第一篇：導數(shù)在函數(shù)及不等關系證明中的應用

導數(shù)在函數(shù)及不等關系證明中的應用

摘 要：導數(shù)是研究函數(shù)形態(tài)，證明不等式和解決一些實際問題的有力工具，尤其是導數(shù)與數(shù)列的計算和與不等式的證明等知識進行綜合。而數(shù)列又是特殊函數(shù)，于是本文將巧用函數(shù)的單調(diào)性來構(gòu)造函數(shù)證明不等關系，來體現(xiàn)導數(shù)在證明不等關系中的作用。關鍵詞：導數(shù)；不等式；函數(shù)

在證明不等式的過程中，常用方法很多，可以利用函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值以及函數(shù)的凹凸性等來解答，但常因方法不當，使得運算量大，直接影響解題速度與結(jié)果的正確．所以本文探討的是巧用導函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式的方法．巧用構(gòu)造函數(shù)這一創(chuàng)造性思維來有效合理的使不等式獲得證明，從而體現(xiàn)出初等數(shù)學與高等數(shù)學的緊密聯(lián)系．下面我們對導數(shù)在不等式及函數(shù)

證明中的應用，利用導函數(shù)的單調(diào)性來舉例加以說明．

一、利用導函數(shù)單調(diào)性證明不等式[6]

抓住結(jié)構(gòu)特征,合理變形,采用構(gòu)造函數(shù)法利用函數(shù)的單調(diào)性,穿插與滲透導數(shù)應用時采用這種方法,從而達到證明不等式的目的．

例1．證明：a1?a21?a1?a2?a11?a1?a21?a2．

證明：首先構(gòu)造函數(shù)f(x)?1xx?0．，再對函數(shù)f(x)?求導得f'(x)?

1?x1?x(1?x)2易知f(x)在(0,??)上是單調(diào)遞增函數(shù)． 設x1?a1?a2,x2?a1?a2．顯然x1?x2，因此有 f?x1??f?x2? 即 a1?a21?a1?a2a1?a21?a1?a2a1?a21?a1?a2?a1?a21?a1?a2a11?a1?a2a11?a1?．

a21?a1?a2而 ???a11?a1?a21?a2．

所以得到： ?a21?a2．

從上面這個例子我們可以進一步地推廣到更一般性情況 即 a1?a2???an1?a1?a2???an?a11?a1?a21?a2???an1?an.本題巧妙的抓住了題目的結(jié)構(gòu)特征，合理的利用了導數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)使題目得到了很好的解決，方法簡單，讓人一目了然，也給解題帶來了不少的方便。

下面再看這樣的一道例題，它是一道關于指數(shù)與對數(shù)的不等式問題，初看題目，結(jié)構(gòu)特殊叫人無從下手，但是通過巧妙的換底，然后再利用導數(shù)的性質(zhì)，使題目變的簡單明了。

例2．已知a,b為實數(shù)，并且e?a?b，其中e是自然對數(shù)的底． 證明：ab?ba．

證明：當e?a?b時，要證ab?ba．

只須證明 blna?alnb． 即證

lnx(x?e)． x1?lnx求導得 y'?．

x2lnalnb． ?ab構(gòu)造函數(shù) y?因為當x?e時，lnx?1，所以y'?0 所以函數(shù)y?因為e?a?b 所以

lnx在(e,??)上是減函數(shù)． xlnalnb．

所以得到 ab?ba 成立.?ab例3．已知函數(shù)g(x)?xlnx,設0?a?b,證明:

?a?b?0?g(a)?g?b??2g???(b?a)ln2．

?2?證明: 先證左邊,設F(x)?g?a??g?x??2g(a?x?a?x?則F'(x)?g'(x)?[2g?． ?]'?lnx?ln2?2?a?x)． 2令F'(x)?0 得x?a.則當0?x?a時,F'(x)?0． 故F(x)在?0,a?內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)． 當x?a時,F'(x)?0． 故F(x)在?a,???內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)． 從而當x?a時, F(x)有極小值F(a)?0． 因為b?a?0 所以 F?b??F?a?．

?a?b?即

0?g(a)?g?b??2g??．

2???a?x?再證右邊,設G(x)?g(a)?g(x)?2g???(x?a)ln2．

2??則

G'(x)?lnx?ln則當x?0時, G'?x??0． 因此G(x)在?a,???內(nèi)為減函數(shù)．

a?x?ln2?lnx?lna(?x)． 2又因為0?a?b．所以G?b??G?a??0．

?a?b?即

g(a)?g?b??2g???(b?a)ln2．

2??綜上所述得原不等式成立．

以上兩道題都是應用導數(shù)解決不等式證明問題，其中的導數(shù)起一個工具的作用，盡而讓復雜的不等式證明題變的結(jié)構(gòu)簡單，思路明了，這就大大的縮小了解題步驟，簡化了解題過程，節(jié)約了解題時間，而且使準確率有很大的提高。

二、利用導函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合極值證明不等式[6]

用導數(shù)知識去求函數(shù)的最值與不等式,體現(xiàn)出函數(shù)與不等式的交匯,利用不等式的結(jié)構(gòu)特征．可將問題轉(zhuǎn)化為定義域上的最值問題,所以當一個函數(shù)的單調(diào)性已知時,函數(shù)的最大(小)值也就“水到渠成”了下面就對此方法進行舉例說明．

