第一篇：數(shù)學歸納法在中學數(shù)學教學中的應用
淺談數(shù)學歸納法在中學數(shù)學教學中的應用
摘要：數(shù)學歸納法是一種十分重要的數(shù)學論證方法，常用于與正整數(shù)有關(guān)命題的證明。本文是從數(shù)學歸納法的概念、正確的應用數(shù)學歸納法、靈活的應用數(shù)學歸納法來說明數(shù)學歸納法在中學數(shù)學教學中的應用。
關(guān)鍵字：數(shù)學歸納法；正確、靈活的應用
引言
數(shù)學歸納法是一種十分重要的證明方法，在數(shù)學學習中的應用十分廣泛，而首先使用數(shù)學歸納法的是意大利數(shù)學家馬奧羅修勒斯，他在1575年的著作《算術(shù)》中，用數(shù)學歸納法證明了前n個正奇數(shù)之和是2n。正是有了這個方法，我們在中學的數(shù)學學習中，數(shù)學歸納法被廣泛用來解決一些數(shù)列、不等式、整除等問題。
一、數(shù)學歸納法的概念
在介紹什么是數(shù)學歸納法的之前，我們先來看看我國著名數(shù)學家華羅庚是這樣評價數(shù)學歸納法的：“把數(shù)學歸納法學好了，對進一步學好高等數(shù)學有幫助，甚至對認識數(shù)學的性質(zhì)，也會有所裨益。[1]”由此可見數(shù)學歸納法是多么重要，那么究竟什么是數(shù)學歸納法呢？
數(shù)學歸納法就是數(shù)學上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要是從特殊到一般的思想，它使我們能夠在一些個別事例的基礎(chǔ)上，對某個普遍規(guī)律做出判斷，作為證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種推論方法，在解數(shù)學題中有著廣泛的應用。在高中數(shù)學中常用來證明等式成立和數(shù)列通項公式成立。那么用數(shù)學歸納法論證的一般步驟是什么呢？第一步是證明命題n?n0時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n?k時命題成立，再證明當n?k?1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)。
而數(shù)學歸納法所依據(jù)的數(shù)學公理是意大利數(shù)學家皮亞諾提出的皮亞諾自然數(shù)公理的的第五條（歸納公理）：任意一個自然數(shù)集合N，1屬于N；假定N包含n，N也一定包含后繼數(shù)n?，則N包含所有自然數(shù)。[2] 歸納公理用準確的邏輯術(shù)語表達了自然數(shù)的性質(zhì)，這是數(shù)學歸納原理的數(shù)學依據(jù)。從1開始，一個一個地選取可以達到任意自然數(shù)。這樣一下子把整個自然數(shù)的無窮集合引入到論證中去，從而清楚地闡明了，為什么數(shù)學歸納法只用證兩步，命題就被證明了。
而這兩種數(shù)學歸納法也數(shù)學歸納法有第一數(shù)學歸納法、第二數(shù)學歸納法等。是最常用的方法。
第一數(shù)學歸納法：設(shè)P(n)是一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果 ①
當n?n0(n?N?)時，P(n)成立；
② 假設(shè)當n?k(k?n0,k?N?)時，P(n)成立，由此推得n?k?1時，P(n)也成立，那么根據(jù)①、②知對一切正整數(shù)N?，n?n0時，P(n)都成立。第二數(shù)學歸納法：設(shè)P(n)是一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果 ①
當n?n0(n?N?)時，P(n)成立；
② 假設(shè)n?k(k?n0,k?N?)時，P(n)也成立，由此推證n?k?1時，P(n)也成立，那么根據(jù)①、②對一切正整數(shù)n?n0時，P(n)都成立。
在數(shù)學學習中，我們除了要掌握一些基本的計算問題外，還必須要求證明論斷的正確性的問題，也就是所謂的“證明題”，解決這些證明題就是要作一整串的推理，而這些推理方法一般只是在有限的問題才能使用，我們把范圍擴大為無限時，還能用這些方法解決問題嗎？ 在數(shù)學里，常常要求對全體的對象來下結(jié)論，并且希望能證明我們的判斷是正確的，那么這個問題將怎樣解決呢？很明顯，數(shù)學歸納法是解決這個問題的一種方法并且數(shù)學歸納法是嚴格的證明方法，并不是提供猜想的方法，它可以通過“有限來解決無限”的問題，使我們所用的歸納法成為完全歸納法，從而證明了論斷的正確性。
二、正確的應用數(shù)學歸納法
有的人會認為數(shù)學歸納法很簡單，就是那么兩步：① 當n?1時，命題成立；② 假設(shè)n?k時，命題也成立，由此推證n?k?1時，命題也成立，那么根據(jù)①、②這個命題就成立了。
看似真的很簡單，但是真的將數(shù)學歸納法應用到實際數(shù)學問題當中就會存在很多問題。
例1 用數(shù)學歸納法證明：
1?2?3?……?n=n(n?1),(n?N?)2證明：（1）當n?1時，原式左邊=1，原式右邊=1，原式左邊=原式右邊，故等式成立。
k(k?1)成立； 2(k?1)(k?2)當n?k?1時，1?2?……?k?(k?1)?。
2(k?1)[(k?1)?1](k?1)(k?2)而 ?22（2）假設(shè)n?k時，這個等式成立。即1?2?……?k? 所以n?k?1時，原等式同樣成立。
由歸納原理可知：1?2?3?……?n=這個證明對嗎？
不仔細看，上面的證明方法好像是正確的，上面的證明似乎也應用了數(shù)學歸納法的兩個步驟，特別的第二步也有了從“k”到“k?1”的論證，但是事實上在證明1?2?……?k?k?(1?2?……?k?(k?1k)?(?1)22)的時候根本沒有應用
n(n?1),(n?N?)成立。2k(k?1)這個式子作為基礎(chǔ)來導出上面的等式，所謂的“k”到2“k?1”的論證只不過是要把證明的等式寫出來加以“注解”而已，等于什么事也沒有做。
然而正確的做法應當是這樣的：
當n?1時，原式左邊=1，原式右邊=1，原式左邊=原式右邊，等式成立。假設(shè)n?k時，這個等式成立。即1?2?……?k?k(k?1)成立； 2 這時把等式的左右兩邊同時加上k?1，得：
1?2?……?k?(k?1)?k(k?1)?(k?1)2k2?k2k?2k2?3k?2(k?1)(k?2)(k?1)[(k?1)?1]?????22222 也就是說當n?k?1時，上式成立。
由歸納原理可知：1?2?3?……?n=n(n?1)成立。2例2[3] 是否存在常數(shù)a，b，c，使得等式
1?22?2?32???n??n?1??2n??n?1?12?an2?bn?c?
