第一篇：第二章與第三章：函數(shù)導數(shù)與導數(shù)的應(yīng)用

第二章與第三章：函數(shù)導數(shù)與應(yīng)用

1、求函數(shù)在一點的導數(shù)

例如：設(shè)函數(shù)f(x)?xcosx，則f'(0)?

2、討論函數(shù)y?x在定義域范圍內(nèi)的單調(diào)性

3、記住結(jié)論：

函數(shù)在某點不可導，函數(shù)所表示的曲線在相應(yīng)點的切線不一定不存在4、求函數(shù)的全微分

例如：一直函數(shù)y?xlnx，求dy。

5、求隱函數(shù)的導數(shù)

例如：由方程x?2xy?y?0確定y?y(x)，求

6、記住導數(shù)定義，利用導數(shù)定義求極限。

7、求函數(shù)在某區(qū)間上的最值

例如：求f(x)?x在[?2,6]上的最大值和最小值。

8、利用單調(diào)性證明不等式

當x?0時，證明不等式2xarctanx?ln(1?x)

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第二篇：函數(shù)與導數(shù)綜合問題

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函數(shù)與導數(shù)綜合問題

作者：

來源：《數(shù)學金刊·高考版》2013年第06期

深化導數(shù)在函數(shù)、不等式、解析幾何等問題中的綜合應(yīng)用，加強導數(shù)的應(yīng)用意識.本考點試題的命制往往融函數(shù)、導數(shù)、不等式、方程等知識于一體，通過演繹證明、運算推理等理性思維，解決單調(diào)性、極值、最值、切線、方程的根、參數(shù)的取值范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏.解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想.

第三篇：淺談導數(shù)的幾點應(yīng)用

淺談導數(shù)的幾點應(yīng)用

導數(shù)是解決數(shù)學問題的重要工具，很多數(shù)學問題如果利用導數(shù)探求思路，不僅能迅速找到解題的切入點，而且能夠把復(fù)雜的分析推理轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運算，達到避繁就簡、化難為易、事半功倍的效果。如在求曲線的切線方程、方程的根、處理函數(shù)的單調(diào)性、最值問題；數(shù)列，不等式等相關(guān)問題方面，導數(shù)都能發(fā)揮重要的作用。

一、利用導數(shù)求曲線的切線方程

例1.已知函數(shù)f（x）=x3-3x過點A（0，16）作切線，求此切線的方程。

解：∵點A（0，16）不在曲線f（x）=x3-3x上

∴可設(shè)切點為B（x0，y0），則y0=x03-3x，∵f'（x0）=3（x02-1）

∴曲線f（x）=x3-3x在點B（x0，y0）處的切線方程為l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又點A（0，16）在l上

∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）

∴x03=-8，x0-2，切點B（-2，-2）

所求切線方程為9x-y+16=0。

二、討論方程的根的情況

例２.若a>3，試判斷方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的個數(shù)。

解：設(shè)f（x）=x3-ax2+1，則f'（x）=3x2-2ax。

當a>3，x∈［0，2］時f'（x）0，f（2）=9-4a<0

故f（x）在x∈［0，2］上有且只有一個根。

三、求參數(shù)的范圍

例3.設(shè)函數(shù)f（x）=x3-6x+5，若x的方程f（x）=a恰好有3個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍。

解:由題意有f'（x）=3x2-6則x∈（-∞，-）∪（）時，f（x）單調(diào)遞增；x∈（-，+）時，f（x）單調(diào)遞減。所以f（x）的極大值為f（-）=5+4，極小值為f=5-4。故f（x）恰有3個相異實根時，a∈（5-4，5+4）。

四、利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性問題

例4.函數(shù)f（x）=x3-x2+（m+1）x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上為增函數(shù)，試求實數(shù)m的取值范圍。

解：函數(shù)f（x）的導數(shù)f'（x）=x2-mx+m-1，令f'（x）=0，解得x=1或x=m-1

（1）當m-1≤1即m≤2時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，不合題意。

（2）當m-1>1即m>2時，函數(shù)f'（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，在（1，m-1）內(nèi)為減函數(shù)，在（m-1，+∞）上為增函數(shù)。根據(jù)題意有：當x∈（1，4）時f'（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范圍是［5，7］。

五、利用導數(shù)求解函數(shù)的極值

例5.已知函數(shù)（fx）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值，討論f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值。

解：f'（x）=3ax2+2bx-3由題意可知∵在x=±1時f'（x）=0，即

3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。

∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3（x+1）（x-1）。

當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），時f'（x）>0

當x∈（-1，1）時，f'（x）<0

所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函數(shù)，在（-1,1）為減函數(shù)。所以，f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值。

六、利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象

例6.若函數(shù)y=f（x）在［a，b］上是先增后減的函數(shù)，則y=f（x）在［a，b］圖象可能是：（C）

解析：依題意f'（x）在［a，b］上是先增后減的函數(shù)，則f（x）的圖象上，各點的切線的斜率先隨x的增大而增大，后隨x的增大而減小，觀察四哥選項中的圖象，只有C滿足要求，故選C。