例1．已知a,b為正數(shù),且a?b?1．求證:證明:令a?x則b?1?x,從而0?x?1． 我們設

f(x)?11?． 33x?1?1?x??131116?3?3? ． 2a?1b?193x23(1?x)2?則

f'(x)??3． 232(x?1)[(1?x)?1]再求f'(x)的零點并討論f'(x)的符號顯然等價于求

g(x)??

x1?x?． 33x?1(1?x)?13

?x[(1?x)3?1]?(1?x)(x3?1)?． 33（x?1）（[1?x）?1]的零點及符號的變化．

1時, g(x)?0． 21因而 f'(x)?0且當0?x?時, g(x)?0．

2顯然 當x?故 f'(x)?0．f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)． 當 1?x?1時, g(x)?0． 2故 f'(x)?0．f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)． 所以函數(shù)f(x)在x?116處取得最大值． 29在x?0或x?1處取得最小值． ． 2316所以 ?f(x)? ．

29又 f(0)?f(1)?例2．函數(shù)f(x)?ex?ln(x?1)?1(x?0)，求函數(shù)f(x)的最小值．[7] 解：(1)f'(x)?ex?11．當x?0時,因為ex?1,且?1． 1?x1?x所以有f'(x)?0．說明函數(shù)f(x)在區(qū)間?0,???上是增函數(shù)． 故當x?0時,函數(shù)f(x)取得最小值為0．

以上例題是利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值問題，充分的體現(xiàn)了導數(shù)工具在解決函數(shù)問題時的優(yōu)越性及它和函數(shù)與不等式的交融性，讓導數(shù)的優(yōu)越性得到了更充分的發(fā)揮，為我們的解題帶來了不少的方便，簡單的方法也讓我們體驗到了數(shù)學的樂趣。

三、利用函數(shù)單調(diào)性進行數(shù)列計算

導數(shù)為解不等式注入了新的活力,更是利用函數(shù)單調(diào)性來解答不等式問題的有利工具,而數(shù)列作為特殊函數(shù),于是我們利用導數(shù)求解數(shù)列就是利用導數(shù)求解函數(shù),準確的把握關系,進行有機地整合,來完成這一類問題．這一類型題的關鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性進行數(shù)列計算，而我們知道衡量函數(shù)單調(diào)性的重要工具便是導數(shù)，這樣通過函數(shù)的單調(diào)性把數(shù)列計算和導數(shù)很好的聯(lián)系在了一起，起到了秒筆生輝的作用。為了更好的抓握這種方法，我們 來看下面的例題。

例1．已知數(shù)列{an}的通項為an?n2(10?n)(n?N?),求數(shù)列最大項． 證明：設 f(x)?x2(10?x).(x?0)． 則

f'(x)?20x?3x2． 令

f'(x)?0 得0?x?令

f'(x)?0 得x?20． 320 或 x?0． 3?20?因為f(x)在區(qū)間?0,?上是單調(diào)增加．

?3??20?f(x)在區(qū)間?,???上是單調(diào)減少．

?3?因此當x?20時,函數(shù)f(x)取得最大值． 3對n?N?．f(n)?n2(10?n)．

因為f(7)?147?f(6)?144.所以 f(n)max?147 ． 即數(shù)列的最大項為a7?147 ．

例2．求數(shù)列{nn}的最大項．[5]

解：利用函數(shù)單調(diào)性,通過考慮連續(xù)變量x的最大值來求離散變量n的最大值． 設 f(x)?x(x?0)，?21?1?x則 f'(x)?x?2?2lnx??x?1?lnx?．

x?x?1x11x1n1x所以當0?x?e時, f'(x)?0,f(x)為單調(diào)增加． 當x?e時,f(x)為單調(diào)減少．

所以 1?2，3?4???n??． 又因為2?3 所以最大項為利用函數(shù)的單調(diào)性進行數(shù)列的計算，而導數(shù)又是衡量函數(shù)單調(diào)性的重要工具，如此便讓導數(shù)，函數(shù)，不等式有機的結(jié)合在一起，構(gòu)成了強有力的解題體系。為我們快速準確的 12***n解題帶來了方便。

四、利用導數(shù)求函數(shù)的極值[3][4]

利用導數(shù)求函數(shù)的極值是導數(shù)在數(shù)學領域中又一大重要應用，它是求函數(shù)極值最重要的方法之一，為了掌握這種方法我們來看下面的兩個例題。

例1.已知f(x)?ax3?bx2?cx(a?0)在x??1時取得極值，且f(1)??1.(1)試求常數(shù)a,b,c的值；

(2)試判斷x??1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由.命題意圖：利用一階導數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入.是導數(shù)應用的關鍵知識點，通過對函數(shù)極值的判定，可使學生加深對函數(shù)單調(diào)性與其導數(shù)關系的理解.知識依托：解題的成功要靠正確思路的選擇.本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設結(jié)構(gòu)進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化.這是解答本題的閃光點.錯解分析：本題難點是在求導之后，不會應用f?(?1)?0的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙.技巧與方法：考查函數(shù)f(x)是實數(shù)域上的可導函數(shù)，可先求導確定可能的極值，再通過極值點與導數(shù)的關系，建立由極值點x??1所確定的相等關系式，運用待定系數(shù)法求值.解：(1)f?(x)?3ax2?2bx?c ∵x??1是函數(shù)f(x)的極值點，∴x??1是方程f?(x)?0,即3ax2?2bx?c?0的兩根.?2b??0??3a由根與系數(shù)的關系，得?

