第十章　概率

10.1　隨機事件與概率

10.1.1　有限樣本空間與隨機事件

知識點一　樣本點、樣本空間

1.為了豐富高一學生的課外生活，某校要組建數(shù)學、計算機、航空模型3個興趣小組，小明要選報其中的2個，則包含的樣本點共有()

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

2．一個家庭有兩個小孩，把第一個孩子的性別寫在前邊，第二個孩子的性別寫在后邊，則樣本空間Ω＝()

A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}

B．{(男，女)，(女，男)}

C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}

D．{(男，男)，(女，女)}

3．根據(jù)點數(shù)取1～6的撲克牌共24張，寫出下列試驗的樣本空間．

(1)任意抽取1張，記錄它的花色；

(2)任意抽取1張，記錄它的點數(shù)；

(3)在同一種花色的牌中一次抽取2張，記錄每張的點數(shù)；

(4)在同一種花色的牌中一次抽取2張，計算兩張的點數(shù)之和．

知識點二　事件

4.下列事件中，是隨機事件的是()

A．長度為3,4,5的三條線段可以構(gòu)成一個三角形

B．長度為2,3,4的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形

C．方程x2＋2x＋3＝0有兩個不相等的實根

D．函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)在定義域上為增函數(shù)

5．指出下列事件是必然事件、不可能事件，還是隨機事件：

(1)中國體操運動員將在下一屆奧運會上獲得全能冠軍；

(2)出租車司機小李駕車通過4個十字路口都將遇到綠燈；

(3)若x∈R，則x2＋1≥1；

(4)小紅書包里只有數(shù)學書、語文書、地理書、政治書，她隨意拿出一本，是漫畫書．

6．做擲紅、藍兩個骰子的試驗，用(x，y)表示樣本點，其中x表示紅色骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示藍色骰子出現(xiàn)的點數(shù)．

(1)寫出這個試驗的樣本空間；

(2)求這個試驗包含的基本事件個數(shù)；

(3)用集合表示事件A：出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8，事件B：出現(xiàn)的點數(shù)相同．

一、選擇題

1．下列事件中，隨機事件的個數(shù)為()

①明天是陰天；②方程x2＋2x＋5＝0有兩個不相等的實根；③拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面；④一個三角形的大邊對大角，小邊對小角．

A．1

B．2

C．3

D．4

2．在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中不可能事件為()

A．3件都是正品

B．至少有1件次品

C．3件都是次品

D．至少有1件正品

3．“連續(xù)擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，記錄朝上的點數(shù)”，該試驗的樣本點共有()

A．6個

B．12個

C．24個

D．36個

4．擲一個骰子，觀察骰子出現(xiàn)的點數(shù)，若“出現(xiàn)2點”這個事件發(fā)生，則下列事件一定發(fā)生的是()

A．“出現(xiàn)奇數(shù)點”

B．“出現(xiàn)偶數(shù)點”

C．“點數(shù)大于3”

D．“點數(shù)是3的倍數(shù)”

5．(多選)在10個學生中，男生有x個，現(xiàn)從10個學生中任選6人去參加某項活動：①至少有1個女生；②5個男生，1個女生；③3個男生，3個女生．若要使①為必然事件、②為不可能事件、③為隨機事件，則x可能為()

A．3

B．4

C．5

D．6

二、填空題

6．給出下列事件：

①明天進行的某場足球賽的比分是3∶1；

②下周一某地的最高氣溫與最低氣溫相差10

℃；

③同時擲兩枚骰子，向上一面的兩個點數(shù)之和不小于2；

④射擊1次，命中靶心；

⑤當x為實數(shù)時，x2＋4x＋4<0.其中，必然事件有________，不可能事件有________，隨機事件有________．

7．從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中次品數(shù)，其樣本空間為________．

8．從1,2,3,4,5中隨機取三個不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)這一事件包含的樣本點數(shù)為________．

三、解答題

9．在200件產(chǎn)品中，有192件一級品，8件二級品，下列事件：

(1)在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級品；

(2)在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級品；

(3)在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是一級品；

(4)在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，其中不是一級品的件數(shù)小于100.哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機事件？

10．已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，從兩個集合中各取一個元素構(gòu)成點的坐標．

(1)寫出這個試驗的樣本空間；

(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；

(3)寫出“得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點；

(4)說出事件A＝{(－2，－4)，(－4，－2)}所表示的實際意義．

第十章　概率

10.1　隨機事件與概率

10.1.1　有限樣本空間與隨機事件

知識點一　樣本點、樣本空間

1.為了豐富高一學生的課外生活，某校要組建數(shù)學、計算機、航空模型3個興趣小組，小明要選報其中的2個，則包含的樣本點共有()

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

答案　C

解析　由題意可得，包含的樣本點有“數(shù)學與計算機”“數(shù)學與航空模型”“計算機與航空模型”，共3個，故選C.2．一個家庭有兩個小孩，把第一個孩子的性別寫在前邊，第二個孩子的性別寫在后邊，則樣本空間Ω＝()

A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}

B．{(男，女)，(女，男)}

C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}

D．{(男，男)，(女，女)}

答案　C

解析　由題知樣本空間Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．故選C.3．根據(jù)點數(shù)取1～6的撲克牌共24張，寫出下列試驗的樣本空間．

(1)任意抽取1張，記錄它的花色；

(2)任意抽取1張，記錄它的點數(shù)；

(3)在同一種花色的牌中一次抽取2張，記錄每張的點數(shù)；

(4)在同一種花色的牌中一次抽取2張，計算兩張的點數(shù)之和．

解(1)一副撲克牌有四種花色，所以樣本空間為Ω＝{紅心，方塊，黑桃，梅花}．

(2)撲克牌的點數(shù)是從1～6，所以樣本空間為Ω＝{1,2,3,4,5,6}．

(3)一次抽取2張，點數(shù)不會相同，則所有結(jié)果如下表所示．

故樣本空間為Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)}．

(4)一次抽取2張，計算兩張的點數(shù)之和，樣本空間為Ω＝{3,4,5,6,7,8,9,10,11}.知識點二　事件

4.下列事件中，是隨機事件的是()

