九年級第二十六章

反比例函數(shù)

姓名：___________班級：___________

一、單選題

1．下列各點中，在反比例函數(shù)圖象上的是

A．（－1，8）

B．（－2，4）

C．（1，7）

D．（2，4）

【答案】D

【分析】

由于反比例函數(shù)y=中，k=xy，即將各選項橫、縱坐標(biāo)分別相乘，其積為8者即為正確答案．

【詳解】

解：A、∵-1×8=-8≠8，∴該點不在函數(shù)圖象上，故本選項錯誤；

B、∵-2×4=-8≠8，∴該點不在函數(shù)圖象上，故本選項錯誤；

C、∵1×7=7≠8，∴該點不在函數(shù)圖象上，故本選項錯誤；

D、2×4=8，∴該點在函數(shù)圖象上，故本選項正確．

故選D．

【點睛】

考核知識點：反比例函數(shù)定義.2．在反比例函數(shù)中，自變量的取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．全體實數(shù)

【答案】A

【解析】分析：根據(jù)分母不等于0列式求解即可．

解答：解：根據(jù)題意x≠0．

故選A．

點評：本題考查了自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：

（1）當(dāng)函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

（2）當(dāng)函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當(dāng)函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．

3．下列函數(shù)中，屬于反比例函數(shù)的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】一般地，如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=（k為常數(shù)，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)．

解：A、y=是正比例函數(shù)，故本選項錯誤；

B、符號反比例函數(shù)的定義，故本選項正確；

C、y=2+3x是一次函數(shù)，故本選項錯誤；

D、y=2+3x2是二次函數(shù)，故本選項錯誤．

故選B．

4．對于反比例函數(shù)，下列說法中正確的是（）

A．點(?2,1)在它的圖象上

B．它的圖象在第二、四象限

C．它的圖象經(jīng)過原點

D．當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，k=2＞0，函數(shù)位于一、三象限，在每一象限y隨x的增大而減?。?/p>

【詳解】

A.把點(?2,1)代入反比例函數(shù)得2=?2不成立，故選項錯誤；

B.∵k=2>0，∴它的圖象在第一、三象限，故選項錯誤；

C.∵x≠0，它的圖象不經(jīng)過原點，故選項錯誤；

D.當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小，故選項正確.故選D.【點睛】

此題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì).5．如圖，反比例函數(shù)（）的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點和點，當(dāng)時，的取值范圍是（）．

A．

B．或

C．

D．或

【答案】D

【解析】

當(dāng)時，即橫坐標(biāo)相等時對應(yīng)的縱坐標(biāo)反比例函數(shù)大于一次函數(shù)，根據(jù)圖像可得：或.故選D.6．已知直線y=ax（a≠0）與雙曲線的一個交點坐標(biāo)為（2，6），則它們的另一個交點坐標(biāo)是（）

A．（﹣2，6）

B．（﹣6，﹣2）

C．（﹣2，﹣6）

D．（6，2）

【答案】C

【解析】

∵直線y=ax（a≠0）與雙曲線的圖象均關(guān)于原點對稱，∴它們的另一個交點坐標(biāo)與（2，6）關(guān)于原點對稱．

∵關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，∴它們的另一個交點坐標(biāo)為：（﹣2，﹣6）．故選C．

7．如圖，P是反比例函數(shù)y＝的圖象上一點，過點P分別向x軸，y軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的面積為6，則這個反比例函數(shù)的表達式為()

A．y＝－

B．y＝

C．y＝－

D．y＝

【答案】A

【解析】由函數(shù)圖象可得：|k|=6，又函數(shù)圖象位于二、四象限，k＜0，則k=-6，因此，該反比例函數(shù)的表達式為y＝－．

故選A．

8．如圖所示，在的圖象上有兩點，．過這兩點分別向軸引垂線，交軸于，兩點．連接，記，的面積分別為，則有（）

A．

B．

C．

D．不能確定

【答案】B

【解析】

【分析】

易得△AOC和△OBD的面積相等,都減去公共部分的面積可得,的大小關(guān)系.【詳解】

解:

設(shè)點A的坐標(biāo)為

(x,y),點B的坐標(biāo)為(a,b),A、B在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,xy=2,ab=2,=1;=1.=,-

=-,即=.故選B.【點睛】

本題主要考查反比例函數(shù)的比例系數(shù)的意義;突破點是得到△AOC和△OBD的面積相等.用到的知識點為:

在反比例函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標(biāo)的積等于反比例函數(shù)的比例系數(shù).9．一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如左圖所示，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能是()