c???1??3a①

②

又f(1)=－1,∴a?b?c??1, 由①②③解得a?,b?0,c?, 1232

③

133x?x, 22333∴f?(x)?x2??(x?1)(x?1), 222(2)f(x)? 6 當x??1或x?1時，f?(x)?0, 當?1?x?1時，f?(x)?0, ∴函數(shù)f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函數(shù)，在(－1，1)上是減函數(shù).∴當x=－1時，函數(shù)取得極大值f(?1)?1, 當x=1時，函數(shù)取得極小值f(1)??1.例2．設f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間[2] 解：f'(x)=3ax2+1 若a＞0, f'(x)＞0對x∈(－∞,+∞)恒成立，此時f(x)只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾.若a =0, f'(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾.若a＜0,因為f'(x)=3a(x+

13|a|)·(x－

13|a|13|a|),此時f(x)恰有三個單調(diào)區(qū)間.13|a|13|a|所以a＜0且單調(diào)減區(qū)間為(－∞,－13|a|)和(,+∞)，單調(diào)增區(qū)間為(－,).例3．設x=1與x=2是函數(shù)f(x)= a lnx+bx2+x的兩個極值點.(1)試確定常數(shù)a和b的值；

(2)試判斷x=1, x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.解：f'(x)=a+2bx+1． xa+4b+1=0,解方程組可得 2(1)由極值點的必要條件可知：f'(1)=f'(2)=0,即a+2b+1=0,且a =－,b=－,∴f(x)=－lnx－(2)f'(x)=－2-11x－x+***

x+x． 6,當x∈(0,1)時，f'(x)＜0,當x?(1,2)時，f'(x)＞0,當

56x?(2,+∞)時，f'(x)＜0,故在x =1處函數(shù)f(x)取得極小值,在x=2處函數(shù)取得極大值42－ln2.33 因此,從上面的例題分析來看,導數(shù)在證明不等式及函數(shù)中有很多妙處，在解答函數(shù)及不等式證明問題時避免了一些不必要的復雜運算,簡化了解題過程．而本文主要是利用了函數(shù)的單調(diào)性來研究不等式，并且數(shù)列作為特殊函數(shù),用導數(shù)解決了有關數(shù)列的單調(diào)性問題及函數(shù)極值問題．在其中主要用到了構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)這一創(chuàng)造思維合理地有效地證明了不等式，使求極值的方法更簡便。參考文獻

[1] 唐永,徐秀． 慎用導數(shù)解數(shù)列問題． 數(shù)學通報． 2006．3 [2] 韓什元,李曉培． 高等數(shù)學解題方法匯編． 華南理工大學出版社． 2002．9． [3] 楊愛國． 利用導數(shù)解初等數(shù)學問題． 中學數(shù)學研究． 2004．4 [4] 陳文燈,黃先開． 高等數(shù)學復習指南:思路方法與技巧． 清華大學出版社．2003．7 [5] 龔冬保,武忠祥． 高等數(shù)學典型題解法技巧． 西安交通大學出版社． 2000．1 [6] 劉聰, 勝秦永． 函數(shù)與不等式高考題目回顧與展望． 中學數(shù)學教學參考． 2006．3 [7] 林源渠,方正勤． 數(shù)學分析解題指南． 北京大學出版社． 2003 Application in not waiting for the relation to prove of derivative

tala

200411557 Instructor

taogesi Mathematical Sciences Mathematics and Applied Mathematics

Mongolian class 2004 level

Abstract：The derivative studies the function attitude, prove the inequality and solve the strong tools of some practical problems, especially knowledge such as the calculation of the derivative and several and identification with the inequality are synthesized． And several this special function, then this text come on structure function prove monotonicity to skilfully use function that does not vary the relation, come , reflect derivative in function to wait for relation of proving．

Keyword ： Derivative；Inequality；Function 8

第二篇：導數(shù)在不等式證明中的應用

導數(shù)在不等式證明中的應用

引言

不等式的證明是數(shù)學學習中的難點，而導數(shù)在不等式的證明中起著關鍵的作用。不等式的證明是可以作為一個系列問題來看待,不等式的證明是數(shù)學學習的重要內(nèi)容之一,也是難點之一。其常用的證明方法有: 比較法、綜合法、分析法、重要不等法、數(shù)學歸納法等等,然而有一些問題用上面的方法來解決是很困難的,我們在學完導數(shù)及其應用這一內(nèi)容以后,可以利用導數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性、最值性(極值性)等相關知識解決一些不等式證明的問題。導數(shù)也是微積分的初步基礎知識，是研究函數(shù)、解決實際問題的有力工，它包括微分中值定理和導數(shù)應用。不等式的證明在數(shù)學課題中也是一個很重要的問題，此類問題能夠培養(yǎng)我們理解問題、分析問題的能力。本文針這篇論文是在指導老師的悉心指導和嚴格要求下完成的。這篇論文是在指導老師的悉心指導和嚴格要求下完成的。對導數(shù)的定義、微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、泰勒公式、函數(shù)的極值、函數(shù)的凹凸性在不等式證明中的應用進行了舉例。

一、利用導數(shù)的定義證明不等式

定義 設函數(shù)f?f?x?在點x0的某領域內(nèi)有定義,若極限

f?x??f?x0? 存在 limx?x0x?x0則稱函數(shù)f在點x0處可導，并稱該極限為函數(shù)f在點x0處的導數(shù)，記作f'?x0? 令 x?x0??x，?y?f?x0??x??f?x0?，則上式可改寫為

f?x0??x??f?x0??y?lim?f'?x0?

