第一篇：數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

曾幾何時，對于每一個步入大學(xué)的新生來說，都有過這樣的疑問，真的不大明白數(shù)分的實際應(yīng)用，而且說要兩個學(xué)期學(xué)完兩本書？它真的有這么重要嗎？面對諸多的質(zhì)疑，下面我就從數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系入手，通過對一些具體的實例分析，論述了極限、積分學(xué)、微分學(xué)在解決中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)于不等式與恒等式的證明、函數(shù)極值、方程根的討論、函數(shù)的性態(tài)、幾何問題等方面問題中應(yīng)用.數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)中最重要的一門基礎(chǔ)課，是幾乎所有后繼課程的基礎(chǔ)，在培養(yǎng)具有良好素養(yǎng)的數(shù)學(xué)及其應(yīng)用方面起著特別重要的作用。我們都知道，數(shù)學(xué)是所有學(xué)科的基礎(chǔ)，可以說自然學(xué)科中的所有的重大發(fā)現(xiàn)和成就都離不開數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，而數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)！正因為如此，我們更應(yīng)該深刻地認(rèn)識到基礎(chǔ)的重要性。

例如：一元微分學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，可用于不等式與恒等式的證明、求函數(shù)的極值、切線與單調(diào)區(qū)間問題、方程根的討論以及函數(shù)的變化性態(tài)及作圖中，其中在函數(shù)做圖中，函數(shù)的圖像可以其直觀性有著別的工具所不可替代的作用，特別是在說明一個函數(shù)的整體情況及其特征的時候，其作用尤為明顯，這就要求我們能正確地作出函數(shù)的圖像.中學(xué)教材在介紹二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)等函數(shù)時，通常用描點法作出函數(shù)的圖像.這種圖像一般是粗糙的，不一定能準(zhǔn)確地反映曲線在一些點和區(qū)間上的性態(tài).利用導(dǎo)數(shù)作為工具，可以有效地對函數(shù)的增減性、極值點、凹凸性等重要性態(tài)和關(guān)鍵點作出準(zhǔn)確的判斷，從而比較準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖像.又如：積分法原理和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，積分學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，最明顯體現(xiàn)在幾何問題的應(yīng)用中.在初等幾何中，一些公式?jīng)]有證明（如圓的面積公式），一些公式雖然給出了證明，但比較麻煩，如果應(yīng)用積分的思想和方法，他們可以迎刃而解.再如：不定積分的應(yīng)用，可由原函數(shù)轉(zhuǎn)化為直接積分法和基本積分法，其中直接積分法可直接用相關(guān)積分法知識求解，如：第一換元法及分部積分等等；在定積分的應(yīng)用中，定積分由相關(guān)條件、定理轉(zhuǎn)化應(yīng)用到牛頓-萊布尼茨公式從而求解定積分，如求解平面圖形的面積、由平行截面面積求體積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)曲面的面積等等解法都與數(shù)學(xué)分析息息相關(guān)。

所以，作為一名數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，對于積分學(xué)，定理雖易記誦，但對于理解的要求甚高，所以許多同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程存在著這樣的問題：上課能聽懂，課后解題卻不知所措。這一問題的產(chǎn)生主要是由于一方面對基本概念、基本定理理解得不夠深入，對定理的條件、結(jié)論理解得不夠貼切，對各部分知識之間的聯(lián)系區(qū)別不甚清楚所導(dǎo)致的。所以我們更應(yīng)該加強(qiáng)對實際應(yīng)用知識的學(xué)習(xí)，更多關(guān)注學(xué)科的變化，培養(yǎng)對問題的思考，領(lǐng)略到積分的魅力。

著名數(shù)學(xué)家、教育家喬治·波利亞也曾說過：“解題可以是人的最富有特征性的活動······假如你想要從解題中得到最大的收獲，你就應(yīng)該在所做的題目中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他問題時，能起到指導(dǎo)的作用?！睍r光茬冉，學(xué)業(yè)即將完成之時，心中感受良多，我相信只有我們努力學(xué)好專業(yè)知識，才能在以后的課堂教學(xué)上實時實地的應(yīng)用發(fā)揮出來，才能更好地給課堂和祖國的花朵增添活力、增添精彩。

