第一篇：九年級數學《4.2一元二次方程的解法》導學案（最終版）

班級姓名學號

學習目標

1、會用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程，進一步體會配方法是一種重要的數學方法

2.、經歷探究將一般一元二次方程化成（x?m)2?n(n?0)形式的過程，進一步理解配方法的意義

3、在用配方法解方程的過程中，體會轉化的思想

學習重點：使學生掌握用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程

學習難點：把一元二次方程轉化為的（x＋h）= k（k≥0）形式

教學過程

一、情境引入：

1.什么是配方法？什么是平方根？什么是完全平方式？

我們通過配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法用配方法解一元二次方程的方法的助手:

如果x=a,那么x=?

2222a.x就是a的平方根222式子a±2ab+b叫完全平方式,且a±2ab+b =(a±b)

2、用配方法解下列方程：

(1)x-6x-16=0；(2)x+3x-2=0；

3、請你思考方程x-

二、探究學習：

1．嘗試：

問題1：如何用配方法解方程2x-5x+2=0呢？

2222 52x+1=0與方程2x-5x+2=0有什么關系？

2解：兩邊都除以2，得____________________________系數化為

1移項，得__________________移項

配方，得_______________________________________配方

開方，得_____________開方

∴x1=______，x2=______定根

引導學生交流思考與探索（對于二次項系數不為1的一元二次議程，我們可以

先將兩邊都除以二次項系數，再利用配方法求解）

問題2:如何解方程-3x+4x+1=0?

分析：對于二次項系數是負數的一元二次方程，用配方法解時，為了便于配方，可把二

次項系數化為1，再求解

解：

2．概括總結．

對于二次項系數不為1的一元二次方程，用配方法求解時要做什么？

首先要把二次項系數化為1,用配方法解一元二次方程的一般步驟為：系數化為一，移項，配方，開方，求解，定根

3概念鞏固

用配方法解下列方程，配方錯誤的是（）

A.x+2x-99=0化為(x+1)=100B.t-7t-4=0化為(t-27265)= 2

42210222C.x+8x+9=0化為(x+4)=25D.3x-4x-2=0化為(x-)= 39222

4.典型例題：

解下列方程

（1）4x-12x-1=0(2)2x-4x+5=0(3)3-7x=-2x

222

說明：對于二次項系數不為1的一元二次方程化為（x+h）=k的形式后，如果k是非負數，即k≥0，那么就可以用直接開平方法求出方程的解；如果k＜0，那么方程就沒有實數解。

5.探究：

一個小球豎直上拋的過程中，它離上拋點的距離h（m）與拋出后小球運動的時間t（s）2有如下關系：

h=24t-5t2

經過多少時間后，小球在上拋點的距離是16m

6.鞏固練習：

練習1解下列方程

（1）2x2-8x+1=0(2)122

2x+2x-1=0(3)2x+3x=0

(4)3x2-1=6x(5)-2x2+19x=20(6)-2x2-x-1=0

配方法拓展運用

練習2用配方法求2x2-7x+2的最小值

練習3用配方法證明-10x2+7x-4的值恒小于0

三、歸納總結：

運用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程的方法和步驟是什么？（自己寫出）

4.2一元二次方程的解法（3）

【課后作業(yè)】班級姓名學號

1、填空：

(1)x-21222x+=(x-),(2)2x-3x+=2(x-).322、用配方法解一元二次方程2x-5x-8=0的步驟中第一步是。

3用配方法將方程2x2?x?1變形為(x?h)2?k的形式是__________________.4、用配方法解方程2x-4x+3=0，配方正確的是（）

A.2x-4x+4=3+4B.2x-4x+4=-3+

4C.x-2x+1=2222332+1D.x-2x+1=-+1 225、用配方法解下列方程：

2（1）2t?7t?4?0；（2）3x?1?6x（3)0.1x?0.2x?1?0（4）6x-4x+1=0 22

26．不論x取何值，x?x2?1的值（）

A．大于等于?333B．小于等于?C．有最小值?D．恒大于零 44

427.用配方法說明：無論x取何值，代數式2x-x-3的值恒小于08、一小球以15 m／s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足關系：h=15t-5t．小球何時能達到10 m高?

