第一篇：有理分式函數(shù)的圖象及性質(zhì)

有理分式函數(shù)的圖象及性質(zhì)

【知識要點(diǎn)】 1．函數(shù)y?

ax?bcx?

d

(c?0,ad?bc)dcdc

（2）值域：{y|y?

（1）定義域：{x|x??單調(diào)區(qū)間為(??,?直線x??

dc,y?

dcacb

x),(?,+?)（4）dc,ac，對稱中心為點(diǎn)(?)

（5）奇偶性：當(dāng)a?d?0時(shí)為奇函數(shù)。（62．函數(shù)y?ax?

(a?0,b?0)的圖象和性質(zhì)：

（1）定義域：{x|x?0}（2）值域：{y|y?或y?（3）奇偶性：奇函數(shù)（4）單調(diào)性：在區(qū)間+?),(上是增函數(shù)；在區(qū)間0)上是減函數(shù)（5以y軸和直線y?ax為漸近線（6）圖象：如圖所示。

3．函數(shù)y?ax?

b(a?0,b

?0)的圖象和性質(zhì)：

【例題精講】 1．函數(shù)y??

1x?

1的圖象是（）

A

x?1

B

C

x?3x?

2D

x?3x?2

2．函數(shù)y?

A.y?

x?3x?2

2x?

3(x?1)的反函數(shù)是

x?3x?2

（）

(x?1)

(x?2)B.y?

x?2x?a

(x?2)C.y?(x?1)D.y?

3．若函數(shù)f(x)?的圖象關(guān)于直線y?x對稱，則a的值是（）

A.1B.?1C.2D.?2

2x?1

4．若函數(shù)f(x)?存在反函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

x?aA.a??1B.a?1C.a?

（）

D.a??

5．不等式4x?

A.(?

12,0)?（12

1x的解集為

12)?（12

（）,0)?(0,12),??)B.(-?,?

ax?b,??)C.(?,0)?(0，+?)D.(?

6．已知函數(shù)f(x)?的圖象如圖所示，則a,b,c的大小關(guān)系為2

x?c

A.a?b?cB.a?c?bC.b?a?cD.b?c?a 7．若正數(shù)a、b滿足ab?a?b?3,則ab的取值范圍是_____。8．函數(shù)y?

3xx?

4（）的值域是。的反函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,4)成中心對稱，則實(shí)數(shù)

9．若函數(shù)y?

a?xx?a?

1a?。

10．函數(shù)y?

e?1e?1

x

x的反函數(shù)的定義域是。

11．不等式

2x?1x?

3?1的解集是。

12．函數(shù)y?

x?xx?x?1的值域是。

13．設(shè)f(x)?x?

ax?1,x?[0,+?)。

（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求f(x)的最小值；

（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，判斷f(x)的單調(diào)性，并寫出f(x)的最小值。14．設(shè)函數(shù)f(x)?調(diào)性． BABDAD

331,]9．310．(?1,1)11．x??3或x?412．[?,1)443

213．解：（1）a＝2時(shí)，f（x）＝x＋＝ x＋1＋－1≥22－1，等號在x＋1＝，x?1x?1x?1

x?ax?b

(a?b?0)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并證明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單

7．[9,+?)8．[?

x＝2－1（∵x∈[0，＋∞））時(shí)成立．

（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)x1，x2 ∈[0，＋∞），x1＜x2 ． 則f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）＋

ax2?1

－

ax1?1

a

＝（x2－x1）（1－

a

(x1?1)(x2?1)）．

∵ 0＜a＜1，∴

a

(x1?1)(x2?1)

＜1，1－

(x1?1)(x2?1)

＞0，又 x2－x1＞0，于是f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）（1－

a

(x1?1)(x2?1)）＞0，f（x2）＞ f（x1），f（x）是增函數(shù)． 在x＝0時(shí)，f（x）的最小值是a． 14．解：函數(shù)f(x)?

x?ax?b的定義域?yàn)???,?b)?(?b,??)

f(x)在(??,?b)內(nèi)是減函數(shù)，f(x)在(?b,??)內(nèi)也是減函數(shù)

證明

f(x)

在(?b,??)內(nèi)是減函數(shù)

取x1,x2?(?b,??)，且x1?x2，那么

x1?ax1?b

x2?ax2?b

f(x1)?f(x2)?

