第一篇：添加輔助線解特殊四邊形題

添加輔助線解特殊四邊形題

特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形．在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時(shí)往往需要添加輔助線．下面介紹一些輔助線的添加方法．

一、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形．

1．利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形

例1 如圖1，已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是平行四邊形．

求證:OE與AD互相平分．

分析:因?yàn)樗倪呅蜲CDE是平行四邊形,所以O(shè)C//ED,OC=DE,又由O是AC的中點(diǎn),得出AO//ED,AO=ED,則四邊形AODE是平行四邊形,問題得證． 證明:連結(jié)AE、OD，因?yàn)槭撬倪呅蜲CDE是平行四邊形，所以O(shè)C//DE，OC=DE，因?yàn)?是AC的中點(diǎn)，所以A0//ED，AO=ED，所以四邊形AODE是平行四邊形，所以AD與OE互相平分．

圖1 說明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形．

2．利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形

例2 如圖2，在△ABC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF，ED//AC，F(xiàn)G//AC交BC分別為D，G．求證:ED+FG=AC．

分析:要證明ED+FG=AC,因?yàn)镈E//AC,可以經(jīng)過點(diǎn)E作EH//CD交AC于H得平行四邊形,得ED=HC,然后根據(jù)三角形全等,證明FG=AH．

證明:過點(diǎn)E作EH//BC,交AC于H, 因?yàn)镋D//AC,所以四邊形CDEH是平行四邊形, 所以ED=HC, 又FG//AC,EH//BC, 所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG, 又AE=BF, 所以△AEH≌△FBG, 所以AH=FG，圖2 所以FG+DE=AH+HC=AC．

說明：當(dāng)圖形中涉及到一組對邊平行時(shí)，可通過作平行線構(gòu)造另一組對邊平行，得到平行四邊形解決問題．

3．利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形 例3 如圖3，已知AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求證BF=AC． 分析：要證明BF=AC，一種方法是將BF和AC變換到同一個(gè)三角形中，利用等邊對等角；另一種方法是通過等量代換，尋找和BF、AC相等的相段代換．尋找相等的線段的方法一般是構(gòu)造平行四邊形．

證明：延長AD到G，使DG=AD，連結(jié)BG，CG，因?yàn)锽D=CD，所以四邊形ABGC是平行四邊形，所以AC=BG，AC//BG，所以∠1=∠4，因?yàn)锳E=EF，所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，所以BF=BG=AC．

圖3

圖4 說明：本題通過利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形．當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法．

二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法

和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題．

例4 如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC，EF//BC交AD于點(diǎn)F，求證：四邊形CDEF是菱形． 分析：要證明四邊形CDEF是菱形，根據(jù)已知條件，本題有量種判定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形，二是證明對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．根據(jù)AD是∠BAC的平分線，AE=AC，可通過連接CE，構(gòu)造等腰三角形，借助三線合一證明AD垂直CE． 求AD平分CE．

證明：連結(jié)CE交AD于點(diǎn)O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形，因?yàn)锳O平分∠CAE，所以AO⊥CE，且OC=OE，因?yàn)镋F//CD，所以∠1=∠2，圖5 又因?yàn)椤螮OF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，所以O(shè)F=OD，所以CE、DF互相垂直平分．所以 四邊形CDEF是菱形．

例5 如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動點(diǎn)，求證EF+BF的最小值等于DE長．

分析：要證明EF+BF的最小值是DE的長，可以通過連結(jié)菱形的對角線BD，借助菱形的對角線互相垂直平分得到DF=BF，然后結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊解決問題． 證明：連結(jié)BD、DF．

因?yàn)锳C、BD是菱形的對角線，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE，當(dāng)且僅當(dāng)F運(yùn)動到DE與AC的交點(diǎn)G處時(shí)，上式等號成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的長．

圖6 說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計(jì)算題作輔助線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結(jié)菱形的對角線．

三、與矩形有輔助線作法

和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題．和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少．

例6 如圖7，已知矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5．求 PD的長．

分析：要利用已知條件，因?yàn)榫匦蜛BCD，可過P分別作兩組對邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題．

