第一篇：巧添輔助線解初中平面幾何問題解讀

巧添輔助線解初中平面幾何問題

摘 要：在解幾何問題時中，有時不能直接找到已知條件與未知之間的關(guān)系，因此需要添加輔助線使隱蔽的重要條件顯現(xiàn)出來，使分散的條件集中起來，溝通已知與未知之間的聯(lián)系．全等變換就是一種重要的作輔助線的方法，它可以用運(yùn)動的觀點(diǎn)，使圖形通過對折、平移、旋轉(zhuǎn)、位似得到與原圖全等的圖形，或根據(jù)需要構(gòu)造必要的圖形，而新的圖形可以使題目的已知和未知聯(lián)系起來，化難為易，從而找到添加輔助線的方法，達(dá)到解題的目的．

關(guān)鍵詞：輔助線；對折；平移；旋轉(zhuǎn)；位似；構(gòu)造；變換

在解幾何問題時，有時找不到已知條件與未知之間的關(guān)系，常常會感到無從入手，沒有頭緒，令人“百思不得其解”．如何把看起來十分復(fù)雜的幾何問題通過簡潔明了的解題方法加以解決？是幾何問題面臨的一個重要問題，而適當(dāng)添加輔助線就是解決這個問題的一個好方法．添加輔助線的目的在于使隱蔽的條件顯現(xiàn)出來，使分散的條件集中起來，溝通已知與未知之間的聯(lián)系，完善欠缺圖形，將復(fù)雜的問題化簡為推證創(chuàng)造條件，促成問題的最終解決．提高學(xué)生作輔助線的水平，不僅可以提高他們解答幾何問題的能力,而且可以提高他們的空間想象能力,邏輯思維能力，分析問題和解決問題的能力，從而提高他們的綜合素質(zhì)．然而作輔助線是有難度的，沒有一成不變的方法，有時是幾種方法聯(lián)合并用，但一個最根本的方法是從分析問題入手，緊緊聯(lián)系已學(xué)過的有關(guān)幾何知識，比如定義、定理、推論、公式等．試添輔助線以后，能不能再進(jìn)一步得出一些過渡性的結(jié)論，而從這些過渡性結(jié)論出發(fā)，能不能再進(jìn)一步推導(dǎo)出下一個過渡性結(jié)論．如果添加輔助線后，能左右逢源，路路皆通，那很可能是添得對，成功的把握性就大，如果添輔助線后，思路反而更塞了，那一定是錯了．

用運(yùn)動的觀點(diǎn)來觀察圖形，在許多場合下是添加輔助線的一種行之有效的方法，它是設(shè)想把某一有關(guān)部分的圖形進(jìn)行對折，旋轉(zhuǎn)，平移或縮放（位似），從而巧妙地添加輔助線，有效地解決問題．下面就我個人的一些經(jīng)驗(yàn)，談一下常用輔助線的做法．

一 對折法

“對折法”就是“軸對稱變換法”．這是利用成軸對稱的兩個圖形是全等形這一原理，把圖中一部分或整個圖形，以某一直線為折痕（即對稱軸）翻折過來，就得到它的全等形．通過這種變換把較分散的線段、角集中起來，或者使原有的已知擴(kuò)大，或者使各個幾何量之間的關(guān)系明顯化，所以這是一個常用的好方法．

許多已知的圖形都有對稱軸，有的較明顯，如圓的直徑，等邊三角形的高，等腰三角形底邊上的中線，圖形中某角的角平分線或某邊的垂直平分線，等腰梯形，矩形的平行對邊的中垂線，菱形，正方形的對角線等．如果沒有現(xiàn)成的對稱軸，也可以設(shè)想以某直線或線段作為對稱軸，向它的另一邊翻折180°（即對稱軸的另一邊），想象一下翻折過去以后，各個對稱點(diǎn)，對稱線段或?qū)ΨQ的角或其他有關(guān)的點(diǎn)、線的分布情況如何？想妥當(dāng)了，再試添輔助線．而后考慮要證的幾何元素與題設(shè)的元素之間的幾何關(guān)系．這樣，就會較合理地作出所需要的輔助線來幫助我們進(jìn)行論證．

