第一篇：2016考研數(shù)學(xué) 費(fèi)馬定理

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對(duì)于中值定理這部分的學(xué)習(xí)，很多同學(xué)都感到很困惑。然而中值定理又是我們考研數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，這部分的試題靈活性，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)考生的思維要求比較高，同時(shí)這一部分在考試中經(jīng)常是出證明題，學(xué)生的得分率比較低，這里我?guī)椭瑢W(xué)們一起學(xué)習(xí)中值定理。首先是要理解并記憶定理的內(nèi)容;二是記住定理的證明過(guò)程，并掌握這一部分試題主題的證明思想。費(fèi)馬定理是三大中值定理的引理，很多同學(xué)在復(fù)習(xí)的時(shí)候經(jīng)常忽略，下面中公考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)老師就帶大家來(lái)看費(fèi)馬定理。

對(duì)于費(fèi)馬定理這個(gè)內(nèi)容主要是說(shuō)明，如果要證函數(shù)發(fā)f(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零，只要證明在這點(diǎn)取極值(極大值或極小)，則存在導(dǎo)數(shù)等于零。

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羅爾定理的證明是會(huì)用到費(fèi)馬定理的，對(duì)于費(fèi)馬定理一定要掌握。

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第二篇：2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

來(lái)源：智閱網(wǎng)

微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)中的重要定理，考察的頻率較高，難度也比較大，下面詳細(xì)的講解一下，希望大家有所收獲。

微積分定理包括兩個(gè)定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號(hào)扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對(duì)閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對(duì)待：對(duì)應(yīng)開(kāi)區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類(lèi)，而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)?；ㄩ_(kāi)兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個(gè)極限式如何化簡(jiǎn)，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類(lèi)似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時(shí)在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門(mén)真正的學(xué)科?！边@段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運(yùn)用該公式計(jì)算定積分。不過(guò)，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個(gè)條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。

注意到該公式的另一個(gè)條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語(yǔ)言描述一下，即f(x)對(duì)應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個(gè)原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù)之間只差個(gè)常數(shù)，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個(gè)常數(shù)C。萬(wàn)事俱備，只差寫(xiě)一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

上面講述的微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，考生們要認(rèn)真學(xué)習(xí)其解題方法，并且學(xué)會(huì)運(yùn)用。湯神《考研數(shù)學(xué)接力題典1800》可以檢驗(yàn)大家的復(fù)習(xí)效果，總結(jié)做題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)我們現(xiàn)階段的復(fù)習(xí)幫助很大。

第三篇：考研數(shù)學(xué)定理證明

考研數(shù)學(xué)定理證明

不一定會(huì)考，或者說(shuō)是好像近幾年也就是09年的考題出過(guò)一道證明題(拉格朗日中值定理的證明)。但準(zhǔn)備時(shí)最好把課本上幾個(gè)重要定理(比如中值定理)的證明看下，做到會(huì)自己證明。還有就是幾個(gè)證明過(guò)程或方法比較奇特的定理，要看懂證明。一個(gè)可以應(yīng)付直接考證明題，還可以借鑒證明思路幫助自己解其他題目，算是開(kāi)擴(kuò)思路吧，總之看下會(huì)有好處的，而且也不是很多，比照課本自己總結(jié)下吧，我去年就是這么整理的。數(shù)學(xué)140+

定理的證明屬于比較難的，可以不看。很多人看都看不懂，或者看懂了也不會(huì)用。

但是定理的結(jié)論和應(yīng)用一定要會(huì)。

考研里的證明題屬于壓軸的，大部分人都做不出來(lái)，所以不用擔(dān)心。只要把基本盤(pán)拿下，你的分?jǐn)?shù)就應(yīng)該能過(guò)國(guó)家線。

祝你成功。

呵呵非常理解你的處境。我覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題不難解決，主要有兩個(gè)辦法。下面幫你具體分析一下，呵呵～