?x?0?x?x?0?xlim所以，導數(shù)是函數(shù)增量?y與自變量增量?x之比

?y的極限。這個增量比稱為函?x數(shù)關于自變量的平均變化率(又稱差商)，而導數(shù)f'?x0?則為f在x0處關于x的變化率。

以下是導數(shù)的定義的兩種等價形式：

1（1）f'?x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??x??f?x0?

?x（2）f'?x0??lim?x?0例1: 設f?x??r1sinx?r2sin2x???rnsinnx，并且f?x??sinx，證明：r1?2r2???nrn?1

證明 f?x??r1sinx?r2sin2x??rnsinnx，可得出f?0??0，因為 f'?x??r1cosx?2r2cos2x???nrncosnx, 則 f'?0??r1?2r2???nrn 又由導數(shù)的定義可知

limx?0f?x??f?0?f?x?f?x? ?lim?limx?0x?0x?0xxsinx?1 x?f'?0??limx?0所以 f'?0??1，即可得 r1?2r2???nrn?1.1221y?lny，求證: y?1,y2?y2?lny.232211分析 令h?y??y2?y2?lny，y?(1,??)，因為h?1???0, 326例

2、已知函數(shù)f?y??要證當x?1時，h?x??0,即h?x??h?1??0,只需證明h?y?在(1,??)上是增函數(shù)。證明 令h?y??22121y?y?lny，則h'?y??2y2?y?，32y'2y3?y2?1(y?1)(2y2?y?1)因為 當y?1時, h?y????0 ，yy所以h?y?在(1,??)上是增函數(shù)，就有h?y??h?1??121?0,y3?y2?lny?0，632 2 21即可得y?1,y2?y2?lny.32注:證明方法為先找出x0，使得y?f'?x0?恰為結(jié)論中不等式的一邊；再利用導數(shù)的定義并結(jié)合已知條件去證明。

二、利用微分中值定理證明不等式

證題思路 將要證的不等式改寫成含變量之商不等式，則可嘗試利用中值公式

f?b??f?a??f'???

b?af?b??f?a?f?b??f?a?或的b?ag?b??g?a?f?b??f?a?f'???或者 ?'g?b??g?a?g???并做適當?shù)姆趴s到待證不等式中 1.使用拉格朗日中值定理證明不等式 定理 若函數(shù)滿足如下條件:(i)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點?，使得

f'????f?b??f?a?

b?a例

3、證明對一切h??1,h?0成立不等式

h?ln?1?h??h 1?h證明 設f?x??ln?1?x?，則ln?1?h??ln?1?h??ln1?當h?0時，由0???1可推知

1?1??h?1?h，h，0???1 1??hhh??h 1?h1??hhh??h 1?h1??h當?1?h?0時，由0???1可推得

1?1??h?1?h?0,從而得到所要證明的結(jié)論.注:利用拉格朗日中值定理的方法來證明不等式的關鍵是將所要證明的結(jié)論與已知條件歸結(jié)為一個函數(shù)在某區(qū)間上的函數(shù)增量，然后利用中值定理轉(zhuǎn)化為其導數(shù)的單調(diào)性等問題.2．使用柯西中值定理證明不等式 定理 設函數(shù)f和g滿足(i)在[a,b]上都連續(xù)；(ii)在(a,b)內(nèi)都可導；

(iii)f'?x?和g'?x?不同時為零；(iv)g?a??g?b?，f'???f?b??f?a?則存在??(a,b)，使得' ?g???g?b??g?a?例

4、證明不等式

ln?1?y??arctany(y?0)1?y分析 該不等式可化為

?1?y?ln?1?y??1(y?0)

arctany可設 f?y???1?y?ln?1?y?，g?y??arctany，f?y??f?0?注意到f?0??g?0??0，故可考慮對使用柯西中值定理

g?y??g?0?證明 如上分析構(gòu)造輔助函數(shù)f?y?和g?y?，則對任意y?0，由柯西中值定理，存在??(0,y)，使得

?1?y?ln?1?y??f?y??f?0??f'????1?ln(1??)

1arctanyg?y??g?0?g'???1??2?[1?ln(1??)](1??2)?1.4

三、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

證明思路 首先根據(jù)題設條件及所證不等式，構(gòu)造適當?shù)妮o助函數(shù)f?x?，并確定區(qū)間[a,b]；然后利用導數(shù)確定f?x?在[a,b]上的單調(diào)性；最后根據(jù)f?x?的單調(diào)性導出所證的不等式.1.直接構(gòu)造函數(shù)，再運用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式

?例5 證tany?2siny?3y，其中y?[0,)

2分析 欲證f(y)?f(a)(a?y?b)，只要證f(y)在[a,b]上單調(diào)遞增，即證f'(y)?0即可．

若f'(y)的符號不好直接判定，可借助于f''(y)，以至于f3(y)進一步判定.證明 令f?y??tany?2siny?3y，則 f'?y??sec2y?2cosy?3，f''?y??2siny?sec3y?1?

