第一篇：2017北師大版高中數(shù)學(xué)(必修2)1.4《空間圖形的基本關(guān)系與公理》word教案.doc

空間圖形的基本關(guān)系與公理

一.教學(xué)內(nèi)容：

空間圖形的基本關(guān)系與公理

二.學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、學(xué)會(huì)觀察長方體模型中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，并能結(jié)合長方體模型，掌握空間圖形的有關(guān)概念和有關(guān)定理；掌握平面的基本性質(zhì)、公理4和等角定理；

2、培養(yǎng)和發(fā)展自己的空間想象能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力、幾何直觀能力、通過典型例子的學(xué)習(xí)和自主探索活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法；

3、培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣與嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度；體會(huì)推理論證中反映出的辯證思維的價(jià)值觀。

三、知識(shí)要點(diǎn)

（一）空間位置關(guān)系： I、空間點(diǎn)與線的關(guān)系

空間點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種：?點(diǎn)P在直線上：

II、空間點(diǎn)與平面的關(guān)系

空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種：?點(diǎn)P在平面

III、空間直線與直線的位置關(guān)系：

上：

?點(diǎn)P在平面

外：

；

；?點(diǎn)P在直線外：

；

IV、空間直線與平面的位置關(guān)系：

V、空間平面與平面的位置關(guān)系：?平行；?相交

說明：本模塊中所說的“兩個(gè)平面”“兩條直線”等均指不重合的情形。

（二）異面直線的判定

1、定義法：采取反證法的思路，否定平行與相交兩種情形即可；

2、判定定理：已知P點(diǎn)在平面上，則平面上不經(jīng)過該點(diǎn)的直線與平面外經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。

（三）平面的基本性質(zhì)公理

1、公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)，或曰平面經(jīng)過這條直線）。

2、公理2 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（即確定一個(gè)平面）。

3、公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過該點(diǎn)的公共直線

4、平面的基本性質(zhì)公理的三個(gè)推論

?經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面； ?經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面； ?經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面 思考：

?公理是公認(rèn)為正確而不需要證明的命題，那么推論呢？ ?平面的基本性質(zhì)公理是如何刻畫平面的性質(zhì)的？

（四）平行公理（公理4）：平行于同一條直線的兩條直線平行。

（五）等角定理：空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

（六）空間四邊形：順次連接不共面的四點(diǎn)構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形。

【典型例題】

考點(diǎn)一 空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷：主要判斷依據(jù)是平面的基本性質(zhì)公理及其推論，平行公理、等角定理等相關(guān)結(jié)論。例1.下列命題：

?空間不同的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面； ?有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必定重合；

?空間中兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)平面；

④平行四邊形、梯形等所有的四邊形都是平面圖形； ⑤兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

⑥一條直線和兩平行線中的一條相交，必定和另一條也相交。其中正確的命題是。解：⑥。

例2.空間中三條直線可以確定幾個(gè)平面？試畫出示意圖說明。

解：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)。分別如圖（圖中所畫平面為輔助平面）：

考點(diǎn)二 異面直線的判斷：主要依據(jù)是異面直線的定義及判定定理。

例3.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB、CD、EF、GH這四條線段所在的直線是異面直線的有__________對，分別是____________________？

解：3對，分別是AB、GH；AB、CD；GH、EF。

考點(diǎn)三 “有且只有一個(gè)”的證明：一般地，此類題型的證明需要分為兩個(gè)步驟，分別證明“有”即存在性和“只有一個(gè)”即唯一性。例4.求證：過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。已知：直線a∥b。

求證：過a，b有且只有一個(gè)平面。

證明：?存在性：由平行線的定義可知，過平行直線a，b有一個(gè)平面。

?唯一性（反證法）：假設(shè)過a，b有兩個(gè)平面1可知：

。在直線上任取兩點(diǎn)A、B，在直線b

都過直線a，b，因此由公理上任取一點(diǎn)C，則A、B、C三點(diǎn)不共線。由于這兩個(gè)平面都過點(diǎn)A、B、C。由平面的基本性質(zhì)公理2，過不共線三點(diǎn)的平面唯一存在，因此重合，與假設(shè)矛盾。矛盾表明：過平行直線a，b只有一個(gè)平面。綜上所述：過a，b有且只有一個(gè)平面。

