第一篇：三點共線與三線共點的證明方法

三點共線與三線共點的證明方法

公理1.若一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。公理2.過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論1.經過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面； 推論2.經過兩條相交直線有且只有一個平面； 推論3.經過兩條平行直線有且只有一個平面。

公理3.若兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。例1.如圖，在四面體ABCD中作截圖PQR，PQ、CB的延長線交于M，RQ、DB的延長線交于N，RP、DC的延長線交于K．求證M、N、K三點共線．

由題意可知，M、N、K分別在直線PQ、RQ、RP上，根據公理1可知M、N、K在平面PQR上，同理，M、N、K分別在直線CB、DB、DC上，可知M、N、K在平面BCD上，根據公理3可知M、N、K在平面PQR與平面BCD的公共直線上，所以M、N、K三點共線．

D1M、例2.已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，求證：M、N分別為AA1與AB的中點，DA、CN三線共點．

由M、N分別為AA1與AB的中點知MN//A1B且MN?行且相等，所以MN//D1C且MN?1A1B，又A1B與D1C平21D1C，根據推論3可知M、N、C、D1四點共面，2且D1M與CN相交，若D1M與CN的交點為K，則點K既在平面ADD1A1上又在平面ABCD上，所以點K在平面ADD1A1與平面ABCD的交線DA上，故D1M、DA、CN三線交于點K，即三線共點．

從上面例子可以看出，證明三線共點的步驟就是，先說明兩線交于一點，再證明此交點在另一線上，把三線共點的證明轉化為三點共線的證明，而證明三點共線只需要證明三點均在兩個相交的平面上，也就是在兩個平面的交線上。

第二篇：三點共線的證明方法

三點共線的證明方法

袁競成題目 已知點A（1，2）、B（2，4）、C（3，6），求證：A、B、C三點共線。方法1：利用定比分點坐標公式證明三點共線

設P（1。）分AC所成的比為，則=

方法2：利用向量平行的充分條件來證明三點共線，向量

方法3：其中一個點到另外兩個點所在直線的距離為0

由兩點式求得直線AB的方程為

方法4：的面積為0證明三點共線

方法5：直線夾角為0來證明三點共線

注意梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1?；颍涸OX、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

方法五：利用幾何中的公理“如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。”可知：如果三點同屬于兩個相交的平面則三點共線。

方法六：運用公（定）理 “過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行（垂直）”。其實就是同一法。

方法七：證明其夾角為180°

方法八：設A B C，證明△ABC面積為0

方法九：帕普斯定理

注意帕普斯(Pappus)定理:如圖，直線l1上依次有點A,B,C，直線l2上依次有點D,E,F，設AE,BD交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，則P,Q,R共線。

帕普斯定理

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第三篇：向量法證明三點共線的又一方法及應用

向量法證明三點共線的又一方法及應用

平面向量既具有數量特征，又具有圖形特征,學習向量的應用，可以啟發(fā)同學們從新的視角去分析、解決問題，有益于培養(yǎng)創(chuàng)新能力.下面就一道習題的應用探究為例進行說明.????????????原題 已知OB?λOA?μOC，其中λ?μ?1.求證：A、B、C三點共線

????????思路：通過向量共線(如AB?kAC)得三點共線.證明：如圖,由λ?μ?1得λ?1?μ,則 ????????????????????OB?λOA?μOC?(1?μ)OA?μOC

?????????????????OB?OA?μ(OC?OA)

?????????AB?μAC ?A、B、C三點共線.思考：1.此題揭示了證明三點共線的又一向量方法,點O具有靈活性；

2.反之也成立（證明略）：若A、B、C三點共線，則存在唯一實數對λ、μ，滿 ????????????足OB?λOA?μOC,且λ?μ?1.揭示了三點貢獻的又一個性質；

????1????????????13.特別地，λ?μ?時，OB?(OA?OC)，點B為AC的中點，揭示了2

2中線OB的一個向量公式，應用廣泛.應用舉例

例1 如圖，平行四邊形ABCD中，點M是AB的中點，點N在BD上，且BN?

用向量法證明：M、N、C三點共線.?OAC 1BD.利

3C?????????????思路分析：選擇點B，只須證明BN?λBM?μBC,且λ?μ?1.A????????????證明：由已知BD?BA?BC，又點N在BD上，1BD，得 3????1????1????????1????1????BN?BD?(BA?BC)?BA?BC 3333

又點M是AB的中點，?????1?????????????