對于一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。
思路分析：從特殊入手，探索常數(shù)a，b，c的值，考慮到了有3個未知數(shù)，先取n?1，n?2，n?3代入等式，得方程組，求出a，b，c的值，然后用數(shù)學歸納法證明對于一切正整數(shù)n都成立。解：把n?1，n?2，n?3代入等式得方程組
?a?b?c?24?a?3??4a?2b?c?44，解得??b?11。?9a?3b?c?70?c?10??猜想：等式1?22?2?32???n??n?1??數(shù)n都成立。
下面用數(shù)學歸納法證明：
2n??n?1?12?3n2?11n?10?對于一切正整證明：（1）當n?1時，原式左邊=4，原式右邊=4，原式左邊=原式右邊，所以等式成立；
（2）假設(shè)n?k?k?1,k??+?時，等式成立。即
1?22?2?32???k??k?1??2k??k?1?12?3k2?11k?10?；
則當n?k?1時，1?22?2?32???k??k?1???k?1???k?2?22
?k??k?1?12k??k?1?12?3k2?11k?10???k?1???k?2?22??3k?5??k?2???k?1???k?2? ??k?1???k?2??k?12??3k?5??12?k?2???
2k?1???k?2???3?12??k?1??11?k?1??10?
?這就是說，當n?k?1?k?1,k??+?時，命題也成立。由歸納原理可知：1?22?2?32???n??n?1??切正整數(shù)n都成立。
以上二例雖然都是應用數(shù)學歸納法來解決的，但是我們要明確一點，我們不能盲目的用，更不能亂用數(shù)學歸納法，我們一定要正確的應用數(shù)學歸納法，并且在應用數(shù)學歸納法的第二個步驟時特別注意“k”到“k?1”的推導過程，有些同學在證這個過程的時候不能很好入手，或是不能解決這一關(guān)鍵步驟，這就要求我們必須學會靈活應用這一關(guān)鍵的地方。
2n??n?1?12?3n2?11n?10?對于一
三、靈活的應用數(shù)學歸納法
例3用數(shù)學歸納法證明
111111 ?????????1?23?4(2n?1)?2nn?1n?2n?n11證明：（1）當n?1時，原式左邊=，原式右邊=，原式左邊=原式右邊，所以
22等式成立；
（2）假設(shè)n?k時，等式成立，即
111111?????????.1?23?4(2k?1)?2kk?1k?22k那么n?k?1時
1111?????1?23?4(2k?1)?2k(2k?1)(2k?2)?1111????? k?1k?22k(2k?1)(2k?2)5 ?111?11?1 ?????????k?2k?32k?2k?12k?2?k?1??11111 ??????k?2k?32k2k?12k?21111 ?????(k?1)?1(k?1)?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)1111 ?????1?23?4(2k?1)?2k(2k?1)(2k?2)111????(k?1)?1k(?1?)2k(??1k?(也成立。所以
?1?k)?1k)?(1)由歸納原理可知：
111111成立。?????????1?23?4(2n?1)?2nn?1n?2n?n這里應該注意第二步n?k?1時與n?k時，等式兩邊些什么變化，都增加了哪些項或是減少了哪些項，這樣問題就能解決了。
接下來我們再來看一個應用數(shù)學歸納法證明整除的問題。例4用數(shù)學歸納法證明：(3n?1)?7n?1能被9整除。(n?N+)證明：當n?1時，(3?1)?7?1?27能被9整除；
假設(shè)n?k時，(3k?1)?7k?1能被9整除，那么當n?k?1時
[3(k?1)?1]?7k?1?1?[21(k?1)?7]?7k?1?[(3k?1)?(18k?27)]?7k?1 ?[(3k?1)?7k?1]?9(2k?3)?7k
?[(3k?1)?7k?1]和9(2k?3)?7k都能被9整除，?[(3k?1)?7k?1]?9(2k?3)?7k能被9整除。
即[3(k?1)?1]?7k?1?1能被9整除，從而當n?k?1時，命題任然成立。由歸納原理可知：當n?N+時，(3n?1)?7n?1能被9整除。
這一題在應用數(shù)學歸納法時主要是當n?k?1時，要怎么拆分才能說明[3(k?1)?1]?7k?1?1能被9整除，不僅考察數(shù)學歸納法的應用而且考差了多項式 分解的一些基本能力，只要會分解了，那么應用數(shù)學歸納法就沒有問題了。
11113。?????n?1n?22n2411713證明：（1）當n?2時，即命題成立，???2?12?2122411113（2）假設(shè)n?k時，成立； ?????k?1k?22k24例5若n為大于1的正整數(shù)，求證： 則當n?k?1時，11111??????(k?1)?1(k?1)?22k2k?12(k?1)1111111?(?????)???k?1k?2k?32k2k?12k?2k?11311???242k?12k?2131??242(2k?1)(k?1)13? 24
即n?k?1時，不等式成立，由歸納原理可知：對任意的正整數(shù)n(n?1)，11113成立。?????n?1n?22n24這里主要就是在n?k?1時候，現(xiàn)想辦法盡量湊出假設(shè)n?k成立的不等式，這樣就把要推導的等式轉(zhuǎn)化到了已經(jīng)成立的不等式上面了，但這是針對這一個數(shù)學證明題，出了除了要求你的數(shù)學歸納法知識足夠外，還要會應用證明不等式時常用的放縮法，這樣才是一個完整的證明過程。
而在我們高中數(shù)學當中，很多情況下都會應用數(shù)學歸納法來解決一些數(shù)列的證明問題，這類題目通常用常規(guī)的數(shù)列計算方法不能解決時，我們就可以應用數(shù)學歸納法了。
下面我們先來看一個簡單的等差數(shù)列求和公式的證明：
1例6求證等差數(shù)列前n項的和的公式為：Sn?na1?n(n?1)d。（a1為首項，d2為公差）
證明：（1）當n?1時，S1?a1，公式成立，（2）假設(shè)n?k時，公式成立，即Sk?ka1?k(k?1)d，那么n?k?1時，211??Sk?1?Sk?ak?1??ka1?k(k?1)d???a1??(k?1)?1?d??(k?1)a1?(k?1)?(k?1)?1?d22??即當n?k?1時，公式也成立。