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題中給出的函數(shù)圖像結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)得出a＜0，b＞0，再由反比例函數(shù)圖像性質(zhì)得出c＜0，從而可判斷二次函數(shù)圖像開口向下，對稱軸：＞0，即在y軸的右邊，與y軸負半軸相交，從而可得答案.【詳解】

解：∵一次函數(shù)y=ax+b圖像過一、二、四，∴a＜0，b＞0，又∵反比例

函數(shù)y=圖像經(jīng)過二、四象限，∴c＜0，∴二次函數(shù)對稱軸：＞0，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像開口向下，對稱軸在y軸的右邊，與y軸負半軸相交，故答案為B.【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖形，一次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、與y軸的交點坐標(biāo)等確定出a、b、c的情況是解題的關(guān)鍵．

10．如圖，點在反比例函數(shù)，的圖像上，點在反比例函數(shù)的圖像上，軸于點．且，則的值為（）

A．-3

B．-6

C．2

D．6

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，可知S△AOM，S△BOM=||，則S△AOM：S△BOM=3：|k|，再根據(jù)同底的兩個三角形面積之比等于高之比，得出S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，則3：|k|=1：2，然后根據(jù)反比例函數(shù)的圖象所在的象限，即可確定k的值．

【詳解】

∵點A在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上，點B在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上，AB⊥x軸于點M，∴S△AOM，S△BOM=||，∴S△AOM：S△BOM：||=3：|k|．

∵S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，∴3：|k|=1：2，∴|k|=6．

∵反比例函數(shù)的圖象在第四象限，∴k＜0，∴k=﹣6．

故選B．

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)y的比例系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，難度中等，得到3：|k|=1：2，是解題的關(guān)鍵．

二、填空題

11．已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)x=3時，y=9，則函數(shù)解析式是________．

【答案】

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的定義設(shè)出表達式，再利用待定系數(shù)法解出系數(shù)則可得答案．

【詳解】

設(shè)，∵x=3時，y=9，∴9=，解得：，∴函數(shù)解析式是．

故答案為：

【點睛】

本題考查了運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達式，屬于基礎(chǔ)題型．

12．已知點A(2，-3)和B(-1，m)均在雙曲線(k為常數(shù)，且k≠0)上，則m=__．

【答案】6

【分析】

先根據(jù)點A的坐標(biāo)求出雙曲線的解析式，然后將點B代入雙曲線解析式中即可求解．

【詳解】

∵點在雙曲線(k為常數(shù)，且k≠0)上，解得，．

∵點在雙曲線(k為常數(shù)，且k≠0)上，．

故答案為：6．

【點睛】

本題主要考查根據(jù)反比例函數(shù)解析式求函數(shù)值，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．

13．反比例函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而增大，則__

【答案】-1

【解析】

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的一般形式，可以得到的次數(shù)是；根據(jù)當(dāng)時，隨的增大而增大，可以得到比例系數(shù)是負數(shù)，即可求得．

【詳解】

根據(jù)題意得：，解得：．

故答案為

【點睛】

考查了反比例函數(shù)的一般形式以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確理解函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．

14．反比例函數(shù)的圖象的兩個分支分別別位于第二、四象限，則m的取值范圍是____________________.【答案】矩形

【解析】答案為：m＜

根據(jù)反比函數(shù)圖象的性質(zhì)，當(dāng)k＜0時，圖象在第二、四象限，即可求出m的取值范圍．

解：∵y=，其圖象的兩個分支分別位于第二、四象限，∴2m-1＜0，解得：m＜，故答案為：m＜．

考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，主要掌握①、當(dāng)k＞0時，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k＜0時，圖象分別位于第二、四象限．②、當(dāng)k＞0時，在同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k＜0時，在同一個象限，y隨x的增大而增大．

15．在函數(shù)的圖象上有三點（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3），則函數(shù)值y1、y2、y3的大小關(guān)系為_____．

【答案】y3＜y1＜y2

【分析】

分別計算自變量為-3、-2、1代入的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值的大小即可．

【詳解】

解：當(dāng)x=-3時，y1=-,當(dāng)x=-2時，y2

當(dāng)x=1時，y3=

所以，y3＜y1＜y2．

故答案為：y3＜y1＜y2

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=

（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=（x＞0，常數(shù)k＞0）的圖象經(jīng)過點A（1，2），B（m，n），（m＞1），過點B作y軸的垂線，垂足為C．若△ABC的面積為2，則點B的坐標(biāo)為____________．

