第一篇：利用勾股定理解折疊問題.

利用勾股定理解折疊問題 一．知識儲備：

（1）一般地，只要給出了直角三角形中任意兩邊長，則可求出第三邊。（應(yīng)用時要注意那個角為直角。）

例如：已知直角三角形ABC, 若AB=13,AC=12,則以BC 為邊長的正方形面積為＿

＿。（分類討論的思想）

（2）特別注意：勾股定理與直角三角形面積，等腰直角三角形的結(jié)合題目。

（1）S △ABC=21 ×AB ×BC=21

×AC ×h（h 為AC 邊上的高）利用這個等式建立方程。（2）等腰三角形的“三線合一”，等腰直角三角形只要知道一條邊長就可以求出其它邊長。

例如．在ABC ? 中，ACB ∠=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB 于點D, 求CD 的長。（3）構(gòu)造直角三角形

一般三角形的線段計算問題，可以通過作垂線構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理。例如：已知：△DEF 中，DE=17㎝,DF=10㎝，EF=21㎝，求EF 的長。

二．折疊問題

折疊問題與軸對稱和圖形全等是密不可分的.折疊前后，重合線段相等，重合角相等。利用勾股定理列方程是常用方法。做題時一定要抓住這一點, 以免有無從下手。

D 例如：如圖, 把長方形紙片ABCD 折疊, 使頂點A 與頂點C 重合在一起,EF 為折痕。若AB=3,BC=9.點D 對應(yīng)點是G(1 求BE(2 求△AEF 面積(3 求EF 長(4 連接DG, 求△DFG 面積 三．強化練習(xí)

1.有一直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,將 ABC 折疊，使 點B 與點A 重合，者恒為DE，求CD 的長。

E B 知識鏈接： 勾股定理---------千古第一定理

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理，是人類最偉大的十個發(fā)現(xiàn)之一。在西方希臘畢達哥拉斯對本定理有所研究，故被稱之為“畢達哥拉斯定理”。我國的《周髀算經(jīng)》中就有對勾股定理的記載，為了紀(jì)念古人的偉大成就，就這個定理定名為“勾股定理”。（1）勾股定理是數(shù)與形的第一定理。

（2）勾股定理導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)(第一次數(shù)學(xué)危機。

（3）勾股定理中的公式是第一個不定方程，每組勾股數(shù)都為它的解。勾股定理的變式： a 2 = c2－b 2 , b 2= c2－a 2, a=22b c-, C =22b a +, b =22a c-（直角三角形的三邊長分別為a,b,c）1.已知直角的兩條邊長分別為5和12，求第三邊長。

2.已知 ABC 中，AB=15，AC=20，BC 邊上的高AD=12，求BC 的長。（分類討

E D C

B A 特殊平行四邊形中的動點問題

例1：如圖：邊長為a 的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，E 是異于A、D 兩點的動點，F(xiàn) 是CD 上的動點，滿足AE+CF=a，證明：不論E、F 怎樣移動，三角形BEF 總是等邊三角形．

例2：如圖，正方形ABCD 中，邊長為2，點P 是射線DC 上的動點，DM ⊥AP 于（1）當(dāng)點P 與C、D 重合時，DM+BN的值分別為＿＿＿（2）當(dāng)點P 不與C、D 重合時，試猜想DM2+BN2 的值，并對你的猜想加以證明

A

例

3、如圖，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 為CD 邊的中點，點P、Q 為BC 邊上兩個動點，且PQ=2，當(dāng)BP= ＿＿＿＿時，四邊形APQE 的周長最?。?/p>

C B A D C Q P A 矩形中折疊問題

折疊問題與軸對稱和圖形全等是密不可分的.折疊前后，重合線段相等，重合角相等。利用勾股定理列方程是常用方法。做題時一定要抓住這一點, 以免有無從下手。

例如：如圖, 把長方形紙片ABCD 折疊, 使頂點A 與頂點C 重合在一起,EF 為折痕。若AB=3,BC=9.點D 對應(yīng)點是G（1）求BE（2）求△AEF 面積（3）求EF 長（4）連接DG, 求△DFG 面積

（5）連接CF，四邊形AFCE 是什么四邊形？

E D C B A

第二篇：正方體折疊問題小結(jié)