由歸納原理可知：對于n?N+時，等差數(shù)列的前n項的和的公式為：Sn?na1?1。n(n?1)d2針對這一問題，可以說數(shù)學歸納法應用的嫻熟可以很容易的幫助我們解決，所以應用數(shù)學歸納法解決來解決數(shù)列問題時應值得深思，特別是在高考數(shù)學當中，此類題通常會被當做大題來考核學生，還有可能將此類題設(shè)為壓軸題，如以下例題：
例7[3] 在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1??2???2n(n?N+)，其中??0。求數(shù)列?an?的通項公式。
解：a1?2，a2??2??2??2???2??2?22，a3????2?22???3??2???22?2?3?23a4???2?3?23???4??2???23?3?4?24
由此可猜想出該數(shù)列?an?的通項公式為：an??n?1??n?2n，(n?N+)以下用數(shù)學歸納法證明。
證明：（1）當n?1時，a1?2成立。
（2）假設(shè)n?k?k?1,k?N+?時，等式成立,即ak??k?1??k?2k 那么當n?k?1時，ak?1??ak??k?1??2???2k
kkk?1k?????k?1???2??????2???2
???k?1??k??2k??k?1??2???2k
k?1k?1??k?1?1??2? ????8 這就是說，當n?k?1時，?k?1,k?N+?命題同樣成立。
由歸納原理可知：數(shù)列?an?的通項公式為：an??n?1??n?2n，(n?N+)。這個題如果用一般的的方法是很難入手的，很多同學就算用一般的方法解決這個問題也需要花費大量是時間和精力，并且很可能在計算當中一被繞進去就出不來了，在這些繁雜的計算當中還會很容易出現(xiàn)錯誤，所以應用數(shù)學歸納法是一條明智的選擇。
除了以上在應用時需要應用的技巧外，還應該注意以下問題：
1、在應用數(shù)學歸納法之前，一定謹記是兩個步驟，而且兩個步驟缺一不可：第一步是證明該問題的遞推基礎(chǔ)，第二步是該問題的遞推依據(jù)，沒有第一步打基礎(chǔ)就不可能有第二步。同樣沒有第二步只有第一步，這個數(shù)學歸納法就變成了不完全歸納法了。最后還要加上總結(jié)的話語，說明問題已經(jīng)證明了。
2、在應用數(shù)學歸納法證明的時候，先按照步驟寫下第一步，這是沒有什么問題的，緊接著第二步就需要特別注意了，一定需要應用假設(shè)n?k命題成立這一個條件，緊接著必須要把這一條件當作已知來充分利用，從而證明n?k?1時命題同樣也成立。
四、結(jié)束語
數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的方法，無論在證明等式、整除、不等式、數(shù)列等問題時，數(shù)學歸納法都是至關(guān)重要的。學習數(shù)學歸納法，不僅可以學到更多的數(shù)學知識，又可以受到推理證明的訓練，使自己的理性思維在不知不覺中得到了提高，而且拓寬了自己的數(shù)學視野，對于一些常規(guī)的與數(shù)有關(guān)，用一般方法不好證明的題時，這時用數(shù)學歸納法往往會得到意想不到的結(jié)果。特別是針對高中數(shù)學中數(shù)列問題的時候，學好數(shù)學歸納法意義深遠。因此，學習并掌握好數(shù)學歸納法，對于我們在中學數(shù)學解題中有重要作用。
致謝：衷心感謝高建興老師在論文寫作過程中的指導和幫助！
參考文獻
[1]朱華偉 錢展望，數(shù)學解題策略，科學出版社，2009.08 [2]方華，數(shù)學解題規(guī)律與思路分析，山東教育出版社，1982.02 [3]數(shù)列與數(shù)學歸納法，高中數(shù)學300題，上海交通大學出版社，2010 [4]洪波，怎樣應用數(shù)學歸納法，上海教育出版社，1982.02 [5]弗里特曼 杜列茨基 斯捷欣柯，怎樣學會解數(shù)學題，湖北人民出版社，1982.02 [6]陳自強，數(shù)學解題思維方法引導，中南工業(yè)大學出版社，1995.06
Of mathematical induction in the Middle School Mathematics Teaching
Hong-Ze Duan Faculty of Science, Yuxi Normal University, Student No.2008011155
Supervisor: Jian-Xing Gao
Abstract: The mathematical induction is an important mathematical proof method, commonly used in the proof of the proposition with the natural numbers.This article is from the concept of mathematical induction, the correct application of mathematical induction, the flexibility in the application of mathematical induction mathematical induction in the Middle School Mathematics Teaching.Keywords: mathematical induction;correct, flexible application
第二篇：對稱性在中學數(shù)學教學中的應用
龍源期刊網(wǎng) http://.cn
對稱性在中學數(shù)學教學中的應用
作者：陳艷
來源：《中學時代》2013年第02期
數(shù)學中存在著豐富的美：簡潔美、奇異美、對稱美、統(tǒng)一美。因此，在中學數(shù)學的教學過程中，我們老師可以充分挖掘數(shù)學美的因素，并通過各種有效途徑傳授給學生，會對數(shù)學教學產(chǎn)生積極的影響。中學數(shù)學中的對稱美就是最好的教材。
第三篇：數(shù)形結(jié)合在中學數(shù)學教學中的應用
安 陽 師 范 學 院
數(shù)形結(jié)合在中學數(shù)學教學中的應用