考點(diǎn)四 共點(diǎn)的判斷與證明：此類題型主要有三線共點(diǎn)和三面共點(diǎn)。

例5.三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，求證：三條交線或平行，或交于一點(diǎn)。已知：平面證明：因?yàn)镮、若a∥b：由于面，故，求證：a∥b∥c或者a，b，c交于一點(diǎn)P。，故a，b共面，因直線，故a，c無公共點(diǎn)。又a，c都在平內(nèi)，故a∥b；故a∥b∥c。

II、若，則，故知 綜上所述：命題成立。

說明：證明三點(diǎn)共線的問題的常用思路是先證兩條直線相交，然后再證該交點(diǎn)在第三條直線上；證明交點(diǎn)在第三條直線上常證明該點(diǎn)是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上即在第三條直線上。

考點(diǎn)五 共線的判斷與證明：常見題型是三點(diǎn)共線。

例6.如圖，O1是正方體ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是對角線A1C和截面B1D1A的交點(diǎn)，求證：O1、M、A三點(diǎn)共線。

證明：連結(jié)AC.因?yàn)锳1C1∩B1D1＝O1，B1D1平面B1D1A，A1C1AA1C1C，所以O(shè)1∈平面B1D1A且O1∈AA1C1C。同理可知，M∈平面B1D1A且M∈AA1C1C；A∈平面B1D1A且A∈AA1C1C。所以，O1、M、A三點(diǎn)在平面B1D1A和AA1C1C的交線上，故O1、M、A三點(diǎn)共線。

說明：證明三線共點(diǎn)問題的常見思路是證明第三點(diǎn)在前兩點(diǎn)所確定的直線上；或者證明三點(diǎn)是兩相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上。

考點(diǎn)六 共面問題的判斷與證明：此類題型常見的是四點(diǎn)共面或三線共面，如證明某個(gè)圖形是平面圖形。

例7.如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CG＝BC/3，CH＝DC/3。求證：?E、F、G、H四點(diǎn)共面；?直線FH、EG、AC共點(diǎn)。

證明：?如圖，連結(jié)HG，EF。在△ABD中，E、F分別為AB、AD中點(diǎn)，故EF是△ABD的中位線，故EF∥BD。在△CBD中，CG＝BC/3，CH＝DC/3，故GH∥BD，故EF∥GH，從而GH、EF可確定一個(gè)平面，即G、H、E、F四點(diǎn)共面

?由于E、F、G、H四點(diǎn)共面，且FH與EG不平行，故相交，記交點(diǎn)為M，則M∈FH，F(xiàn)H面ACD，故M∈面ACD；M∈EG，EG面ABC，故M∈面ABC。從而M是面ACD和面ABC的公共點(diǎn)，由公理3可知，M在這兩個(gè)平面的交線AC上，從而FH、EG、AC三線共點(diǎn)。

說明：共面問題的常用的處理方法是利用平面的基本性質(zhì)公理2及三個(gè)推論，先證明部分元素確定一個(gè)平面，再證剩下的元素也在此平面上；有時(shí)也可先證部分元素共面，剩下的元素共面，然后證明這兩個(gè)平面重合（此時(shí)也可用反證法）。

［本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法］

1、數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)表述和數(shù)學(xué)思維不可缺少的重要工具，必須能將這三種語言即文字語言、符號語言和圖形語言進(jìn)行準(zhǔn)確的互譯和表達(dá)，這在空間關(guān)系的證明與判斷中顯得十分重要；

2、空間觀念和空間想象能力：高考中立體幾何題的題型功能最重要的一點(diǎn)就是考查考生的空間觀念和空間想象能力，因?yàn)槲覀兪峭ㄟ^平面圖形（直觀圖）去研究空間關(guān)系，所以同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中一定要多觀察、多思考，動(dòng)手做一些空間模型或通過電腦動(dòng)畫模擬一些空間圖形，培養(yǎng)空間概念，提高空間想象能力。