?于是y?[0,)時，f''?y??0，有f'?y?單調(diào)增加

2所以f'?y??f'?0??0,有f?y?單調(diào)增加，可推得f?y??f?0??0，即tany?2siny?3y.2.先將不等式變形，然后再構(gòu)造函數(shù)并來證明不等式 例

6、已知b,c?R,b?e，求證：bc?cb為(e自然對數(shù)的底)證明 設f?x??xlnb?blnx(x?b?c)

b則 f'?x??lnb?，就有 b?e，x?b

xb因為 lnb?1,?1, x所以 f'?x??0，則f'?x?在(e,??)上遞增；

又因c?b，所以f?c??f?b?，就有clnb?blnc?blnc?blnc?0 從而有clnb?blnc，即bc?cb.注: 對于一些不易入手的不等式證明, 可以利用導數(shù)思想,先通過特征不等式構(gòu) 造一個函數(shù), 再判定其函數(shù)單調(diào)性來證明不等式成立,這就是利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的思想。

構(gòu)造輔助函數(shù)有以下幾種方法: 1.用不等式的兩邊“求差”構(gòu)造輔助函數(shù)；  2.用不等式兩邊適當“求商”構(gòu)造輔助函數(shù)； 3.根據(jù)不等式兩邊結(jié)構(gòu)構(gòu)造“形似”輔助函數(shù)； 

4.如果不等式中涉及到冪指函數(shù)形式,則可通過取對數(shù)將其化為易證明的形式再根據(jù)具體情況由以上所列方法構(gòu)造輔助函數(shù).四、利用泰勒公式證明不等式

證題思路 若f?x?在(a,b)內(nèi)具有(n+1)階導數(shù)，x0?(a,b)，則

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??

f''?x0?2?x?x0???? 2!f?n??x0?fn?1???nn?1?x?x0???x?x0? n!?n?1?!其中?介于x0與x之間．

例

7、設f?y?在[0,1]上二階可導，f?0???1??0,且maxf?y??1，求證：存在y?[0,1]??(0,1)，使得f''?y???8.證明 因f?y?在[0,1]上二階可導，故在[0,1]上連續(xù), 據(jù)最值定理，必?c?(0,1)使得f?c?為最大值，即f?c?=1，且有f'?c??0.而f?y?在y=1的一階泰勒展式為

f''???2 f?y??f?c??f?c??y?c???x?c?，其中?介于c與y間

2'分別在上式中令y?0與y?1得

f?0??1?1''f??1?c2?0,?1?(0,c)，2 6

1''2f??2??1?c??0,?2?(c,1).212故當c?(0,]時，f''??1???2??8，2cf?1??1?12當c?(,1)時, f''??2?????8，22?1?c?所以存在?(?1或?2)?(0,1),使得f''?y???8.注: 用泰勒展式證明不等式的方法是將函數(shù)f?x? 在所給區(qū)間端點或一些特點(如區(qū)間的中點，零點)進行展開，通過分析余項在?點的性質(zhì)，而得出不等式。值得說明的是泰勒公式有時要結(jié)合其它知識一起使用,如當使用的不等式中含有積分號時,一般要利用定積分的性質(zhì)結(jié)合使用泰勒公式進行證明;當所要證明的不等式是含有多項式和初等函數(shù)的混合式時,需要作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙靈活的證明不等式往往使證明方便簡捷。

五、利用函數(shù)的最值(極值)證明不等式

由連續(xù)函數(shù)在[a,b]上的性質(zhì),若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f在[a,b]上一定有最大、最小值，這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大,最小值提供了理論保證。

若函數(shù)f的最大(小)值點x0在區(qū)間(a,b)內(nèi),則x0必定是f的極大(小)點。又若f在x0可導,則x0還是一個穩(wěn)定點。所以我們只要比較f在所有穩(wěn)定點、不可導點和區(qū)間端點上的函數(shù)值,就能從中找到f在[a,b]上的最大值與最小值。證明方法：先構(gòu)造輔助函數(shù)，再求出f?x?在所設區(qū)間上的極值與最大、最小值，進而證明所求不等式。

例

8、已知: 0?x?1，證明當r?1時，有

r1rr?x?1?x?1 ??r?12證明 令f?x??xr??1?x?，0?x?1，則f?0??f?1??1

1，2111111則f()?r?(1?)r?r?r?r?1

222222令f?x??0，求得x?因為 f'?x??rxr?1?r?1?x?r?1，7 令 f'?x??0,求得駐點為x?又因為當r?1時，1?1, r?121，2所以f?x?在[0,1]上的最小值為從而

1，最大值為1, 2r?11rr?x?1?x?1，0?x?1，r>1.??2r?1例

9、證明：當y?1時, ey?證明 作輔助函數(shù) 1?yf?y???1?x?ey，則f'?y???yey,y?0是f?y?在(??,1)內(nèi)的唯一駐點，且當y?0時，f'(y)?0 ；當0?y?1時，f'?y??0.故y?0是f?y?的極大值點，f?0??1是f?y?的極大值.因為當y由小變大時，f?y?由單調(diào)增變?yōu)閱握{(diào)減, 故f?0??1同時也是f?y?的最大值, 所以，當y?1時，f?y??1 , 即ey?1.1?y注:在對不等式的證明過程中，可以以不等式的特點為根據(jù)，以此來構(gòu)造函數(shù)，從而運用導數(shù)來得出函數(shù)的最值，而此項作用也是導數(shù)的另一個功能，即可以被用作求函數(shù)的最值。例如，當此函數(shù)為最大或最小值的時候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永遠成立的，從而可以將證明不等式的問題轉(zhuǎn)化到求函數(shù)最值的問題上來。