甘世軍
(安陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 河南 安陽 455002)
摘 要：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學教學中的一種非常重要的思想方法，“數(shù)”與“形”按照一定條件相互轉(zhuǎn)化.本文通過圖形對于解決函數(shù)的最值、不等式、軌跡等問題來掌握數(shù)形結(jié)合方法,有助于增強學生的數(shù)學素養(yǎng),提高學生分析問題解決問題的能力,對于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識具有促進作用.關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;方法;數(shù)學教學;應用
引 言：數(shù)與形是現(xiàn)實世界中客觀事物的抽象和反映,是數(shù)學的基石.在數(shù)學教學過程中,處處滲透著數(shù)形結(jié)合的思想．從數(shù)和形兩個側(cè)面對問題進行分析,以培養(yǎng)學生思維的深刻性與批判性，構(gòu)成了數(shù)學教學的主要任務.以數(shù)助形、以形助數(shù)、數(shù)形互助，構(gòu)成了數(shù)形結(jié)合的基本途徑． 1 與函數(shù)有關(guān)的問題
函數(shù)的圖像及性質(zhì)常常是解決問題的突破口,函數(shù)的圖象是函數(shù)解析式的“形”的表象,它以圖形的方式來刻劃函數(shù)中變量之間的變化關(guān)系.通過函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì),是中學階段學習函數(shù)理論的重要方法，既有助于理解和記憶函數(shù)的性質(zhì),也有助于應用函數(shù)的性質(zhì)分析問題和解決問題.例1 實系數(shù)方程x2+ax+2b=0的一根在(0,1)之間,另一根在(1,2)之間,求范圍.分析 若直接利用求根公式或根與系數(shù)的關(guān)系,則步履維艱;若把數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖
?f(0)?0,?b?0,??像,則條件便轉(zhuǎn)化到圖像上.令f(x)= x2+ax+2b,可得?f(1)?0, 即?1?a?2b?0，?2?a?b?0.?f(2)?0,??b?2a?1的第1頁
安 陽 師 范 學 院
圖1 圖2 它是(a,b)所要滿足的條件,用圖像表示點(a,b)的區(qū)域為△ABC的內(nèi)部,可理解的幾何意義為過點(a,b)與(1,2)的直線的斜率,顯然有
14b?2a?1=kAD<
b?2a?1 x1A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解 若直觀通過解方程來求其實根的個數(shù),則比較麻煩．可在同一直角坐標系中畫出 第2頁 安 陽 師 范 學 院 函數(shù)y=以方程1x1x和y= x2-2x+1的圖像,通過觀察可知,這兩個函數(shù)的圖像有且只有一個交點,所=x2-2x+1只有一個實根,應選A.2 與不等式有關(guān)的問題 不等式所涉及到的復雜變換技巧和過于形式化的知識特點,使不等式的學習便得抽象和難于理解．如果方程或不等式兩邊的表達式有明顯的幾何意義,或通過某種方式可以與圖形建立聯(lián)系,可將方程或不等式所表達的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的位置或度量關(guān)系加以解決，使得原問題直觀且易于理解，從而所討論問題得到解決． 設(shè)f1(x)和f2(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),以曲線y= f2(x)為下界,以曲線y= f2(x)為上界,以平行于y軸的直線x=a為左界,以平行于y軸的直線x=b為右界所圍成的圖形是一個點的集合.如果圖形不包括界線在內(nèi),那么這個點集可以用下列不等式描述：a 安 陽 師 范 學 院 圖5 我們把形如a 則（y-x+1）(2x-y-3)>0?(x,y)?(M?N)?(M'? N'),從原不等式的區(qū)域(下圖)可?知,所求解為: E= ?(x,y)|- ? 1? ?(x,y)|2 圖6 第4頁 安 陽 師 范 學 院 例5 已知正數(shù)a、b、c、x、y、z,且滿足條件a+x=b+y=c+z=k>0 求證：ay+bz+cx 如圖,作邊長為k的正三角形ABC,在其三邊上分別取P、Q、R,使AP=a,CR=b,BQ=c．則 BP=x,AR=y,CQ=z,S?APR=S?ABC=1212aysin60?，S?PBQ= 12cxsin60?，S?CRQ= 12bzsin60?，k2sin60?．顯然有：S?APR+ S?PBQ +S?CRQ x2?103x?80+x2?103x?80=20.分析 要解這個方程,按一般解法,就是先化簡,經(jīng)過兩次平方后脫去根號,再求解.但過程非常繁冗,容易出錯,因此不是個好解法.觀察一下這個方程的形式,就會聯(lián)想到橢圓第一定義的數(shù)學表達式,配方后再令(x?53)?y225=y 2,即可得?(x?53)?y22=20,且20>10 3.由橢圓第一定義可知,點(x,y)的軌跡為一個以(-53,0)、(53,0)為焦點、長軸為20的橢圓.這樣的話,解原方程就等價于已知橢圓上點的縱坐標去求它的橫坐標，因此問題得以簡潔明快地解決.第5頁 安 陽 師 范 學 院 解 原方程?(x?53)?y222?2(x?53)?y22=20 22??(x?53)?y???2??y?5(x?53)?y =20 2?x2y22??1yx???100???1.2510025?y2?5?故原方程的解為x=?45.3 與拋物線有關(guān)的問題 拋物線是平面內(nèi)到一定點和到一條不過此點的定直線的距離相等的點的軌跡.這一定點叫做拋物線的焦點,定直線叫做拋物線的準線.利用圖像常能找到解決與拋物線有關(guān)問題便捷的解題途徑.在數(shù)學課堂教學中,掌握圓錐曲線的圖像是很重要的內(nèi)容,它直觀反映了曲線的特點靈活應用圖像解題是一種很重要的方法,它不但可以使問題得到簡化,還能提高學習效率． 