第一篇:【趣味數學】高中數學 第11課時 立體幾何趣題 球在平面上的投影教學案 新人教版必修1
第11課時 立體幾何趣題——
球在平面上的投影
教學要求:明白球在不同光照下的投影 教學過程:
放在水平面上的球與水平面切于點A,一束光線投射到球上,那么球的影子的輪廓是什么曲線?切點A與輪廓曲線的關系又是什么?
一、平行光線下球的投影
放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點止,與水平面所成角為?(??90)的太陽光投射到球上,則球在水平面上的?投影是以A為 一個焦點的橢圓.
分析:顯然,當太陽光垂直于水平面,即??90時,球在水平面上的投影是以為A圓心,R為半徑的圓;當0???90時,球在水平面上的投影是以A為一個焦點的橢圓,如圖1.
如圖l所示,與球面相切的光線構成一個圓柱面,與球切于圓O,則光線在水平面上的投影,可以看成圓柱面與水平面的交線l1,設與水平面平行且與球相切的平面?與球相切于點D,與圓柱面的交線為l2;P為l1上的任意一點,經過點P的光線為PP,(P,為光線
’
’
?00PP與平面?的交點),且與球相切于點C,過點D作與光線平行的直線交水平面于點B,連’結PB,易知,PB=P'D=PC,PA=PC,即知PA+PB=PP’’,又PP
’ =
2Rsin?為一定值,則知點P在以2RA,B為焦點,長軸長為sin?的橢圓上,二、點光源下的球的投影
放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點A,與水平面距離為h的點光源S(S在球面外)投射到球上,則球在水平面上的投影是以A為一個焦點的圓錐曲線或以A為圓心的圓,且其形狀與大小與光源到水平面的距離h及SA與水平面所成角有關.
1.當過點S,球心O的直線與水平面垂時,此時必有h>2R.球在水平面上的投影是以球與水平面的切點為圓心的圓(圖略),2.當過點S、球心O的直線與水平面不垂直時.
①若h>2R,則球在水平面上的投影是以A為一個焦點的橢圓,如圖2.
如圖2所示,與球O相切的光線構成一個圓錐面.設切點的集合為圓O3;球O1與圓錐面及水平面都相切,與圓錐面的切點的集合為圓O2,與水平面的切點為B;P為球在水平面的投影線上的任意一點,過P的光線與球O、O1的切點分別為D,C,則有PC=PB、PD=PA,易知CD為兩圓錐母線之差(為一定值).即PA+PB=CD(定值),所以,球在水平面上的投影是
以A、B為焦點的橢圓.②若h=2R,則球在水平面上的投影是以A為焦點的拋物線,如圖3.
如圖3所示,與球O相切的光線構成一個圓錐面.設切點的集合為圓Ol;
過S、O,A的平面與水平面交于AG;圓Ol所在的平面?與水平面的交
線為L;P為球在水平面的投影線上的任意一點,過P與?平行的平面與圓錐面交于圓O2所以,球在水平面上的投影是以A為焦點,L為準線的拋物線.
3若h<2R,則球在水平面上的投影是○以A為一個焦點的雙曲線的一支,如圖4.
如圖4所示,與球O相切的光線構成一個圓 錐面.設切點的集合為圓02;球Ol與圓錐面及
水平面都相切,與圓錐面的切點的集合為圓03,與水平面的切點為月;戶為球在水平面的投影線上的任意一點,過戶的光線與球O、Ol的切點分 別為G、打,則有PH二PB、PG二PA,且易知GH為兩圓錐母線之和(為一定值).即PB-PA=CH(定值),所以,球在水平面上的投影是以A,B為焦點的雙曲線的一支.
三、小結:當平行光線與水平面垂直時,球 在光線的投射下的輪廓線是一個圓,且球與水平面的切點為這個圓的圓心,當平行光線與水平面不垂直時,球在光線下的投影是以球與 2
水平面的切點為一個焦點的橢圓.
當點光源S與球心的連線與水平面垂直時,球在光線下的投影是以球與水平面的切點為圓心的圓,當點光源與球心的連線與水平面不垂直時,球在光線下的投影是以球與水平面的切點為一個焦點的圓錐曲線.
第二篇:【趣味數學】高中數學 第11課時 立體幾何趣題 球在平面上的投影教學案 新人教版必修1
第11課時 立體幾何趣題—— 球在平面上的投影 教學要求:明白球在不同光照下的投影 教學過程: 放在水平面上的球與水平面切于點A,一束光線投射到球上,那么球的影子的輪廓是什么曲線?切點A與輪廓曲線的關系又是什么?