0 基本形 A和a相對

Aa 1 如下圖所示的Z字形平面展開圖，折成立體時，兩端圖形一定是相對的，如下圖所示，這是最普通的Z字形，容易想象，A和a是相對的。

aA

基于上面原理，可以判斷出，下圖中A和a相對，B和b相對，C和c相對。

ABCabc 下面這個圖，不存在那種普通Z字形，但是可以很容易判斷出，A和a相對，B和b相對，C和c一定相對嗎？如果這個展開圖可以構(gòu)成立方體的話，那就一定相對了。那一定能構(gòu)成立方體嗎？這個就需要空間想象一下或者試驗一下。有時，題目直接告訴，這個圖形可以折成正方體，只是需要我們判斷哪些面是相對的。這樣的話就可以判斷出來，C和c是相對的。一般來說，只要我們從平面展開圖，分析處一個面存在兩個對面的情形時，那就一定不能折成正方體。

cAC 怎么在平面展開圖中判斷在平面展開圖中不相鄰但是在折起來之后在立體圖中相鄰的兩個面A和B的鄰邊? 一般來說，如果在平面展開圖上A和B不相鄰，那么A與B的對面b相鄰，也就是說我們?nèi)菀渍业紸與b的相鄰邊，我們又知道，A與B的鄰邊上的點一定在B上，而A與b鄰邊上的點一定在b上，而立體圖中B與b相對，所以A與b鄰邊上的點一定不在B上，所以A與B的鄰邊一定不包含這A與b鄰邊上的兩個點，在A上有三條邊與這兩個點有關(guān)，這樣A只有一條邊與這兩個點無關(guān)，從而判斷出這個邊是A與B的鄰邊。

補充說明：

因為立體圖中A與B的鄰邊上的兩個點都在B上，所以如果能判斷出平面展開圖中A的某一邊中有一個點在立體圖中不在B上，那么平面炸開圖上A的這條邊在立體圖中一定不是A與B的鄰邊。Bab基礎(chǔ)：在平面圖上相鄰，在立體圖中一定相鄰，在平面圖上的鄰邊一定也是立體 圖上的鄰邊。所以A與b在平面圖上的鄰變是line的話，那么在立體圖上line也一定是他們的鄰邊，立體圖中鄰邊line上的點在b上，因為鄰邊line上的點一定不在B上（因為b與B相對）而A的4條邊有三條與這兩個點有關(guān)，只有1條邊與這條邊無，所以立體圖中，A與b的鄰邊是剩下的那條邊。顯然這個分析過程用的是排除法。3 標(biāo)點法

標(biāo)記特殊點進行分析。有時需要判斷一個面內(nèi)各個點的時針順序來做題，外表面平面展開圖一個面內(nèi)各個點時針順序 應(yīng)該與立體圖中相應(yīng)的面各個點時針順序是一樣的，要么都是順時針，要不都是逆時針。還有時用到的是一個面中幾個邊的時針順序在平面展開圖與立體圖中一致這個性質(zhì)。比如在平面展開圖中一個面中三個邊la，lb，lc滿足從la到lb到lc再到la是順時針順序，那么在立體圖中這個面的這三條邊la，lb，lc也滿足這個性質(zhì)。

第三篇：課題學(xué)習(xí)利用拼圖驗證勾股定理)

拼圖與勾股定理教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目標(biāo)：

1．經(jīng)歷不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值；

2．通過驗證過程中數(shù)與形的結(jié)合，體會數(shù)形結(jié)合的思想以及數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。

3．通過利用微機進行豐富有趣的拼圖活動增強學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；通過探究總結(jié)活動，讓學(xué)生獲得成功的體驗和克服困難的經(jīng)歷，增進數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心；在合作學(xué)習(xí)活動中發(fā)展學(xué)生的合作交流的意識和能力。

4、熟悉勾股定理的歷史，進一步了解我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，培養(yǎng)探索知識的良好習(xí)慣。

