三　因數(shù)與倍數(shù)

一、因數(shù)和倍數(shù)

1.因數(shù)和倍數(shù)的意義。

在a×b=c(a,b,c均是非0的自然數(shù))中,a和b是c的因數(shù),c是a和b的倍數(shù)。如3×4=12中,12是4和3的倍數(shù),4和3是12的因數(shù)。

2.因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系。

因數(shù)和倍數(shù)是不能單獨(dú)存在的,它們是互相依存的關(guān)系。不能說誰是因數(shù),也不能說誰是倍數(shù)。應(yīng)該說誰是誰的因數(shù),誰是誰的倍數(shù)。

3.找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法。

(1)列乘法算式找,有序地寫出兩個(gè)整數(shù)相乘得這個(gè)數(shù)的所有乘法算式,相乘的兩個(gè)數(shù)都是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。

(2)列除法算式找,用這個(gè)數(shù)分別除以大于等于1且小于等于它本身的所有整數(shù),所得的商是整數(shù)且沒有余數(shù),這些除數(shù)和商都是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。

4.表示一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法。

(1)列舉法。

6的因數(shù):1,2,3,6。

(2)集合法。

6的因數(shù)

5.一個(gè)數(shù)的因數(shù)的特征。

一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的,其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身。

6.找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法。

用這個(gè)數(shù)依次與非0的自然數(shù)相乘,所得的積都是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

7.一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的表示方法。

(1)列舉法。(2)集合法。

8.一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的特征。

一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的,最小的倍數(shù)是它本身,沒有最大的倍數(shù)。

二、2、5和3的倍數(shù)的特征

1.5的倍數(shù)的特征。

個(gè)位上是5或0的數(shù),如5,10,15,20,25,…

2.2的倍數(shù)的特征。

個(gè)位上是2、4、6、8或0的數(shù),如4,10,18,226,…

3.既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)。

個(gè)位上是0的數(shù)既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù),如10,20,30,…

4.奇數(shù)和偶數(shù)。

是2的倍數(shù)的數(shù)叫作偶數(shù),不是2的倍數(shù)的數(shù)叫作奇數(shù)。

5.3的倍數(shù)的特征。

一個(gè)數(shù)各位上數(shù)的和是3的倍數(shù),這個(gè)數(shù)一定是3的倍數(shù)。

6.既是5、2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)的特征。

個(gè)位上是0,且各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)的數(shù),既是5、2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)。

三、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)

1.質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義。

一個(gè)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù),像這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)(或素?cái)?shù));一個(gè)數(shù)除了1和它本身還有別的因數(shù),像這樣的數(shù)叫作合數(shù)。

2.質(zhì)數(shù)和合數(shù)的特點(diǎn)。

質(zhì)數(shù)和合數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的,沒有最大的質(zhì)數(shù)和合數(shù),只有最小的質(zhì)數(shù)和合數(shù),最小的質(zhì)數(shù)是2,最小的合數(shù)是4。

3.判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的方法。

只需要看這個(gè)數(shù)除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)外,是否還有其他的因數(shù)。如果沒有,這個(gè)數(shù)就是質(zhì)數(shù);如果有,這個(gè)數(shù)就是合數(shù)。

4.質(zhì)數(shù)、合數(shù)和奇數(shù)、偶數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。

奇數(shù)、偶數(shù)看個(gè)位,質(zhì)數(shù)、合數(shù)查因數(shù)。除2以外的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù),除2以外的偶數(shù)都是合數(shù)。

5.質(zhì)因數(shù)。

如果一個(gè)數(shù)的因數(shù)是質(zhì)數(shù),這個(gè)因數(shù)就是它的質(zhì)因數(shù)。

6.分解質(zhì)因數(shù)。

把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來,叫作分解質(zhì)因數(shù)。

7.質(zhì)因數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)的區(qū)別。

質(zhì)因數(shù)是一個(gè)具體的數(shù),它必須滿足兩個(gè)條件:

(1)這個(gè)數(shù)是一個(gè)質(zhì)數(shù);

