第一篇：平面向量中三點(diǎn)共線定理的應(yīng)用與推廣

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平面向量中三點(diǎn)共線定理的應(yīng)用與推廣 作者：蘇慶飛

來源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)·高三版》2013年第04期

應(yīng)該說，平面向量中三點(diǎn)共線定理在高中階段的應(yīng)用還是比較廣泛的，如果我們能夠熟練掌握并能靈活運(yùn)用這個(gè)定理來解題，往往能夠起到事半功倍的效果.下面試舉幾例來說明一下平面向量中三點(diǎn)共線定理的應(yīng)用.反思：本題解法較多，相對(duì)其它解法，運(yùn)用三點(diǎn)共線定理來解決最為簡潔，且思路直觀，條理清晰，容易下手.當(dāng)然，這就要求我們?cè)趯忣}時(shí)能夠注意觀察、聯(lián)想，再靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來解題.同樣，在本例中，如果點(diǎn)E、F的位置發(fā)生改變，但是只要能夠知道AE與AB的比例關(guān)系和AF與AC的比例關(guān)系，我們同樣可以求出x，y的值.反思：解法一把問題化歸了例3這類題型，化未知為已知，化不熟悉為熟悉，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的一種重要思想——化歸思想；解法二是通過△ABC面積這個(gè)橋梁，溝通R與H之間的關(guān)系，從而為建立x與x′之間的關(guān)系打下基礎(chǔ).總的來說，這兩種解法都是緊緊抓住了“三點(diǎn)共線”這個(gè)中心，解法新穎，構(gòu)思巧妙，不禁能讓人感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.平面向量共線定理的推廣：

推廣1：確定平面向量基底前的系數(shù)范圍

推廣2：空間向量四點(diǎn)共面定理

[江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)（222200）]

第二篇：平面向量共線問題的深入研究

庫爾勒市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)組編寫人：史蕾

平面向量共線問題的深入研究

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、掌握三點(diǎn)共線的證明方法。

2、兩向量共線時(shí)，能根據(jù)題意選擇合適的方法解決問題。

【前置研究】

1探究

一、假設(shè)A（1,5），B（，4），C（0,3），你能想出幾種方法能證明它們?nèi)?

點(diǎn)共線？哪種方法最簡便？

探究

二、只讀題，不做題?？纯聪旅鎯深}三問各有幾種方法解答。

1、已知a=(1,2),b=(-3,2),① 當(dāng)k為何值時(shí)，ka+b與a-3b平行？

②平行時(shí)它們是同向還是反向？

2、已知a=(3,2-m)與b=(m,-m)平行，求m的值。

【我的例題】請(qǐng)根據(jù)以上兩個(gè)探究的發(fā)現(xiàn)，自擬一道類似的題目并解答。

第三篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.授課類型：新授課 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

??1．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作：λa

??（1）|λa|=|λ||a|；

?????（2）λ>0時(shí)λa與a方向相同；λ<0時(shí)λa與a方向相反；λ=0時(shí)λa=0

2．運(yùn)算定律

??結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a ；

???????分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零??實(shí)數(shù)λ，使b=λa.二、講解新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個(gè)向量都可以分解成兩個(gè)不共線向量？且分解是唯一？（2）對(duì)于平面上兩個(gè)不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？

2．設(shè)e1，e2是不共線向量，a是平面內(nèi)任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)

??于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；

?(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量

3、兩個(gè)非零向量的夾角：

???????????? 如圖所示，已知兩個(gè)非零向量a,b，在平面上任取一點(diǎn)O，作OA?aO ,B?b，??則?AOB???0?????叫做向量a與b的夾角，ba BAO θbθ bAOB aa【說明】（1）研究兩個(gè)非零向量的夾角時(shí)，必須先將這兩個(gè)向量的起點(diǎn)移至同一個(gè)點(diǎn)；但是當(dāng)兩個(gè)向量的終點(diǎn)重合時(shí)，表示向量的這兩條線段所成的?0,??范圍內(nèi)的角也等于這兩個(gè)向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角；

??（3）如果∠AOB=0°a與b同向；

????（4）如果∠AOB=90°，我們就說向量a與b垂直，記作：a?b；

??（5）如果∠AOB=180°a與b反向。

三、講解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.作法：見教材

四、課堂練習(xí)：

1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關(guān)系

A.不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定

3.已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小結(jié)：平面向量基本定理，其實(shí)質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合．

六、課后作業(yè)：課本：101頁1,2 板書設(shè)計(jì)：略

第四篇：《平面向量基本定理》教案

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能：

了解平面向量基本定理及其意義, 理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示；能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來表示。

2.過程與方法：

讓學(xué)生經(jīng)歷平面向量基本定理的探索與發(fā)現(xiàn)的形成過程,體會(huì)由特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，初步掌握應(yīng)用平面向量基本定理分解向量的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力。

3.情感、態(tài)度和價(jià)值觀

通過對(duì)平面向量基本定理的學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性,增強(qiáng)學(xué)生向量的應(yīng)用意識(shí),并培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)及積極探索勇于發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)品質(zhì).二、教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.三、教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.四、教學(xué)方法：探究發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合五、授課類型：新授課