教學(xué)重點

1．通過綜合運用已有知識解決問題的過程，加深對勾股定理、整式運算、面積等的認識。

2．通過拼圖驗證勾股定理的過程，使學(xué)生獲得一些研究問題與合作交流的方法與經(jīng)驗。

教學(xué)難點

1．利用“直角三角形”，“五巧板”拼出不同圖形進行驗證勾股定理。

2．利用數(shù)形結(jié)合的思想方法驗證勾股定理。

教學(xué)用具

電腦及使用flash軟件制作的課件

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境——勾股史話環(huán)節(jié)

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理，勾股定理的內(nèi)容是什么呢？（提問學(xué)生）

師：你都知道關(guān)于勾股定理的哪些歷史故事？你想了解更多的勾股定理的知識嗎？請同學(xué)們跟我一起點擊屏幕上的“開始”按鈕，進入勾股史話環(huán)節(jié)，去了解古今中外人們對勾股定理的研究和設(shè)想，感受一下勾股定理的文化內(nèi)涵。（讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)）

師：同學(xué)們看完之后有什么感想呢？

（提出問題讓學(xué)生自主思考再提問學(xué)生）

師：讓我們動起手來利用拼圖驗證勾股定理吧！

二、嘗試拼圖，驗證定理

（一）“動手拼一拼”環(huán)節(jié)

師：觀察勾股定理a2+b2=c2中的a2，b2和c2你想到了什么？

（引導(dǎo)學(xué)生說出是正方形，為后面的拼圖要拼成正方形打下伏筆。）師：我們只要拼成邊長分別是多少的正方形即可？

（生會回答出： a,b,c）

師：進入“動手拼一拼”環(huán)節(jié)，大家利用拼版中提供的全等的直角三角形根據(jù)操作說明進行拼圖驗證勾股定理，現(xiàn)在將鼠標(biāo)放在三角形上可將三角形任意拖動，拼版右邊設(shè)置了六個旋轉(zhuǎn)按鈕，能使選中的三角形按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)450或50或10，單擊“恢復(fù)”按鈕可使所有三角形返回原來的位置。同學(xué)們先自主完成，若有困難可以點擊屏幕上的“小博士”請教。點擊“返回”按鈕繼續(xù)根據(jù)提示進行拼圖即可。俗話說：“敢拼就會贏”，相信只要你敢于動手拼，一定會成為拼圖能手！

（讓生自己動手去拼圖，然后小組交流）

師：有請2組展示他們的拼圖圖案。哪組還有補充？

師：看來我們同學(xué)都是名副其實的拼圖高手。

師：那你能繼續(xù)發(fā)揮聰明才智，用你的拼圖驗證勾股定理嗎？每小組選擇一種完成，并派代表展示你們小組的驗證過程。

（讓學(xué)生展示他們的驗證過程）

第一種：（b－a）2 + 4×ab=c2，a2 ＋ b2 =c

2師：大家知道嗎？這就是弦圖，它最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時給出的。弦圖還是2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會的會標(biāo)圖案，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就，它更像一只轉(zhuǎn)動著的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家。這充分顯示了中國人對數(shù)學(xué)的熱愛和探索精神。今天，我在你們身上也看到了這種精神。

第二種：（a+b）=c + 4×ab，a ＋ b =c 第三種：（a+b）=ab + c+ab，a ＋ b =c

師：你們知道嗎？這種方法也是美國總統(tǒng)加菲爾德的驗證方法，這種方法也

被稱為總統(tǒng)證法。同學(xué)們的聰明勁一點不亞于美國總統(tǒng)。

（二）“五巧板驗證”環(huán)節(jié)

師： 大家都知道七巧板吧，那你知道數(shù)學(xué)中有五巧板嗎？我們能利用五巧板驗證勾股定理嗎？請同學(xué)們跟我一起進入“五巧板驗證”環(huán)節(jié)。點擊“步驟”按鈕，觀察五巧板的制作流程，從而熟悉五巧板的構(gòu)成。我們嘗試一下能否用一副五巧板進行拼圖驗證勾股定理。請同學(xué)們動手拼一拼。

師：通過拼圖同學(xué)們有何發(fā)現(xiàn)？先自主思考然后小組交流一下。

師：這位同學(xué)總結(jié)的非常好，以直角三角形三邊畫三個正方形，只要把以斜邊為邊的正方形制成五巧板，把這五塊拼在另兩個正方形中就可以驗證勾股定理。

師：會用一副五巧板驗證勾股定理，那你會用兩幅五巧板拼圖驗證勾股定理嗎？同學(xué)們先自主完成，有困難的同學(xué)可以向小博士請教。我們比一比誰是拼圖高手？（讓學(xué)生展示作品）