一。旁聽(tīng)?zhēng)煹軒熋玫臄?shù)學(xué)課～優(yōu)點(diǎn)：不僅經(jīng)濟(jì)，便利，而且對(duì)老師的水平有保證～因?yàn)槎际悄銈儗W(xué)校的嘛，你可以事先充分打聽(tīng)好哪個(gè)老師哪門(mén)課講得好，然后還能比較容易獲取課程進(jìn)度，這樣就可以專(zhuān)門(mén)去聽(tīng)自己不懂得那塊，針對(duì)性強(qiáng)矮甚至你下課后還可以就不懂得習(xí)題跟老師請(qǐng)教一下～就本人這么多年的上學(xué)經(jīng)驗(yàn)，老師對(duì)“問(wèn)題學(xué)生”都是歡迎的，至少不排斥～缺點(diǎn)：由于不是專(zhuān)門(mén)針對(duì)考研復(fù)習(xí)的講授，有些東西可能不是很適合～舉個(gè)例子吧，比如將同樣的知識(shí)，高一時(shí)候和高三第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，講的側(cè)重點(diǎn)就不一樣～(但是個(gè)人覺(jué)得這不算什么大缺點(diǎn)～嘿嘿～)

二。報(bào)名參加專(zhuān)門(mén)的考驗(yàn)輔導(dǎo)班。優(yōu)點(diǎn)顯而易見(jiàn)。老師肯定都是有多年考研輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)的，指導(dǎo)復(fù)習(xí)當(dāng)然針對(duì)性強(qiáng)，有事半功倍的效果。缺點(diǎn)就是，嘿嘿，學(xué)費(fèi)問(wèn)題。你所在地的學(xué)費(fèi)情況我就不清楚了，你可以自己去查一下～

還有一句話想說(shuō)，其實(shí)這兩個(gè)辦法也不是對(duì)立的，你可以在學(xué)校里去旁聽(tīng)老師的課，把第一輪扎扎實(shí)實(shí)的復(fù)習(xí)完，放假回家去報(bào)名參加個(gè)輔導(dǎo)班，利用假期有針對(duì)性的做第二輪復(fù)習(xí)～相信兩輪復(fù)習(xí)下來(lái)，你的長(zhǎng)進(jìn)一定不蝎呵呵～

我就說(shuō)這么多，要是以后想起來(lái)了會(huì)再來(lái)補(bǔ)充的～最后祝你如愿考上理想院校哦～加油

也不知道一樓是哪個(gè)名校數(shù)學(xué)系的研究生，廣州大學(xué)嗎?這么有才華!聽(tīng)他的話等樓主沒(méi)考到130哭的地方都找不到。

考研每一門(mén)學(xué)科都要復(fù)習(xí)好幾輪，也不知道樓主考什么專(zhuān)業(yè)，數(shù)學(xué)幾?

基礎(chǔ)差的話第一輪復(fù)習(xí)要弄清楚定理及其證明過(guò)程。如果應(yīng)屆本科生又是學(xué)理科，平時(shí)成績(jī)不錯(cuò)，高數(shù)，線性分都很高的話第一輪可以直接看教材做題。

第四篇：考研數(shù)學(xué)高數(shù)真題分類(lèi)—中值定理

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一份好的考研復(fù)習(xí)資料，會(huì)讓你的復(fù)習(xí)力上加力。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【高等數(shù)學(xué)-中值定理知識(shí)點(diǎn)講解和習(xí)題】，同時(shí)中公考研網(wǎng)首發(fā)2017考研信息，2017考研時(shí)間及各科目復(fù)習(xí)備考指導(dǎo)、復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為2017考研學(xué)子提供一站式考研輔導(dǎo)服務(wù)。

第三章 中值定理

綜述：中值定理的證明一直是考研數(shù)學(xué)的難點(diǎn).在考研數(shù)學(xué)一的考試中，這一部分的出題的頻率比較穩(wěn)定，一般兩年出一道大題.從考試的情況來(lái)看，考生在這一部分普遍得分率不高.其主要原因是練習(xí)不夠，不熟悉常見(jiàn)的思想方法，以及對(duì)證明題慣有的懼怕心理.其實(shí)這一部分的題目也是有一定套路的，只要掌握一些常見(jiàn)的證明思路，在大多數(shù)情況下就都可以輕松應(yīng)對(duì)了.本章需要用到的主要知識(shí)點(diǎn)有：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值定理，介質(zhì)定理），費(fèi)馬引理，羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和積分中值定理.根據(jù)題目的形式，我們將這一部分的題目分為了3種類(lèi)型：中值定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（直接能作出輔助函數(shù)的），復(fù)雜的中值定理證明（需要對(duì)等式變形才能作出輔助函數(shù)的），證明存在兩點(diǎn)?,???a,b?使得它們滿(mǎn)足某種等式.?？碱}型一：對(duì)中值定理內(nèi)容的考查

1.【02—3 4分】設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上有定義，在開(kāi)區(qū)間?a,b?上可導(dǎo)，則（）