解：過點(diǎn)P分別作兩組對邊的平行線EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于點(diǎn)H，交AD于G．

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=32 ．

圖7 說明：本題主要是借助矩形的四個(gè)角都是直角，通過作平行線構(gòu)造四個(gè)小矩形，然后根據(jù)對角線得到直角三角形，利用勾股定理找到PD與PA、PB、PC之間的關(guān)系，進(jìn)而求到PD的長．

四、與正方形有關(guān)輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多．解決正方形的問題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線．

例7如圖8，過正方形ABCD的頂點(diǎn)B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE．求證：∠BCF= 1∠AEB． 2分析：由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四邊形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知四邊形AHBO是正方形，從AH=OB=∠BCF=15°．

證明：連接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H．

1AC，可算出∠E=∠ACF=30°，2在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，又BE//AC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，所以四邊形AOBH為正方形，所以AH=AO=

1AC，2因?yàn)锳E=AC，所以∠AEH=30°，因?yàn)锽E//AC，AE//CF，所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°，因?yàn)锳C是正方形的對角線，所以∠ACB=45°，所以∠BCF=15°，所以∠BCF=

圖8 說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì)．通過連接正方形的對角線構(gòu)造正方形AHBO，進(jìn)一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問題．

五、與梯形有關(guān)的輔助線的作法

和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的．主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；（4）延長兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等． 例8 已知，如圖9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于點(diǎn)0．求證：CO=CD．

分析：要證明CO=CD，可證明∠COD=∠CDO，由于已知∠BAC=90°，所以可通過作梯形高構(gòu)造矩形，借助直角三角形的性質(zhì)解決問題．

證明：過點(diǎn)A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別是E、F，則四邊形AEFD為矩形，因?yàn)锳E=DF，AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=90°，所以AE=BE=CE=所以AE=DF=

1∠AEB．

21BC，∠ACB=45°，21，2180???DBC?75?，2又DF⊥BC，所以在Rt△DFB中，∠DBC=30°，又BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=所以∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°． 所以∠BDC=∠DOC，所以C0=CD．

圖9 說明：在證明線段相等時(shí)，一般利用等角對等邊來證明，本題作梯形的高將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，進(jìn)而根據(jù)直角三角形知識解決．

例9 如圖10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E．求DE的長． 分析：根據(jù)本題的已知條件，可通過平移一條對角線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和直角三角形，借助勾股定理解決．

解：過點(diǎn)D作DF//AC，交BC的延長線于F，則四邊形ACFD為平行四邊形，所以AC=DF，AD=CF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因?yàn)镈E⊥BC，所以BE=EF==

111BF=(BC+CF)=(BC+AD)2221×10=5． 2因?yàn)锳C//DF,BD⊥AC,所以BD⊥DF, 因?yàn)锽E=FE,所以DE=BE=EF=5, 即DE的長為5．

圖10 說明:當(dāng)有對角線或垂直成梯形時(shí),常作梯形對角線的平行線,構(gòu)造平行四邊形,等腰三角形或直角三角形來解決．

六、和中位線有關(guān)輔助線的作法

例10 如圖11，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點(diǎn)0，AC=BD，E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于點(diǎn)H、G．求證：OG=OH．

分析：欲證0G=OH，而OG、OH為同一個(gè)三角形的兩邊，又E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，所以可試想作輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題． 證明：取AD中點(diǎn)P，連結(jié)PE，PF． 因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，所以PE//BD，且PE=11BD，PF//AC，且PF=AC，22所以∠PEF=∠PFE，又∠PEF=∠OGH，∠PFE=∠OHG，所以∠OGH=∠OHG，所以O(shè)G=OH．

說明：遇中點(diǎn)，常作中位線，借助中位線的性質(zhì)解題．

圖11

第二篇：中考輔助線的添加

一、專題精講

和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法

平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.1．利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形

例1 如圖1，已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.2．利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形

例2 如圖2，在△ABC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF，ED//AC，F(xiàn)G//AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.分析:要證明ED+FG=AC,因?yàn)镈E//AC,可以經(jīng)過點(diǎn)E作EH//CD交AC于H得平行四邊形,得ED=HC,然后根據(jù)三角形全等,證明FG=AH.3．利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形