例7 已知拋物線C:y2=2x-1即定點A(2,0),試問:是否存在過A點的直線L,使得能在拋物線上找到不同的兩點關(guān)于直線L對稱?若存在,請求出直線L的斜率的范圍；不存在,請說明理由.解 設(shè)直線L的方程為y=k(x-2).當k=0時,顯然成立.當k≠0時,設(shè)拋物線上關(guān)于直線L對稱的兩點為:P(x1,y2)、Q(x1,y2),PQ的中點為R(x0,y0).由y12=2x1-1,y2=2x2-1,兩式相減,得y0=-k.又因直線L過點R,所以y0=k(x0-2),得x0=1.2如圖,過R作x軸的平行線交拋物線于N,則yN=-k,得xN=k2k2?12,結(jié)合圖像易知xN< x0,即?12<1,得-1 安 陽 師 范 學 院 圖8 4 與軌跡有關(guān)的問題 求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.一方面求軌跡方程的實質(zhì)是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”,將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”,通過對方程的研究來認識曲線的性質(zhì)；另一方面求軌跡方程是培養(yǎng)學生數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想、方法以及技巧的極好教材,也是解析幾何的主要課題．該內(nèi)容不僅貫穿于“圓錐曲線”的教學的全過程,而且在建構(gòu)思想、函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等方面均有體現(xiàn)和滲透.軌跡問題是高考中的一個熱點和重點,在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高,巧妙的運用數(shù)形結(jié)合思想有事半功倍的效果.例8 已知圓x2+y2=4和點C(4,0),A,B為圓周上的兩個動點,且滿足∠ACB=90?,求弦AB的中點P的軌跡方程.分析 巧用平面幾何知識,避免運算.利解析幾何的知識與方法,一般設(shè)P(x,y)，2A(x1,y1),B(x2y2).x12+y12=4, x2+y=4,x1+x2=2x,y1+y2=2y,y1y2=-(x1-1)(x2-1).22通過這五個式x1,x2,y1,y2，得x,y的方程,眾多未知數(shù)的消元過程是大部分學生手足無措,但是若能想到初中幾何中的直線與圓的關(guān)系,此問題的簡便解法就在情理之中了.解 連AO,PO,CO.因為P為弦AB的中點,故OP⊥AB.因為AO=2,設(shè)P點的坐標為(x,y),又因為在Rt△ACB中, |PC|= 12|AB|，（|AB||PC|）2=|PA|2=|AO|2-|PO|2 ,又C(1,0), 所以軌跡方程為:2x2+2y2-2x-3=0.第7頁 安 陽 師 范 學 院 圖9 5 與最值問題有關(guān)的問題 中學數(shù)學中求函數(shù)的最值問題是研究函數(shù)性質(zhì)的一個極其重要的方面,所涉及的知識面寬,方法靈活,應用廣泛．在高考和數(shù)學競賽中占有相當重要的地位.而數(shù)形結(jié)合思想是求解數(shù)學問題的一種常用思想,它不僅對于溝通代數(shù)、幾何與三角形的內(nèi)在聯(lián)系具有指導意義,并把數(shù)式的準確刻化與幾何圖形的直觀描述有機地結(jié)合起來,而且更重要的是對開發(fā)學生的創(chuàng)造性思維,完善學生的思維品質(zhì)有著特殊的重要作用.如果只是從”數(shù)”到”數(shù)”的解題,不僅運算非常繁難,也激發(fā)不了學生的積極思維,如果用數(shù)形結(jié)合的思想進行開拓,會輕松解決此類問題.例9 當s和t取遍所有實數(shù)時,求(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|2)的最小值.解 由P(s+5,s),消去S得點P的軌跡為:y=x-5,由Q(3|cost|,2|sint|)．消去t得Q的軌跡為： x29+y24=1（0 安 陽 師 范 學 院 例10 已知復數(shù)Z和w同時滿足（1）Z+w+3=0,(2)|Z|,2,|w|成等差數(shù),試問cos(angZ-angw)有沒有最大值,如果有,求出這個最大值.解 本題若用代數(shù)法或三角法,解題過程比較繁瑣．由z+w+3=0可知,在復平面內(nèi)與z、w、3對應的向量構(gòu)成首尾相連的三角形或共線的三條線段這樣即使三個向量共線,與復數(shù)z和w對應的向量的方向也不能相同,當然只能相反.在?AOB中,由余弦定理得： cos(180-a)=3?|z|?|w|222?|z||w| =1- 72|z||w|?1- 72(|z|?|w|2)2= 81當且僅當|z|=|w|=2時,等號成立.6 結(jié)束語 綜上所述,所舉各例若零散放置,只能感受到各自獨立的解題方法，但進行合理的歸納分析，就能從中總結(jié)出很重要的解題方法．用數(shù)形結(jié)合的思想求解各種數(shù)學問題，既能激發(fā)對數(shù)學的學習興趣,又能培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學的創(chuàng)造性思維.參考文獻 第9頁 安 陽 師 范 學 院 [1]張雄、李得虎著,《數(shù)學方法論與解題研究》[ M].高等教育出版社,2004,112-114.[2]莫紅梅.談數(shù)形結(jié)合在中學數(shù)學中的應用[J].教育實踐與研究 , 2003,75-77.[3]趙玲.數(shù)形結(jié)合思想及其應用[J].山西煤炭管理干部學院學報 , 2007,102-103.[4]施獻慧.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學解題中的應用[J].云南教育 , 2003年7月：68-70.[5]王銀篷.淺談數(shù)形結(jié)合的方法[J].中學數(shù)學 , 2006年12月第3版：25-27 [6]盧丙仁.數(shù)形結(jié)合的思想方法在函數(shù)教學中的應用[J].