一、平行光線下球的投影 放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點止,與水平面所成角為()的太陽光投射到球上,則球在水平面上的投影是以A為 一個焦點的橢圓. 分析:顯然,當太陽光垂直于水平面,即時,球在00水平面上的投影是以為A圓心,R為半徑的圓;當時,球在水平面上的投影是以A為一個焦點的橢圓,如圖1. 如圖l所示,與球面相切的光線構成一個圓柱面,與球切于圓O,則光線在水平面上的l投影,可以看成圓柱面與水平面的交線,設與水平面平行且與球相切的平面與球相切1ll’’于點D,與圓柱面的交線為;P為上的任意一點,經過點P的光線為PP,(P,為光線21’PP與平面的交點),且與球相切于點C,過點D作與光線平行的直線交水平面于點B,連2R’’, ’ =結PB,易知,PB=P'D=PC,PA=PC,即知PA+PB=PP又PP為一定值,則知點P在以 sin2R A,B為焦點,長軸長為的橢圓上,二、點光源下的球的投影 放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點A,與水平面距離為h的點光源S(S在球面外)投射到球上,則球在水平面上的投影是以A為一個焦點的圓錐曲線或以A為圓心的圓,且其形狀與大小與光源到水平面的距離h及SA與水平面所成角有關. 1.當過點S,球心O的直線與水平面垂時,此時必有h>2R.球在水平面上的投影是以球與 水平面的切點為圓心的圓(圖略),2.當過點S、球心O的直線與水平面不垂直時.
①若h>2R,則球在水平面上的投影是以A為一個焦點的橢圓,如圖2. 1
OOO如圖2所示,與球相切的光線構成一個圓錐面.設切點的集合為圓;球與圓13O錐面及水平面都相切,與圓錐面的切點的集合為圓,與水平面的切點為B;P為球在水平2O面的投影線上的任意一點,過P的光線與球O、的切點分別為D,C,則有PC=PB、PD=PA,1易知CD為兩圓錐母線之差(為一定值).即PA+PB=CD(定值),所以,球在水平面上的投影是以A、B為焦點的橢圓.②若h=2R,則球在水平面上的投影是以A為焦點的拋物線,如圖3. 如圖3所示,與球O相切的光線構成一個圓錐面.設切點的集合為圓Ol; 過S、O,A的平面與水平面交于AG;圓Ol所在的平面與水平面的交線為L;P為球在水平面的投影線上的任意一點,過P與平行的平面與圓圓O錐面交于所以,球在水平面上的2投影是以A為焦點,L為準線的拋物線.
3若h<2R,則球在水平面上的投影是○以A為一個焦點的雙曲線的一支,如圖4. 如圖4所示,與球O相切的光線構成一個圓 錐面.設切點的集合為圓02;球Ol與圓錐面及
水平面都相切,與圓錐面的切點的集合為圓03,與水平面的切點為月;戶為球在水平面的投影線上的任意一點,過戶的光線與球O、Ol的切點分 別為G、打,則有PH二PB、PG二PA,且易知GH為兩圓錐母線之和(為一定值).即PB-PA=CH(定值),所以,球在水平面上的投影是以A,B為焦點的雙曲線的一支.
三、小結:當平行光線與水平面垂直時,球 在光線的投射下的輪廓線是一個圓,且球與水平面的切點為這個圓的圓心,當平行光線與水平面不垂直時,球在光線下的投影是以球與 2 水平面的切點為一個焦點的橢圓.