第二篇：構(gòu)造思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

構(gòu)造思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

【摘要】 構(gòu)造思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，具有較強(qiáng)的靈活性與創(chuàng)造性.通過構(gòu)造數(shù)列對數(shù)學(xué)分析中的二個重要定理進(jìn)行了證明，不僅加深了知識點的理解，而且對提高學(xué)生解決問題的能力有重要意義.【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思想方法；構(gòu)造數(shù)列；輔助元素

【課題名稱】 獨立學(xué)院數(shù)學(xué)分析的教學(xué)方法探究與改革 【課題編號】 JG2014014

一、引 言

數(shù)學(xué)分析蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如類比、變換、化歸轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、遞推歸納、數(shù)形結(jié)合等，構(gòu)造思想是層次較高的一種，靈活運用可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高解決問題的能力.二、構(gòu)造思想的涵義

在解決問題時，根據(jù)問題的條件和結(jié)論或問題的性質(zhì)和特點，構(gòu)造出一個與研究對象緊密相關(guān)的輔助元素，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使原問題得以解決；或者構(gòu)造出一個符合條件但是不滿足結(jié)論的反例來否定結(jié)論.三、構(gòu)造思想的應(yīng)用

該思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用廣泛，如通過構(gòu)造函數(shù)證明微分中值定理、通過構(gòu)造圖像證明不等式、通過構(gòu)造不等式證明重要極限、通過構(gòu)造反例證明發(fā)散等，在此主要介紹構(gòu)造數(shù)列的應(yīng)用.1.在數(shù)列與其子列的關(guān)系中的應(yīng)用

數(shù)列及其數(shù)列的子列有以下的性質(zhì)定理：

數(shù)列{an}收斂當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列{an}的任何子列都收斂，且極限值相等.即

lim n→∞ an=a任意子列{ank}，有l(wèi)im k→∞ ank=a

該定理在分析數(shù)列收斂性，特別是證明數(shù)列發(fā)散中有非常重要的作用，只要找到一個發(fā)散的子列或者是找到兩個收斂的子列極限值不同即可說明，如數(shù)列-1 n，其偶數(shù)項組成的子列收斂于1，奇數(shù)項組成的子列收斂于-1，從而-1 n 發(fā)散.該定理的應(yīng)用較多，但其充分性的證明在教材中大都沒有給出具體證明，下面通過構(gòu)造的思想對其充分性進(jìn)行詳細(xì)的證明，方便學(xué)生加深理解.例1 對于數(shù)列{an}，若{an}的任意子列{ank}都有l(wèi)im k→∞ ank=a，則lim n←∞ an=a

分析 題目的條件情況太多我們不好入手，且已知若{an}收斂，則{an}的任何子列都收斂，且極限值相等，故選擇反證法，假設(shè){an}不收斂于a，只要可以構(gòu)造出一個子列不收斂于a即可.2.在海涅定理中的應(yīng)用

海涅定理是連接函數(shù)極限與數(shù)列極限的橋梁，有24種形式，但教材中一般只給x→x0這一種證明，其他的只給出結(jié)論或留給讀者.下面通過構(gòu)造的思想對x→∞的情況的充分性進(jìn)行證明.四、小 結(jié)

通過以上的結(jié)果，可知構(gòu)造思想比較靈活，但在解題過程中，只要弄清楚條件與結(jié)論的本質(zhì)特點，找出其中的聯(lián)系便可構(gòu)造出實現(xiàn)目的的輔助元素.其次海涅定理的其余幾種形式的證明可參考上述證明過程.【參考文獻(xiàn)】

[1]明清河.數(shù)學(xué)分析的思想與方法[M].濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2004，7.[2]劉江蓉.用構(gòu)造思想鍛煉學(xué)生的創(chuàng)造性思維[J].高等函授學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，6.[3]王兵.概率統(tǒng)計的思想方法[M].濟(jì)南：山東教育出版社，2007，8.[4]劉玉璉，傅沛仁等.數(shù)學(xué)分析講義（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.5.[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

