教師在幾何畫板上展示定義域在x軸上的分布情況.設計意圖：研究函數(shù)需優(yōu)先考慮定義域，學生觀察圖象不難得出定義域關于原點對稱，為后面研究函數(shù)的奇偶性作準備.知識探究2 正切函數(shù)的周期性 問題2 正切函數(shù)是周期函數(shù)嗎？ 師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生觀察、思考并給出初步結論，利用誘導公式驗證自己的結論.設計意圖：1.通過學生自主觀察、發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學生的研究興趣.2.為探究 （二）作正切函數(shù)的圖象作鋪墊.知識探究3 正切函數(shù)的奇偶性 問題3 正切函數(shù)具有奇偶性嗎？ 師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生觀察、思考并給出初步結論，利用誘導公式驗證自己的結論.設計意圖：1.復習判斷函數(shù)奇偶性的方法.2為探究 （二）作準備.知識探究4 正切函數(shù)的單調性 問題4 正切函數(shù)的單調性如何？ 師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生觀察、分析、給出結論 設計意圖：1.通過層層設問，獲得正切函數(shù)單調區(qū)間的表示形式，明確函數(shù)圖象的特征，為畫函數(shù)圖象作準備.2.復習正切線的定義，為接下來的研究作鋪墊.知識探究5 正切函數(shù)的值域 問題5 正切函數(shù)的值域是什么？ 師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生觀察、分析、給出結論 設計意圖：通過幾何畫板演示明確函數(shù)的值域，并強調正切函數(shù)沒有最值.探究 （二）利用正切線作正切函數(shù)的圖象 問題6 通過對性質的研究，你認為我們應該如何作出正切函數(shù)的圖象？ 師生活動：教師展示研究成果（五條性質），學生思考.設計意圖：讓學生明確：欲研究正切函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象，只需研究它在一個周期內(nèi)的圖象，結合奇偶性只需研究(???,)上的圖象.22問題7 如何作出正切函數(shù)在(???,)上的圖象？ 22師生活動：教師利用幾何畫板演示“利用正切線作正切函數(shù)圖象”的過程，學生觀察、回憶、對比，獲得圖象的直觀認識.設計意圖：1.讓學生類比正弦線作正弦函數(shù)圖象的方法，作出正切函數(shù)在(???,)上的圖.2.22體會數(shù)形結合的數(shù)學思想.問題8 如何得到正切函數(shù)的圖象？ 師生活動：教師演示平移后的圖象，學生觀察獲得對圖象的整體認識.設計意圖：1.再一次體會圖象的特征，從圖象的角度驗證函數(shù)的性質；2.給出正切曲線的定義.問題9 正切函數(shù)的對稱中心是什么？ 師生活動：教師演示正切曲線繞(k?,0),k?Z和(現(xiàn)與原圖象重合.設計意圖：給出正切函數(shù)對稱中心的表達形式.?2?k?,0),k?Z旋轉180?，學生觀察發(fā) （三）例題講解 例1 已知函數(shù)y?tan(?2x??3) （1）求出函數(shù)的定義域、周期和單調區(qū)間；（2）試作出函數(shù)的簡圖.師生活動：教師分析題目特點，明確解題方法.設計意圖：加強對正切函數(shù)性質的應用 練習：求函數(shù)y?tan(1?x?)的定義域、周期和單調區(qū)間.24師生活動：學生練習，教師巡視，展示學生的學習成果.設計意圖：加強對方法的使用，掌握這類題的解法,鞏固正切函數(shù)的性質.（四）課堂總結 1.正切函數(shù)的性質： 2.正切函數(shù)的圖象： 3.數(shù)學思想與方法： （五）作業(yè)布置與思考 1.作業(yè)：教材46頁A組：6,7,9 2.思考：（1）如何證明正切函數(shù)的最小周期為?？ （2）如何證明正切函數(shù)在(???,)上是增函數(shù)？ 正切函數(shù)的圖象和性質 （一）教材分析： 學習正切函數(shù)的圖象和性質，主要包括：定義域、值域、周期性、單調性、奇偶性等，以及具體的應用。 （二）素質教育目標： 1.知識目標： （1）用單位圓中的正切線作正切函數(shù)的圖象；（2）用正切函數(shù)圖象解決函數(shù)有關的性質； 2.能力目標： （1）理解并掌握作正切函數(shù)圖象的方法； （2）理解用函數(shù)圖象解決有關性質問題的方法； 3.德育目標：培養(yǎng)研究探索問題的能力； （三）教學三點解析： 1.教學重點：用單位圓中的正切線作正切函數(shù)圖象； 2.教學難點：性質的研究； 3.教學疑點：正切函數(shù)在每個單調區(qū)間是增函數(shù)，并非整個定義域內(nèi)的增函數(shù)； （四）教學過程設計 1．