例1 如圖（1），在△ABC中，AB=2，BC=3，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)D，使CD=2，∠ADC+∠B=180°，求∠B為何值時，△ABC與△ADC面積之差有最大值，其最大值是多少？

分析：將△ADC沿AC翻折到△AD′C的位置，此時△ADC≌△AD?C，∠AD?C +∠B=∠ADC+∠B=180°，故四邊形ABCD?內(nèi)接于圓，因AB=CD=C D′=2，故知四邊形ABCD?為等腰梯形，AD′∥BC．

作AE、D′F⊥BC于E、F，則AD′=EF，BE=CF，于是

AD′S=S2△ABC-S△ADC=S△ABC-S△AD′C

22=1AE?BC?1AE?AD/?1AE(BC?AD/)=1AE(BE?FC)?AE?BE

2DBE圖（1）FC=2cosB2sinB=2sin2B?2．

故當(dāng)B??4時，S有最大值2．

例2 如圖（2），在等腰直角△ABC的斜邊AB上，取兩點(diǎn)M、N使∠MCN=45°，記AM=m，MN= x，BN=n,則以x、m、n 為邊長的三角形的形狀是（）

（A）銳角三角形；

（B）直角三角形；

（C）鈍角三角形；

（D）隨x、m、n變化而變化．

分析：（1）要判斷以x、m、n為邊長的三角形的形狀，關(guān)鍵是要設(shè)法將這三條線段

長集中到同一個三角形中．

（2）如何利用好已知條件中的∠MCN=45°，應(yīng)同時考慮∠ACM+∠BCN=45°．

（3）為將長為x、m、n的三條線段集中，可考慮將△ACM沿CM對折（如圖）這樣可將m、x兩條線段集中，再連接PN，若能證明PN=BN，則長為x、m、n的三條線段就集中到了△PMN中．

由∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°，∴∠BCN = ∠PCN 可證△BCN≌△PCN，PN=BN=n ． ∴∠MPC=∠A=45° ∠NPC=∠B=45°

∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°．

∴以x、m、n為邊長的三角形的形狀是直角三角形．

圖（2）AMNBCP

提示 ：當(dāng)要證的結(jié)論需要集中某些線段，且圖形中出現(xiàn)了等角或角的平分線等條件時，可考慮對折構(gòu)造．

二平移法

“平移法”即平移變換法．顧名思義，其具體做法就是過某點(diǎn)作某線段或某直線的平行線，利用平行線性質(zhì)——同位角相等、內(nèi)錯角相等，或利用平行四邊形諸性質(zhì)，把有關(guān)元素集中起來．

例3 如圖（3），在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC與 BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位線，∠DBC=30°．求證：AC=MN．

分析：由已知條件知：MN=AC=1（AD+BC），2要證AC=MN，只需證所在的直線上，與BCE，則可得1（AD+BC）.因此，可將上底AD移至下底2交BC的延長線于相加，即過點(diǎn)D作DE∥AC ∠BDE=∠BOC=90°，這樣就可以將問題轉(zhuǎn)化為解一銳角是30°的直角三角形的問題．

例4 如圖（4），已知三角形ABC的兩邊為BD、CE，若BD=CE．求證：AB=AC．

分析：已知的兩條相等的中線在圖中交叉擺一個三角形中就比較好考慮，于是設(shè)想把其中的動到DF位置，這樣就成了一個等腰三角形DBF，從而得到GB=GC，GD=GE．要證BE=CD就簡

著，我們試把它安排在一條中位線CE平行移立即得到∠1=∠F=∠2，AB、AC上的中線分別

單了．

三 旋轉(zhuǎn)法

“在歐氏平面上把一點(diǎn)P繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角變到另一點(diǎn)P′，如此產(chǎn)生的變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，簡稱旋轉(zhuǎn)．此定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，定角叫做旋轉(zhuǎn)角．”旋轉(zhuǎn)后的圖形與原來的圖形全等．用這種想象來啟示我們?nèi)プ鬏o助線．這種方法能夠集中條件，擴(kuò)大已知，圖形之間易于聯(lián)絡(luò)，呼應(yīng)，達(dá)到較順利論證的目的．