第三篇：淺談電子白板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

淺談電子白板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.新課標(biāo)要求

《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)重視運用現(xiàn)代信息技術(shù)，特別要充分考慮計算機(jī)、電子白板對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和方式的影響，大力開發(fā)并向?qū)W生提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題強(qiáng)有力的工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的教學(xué)活動中去。教師利用計算機(jī)對圖形、數(shù)字、動畫、聲音、背景等內(nèi)容進(jìn)行綜合處理，使得學(xué)生易于理解和掌握所學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力、創(chuàng)新意識和解決問題的能力。

2.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

利用電子白板可以圖文并茂、聲像并舉、能動會變、形象直觀的特點為學(xué)生創(chuàng)設(shè)各種情境，激起學(xué)生各種感官的參與，調(diào)動學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)和興趣。由于數(shù)學(xué)學(xué)科的一個特點是邏輯性強(qiáng)，抽象思維要求高，尤其是涉及到空間問題、動態(tài)過程問題、復(fù)雜計算問題等不易理解的內(nèi)容時，它能使這些復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為直觀、形象、生動的感性情景，這樣大大降低了學(xué)生理解和教師教學(xué)的難度。在交互式電子白板下，教學(xué)信息的呈現(xiàn)方式是立體的、豐富的、生動有趣的，不僅有數(shù)式的變換，更重要的是一些“形”的變換。利用電子白板，展示幾何模型，進(jìn)行圖像的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題具體化、簡單化，形象化。同時把數(shù)學(xué)中的對稱美、和諧美和曲線美展示給學(xué)生，讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的無限風(fēng)光，激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的情趣。

例如，在4年級的直線、射線、線段一節(jié)課中，為了引出課題，筆者收集了斜拉索橋、鐵軌和池谷的圖片，在白板上展示一張彗星的彗尾圖片，使得學(xué)生對現(xiàn)實生活中的線段、直線和射線產(chǎn)生了直觀的認(rèn)識。

3.鍛煉學(xué)生的探究能力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的是數(shù)學(xué)知識的運用。不論是數(shù)學(xué)運用，還是數(shù)學(xué)創(chuàng)新，都離不開探究，沒有了探究，任何學(xué)科（包括數(shù)學(xué)）都會失去靈魂。利用電子白板，很容易就可以做出任意三角形，學(xué)生自己拖動鼠標(biāo)來改變?nèi)切蔚男螤睿梢杂^察到不管三角形如何變化，三角形內(nèi)角和一直是180°。由于教學(xué)過程是隨意變化的，比用黑板畫一個個圖形要方便得多，又比多媒體課件設(shè)定的圖形要靈活得多。

教師在備課時考慮的主要不是講什么、怎樣講，而是如何創(chuàng)設(shè)符合教學(xué)內(nèi)容要求的情境，如何指導(dǎo)學(xué)生做實驗，如何組織學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)和交流……這樣，教師就可以由課堂的主宰者、知識的灌輸者、教學(xué)的主導(dǎo)者，轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)活動的組織者、學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)者、學(xué)生實驗過程的指導(dǎo)者和幫助者。教學(xué)中，可以通過運用交互式電子白板注重學(xué)生探究能力的鍛煉，注重問題探究過程中的知識形成，注意課堂角色的人機(jī)轉(zhuǎn)換，學(xué)生是主體，教師是輔助，這樣就能夠提高課堂效率，提高學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生創(chuàng)新能力的含義是很廣泛的，它包括學(xué)生自己提出問題，探索新規(guī)律，得出新結(jié)論，直至提出新理論的能力。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性是創(chuàng)新教學(xué)的歸宿。但從一定意義上講，創(chuàng)造性的思維能力又是最重要的數(shù)學(xué)能力。在教學(xué)中，教師要注意學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生在思考中善于發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，自我解決問題，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和生活中各種數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。教學(xué)的最終目的是使學(xué)生能運用本課內(nèi)容創(chuàng)造性地解決實際問題。交互式電子白板的運用，能充分挖掘教材，引發(fā)聯(lián)想，啟發(fā)思維，化繁為簡，化難為易，啟迪學(xué)生進(jìn)行全方位、立體的思維，展開想象的翅膀?！秷D形的旋轉(zhuǎn)》這一課，教師利用電子白板對圖像的旋轉(zhuǎn)功能，先指名學(xué)生把三角形繞定點進(jìn)行順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)，通過兩幅不同方向旋轉(zhuǎn)圖的對比，學(xué)生充分感受到了逆時針旋轉(zhuǎn)和順時針旋轉(zhuǎn)中的異同。而后面的許多圖形的旋轉(zhuǎn)都可以由學(xué)生自己上臺操作完成，讓學(xué)生在實際操作旋轉(zhuǎn)圖形的過程中，充分感受到旋轉(zhuǎn)的魅力。電子白板中既提供了“操作空間”，又在后面插入了三角形順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)的動畫演示，通過觀察和操作的結(jié)合，促使學(xué)生的操作與思考從無序走向有序。借助電子白板完成的這個的活動，既吸引了學(xué)生的注意力，又很好地突破了教學(xué)的重難點。由于圖形是連續(xù)變化的，有利于學(xué)生對問題的深刻理解和熟練掌握。相反，用傳統(tǒng)的教學(xué)方法來研究，就要分別畫出許多圖形，然后分析、判斷，不僅耗時多，難度大，而且又不易掌握。而應(yīng)用多媒體課件教學(xué)，只能使學(xué)生按照教師預(yù)設(shè)思路來學(xué)習(xí)，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