【模擬試題】

一、選擇題

1、在空間內(nèi)，可以確定一個(gè)平面的條件是（）A.兩兩相交的三條直線

B.三條直線，其中的一條與另兩條分別相交 C.三個(gè)點(diǎn)

D.三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)

2、（2008遼寧卷）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（）

A.不存在 B.有且只有兩條 C.有且只有三條 D.有無數(shù)條

*

3、已知平面外一點(diǎn)P和平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C。A＇、Ｂ＇、Ｃ＇分別在PA、PB、PC上，若延長A＇Ｂ＇、Ｂ＇Ｃ＇、A＇Ｃ＇與平面分別交于D、E、F三點(diǎn)，則D、E、F三點(diǎn)（）

A.成鈍角三角形 B.成銳角三角形 C.成直角三角形 D.在一條直線上

4、空間中有三條線段AB、BC、CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是（）

A.平行 B.異面 C.相交 D.平行或異面或相交均有可能

5、下列敘述中正確的是（）

A.因?yàn)镻∈α，Q∈α，所以PQ∈α。B.因?yàn)镻∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ。

C.因?yàn)?，C∈AB，D∈AB，因此CD∈α。

D.因?yàn)?，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β）。

6、已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)且α∩β＝c，那么c（）A.至少與a，b中的一條相交； B.至多與a，b中的一條相交； C.至少與a，b中的一條平行；

D.與a，b中的一條平行，與另一條相交

7、已知空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）

二、填空題

8、在空間四邊形ABCD中，M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，則2MN與AB+CD的大小關(guān)系是。

9、對于空間中的三條直線，有下列四個(gè)條件：?三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)；?三條直線兩兩平行；?三條直線共點(diǎn)；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交。其中，能推出三條直線共面的有。

三、解答題

10、正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)。?求證：CE、D1F、DA三線共點(diǎn)； ?求證：E、C、D1、F四點(diǎn)共面；

11、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若Q是A1C與平面ABC1D1的交點(diǎn)，求證：B、Q、D1三點(diǎn)共線。

12、如圖，已知α∩β＝a，b

α，c

β，b∩a＝A，c//a.求證：b與c是異面直線。

*

13、（2005高考題改編）正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、C1B1的中點(diǎn)，試作出正方體過P、Q、R三點(diǎn)的截面。

第二篇：高一數(shù)學(xué)空間圖形的基本關(guān)系與公理教案

高一數(shù)學(xué)空間圖形的基本關(guān)系與公理教

案

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空間圖形的基本關(guān)系與公理

一.教學(xué)內(nèi)容：

空間圖形的基本關(guān)系與公理

二.學(xué)習(xí)目標(biāo)：、學(xué)會(huì)觀察長方體模型中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，并能結(jié)合長方體模型，掌握空間圖形的有關(guān)概念和有關(guān)定理；掌握平面的基本性質(zhì)、公理4和等角定理；

2、培養(yǎng)和發(fā)展自己的空間想象能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力、幾何直觀能力、通過典型例子的學(xué)習(xí)和自主探索活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法；

3、培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣與嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度；體會(huì)推理論證中反映出的辯證思維的價(jià)值觀。

三、知識(shí)要點(diǎn)

（一）空間位置關(guān)系：

I、空間點(diǎn)與線的關(guān)系

空間點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種：?點(diǎn)P在直線上：；?點(diǎn)P在直線外：；

II、空間點(diǎn)與平面的關(guān)系

空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種：?點(diǎn)P在平面上：?點(diǎn)P在平面外：；

III、空間直線與直線的位置關(guān)系：

IV、空間直線與平面的位置關(guān)系：

V、空間平面與平面的位置關(guān)系：?平行；?相交

說明：本模塊中所說的“兩個(gè)平面”“兩條直線”等均指不重合的情形。

（二）異面直線的判定、定義法：采取反證法的思路，否定平行與相交兩種情形即可；

2、判定定理：已知P點(diǎn)在平面上，則平面上不經(jīng)過該點(diǎn)的直線與平面外經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。