六、利用函數(shù)的凹凸性質(zhì)證明不等式

證明思路 若f''?x??0(a?x?b)，則函數(shù)y?f?x?的圖形為凹的，即對任意x1，x2?(a,b)，有f(f?x1??f?x2?x1?x2)?，當且僅當x1?x2時成立． 22 8 例

10、設r?0，h?0，證明rlnr?hlnh?(r?h)ln成立．

分析 將欲證的不等式兩邊同除以2，變形為

rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h，且等號僅在r?h 時2由上式看出，左邊是函數(shù)f?k??klnk在r，h兩點處的值的平均值，而右邊是它在中點r?h處的函數(shù)值．這時只需證f''?k??0即可． 2證明 構(gòu)造輔助函數(shù)

f?k??klnk(k?0)，那么就有：

f'?k??1?lnk,f''?k??故由不等式:

1?0 成立.kf?r??f?h?r?h?f()

22rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h也即 rlnr?hlnh?(r?h)ln

2可得

且等號僅在r?h 時成立.例

11、已知: ??0,??0, ?3??3?2，求證：????2.證明 設f?y??y3,y?(0,??)，則 f'?y??3y2,f''?y??6y?0 就有f?y??y3,y?(0,??)是凸函數(shù)

1，y1??,y2??，211???)則f??1y1??2y2??f(???)?f(222設?1??2?就有如下式子成立: f??1y1??2y2??f(???2)??1f?y1???2f?y2??11f????f??? 22 9 ?????而又因為有

83?(???2)3?f(???2)，f????f????3??311?1 f????f?????2222?????所以

83?f(???2)?11f????f????1 成立 22故????2.小結(jié):通過對導數(shù)證明不等式的研究，我可以看出不等式的證明方法很多，但各種方法都不盡相同。我們要充分理解各種方法的應用原理，挖掘?qū)?shù)的各種性質(zhì)。多做此類難題，不但有利于我們在學習和考試中輕松解決同類問題，更有利于培養(yǎng)我們的數(shù)學思維和推理論證能力。因而導數(shù)在不等式證明當中的應用很有研究價值。

第三篇：導數(shù)在不等式證明中的應用

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導數(shù)在不等式證明中的應用

作者：唐力 張歡

來源：《考試周刊》2013年第09期

摘要： 中學不等式證明，只能用原始的方法，很多證明需要較高技巧，且證明過程太難，應用高等數(shù)學中的導數(shù)方法來證明不等式，往往能使問題變得簡單.關鍵詞： 導數(shù) 拉格朗日中值定理 不等式證明

1.拉格朗日中值定理

定理1：如果函數(shù)y=f（x）滿足：1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，則在（a，b）內(nèi)至少有在一點ξ（a

F（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

由定理1，我們不難得到如下定理2.

第四篇：數(shù)學論文-導數(shù)在函數(shù)中的應用

導數(shù)在函數(shù)中的應用

【摘 要】新課程利用導數(shù)求曲線的切線，判斷或論證函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值和最值。導數(shù)是分析和解決問題的有效具。

【關鍵詞】導數(shù) 函數(shù)的切線 單調(diào)性 極值和最值

導數(shù)（導函數(shù)的簡稱）是一個特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。新課程增加了導數(shù)的內(nèi)容，隨著課改的不斷深入，導數(shù)知識考查的要求逐漸加強，而且導數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具。函數(shù)是中學數(shù)學研究導數(shù)的一個重要載體，函數(shù)問題涉及高中數(shù)學較多的知識點和數(shù)學思想方法。近年好多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過研究其圖像性質(zhì)，來考查學生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題。本人結(jié)合教學實踐，就導數(shù)在函數(shù)中的應用作個初步探究。

有關導數(shù)在函數(shù)中的應用主要類型有：求函數(shù)的切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，這些類型成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數(shù)學學習的重點之一，預計也是“新課標”下高考的重點。

一、用導數(shù)求函數(shù)的切線

例1.已知曲線y=x3-3x2-1，過點（1，-3）作其切線，求切線方程。

分析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解。

解：y′ = 3x2-6x，當x=1時y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3 =-3(x-1)，即為：y =-3x.1、方法提升：函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0)，相應的切線方程為y-y0= f′(x0)(x-x0)。

二、用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

例2．求函數(shù)y=x3-3x2-1的單調(diào)區(qū)間。

分析：求出導數(shù)y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。

解：y′= 3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。

由y′<0 得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。

故 所求單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，2)。

2、方法提升：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導數(shù)f′(x)；（3）在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論。

三、用導數(shù)求函數(shù)的極值

例3．求函數(shù)f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值

解：由 f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.當x變化時，y′、y的變化情況如下：

當x=－2時，y有極大值f(-2)=－（28/3），當x=2時，y有極小值f(2)=－(4/3).3、方法提升：求可導函數(shù)極值的步驟是：（1）確定函數(shù)定義域，求導數(shù)f′(x)；（2）求f′(x)= 0的所有實數(shù)根；（3）對每個實數(shù)根進行檢驗，判斷在每個根（如x0）的左右側(cè)，導函數(shù)f′(x)的符號如何變化，如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右側(cè)符號不變，則f(x0)不是極值。

四、用導數(shù)求函數(shù)的最值

五、證明不等式

5、方法提升：利用導數(shù)證明不等式是近年高考中出現(xiàn)的一種熱點題型。其方法可以歸納為“構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)最值”。