當點光源S與球心的連線與水平面垂直時,球在光線下的投影是以球與水平面的切點為圓心的圓,當點光源與球心的連線與水平面不垂直時,球在光線下的投影是以球與水平面的切點為一個焦點的圓錐曲線. 3
第三篇:高中數學《指數函數》教案1 新人教A版必修1
3.1.2指數函數
(二)教學目標:鞏固指數函數的概念和性質 教學重點:指數函數的概念和性質 教學過程:
本節(jié)課為習題課,可分以下幾個方面加以練習: 備選題如下:
1、關于定義域
x(1)求函數f(x)=??1??1的定義域
?9??(2)求函數y=1x的定義域
51?x?1(3)函數f(x)=3-x-1的定義域、值域是……()
A.定義域是R,值域是R
B.定義域是R,值域是(0,+∞) C.定義域是R,值域是(-1,+∞) D.以上都不對(4)函數y=1x的定義域是______ 5x?1?1(5)求函數y=ax?1的定義域(其中a>0且a≠1)
2、關于值域
(1)當x∈[-2,0]時,函數y=3x+1-2的值域是______(2)求函數y=4x+2x+1+1的值域.(3)已知函數y=4x-3·2x+3的值域為[7,43],試確定x的取值范圍.(4).函數y=3x3x?1的值域是() A.(0,+∞)
B.(-∞,1) C.(0,1)
D.(1,+∞)
(5)函數y=0.25x2?2x?12的值域是______,單調遞增區(qū)間是______.3、關于圖像
用心 愛心 專心 1
(1)要得到函數y=8·2-x的圖象,只需將函數y=(12)x的圖象()
A.向右平移3個單位
B.向左平移3個單位 C.向右平移8個單位
D.向左平移8個單位
(2)函數y=|2x-2|的圖象是()
(3)當a≠0時,函數y=ax+b和y=bax的圖象只可能是()
(4)當0 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (5)若函數y=a2x+b+1(a>0且a≠1,b為實數)的圖象恒過定點(1,2),則b=______.(6)已知函數y=(12)|x+2|. ①畫出函數的圖象; ②由圖象指出函數的單調區(qū)間并利用定義證明.(7)設a、b均為大于零且不等于1的常數,下列命題不是真命題的是() 用心 愛心 專心 A.y=a的圖象與y=a的圖象關于y軸對稱 B.若y=a的圖象和y=b的圖象關于y軸對稱,則ab=1 C.若a2x-xxx>a22-1,則a>1 ,則a>b D.若a?>b? 24、關于單調性 (1)若-1 A.5-x<5x<0.5x C.5<5<0.5x-xx B.5x<0.5x<5-x D.0.5<5<5 x-xx(2)下列各不等式中正確的是() A.()3?()3?()3 252C.()3?()3?()3 52212121211 B.()3?()3?()3 225 D.()3?()3?()3 *** 1211(x+1)(3-x)(3).函數y=(2-1)的單調遞增區(qū)間是() A.(1,+∞)C.(1,3) B.(-∞,1) D.(-1,1) (4).函數y=()2x?x?x?2為增函數的區(qū)間是() (5)函數f(x)=a-3a+2(a>0且a≠1)的最值為______.(6)已知y=(數.(7)比較52x?12x12)?x?x?22+1,求其單調區(qū)間并說明在每一單調區(qū)間上是增函數還是減函與5x?22的大小 5、關于奇偶性 (1)已知函數f(x)= m?2?1x2x為奇函數,則m的值等于_____ ?1?1?(1)如果???8?2? x2x=4,則x=____ 用心 愛心 專心 3 6階段檢測題: 可以作為課后作業(yè): 1.如果函數y=ax(a>0,a≠1)的圖象與函數y=bx(b>0,b≠1)的圖象關于y軸對稱,則有 A.a>b B.a 3(3x-1)(2x+1) ≥1},則集合M、N的關系是 B.M?N D.MN 3.下列說法中,正確的是 ①任取x∈R都有3x>2x ②當a>1時,任取x∈R都有ax>a-x ③y=(3)-x是增函數 ④y=2|x|的最小值為1 ⑤在同一坐標系中,y=2x與y=2-x的圖象對稱于y軸 A.①②④ C.②③④ B.④⑤ D.①⑤ 4.下列函數中,值域是(0,+∞)的共有 ①y=3?1 ②y=(A.1個 x1)③y=1?()④y=3x B.2個 x11xC.3個 D.4個 5.已知函數f(x)=a1-x(a>0,a≠1),當x>1時恒有f(x)<1,則f(x)在R上是 A.增函數 B.減函數 C.非單調函數 D.以上答案均不對 二、填空題(每小題2分,共10分)6.在同一坐標系下,函數y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的圖象如下圖,則a、b、c、d、1之間從小到大的順序是__________.用心 愛心 專心 4 7.函數y=ax?1的定義域是(-∞,0],則a的取值范圍是__________.8.函數y=2x+k-1(a>0,a≠1)的圖象不經過第四象限的充要條件是__________.9.