高等教育自學考試

《高等數(shù)學（工專）》串講資料

第一部分

函數(shù)

常見考試題型：

1．求函數(shù)的自然定義域。

2．判斷函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性。

3．求反函數(shù)。

4．求復合函數(shù)的表達式。

一、概念回顧

初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)，經(jīng)過有限次的＋－×÷運算及有限次的復合得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。

基本初等函數(shù)的性質(zhì)與圖形如下表所示(表周期)：

名稱

表達式

定義域

圖

形

特

性

常

數(shù)

函

數(shù)

有界，偶函數(shù)

冪

函

數(shù)

隨而異，但在上

均有定義

時在單增；

時在單減．

無界

指

數(shù)

函

數(shù)

單增．

單減．

．無界

對

數(shù)

函

數(shù)

單增．

單減．

無界

正

弦

函

數(shù)

奇函數(shù)．

．

．

有界

余

弦

函

數(shù)

偶函數(shù)．

．

．

有界

正

切

函

數(shù)

奇函數(shù)．

．

在每個周期

內(nèi)單增，無界

余

切

函

數(shù),奇函數(shù)．

．

在每個周期

內(nèi)單減．

無界

反

正

弦

函

數(shù)

奇函數(shù)．

單增．

．

有界

反

余

弦

函

數(shù)

單減．

．

有界

反

正

切

函

數(shù)

奇函數(shù)．

單增．

．

有界

反

余

切

函

數(shù)

單減．

．

有界

二、典型例題

例1：求的定義域D。

知識點：定義域

約定函數(shù)的定義域是使函數(shù)的解析表達式有意義的一切實數(shù)所構(gòu)成的數(shù)集。

解：要使函數(shù)有意義必須滿足，即，故。

例2：設函數(shù)是定義在上的任意函數(shù)，證明：

（1）是偶函數(shù)

（2）是奇函數(shù)

知識點：奇偶性

若對于任何，恒有成立，則稱是奇函數(shù)。若對于任何，恒有成立，則稱是偶函數(shù)．

奇函數(shù)的圖形關于原點對稱，偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱

分析：因為是定義在對稱區(qū)間上，根據(jù)定義，只需證明：

（1）

（2）

只證（1）：偶函數(shù)。

祝大家考試成功！