開封教育學院學報 , 2003，（20）：39-41.[7]劉煥芬.巧用數(shù)形結(jié)合思想解題[J].數(shù)學通報 , 2005年4月：66-69.[8] 袁桂珍.數(shù)形結(jié)合思想方法及其運用[J].廣西教育 , 2004,(15):44-45.The combination of the number and shape at middle school math teaching Gan Shijun(School of Mathematics & Statistics, Anyang Normal University, Anyang, Henan455002） Abstract: For combining the number and shape is an important way of thinking in teaching of mathematics, “number” and “shape” according to certain conditions can be transformed.This paper, by mutual transformation to solve the function of the graphics, inequality, track, etc.To master the method of combining the number and shape is helpful for students to improve mathematics connotation and improve the students' ability to analyze and solve problems and to cultivate students' innovation consciousness has stimulative effect.Keywords: Combining the number and shape;Methods;Mathematics teaching;application 第10頁 淺談電子白板在中學數(shù)學教學中的應用 1.新課標要求 《數(shù)學新課程標準》明確指出：數(shù)學課程的設(shè)計與實施應重視運用現(xiàn)代信息技術(shù)，特別要充分考慮計算機、電子白板對數(shù)學教學內(nèi)容和方式的影響，大力開發(fā)并向?qū)W生提供更為豐富的學習資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學生學習數(shù)學和解決問題強有力的工具，致力于改變學生的學習方式，使學生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的教學活動中去。教師利用計算機對圖形、數(shù)字、動畫、聲音、背景等內(nèi)容進行綜合處理，使得學生易于理解和掌握所學內(nèi)容，培養(yǎng)學生的探索能力、創(chuàng)新意識和解決問題的能力。 2.激發(fā)學生的學習興趣 利用電子白板可以圖文并茂、聲像并舉、能動會變、形象直觀的特點為學生創(chuàng)設(shè)各種情境，激起學生各種感官的參與，調(diào)動學生強烈的學習欲望，激發(fā)學生的學習動機和興趣。由于數(shù)學學科的一個特點是邏輯性強，抽象思維要求高，尤其是涉及到空間問題、動態(tài)過程問題、復雜計算問題等不易理解的內(nèi)容時，它能使這些復雜的問題轉(zhuǎn)化為直觀、形象、生動的感性情景，這樣大大降低了學生理解和教師教學的難度。在交互式電子白板下，教學信息的呈現(xiàn)方式是立體的、豐富的、生動有趣的，不僅有數(shù)式的變換，更重要的是一些“形”的變換。利用電子白板，展示幾何模型，進行圖像的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換，把復雜的數(shù)學問題具體化、簡單化，形象化。同時把數(shù)學中的對稱美、和諧美和曲線美展示給學生，讓學生領(lǐng)略到數(shù)學學習中的無限風光，激發(fā)學生探究學習的情趣。 例如，在4年級的直線、射線、線段一節(jié)課中，為了引出課題，筆者收集了斜拉索橋、鐵軌和池谷的圖片，在白板上展示一張彗星的彗尾圖片，使得學生對現(xiàn)實生活中的線段、直線和射線產(chǎn)生了直觀的認識。 3.鍛煉學生的探究能力 學習數(shù)學的最終目的是數(shù)學知識的運用。不論是數(shù)學運用，還是數(shù)學創(chuàng)新，都離不開探究，沒有了探究，任何學科（包括數(shù)學）都會失去靈魂。利用電子白板，很容易就可以做出任意三角形，學生自己拖動鼠標來改變?nèi)切蔚男螤?，可以觀察到不管三角形如何變化，三角形內(nèi)角和一直是180°。由于教學過程是隨意變化的，比用黑板畫一個個圖形要方便得多，又比多媒體課件設(shè)定的圖形要靈活得多。 教師在備課時考慮的主要不是講什么、怎樣講，而是如何創(chuàng)設(shè)符合教學內(nèi)容要求的情境，如何指導學生做實驗，如何組織學生進行合作學習和交流……這樣，教師就可以由課堂的主宰者、知識的灌輸者、教學的主導者，轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W活動的組織者、學習情境的創(chuàng)設(shè)者、學生實驗過程的指導者和幫助者。教學中，可以通過運用交互式電子白板注重學生探究能力的鍛煉，注重問題探究過程中的知識形成，注意課堂角色的人機轉(zhuǎn)換，學生是主體，教師是輔助，這樣就能夠提高課堂效率，提高學生的整體數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的探究能力。 4.培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識 在數(shù)學教學中，學生創(chuàng)新能力的含義是很廣泛的，它包括學生自己提出問題，探索新規(guī)律，得出新結(jié)論，直至提出新理論的能力。培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性是創(chuàng)新教學的歸宿。但從一定意義上講，創(chuàng)造性的思維能力又是最重要的數(shù)學能力。