【答案】

【解析】

考點：反比例函數(shù)綜合題．

分析：由于函數(shù)（x＞0常數(shù)k＞0）的圖象經(jīng)過點A（1，2），把（1，2）代入解析式即可確定k=2，依題意BC=m，BC邊上的高是2-n=“2-“，根據(jù)三角形的面積公式得到關(guān)于m的方程，解方程即可求出m，然后把m的值代入y=，即可求得B的縱坐標(biāo)，最后就求出點B的坐標(biāo)．

解：∵函數(shù)y=（x＞0常數(shù)k＞0）的圖象經(jīng)過點A（1，2），∴把（1，2）代入解析式得2=，∴k=2，∵B（m，n）（m＞1），∴BC=m，當(dāng)x=m時，n=，∴BC邊上的高是2-n=2-，而S△ABC=m（2-）=2，∴m=3，∴把m=3代入y=，∴n=，∴點B的坐標(biāo)是（3，）．

故填答案：（3，）．

17．如圖，已知等邊，頂點在雙曲線上，點的坐標(biāo)為（2，0）．過作，交雙曲線于點，過作交軸于，得到第二個等邊．過作交雙曲線于點，過作交軸于點得到第三個等邊；以此類推，…，則點的坐標(biāo)為______，的坐標(biāo)為______．

【答案】（2，0），（2，0）．

【分析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征分別求出B2、B3、B4的坐標(biāo)，得出規(guī)律，進而求出點Bn的坐標(biāo)．

【詳解】

解：如圖，作A2C⊥x軸于點C，設(shè)B1C=a，則A2C=a，OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）．

∵點A2在雙曲線上，∴（2+a）?a=，解得a=-1，或a=--1（舍去），∴OB2=OB1+2B1C=2+2-2=2，∴點B2的坐標(biāo)為（2，0）；

作A3D⊥x軸于點D，設(shè)B2D=b，則A3D=b，OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）．

∵點A3在雙曲線y=（x＞0）上，∴（2+b）?b=，解得b=-+，或b=--（舍去），∴OB3=OB2+2B2D=2-2+2=2，∴點B3的坐標(biāo)為（2，0）；

同理可得點B4的坐標(biāo)為（2，0）即（4，0）；

以此類推…，∴點Bn的坐標(biāo)為（2，0），故答案為（2，0），（2，0）．

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，正確求出B2、B3、B4的坐標(biāo)進而得出點Bn的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

三、解答題

18．當(dāng)m為何值時，函數(shù)是反比例函數(shù)？

【答案】.【解析】

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的定義知2-|m|=-1，m+3≠0，據(jù)此可以求得m的值；

【詳解】

解：因為函數(shù)是反比例函數(shù)，所以且，解得：且，故.【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的定義．關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的關(guān)系式形式．

19．已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過直線上的點，求m和k的值

【答案】；．

【分析】

先將P點坐標(biāo)代入直線解析式可求出m值，進而可得P點坐標(biāo)，再將P點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可得k的值．

【詳解】

把，代入的左右兩邊解得；

把，代入的左右兩邊解得．

【點睛】

本題主要考查了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式求出點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

20．已知反比例函數(shù)（）的圖像經(jīng)過點A（2，3）.(1)求函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)x＝－4時，求反比例函數(shù)的值.【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）利用待定系數(shù)法把A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）可得k的值，進而得到反比例函數(shù)解析式；

（2）將x=-4代入，即可求出y的值．

【詳解】

（1）∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點A（2，3），∴,∴解析式為

（2）當(dāng)時，.【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握待定系數(shù)法求得一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．

21．已知函數(shù)y＝（m﹣2）是一個反比例函數(shù)．

（1）求m的值；

（2）它的圖象位于哪些象限；

（3）當(dāng)時，求函數(shù)值y的取值范圍．

【答案】（1）m＝﹣2；（2）反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限；（3）﹣8≤y≤﹣2．

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)反比例函數(shù)的定義列出有關(guān)m的方程求得m的值即可；

（2）根據(jù)求得的反比例函數(shù)的解析式確定其圖象的位置；

（3）代入x的值求得函數(shù)值，即可確定y的取值范圍．

【詳解】

（1）∵函數(shù)y＝（m﹣2）是一個反比例函數(shù)，∴m2﹣5＝﹣1，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2；

（2）∵m＝﹣2，∴m﹣2＝﹣4＜0，∴反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限；

（3）當(dāng)x＝時，y＝﹣4÷＝﹣8；

當(dāng)x＝2時，y＝﹣4÷2＝﹣2，故y的取值范圍是﹣8≤y≤﹣2．

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的定義及反比例函數(shù)的性質(zhì)，能夠確定反比例函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．