旋轉(zhuǎn)要利用角或邊的相等，因此在正三角形、正方形、正多邊形應(yīng)用較常見．

例5 如圖（5）,在正方形ABCD中,∠EBF=45°,E、F分別在AD和DC上．求證：EF=AE+FC．

分析：因?yàn)橐C明EF=AE+FC，可設(shè)想將AE、FCEF比較．而已知條件給了正方形，即各邊相等，四個角把Rt△BCF（或Rt△BAE）以B為中心逆時針（或順Rt△ABF′≌Rt△CBF，則BF′=BF，AF′=CF，∠1=∠2．

則：∠2+∠3=∠1+∠3=90°－∠EBF=45° 所以∠EBF′=∠EBF，而BE是公共邊，故

圖_

（5）EF=EF′=AE+AF′=AE+FC，即可得證．

例6 如圖（6），在等邊△ABC外取一點(diǎn)P，如果PA=PB+PC，那么P、A、B、C四點(diǎn)共圓．

放在同一直線上，再與是直角，于是，可嘗試時針）旋轉(zhuǎn)90°．可得：

△BEF′≌△BEF，則

分析：在四點(diǎn)共圓的判斷中，其中有一條是”對角互補(bǔ)的四邊形內(nèi)接于圓” ．因此，可嘗試∠BPC+∠BAC是否等于180°．而題目中給了條件△ABC是等邊三角形，即三邊相等，三

個角都是60°，可設(shè)想把△BPC以點(diǎn)C為中心按順時針旋轉(zhuǎn)60°，可得△AP′C≌△BPC，則

PB=P′A，PC=P′C，∠A P′C=∠BPC，而∠PCP′=60°，故△PCP′是等邊三角形，則∠1=60°，PP′=PC，∵PA= PB+PC

∴PA= P′A+ PP′

∵A、P′、P三點(diǎn)共線 ∴∠A P′C+∠1=180° 又∵∠BAC=60°=∠1 ∴∠BPC+∠BAC=180°

故P、A、B、C四點(diǎn)共圓．

圖（6）

四 位似法（放縮法）

如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個點(diǎn),對應(yīng)邊互相平行（或共線），那么這樣的兩個圖形就叫做位似圖形,這個點(diǎn)叫做位似中心,這時的相似比又稱為位似比．

位似變換的設(shè)想，是把其中的一個圖形（它經(jīng)常是某一線段）看成是由另一個圖形按位似比放大或縮小而得的．把欲證的線段變?yōu)橐鬃C的線段，或者通過擴(kuò)大或縮小，讓有關(guān)線段組成一個新的圖形．比較多的是遇到“中點(diǎn)”、“三等分點(diǎn)”、“內(nèi)、外分線段成某比”等題設(shè)時，用位似擴(kuò)大或縮小法集中條件，而后加以論證．

例7 如圖（7），ABCD為任意四邊形，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，M、N分別為對角線BD、AC的中點(diǎn)．

求證：EG、HF同過MN的中點(diǎn)．

分析：欲證的三條線段在圖中的關(guān)系不甚 “密安排得較易聯(lián)系一些，由于題中很多中點(diǎn)，隨便選位似中心，按位似比K=EN//切”，我們試圖把它們擇一個頂點(diǎn)比如A作然就要連EN，得到的平行四邊形了． AE1=把邊BC縮小，自AB21BC，用相同的辦法就組成了一個易于思考2例8 三個等圓O1、O2、O3相交于點(diǎn)S，位于已知三角形ABC內(nèi)，每個圓與△ABC兩邊相切．證明：△ABC的內(nèi)心I、外心O與點(diǎn)S共線．

分析：這個問題直接論證是比較困難的，因住O、S、I之間的聯(lián)系，但從圖形的直觀上看△△ABC位似．事實(shí)上，易知，為不容易一下子抓

O1O2O3有可能與

O1O2∥AB，O2O3∥BC，O3O1∥CA，所以IO1IO2IO3==

（I為內(nèi)心，即O1A、O2B、O3C之交點(diǎn)）． IAIBIC于是由SO1?SO2?SO3知S為△O1O2O3之外心，即S與O為位似變換下的對應(yīng)點(diǎn)，故I、O、S共線．