5.提高學(xué)生解決問題的能力

解決問題是一個發(fā)現(xiàn)、探索的過程，也是學(xué)生親身感受問題、尋找解題策略，實現(xiàn)再創(chuàng)造以及體驗數(shù)學(xué)價值的過程。通過質(zhì)疑、解疑，讓學(xué)生具備創(chuàng)新思維、創(chuàng)新個性、創(chuàng)新能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，豐富的交互式電子白板教學(xué)方式，有利于學(xué)生創(chuàng)造性解決問題能力的培養(yǎng)和提高。在教學(xué)中，教師要有意識地將所要學(xué)習(xí)的知識與學(xué)生已有的生活經(jīng)驗聯(lián)系起來，創(chuàng)設(shè)虛擬化場景，使抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化、形象化，讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)知識就在身邊，生活中充滿數(shù)學(xué)。引導(dǎo)學(xué)生在體驗中理解事物的本質(zhì)、掌握數(shù)學(xué)規(guī)律。例如，在教學(xué)圓柱體的側(cè)面積計算時，用交互式電子白板課件出示3種不同的圓柱體，讓學(xué)生猜想：“圓柱體的側(cè)面展開后會是什么樣的圖形？”學(xué)生展開了熱烈的討論，有的說是長方形、有的說是正方形、有的說是平行四邊形。這時筆者并不急于表態(tài)，首先表揚了他們愛動腦筋，敢說、敢爭辯的精神，然后提出“到底是什么圖形呢？”再通過課件演示3種圓柱體的展開圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)有的是長方形，有的是正方形。再讓學(xué)生觀察圓柱側(cè)面展開圖長方形的長與寬與圓柱體的底和高有什么關(guān)系？學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓柱體底面周長等于長方形的長，高等于長方形的寬，然后讓學(xué)生根據(jù)長方形的面積公式推導(dǎo)出圓柱體側(cè)面積的計算公式。這樣讓學(xué)生自己觀察，獨立思考，提高了學(xué)生解決問題的能力。

6.總結(jié)

電子白板在現(xiàn)代社會不僅成為教學(xué)的重要內(nèi)容，也成為教學(xué)的重要工具，交互式電子白板正在改變著傳統(tǒng)的教學(xué)模式。電子白板作為新型的現(xiàn)代教育技術(shù)手段走進(jìn)了課堂，它同時具備了黑板和多媒體課件的優(yōu)點，構(gòu)成了真正的現(xiàn)代化教學(xué)體系。這種新的教育模式促使教師的觀念和行為發(fā)生了深刻的變化，從根本上改變了傳統(tǒng)的師生關(guān)系和交往方式。教師更多地以管理者和引導(dǎo)者身份出現(xiàn)在教學(xué)中，而不再是說教者。學(xué)生也從被動的知識接收者轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃拥奶剿髡吆蛡€性化的獨立學(xué)習(xí)者，在教師的指導(dǎo)和幫助下學(xué)習(xí)和研究各種知識和技能時，學(xué)習(xí)能力、探索能力、創(chuàng)新意識、解決問題的能力都能得到快速提高。