總之，導數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值以及切線問題。在導數(shù)的應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數(shù)學思想方法的應用，達到優(yōu)化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學生掌握一種科學的語言和工具，進一步加深對函數(shù)的深刻理解和直觀認識。參考資料：

1、普通高中課程標準實驗教科書（北京師范大學出版社）

2、高中數(shù)學教學參考

第五篇：導數(shù)在證明不等式中的應用

1.【作 者】 楊建輝;布春霞【刊 名】中學生數(shù)理化(學研版)【出版日期】201

1【期 號】第11期【頁 碼】2-3【參考文獻格式】楊建輝,布春霞.導數(shù)在證明不等式中的應用[J].中學生數(shù)理化(學研版),2011,(第11期).2.【作 者】 趙京之【刊 名】中國新技術(shù)新產(chǎn)品【出版日期】2010【期 號】第14期【參考文獻格式】趙京之.導數(shù)在證明不等式中的應用[J].中國新技術(shù)新產(chǎn)品,2010,(第14期).【摘 要】不等式與等式一樣,在數(shù)學問題中都是非常重要的課題,不等式的研究范圍更廣,難度更大,以函數(shù)觀點認識不等式,應用導數(shù)為工具,不等式的證明將化難為易,迎刃而解,考慮的角度初步有:中值定理,Taylor公式,函數(shù)的單調(diào)性,最值,以及Jensen不等式。

3.【作 者】 劉偉【刊 名】電大理工【出版日期】2004【期 號】第3期【頁 碼】13-14【參考文獻格式】劉偉.導數(shù)在證明不等式中的應用[J].電大理工,2004,(第3期).4.【作 者】 顧慶菏【刊 名】邢臺師范高專學報【出版日期】1995【期 號】第1期【頁 碼】118-120【參考文獻格式】顧慶菏.導數(shù)在證明不等式中的應用[J].邢臺師范高專學報,1995,(第1期).5.【作 者】 劉開生;潘書林【刊 名】天水師范學院學報【出版日期】2000【期 號】第3期【頁 碼】115-116【參考文獻格式】劉開生,潘書林.導數(shù)在證明不等式中的應用[J].天水師范學院學報,2000,(第3期).6.【作 者】 陳萬鵬;陳萬超【刊 名】大學數(shù)學【出版日期】1990【期 號】第4期【頁 碼】67-71【參考文獻格式】陳萬鵬,陳萬超.導數(shù)在證明不等式中的應用[J].大學數(shù)學,1990,(第4期).7.【作 者】 高燕【刊 名】考試周刊【出版日期】2011【期 號】第60期【頁 碼】69-70【參考文獻格式】高燕.導數(shù)在不等式證明中的應用[J].考試周刊,2011,(第60期).8.導數(shù)法在證明不等式中的應用【作 者】 【刊 名】版)【出版日期】2011【期 號】第Z1期【頁 碼】

5【參考文獻格式】郝文武.導數(shù)法在證明不等式中的應用[J].中學生數(shù)理化(高二版),2011,(第Z1期).9.導數(shù)在證明不等式中的一些應用【作 者】 甘啟才【刊 名】廣西師范學院學報(自然科學版)【出版日期】2011【期 號】第S1期【頁 碼】73-75

【參考文獻格式】甘啟才.導數(shù)在證明不等式中的一些應用[J].廣西師范學院學報(自然科學版),2011,(第S1期).10.【作 者】 王莉聞【刊 名】考試周刊【出版日期】2011【期 號】第82期【參考文獻格式】王莉聞.導數(shù)在不等式證明中的應用[J].考試周刊,2011,(第82期).【摘 要】導數(shù)知識是高等數(shù)學中極其重要的部分,它的內(nèi)容、思想和應用貫穿于整個高等數(shù)學的教學之中.利用導數(shù)證明不等式是一種行之有效的好方法,它能使不等式的證明化難為易,迎刃而解.在不等式證明的種種方法中,它占有重要的一席之地.本文將從利用函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的最值（或極值）

11.【作 者】 王翠麗【刊 名】數(shù)學之友【出版日期】2011【期 號】第6期【頁 碼】84，86【參考文獻格式】王翠麗.導數(shù)在不等式證明中的應用[J].數(shù)學之友,2011,(第6期).12.【作 者】 王強;申玉芹【刊 名】中學數(shù)學【出版日期】2012【期 號】第9期【頁 碼】6【參考文獻格式】王強,申玉芹.導數(shù)在不等式中的應用[J].中學數(shù)學,2012,(第9期).13.【作 者】 朱帝【刊 名】數(shù)理化學習【出版日期】2008【期 號】第3期【頁 碼】2-4【參考文獻格式】朱帝.導數(shù)在證明不等式中的應用[J].數(shù)理化學習,2008,(第3期).14.【作 者】 王偉珠【刊 名】佳木斯教育學院學報【出版日期】2010【期 號】第6期【參考文獻格式】王偉珠.導數(shù)在不等式證明中的應用[J].佳木斯教育學院學報,2010,(第6期).15.【作 者】 張根榮;李連方【刊 名】中學數(shù)學研究【出版日期】2010【期 號】第11期【頁 碼】24-25【參考文獻格式】張根榮,李連方.導數(shù)在不等式證明中的應用[J].中學數(shù)學研究,2010,(第11期).【摘 要】“問題是數(shù)學的心臟”，數(shù)學學習的核心就應該是培養(yǎng)解決數(shù)學問題的能力．正如波利亞指出的：“掌握數(shù)學就是意味著善于解題．”“中學數(shù)學首要的任務就是加強解題的訓練”．在數(shù)學教學中，例題、習題的解答過程是學生建構(gòu)知識的重要基礎，是學生學習不可缺少的重要組成部分．因此在課堂教學有限的45分鐘內(nèi)，如何發(fā)揮例題的功能，16.【作 者】 張萍【刊 名】西部大開發(fā)：中旬刊【出版日期】2010【期 號】第7期【頁 碼】176-177【參考文獻格式】張萍.導數(shù)在證明不等式中的有關應用[J].西部大開發(fā)：中旬刊,2010,(第7期).【摘 要】導數(shù)是高等數(shù)學中最基本最重要的內(nèi)容之一，用導數(shù)的方法證明不等式是不等式證明重要的組成部分，具有較強的靈活性和技巧性。掌握導數(shù)在不等式中的證明方法和技巧對學好高等數(shù)學有很大幫助。本文將通過舉例和說明的方式來闡述不等式證明中導數(shù)的一些方法和技巧，提高學生用導數(shù)證明不等式的能力．