五 其他構(gòu)造法

當(dāng)我們按照某種既定的思路解題時，有時必須用到某種圖形，而這種圖形并未在原圖中出現(xiàn)，這時就要構(gòu)造這種圖形來使證題順利進(jìn)行．構(gòu)造、補(bǔ)全基本圖形也是作出輔助線的基本方法，它是出于對幾何圖形整體的把握作出輔助線的．許多常見的輔助線（如等邊三角形、直角三角形、正方形，兩圓相交時的公共弦、連心線、圓的切線問題中過切點(diǎn)的半徑等）都體現(xiàn)了這種想法．

例9 如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CB延長線AE的中點(diǎn)．求證：BF⊥FD．

分析一：如圖（9-1），由題意知 CE=CA，F(xiàn)為即聯(lián)想到三線合一的基本圖形．于是連CF，有這樣，這了證明DF⊥BF，只要證明∠1=∠3． 另一方面，注意到Rt△ABE中構(gòu)成的”斜邊上中AF=BF，∠4=∠5．

GAD上一點(diǎn)，CE=CA，F(xiàn)是

AE的中點(diǎn)重要條件，立CF⊥AE．

線”的基本圖形，立即有因此，只要證明出△AFD≌△BFC就可推出了∠1=∠

3F了．（證明略）

BF⊥FD的結(jié)論，還可以構(gòu)分析二：如圖（9-2），注意到F是AE的中點(diǎn)的條件和要證的造如下的三線合一的基本圖形．

延長BF交DA的延長線于G，連BG．容易看出EB圖（9-2）C△BFE≌△GFA，于是F是BG的中點(diǎn)．這樣，要證明BF⊥FD，只要證明DB=DG就可以了．?

∵ABCD是矩形，∴BD=AC 又由已知：CE=CA ∴只需證出DG=CE 而這是很容易證的（證明略）．

例10 如圖（10），在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD．求證：BD2?AB2?BC2． 分析：（1）所求證的關(guān)系為平方形式，聯(lián)想到構(gòu)造求證即可，因?yàn)椤螦BC=30°，以BC為邊向外作等邊三角∠ABE=90°，BC=BE，可將AB2?BC2轉(zhuǎn)化為Rt△ABE證明AE=BD即可．

（2）由∠ADC=60°，AD=CD，連AC，則△ADC

為等邊三角形，易證直三角形運(yùn)用勾股定理形△BCE，則可以得到中AB2?BE2．這樣只需

△DCB≌△ACE，于是AE=BD．（證明略）

幾何輔助線的用途很廣，雖然幾何題目千差萬別，證明方法多種多樣，輔助線也因題而異．但“一切客觀事物本來是互相聯(lián)系和具有內(nèi)部規(guī)律的”.“運(yùn)用之妙，存乎一心”，不管問題有多么復(fù)雜，只要我們多去總結(jié)和歸納，亦可水到渠成，迎刃而解． 參考文獻(xiàn)：

[1]劉善貴.怎樣添置輔助線新編[M].北京:冶金工業(yè)出版社,1999,8,1.[2]張乃達(dá).初中幾何解題新思路[M].長春出版社,2001,6 [3]歐陽維誠.初等數(shù)學(xué)解題方法研究[M].湖南教育出版社,1998，11.讀書的好處