第四篇：淺談微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

淺談微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，二者有著本質(zhì)的聯(lián)系。將高等數(shù)學(xué)的理論應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)，使其內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系得以體現(xiàn)，進(jìn)而去指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作。作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，除了應(yīng)熟練掌握各種題型的初等解法外，還應(yīng)善于運用高等數(shù)學(xué)知識解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題，特別是一些用初等數(shù)學(xué)方法難以解決或雖能解決但顯得難、繁，而用高等數(shù)學(xué)的方法則易于解決的中學(xué)數(shù)學(xué)問題，從而拓廣解題思路和技巧，提高教師專業(yè)水平，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延續(xù)和發(fā)展，而初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。作為學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的途徑，無疑應(yīng)該先學(xué)習(xí)和掌握初等數(shù)學(xué)，然后才能學(xué)習(xí)和掌握高等數(shù)學(xué)。反之，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)能加深加寬對初等數(shù)學(xué)的理解，可以提高我們的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，開闊思路，提高解決問題的能力。而在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的研究與發(fā)展中微積分都占有重要的地位。

一．用微積分知識直接用來處理初等數(shù)學(xué)的問題而達(dá)到簡便的目的。

在初等數(shù)學(xué)中有些不能或不易解決的問題，運用高等數(shù)學(xué)的理論和方法可以得到圓滿的解決.例如：中學(xué)數(shù)學(xué)中證明某些恒等式時的恒等變形過程相當(dāng)繁雜，稍不小心就會出錯。如果題目再復(fù)雜一些，就更困難。使用微積分的知識，可以避免繁雜的工作。

例1（方程根的討論）

求證(x?a)(x?a?b)?1有兩個相異實根，并且一個根大于a，令一個根小于a． 證法一（采用初等方法證明）

證明將方程(x?a)(x?a?b)?1整理的22??x?2a?bx?a?ab?1?0??

2?????2a?b?4a?ab?12

222?4a?4ab?b?4a?4ab?4

2?b?4?0 ??

所以方程有兩個相異的實根

2a?b?b2?42a?b?b2?4x1?,x2?22

2a?b?b2?4b?b2?4?x1?a??a?22

2a?b?b2?4b?2?4x2?a??a?22

因為 b2?4?b2,所以b2?4?b.因此x1?a,x2?a.證法二（采用微積分方法證明）

證明設(shè)f?x???x?a??x?a?b??1

則

x?0f?a???1?0因為limf?x????，所以在區(qū)間???,a?和?a,???內(nèi)分別存在?和?，使

f????0,f????0

由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，在區(qū)間??,a?和?a,??內(nèi)分別存在x1和x2，使的f?x1??0,f?x2??0

這表明x1和x2是方程的兩個相異實根，x1?a,x2?a.不僅如此，根據(jù)這一證法，我們還可以深化和拓廣對這一方程的研究，獲得新的結(jié)論．因為f?a?b???1?0 所以a?b同樣介于方程的兩根之間，我們還可以看到，方程?x?a??x?a?b??1的右端對于本題的結(jié)論來說并非是至關(guān)重要的，關(guān)鍵是方程的右端必須是一個正數(shù)．于是綜合以上兩點可以得到更為一般的結(jié)論：設(shè)c?0，則方程?x?a??x?a?b??c必有兩個相異實根，且均介于方程的兩根之間．

注：本題用初等數(shù)學(xué)的方法證明必須分為兩步：先利用判別式證明方程有兩個相異實根，再利用求根公式求出方程的兩個根，并與a比較其大小，這樣做具有一定的計算量，顯得麻煩．而采用微積分的方法，可將兩步并為一步，顯得簡捷，而且還可以得到更為深層的結(jié)論。

例2（不等式的證明）

若x?0，求證：x?ln?1?x??x 1?x

證明設(shè)f?x??ln?1?x?則f?x?在?0,x?上滿足拉格朗日中值定理，故存在???0,x?使f?????