在教學中，教師要注意學生思維能力的培養(yǎng)，引導學生在思考中善于發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，自我解決問題，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和生活中各種數(shù)量關(guān)系的科學。教學的最終目的是使學生能運用本課內(nèi)容創(chuàng)造性地解決實際問題。交互式電子白板的運用，能充分挖掘教材，引發(fā)聯(lián)想，啟發(fā)思維，化繁為簡，化難為易，啟迪學生進行全方位、立體的思維，展開想象的翅膀?！秷D形的旋轉(zhuǎn)》這一課，教師利用電子白板對圖像的旋轉(zhuǎn)功能，先指名學生把三角形繞定點進行順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)，通過兩幅不同方向旋轉(zhuǎn)圖的對比，學生充分感受到了逆時針旋轉(zhuǎn)和順時針旋轉(zhuǎn)中的異同。而后面的許多圖形的旋轉(zhuǎn)都可以由學生自己上臺操作完成，讓學生在實際操作旋轉(zhuǎn)圖形的過程中，充分感受到旋轉(zhuǎn)的魅力。電子白板中既提供了“操作空間”，又在后面插入了三角形順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)的動畫演示，通過觀察和操作的結(jié)合，促使學生的操作與思考從無序走向有序。借助電子白板完成的這個的活動，既吸引了學生的注意力，又很好地突破了教學的重難點。由于圖形是連續(xù)變化的，有利于學生對問題的深刻理解和熟練掌握。相反，用傳統(tǒng)的教學方法來研究，就要分別畫出許多圖形，然后分析、判斷，不僅耗時多，難度大，而且又不易掌握。而應用多媒體課件教學，只能使學生按照教師預設(shè)思路來學習，不利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。 5.提高學生解決問題的能力 解決問題是一個發(fā)現(xiàn)、探索的過程，也是學生親身感受問題、尋找解題策略，實現(xiàn)再創(chuàng)造以及體驗數(shù)學價值的過程。通過質(zhì)疑、解疑，讓學生具備創(chuàng)新思維、創(chuàng)新個性、創(chuàng)新能力。在數(shù)學教學中，豐富的交互式電子白板教學方式，有利于學生創(chuàng)造性解決問題能力的培養(yǎng)和提高。在教學中，教師要有意識地將所要學習的知識與學生已有的生活經(jīng)驗聯(lián)系起來，創(chuàng)設(shè)虛擬化場景，使抽象的數(shù)學知識直觀化、形象化，讓學生體驗到數(shù)學知識就在身邊，生活中充滿數(shù)學。引導學生在體驗中理解事物的本質(zhì)、掌握數(shù)學規(guī)律。例如，在教學圓柱體的側(cè)面積計算時，用交互式電子白板課件出示3種不同的圓柱體，讓學生猜想：“圓柱體的側(cè)面展開后會是什么樣的圖形？”學生展開了熱烈的討論，有的說是長方形、有的說是正方形、有的說是平行四邊形。這時筆者并不急于表態(tài)，首先表揚了他們愛動腦筋，敢說、敢爭辯的精神，然后提出“到底是什么圖形呢？”再通過課件演示3種圓柱體的展開圖，學生發(fā)現(xiàn)有的是長方形，有的是正方形。再讓學生觀察圓柱側(cè)面展開圖長方形的長與寬與圓柱體的底和高有什么關(guān)系？學生發(fā)現(xiàn)圓柱體底面周長等于長方形的長，高等于長方形的寬，然后讓學生根據(jù)長方形的面積公式推導出圓柱體側(cè)面積的計算公式。這樣讓學生自己觀察，獨立思考，提高了學生解決問題的能力。 6.總結(jié) 電子白板在現(xiàn)代社會不僅成為教學的重要內(nèi)容，也成為教學的重要工具，交互式電子白板正在改變著傳統(tǒng)的教學模式。電子白板作為新型的現(xiàn)代教育技術(shù)手段走進了課堂，它同時具備了黑板和多媒體課件的優(yōu)點，構(gòu)成了真正的現(xiàn)代化教學體系。這種新的教育模式促使教師的觀念和行為發(fā)生了深刻的變化，從根本上改變了傳統(tǒng)的師生關(guān)系和交往方式。教師更多地以管理者和引導者身份出現(xiàn)在教學中，而不再是說教者。學生也從被動的知識接收者轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃拥奶剿髡吆蛡€性化的獨立學習者，在教師的指導和幫助下學習和研究各種知識和技能時，學習能力、探索能力、創(chuàng)新意識、解決問題的能力都能得到快速提高。 淺談微積分在中學數(shù)學教學中的應用 初等數(shù)學是高等數(shù)學的基礎(chǔ)，二者有著本質(zhì)的聯(lián)系。將高等數(shù)學的理論應用于初等數(shù)學，使其內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系得以體現(xiàn)，進而去指導初等數(shù)學的教學工作。作為中學數(shù)學教師，除了應熟練掌握各種題型的初等解法外，還應善于運用高等數(shù)學知識解決中學數(shù)學問題，特別是一些用初等數(shù)學方法難以解決或雖能解決但顯得難、繁，而用高等數(shù)學的方法則易于解決的中學數(shù)學問題，從而拓廣解題思路和技巧，提高教師專業(yè)水平，促進中學數(shù)學教學。 高等數(shù)學是初等數(shù)學的延續(xù)和發(fā)展，而初等數(shù)學是高等數(shù)學的基礎(chǔ)。作為學習和研究數(shù)學的途徑，無疑應該先學習和掌握初等數(shù)學，然后才能學習和掌握高等數(shù)學。反之，學習高等數(shù)學能加深加寬對初等數(shù)學的理解，可以提高我們的數(shù)學修養(yǎng)，開闊思路，提高解決問題的能力。而在初等數(shù)學與高等數(shù)學的研究與發(fā)展中微積分都占有重要的地位。 一．用微積分知識直接用來處理初等數(shù)學的問題而達到簡便的目的。 在初等數(shù)學中有些不能或不易解決的問題，運用高等數(shù)學的理論和方法可以得到圓滿的解決.例如：中學數(shù)學中證明某些恒等式時的恒等變形過程相當繁雜，稍不小心就會出錯。如果題目再復雜一些，就更困難。使用微積分的知識，可以避免繁雜的工作。 