17.【作 者】 李旭金【刊 名】新作文(教育教學研究)【出版日期】2011【期 號】第11期【頁 碼】31【參考文獻格式】李旭金.導數(shù)在不等式中的應用[J].新作文(教育教學研究),2011,(第11期).18.【作 者】 李晉【刊 名】大視野【出版日期】2009【期 號】第3期【頁 碼】241-243【參考文獻格式】李晉.導數(shù)在不等式證明中的應用[J].大視野,2009,(第3期).第5期【頁 碼】24-26【參考文獻格式】高芳.導數(shù)在不等式證明中的應用[J].商丘職業(yè)技術(shù)學院學報,2009,(第5期).20.【作 者】 蔡金寶【刊 名】吉林省教育學院學報(學科版)【出版日期】2009

【期 號】第9期【頁 碼】85-86【參考文獻格式】蔡金寶.導數(shù)在不等式證明中的應用[J].吉林省教育學院學報(學科版),2009,(第9期).21.淺談導數(shù)在不等式證明問題中的應用【作 者】 姜治國【刊 名】考試(高考 數(shù)學版)【出版日期】2009【期 號】第Z5期【頁 碼】54-56【參考文獻格式】姜治國.淺談導數(shù)在不等式證明問題中的應用[J].考試(高考 數(shù)學版),2009,(第Z5期).22.導數(shù)在不等式中的一些應用【作 者】 陶毅翔【刊 名】寧德師專學報·自然科學版【出版日期】2010【期 號】第2期【頁 碼】123-124，127【參考文獻格式】陶毅翔.導數(shù)在不等式中的一些應用[J].寧德師專學報·自然科學版,2010,(第2期).23.【作 者】 陳海蘭【刊 名】科技信息【出版日期】2010【期 號】第8期【參考文獻格式】陳海蘭.導數(shù)在不等式中的應用[J].科技信息,2010,(第8期).【摘 要】本文給出了幾種用導數(shù)來證明不等式的方法,通過這些方法,可以比較簡潔,快速地解決一些不等式的證明問題.24.【作 者】 胡林【刊 名】科技咨詢導報【出版日期】2007【期 號】第5期

【頁 碼】95-96【參考文獻格式】胡林.導數(shù)在不等式證明中的應用[J].科技咨詢導報,2007,(第5期).25.【作 者】 胡林【刊 名】科技資訊【出版日期】2006【期 號】第36期【頁 碼】148【參考文獻格式】胡林.導數(shù)在不等式證明中的應用[J].科技資訊,2006,(第36期).26.【作 者】 周曉農(nóng)【刊 名】貴陽金筑大學學報【出版日期】2000【期 號】第3期【頁 碼】107-110+87【參考文獻格式】周曉農(nóng).導數(shù)在不等式證明中的應用[J].貴陽金筑大學學報,2000,(第3期).27.【作 者】 葛江峰【刊 名】中學理科：綜合【出版日期】2008【期 號】第9期【頁 碼】52【參考文獻格式】葛江峰.導數(shù)在不等式中的應用[J].中學理科：綜合,2008,(第9期).【摘 要】新課程試卷將導數(shù)與傳統(tǒng)的不等式證明有機結(jié)合在一起設問，是一種新穎的命題模式，體現(xiàn)導數(shù)在分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問題的工具作用，以下介紹幾種應用導數(shù)證明不等式的方法，供大家參考。

28.【作 者】 梁俊平【刊 名】龍巖師專學報(自然科學版)【出版日期】1997

【期 號】第3期【頁 碼】167-170【作者單位】不詳【參考文獻格式】梁俊平.導數(shù)在不等式證明中的應用[J].龍巖師專學報(自然科學版),1997,(第3期).期【頁 碼】48-53【參考文獻格式】楊耀池.導數(shù)在不等式中的應用[J].數(shù)學的實踐與認識,1985,(第2期).30.例說應用導數(shù)證明不等式【作 者】 馮仕虎【刊 名】數(shù)學學習與研究(教研版)【出版日期】2008【期 號】第11期【頁 碼】109-110【參考文獻格式】馮仕虎.例說應用導數(shù)證明不等式[J].數(shù)學學習與研究(教研版),2008,(第11期).