1、行萬里路，讀萬卷書。

2、書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。

3、讀書破萬卷，下筆如有神。

4、我所學(xué)到的任何有價值的知識都是由自學(xué)中得來的?！_(dá)爾文

5、少壯不努力，老大徒悲傷。

6、黑發(fā)不知勤學(xué)早，白首方悔讀書遲?！佌媲?/p>

7、寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。

8、讀書要三到：心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器，人不學(xué)、不知義。

10、一日無書，百事荒廢。——陳壽

11、書是人類進(jìn)步的階梯。

12、一日不讀口生，一日不寫手生。

13、我撲在書上，就像饑餓的人撲在面包上。——高爾基

14、書到用時方恨少、事非經(jīng)過不知難?！懹?/p>

15、讀一本好書，就如同和一個高尚的人在交談——歌德

16、讀一切好書，就是和許多高尚的人談話?！芽▋?/p>

17、學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)不晚。——高爾基

18、少而好學(xué)，如日出之陽；壯而好學(xué)，如日中之光；志而好學(xué)，如炳燭之光?！獎⑾?/p>

19、學(xué)而不思則惘，思而不學(xué)則殆?！鬃?/p>

20、讀書給人以快樂、給人以光彩、給人以才干?！喔?/p>

第二篇：初中數(shù)學(xué)常見輔助線添法

初中數(shù)學(xué)常見輔助線添加口訣

郭 李云陽縣雙土九年制學(xué)校

輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。

平行移動對角線，補(bǔ)成三角形常見。

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

切線長度的計算，勾股定理最方便。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。

分析綜合方法選，困難再多也會減。要證線段倍與半，延長截取可試驗(yàn)。三角形中有中線，延長中線等中線。梯形里面作高線，平移一腰試試看。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。

第三篇：巧解排隊(duì)、數(shù)數(shù)問題

巧解排隊(duì)、數(shù)數(shù)問題

一、認(rèn)真審題，填一填。

1．這隊(duì)一共有()人。

2．一些同學(xué)排成一隊(duì)。

(1)小飛和小紅之間有()人。

(2)這一隊(duì)一共有()人。

3．19個小朋友站成一排，從左數(shù)，小明排第3，從右數(shù)，小麗也排第3，小明和小麗之間有()個小朋友。

4．15名同學(xué)排隊(duì)買票，排在樂樂后面的有5名同學(xué)，排在樂樂前面的有()名同學(xué)。

5．王老師這周一共休息了()天。

6．媽媽的生日是()月()日，星期()。

二、我會畫圖解決下面有趣的問題。

1．歡歡和明明之間有多少人？(10分)

2．小華今天看了多少頁？(10分)

三、用你喜歡的方法解決。

1．今天有雪，動物運(yùn)動會要推遲4天舉行，推遲后的動物運(yùn)動會在幾月幾日星期幾舉行？(10分)

2．一年級(2)班舉行體操比賽，小英從左數(shù)排在第6，從右數(shù)排在第5，這一行有多少人？(10分)

答案

一、1．13

【點(diǎn)撥】列式為3＋1＋9＝13(人)。

2．(1)4

【點(diǎn)撥】列式為15－10－1＝4(人)。

(2)19

【點(diǎn)撥】列式為15＋4＝19(人)。

3．13

【點(diǎn)撥】列式為19－3－3＝13(個)。

4．9

【點(diǎn)撥】列式為15－5－1＝9(名)。

5．3

【點(diǎn)撥】王老師休息了星期五、星期六和星期日共3天。

6．10　15　六

二、1．

歡歡和明明之間有11人。

2．小華今天看了8頁。

三、1．推遲后的動物運(yùn)動會在11月15日星期三舉行。

【點(diǎn)撥】

2．6＋5－1＝10(人)

【點(diǎn)撥】

從左數(shù)小英數(shù)了一次，從右數(shù)小英也數(shù)了一次，小英數(shù)了兩次，多數(shù)了一次，要減1。

第四篇：初中數(shù)學(xué)各種常見幾何圖形的添輔助線的方法

初中數(shù)學(xué)各種常見幾何圖形的添輔助線的方法

這是最常用的，可以根據(jù)公式，選擇添加的，但添加之后要知道可得出什么結(jié)論，一般證全等，就要找出全等三角形，根據(jù)這個來找全等的條件，這樣比較好做，遇上難題，我們可拆出簡單圖形，來找以前做過的基本圖形，可先不想添加輔助線的方法，找出基本圖形是很好的方法，根據(jù)需要來添加輔助線，不要盲目添加，否則越想越難，有角平分一定想垂直，在等腰中，要想三線合一 難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補(bǔ)成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓 如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線.看懂了,理解一下就行了

這樣心中有底了,再考也不怕了 正所謂;讀書破萬卷,下筆便成文

3分鐘時間審視題量，然后把握好時間分配，這是最主要的，考試不是讓你解答難題的，而是拿高分的，至于輔助線一類的題一般是，“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”，添加好了是至關(guān)重要的，重在實(shí)踐和實(shí)踐后的總結(jié)，不要只去背誦口訣。希望老師的回答可以對你有所啟發(fā)，祝你成功，前途無量。