9.用配方法分解因式x?4

第二篇：九年級教學案4.2一元二次方程的解法因式分解法

課題：4.2一元二次方程的解法（5）（因式分解法）

班級姓名學號

教學目標：

1．應用因式分解法解一些一元二次方程．

2．能根據具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法．

復習：把下列各式因式分解

（1）2x?x（2）x?16y

（3）9a?24a?16（4）(x?2)?16

（5）x?3x?10（6）3x?10x?3

例題講評：

例1．用因式分解法解一元二次方程

（1）x??4x（2）x?3?x(x?3)?0

（3）(2x?1)?x?0（4）9y?12y?4?0

2(5)x?4x?12?0(6)7x?13x?6?0 22222222222

2能用因式分解法解的一元二次方程須滿足這樣的條件：例2.解下列一元二次方程

2（1）(x?1)?6(x?1)?9?0（2）2?x?3??9?x 22

(3)x?(a?1)x?a?0(a為常數)(4)?2x?1??x?4??5 2

例3．小明解方程(x?2)?4(x?2)時，在方程的兩邊都除以（x+2），的x+2=4，解得

x=2，你認為對嗎？為什么？

用因式分解法解一元二次方程的步驟是

（1）通過移項，將方程右邊化為零；

（2）將方程左邊分解成兩個__________次因式之積；

（3）分別令每個因式等于零，得到兩個一元一次方程；

（4）分別解這兩個__________，求得方程的解．

課堂練習：

1.方程x（x+1）=3（x+1）的解的情況是（）

A．x =-1B．x =3C．x1??1,x2?3D．以上答案都不對

2.已知y?x?2x?3，當x時，y的值是-3．

3．解下列一元二次方程

（1）(2y?1)(y?3)?0（2）x?3x?0

（3）x?7x?12?0（4）4x(2x?1)?3(2x?1)

（5）2x?20x?50?0（6）9t?(t?1)?0

（7）?2x?3??3?2x?3??4?0(8)4y(y?5)?25?0

(9)?2y?1??3?2y?1??2?0（10）x?2ax?a?b?0(a、b為常數)222222222222

課后練習：姓名：

1．方程x2 = x的根是2．（1）已知最簡二次根式x2?6與5x是同類二次根式，則x=（2）已知最簡二次根式x2?3x與?x是同類二次根式，則x=3．方程（x－1）（x－2）=0的兩根為x1，x2且x1＞x2，則x1－2x2