A．長度為3,4,5的三條線段可以構(gòu)成一個三角形

B．長度為2,3,4的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形

C．方程x2＋2x＋3＝0有兩個不相等的實根

D．函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)在定義域上為增函數(shù)

答案　D

解析　A是必然事件；B，C為不可能事件；對于函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)，當01時為增函數(shù)．故選D.5．指出下列事件是必然事件、不可能事件，還是隨機事件：

(1)中國體操運動員將在下一屆奧運會上獲得全能冠軍；

(2)出租車司機小李駕車通過4個十字路口都將遇到綠燈；

(3)若x∈R，則x2＋1≥1；

(4)小紅書包里只有數(shù)學書、語文書、地理書、政治書，她隨意拿出一本，是漫畫書．

解(1)(2)中的事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機事件．

(3)中的事件一定會發(fā)生，所以是必然事件．

(4)小紅書包里沒有漫畫書，所以是不可能事件．

6．做擲紅、藍兩個骰子的試驗，用(x，y)表示樣本點，其中x表示紅色骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示藍色骰子出現(xiàn)的點數(shù)．

(1)寫出這個試驗的樣本空間；

(2)求這個試驗包含的基本事件個數(shù)；

(3)用集合表示事件A：出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8，事件B：出現(xiàn)的點數(shù)相同．

解(1)這個試驗的樣本空間Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．

(2)這個試驗包含36個基本事件．

(3)A＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．

B＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}．

一、選擇題

1．下列事件中，隨機事件的個數(shù)為()

①明天是陰天；②方程x2＋2x＋5＝0有兩個不相等的實根；③拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面；④一個三角形的大邊對大角，小邊對小角．

A．1

B．2

C．3

D．4

答案　B

解析　其中①是隨機事件，②是不可能事件，③是隨機事件，④是必然事件．故選B.2．在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中不可能事件為()

A．3件都是正品

B．至少有1件次品

C．3件都是次品

D．至少有1件正品

答案　C

解析　25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故選C.3．“連續(xù)擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，記錄朝上的點數(shù)”，該試驗的樣本點共有()

A．6個

B．12個

C．24個

D．36個

答案　D

解析　該試驗的樣本點分別為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36個．故選D.4．擲一個骰子，觀察骰子出現(xiàn)的點數(shù)，若“出現(xiàn)2點”這個事件發(fā)生，則下列事件一定發(fā)生的是()

A．“出現(xiàn)奇數(shù)點”

B．“出現(xiàn)偶數(shù)點”

C．“點數(shù)大于3”

D．“點數(shù)是3的倍數(shù)”

答案　B

解析　“出現(xiàn)2點”這個事件發(fā)生，由于2為偶數(shù)，故“出現(xiàn)偶數(shù)點”這一事件一定發(fā)生．故選B.5．(多選)在10個學生中，男生有x個，現(xiàn)從10個學生中任選6人去參加某項活動：①至少有1個女生；②5個男生，1個女生；③3個男生，3個女生．若要使①為必然事件、②為不可能事件、③為隨機事件，則x可能為()

A．3

B．4

C．5

D．6

答案　AB

解析　由題意知，10個學生中，男生人數(shù)少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故選AB.二、填空題

6．給出下列事件：

①明天進行的某場足球賽的比分是3∶1；

②下周一某地的最高氣溫與最低氣溫相差10

℃；

③同時擲兩枚骰子，向上一面的兩個點數(shù)之和不小于2；

④射擊1次，命中靶心；

⑤當x為實數(shù)時，x2＋4x＋4<0.其中，必然事件有________，不可能事件有________，隨機事件有________．

答案?、邸、荨、佗冖?/p>

解析　根據(jù)事件發(fā)生的前提條件及生活常識知：①是隨機事件，②是隨機事件，③是必然事件，④是隨機事件，⑤是不可能事件．

7．從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中次品數(shù)，其樣本空間為________．

答案　{0,1,2,3,4}

解析　取出的4件產(chǎn)品中，最多有4件次品，最少是沒有次品，得Ω＝{0,1,2,3,4}．

8．從1,2,3,4,5中隨機取三個不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)這一事件包含的樣本點數(shù)為________．

答案　4

解析　從1,2,3,4,5中隨機取三個不同的數(shù)有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10種情況，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三個數(shù)字之和為奇數(shù)，故所求事件包含的樣本點數(shù)為4.三、解答題

9．在200件產(chǎn)品中，有192件一級品，8件二級品，下列事件：

(1)在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級品；

(2)在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級品；

(3)在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是一級品；

(4)在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，其中不是一級品的件數(shù)小于100.哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機事件？

解(1)(3)是隨機事件；(2)是不可能事件；(4)是必然事件．

10．已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，從兩個集合中各取一個元素構(gòu)成點的坐標．

(1)寫出這個試驗的樣本空間；

(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；

(3)寫出“得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點；

(4)說出事件A＝{(－2，－4)，(－4，－2)}所表示的實際意義．

解(1)樣本空間為Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2，6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4,3)，(5,3)，(6,3)}．

(2)樣本點的總數(shù)是12.(3)“得到的點是第一象限內(nèi)的點”包含以下4個樣本點：(3,5)，(3,6)，(5,3)，(6,3)．

(4)事件A表示“得到的點是第三象限內(nèi)的點”．