(2)這個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)不是一個(gè)具體的數(shù),而是把一個(gè)合數(shù)分解成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式的過程。

8.分解質(zhì)因數(shù)的方法。

(1)枝狀圖分解法。如分解合數(shù)42,先把42分解成兩個(gè)數(shù)相乘的形式,再將分解出的合數(shù)再分解成兩個(gè)數(shù)相乘的形式,直至所有的因數(shù)都是質(zhì)數(shù)為止。最后把每個(gè)質(zhì)數(shù)寫成連乘的形式,過程如下:

(2)短除法。

①先把要分解的合數(shù)寫在短除號(hào)“”里。

②再用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)依次去除,一般從最小的質(zhì)數(shù)開始,直到商是質(zhì)數(shù)為止。

③最后把每個(gè)除數(shù)和最后的商寫成連乘的形式。如分解合數(shù)42的過程如下:

分解質(zhì)因數(shù)的書寫方法:先寫合數(shù),再在合數(shù)的右邊寫等號(hào),最后把每個(gè)除數(shù)和最后的商用連乘的形式寫在等號(hào)的右邊,如42=2×3×7。

四、公因數(shù)和最大公因數(shù)

1.公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義。

幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù),叫作這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù),其中最大的公因數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。

2.求兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)的方法。

可以用列舉法分別找出每個(gè)數(shù)的因數(shù),再找出兩個(gè)數(shù)的公因數(shù);也可以先找出一個(gè)數(shù)的因數(shù),再從這些因數(shù)中找出另一個(gè)數(shù)的因數(shù),從而找出這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)。

五、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)

1.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的意義。

幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個(gè)就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。

2.求兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的方法。

可以分別列舉出這兩個(gè)數(shù)的若干個(gè)倍數(shù),再從中找出這兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù);也可以先列舉出較大數(shù)的若干個(gè)倍數(shù),再從這些倍數(shù)中找出較小數(shù)的倍數(shù),從而找出這兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。

易錯(cuò)提示:因?yàn)?乘任何數(shù)都得0,所以在研究因數(shù)與倍數(shù)時(shí),所說的數(shù)一般是指不是0的自然數(shù)。

方法提示:兩個(gè)相同的數(shù)相乘得一個(gè)數(shù),在表示這個(gè)數(shù)的因數(shù)時(shí)只寫一個(gè)。如在找16的因數(shù)時(shí),因?yàn)?×16=16,2×8=16,4×4=16,所以16的因數(shù)有1,2,4,8,16。

重點(diǎn)提示:一個(gè)數(shù)的倍數(shù)都大于或等于它本身,而因數(shù)都小于或等于它本身。

易錯(cuò)提示:個(gè)位上是1、3、7、9的數(shù)一定不是2或5的倍數(shù)。

重點(diǎn)提示:奇數(shù)和偶數(shù)是通過看一個(gè)數(shù)是不是2的倍數(shù)來區(qū)分的,同時(shí)注意“0”也是偶數(shù)。

易錯(cuò)提示:3的倍數(shù)也可以是偶數(shù)。

重點(diǎn)提示:因?yàn)?的因數(shù)只有1個(gè),不符合質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義,所以1既不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)。

方法提示:判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)和還是合數(shù),關(guān)鍵看這個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)。

舉例說明:把28用幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來:

28=7×2×2

重點(diǎn)提示:在分解的過程中,先用合數(shù)除以最小的質(zhì)數(shù)2,如果不能除盡,再除以質(zhì)數(shù)3、5、7……

重點(diǎn)提示:短除法是除法的簡化,“”是短除符號(hào),相當(dāng)于除法中的除號(hào)。

易錯(cuò)提示:分解質(zhì)因數(shù)時(shí),短除式中的除數(shù)和商都不能為1。

重點(diǎn)提示:因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的,所以幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)也是有限的。

重點(diǎn)提示:如果兩個(gè)數(shù)存在倍數(shù)關(guān)系,那么較小的數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

重點(diǎn)提示:因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的,所以幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)也是無限的。

重點(diǎn)提示:如果兩個(gè)數(shù)存在倍數(shù)關(guān)系,那么較大的數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。