?

?

(a-b)(x2?x1)(x1?b)(x2?b)

∵a?b?0,x2?x1?0,(x1?b)(x2?b)?0 ∴f(x1)?f(x2)?0 即

f(x)

在(?b,??)內(nèi)是減函數(shù)，同理可證

f(x)

在(??,?b)內(nèi)是減函數(shù)。

淺 說 函 數(shù) 的 對 稱 性

函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。本文擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個(gè)方面來探討函數(shù)與對稱有關(guān)的性質(zhì)。

一、函數(shù)自身的對稱性探究

定理1.函數(shù) y = f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a ,b)對稱的充要條件是f(x)+ f(2a－x)= 2b

證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)P(x ,y)是y = f(x)圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)P(x ,y)關(guān)于點(diǎn)A(a ,b)的對稱點(diǎn)P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)圖像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得證。

（充分性）設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是y = f(x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0)。

故點(diǎn)P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P‘關(guān)于點(diǎn)A(a ,b)對稱，充分性得征。

推論：函數(shù) y = f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對稱的充要條件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函數(shù) y = f(x)的圖像關(guān)于直線x = a對稱的充要條件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（證明留給讀者）推論：函數(shù) y = f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f(x)= f(－x)

定理3.①若函數(shù)y = f(x)圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A(a ,c)和點(diǎn)B(b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個(gè)周期。

②若函數(shù)y = f(x)圖像同時(shí)關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對稱（a≠b），則y = f(x)

是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個(gè)周期。

③若函數(shù)y = f(x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A(a ,c)成中心對稱又關(guān)于直線x =b成軸對稱（a≠

b），則y = f(x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個(gè)周期。①②的證明留給讀者，以下給出③的證明： ∵函數(shù)y = f(x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A(a ,c)成中心對稱，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函數(shù)y = f(x)圖像直線x =b成軸對稱，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個(gè)周期。

二、不同函數(shù)對稱性的探究

定理4.函數(shù)y = f(x)與y = 2b－f(2a－x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a ,b)成中心對稱。定理5.①函數(shù)y = f(x)與y = f(2a－x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對稱。

②函數(shù)y = f(x)與a－x = f(a－y)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對稱。③函數(shù)y = f(x)與x－a = f(y + a)的圖像關(guān)于直線x－y = a成軸對稱。定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③

設(shè)點(diǎn)P(x0 ,y0)是y = f(x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f(x0)。記點(diǎn)P(x ,y)關(guān)于直線x－y = a的軸對稱點(diǎn)為P‘（x1，y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴點(diǎn)P（x1，y1）在函數(shù)x－a = f(y + a)的圖像上。

同理可證：函數(shù)x－a = f(y + a)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線x－y = a的軸對稱點(diǎn)也在函數(shù)y = f(x)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù)y = f(x)的圖像與x = f(y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對稱。

三、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例

例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f(10+x)為偶函數(shù)，且f(5－x)= f(5+x),則f(x)一定是（）（第十二屆希望杯高二 第二試題）(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

‘

解：∵f(10+x)為偶函數(shù)，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10，因此f(x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，∴x =0即y軸也是f(x)的對稱軸，因此f(x)還是一個(gè)偶函數(shù)。故選(A)

例2：設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y = f(x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x－1)和g(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，若g(5)= 1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，∴y = g-1(x－2)反函數(shù)是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,應(yīng)選（C）

例3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1－x),當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，12

f(x)= －x，則f(8.6)= _________（第八屆希望杯高二 第一試題）

解：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)∴x = 0是y = f(x)對稱軸；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3

例4.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= －f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)= x，則f(7.5)=（）(A)0.5

(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5

解：∵y = f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴點(diǎn)（0，0）是其對稱中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直線x = 1是y = f(x)對稱軸，故y = f(x)是周期為2的周期函數(shù)。

∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故選(B)

第二篇：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)教案

27.2.1 相似三角形的判定

（一）梅

一、教學(xué)目標(biāo)

1．經(jīng)歷兩個(gè)三角形相似的探索過程，體驗(yàn)分析歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力．

2．掌握兩個(gè)三角形相似的判定條件（三個(gè)角對應(yīng)相等，三條邊的比對應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形相似）——相似三角形的定義，和三角形相似的預(yù)備定理（平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似）．

3．會運(yùn)用“兩個(gè)三角形相似的判定條件”和“三角形相似的預(yù)備定理”解決簡單的問題．

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1．重點(diǎn)：相似三角形的定義與三角形相似的預(yù)備定理． 2．難點(diǎn)：三角形相似的預(yù)備定理的應(yīng)用． 3．難點(diǎn)的突破方法

（1）要注意強(qiáng)調(diào)相似三角形定義的符號表示方法（判定與性質(zhì)兩方面），應(yīng)注意兩個(gè)相似三角形中，三邊對應(yīng)成比例，AB?BC?CA每個(gè)比的前

A?B?B?C?C?A?項(xiàng)是同一個(gè)三角形的三條邊，而比的后項(xiàng)分別是另一個(gè)三角形的三條對應(yīng)邊，它們的位置不能寫錯(cuò)；

（2）要注意相似三角形與全等三角形的區(qū)別和聯(lián)系，弄清兩者之間的關(guān)系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之處在于全等三角形的相似比為1．兩者在定義、記法、性質(zhì)上稍有不同，但兩者在知識學(xué)習(xí)上有很多類似之處，在今后學(xué)習(xí)中要注意兩者之間的對比和類比；

（3）要求在用符號表示相似三角形時(shí)，對應(yīng)頂點(diǎn)的字母要寫在對應(yīng)的位置上，這樣就會很快地找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊；

（4）相似比是帶有順序性和對應(yīng)性的（這一點(diǎn)也可以在上一節(jié)課中提出）：

如△ABC∽△A′B′C′的相似比AB?BC?CA?k，那么△A′B′C′∽△ABC

A?B?B?C?C?A???????的相似比就是AB?BC?CA?1，它們的關(guān)系是互為倒數(shù)．這

ABBCCAk一點(diǎn)在教學(xué)中科結(jié)合相似比“放大或縮小”的含義來讓學(xué)生理解；（5）“平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”定理也可以簡單稱為“三角形相似的預(yù)備定理”．這個(gè)定理揭示了有三角形一邊的平行線，必構(gòu)成相似三角形，因此在三角形相似的解題中，常作平行線構(gòu)造三角形與已知三角形相似．

三、例題的意圖

本節(jié)課的兩個(gè)例題均為補(bǔ)充的題目，其中例1是訓(xùn)練學(xué)生能正確去尋找相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，讓學(xué)生明確可類比全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的關(guān)系來尋找相似三角形中的對應(yīng)元素：即（1）對頂角一定是對應(yīng)角；（2）公共角一定是對應(yīng)角；最大角或最小的角一定是對應(yīng)角；（3）對應(yīng)角所對的邊一定是對應(yīng)邊；（4）對應(yīng)邊所對的角一定是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的角一定是對應(yīng)角．

例2是讓學(xué)生會運(yùn)用“三角形相似的預(yù)備定理”解決簡單的問題，這里要注意，此題兩次用到相似三角形的對應(yīng)邊成比例（也可以先寫出三個(gè)比例式，然后拆成兩個(gè)等式進(jìn)行計(jì)算），學(xué)生剛開始可能不熟練，教學(xué)中要注意引導(dǎo)．

四、課堂引入

1．復(fù)習(xí)引入

（1）相似多邊形的主要特征是什么？

（2）在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形．

在△ABC與△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且AB?BC?CA?k．

A?B?B?C?C?A?我們就說△ABC與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′，k就是它們的相似比．

反之如果△ABC∽△A′B′C′，則有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且AB?BC?CA．