例1（方程根的討論） 求證(x?a)(x?a?b)?1有兩個相異實根，并且一個根大于a，令一個根小于a． 證法一（采用初等方法證明） 證明將方程(x?a)(x?a?b)?1整理的22??x?2a?bx?a?ab?1?0?? 2?????2a?b?4a?ab?12 222?4a?4ab?b?4a?4ab?4 2?b?4?0 ?? 所以方程有兩個相異的實根 2a?b?b2?42a?b?b2?4x1?,x2?22 2a?b?b2?4b?b2?4?x1?a??a?22 2a?b?b2?4b?2?4x2?a??a?22 因為 b2?4?b2,所以b2?4?b.因此x1?a,x2?a.證法二（采用微積分方法證明） 證明設(shè)f?x???x?a??x?a?b??1 則 x?0f?a???1?0因為limf?x????，所以在區(qū)間???,a?和?a,???內(nèi)分別存在?和?，使 f????0,f????0 由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，在區(qū)間??,a?和?a,??內(nèi)分別存在x1和x2，使的f?x1??0,f?x2??0 這表明x1和x2是方程的兩個相異實根，x1?a,x2?a.不僅如此，根據(jù)這一證法，我們還可以深化和拓廣對這一方程的研究，獲得新的結(jié)論．因為f?a?b???1?0 所以a?b同樣介于方程的兩根之間，我們還可以看到，方程?x?a??x?a?b??1的右端對于本題的結(jié)論來說并非是至關(guān)重要的，關(guān)鍵是方程的右端必須是一個正數(shù)．于是綜合以上兩點可以得到更為一般的結(jié)論：設(shè)c?0，則方程?x?a??x?a?b??c必有兩個相異實根，且均介于方程的兩根之間． 注：本題用初等數(shù)學的方法證明必須分為兩步：先利用判別式證明方程有兩個相異實根，再利用求根公式求出方程的兩個根，并與a比較其大小，這樣做具有一定的計算量，顯得麻煩．而采用微積分的方法，可將兩步并為一步，顯得簡捷，而且還可以得到更為深層的結(jié)論。 例2（不等式的證明） 若x?0，求證：x?ln?1?x??x 1?x 證明設(shè)f?x??ln?1?x?則f?x?在?0,x?上滿足拉格朗日中值定理，故存在???0,x?使f????? 即 f?x??f?0? x?01ln?1?x? ?1??x 11??1 1?x1???0???x,? ?1ln?1?x???1 1?xx x?ln?1?x??x 即1?x 注 不等式的證明方法多種多樣，沒有統(tǒng)一的模式，初等數(shù)學常用的方法是恒等變形、數(shù)學歸納法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有較高的技巧．利用微積分的方法證明不等式，常利用函數(shù)的增減性、微分中值定理等有關(guān)知識，它可使不等式證明的過程大大簡化，技巧性降低，但也沒有固定模式． 例 3（代數(shù)式的化簡） 化簡?x?y?z???x?y?z???y?z?x???z?x?y?.3333 解把x看作變量，y與z看作常量．令 f?x???x?y?z???x?y?z???y?z?x???z?x?y?.3333 對求導得 f??x??3?x?y?z???x?y?z???y?z?x???z?x?y??24yz 2222?? 上式兩端取不定積分得 f?x???24yzdx?24xyz?C ??x?y?z???x?y?z???y?z?x???z?x?y??24xyz?C 3333 令x?0得C??y?z???y?z???y?z???z?y??0 3333 故原式?24xyz 注 對于代數(shù)式的化簡，初等數(shù)學常采用的方法是把各項展開然后合并同類項，計算量比較大，比較繁瑣。利用微積分方法可使解題過程簡化。 二．微積分可以為初等數(shù)學中常用的數(shù)學方法提供理論依據(jù)。 例如：在中學數(shù)學中，我們經(jīng)常用的一些定理、公理都不加以證明，只用其結(jié)論。這些在高等數(shù)學中，利用微積分等知識就可以進行推理，例如：祖恒定理的證明。我們可以用這些方法解決用其他數(shù)學方法難于處理的許多問題。祖恒定理的證明 高中立體幾何中的祖恒定理只是作為公理進行應用，事實上，它無法用中學知識證明，而在高等數(shù)學中，用積分的理論可很容易地給出它的理論證明。 證明 在夾兩個立體的兩平面的任一平面上，任取一點為原點O，過O且垂直于這個平面的直線取為x軸，并把射向另一個平面的方向記為x軸的正向，把兩平行平面的距離記為h，設(shè)夾在這兩個平面之間的平行于這兩個平面的平面，截坐標軸于x，且截兩立體所得的截面面積分別為S1?x?與S2?x?，顯然S1?x?與 設(shè)兩立體的體積分別為V1和V2，由定積分定義得： S2?x?都是?0,h?上的連續(xù)函數(shù)，V1??S1?x?dxV2??S2?x?dx 00hh ?S1?x??S2?x?x??0,h? ??S1?x?dx??S2?x?dx 00hh ?V1?V2 總之，高等數(shù)學與初等數(shù)學有著千絲萬縷的聯(lián)系，其中微積分都扮演著重要的角色，它不但能解決初等數(shù)學中的諸多問題，而且成為高等數(shù)學發(fā)展的基礎(chǔ)。用微積分的知識解決初等數(shù)學難以解決的問題。微積分的理論是研究高等數(shù)學與中學數(shù)學關(guān)系時不可或缺的部分，它對中學數(shù)學有重要的指導作用。將高等數(shù)學的理論應用于初等數(shù)學，使其內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系得以體現(xiàn)，進而去指導初等數(shù)學的教學工作。 作為中學數(shù)學教師，除了應熟練掌握各種題型的初等解法外，還應善于運用高等數(shù)學知識解決中學數(shù)學問題，特別是一些用初等數(shù)學方法難以解決或雖能解決但顯得難、繁，而用高等數(shù)學的方法則易于解決的中學數(shù)學問題，從而拓廣解題思路和技巧，提高教師專業(yè)水平，促進中學數(shù)學教學。第四篇：淺談電子白板在中學數(shù)學教學中的應用
第五篇：淺談微積分在中學數(shù)學教學中的應用
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