?A?當(dāng)f?a?f?b??0時(shí)，存在???a,b?，使得f????0

?f?x??f?????B?對(duì)任何???a,b?，有l(wèi)im??0 x????C?對(duì)f?a??f?b?時(shí)，存在???a,b?，使f'????0 ?D?存在??(a,b)，使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a).中公考研，讓考研變得簡(jiǎn)單！

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2.【04-3 4分】設(shè)f?(x)在[a,b]上連續(xù)，且f?(a)?0,f?(b)?0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

(A)至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f(x0)>f(a).(B)至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f(x0)>f(b).(C)至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f?(x0)?0.(D)至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.3．【96-2 5分】求函數(shù)f(x)?式.1?x在x?0點(diǎn)處帶拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒展開(kāi)1?x4.【03-2 4分】y?2x的麥克勞林公式中x項(xiàng)的系數(shù)是.n?？碱}型二：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

5.【02-3 6分】設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，且g(x)?0.利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)??[a,b]，使

?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx.ab?？碱}型三：羅爾定理的使用

6.【08-2 4分】設(shè)f(x)?x2(x?1)(x?2)，求f?(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)()?A?0 ?B?1

?C?2

?D?3 7.【07—123 11分】設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在?a,b?上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)?g(a),f(b)?g(b)，證明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).8.【00—123 6分】設(shè)函數(shù)f?x?在[0,?]上連續(xù)，且??f?x?dx?0，0??f?x?cosxdx?0.試證：在?0,??內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?、?012，使得f??1??f??2??0.9.【96—2 8

分】設(shè)f?x?在區(qū)間

?a,b?上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f?a??f?b??0,f??a??f??b??0試證明：存在???a,b?和???a,b?，使f????0，中公考研，讓考研變得簡(jiǎn)單！

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及f??????0.10.【03—3 8分】設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1.試證：必存在??(0,3)，使f?(?)?0.11.【10—3 10分】設(shè)函數(shù)f(x)在?0,3?上連續(xù),在?0,3?內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù),且2f(0)??f(x)dx?f(2)?f(3), 02(I)證明存在??(0,2),使f(?)?f(0);;(II)證明存在??(0,3),使f??(?)?0．

12.【93—3 6分】假設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)二階可導(dǎo)，過(guò)點(diǎn)A(0,f(0)),B(1,f(1))的直線與曲線y?f(x)相交于點(diǎn)C(c,f(c))，其中0?c?1，證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使f??(?)?0

【小結(jié)】：1.對(duì)命題為f(n)(?)?0的證明，一般利用以下三種方法：

（1）驗(yàn)證?為f(n?1)(x)的最值或極值點(diǎn)，利用極值存在的必要條件或費(fèi)爾馬定理可得證；

（2）驗(yàn)證f(n?1)(x)在包含x??于其內(nèi)的區(qū)間上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件.（3）如果f(x)在某區(qū)間上存在n個(gè)不同的零點(diǎn)，則f(n)(x)在該區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).2．證明零點(diǎn)唯一性的思路：利用單調(diào)性；反證法.4.證明函數(shù)在某區(qū)間上至少有兩個(gè)零點(diǎn)的思路有：證明該函數(shù)的原函數(shù)在該區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)；先證明至少有一個(gè)零點(diǎn)，再用反證法證明零點(diǎn)不是唯一的.（這些結(jié)論在證明題中不能直接應(yīng)用，應(yīng)用它們的時(shí)候需要寫(xiě)出證明過(guò)程，但記住它們對(duì)復(fù)雜一點(diǎn)的證明題是很好的思路提示.）

4.費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明過(guò)程都是需要掌握的，它們不但是直接的考點(diǎn)。所涉及的思想方法在中值定理的證明過(guò)程中也有重要應(yīng)用。

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?？碱}型四：柯西中值定理的使用

13.【03—2 10分】設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f?(x)?0.若極限lim?x?af(2x?a)存在，證明：

x?a(1)在(a,b)內(nèi)f(x)?0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)?，使

b2?a2?b?af(x)dx2?； f(?)22(3)在(a,b)內(nèi)存在與(2)中?相異的點(diǎn)?，使f?(?)(b?a)?2?bf(x)dx.?a??a

14.【08-2 10分】(I)證明積分中值定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)??[a,b]，使得

?baf(x)dx?f(?)(b?a)；

(II)若函數(shù)?(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足，?(2)??(1),?(2)?點(diǎn)??(1,3)，使得???(?)?0.??(x)dx，則至少存在一