A?B?B?C?C?A?（3）問題：如果k=1，這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？ 2．教材P42的思考，并引導(dǎo)學(xué)生探索與證明． 3．【歸納】

三角形相似的預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．

五、例題講解

例1（補(bǔ)充）如圖△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．

（1）寫出對應(yīng)邊的比例式；（2）寫出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的長．

分析：可類比全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的關(guān)系來尋找相似三角形中的對應(yīng)元素．對于（3）可由相似三角形對應(yīng)邊的比相等求出AD與DC的長．

解：略（AD=3，DC=5）

例2（補(bǔ)充）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的長．

分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性質(zhì)，有ADAE，又由?AD=EC可求出AD的長，再根據(jù)DE?AD求出DE的長．

ABACBCAB解：略（DE?103）．

六、課堂練習(xí)

1．（選擇）下列各組三角形一定相似的是（）

A．兩個(gè)直角三角形 B．兩個(gè)鈍角三角形

C．兩個(gè)等腰三角形 D．兩個(gè)等邊三角形

2．（選擇）如圖，DE∥BC，EF∥AB，則圖中相似三角形一共有（A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 3．如圖，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的長．（CD= 10）

七、課后練習(xí)

1．如圖，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，寫出對應(yīng)邊的比例式． 2．如圖，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，寫出對應(yīng)邊的比例式．

3．如圖，DE∥BC，）

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的長． 教學(xué)反思

第三篇：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)教案

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

一、學(xué)情分析:

1、學(xué)習(xí)過指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)；

2、學(xué)習(xí)過周期函數(shù)的定義；

3、學(xué)習(xí)過正弦函數(shù)、余弦函數(shù)?0,2??上的圖象。

二、教學(xué)目標(biāo)： 知識目標(biāo)：

1、正弦函數(shù)的性質(zhì)；

2、余弦函數(shù)的性質(zhì)； 能力目標(biāo)：

1、能夠利用函數(shù)圖象研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)；

2、會求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 德育目標(biāo)：

滲透數(shù)形結(jié)合思想和類比學(xué)習(xí)的方法。

三、教學(xué)重點(diǎn)

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

四、教學(xué)難點(diǎn)

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)的理解與簡單應(yīng)用

五、教學(xué)方法

通過引導(dǎo)學(xué)生觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，從而發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，加深對性質(zhì)的理解。（啟發(fā)誘導(dǎo)式）

六、教具準(zhǔn)備

多媒體課件

七、教學(xué)過程

1、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

(1)我們是從哪個(gè)角度入手來研究指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的？(2)正弦、余弦函數(shù)的圖象在?0,2??上是什么樣的？

2、講授新課

（1）正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（由教師講解）

通過多媒體課件展示出正弦函數(shù)在??2?,2??內(nèi)的圖象，利用函數(shù)圖象探究函數(shù)的性質(zhì)：

ⅰ 定義域

正弦函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R ⅱ 值域

從圖象上可以看到正弦曲線在??1,1?這個(gè)范圍內(nèi)，所以正弦函數(shù)的值域是??1,1? ⅲ 單調(diào)性

結(jié)合正弦函數(shù)的周期性和函數(shù)圖象，研究函數(shù)單調(diào)性，即：

????在2k,2 k ? ?(k上是增函數(shù)；

?

?

?

?

?

Z)

22??2k

在?

?

?

,2 k ? ?

?(k ?

Z)上是減函數(shù)；

?22???3??ⅳ 最值

觀察正弦函數(shù)圖象，可以容易發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)的圖象與虛線的交點(diǎn)，都是函數(shù)的最值點(diǎn)，可以得出結(jié)論：

當(dāng)

x ?k ?

?

,k

? Z 時(shí)，y max

?

