不定方程與不定方程組

教學(xué)目標(biāo)

1.利用整除及奇偶性解不定方程

2.不定方程的試值技巧

3.學(xué)會(huì)解不定方程的經(jīng)典例題

知識(shí)精講

一、知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明

歷史概述

不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一．古希臘的丟番圖早在公元世紀(jì)就開(kāi)始研究不定方程，因此常稱(chēng)不定方程為丟番圖方程．中國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家，公元初的五家共井問(wèn)題就是一個(gè)不定方程組問(wèn)題，公元世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問(wèn)題標(biāo)志著中國(guó)對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究．宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來(lái)．

考點(diǎn)說(shuō)明

在各類(lèi)競(jìng)賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方法貫穿在行程問(wèn)題、數(shù)論問(wèn)題等壓軸大題之中．在以后初高中數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用不定方程這個(gè)工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這個(gè)工具解題。

二、不定方程基本定義

1、定義：不定方程（組）是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的方程（組）。

2、不定方程的解：使不定方程等號(hào)兩端相等的未知數(shù)的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解決三個(gè)問(wèn)題：①判斷何時(shí)有解；②有解時(shí)確定解的個(gè)數(shù)；③求出所有的解

三、不定方程的試值技巧

1、奇偶性

2、整除的特點(diǎn)（能被2、3、5等數(shù)字整除的特性）

3、余數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（和、差、積的性質(zhì)及同余的性質(zhì)）

例題精講

模塊一、利用整除性質(zhì)解不定方程

【例

1】

求方程

2x－3y＝8的整數(shù)解

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

方法一：由原方程，易得

2x＝8＋3y，x＝4＋y，因此，對(duì)y的任意一個(gè)值，都有一個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，并且，此時(shí)x與y的值必定滿(mǎn)足原方程，故這樣的x與y是原方程的一組解，即原方程的解可表為：，其中k為任意數(shù)．說(shuō)明

由y取值的任意性，可知上述不定方程有無(wú)窮多組解．

方法二：根據(jù)奇偶性知道2x是偶數(shù)，8為偶數(shù)，所以若想2x－3y＝8成立，y必為偶數(shù)，當(dāng)y＝0，x＝4；當(dāng)y＝2，x＝7；當(dāng)y＝4，x＝10……，本題有無(wú)窮多個(gè)解。

【答案】無(wú)窮多個(gè)解

【鞏固】

求方程2x＋6y＝9的整數(shù)解

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因?yàn)?x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不論x和y取何整數(shù)，都有2|2x＋6y，但29，因此，不論x和y取什么整數(shù)，2x＋6y都不可能等于9，即原方程無(wú)整數(shù)解．

說(shuō)明：此題告訴我們并非所有的二元一次方程都有整數(shù)解。

【答案】無(wú)整數(shù)解

【例

2】

求方程4x＋10y＝34的正整數(shù)解

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因?yàn)?與10的最大公約數(shù)為2，而2|34，兩邊約去2后，得

2x＋5y＝17，5y的個(gè)位是0或5兩種情況，2x是偶數(shù)，要想和為17，5y的個(gè)位只能是5，y為奇數(shù)即可；2x的個(gè)位為2，所以x的取值為1、6、11、16……

x＝1時(shí)，17－2x＝15，y＝3，x＝6時(shí)，17－2x＝

5，y＝1，x＝11時(shí)，17－2x＝17

－22，無(wú)解

所以方程有兩組整數(shù)解為：

【答案】

【鞏固】

求方程3x＋5y＝12的整數(shù)解

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由3x＋5y＝12，3x是3的倍數(shù)，要想和為12（3的倍數(shù)），5y也為3的倍數(shù)，所以y為3的倍數(shù)即可，所以y的取值為0、3、6、9、12……

y＝0時(shí)，12－5y＝12，x＝4，x＝3時(shí)，12－5y＝12－15，無(wú)解

所以方程的解為：

【答案】

【鞏固】

解不定方程：（其中x,y均為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

方法一：2x是偶數(shù)，要想和為40（偶數(shù)），9y也為偶數(shù)，即y為偶數(shù)，也可以化簡(jiǎn)方程，知道y為偶數(shù)，所以方程解為：

【答案】

模塊二、利用余數(shù)性質(zhì)解不定方程

【例

3】

求不定方程的正整數(shù)解有多少組？

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

本題無(wú)論或是，情況都較多，故不可能逐一試驗(yàn)．檢驗(yàn)可知1288是7的倍數(shù)，所以也是7的倍數(shù)，則是7的倍數(shù)．

設(shè)，原方程可變?yōu)?，可以?，2，3，……16．由于每一個(gè)的值都確定了原方程的一組正整數(shù)解，所以原方程共有16組正整數(shù)解．

【答案】16組

【例

4】

求方程3x＋5y＝31的整數(shù)解

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

方法一：利用歐拉分離法，由原方程，得

x＝，即

x＝10－2y＋，要使方程有整數(shù)解必須為整數(shù)．

取y＝2，得x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2

當(dāng)y＝5，得x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5

當(dāng)y＝8，得x＝10－2y＋＝10－16＋3無(wú)解

所以方程的解為：

方法二：利用余數(shù)的性質(zhì)

3x是3的倍數(shù)，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根據(jù)這個(gè)情況用余數(shù)的和與乘積性質(zhì)進(jìn)行判定為：

取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）

y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合題意）

y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）

y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）

y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合題意）

y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）

當(dāng)y＞6時(shí)，結(jié)果超過(guò)31，不符合題意。

所以方程的解為：

【答案】

【鞏固】

解方程，（其中x、y均為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

方法一：，4y是4的倍數(shù)，和89除以4余1，所以7x除以4余1（7÷4≡3），可以看成3x除以4余1，根據(jù)這個(gè)情況用余數(shù)的和與乘積性質(zhì)進(jìn)行判定為（x＜13）

x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍）

x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍）

x＝3，3x＝9，9÷4≡1（符合題意）

x＝4，3x＝12，12÷4≡0（舍）

x＝5，3x＝15，15÷4≡3（舍）

x＝6，3x＝18，18÷4≡2（舍）

x＝7，3x＝21，21÷4≡1（符合題意）

x＝8，3x＝24，24÷4≡0（舍）

x＝9，3x＝27，27÷4≡3（舍）

x＝10，3x＝30，30÷4≡2（舍）

x＝11，3x＝33，33÷4≡1（符合題意）

x＝12，3x＝36，36÷4≡0（舍）

所以方程的解為：

方法二：利用歐拉分離法，由原方程，的取值為4的倍數(shù)即可，所以方程的解為：

【答案】

模塊三、解不定方程組

【例

5】

解方程

（其中a、b、c均為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)等式的性質(zhì)將第一個(gè)方程整理得，根據(jù)消元的思想將第二個(gè)式子擴(kuò)大4倍相減后為：，整理后得，根據(jù)等式性質(zhì)，為偶數(shù)，20為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)解。所以方程解為

【答案】

【例

6】

解不定方程

(其中x、y、z均為正整數(shù))

【考點(diǎn)】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)等式的性質(zhì)將第一個(gè)方程整理得，根據(jù)消元思想與第二個(gè)式子相減得，根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)除以2得：，根據(jù)等式性質(zhì)為4的倍數(shù)，100為4的倍數(shù)，所以為4的倍數(shù)，所以為4的倍數(shù)試值如下

【答案】