六、教 具：電子白板、黑板和課件

七、教學(xué)過程：

（一）情境引課，板書課題

由導(dǎo)彈的發(fā)射情境，引出物理中矢量的分解，進(jìn)而探究我們數(shù)學(xué)中的向量是不是也可以沿兩個(gè)不同方向的向量進(jìn)行分解呢？

（二）復(fù)習(xí)鋪路，漸進(jìn)新課

在共線向量定理的復(fù)習(xí)中，自然地、漸進(jìn)地融入到平面向量基本定理的師生互動(dòng)合作的探究與發(fā)現(xiàn)中去，感受著從特殊到一般、分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想碰撞的火花，體驗(yàn)著學(xué)習(xí)的快樂。

（三）歸納總結(jié)，形成定理

讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程中歸納總結(jié)出平面向量基本定理，并給出基底的定義。

（四）反思定理，解讀要點(diǎn)

反思平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)即向量分解，思考基底的不共線、不惟一和非零性及實(shí)數(shù)對(duì)的存在性和唯一性。

（五）跟蹤練習(xí)，反饋測試

及時(shí)跟蹤練習(xí)，反饋測試定理的理解程度。

（六）講練結(jié)合，鞏固理解

即講即練定理的應(yīng)用，講練結(jié)合，進(jìn)一步鞏固理解平面向量基本定理。

（七）夾角概念，順勢得出

不共線向量的不同方向的位置關(guān)系怎么表示，夾角概念順勢得出。然后數(shù)形結(jié)合，講清本質(zhì)：夾角共起點(diǎn)。再結(jié)合例題鞏固加深。

（八）課堂小結(jié)，畫龍點(diǎn)睛

回顧本節(jié)的學(xué)習(xí)過程，小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法，老師的“教 ”與學(xué)生的“學(xué)”渾然一體，一氣呵成。

（九）作業(yè)布置，回味思考。

布置課后作業(yè)，檢驗(yàn)教學(xué)效果。回味思考，更加理解定理的實(shí)質(zhì)。

七、板書設(shè)計(jì)：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使

.2.基底：

(1)不共線向量

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

(2)基底：不共線，不唯一，非零

(3)基底給定，分解形式唯一，實(shí)數(shù)對(duì)

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，實(shí)數(shù)對(duì)

可同可異。

例1 例2

3.夾角

：

（1）兩向量共起點(diǎn)；

（2）夾角范圍：

例3

4.小結(jié)

5.作業(yè)

第五篇：平面向量的應(yīng)用

平面向量的應(yīng)用

平面向量是一個(gè)解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運(yùn)算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。下面舉例說明。

一、用向量證明平面幾何定理

例1.用向量法證明：直徑所對(duì)的圓周角是直角。

已知：如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O上任一點(diǎn)（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°。

??????證明：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量OA?a，OP?b，則OB??a且PA?OA?OP?a?b，???PB?OB?OP?a?b ???PA?PB?b2?a2?|b|2?|a|2?0

???PA?PB，即∠APB＝90°。

二、用向量求三角函數(shù)值

例2.求值：cos圖

1?解：如圖2，將邊長為1的正七邊形ABCDEFO放進(jìn)直角坐標(biāo)系中，則OA?(1，0)，?

??2?2?4?4?6?6?AB?(cos，sin)，BC?(cos，sin)，CD?(cos，sin)，777777 ???8?8?10?10?12?12?DE?(cos，sin)，EF?(cos，sin)，F(xiàn)O?(cos，sin)7777772?4?6??cos?cos 777

???????又OA?AB?BC?CD?DE?EF?FO?0

圖

2?1?cos2?4?6?8?10?12??cos?cos?cos?cos?cos?0 777777

8?6?10?4?12?2??cos，cos?cos，cos?cos又cos 777777

2?4?6??1?2(cos?cos?cos)?0777 2?4?6?1?cos?cos?cos??7772

三、用向量證明不等式

222例3.證明不等式(a1b1?a2b2)2?(a1?a2)(b?b212)

證明：設(shè)向量a?(a1，a2)，b?(b1，b2)，則|a|?

與b的夾角為θ，cos??

又|cos?|?

1222則(a1b1?a2b2)2?(a1?a

22)(b1?b2)22a1?a2|b|?b1?b22，2，設(shè)aa?b?|a||b|a1b1?a2b2a?a2122b?b2122

當(dāng)且僅當(dāng)a、b共線時(shí)取等號(hào)。

四、用向量解物理題 ?????例4.如圖3所示，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個(gè)力PA、PB、PC、PD、PE作用于同一點(diǎn)P，求五個(gè)力的合力。

?????解：所求五個(gè)力的合力為PA?PB?PC?PD?PE，如圖3所示，以PA、PE為邊作平?????行四邊形PAOE，則PO?PA?PE，由正六邊形的性質(zhì)可知|PO|?|PA|?b，且O點(diǎn)在???PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則PF?PB?PD，由正六邊形的性質(zhì)可知?|PF|?3b，且F點(diǎn)在PC的延長線上。

?由正六邊形的性質(zhì)還可求得|PC|?2b

?故由向量的加法可知所求五個(gè)力的合力的大小為b?2b?3b?6b，方向與PC的方向

相同。

圖3