?BM?BA，即BA?2BM 2且BN?B

????2?????1?????BN?BM?BC 33

21而??1 33

?M、N、C三點共線.??????????點評：證明過程比證明MN?mMC簡潔.BD?例2如圖，平行四邊形OACB中，11OD與AB相交于E，BC，求證：.BE?BA.3

4思路分析：可以借助向量知識，只須證明：

????1????????????????BE?BA，而BA?BO?BC，又O、D、E三

4點共線，存在唯一實數對λ、μ，且λ?μ?1，使C????????????????????BE?λBO?μBD，從而得到BE與BA的關系.O????????????????????證明：由已知條件，BA?BO?BC，又B、E、A三點共線，可設BE?kBA，則

????????????BE?kBO?kBC①

????????????又O、E、D三點共線，則存在唯一實數對λ、μ，使BE?λBO?μBD，且λ?μ?1.????1????又BD?BC 3????????1?????BE?λBO?μBC

3根據①、②得 ②

1?k???k?λ4??11??λ?，解得 k?μ??43??3???λ?μ?1μ??4?????1?????BE?BA

41?BE?BA 4

點評：借助向量知識，充分運用三點共線的向量性質解決問題，巧妙、簡潔.2

第四篇：平面向量中三點共線定理的應用與推廣

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平面向量中三點共線定理的應用與推廣 作者：蘇慶飛

來源：《數理化學習·高三版》2013年第04期

應該說，平面向量中三點共線定理在高中階段的應用還是比較廣泛的，如果我們能夠熟練掌握并能靈活運用這個定理來解題，往往能夠起到事半功倍的效果.下面試舉幾例來說明一下平面向量中三點共線定理的應用.反思：本題解法較多，相對其它解法，運用三點共線定理來解決最為簡潔，且思路直觀，條理清晰，容易下手.當然，這就要求我們在審題時能夠注意觀察、聯(lián)想，再靈活運用所學知識來解題.同樣，在本例中，如果點E、F的位置發(fā)生改變，但是只要能夠知道AE與AB的比例關系和AF與AC的比例關系，我們同樣可以求出x，y的值.反思：解法一把問題化歸了例3這類題型，化未知為已知，化不熟悉為熟悉，體現了數學中的一種重要思想——化歸思想；解法二是通過△ABC面積這個橋梁，溝通R與H之間的關系，從而為建立x與x′之間的關系打下基礎.總的來說，這兩種解法都是緊緊抓住了“三點共線”這個中心，解法新穎，構思巧妙，不禁能讓人感受到數學的內在美.平面向量共線定理的推廣：

推廣1：確定平面向量基底前的系數范圍

推廣2：空間向量四點共面定理

[江蘇省灌云高級中學（222200）]

第五篇：幾何證明思路與方法

對于初中數學的教學而言，不存在太多的難點，按照南京中考數學試卷的難易比例7:2:1來看，90%都屬于基本知識點的考察和運用，剩余的10%則是分配在平面幾何的證明和一元二次函數的動點問題上。接下來我就簡單分享一下如何應對平面幾何證明這個問題！按照以下的思路來走，可以使我們最大程度地拿到平面幾何證明題的分數！

平面幾何證明一般按以下三個思路來解決：

（1）．“順藤摸瓜”法

該類問題特點：條件很充分且直觀，一般屬于A級難度的題目，直接求解即可。

（2）．“逆向思維”法

該類問題特點：一般已知條件較少。從正常思維難以入手，一般屬于B或C級難度題目。該類問題從求證結論開始逆向推導，一步一步追溯到已知條件，從而進行求解。

（3）．“滇猴技窮”法

該類問題特點：題目很簡明，表面上看不出條件和結論存在什么關系。也就是在自己苦思冥想，死了幾百萬腦細胞之后依然無解。該類問題屬于你痛不欲生的C級難度的題目。

方法：①從已知條件入手，看能得到什么結果就寫出什么結果，與結論相關的輔助線能作就作；

②再從結論入手，運用逆向思維，看能推導出什么結果就寫什么結果；③合理聯(lián)想，看看兩次推導結果之中有沒有關系緊密的，如果發(fā)現則以此為突破點解題；若發(fā)現不了，馬上放棄，絕不浪費時間！

注：該類問題在寫出各種推導結果是需注意條理性，忌雜亂無章！這樣能保證我們如果“瞎蒙”對了某一正確步驟后者推導出一個重要條件時，能拿到相應的分數！所以考試時遇見不會做的題目，不能留“天窗”！