師：看來同學(xué)們都是心靈手巧的人。

師：通過剛才的展示你能總結(jié)一下利用五巧板拼圖的要點嗎？小組總結(jié)。利用五巧板拼成三角形或任意四邊形能驗證勾股定理嗎？ ***2212222

（讓學(xué)生進一步理解拼圖驗證勾股定理必須拼成正方形）

三、了解學(xué)習(xí)其他驗證方法

（一）“青朱出入圖”環(huán)節(jié)

師：大家想不想再進一步了解古今中外還有哪些驗證方法？

師：進入“青朱出入圖”環(huán)節(jié)。學(xué)習(xí)一下三國時代魏國的數(shù)學(xué)家劉徽為古籍《九章算術(shù)》作注時，用“出入相補法”證明勾股定理的方法。證明不需用任何數(shù)學(xué)符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為“無字證明”。

（二）“達芬奇驗證“環(huán)節(jié)

師：領(lǐng)略了中國古人的驗證方法，再讓我們再來了解一下外國人的驗證方法。我們都知道達﹒芬奇是一位著名的畫家，但很少有人知道他對勾股定理也有研究，讓我們一起進入“達芬奇驗證“環(huán)節(jié)，了解一下他是如何驗證勾股定理的。

四、總結(jié)提升

師： 學(xué)習(xí)和了解了這些驗證勾股定理的方法，你能不能總結(jié)一下可分為幾種類型？

（小組討論并展示，師最后總結(jié)）

師：可分為兩種類型：一是：以趙爽的“弦圖”為代表用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，除了勾股定理，還有我們學(xué)過的平方差公式和完全平公式。二是：以劉徽的“青朱出入圖”為代表的無字證明。以上的證明方法都從幾何圖形的面積變化入手，運用了數(shù)形結(jié)合的思想方法。

五、分享收獲

師：時間過的真快，相信每位同學(xué)都滿載而歸，每組派個代表，將你們組獲得的知識與大家一起分享吧！(讓學(xué)生自己展示)

六、拓展延伸

師：最后請同學(xué)們欣賞一顆美麗而神奇的樹。它是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的勾股定理樹也稱為“畢達哥拉斯樹”。它使我們大家深刻的感受到了幾何之美。在欣賞之余思考最外圍所有小正方形的面積之和與哪個正方形的面積相等？

七、結(jié)束語

勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證過程蘊涵了豐富的文化價值，古今中外已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了有370多種證明方法，希望同學(xué)們課后能通過上網(wǎng)查閱相關(guān)資料，一起走進神秘的勾股世界，去了解更多的驗證方法。

第四篇：折紙盒---正方體折疊問題小結(jié)-20170830

僅供參考，希望對大家有所啟發(fā)：

0 基本形 A和a相對

Aa 1 如下圖所示的Z字形平面展開圖，折成立體時，兩端圖形一定是相對的，如下圖所示，這是最普通的Z字形，容易想象，A和a是相對的。

aA

基于上面原理，可以判斷出，下圖中A和a相對，B和b相對，C和c相對。

ABCabc 下面這個圖，不存在那種普通Z字形，但是可以很容易判斷出，A和a相對，B和b相對，C和c一定相對嗎？如果這個展開圖可以構(gòu)成立方體的話，那就一定相對了。那一定能構(gòu)成立方體嗎？這個就需要空間想象一下或者試驗一下。有時，題目直接告訴，這個圖形可以折成正方體，只是需要我們判斷哪些面是相對的。這樣的話就可以判斷出來，C和c是相對的。一般來說，只要我們從平面展開圖，分析處一個面存在兩個對面的情形時，那就一定不能折成正方體。

cAC Bab運用上面的方法我們?nèi)菀着袛喑稣鄢烧襟w后，平面展開圖中那兩個正方形相對，也就進而判斷出那些正方形相鄰。怎么在平面展開圖中判斷在平面展開圖中不相鄰但是在折起來之后在立體圖中相鄰的兩個面A和B的鄰邊? 一般來說，如果A和B在平面展開圖在折成正方體后A和B相鄰，且A和B在平面展開圖中不相鄰（這里的在平面展開圖中不相鄰指的是在平面展開圖中沒有公共點），那么在平面展開圖中A與B的對面b一定相鄰（這里的在平面展開圖中兩個正方形相鄰指的是在平面展開圖中兩個正方形至少有一個公共點）。（這個結(jié)論可以進行實例驗證）