1當(dāng)

x ?k ? ?,k

時(shí)，y min

? ? 1

? Z2??2

ⅴ 奇偶性

正弦函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以正弦函數(shù)的奇函數(shù)。ⅵ 周期性

正弦函數(shù)的圖象呈周期性變化，函數(shù)最小正周期為2?。（2）余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（由學(xué)生分組討論，得出結(jié)論）

通過多媒體課件展示出余弦函數(shù)的圖象，由學(xué)生類比正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)進(jìn)行討論，探究余弦函數(shù)的性質(zhì)： ⅰ 定義域

余弦函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R ⅱ 值域

從圖象上可以看到余弦曲線在??1,1?這個(gè)范圍內(nèi)，所以余弦函數(shù)的值域是??1,1? ⅲ 單調(diào)性

結(jié)合余弦函數(shù)的周期性和函數(shù)圖象，研究函數(shù)單調(diào)性，即：

在,2 k ? ?(k

?2 k ?

? ?

?

Z)上是增函數(shù)；

? 2 k?,2 k ? ?

? ?(k ?

Z)上是減函數(shù)；

在ⅳ 最值

觀察余弦函數(shù)圖象，可以容易發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)的圖象與虛線的交點(diǎn)，都是函數(shù)的最值點(diǎn)，可以得出結(jié)論：

min 當(dāng)

x

?k ? , k ?

Z 時(shí)，y max

? 1

當(dāng)

x

? 2 k ?

?

? , k ?

Z 時(shí)，y

?

? 1

ⅴ 奇偶性

余弦函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以余弦函數(shù)的偶函數(shù)。ⅵ 周期性

余弦函數(shù)的圖象呈周期性變化，函數(shù)最小正周期為2?。

3、例題講解：

?例：求函數(shù) y

?

sin（?)的單調(diào)遞增區(qū)間。

x23分析：采用代換法，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性來求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

1?u 的單調(diào)遞增區(qū)間是 解：令 u

?

x ?

.函數(shù) y

? sin

3[?

?

?k ?, ?

?

2k ?

Z

k ? ],?222?

?x ?? 2由k ?

?

?

k ?,2321???

?得：

5??4k??x??4k?,k?Z.33

??5??x???4k?,?4k?(k?Z)

?)的單調(diào)增區(qū)間是 所以函數(shù)

y ?

sin（?

?3323??

4、練習(xí)：

? 3求函數(shù) y

sin(x ?)的單調(diào)減區(qū)間。

4?k??8,k??8?(k?Z)???

答案：

?

?

?

?

5、小結(jié)：

（1）探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)的基本思路是什么？（2）求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的基本步驟是怎樣的？

6、作業(yè)：

習(xí)題1.4

第4題、第5題

第四篇：6.2 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) 教案

6.2 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）教案

[教學(xué)目標(biāo)]

1、體會并了解反比例函數(shù)的圖象的意義

2、能描點(diǎn)畫出反比例函數(shù)的圖象

3、通過反比例函數(shù)的圖象的分析，探索并掌握反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì) [教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)] 本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象及圖象的性質(zhì)

由于反比例函數(shù)的圖象分兩支，給畫圖帶來了復(fù)雜性是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn) [教學(xué)過程]

1、情境創(chuàng)設(shè)

可以從復(fù)習(xí)一次函數(shù)的圖象開始：你還記得一次函數(shù)的圖象嗎?在回憶與交流中，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)圖象的直觀有助于理解函數(shù)的性質(zhì)．轉(zhuǎn)而導(dǎo)人關(guān)注新的函數(shù)——反比例函數(shù)的圖象研究：反比例函數(shù)的圖象又會是什么樣子呢?

2、探索活動

探索活動1 反比例函數(shù)y?