七、利用導數(shù)證明不等式

例7.對于x>0，有不等式x>ln（x+1）成立。

設(shè)f（x）=x-ln（x+1），（x>0），則有f'（x）=

證明：∵x>0，∴f'（x）>0，又f（x）在x=0處連續(xù)，f（x）在［0，+∞］上單調(diào)遞增，∴x>0時，f（x）>f（0）=0，即x-ln（1+x）>0，x>ln（1+x）。

八、利用導數(shù)求數(shù)列的前n項和

例8.求數(shù)列nxn-1（x≠0,1）的前n項和。

解：設(shè)數(shù)列nxn-1（x≠0,1）的前n項和為Sn，則

Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（x+x2+x3…+xn）'=（）'==（x≠0，1）。即為數(shù)列nxn-1（x≠0，1）的前n項和。

九、利用導數(shù)解決實際應(yīng)用問題

例9.某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時間僅能持續(xù)5個月，預(yù)測上市初期和后期會因供不應(yīng)求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù)：（1）（fx）=p?qx；（fx）=px2+qx+1；（3）f（x）=x（x-q）2（以上三式中p，q均為常數(shù)，且q＞1）。

（1）為準確研究其價格走勢，應(yīng)選哪種價格模擬函數(shù)，為什么？

（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所選函數(shù)f（x）的解析式。

（注：函數(shù)的定義域是［0，5］，其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，……以此類推）

（作者單位 四川省達縣石橋中學）

第四篇：導數(shù)應(yīng)用復(fù)習

班級第小組，姓名學號

高二數(shù)學導數(shù)復(fù)習題

8、偶函數(shù)f(x)?ax4?bx3?cx2?dx?e的圖像過點P(0,1)，且在x?1處的切線方程為y?x?2，求1．求下列函數(shù)的導數(shù)：

（1）y?(2x2?3)(x2?4)（2）y?ex?xlnx

（3）y?1?x2

sinx

（4）y?1?234x?x2?x32、已知f(x)?xsinx?x

cosx，求f/(0)的值。

3、求曲線y?x過點(4,2)的切線方程。

4、設(shè)曲線y?

x?1

x?1

在點(3,2)處的切線與直線ax?y?1?0垂直，求a的值。

5、函數(shù)y?x3

?3x的單調(diào)減區(qū)間是

6、已知函數(shù)f(x)?x3

?12x?8在區(qū)間[?3,3]上的最大值與最小值分別為M、m，則M?m=。

7、當x?[?1,2]時，x3

?12

x2

?2x?m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是。

高二數(shù)學下導學案

函數(shù)y?f(x)的解析式。

9.已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)?(x2?1)(x?a)，若f/(?1)?0，求函數(shù)y?f(x)在R上極值。

10、（2007全國I）設(shè)函數(shù)f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2處取得極值。（1）求a、b的值；

（2）若對于任意的x?[0,3]，都有f(x)?c2

成立，求c的取值范圍。

11、已知函數(shù)f(x)?

a3

x3

?bx2?4cx是奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖像在(1,f(1))處的切線斜率為?6，且當x?2函數(shù)f(x)有極值。（1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

第五篇：導數(shù)應(yīng)用一例

導數(shù)應(yīng)用一例

石志群

13題：求一個正常數(shù)a，使得對于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。3

1333分析：x≤ +ax等價于3ax-3x+1≥0.令f(x)= 3ax-3x+1，則由對于|x|≤1的所有x，3

13都有x恒成立可知當｜x|≤1時，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3

小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在區(qū)間的端點取得，就是在極值點處取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，從而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得≤a≤。????????????????（1）33

這個結(jié)果有何用呢？現(xiàn)在該考慮極值點了！

2411，注意到 ≤a≤，所以∈[-1,1]，為極值333a3a3a

11‘點，考慮f(x)在兩側(cè)的符號可知f(為最小值。3a3a

1113由)＝3a·)－3 · ＋1≥0解得 3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=?‘214a????????????????????（2）3

4由（1）、（2）可知，a=.3

從這個題目的思維過程我們可以得到哪些啟示呢？

一是函數(shù)思想在處理不等式問題中的作用不可忽視，本題就是以函數(shù)觀點為突破口展開思維過程的。二是從簡單情形開始，不斷探索有效信息，并充分發(fā)揮所得到的信息的作用。本題中先從區(qū)間端點入手，對a的取值范圍作初步控制，而這個控制為后續(xù)思維的展開提供了依據(jù)：它確定了極值點的位置，為對a作進一步的限制提供了可能。三是要學會運用等與不等的辯證關(guān)系從不等中構(gòu)造相等關(guān)系。本題給出的全是不等式，不等之中怎么能找到確定a的值的等式呢？聰明的你一定會想到，肯定是由區(qū)間端點與極值點這些可能取得最值的點之間的制約關(guān)系，構(gòu)造出需要的幾個不等式，并用這樣的不等式“夾”出a的值。