方程組解法綜合教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)會(huì)用帶入消元和加減消元法解方程組

2.熟練掌握解方程組的方法并用到以后做題

知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)說明：

一、方程的歷史

同學(xué)們，你們知道古代的方程到底是什么樣子的嗎？公元

263

年，數(shù)學(xué)家劉徽所著《九章算術(shù)》一書里有一個(gè)例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”劉徽列出的“方程”如圖所示。

方程的英語(yǔ)是

equation，就是“等式”的意思。清朝初年，中國(guó)的數(shù)學(xué)家把

equation

譯成“相等式”，到清朝咸豐九年才譯成“方程”。從這時(shí)候起，“方程”這個(gè)詞就表示“含有未知數(shù)的等式”，而劉徽所說的“方程”就叫做“方程組”了。

二、學(xué)習(xí)方程的目的使用方程有助于解決數(shù)學(xué)難題，作為代數(shù)學(xué)最基本內(nèi)容，方程的學(xué)習(xí)和使用不但能為未來(lái)初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，同時(shí)能夠?qū)⒊橄髷?shù)學(xué)直觀表達(dá)出來(lái)，能夠幫助學(xué)生更好的理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。

三、解二元一次方程組的一般方法

解二元一次方程的關(guān)鍵的步驟：是消元，即將二元一次方程或多元一次方程化為一元一次方程。

消元方法：代入消元法和加減消元法

代入消元法：

⒈

取一個(gè)方程，將它寫成用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，記作方程①；

⒉

將①代入另一個(gè)方程，得一元一次方程；

⒊

解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；

⒋

將這個(gè)未知數(shù)的值代入①，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，從而得到方程組的解．

加減消元法：

⒈

變形、調(diào)整兩條方程，使某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等（類似于通分）；

⒉

將兩條方程相加或相減消元；

⒊

解一元一次方程；

⒋

代入法求另一未知數(shù)．

加減消元實(shí)際上就是將帶系數(shù)的方程整體代入．

例題精講

模塊一、二元一次方程組

【例

1】

解方程（為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】二元一次方程組

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

方法二：解

代入消元法，由得到，代入方程中，得到，整理得，所以，所以方程的解為

【答案】

【例

2】

解方程（為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】二元一次方程組

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

方法一：加減消元法

化的系數(shù)相同，加減消元法計(jì)算得

去括號(hào)和并同類項(xiàng)得

方法二：代入消元法由得到，代入方程中得到，整理得，所以方程解為

【答案】

【例

3】

解方程組（為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】二元一次方程組

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

加減消元，若想消掉，應(yīng)將的系數(shù)統(tǒng)一，因?yàn)椋缘谝粋€(gè)方程應(yīng)該擴(kuò)大2倍，第二個(gè)式子應(yīng)該擴(kuò)大5倍，又因?yàn)榈南禂?shù)符號(hào)不同，所以應(yīng)該用加消元，計(jì)算結(jié)果如下：，得，所以，解得。

【答案】

【例

4】

解方程組（為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】二元一次方程組

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

將第一個(gè)式子擴(kuò)大2倍和二式相減得，去括號(hào)整理解得，所以方程的解為

【例

5】

解方程組（為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】二元一次方程組

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

對(duì)第一個(gè)方程去括號(hào)整理，根據(jù)等式的性質(zhì)將第二個(gè)式子擴(kuò)倍變成正式進(jìn)行整理得：，若想消掉，將方程二擴(kuò)大3倍，又因?yàn)榈南禂?shù)符號(hào)不同，所以應(yīng)該用加消元，計(jì)算結(jié)果如下：，去括號(hào)整理得，解得，所以方程的解為

【例

6】

【答案】解下面關(guān)于、的二元一次方程組：

【考點(diǎn)】二元一次方程組

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

整理這個(gè)方程組里的兩個(gè)方程，可以得到：，可以看出，兩個(gè)方程是不可能同時(shí)成立的，所以這是題目本身的問題，無(wú)解

【答案】無(wú)解

【例

7】

解方程組（為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】二元一次方程組

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

本題需要同學(xué)能夠利用整體思想進(jìn)行解題，將與看出相應(yīng)的未知數(shù)，因?yàn)槊恳豁?xiàng)的分母不同，所以先將分母系數(shù)化成同樣的，所以第二個(gè)式子等號(hào)兩邊同時(shí)乘以2整理得：，去括號(hào)整理后得到，根據(jù)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)計(jì)算得，所以方程的解為：

模塊二、多元一次方程

【例

8】

解方程組（為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】二元一次方程組

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

觀察的系數(shù)發(fā)現(xiàn)，第二個(gè)式子與第三個(gè)式子中的系數(shù)是3倍關(guān)系，所以將第二個(gè)式子擴(kuò)大3倍與第三個(gè)式子相減得到：，去括號(hào)整理得，與第一個(gè)式子整理得，若想消掉，因?yàn)?，所以第一個(gè)方程應(yīng)該擴(kuò)大5倍，第二個(gè)式子應(yīng)該擴(kuò)大2倍，又因?yàn)榈南禂?shù)符號(hào)相同，所以應(yīng)該用減消元，計(jì)算結(jié)果如下：，去括號(hào)整理得，所以方程解為

【鞏固】

解方程組（為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】二元一次方程組

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

將一式與二式相減得去括號(hào)整理后得；將二式擴(kuò)大2倍與三式相減得，去括號(hào)整理后得；最后將兩式相加計(jì)算結(jié)果如下：，整理得，所以方程的解為：

【例

9】

解方程組（為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】二元一次方程組

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

將5個(gè)式子相加得，將1式與2式相加得，將2式與3式相加得，同理連續(xù)相加得到，整理后解為

【答案】