由于反比例函數(shù)y?6的圖象． x6的圖象是曲線型的，且分成兩支．對此，學(xué)生第一次x接觸有一定的難度，因此需要分幾個(gè)層次來探求：

(1)可以先估計(jì)——例如：位置(圖象所在象限、圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)、趨勢(上升、下降等)；

(2)方法與步驟——利用描點(diǎn)作圖；

列表：取自變量x的哪些值? ——x是不為零的任何實(shí)數(shù)，所以不能取x的值的為零，但仍可以以零為基準(zhǔn)，左右均勻，對稱地取值．

描點(diǎn)：依據(jù)什么(數(shù)據(jù)、方法)找點(diǎn)? 連線：怎樣連線? ——可在各個(gè)象限內(nèi)按照自變量從小到大的順序用兩條光滑的曲線把所描的點(diǎn)連接起來．

探索活動2 反比例函數(shù)y??6的圖象． x

可以引導(dǎo)學(xué)生采用多種方式進(jìn)行自主探索活動：

(1)可以用畫反比例函數(shù)y?6的圖象的方式與步驟進(jìn)行自主探索其圖象； x

666與y??之間的關(guān)系，畫出y??的圖象．

xxx66

探索活動3 反比例函數(shù)y??與y?的圖象有什么共同特征?

xx

(2)可以通過探索函數(shù)y?

引導(dǎo)學(xué)生從通過與一次函數(shù)的圖象的對比感受反比例函數(shù)圖象“曲線”及“兩支”的特征．

反比例函數(shù)y?k(k≠0)的圖象是由兩個(gè)分支組成的曲線．當(dāng)k?0時(shí)，圖象x在一、三象限：當(dāng)k?0時(shí)，圖象在二、四象限．

反比例函數(shù)y?

3、例題教學(xué)

課本安排例1，（1）鞏固反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)．

（2）是為了引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：由于在反比例函數(shù)y?k(k≠0)中，只要常數(shù)xk(k≠0)的圖象關(guān)于直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)成中心對稱． xk的值確定，反比例函數(shù)就確定了．因此要確定一個(gè)反比例函數(shù)，只需要一對對應(yīng)值或圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

（3）可以先設(shè)問：能否利用圖象的性質(zhì)來畫圖？

4、應(yīng)用知識，體驗(yàn)成功

練筆：課本“課內(nèi)練習(xí)” 1.2.3

5、歸納小結(jié)，反思提高

用描點(diǎn)法作圖象的步驟

反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)

6、布置作業(yè)

作業(yè)本（1）課本“作業(yè)題”

第五篇：高中數(shù)學(xué)教案：正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（一）教材分析：

學(xué)習(xí)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要包括：定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性等，以及具體的應(yīng)用。

（二）素質(zhì)教育目標(biāo)： 1.知識目標(biāo)：

（1）用單位圓中的正切線作正切函數(shù)的圖象；（2）用正切函數(shù)圖象解決函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)； 2.能力目標(biāo)：

（1）理解并掌握作正切函數(shù)圖象的方法；

（2）理解用函數(shù)圖象解決有關(guān)性質(zhì)問題的方法； 3.德育目標(biāo)：培養(yǎng)研究探索問題的能力；

（三）教學(xué)三點(diǎn)解析：

1.教學(xué)重點(diǎn)：用單位圓中的正切線作正切函數(shù)圖象； 2.教學(xué)難點(diǎn)：性質(zhì)的研究；

3.教學(xué)疑點(diǎn)：正切函數(shù)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間是增函數(shù)，并非整個(gè)定義域內(nèi)的增函數(shù)；

（四）教學(xué)過程設(shè)計(jì) 1．設(shè)置情境

前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，但常見的三角函數(shù)還有正切函數(shù)，今天我們來探討一下正切函數(shù)的圖象，以及它具有哪些性質(zhì)。2．探索研究

由研究正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的方法引出正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)。下面我們也將利用單位圓中的正切線來繪制y?tanx圖象．

（1）用正切線作正切函數(shù)圖象

1分析一下正切函數(shù)y?tanx是否為周期函數(shù)？

○? f(x??)tax?n?(?sinx?(??))?coxs?(??)xsin?x?tfaxn xcos()

∴y?tanx 是周期函數(shù)，?是它的一個(gè)周期．

我們還可以證明，?是它的最小正周期．類似正弦曲線的作法，我們先作正切函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象，下面我們利用正切線畫出函數(shù)y?tanx，x???

????,?的圖象． 22??