例3 如圖3，已知AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC.圖3

例

4、如下圖1，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F在對角線AC上，且AE?CF,請你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）

二、專題過關(guān)：

1．（2015?張掖校級模擬）已知：如圖四邊形ABCD是平行四邊形，P、Q是直線AC上的點(diǎn)，且AP=CQ．

求證：四邊形PBQD是平行四邊形．

2．（2015?海淀區(qū)一模）閱讀下面材料： 小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，DE∥BC分別交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)E作EF∥DC，交BC延長線于點(diǎn)F，構(gòu)造△BEF，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決（如圖2）．

請回答：BC+DE的值為

． 參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，已知?ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點(diǎn)G，AC=BF=DF，求∠AGF的度數(shù)．

3．（2015?香坊區(qū)二模）已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，E在CB的延長線上，且BE=2BD，連接AE，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，G是AE的中點(diǎn)，連接BG、BF．（1）如圖1，求證：四邊形AGBF是平行四邊形．

（2）如圖2，連接GF、DF，GF與AB相交于點(diǎn)H，若GF=AB，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有的等邊三角形．

一、專題精講

和中位線有關(guān)輔助線的作法

三角形的中位線平行等于底邊的一半

例

1、如圖11，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點(diǎn)0，AC=BD，E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于點(diǎn)H、G.求證：OG=OH.例

2、如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H是四邊形各邊的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。

例

3、（2014?鞍山一模）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點(diǎn)M、N，則∠BME=∠CNE，求證：AB=CD．（提示取BD的中點(diǎn)H，連接FH，HE作輔助線）

（2）如圖2，在△ABC中，且O是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，直線OE交BA的延長線于點(diǎn)G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的長度．

例

4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC=BD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，EF分別交BD、AC于點(diǎn)G、H．求證：OG=OH．

二、專題過關(guān)：

1．（2015?巴東縣模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是對角線BD、AC的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形EGFH是菱形；

（2）若AB=，則當(dāng)∠ABC+∠DCB=90°時(shí)，求四邊形EGFH的面積．

2．（2014?萬州區(qū)校級模擬）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD．點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AB，交CD于點(diǎn)F，連接EB，取EB的中點(diǎn)G，連接DG、FG．（1）求證：EF=CF；（2）求證：FG⊥DG．

3．（2014春?河?xùn)|區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，對角線相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AB，BD，BC，AC的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

4．（2011秋?平頂山期末）如圖四邊形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

一、專題精講

和菱形有關(guān)的輔助線的作法 和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.例4 如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC，EF//BC交AD于點(diǎn)F，求證：四邊形CDEF是菱形.例5 如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動點(diǎn)，求證EF+BF的最小值等于DE長.三、與矩形有輔助線作法

例6 如圖7，已知矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的長.分析：要利用已知條件，因?yàn)榫匦蜛BCD，可過P分別作兩組對邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題.圖7

四、與正方形有關(guān)輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線.1例

7、如圖8，過正方形ABCD的頂點(diǎn)B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求證：∠BCF=2∠AEB.專題過關(guān)

1．（2015春?巴南區(qū)校級期末）如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點(diǎn)G．（1）猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）若AB=3，AD=4，求線段GC的長．

2．（2013?張家界）如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動點(diǎn)，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．（1）求證：OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的長；

（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

3．（2015春?泰興市期末）如圖，菱形ABCD中，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動點(diǎn)（不與菱形的頂點(diǎn)重合），且滿足CF=DE，∠A=60°．（1）寫出圖中一對全等三角形：

；（2）求證：△BEF是等邊三角形；（3）若菱形ABCD的邊長為2，設(shè)△DEF的周長為m，則m的取值范圍為

（直接寫出答案）；

222（4）連接AC分別與邊BE、BF交于點(diǎn)M、N，且∠CBF=15°，試說明：MN+CN=AM．

4．（2015?無錫校級三模）如圖，正方形AEFG的頂點(diǎn)E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上，連接BF、DF．（1）求證：BF=DF；（2）連接CF，請直接寫出的值為