4．已知實數x滿足4x2－4x+1=0，則代數式2x+1的值為2x

5．要使分式x2?5x?4的值為0，則x應該等于x?4

6．方程2x(5x－3)+2(3－5x)=0的解是x1=_________，x2=_________

7．當x=時，代數式x2?6x?5的值與x?1的值相等

8．下列說法正確的是（A．解方程t2 = t，得t =1B．由（x+1）（x－3）=3，可得x+1=3或x－3=3

C．方程(2x?1)2?3(2x?1)?0，兩邊都除以2x+1，解得x1=x2=－2

D．方程x2?6x?9?0的根是x1=x2=3

9．用因式分解法解方程，下列方法中正確的是（A．(2x－2)(3x－4)=0∴2－2x=0或3x－4=0

B．(x+3)(x－1)=1∴x+3=0或x－1=1

C．(x－2)(x－3)=2×3∴x－2=2或x－3=3

D．x(x+2)=0∴x+2=0

10．方程ax(x－b)+(b－x)=0的根是（A．x1=b, x2=aB．x1=b, x2=1

a

C．x1

1=a, x2=bD．x1=a2, x2=b2

11．用因式分解法解下列方程

（1）x2?2x?0（2）(y?1)2?2y(y?1)?0

（3）49x2?121?0（4）9x2?12x?4?(3?2x)2）））

2（5）x?25x?5?0（6）(x?2)?4(x?2)?3?0 2

（7）x?x?12?0(8)3x(x?2)?x?2

（9）(x?1)?4?0(10)(x?2)?2(x?2)?1?0

2（11）10x?x?24?0（12）3x?x?23?0 2222

12．用適當的方法解下列方程

（1）（x+3）（x－1）= 5（2）16x?(2x?1)?0 22

2（3）(2x?1)?3(2x?1)（4）x?4x?1?0 2

13．已知?a?b22?2?a?2?b2??6?0，求a2?b的值．

14.已知關于x的一元二次方程kx?3x?2k(k?1)?(k?1)?0的一個根為0，求k的值． 2

第三篇：一元二次方程 導學案

一元二次方程

【學習目標】

1.理解一元二次方程及其有關概念；

2.掌握一元二次方程的一般形式，正確認識二次項系數，一次項系數及常數項；

3.了解根的意義．

【前置學習】

一、基礎回顧：

1.多項式是

次

項式，其中最高次項是，二次項系數為，一次項系數為，常數項為

．

2.叫方程，我們學過的方程類型有

．

3.解下列方程或方程組：①

②

③

二、問題引領：

方程是以往學過的嗎？通過本節(jié)課的學習你將認識這種新的方程．

三、自主學習（自主探究）：

請你認真閱讀課本引言及內容，邊學邊思考下列問題：

1.方程①②③有什么共同特點？

2.一元二次方程的定義：等號兩邊都是，只含有

個未知數（一元），并且未知數的最高次數是

（二次）的方程，叫做一元二次方程．

3.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式：

（a≠0），這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中

是二次項，是二次項系數，是一次項，是一次項系數，是常數項．

4.下面哪些數是方程的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．

5.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的，即：使一元二次方程等號左右兩邊相等的的值．

四、疑難摘要：

【學習探究】

一、合作交流，解決困惑：

1.小組交流：（在小組內說說通過自主學習，你學會了什么？你的疑難與困惑是什么？請同伴幫你解決．）

2.班級展示與教師點撥：

【點撥】

①方程ax2＋bx＋c＝0只有當a≠0時才叫一元二次方程，如果a＝0，b≠0時就是

方程了．所以在一般形式中，必須包含a≠0這個條件．

②二次項、二次項系數、一次項、一次項系數、常數項都包括前面的符號．

展示1：課本第3頁例題．

展示2：下列方程是一元二次方程的是有

：

（1）；

（2）（x＋1）（x－1）＝0；

（3）；

（4）；（5）；

（6）．

展示3：課本第4頁練習第1題．

展示4：課本第4頁練習第2題．

二、反思與總結：本節(jié)課你學會了什么？你有哪些收獲與體會？

【自我檢測】

1.下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（）

A.B.C.D.2.一元二次方程化為一般形式為：，二次項系數為：，一次項系數為：，常數項為：

．

3.關于x的方程，當

時為一元一次方程；當

時為一元二次方程．

4.判斷下列一元二次方程后面括號里的哪些數是方程的解：

（1）

（－7，－6，－5，5，6，7）

（2）

【應用拓展】

5.如果x＝1是方程ax2＋bx＋3＝0的一個根，求（a－b）2＋4ab的值．

6.如果2是方程的一個根，那么常數c是多少？求出這個方程的其它根．

第四篇：一元二次方程解法(復習課)導學案

一元二次方程（復習課）導學案

復習目標

1． 了解一元二次方程的有關概念。

2． 能靈活運用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。3． 會根據根的判別式判斷一元二次方程的根的情況。

4． 掌握一元二次方程根與系數的關系式，并會運用它解決有關問題。5． 通過復習深入理解方程思想、轉化思想、分類討論思想、整體思想，并會

應用；進一步培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力。

重點：能靈活運用開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。難點：

1、會根據根的判別式判斷一元二次方程的根的情況。

2、掌握一元二次方程根與系數的關系式，并會運用它解決有關問題。復習流程 回憶整理

1．方程中只含有未知數，并且未知數的最高次數是，這樣的方程叫做一元二次方程.通常可寫成如下的一般形式：________________()其中二次項系數是、一次項系數是常數項。

例如： 一元二次方程7x－3=2x2

化成一般形式是___________________其中二

次項系數是、一次項系數是常數項是。2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________________（2）（3）（4）求根公式法，求根公式是 ___________________3．一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式是，當時，它有兩個不相等的實數根；當時，它有兩個相等的實數根；當時，它沒有實數根。例如：不解方程，判斷下列方程根的情況：

(1)x(5x+21)=20(2)x2

+9=6x(3)x2

—3x = —5

4．設一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個根分別為x1，x2 則x1 +x2=；x1 ·x2= ____________

例如：方程2x2

+3x —2=0的兩個根分別為x1，x2 則x1+x2=；x1 ·x2= _________典例精析

例1：已知關于x的一元二次方程（m－2）x2

＋3x＋m2

－4=0有一個解是0，求m的值.例2：解下列方程:

(1)2 x2

＋x－6＝0；(2)x2

＋4x＝2；

(3)5x2

－4x－12＝0；(4)4x2

＋4x＋10＝1－8x.5）（x＋1）（x－1）＝22x（6）

（2x＋1）2

＝2（2x＋1）.溫馨提示：解題時應抓住各方程的特點，選擇較合適的方法。

例3：已知關于x的一元二次方程（m—1）x2

—（2m+1）x+m=0,當m取何值時：（1）它沒有實數根。

（2）它有兩個相等的實數根，并求出它的根。（3）它有兩個不相等的實數根。分析：在解題時應注意m—1≠0這個隱含的條件。

鞏固練習

1．關于x的方程mx2

－3x=x2

－mx+2是一元二次方程的條件是2．已知關于x的方程x2

－px＋q＝0的兩個根是0和－3，求p和 q的值

3．m取什么值時，關于x的方程2x2

-(m＋2)x＋2m－2＝0 有兩個相等的實數根？求出這時方程的根.4．解下列方程：（1）x2

＋(＋1)x＝0；（2）

（x＋2）（x－5）＝1 ；

（3）3（x－5）2

＝2（5－x）。

5.說明不論m取何值，關于x的方程（x－1）（x－2）＝m2

總有兩個不相等的實

數根。

6、已知關于x的方程x2

－6x＋p2

－2p＋5＝0的一個根是2，求方程的另一個根和p的值.(請用兩種方法來解)

7、寫一個根為x=1，另一個根滿足—1

8、x2

1，x2是方程x+5x —7= 0的兩根，在不解方程的情況下，求下列代數式的值：（1）x

21+x2（2）x1

?x2

（3）（x1—3）（x2—3）

課堂總結

1、這節(jié)課我們復習了什么？

2、通過本節(jié)課的學習大家有什么新的感受？

（

第五篇：4.2一元二次方程的解法教學案+課堂作業(yè)(南沙初中九年級上)

南沙初中初三數學教學案

教學內容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

課 型：新授課 學生姓名：______ 學習目標：

1、掌握用配方法解數字系數的一元二次方程；

2、掌握配方法的推導過程，熟練地用配方法解一元二次方程；

3、在配方法的應用過程中體會 “轉化”的思想，掌握一些轉化的技能。

教學重點：掌握配方法，解一元二次方程 教學難點：把一元二次方程轉化為?x?h??k

2教學過程：

一、復習提問

1、解下列方程，并說明解法的依據：

2（1）3?2x?1（2）?x?1??6?0（3）?x?2??1?0

這三個方程都可以轉化為以下兩個類型：、。

2、請寫出完全平方公式。

（1）__________________________（2）__________________________

二、探索

2如何解方程x?6x?4?0？ 點撥：如果能化成?x?h??k的形式就可以求解了

2解： 步驟：（1）移項（2）配方（方法：方程兩邊同時加上_________________）．．

（3）將方程寫成?x?h??k的形式（4）用直接開平方法解方程

小結：由此可見，只要把一個一元二次方程變形為?x?h??k的形式（其中h、k都是常數）如果k______0，可通過直接開平方法求方程的解；如果k______0，則原方程無解。

這種解一元二次方程的方法叫配方法。．．．

三、例題

例

1、解下列方程：

（1）x?4x?3?0（2）x?3x?1（3）x?

內容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

22211x??0 63口答：

（1）x?2x?_____?(x?___)（2）x?8x?_____?(x?___)（3）x?5x?_____?(x?___)（4）x2?板演練習：

（1）x?2x?3?0（2）x?10x?20?0（3）x?x?1（4）x?22x?4?0

例

2、（1）利用配方法證明：無論x為何值，二次三項式?x?2x?2恒為負；

（2）根據（1）中配方結果，二次三項式?x?2x?2有最大值還是最小值？最值是多少？

練習：求代數式x?6x?10的最值。

四、拓展提高：

用配方法解方程：(x?1)?10(x?1)?9?0

四、小結收獲

利用配方法可以解決三類問題：（1）_______________________（2）________________________（3）_________________________

五、課堂作業(yè)：（見作業(yè)紙14）22222223x?_____?(x?___)2 22222222內容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

南沙初中初三數學課堂作業(yè)（14）

（命題，校對：王

猛）

班級__________姓名___________學號_________得分____________

1、填空：

（1）x?10x?_____?(x?___)

（2）x?5x?_____?(x?___)；

（3）x2?22223x?_____?(x?___)2 ；（4）x2?bx?_____?(x?___)2。

22、若x2?ax?4是完全平方式，則a?_____。

3、把方程x2?3mx?8的左邊配成一個完全平方式，則方程的兩邊需同時加上的式子是_____。

4、代數式?x2?2x?4有最________值，最值是________。

5、已知直角三角形一邊長為8，另一邊長是方程x?8x?20?0的根，則第三邊的長為______。

6、用配方法解下列方程：

（1）x?2x?2?0

（2）x?6x?16?0

（3）x?4x?（4）x?5x?5?07、已知直角三角形的三邊a、b、c，且兩直角邊a、b滿足等式22222(a2?b2)2?2(a2?b2)?15?0，求斜邊c的值。

8、把方程x?3x?p?0配方，得到?x?m??221。2（1）求常數p與m的值；（2）求此方程的解。

內容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）