23?？碱}型五：輔助函數(shù)的構(gòu)造

15.【09—123 11分】（Ⅰ）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)f?x?在?a,b?上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則存在???a,b?，使得f?b??f?a??f?????b?a?

f??x??A，（Ⅱ）證明：若函數(shù)f?x?在x?0處連續(xù)，在?0,?????0?內(nèi)可導(dǎo)，且lim?x?0則f???0?存在，且f???0??A

16.【98-12 6分】設(shè)y?f(x)是區(qū)間[0,1]上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù).(1)試證存在x0?(0,1),使得在區(qū)間?0,x0?上以f(x0)為高的矩形面積,等于在區(qū)間?x0,1?上以y?f(x)為曲邊的梯形面積.(2)又設(shè)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f?(x)??2f(x),證明(1)中的x0是唯一的.xx???17.【13—3 10分】設(shè)函數(shù)f(x)在[0,??]上可導(dǎo)，f(0)?0且limf(x)?2，證明

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（1）存在a?0，使得f(a)?1

（2）對(duì)（1）中的a，存在??(0,a),使得f'(?)?1.a18.【95—1 8分】假設(shè)函數(shù)f?x?和g?x?在?a,b?上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且g???x??0，f?a??f?b??g?a??g?b??0，試證：

（1）在開(kāi)區(qū)間?a,b?內(nèi)，g?x??0；

f???f?????（2）在開(kāi)區(qū)間?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使.?g???g?????19.【96—3 6分】設(shè)f?x?在區(qū)間?0,1?上可微，且滿(mǎn)足條件f?1??2試證：存在???0,1?，使f?120xf?x?dx，?????f?????0.20.【01—3 9分】設(shè)f?x?在區(qū)間?0,1?內(nèi)可導(dǎo)，且滿(mǎn)足?上連續(xù)，在?0,1f?1??k?xe1?xf?x?dx?k?1?證明至少存在一點(diǎn)???0,1?，使得f'?????1???1?f???

21.【99—3 7分】設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,1?內(nèi)可導(dǎo)，且?上連續(xù)，在?0,11k0?1?.試證： f?0??f?1??0,f???1?2?（1）存在????1?,1?，使f?????； ?2?（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)?，必存在???0,??，使得f????????f????????1.22.【13—12 10分】設(shè)奇函數(shù)f(x)在[?1,1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)?1.證明：

（0,1）（I）存在??，使得f?(?)?1；（II）存在????1,1?，使得f??(?)?f?(?)?1。

【小結(jié)】：

1.構(gòu)造輔助函數(shù)的方法：1）.將待證明結(jié)論中的?改為x；2）.通過(guò)初等變換將等式化為容易積分的形式；3）.積分求出原函數(shù)，積分常數(shù)取作0；4）.將等式兩邊移到一邊，即中公考研，讓考研變得簡(jiǎn)單！

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是所需輔助函數(shù).(n)2.如果要證明的等式為f(?)?P(?)f?n?1?????0，則令輔助函數(shù)為F(x)?e?P(x)dxf(n?1)?x?。然后證明該函數(shù)滿(mǎn)足羅爾定理，即可得到想要的結(jié)論。對(duì)命題為f(n)(?)?0的證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗(yàn)證?為f(n?1)(x)的最值或極值點(diǎn)，利用極值存在的必要條件或費(fèi)爾馬定理可得證；方法二：驗(yàn)證f(n?1)(x)在包含x??于其內(nèi)的區(qū)間上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件.?？碱}型六：雙中值問(wèn)題

23.【05—12 12分】已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?0，f(1)?1，證明：

（1）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；

（2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1.24.【10—2 10分】設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間?0,1?內(nèi)可導(dǎo),且111f(0)?0,f(1)?,證明：存在??(0,),??(,1),使得f?(?)?f?(?)=?2??2.32225.【98—3 6分】設(shè)函數(shù)f?x?在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，且f??x??0.試

f????eb?ea??證存在?,???a,b?，使得??e.?f???b?a【小結(jié)】：

1.等式中含有兩個(gè)參數(shù)?,?的題目一般需要用兩次柯西中值定理：由f(b)?f(a)f?(?)f(b)?f(a)f?(?)f?(?)??，得到f(b)?f(a)??g(b)?g(a)?，???g(b)?g(a)g(?)h(b)?h(a)h(?)g(?)f(b)?f(a)?f?(?)f?(?)f?(?)h(b)?h(a)?，從而有g(shù)(b)?g(a)?????h(b)?h(a)?，h?(?)g?(?)h?(?)再通過(guò)初等變換得到需要證明的等式.2．當(dāng)要證明的等式關(guān)于?,?具有輪換對(duì)稱(chēng)性時(shí)或題目中明確要求?,?不相同時(shí)，通常的做法是：選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)c?(a,b)，在?a,c?和?c,b?上分中公考研，讓考研變得簡(jiǎn)單！