作法如下：

①作直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系

軸左側(cè)作單位圓．

②把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線．

③描點(diǎn)。（橫坐標(biāo)是一個(gè)周期的8等分點(diǎn)，縱坐標(biāo)是相應(yīng)的正切線）．

④連線．

圖1

根據(jù)正切函數(shù)的周期性，我們可以把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)y?tanx，(x?R,x?k???2,k?Z)的圖象，并把它叫做正切曲線（如圖1）．

圖2

（2）正切函數(shù)的性質(zhì)

請同學(xué)們結(jié)合正切函數(shù)圖象研究正切函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．

①定義域：?x|x?k??

②值域：R

③周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是?． ????,k?Z? 2?

④奇偶性：tan(?x)??tanx，∴正切函數(shù)是奇函數(shù)，正切曲線關(guān)于原點(diǎn)O對稱．

⑤單調(diào)性：由正切曲線圖象可知：正切函數(shù)在開區(qū)間(?強(qiáng)調(diào)：a.不能說正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)

b.正切函數(shù)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)

c.每個(gè)單調(diào)區(qū)間都包括兩個(gè)象限：

四、一或二、三 3．例題分析

【例1】求函數(shù)y?tan(x??2?k?,?2?k?),k?Z內(nèi)都是增函數(shù)．

?4)的定義域．

分析：我們已經(jīng)知道了y?tanz的定義域，那么y?tan(x??4)與y?tanz有什么關(guān)系呢？令z?x??4，我們把y?tan(x??4)說成由y?tanz和z?x??4復(fù)合而成。此時(shí)我們稱y?tan(x??4)為復(fù)合函數(shù)，而把y?tanz和z?x??4為簡單函數(shù)

解：令z?x??4，那么函數(shù)y?tanz 的定義域是?z|z??????k?,k?Z? 2?

由 x??4?z?k???2，可得 x?k???4

所以函數(shù)y?tan(x??4)的定義域是{x|x?k???4,k?Z}

解題回顧：這種解法可稱為換元法，因此復(fù)合函數(shù)可通過換元法來求得。

練習(xí)1：求函數(shù)y?tan(2x?

【例2】不通過求值，比較下列各組中兩個(gè)正切函數(shù)值的大小：

（1）與

；

?4)的定義域。（學(xué)生板演。）（2）tan(?11?13?)與tan(?)． 45分析：比較兩個(gè)正切函數(shù)值的大小可聯(lián)想到比較兩個(gè)正、余弦函數(shù)值的大小。

比較兩個(gè)正、余弦函數(shù)值的大小是利用函數(shù)的單調(diào)性來比較。注意點(diǎn)是應(yīng)把相應(yīng)的角化到正或余弦函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)來解決．類比得到比較兩個(gè)正切函數(shù)值的大小的解法

解：（1）?90?167?173?180

又 ∵y?tanx，在(90?,270?)上是增函數(shù)

∴tan167?tan17（2）∵tan(???????11?11??)??tan?＝tan 44tan(?13?13?2?)??tan?tan 555又 ∵0＜?2??????＜＜，函數(shù)y?tanx，x???,? 是增函數(shù)，542?22?2?11?13?)?tan(?)． 即tan(?54∴ tan?4＜ tan解題回顧：比較兩個(gè)正切型實(shí)數(shù)的大小，關(guān)鍵是把相應(yīng)的角誘導(dǎo)到y(tǒng)?tanx 的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用y?tanx 的單調(diào)遞增性來解決．

練習(xí)2：比較大?。?/p>

(1)tan138?_____tan143?（學(xué)生口答）（＜）(2)tan(?1317?)_____tan(??)（學(xué)生板演）（＞）45【例3】求f(x)?tan2x的周期

3．總結(jié)提煉

（1）這節(jié)課我們采用類比的思想方法來學(xué)習(xí)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（2）正切函數(shù)的作圖是利用平移正切線得到的，當(dāng)我們獲得一個(gè)周期上圖象后，再利用周期性把該段圖象向左右延伸、平移。

（3）正切函數(shù)的性質(zhì)．

4.布置作業(yè)：作業(yè)：蘇大資料“12.正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)”.