（不必寫出計(jì)算過程）．

課后作業(yè)

1．（2015春?山西校級期末）已知：如圖，?ABCD中，O是CD的中點(diǎn)，連接AO并延長，交BC的延長線于點(diǎn)E．

（1）求證：△AOD≌△EOC；（2）連接AC，DE，當(dāng)AE與CD滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形ACED是正方形？請說明理由．

2．（2015春?澧縣期末）如圖，△ABC為等邊三角形，D、F分別為BC、AB上的點(diǎn)，且CD=BF，以AD為邊作 等邊△ADE．

（1）求證：△ACD≌△CBF；

（2）點(diǎn)D在線段BC上何處時(shí)，四邊形CDEF是平行四邊形且∠DEF=30°．

3．（2015春?宜春期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，求EF的長．

4．（2015春?龍口市期末）如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BE延長線與AC的交點(diǎn)，求的值．

第三篇：初中數(shù)學(xué)輔助線添加口訣

數(shù)學(xué)輔助線

人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補(bǔ)成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓 如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。幾何證題難不難，關(guān)鍵常在輔助線； 知中點(diǎn)、作中線，中線處長加倍看；底角倍半角分線，有時(shí)也作處長線； 線段和差及倍分，延長截取證全等；公共角、公共邊，隱含條件須挖掘； 全等圖形多變換，旋轉(zhuǎn)平移加折疊；中位線、常相連，出現(xiàn)平行就好辦； 四邊形、對角線，比例相似平行線；梯形問題好解決，平移腰、作高線； 兩腰處長義一點(diǎn)，亦可平移對角線；正余弦、正余切，有了直角就方便； 特殊角、特殊邊，作出垂線就解決；實(shí)際問題莫要慌，數(shù)學(xué)建模幫你忙； 圓中問題也不難，下面我們慢慢談；弦心距、要垂弦，遇到直徑周角連； 切點(diǎn)圓心緊相連，切線常把半徑添；兩圓相切公共線，兩圓相交公共弦； 切割線，連結(jié)弦，兩圓三圓連心線；基本圖形要熟練，復(fù)雜圖形多分解；

以上規(guī)律屬一般，靈活應(yīng)用才方便。

第四篇：幾何中添加輔助線的一般原則

添線原則：

一把分散的幾何元素轉(zhuǎn)化為相對集中的幾何元素（如把分散的元素集中在一個(gè)三角形或兩個(gè)全等的三角形中，以使定理能夠針對應(yīng)用）二把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡單的基本圖形。常見方法：

1.遇到等腰三角形時(shí)，添底邊中線，或已知底邊中線添兩腰，應(yīng)用等腰三角形三線合一性質(zhì)；

2.遇到直角三角形時(shí)，添斜邊中線，應(yīng)用直角三角形性質(zhì)解題；

3.遇到三角形中線時(shí)，將中線延長一倍；

4.遇到兩條線段的和等于第三條線段，可在長的線段上截取，也可延長短的線段； 5.遇到證明圓中的弧、弦、圓心角、弦心距之間的關(guān)系時(shí)，常添半徑或弦心距； 6.遇到一些常見的幾何基本圖形殘缺不全時(shí)，利用添線補(bǔ)全基本圖形。

例題：如圖，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點(diǎn)，且BE=AC，延長BE交AC于點(diǎn)F。求證：AF=EF（4）本階段涉及的證明類型及方法：

①證明兩線段相等方法 1.利用全等三角形性質(zhì)證明； 2.利用等腰三角形性質(zhì)及判定證明； 3.利用直角三角形性質(zhì)及度量關(guān)系證明； 4.利用平行四邊形性質(zhì)證明；

5.利用線段的中垂線、角平分線性質(zhì)證明； 6.利用圖形翻折證明； 7.通過計(jì)算線段證明； 8.利用第三線段過渡證明。

例1：如圖，已知RT△ABC中，∠C=90°，M是AB的中點(diǎn)，AM=AN, MN∥AC.求證：MN=AC ②證明兩角相等方法1.利用全等三角形性質(zhì)證明； 2.利用平行四邊形性質(zhì)證明； 3.利用等腰三角形性質(zhì)證明； 4.利用平行線性質(zhì)證明；