（三）平面的基本性質(zhì)公理

、公理1

如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)，或曰平面經(jīng)過這條直線）。

2、公理2

經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（即確定一個(gè)平面）。

3、公理3

如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過該點(diǎn)的公共直線。

4、平面的基本性質(zhì)公理的三個(gè)推論

?經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

?經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

?經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面

思考：

?公理是公認(rèn)為正確而不需要證明的命題，那么推論呢？

?平面的基本性質(zhì)公理是如何刻畫平面的性質(zhì)的？

（四）平行公理（公理4）：平行于同一條直線的兩條直線平行。

（五）等角定理：空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

（六）空間四邊形：順次連接不共面的四點(diǎn)構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形。

【典型例題】

考點(diǎn)一

空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷：主要判斷依據(jù)是平面的基本性質(zhì)公理及其推論，平行公理、等角定理等相關(guān)結(jié)論。

例1.下列命題：

?空間不同的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；

?有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必定重合；

?空間中兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)平面；

④平行四邊形、梯形等所有的四邊形都是平面圖形；

⑤兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

⑥一條直線和兩平行線中的一條相交，必定和另一條也相交。

其中正確的命題是。

解：⑥。

例2.空間中三條直線可以確定幾個(gè)平面？試畫出示意圖說明。

解：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)。分別如圖（圖中所畫平面為輔助平面）：

考點(diǎn)二

異面直線的判斷：主要依據(jù)是異面直線的定義及判定定理。

例3.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB、cD、EF、GH這四條線段所在的直線是異面直線的有__________對，分別是____________________？

解：3對，分別是AB、GH；AB、cD；GH、EF。

考點(diǎn)三

“有且只有一個(gè)”的證明：一般地，此類題型的證明需要分為兩個(gè)步驟，分別證明“有”即存在性和“只有一個(gè)”即唯一性。

例4.求證：過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。

已知：直線a∥b。

求證：過a，b有且只有一個(gè)平面。

證明：?存在性：由平行線的定義可知，過平行直線a，b有一個(gè)平面。

?唯一性（反證法）：假設(shè)過a，b有兩個(gè)平面。在直線上任取兩點(diǎn)A、B，在直線b上任取一點(diǎn)c，則A、B、c三點(diǎn)不共線。由于這兩個(gè)平面都過直線a，b，因此由公理1可知：都過點(diǎn)A、B、c。由平面的基本性質(zhì)公理2，過不共線三點(diǎn)的平面唯一存在，因此重合，與假設(shè)矛盾。矛盾表明：過平行直線a，b只有一個(gè)平面。

綜上所述：過a，b有且只有一個(gè)平面。

考點(diǎn)四

共點(diǎn)的判斷與證明：此類題型主要有三線共點(diǎn)和三面共點(diǎn)。

例5.三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，求證：三條交線或平行，或交于一點(diǎn)。

已知：平面，求證：a∥b∥c或者a，b，c交于一點(diǎn)P。

證明：因?yàn)?，故a，b共面。

I、若a∥b：由于，故，因直線，故a，c無公共點(diǎn)。又a，c都在平面內(nèi)，故a∥b；故a∥b∥c。

II、若，則，故知

綜上所述：命題成立。

說明：證明三點(diǎn)共線的問題的常用思路是先證兩條直線相交，然后再證該交點(diǎn)在第三條直線上；證明交點(diǎn)在第三條直線上常證明該點(diǎn)是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上即在第三條直線上。

考點(diǎn)五

共線的判斷與證明：常見題型是三點(diǎn)共線。

例6.如圖，o1是正方體ABcD-A1B1c1D1的面A1B1c1D1的中心，m是對角線A1c和截面B1D1A的交點(diǎn)，求證：o1、m、A三點(diǎn)共線。

證明：連結(jié)Ac.因?yàn)锳1c1∩B1D1＝o1，B1D1平面B1D1A，A1c1AA1c1c，所以o1∈平面B1D1A且o1∈AA1c1c。同理可知，m∈平面B1D1A且m∈AA1c1c；A∈平面B1D1A且A∈AA1c1c。所以，o1、m、A三點(diǎn)在平面B1D1A和AA1c1c的交線上，故o1、m、A三點(diǎn)共線。

說明：證明三線共點(diǎn)問題的常見思路是證明第三點(diǎn)在前兩點(diǎn)所確定的直線上；或者證明三點(diǎn)是兩相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上。