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別應(yīng)用中值定理，然后得到所需要證明的等式.?？碱}型七：泰勒中值定理的使用

26.【01-1 7分】設(shè)y?f(x)在(?1,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f"(x)?0,試證：(1)對(duì)于(?1,1)內(nèi)的任意x?0, 存在唯一的?(x)∈(0,1)，使f()x?f0()立；

(2)lim?(x)?x?0xf'?()xx???成1.227.【96-1 8分】 設(shè)f(x)在[0,1]上具有二階導(dǎo)數(shù),且滿(mǎn)足條件|f(x)|?a,|f??(x)|?b,其中a,b都是非負(fù)常數(shù),c是(0,1)內(nèi)任一點(diǎn),證明|f?(c)?|ba2?.228.【99-2 8分】設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間??1,1?上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f??1??0，f?1??1，f??0??0，證明：在開(kāi)區(qū)間??1,1?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使f???????3

29.【01-2 8分】設(shè)f(x)在區(qū)間[?a,a](a?0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),（f0）?0,(1)寫(xiě)出f(x)的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式;(2)證明在[?a,a]上至少存在一點(diǎn)?，使af??(?)?33?a?af(x)dx.參考答案：

1.【02—3 4分】

B 2.【04-3 4分】 D 3.【96-2 5分】

1?x2xn?12nnn?1f(x)??1?2x?2x???(?1)2x?(?1)??(0???1)n?21?x(1??x)(ln2)n4.【03-2 4分】

n!5.【02-3 6分】略 6.【08-2 4分】 D

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第五篇：費(fèi)馬大定理的啟示

“費(fèi)馬大定理”的啟示

“設(shè)想你進(jìn)入大廈的第一間房子，里面很黑，一片漆黑，你在家具之間跌跌撞撞，但是你搞清楚了每一件家具所在的位置，最后你經(jīng)過(guò)6個(gè)月或者再長(zhǎng)些的時(shí)間，你找到了開(kāi)關(guān)，拉開(kāi)了燈，突然整個(gè)房間充滿(mǎn)光明，你能確切地明白你身在何處。然后，你又進(jìn)入下一個(gè)房間，又在黑暗中摸索了6個(gè)月。因此每一次這樣的突破，盡管有的時(shí)候只是一瞬間的事，有時(shí)候是一兩天的時(shí)間，但它們實(shí)際上是之前許多個(gè)月在黑暗中跌跌撞撞的最終結(jié)果，沒(méi)有前面的這一切它們是不可能出現(xiàn)的”——1996年3月，維爾斯因證明費(fèi)馬大定理獲得沃爾夫獎(jiǎng)

作為一個(gè)數(shù)學(xué)老師，數(shù)學(xué)是大多數(shù)學(xué)生討厭的學(xué)科，而我們教師更多的只是告訴、教會(huì)學(xué)生就這么用，就這么做。怎么才能讓學(xué)生不那么討厭數(shù)學(xué)呢？我想應(yīng)該從尊重?cái)?shù)學(xué)開(kāi)始。

當(dāng)我第二次翻看《明朝那些事》時(shí)，我不禁又一次感慨：歷史原來(lái)可以這樣寫(xiě)？歷史就應(yīng)該這樣寫(xiě)。本著這樣的思維，在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)敘事中加上事件節(jié)點(diǎn)人物的歷史，可能更有意思一些，最起碼，讓學(xué)生喜歡讀，讀的有趣味。從而使學(xué)生明白偉大的數(shù)學(xué)家是怎么影響整個(gè)世界的。尊重應(yīng)該從這里開(kāi)始。

這個(gè)念頭一直縈繞腦海，直到我無(wú)意中打開(kāi)選修3-1，才鼓舞起余勇，翻找資料，以費(fèi)馬大定理為主線說(shuō)說(shuō)幾千年來(lái)數(shù)學(xué)家們前仆后繼的歷史。

222x?y?z

首先，我們來(lái)看一個(gè)公式：。

有人說(shuō)：“這不就是勾股定理嗎？直角三角形的兩條直角邊的平方等于斜邊的平方。誰(shuí)不知道？”