也就是說在平面展開圖中我們?nèi)菀渍业紸與b的相鄰邊，我們又知道，折成正方體后A與B的鄰邊上的點一定在B上，而平面展開圖中A與b鄰邊上的點在折成正方體后一定仍然在b上，而立體圖中B與b相對，所以A與b鄰邊l上的點一定不在B上，所以平面展開圖中正方形A中經(jīng)過l的端點的邊一定不是平面展開圖折成正方體后A與B的臨邊（因為如果A中經(jīng)過l的端點的邊是折成正方體后A與B的臨邊，那么折成正方體后l的端點一定在A上，而我們前面已經(jīng)判斷出平面展開圖折成正方體后l上的點在A的相對面A’，即不在A上，所以矛盾，故A中經(jīng)過l的端點的邊不是平面展開圖折成正方體后A與B的臨邊），而正方向A中四條邊只有一條邊，即正方形與l平行的邊，不經(jīng)過l的端點。

小結(jié)下：判斷出平面展開圖中正方形A與B折成正方體后相鄰后，如果我們想知道面平面展開圖中正方形A中哪條邊折成正方體后是B的臨邊，應(yīng)該怎么判斷呢？

首先在平面展開圖中找到B的相對面B’（即找到平面展開圖哪個正方形折成正方體后與B相對），平面展開圖中B’與A的臨邊一般很好判斷，確定了平面展開圖中B’與A的臨邊之后，正方形A中那條與該臨邊平行的邊就是折成正方體后面A中與面B相鄰的邊。同理可以找到B中哪條邊在平面展開圖折成正方體后與面A相鄰。首先在平面展開圖中找到平面展開圖折成正方體后面A的相對面，平面展開圖中，面A的相對面A‘與面B的臨邊一般很好判斷，即很容易確定正方形B中哪條邊在折成正方體后是面A‘的臨邊，正方形B中與該臨邊平行的邊就是折成正方體后B中與面A的相臨的邊。

即如果我們想判斷A哪條邊與某個面B的臨邊，我們需要在平面展開圖中正方向B的相對面。如果我們要判斷B的哪條邊在折成正方體后與A相鄰，我們需要在平面展開圖中判斷A的相對面。

上面已經(jīng)敘述了如何判斷出平面展開圖中兩個相鄰面的相鄰邊，這種方法繼續(xù)使用還可以判斷出平面展開圖這兩個相鄰面的相鄰邊那個點對應(yīng)哪個點。舉例說明如下：使用上面的方法容易判斷出折成正方體后A和c的臨邊是l1和l2即折成正方體后，l1和l2重合，是一條邊。但是折成正方體后點P1與P3重合呢還是與P4重合呢？判斷方法如下，再次使用上面的方法容易判斷出下面的平面展開圖折成正方體后c和B的臨邊是l3和l4，顯然在平面展開圖中P1是l1和l3的交點，折成立方體后仍然是l1和l3的交點，在平面展開圖中P折成立方體后仍然是l2和l4的交點，由于折成立方體后，3是l2和l4的交點，l1和l2重合，l3和l4重合，所以P1和P3重合，如此就判斷出了折成立方體后P1與P3重合，也就知道了P2與P4重合

l3P1l1P2P4l2cP3l4ACBab

補充說明：

因為立體圖中A與B的鄰邊上的兩個點都在B上，所以如果能判斷出平面展開圖中A的某一邊中有一個點在立體圖中不在B上，那么平面炸開圖上A的這條邊在立體圖中一定不是A與B的鄰邊。