若點(2,14)既在函數y=2ax+b的圖象上,又在它的反函數的圖象上,a=________,b=________.10.已知集合M={x|2x2+x≤(14) x- 2,x∈R},則函數y=2x的值域是__________.三、解答題(共30分)11.(9分)設A=am+a-m,B=an+a-n(m>n>0,a>0且a≠1),判斷A,B的大小.12.(10分)已知函數f(x)=a- 22x?1(a∈R),求證:對任何a∈R,f(x)為增函數.x?1213.(11分)設0≤x≤2,求函數y=42?a?2x?a2?1的最大值和最小值.課堂練習:(略)小結: 課后作業(yè):(略) 用心 愛心 專心 則 數學歸納法的典型例題分析 例1 用數學歸納法證明等式 時所有自然數 都成立。 證明(1)當 (2)假設當 時,左式,右式 時等式成立,等式成立。 即 則 則 時,等式也成立。 均成立。 時等式成立時,注意分析 與的兩 由(1)(2)可知,等式對 評述 在利用歸納假設論證 個等式的差別。 變到 時,等式左邊增加兩項,右邊增加一項,而且右式的首項由 應與 合并,才能得到所證式。因而,因此在證明中,右式中的在論證之前,把 時等式的左右兩邊的結構先作一分析是有效的。 用心愛心專心 1 由例1可以看出,在數學歸納法證明過程中,要把握好兩個關鍵之外:一是 系;二是 與的關系。 與 的關 例2 用數學歸納法證明 對任意自然數,證明(?。┊?/p> 時,能被17整除,命題成立。 (ⅱ)設 則 時,由歸納假設,能被17整除,也能被17整除,所以 都能被17整除。 用 表示。上例中的能被17整除。 時,能被17整除。 都能被17整除。 由(ⅰ)(ⅱ)可知,對任意 評述 用數學歸納法證明整除問題,常常把 還可寫成,易知它能被17整除。例3 用數學歸納法證明 … 用心愛心專心 2 證明(ⅰ)當 時,左式 右式 ∵ ∴ 即 時,原不等式成立。 (ⅱ)假設 ()時,不等式成立,即 則 時,左邊 右邊 要證左邊 右邊 只要證 只要證 只要證 而上式顯然成立,所以原不等式成立。即 時,左式 右式 由(?。áⅲ┛芍?,原不等式對大于1的自然數均成立。用心愛心專心 3 評述 用數學歸納法證明不等式時,應分析 與的兩個不等式,找出證明的關鍵點(一般要利用不等式的傳遞性),然后再綜合運用不等式的方法。如上題,關鍵是證明不等式 。除了分析法,還可以用比較法和放縮法來解決。 例4 在數列 中,若它的前 項和 () 1)計算,,; 2)猜想的表達式,并用數學歸納法證明你的結論。 解(1)由題意,即 ∴ 即 ∴ 即 ∴ ∴ (2)猜想 證明 ?。?/p> 時,命題成立。 ⅱ)假設 時,命題成立,即 當 時,∴ 用心愛心專心 4 又 因而 解得 即 時,命題也成立。 由?。ⅲ┛芍?,命題對 均成立。 用心愛心 專心5 第9課時 不等式性質應用趣題― 均值不等式的應用 教學要求:了解均值不等式在日常生活中的應用 教學過程: 一、情境引入; 日常生活中常用的不等式有:一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前兩類不等式的應用與其對應函數及方程的應用如出一轍,而平均值不等式在生產生活中起到了不容忽視的作用。下面,我主要談一下均值不等式和均值定理的應用。 在生產和建設中,許多與最優(yōu)化設計相關的實際問題通??蓱闷骄挡坏仁絹斫鉀Q。平均值不等式知識在日常生活中的應用,筆者雖未親身經歷,但從電視、報紙等新聞媒體及我們所做的應用題中不難發(fā)現,均值不等式和極值定理通??捎腥缦聨追矫娴臉O其重要的應用:(表后重點分析“包裝罐設計”問題)實踐活動 已知條件 最優(yōu)方案 解決辦法 設計花壇綠地 周長或斜邊 面積最大 極值定理一 經營成本 各項費用單價及銷售量 成本最低 函數、極值定理二 車船票價設計 航行里程、限載人數、票價最低 用極值定理二求出 速度、各項費用及相應 最低成本,再由此 比例關系 計算出最低票價 (票價=最低票價+ +平均利潤)例 1、包裝罐設計問題 1、“白貓”洗衣粉桶 “白貓”洗衣粉桶的形狀是等邊圓柱(如右圖所示),若容積一定且底面與側面厚度一樣,問高與底面半徑是 什么關系時用料最?。幢砻娣e最小)? 分析:容積一定=>лr h=V(定值) =>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)≥2л3(r h)/4 =3 2лV(當且僅當r =rh/2=>h=2r時取等號), ∴應設計為h=d的等邊圓柱體.例 2、“易拉罐”問題 圓柱體上下第半徑為R,高為h,若體積為定值V,且上下底 厚度為側面厚度的二倍,問高與底面半徑是什么關系時用料最 省(即表面積最?。?/p> 分析:應用均值定理,同理可得h=2d(計算過程請讀者自己 寫出,本文從略)∴應設計為h=2d的圓柱體.第四篇:高中數學《數學歸納法》學案1 新人教A版選修2-2
第五篇:【趣味數學】高中數學 第9課時 不等式性質應用趣題-均值不等式的應用教學案 新人教版必修1[范文]