考點(diǎn)六

共面問題的判斷與證明：此類題型常見的是四點(diǎn)共面或三線共面，如證明某個(gè)圖形是平面圖形。

例7.如圖，在空間四邊形ABcD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是Bc、cD上的點(diǎn)，且cG＝Bc/3，cH＝Dc/3。求證：?E、F、G、H四點(diǎn)共面；?直線FH、EG、Ac共點(diǎn)。

證明：?如圖，連結(jié)HG，EF。在△ABD中，E、F分別為AB、AD中點(diǎn)，故EF是△ABD的中位線，故EF∥BD。在△cBD中，cG＝Bc/3，cH＝Dc/3，故GH∥BD，故EF∥GH，從而GH、EF可確定一個(gè)平面，即G、H、E、F四點(diǎn)共面。

?由于E、F、G、H四點(diǎn)共面，且FH與EG不平行，故相交，記交點(diǎn)為m，則m∈FH，F(xiàn)H面AcD，故m∈面AcD；m∈EG，EG面ABc，故m∈面ABc。從而m是面AcD和面ABc的公共點(diǎn)，由公理3可知，m在這兩個(gè)平面的交線Ac上，從而FH、EG、Ac三線共點(diǎn)。

說明：共面問題的常用的處理方法是利用平面的基本性質(zhì)公理2及三個(gè)推論，先證明部分元素確定一個(gè)平面，再證剩下的元素也在此平面上；有時(shí)也可先證部分元素共面，剩下的元素共面，然后證明這兩個(gè)平面重合（此時(shí)也可用反證法）。

［本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法］、數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)表述和數(shù)學(xué)思維不可缺少的重要工具，必須能將這三種語言即文字語言、符號語言和圖形語言進(jìn)行準(zhǔn)確的互譯和表達(dá)，這在空間關(guān)系的證明與判斷中顯得十分重要；

2、空間觀念和空間想象能力：高考中立體幾何題的題型功能最重要的一點(diǎn)就是考查考生的空間觀念和空間想象能力，因?yàn)槲覀兪峭ㄟ^平面圖形（直觀圖）去研究空間關(guān)系，所以同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中一定要多觀察、多思考，動(dòng)手做一些空間模型或通過電腦動(dòng)畫模擬一些空間圖形，培養(yǎng)空間概念，提高空間想象能力。

【模擬試題】

一、選擇題、在空間內(nèi)，可以確定一個(gè)平面的條件是（）

A.兩兩相交的三條直線

B.三條直線，其中的一條與另兩條分別相交

c.三個(gè)點(diǎn)

D.三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)

2、（XX遼寧卷）在正方體ABcDA1B1c1D1中，E、F分別為棱AA1、cc1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，cD都相交的直線（）

A.不存在 B.有且只有兩條

c.有且只有三條

D.有無數(shù)條

*

3、已知平面外一點(diǎn)P和平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、c。A＇、Ｂ＇、Ｃ＇分別在PA、PB、Pc上，若延長A＇Ｂ＇、Ｂ＇Ｃ＇、A＇Ｃ＇與平面分別交于D、E、F三點(diǎn)，則D、E、F三點(diǎn)（）

A.成鈍角三角形

B.成銳角三角形

c.成直角三角形

D.在一條直線上

4、空間中有三條線段AB、Bc、cD，且∠ABc＝∠BcD，那么直線AB與cD的位置關(guān)系是（）

A.平行

B.異面

c.相交

D.平行或異面或相交均有可能

5、下列敘述中正確的是（）

A.因?yàn)镻∈α，Q∈α，所以PQ∈α。

B.因?yàn)镻∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ。

c.因?yàn)?，c∈AB，D∈AB，因此cD∈α。

D.因?yàn)?，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β）。

6、已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)且α∩β＝c，那么c（）

A.至少與a，b中的一條相交；

B.至多與a，b中的一條相交；

c.至少與a，b中的一條平行；

D.與a，b中的一條平行，與另一條相交

7、已知空間四邊形ABcD中，m、N分別為AB、cD的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）