設置情境 前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質，但常見的三角函數(shù)還有正切函數(shù)，今天我們來探討一下正切函數(shù)的圖象，以及它具有哪些性質。2．探索研究 由研究正、余弦函數(shù)的圖象和性質的方法引出正切函數(shù)的圖象和性質。下面我們也將利用單位圓中的正切線來繪制y?tanx圖象． （1）用正切線作正切函數(shù)圖象 1分析一下正切函數(shù)y?tanx是否為周期函數(shù)？ ○? f(x??)tax?n?(?sinx?(??))?coxs?(??)xsin?x?tfaxn xcos() ∴y?tanx 是周期函數(shù)，?是它的一個周期． 我們還可以證明，?是它的最小正周期．類似正弦曲線的作法，我們先作正切函數(shù)在一個周期上的圖象，下面我們利用正切線畫出函數(shù)y?tanx，x??? ????,?的圖象． 22?? 作法如下： ①作直角坐標系，并在直角坐標系 軸左側作單位圓． ②把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線． ③描點。（橫坐標是一個周期的8等分點，縱坐標是相應的正切線）． ④連線． 圖1 根據(jù)正切函數(shù)的周期性，我們可以把上述圖象向左、右擴展，得到正切函數(shù)y?tanx，(x?R,x?k???2,k?Z)的圖象，并把它叫做正切曲線（如圖1）． 圖2 （2）正切函數(shù)的性質 請同學們結合正切函數(shù)圖象研究正切函數(shù)的性質：定義域、值域、周期性、奇偶性和單調性． ①定義域：?x|x?k?? ②值域：R ③周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是?． ????,k?Z? 2? ④奇偶性：tan(?x)??tanx，∴正切函數(shù)是奇函數(shù)，正切曲線關于原點O對稱． ⑤單調性：由正切曲線圖象可知：正切函數(shù)在開區(qū)間(?強調：a.不能說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù) b.正切函數(shù)在每個單調區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù) c.每個單調區(qū)間都包括兩個象限： 四、一或二、三 3．例題分析 【例1】求函數(shù)y?tan(x??2?k?,?2?k?),k?Z內(nèi)都是增函數(shù)． ?4)的定義域． 分析：我們已經(jīng)知道了y?tanz的定義域，那么y?tan(x??4)與y?tanz有什么關系呢？令z?x??4，我們把y?tan(x??4)說成由y?tanz和z?x??4復合而成。此時我們稱y?tan(x??4)為復合函數(shù)，而把y?tanz和z?x??4為簡單函數(shù) 解：令z?x??4，那么函數(shù)y?tanz 的定義域是?z|z??????k?,k?Z? 2? 由 x??4?z?k???2，可得 x?k???4 所以函數(shù)y?tan(x??4)的定義域是{x|x?k???4,k?Z} 解題回顧：這種解法可稱為換元法，因此復合函數(shù)可通過換元法來求得。 練習1：求函數(shù)y?tan(2x? 【例2】不通過求值，比較下列各組中兩個正切函數(shù)值的大?。?/p> （1）與 ； ?4)的定義域。（學生板演。）（2）tan(?11?13?)與tan(?)． 45分析：比較兩個正切函數(shù)值的大小可聯(lián)想到比較兩個正、余弦函數(shù)值的大小。 比較兩個正、余弦函數(shù)值的大小是利用函數(shù)的單調性來比較。注意點是應把相應的角化到正或余弦函數(shù)的同一單調區(qū)間內(nèi)來解決．類比得到比較兩個正切函數(shù)值的大小的解法 解：（1）?90?167?173?180 又 ∵y?tanx，在(90?,270?)上是增函數(shù) ∴tan167?tan17（2）∵tan(???????11?11??)??tan?＝tan 44tan(?13?13?2?)??tan?tan 555又 ∵0＜?2??????＜＜，函數(shù)y?tanx，x???,? 是增函數(shù)，542?22?2?11?13?)?tan(?)． 即tan(?54∴ tan?4＜ tan解題回顧：比較兩個正切型實數(shù)的大小，關鍵是把相應的角誘導到y(tǒng)?tanx 的同一單調區(qū)間內(nèi)，利用y?tanx 的單調遞增性來解決． 練習2：比較大?。?/p> (1)tan138?_____tan143?（學生口答）（＜）(2)tan(?1317?)_____tan(??)（學生板演）（＞）45【例3】求f(x)?tan2x的周期 3．總結提煉 （1）這節(jié)課我們采用類比的思想方法來學習正切函數(shù)的圖象和性質 （2）正切函數(shù)的作圖是利用平移正切線得到的，當我們獲得一個周期上圖象后，再利用周期性把該段圖象向左右延伸、平移。 （3）正切函數(shù)的性質． 