基礎(chǔ)：在平面圖上相鄰，在立體圖中一定相鄰，在平面圖上的鄰邊一定也是立體圖上的鄰邊。所以A與b在平面圖上的鄰變是line的話，那么在立體圖上line也一定是他們的鄰邊，立體圖中鄰邊line上的點在b上，因為鄰邊line上的點一定不在B上（因為b與B相對）而A的4條邊有三條與這兩個點有關(guān)，只有1條邊與這條邊無，所以立體圖中，A與b的鄰邊是剩下的那條邊。顯然這個分析過程用的是排除法。標(biāo)點法

標(biāo)記特殊點進行分析。有時需要判斷一個面內(nèi)各個點的時針順序來做題，外表面平面展開圖一個正方形內(nèi)各個點時針順序應(yīng)該與立體圖中相應(yīng)的面各個點時針順序是一樣的，要么都是順時針，要不都是逆時針。

還有時用到的是一個面中幾個邊的時針順序在平面展開圖與立體圖中一致這個性質(zhì)。比如在平面展開圖中一個面中三個邊la，lb，lc滿足從la到lb到lc再到la是順時針順序，那么在立體圖中這個面的這三條邊la，lb，lc也滿足這個性質(zhì)。

還有時用到平面展開圖中某個正方向某兩條邊和公共頂點的時針順序與立方體中相應(yīng)面這兩條邊與他們公共頂點的時針順序一致這個性質(zhì)進行判斷。詳細說明如下：我們根據(jù)平面展開圖判斷出正方形A的四條邊中某條邊l是折成立方體后兩個面A和A’的臨邊，正方形A內(nèi)又畫了一條對角線，顯然該對角線必然與邊l必然構(gòu)成一個45°角，我們可以根據(jù)從對角線到公共頂點再到l運動的運動方向是順時針還是逆時針進行一些判斷。各個面之間的時針順序：正方體三個相鄰面之間時針順序不變，即對于一個正方體，如果A、B、C三個面相鄰，且從A到B到C時針順序是順時針（逆時針），那么平面展開圖中三個ABC三個正方形，從A到B到C的順序也是順時針（逆時針）：注意，有時平面展開圖中A、B、C三個正方形不相鄰，此時需要讓正方形A、B、C在平面上進行滾動，使他們相鄰，然后判斷從A到B到C的順序。反之亦然。如何滾動呢？舉例說明如下：

如下圖所示，我們知道折成立方體后，C,a,b相鄰，我們?nèi)绻袛嗥矫嬲归_圖中正方向從C到a到b是順時針還是逆時針，首先就在平面展開圖中滾動某個或者多個正方向，使得平面展開圖中的正方向C,a,b相鄰，注意滾動的原則某個方向滾動一次只能滾動90°，且滾動之后，該正方形必須與其他正方形有公共邊。也可以兩個有公共邊的正方形整體滾動，滾動一次也只能滾動90°，且滾動后也必須與其他正方形有公共邊。還有一個原則時，翻轉(zhuǎn)某個正方形不能讓別的正方形成為準(zhǔn)孤立正方形（即只有一個點與其他正方形連接）。

cAC BabACBab不符合規(guī)則的滾動，滾動之后正方形C與其他正方形C沒有公共邊了c

cABab一次符合規(guī)則的滾動 CcABaCABaC

b一次符合規(guī)則的滾動

顯然經(jīng)過兩個上圖所示兩次滾動，使得平面展開圖中正方形C，a，b相鄰，也就可以判斷出平面展開圖中從C到a到b運動的運動方向是順時針方向，cb一次符合規(guī)則的滾動

如果要判斷從a，到b到c的運動方向，那就可以再滾動一次，很容易判斷出，從正方向a到b到C運動的運動方向?qū)儆陧槙r針方向。如下圖所示：

cABab一次符合規(guī)則的滾動

我們?yōu)槭裁炊x這樣的滾動規(guī)則呢？因為按照我們定義的滾動滾則對平面展開圖中的正方形進行滾動，得到的新平面展開圖與原先平面展開圖折成的立方體所有點線面的關(guān)系完全相同。且如果原先平面展開圖某個點（線，正方形）對應(yīng)立方體的點（線，面）P，那么滾動之后的這個點（線、正方形）仍然對應(yīng)立方體中的點（線，面）P。