二、填空題

8、在空間四邊形ABcD中，m、N分別是Bc、AD的中點(diǎn)，則2mN與AB+cD的大小關(guān)系是。

9、對于空間中的三條直線，有下列四個(gè)條件：?三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)；?三條直線兩兩平行；?三條直線共點(diǎn)；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交。其中，能推出三條直線共面的有。

三、解答題

0、正方體ABcD-A1B1c1D1中，E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)。

?求證：cE、D1F、DA三線共點(diǎn)；

?求證：E、c、D1、F四點(diǎn)共面；

1、在正方體ABcD-A1B1c1D1中，若Q是A1c與平面ABc1D1的交點(diǎn)，求證：B、Q、D1三點(diǎn)共線。

2、如圖，已知α∩β＝a，bα，cβ，b∩a＝A，c//a.求證：b與c是異面直線。

*

13、（XX高考題改編）正方體ABcD-A1B1c1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、c1B1的中點(diǎn)，試作出正方體過P、Q、R三點(diǎn)的截面。

第三篇：高中數(shù)學(xué) 1.2《余弦定理》教案 北師大版必修5

江蘇省邳州市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué) 1.2《余弦定理（2）》教案

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.學(xué)會(huì)利用余弦定理解決有關(guān)平幾問題及判斷三角形的形狀，掌握轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想； 2.能熟練地運(yùn)用余弦定理解斜三角形；

二、過程與方法

通過對余弦定理的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生解三角形的能力及運(yùn)算的靈活性

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力； 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：利用余弦定理判斷三角形的形狀以及進(jìn)行三角恒等變形； 難點(diǎn)：利用余弦定理判斷三角形的形狀以及進(jìn)行三角恒等變形 【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：

2.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀.【授課類型】：新授課 【課時(shí)安排】：1課時(shí) 【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.余弦定理的內(nèi)容？

2.如何利用余弦定理判斷銳角、直角、鈍角？ 2.利用余弦定理可解決哪幾類斜三角形的問題？

二、研探新知，質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1（教材P在?ABC中，AM是BC邊上的中線，求證：AM?16例6）

12(AB2?AC2)?BC2 2例2（教材P15例5）在?ABC中，已知sinA?2sinBcosC，試判斷三角形的形狀

a2?b2sin(A?B)例3 在?ABC中，證明： ?sinCc2例4 已知三角形一個(gè)內(nèi)角為60，周長為20，面積為103，求三角形的三邊長。

例5三角形有一個(gè)角是60，夾這個(gè)角的兩邊之比是8：5，內(nèi)切圓的面積是12?，求這個(gè)三角形的面積。

四、鞏固深化，反饋矯正

?????????1．在?ABC中，設(shè)CB?a,AC?b，且|a|?2,|b|?3,a?b??3，則AB?_____

ab0?2.在?ABC中，已知?C?60，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，則的值等于b?cc?a???00________

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容及方法（1）知識(shí)總結(jié)：（2）方法總結(jié)：

六、承上啟下，留下懸念 1．書面作業(yè)

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

第四篇：高中數(shù)學(xué)《集合的含義及其表示》教案1 北師大必修1[模版]

1.1.1集合的含義及其表示

（一）教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生初步理解集合的基本概念，了解“屬于”關(guān)系的意義、常用數(shù)集的記法和集合中元素的特性.了解有限集、無限集、空集概念，教學(xué)重點(diǎn)：集合概念、性質(zhì)；“∈”，“ ?”的使用 教學(xué)難點(diǎn)：集合概念的理解； 課 型：新授課 教學(xué)手段： 教學(xué)過程：

一、引入課題

軍訓(xùn)前學(xué)校通知：8月15日8點(diǎn)，高一年級在體育館集合進(jìn)行軍訓(xùn)動(dòng)員；試問這個(gè)通知的對象是全體的高一學(xué)生還是個(gè)別學(xué)生？

在這里，集合是我們常用的一個(gè)詞語，我們感興趣的是問題中某些特定（是高一而不是高二）對象的總體，而不是個(gè)別的對象，為此，我們將學(xué)習(xí)一個(gè)新的概念——集合（宣布課題），即是一些研究對象的總體。