22．已知y＝y(tǒng)1-y2，y1與x+2成正比例，y2與x2成反比例．當(dāng)x＝-1時，y＝－2；當(dāng)x＝1時，y＝2．

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)x＝時，求y的值

【答案】（1）

；（2）-11

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)正比例和反比例的定義，設(shè)y1=a（x+2），y2=，則y=

a（x+2）-，再把兩組對應(yīng)值代入得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程組求出a、b的值即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）計算自變量為的函數(shù)值即可．

【詳解】

（1）設(shè)y1=

a（x+2），y2=，則y=

a（x+2）-，把x=﹣1，y=-2；x=1，y=2分別代入得，解得，所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系為；

（2）當(dāng)x＝時，.【點睛】

本題考查正比例和反比例的定義，以及列方程組和解方程組的能力，屬于較易題目.23．如圖，直線y＝x與雙曲線y＝

(k＞0)交于A、B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為4.(1)求k的值；

(2)若雙曲線y＝

(k＞0)上一點C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積．

【答案】（1）8；（2）15.【詳解】

解：(1)∵點A的橫坐標(biāo)為4，點A在直線y＝x上，∴點A的縱坐標(biāo)為y＝×4＝2，即A(4，2)．

又∵點A(4，2)在雙曲線y＝上，∴k＝2×4＝8；

(2)∵點C在雙曲線y＝上，且點C縱坐標(biāo)為8，∴C(1，8)．

如圖，過點C作CM⊥x軸于M，過點A作AN⊥x軸于N.∵S△COM＝S△AON＝＝4，∴S△AOC＝S四邊形CMNA＝×(|yA|＋|yC|)×(|xA|－|xc|)＝15.【點睛】

主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義.這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,做此類題一定要正確理解k的幾何意義.24．如圖，已知，是一次函數(shù)

和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）求的面積；

（3）直接寫出關(guān)于的不等式的解集．

【答案】（1），y＝－2x＋2；（2）S△ABO＝3；（3）x＜?1或0＜x＜2．

【分析】

（1）用待定系數(shù)法即可求解；

（2）設(shè)直線與y軸的交點為C，則的面積可分△AOC和△BOC兩部分，分別都以O(shè)C為底、以A、B兩點的橫坐標(biāo)的絕對值為高，即可求得；

（3）觀察函數(shù)圖象即可求解．

【詳解】

解：（1）∵A（n，?2），B（?1，4）是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象的兩個交點，∴4＝，得m＝?4，∴y＝?，∴?2＝?，解得n＝2．

∴點A（2，?2），∴，解得：，∴一次函數(shù)解析式為y＝?2x＋2，即反比例函數(shù)解析式為y＝?，一次函數(shù)解析式為y＝?2x＋2；

（2）設(shè)直線與y軸的交點為C，當(dāng)x＝0時，y＝?2×0＋2＝2．

∴點C的坐標(biāo)是（0，2）．

∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×1＝3；

（3）觀察函數(shù)圖象得，不等式kx＋b＞時，x的取值范圍為：x＜?1或0＜x＜2，故答案為：x＜?1或0＜x＜2．

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，當(dāng)有兩個函數(shù)的時候，著重使用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強．

25．為了預(yù)防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成為正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例(如圖)，現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量6毫克，請根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題：

（1）藥物燃燒時與藥物燃燒后，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

（2）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進辦公室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過幾分鐘后，員工才能回到辦公室；

（3）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？

【答案】（1）；（2）至少需要30分鐘；（3）消毒有效，理由見解析

【分析】

（1）藥物燃燒時，設(shè)出y與x之間的解析式y(tǒng)=k1x，把點（8，6）代入即可，從圖上讀出x的取值范圍；藥物燃燒后，設(shè)出y與x之間的解析式y(tǒng)=，把點（8，6）代入即可；

（2）把y=1.6代入反比例函數(shù)解析式，求出相應(yīng)的x；

（3）把y=3代入正比例函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式，求出相應(yīng)的x，兩數(shù)之差與10進行比較，大于或等于10就有效．

【詳解】

（1）設(shè)藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=k1x（k1＞0）代入（8，6）為6=8k1

∴k1=

設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=（k2＞0）代入（8，6）為6=，∴k2=48

∴藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（0≤x≤8），藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（x＞8）

∴

（2）結(jié)合實際，令中y≤1.6得x≥30

即從消毒開始，至少需要30分鐘后生才能進入教室．

（3）把y=3代入，得：x=4

把y=3代入，得：x=16

∵16﹣4=12

∴這次消毒是有效的．

故答案為（1）；（2）至少需要30分鐘；（3）消毒有效，理由如上．

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．