5.利用計(jì)算角度證明；

6.利用常用定理證明（如對頂角相等、同角或等角的余角或補(bǔ)角相等、圓的性質(zhì)等）

例2：如圖：已知在△ABC中，AB=AC, E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于D, 連結(jié)ED并延長ED到點(diǎn)F, 使DF=DE，連FC.求證：

③證明兩直線平行方法 1.利用平行線的判定證明； 2.利用平行四邊形性質(zhì)證明； 例3：如圖：已知∠

1與∠

23.利用平行線的傳遞性證明；

互補(bǔ)，∠A=∠D

求證：AB∥CD ④證明兩直線垂直方法 1.利用垂直定義證明；

2.利用鄰補(bǔ)角的兩角的平分線互相垂直證明；

3.利用三角形內(nèi)角和證明； 4.利用等腰三角形性質(zhì)證明； 5.利用垂徑定理證明；

例4：如圖：已知在△ABC中，AD⊥BC,M為BC的中點(diǎn)，且∠BAD=∠DAM=∠MAC 求證：∠BAC=90°

⑤證明線段的和差倍分方法 1.通過代數(shù)方法證明；

2.利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明；

3.利用在直角三角形中，如果有一個(gè)

銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半證明； 4.利用截長補(bǔ)短法證明； 5.利用延短等長法證明；

例5：如圖：已知在△ABC中，AD是BC上的高，∠B=2∠C, 求證：AB+BD=DC

⑥證明角的和差倍分方法

1.利用三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和證明；

2.利用平行線性質(zhì)證明；

3.通過代數(shù)方法證明；

4.通過題中的平行線、垂線中隱含的角與角間的聯(lián)系證明。

例6：如圖：已知MN∥PQ, AC⊥PQ, BD和AC交于點(diǎn)E，且 DE=2AB.求證：∠ABC=3∠DBC

第五篇：特殊四邊形的證明題

題型一：矩形

1.如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F，且AF=BD，連結(jié)BF。（1）求證：BD=CD；（2）如果AB=AC，試判斷

四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論。

2.如圖，四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)．

求證： PA=PQ．

Q

B

D C

3.如圖，△ABC中，AB=AC，AD、AE分別是∠BAC和∠BAC和外角的平分線，BE⊥AE．

試判斷AB與DE是否相等？并證明你的結(jié)論．

C

4.如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，E在AB延長線上，∠BCE=60°，求∠ADE.1 E A FB E

5.已知:如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn),且EF=ED,EF⊥ED.求證:AE平分∠BAD.（第23題）

6.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE＝AD，DF⊥AE于F，連結(jié)DE，求證：DF＝DC． D

B E

7.在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中點(diǎn)，一塊三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將三角板繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角板的兩直角邊與AB、BC

分別相交于點(diǎn)M，N時(shí)，觀察或測量BM與CN的長度，你能得到什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論。

題型二：菱形

8.將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D′ 處，折痕為EF．

（1）求證：△ABE≌△AD′F；

（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．

BE C D

9.如圖，在菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB，AB=a.（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）求對角線AC的長；（3）求菱形ABCD的面積。

10.如圖，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC與DB交于點(diǎn)M．

過點(diǎn)C作CN∥BD，過點(diǎn)B作BN∥AC，CN與BN交于點(diǎn)N，試判斷線段BN與CN的數(shù)量

關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

11.如圖，在△ABC中，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交AC于點(diǎn)F．求證：四邊形DECF為菱形． BN B C

題型三：正方形

12.四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG．（1）求證：AE=CG；（2）觀

察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明

13.把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H（如圖）．試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想．

F

E

14.如圖①，四邊形ABCD是正方形, 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F.(1)求證：DE－BF = EF．(2)當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí), 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)若點(diǎn)G為CB延長線上一點(diǎn)，其余條件不變．請你在圖②中畫出圖形，寫出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）． C

題型四：綜合證明題

15.如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD延長線上的點(diǎn)，且△ACE是等邊三角形．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若?AED?2?EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．

E

A

BC