研究集合的數(shù)學(xué)理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中稱為集合論，它不僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)一個(gè)極其獨(dú)特的地位，如果把數(shù)學(xué)比作一座宏偉大廈，那么集合論就是這座宏偉大廈的基石。集合理論創(chuàng)始者是由德國數(shù)學(xué)家康托爾，他創(chuàng)造的集合論是近代許多數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)。（參看閱教材中讀材料P17）。

下面幾節(jié)課中，我們共同學(xué)習(xí)有關(guān)集合的一些基礎(chǔ)知識(shí)，為以后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

二、新課教學(xué)

“物以類聚,人以群分”數(shù)學(xué)中也有類似的分類。如：自然數(shù)的集合 0，1，2，3，??

如：2x-1>3，即x>2所有大于2的實(shí)數(shù)組成的集合稱為這個(gè)不等式的解集。如：幾何中，圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合。

1、一般地，指定的某些對象的全體稱為集合，標(biāo)記：A，B，C，D，? 集合中的每個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素，標(biāo)記：a，b，c，d，?

2、元素與集合的關(guān)系

a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作 a∈A，a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作 a?A

思考1：列舉一些集合例子和不能構(gòu)成集合的例子，對學(xué)生的例子予以討論、點(diǎn)評，進(jìn)而講解下面的問題。

例1：判斷下列一組對象是否屬于一個(gè)集合呢？（1）小于10的質(zhì)數(shù)（2）著名數(shù)學(xué)家（3）中國的直轄市（4）maths中的字母

（5）book中的字母（6）所有的偶數(shù)（7）所有直角三角形（8）滿足3x-2>x+3的全體實(shí)數(shù)（9）方程x2?x?1?0的實(shí)數(shù)解

評注：判斷集合要注意有三點(diǎn)：范圍是否確定；元素是否明確；能不能指出它的屬性。

3、集合的中元素的三個(gè)特性：

1.元素的確定性：對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。

2.元素的互異性：任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。比如：book中的字母構(gòu)成的集合

3.元素的無序性：集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。

4、數(shù)的集簡稱數(shù)集，下面是一些常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N 有理數(shù)集Q 正整數(shù)集 N*或 N+ 實(shí)數(shù)集R 整數(shù)集Z

5、集合的分類 原則：集合中所含元素的多少

①有限集 含有限個(gè)元素，如A={-2，3} ②無限集 含無限個(gè)元素，如自然數(shù)集N，有理數(shù)

③空 集 不含任何元素，如方程x+1=0實(shí)數(shù)解集。專用標(biāo)記：Φ

三、課堂練習(xí)

1、用符合“∈”或“?”填空：課本P15練習(xí)慣1

2、判斷下面說法是否正確、正確的在()內(nèi)填“√”，錯(cuò)誤的填“×”(1)所有在N中的元素都在N*中（）(2)所有在N中的元素都在Ｚ中()(3)所有不在N*中的數(shù)都不在Z中（）(4)所有不在Q中的實(shí)數(shù)都在R中（）

(5)由既在R中又在N*中的數(shù)組成的集合中一定包含數(shù)0（）(6)不在N中的數(shù)不能使方程4x＝8成立（）

四、回顧反思

1、集合的概念

2、集合元素的三個(gè)特征

其中“集合中的元素必須是確定的”應(yīng)理解為：對于一個(gè)給定的集合，它的元素的意義是明確的.“集合中的元素必須是互異的”應(yīng)理解為：對于給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的.3、常見數(shù)集的專用符號.五、作業(yè)布置

1．下列各組對象能確定一個(gè)集合嗎？（1）所有很大的實(shí)數(shù)（2）好心的人（3）1，2，2，3，4，5． 2．設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù)，那么

aa?bb32

可能取的值組成集合的元素是 33．由實(shí)數(shù)x,－x,｜x｜,x,?x所組成的集合，最多含（）（A）2個(gè)元素（B）3個(gè)元素（C）4個(gè)元素（D）5個(gè)元素 4．下列結(jié)論不正確的是()A.O∈N B.2?Q C.O?Q D.-1∈Z 5．下列結(jié)論中，不正確的是()