注意，下圖中1點面不能單獨左轉(zhuǎn)（1點面單獨左轉(zhuǎn)，沒有一條邊可以貼著轉(zhuǎn)），2點面也不能單獨左轉(zhuǎn)（2點面單獨左翻轉(zhuǎn)后，使得1點面成為一個準(zhǔn)孤立面）。但是1點和2點面也可以兩個一起左翻轉(zhuǎn)，比如：

C c

c

c

接下來此時可以有兩種旋轉(zhuǎn)方式： 方式1：1和2繼續(xù)整體旋轉(zhuǎn)如下圖所示

cc 方式2：單獨旋轉(zhuǎn)1點面：

cc

注意：按照下圖，c 我們知道如果1點面在前，那么1點、5點、6點面的關(guān)系可以是：

還可以是如下

注意某個面在前，可以有四種方位。20170709又實戰(zhàn)了幾道題，發(fā)現(xiàn)比較實用的方法，還是靠一點空間想象能力做題比較快，脫離空間想能力，單憑上面的技巧，做題很慢，考試不實用。只有鍛煉出一點基本的空間想象能力，再結(jié)合一些技巧，做題才快，對于考試實用。劉文波老師畫橡皮的方法很簡便，可以搜索視頻學(xué)習(xí)。先用十幾秒畫完橡皮，然后分析借用畫完的橡皮分析每個選項，每個選項基本10s就判斷出對錯，不需要耗費太多腦力。http://my.tv.sohu.com/us/273790660/82166470.shtml 20170830，感覺翻轉(zhuǎn)法很實用，結(jié)合著一點空間想象，比較容易做題，注意

第五篇：關(guān)于大學(xué)生如何利用電腦問題

如何利用電腦來學(xué)習(xí)

我們身邊很多人大一開始就配備了筆記本電腦，而電腦確實在開學(xué)之初也起了不小的作用，選課查課表等等。但是之后，電腦卻成了一件單純的娛樂工具。很多同學(xué)沒有真正把電腦的學(xué)習(xí)功能利用起來，而是單純地用它來看電影聽音樂聊天甚至是打游戲，包括我自己在內(nèi)，都只是把功能強大的電腦當(dāng)作了一件用來消遣的娛樂用具。

其實這個現(xiàn)象是值得深思的。我國改革開放總設(shè)計師鄧小平先生曾經(jīng)說過：“計算機要從娃娃抓起。”為中國作出改革開放重大決策的他在對計算機的重視上表現(xiàn)出了同樣的智慧與遠見。計算機在現(xiàn)今社會的普及以及其強大的功能性已毋庸置疑，各國對計算機網(wǎng)絡(luò)也是相當(dāng)重視的。而作為我們大學(xué)生，卻常常只是把它當(dāng)做一個娛樂工具。這一點多么令人痛心的啊。

針對這個問題，我有以下幾點建議：

首先，大學(xué)生沒有積極利用電腦主要是他們沒有形成習(xí)慣，我覺得有些科目的老師應(yīng)該多布置一些網(wǎng)上的作業(yè)，需要同學(xué)用電腦完成上交作業(yè)，多鍛煉練習(xí)網(wǎng)上作業(yè)的寫作能力，久而久之學(xué)生就能養(yǎng)成用電腦學(xué)習(xí)的習(xí)慣了。

再來，學(xué)校的網(wǎng)站上有提供學(xué)習(xí)的系統(tǒng)，但是這個并沒有被學(xué)生充分利用起來。學(xué)校在這方面應(yīng)該要加強宣傳，讓同學(xué)們充分利用學(xué)校網(wǎng)站資源。同時，學(xué)校也應(yīng)該更大程度的開發(fā)網(wǎng)上學(xué)習(xí)系統(tǒng)，提供很多很廣泛的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，各門學(xué)科的知識都應(yīng)有所涉及，而不是只局限在一些所謂的重點科目。

如何利用電腦來學(xué)習(xí)真的是一個非常嚴(yán)肅并且值得重視的問題，學(xué)校培養(yǎng)學(xué)生各方面綜合素質(zhì)，一定不希望看到學(xué)生對電腦的利用率僅僅在于娛樂。尤其是一個大學(xué)生，打開筆記本電腦卻只是為了進聊天室聊天或者上網(wǎng)，這該有多么可悲啊。