4.布置作業(yè)：作業(yè)：蘇大資料“12.正切函數(shù)的圖象與性質”. 《正切函數(shù)的性質和圖象》的教學設計 本課例是現(xiàn)代信息技術與課程內(nèi)容有機整合的一次有效實踐，幾何畫板軟件的應用起到了突破難點的作用；在引導學生完成性質到圖像和圖像到性質轉化的兩個關鍵環(huán)節(jié)中，充分滲透了數(shù)形結合的思想和方法；引導啟發(fā)學生積極運用觀察、思考、猜想、討論、推理、運算等多樣化的學習策略，發(fā)展了學生的計算能力、空間想象能力、自主探究能力和合作交流能力。 【所用教材】 人教A版：1.4.3正切函數(shù)的性質和圖像。 【教學資源】 教材；教參；課程標準；多媒體；投影儀；幾何畫板軟件。 【教學目標】 1.知識與技能目標：利用已學的正切函數(shù)的知識探究性質；學會畫正切函數(shù)的圖像；掌握正切函數(shù)的性質；通過函數(shù)性質到圖像和圖像到性質的轉化，體會數(shù)形結合的基本數(shù)學思想和方法。 2.過程與方法目標：通過想象圖象、描點畫出圖象、計算機軟件畫出圖象，研究函數(shù)圖象的方法有了基本的認識，也增強了想象力；體會從性質到圖象和從圖象到性質兩種研究函數(shù)的不同思路。 3.情感態(tài)度與價值觀目標：借助幾何畫板，動態(tài)演示單位圓中的正切線的變化和正切函數(shù)準確圖象，讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學研究的過程，體會探索的樂趣，增強學習數(shù)學的樂趣；獨立解答和分組討論相結合的學習方式，增強學生自主創(chuàng)新和團結協(xié)作的精神。 【教學重難點】 1.重點：正切函數(shù)的主要性質和圖像及畫法。 2.難點：通過性質掌握圖像特點，觀察圖像總結函數(shù)性質。 【教學方法】 主要采取類比、討論、啟發(fā)等教學方式，并借助多媒體輔助手段 【教學過程】 八、教學反思 初次閱讀這篇教材內(nèi)容，只覺得教學內(nèi)容少、難度小，又由于本課之前學生已學習過正余弦函數(shù)、單調性、奇偶性、周期性等內(nèi)容，好像沒什么可細究的，也出不了什么新東西。但是再次詳細閱讀課本和教參后，又有了一些新的想法。 首先，正弦、余弦函數(shù)按照從函數(shù)定義到作函數(shù)圖像再到討論函數(shù)性質最后到函數(shù)模型應用的順序展開，而正切函數(shù)先利用誘導公式和單位圓討論性質，然后再利用性質作圖像，這樣做的目的是為了使學生體會可以從不同角度討論函數(shù)。通過改進呈現(xiàn)方式，提供直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、反思與建構等思維活動的載體，貫徹體現(xiàn)數(shù)學教育新理念，促進學生采取積極主動、勇于探索的學習方式進行學習。 其次，加強相關知識的聯(lián)系性，加強幾何直觀，強調數(shù)形結合的思想方法。為了更好的體現(xiàn)數(shù)形結合思想，教學中充分發(fā)揮單位圓和三角函數(shù)線的直觀作用，使學生形成用單位圓討論三角函數(shù)問題的意識和習慣。同時引導學生體會從正切函數(shù)的定義和幾何意義出發(fā)，發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)的性質，再想象正切函數(shù)圖像的樣子，直到畫出函數(shù)圖像后，再次總結函數(shù)性質，每個環(huán)節(jié)之間的轉換都滲透著數(shù)形結合的思想方法。數(shù)形結合的思想方法是這節(jié)課的精髓。 再次，使用信息技術，符合新課程的基本要求。為了突破難點，本節(jié)適當使用了信息技術。多媒體教學的呈現(xiàn)方式不僅在課堂上為學生留出了更多的思考和討論的時間，還加強了知識的發(fā)生發(fā)展過程，加深了對有關概念的認識，突破了學習中可能遇到的困難。特別是幾何畫板的一步步地使用，積極引導學生學習和使用計算機及專業(yè)工具和軟件，以突破難點。 最后，加強學生學習的“過程性”，使數(shù)學思想的學習和數(shù)學能力培養(yǎng)落到實處。通過學生對五個思考題的各個擊破，得出了主要性質；通過學生想象圖象、描點畫出圖象，計算機軟件畫出圖象，對圖象有了深刻的印象，也增強了想象力；通過兩組討論和探究，深化知識，升華思想。教師提出問題、思考解決問題的策略等方面對學生進行了具體示范、引導，學生或看、或說、或想、或聽、或寫、或畫完成了每個過程。 【參考資料】 [1]《數(shù)學（A版）教師培訓手冊》，人民教育出版社.（作者單位：甘肅省嘉峪關市第一中學）第二篇：《正切函數(shù)的圖象與性質》教學設計
第三篇：正切函數(shù)的性質與圖象 教學設計
第四篇：高中數(shù)學教案：正切函數(shù)的圖象和性質
第五篇：《正切函數(shù)的性質和圖象》的教學設計
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