2A.若a∈N，則-a?N B.若a∈Z，則a∈Z C.若a∈Q，則｜a｜∈Q D.若a∈R，則3a?R 6．求數(shù)集{1，x，x-x}中的元素x應(yīng)滿足的條件； 2

板書設(shè)計(jì)（略）

第五篇：高中數(shù)學(xué) §1 正弦定理與余弦定理(1.2)教案 北師大版必修5

§1正弦定理、余弦定理

教學(xué)目的：

⑴使學(xué)生掌握正弦定理 教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的正確理解和熟練運(yùn)用

授課類型：新授課

課時(shí)安排：1課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過程：

一、引言：在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)，——提出課題：正弦定理、余弦定理

二、講解新課：

正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即abc== =2R（R為△ABC外接圓半徑）sinAsinBsinC

ab，sinB=，sinC=1cc 1．直角三角形中：sinA=

即c=abcabc，c=，c=． ∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC

2．斜三角形中

111證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA 22

21abc 兩邊同除以abc即得：== 2sinAsinBsinC證明二：（外接圓法）如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴

同理 aa??CD?2R sinAsinDbc=2R，＝2R sinBsinC證明三：（向量法）

?????????????????過A作單位向量j垂直于AC由AC+CB=AB

??????????

?????兩邊同乘以單位向量j 得 j?(AC+CB)=j?AB

則?+?=?

???????????????

∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴

ac

= sinAsinC

sinC

sinB

sinA

sinB

sinC

?????cbabc

同理，若過C作j垂直于CB得： =∴==

正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類問題：1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況: ⑴若A為銳角時(shí):

無解?a?bsinA?

一解(直角)?a?bsinA

?

bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)?

?a?b一解(銳角)?

已知邊a,b和?A

a

無解

a=CH=bsinA僅有一個(gè)解

CH=bsinA

?a?b無解

⑵若A為直角或鈍角時(shí):?

a?b一解(銳角)?

三、講解范例：

例1 已知在?ABC中，c?10,A?45,C?30,求a,b和B 解：?c?10,A?45,C?30∴B?180?(A?C)?10

5accsinA10?sin450

???2 由 得 a?0

sinAsinCsinCsin30

由

bc

?得 sinBsinC

csinB10?sin10506?20b???20sin75?20??56?52 0

sinC4sin30

例2 在?ABC中，b?3,B?600,c?1,求a和A,C

bccsinB1?sin6001解：∵?,?sinC???

sinBsinCb2?b?c,B?600,?C?B,C為銳角，?C?300,B?900

∴a?b2?c2?

2例3 ?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C

accsinA6?sin450解：? ?,?sinC???

sinAsinCa22

?csinA?a?c,?C?600或1200

csinB6sin750

?當(dāng)C?60時(shí)，B?75,b???3?1，sinCsin600

csinB6sin150

?當(dāng)C?120時(shí)，B?15,b????1 0

sinCsin60

?b??1,B?750,C?600或b?3?1,B?150,C?1200

（2010廣東理數(shù)）11.已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊，若

則sinC=

解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．

由正弦定理知，1?，sinA

3即sinA?

．由a?b知，A?B?60?，則A?30?，C?180??A?B?180??30??60??90?，sinC?sin90??

1四、課堂練習(xí)：

asinAABC中，?bsinB?c

sinC

?k,則k為() RRR(R為△ABC外接圓半徑)

ABC中，sin2A=sin2B+sin

2C，則△ABC為()

ABCcos2A中，求證：

a2?cos2Bb2?1

1a2?b

參考答案：，

?bsinB?sinAa?sinBb?(sinAa)2?(sinBb)2

?sin2Aa2?sin2B

1?cos2Ab

?a2?1?cos2Bb2 ?

cos2Acosa2?2Bb2?1a2?1

b2

五、小結(jié)正弦定理，兩種應(yīng)用

六、課后作業(yè)： sinAABC中，已知

sinC?sin(A?B)sin(B?C)，求證：a2，b2，c

2證明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）

cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C

2?

1?cos2B1?cos2A1?cos2B22?2?2

∴2sinB＝sin2A＋sin2

C由正弦定理可得2b2

＝a2

＋c2

即a2，b2，c2

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

第二課時(shí)：教材P46頁例

1、例

2、例3