很亂的四邊行的話，有輔助線把它邊成一個好的四邊行，平移是最好的啦，我中考的時候好象沒有幾題要加輔助線的、角平分線：因?yàn)榻瞧椒志€是是軸對稱圖形，所以基本上有以下兩種

（1）角平分線那邊有什么，另一部分也有什么（2）如果在角平分線上有一個直角，則要延長補(bǔ)全成等腰三角形2.中垂線。

見到中垂線，立即聊該線段的兩端點(diǎn)，補(bǔ)全成等腰三角形。往往，中出現(xiàn)也意味著中點(diǎn)3.中點(diǎn)要想到（1）直角三角形斜邊中線為斜邊一半（2）中位線（3）中線4。中線：倍長中線

第五篇：構(gòu)造向量巧解不等式問題

構(gòu)造向量巧解有關(guān)不等式問題

新教材中新增了向量的內(nèi)容，其中兩個向量的數(shù)量積有一個性質(zhì)：a?b??|a||b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|，又?，則易得到以1?cos?1a?b|??||a|||bcos|

下推論：

（1）ab??|ab|?||；

（2）|ab?|?|a|?|b|；

（3）當(dāng)a與b同向時，ab??|ab|?||；當(dāng)a與b反向時，a?b???|a||b|；

（4）當(dāng)a與b共線時，|ab?|?|a|?|b|。

下面例析以上推論在解不等式問題中的應(yīng)用。

一、證明不等式

例1已知a。、b?R，a?b?12證明：設(shè)m=（1，1），n，則 2a?2b?1)???

?ab?

1||2||a?1?2b?1?

2ab?12由性質(zhì)m ?n?|m|?|n|，得?y?z?1，求證：x?y?z例2已知x。

證明：設(shè)m=（1，1，1），n=（x，y，z），則 2221

3m?n????xyz1

||3，|n|x?y?z

222222 m?nm|?||||n，得x?y?z由性質(zhì)|

?22213a2b2c2a?b?cR，求證：???例3已知a，b，c?。b?cc?aa?b2

222abc)證明：設(shè)m，??a?b)bc?ca?ab?

則m ??na?b?c

222abc||||2(a?b?c)b?ca?ca?b

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a2b2c2a?b?c由性質(zhì)| ???m?n|?|m||n|，得b?cc?aa?b2222例4已知a,b為正數(shù)，求證：(。a?b)(a?b)?(a?b)

證明：設(shè)m ?(a，b)，n?(a，b)，則

33m?n?a?b

224442233222||a?b，|n|a?b

由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得 222

44422332(a?b)(a?b)?(a?b)

d?a?cd?。,b,c,d?R例5設(shè)a，求證：a

證明：設(shè)m=（a,b），n=（c,d），則

m?n??adbc

2222 ||a?b||c?d222

由性質(zhì)ab??|ab|?||，得

222ad?a?cd?

二、比較大小

Rda?例6已知m,n,a,b,c,d?

p，q的大小關(guān)系為（）

A.p?qB.p?qC.p

hk?abcd

bd |h|ma?nc，|k|mn

hk?|??|hk|||得 由性質(zhì)|

bcdman?即p?q，故選（A）

bd mn

三、求最值

例7已知m,n,x,y?，且m，那么mx+ny的最大值為??na，x??ybR

（）A.2222abB.a?b

2C.a2?b2

2D.a2?b2

解：設(shè)p=（m,n），q=（x,y），則

由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得p ?q?mx?ny

而|| m?n||x?y

從而有m xnmx?y

當(dāng)p與q同向時，mx+ny取最大值m，故選（A）。?nx?yb

例8求函數(shù)的最大值。x??)

解：設(shè)，則 x?2x)，n?(1，1)***2

m?n2x?1?2x

|m|?2，|n|2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

x?2x2

當(dāng)

四、求參數(shù)的取值范圍 113 時時，y?2max22x??2x

y?y例9設(shè)x,y為正數(shù)，不等式x恒成立，求a的取值范圍。

yn)，?（1，1）解：設(shè)，則

||x?y||2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

xyx?y y?y又不等式x恒成立

故有a?2

黑龍江省大慶市66中學(xué)（163000）