即 f?x??f?0? x?01ln?1?x? ?1??x

11??1 1?x1???0???x,?

?1ln?1?x???1 1?xx

x?ln?1?x??x 即1?x

注 不等式的證明方法多種多樣，沒有統(tǒng)一的模式，初等數(shù)學(xué)常用的方法是恒等變形、數(shù)學(xué)歸納法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有較高的技巧．利用微積分的方法證明不等式，常利用函數(shù)的增減性、微分中值定理等有關(guān)知識，它可使不等式證明的過程大大簡化，技巧性降低，但也沒有固定模式． 例 3（代數(shù)式的化簡）

化簡?x?y?z???x?y?z???y?z?x???z?x?y?.3333

解把x看作變量，y與z看作常量．令

f?x???x?y?z???x?y?z???y?z?x???z?x?y?.3333

對求導(dǎo)得

f??x??3?x?y?z???x?y?z???y?z?x???z?x?y??24yz 2222??

上式兩端取不定積分得 f?x???24yzdx?24xyz?C

??x?y?z???x?y?z???y?z?x???z?x?y??24xyz?C 3333

令x?0得C??y?z???y?z???y?z???z?y??0 3333

故原式?24xyz

注 對于代數(shù)式的化簡，初等數(shù)學(xué)常采用的方法是把各項展開然后合并同類項，計算量比較大，比較繁瑣。利用微積分方法可使解題過程簡化。

二．微積分可以為初等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)方法提供理論依據(jù)。

例如：在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用的一些定理、公理都不加以證明，只用其結(jié)論。這些在高等數(shù)學(xué)中，利用微積分等知識就可以進(jìn)行推理，例如：祖恒定理的證明。我們可以用這些方法解決用其他數(shù)學(xué)方法難于處理的許多問題。祖恒定理的證明

高中立體幾何中的祖恒定理只是作為公理進(jìn)行應(yīng)用，事實上，它無法用中學(xué)知識證明，而在高等數(shù)學(xué)中，用積分的理論可很容易地給出它的理論證明。

證明 在夾兩個立體的兩平面的任一平面上，任取一點為原點O，過O且垂直于這個平面的直線取為x軸，并把射向另一個平面的方向記為x軸的正向，把兩平行平面的距離記為h，設(shè)夾在這兩個平面之間的平行于這兩個平面的平面，截坐標(biāo)軸于x，且截兩立體所得的截面面積分別為S1?x?與S2?x?，顯然S1?x?與

設(shè)兩立體的體積分別為V1和V2，由定積分定義得： S2?x?都是?0,h?上的連續(xù)函數(shù)，V1??S1?x?dxV2??S2?x?dx 00hh

?S1?x??S2?x?x??0,h?

??S1?x?dx??S2?x?dx 00hh

?V1?V2

總之，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系，其中微積分都扮演著重要的角色，它不但能解決初等數(shù)學(xué)中的諸多問題，而且成為高等數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。用微積分的知識解決初等數(shù)學(xué)難以解決的問題。微積分的理論是研究高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)系時不可或缺的部分，它對中學(xué)數(shù)學(xué)有重要的指導(dǎo)作用。將高等數(shù)學(xué)的理論應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)，使其內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系得以體現(xiàn)，進(jìn)而去指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作。

作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，除了應(yīng)熟練掌握各種題型的初等解法外，還應(yīng)善于運用高等數(shù)學(xué)知識解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題，特別是一些用初等數(shù)學(xué)方法難以解決或雖能解決但顯得難、繁，而用高等數(shù)學(xué)的方法則易于解決的中學(xué)數(shù)學(xué)問題，從而拓廣解題思路和技巧，提高教師專業(yè)水平，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

第五篇：對稱性在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

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對稱性在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

作者：陳艷

來源：《中學(xué)時代》2013年第02期

數(shù)學(xué)中存在著豐富的美：簡潔美、奇異美、對稱美、統(tǒng)一美。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，我們老師可以充分挖掘數(shù)學(xué)美的因素，并通過各種有效途徑傳授給學(xué)生，會對數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生積極的影響。中學(xué)數(shù)學(xué)中的對稱美就是最好的教材。