沒(méi)錯(cuò)我們中國(guó)人知道勾股定理十分久遠(yuǎn)，公元前1100年，西周開(kāi)國(guó)時(shí)期，周公與商高討論測(cè)量時(shí)，商高就提到過(guò)“勾廣三，股修四。徑隅五”。這段話被記載于《周脾算經(jīng)》中。而西方記載勾股定理的是哥倫比亞大學(xué)圖書(shū)館的泥版“普林頓322”大約公元前1900~公元前1600年的事。

但是中國(guó)人說(shuō)的數(shù)學(xué)嚴(yán)格的說(shuō)，應(yīng)該叫算學(xué)。我國(guó)古代就有豐富的數(shù)學(xué)典籍?注1?，但是你看這些書(shū)籍的章節(jié)結(jié)構(gòu)，就不難看出它鮮明的特點(diǎn)——實(shí)用。比如：《九章》中的方田、粟米、差分、少?gòu)V、商功、均輸?shù)?，就字面意思也能看出它就是為了解決實(shí)際問(wèn)題。

我們中國(guó)就是一個(gè)實(shí)用的民族，就比如勾股定理，你拿去用就可以，不用計(jì)較為什么這樣，這也就是為什么我們的典籍中很少有公理和定律的原因了。所以在世界主流數(shù)學(xué)史中，我國(guó)數(shù)學(xué)家是沒(méi)有太多地位的，說(shuō)起這個(gè)就不得不說(shuō)有一個(gè)讓國(guó)人氣憤的事情，1972年，美國(guó)數(shù)學(xué)史家莫里斯·克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》?注2?序言里有這么一段話：“為了不讓本書(shū)內(nèi)容漫無(wú)目的的鋪張，所以有些民族的數(shù)學(xué)我們就自動(dòng)忽略了，如：日本、瑪雅、中國(guó)?！彼€說(shuō)：“他們的數(shù)學(xué)對(duì)世界人類(lèi)的主流思想是沒(méi)有什么貢獻(xiàn)的。”很讓人不服氣的說(shuō)法，但是你回到數(shù)學(xué)歷史的主流，不難發(fā)現(xiàn)我國(guó)的算學(xué)，跟世界主流數(shù)學(xué)的目的就不一樣。

言歸正傳，我們回到古希臘。說(shuō)道古希臘，就不得不提一個(gè)人——畢達(dá)哥拉斯。我們引以為豪的勾股定理，在初中的課本中也是用的畢達(dá)哥拉斯定理來(lái)引入的。畢達(dá)哥拉斯定理和勾股定理的區(qū)別就在于他們要證明這個(gè)結(jié)論。從這里你就可以發(fā)現(xiàn)東西方數(shù)學(xué)的區(qū)別，西方數(shù)學(xué)史這種死心眼般的研究精神，完全就是一種剔除了理性的宗教迷狂，是一種不出于實(shí)用的目的完全的智力上的比拼競(jìng)賽。就是佛教里的“貪嗔癡”！比如那些著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“四色問(wèn)題”，不就是四種顏色就可以區(qū)分出復(fù)雜地圖的行政區(qū)域么，放在我國(guó)，知道了就可以，但是在西方就一定要搞清楚為什么？還有“哥德堡七橋問(wèn)題”，就是不重復(fù)的走過(guò)七座橋，對(duì)中國(guó)人來(lái)說(shuō)我們講究的是說(shuō)走就走的旅行，神經(jīng)病才研究這個(gè)，有這功夫，走兩遍不就觀光了嗎？這就是實(shí)用主義和智力競(jìng)賽之間的區(qū)別。從一開(kāi)始就分道揚(yáng)鑣了。

畢達(dá)哥拉斯就是前文那個(gè)公式的發(fā)現(xiàn)者。畢達(dá)哥拉斯（約公元前580～約前500）古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。他的信徒們組成了一個(gè)唯心主義學(xué)派——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)政治和宗教團(tuán)體旨在用“數(shù)”去描述世間一切，他們從數(shù)學(xué)中感受到了整個(gè)世間那種美妙，他們認(rèn)為數(shù)就是世界的規(guī)律。這也難怪，沒(méi)有手機(jī)食物單調(diào)，娛樂(lè)空乏的年代，人們尤其是那些高智商圣賢智力充裕的人們找到了這個(gè)世界上讓他興奮的事情——從事“數(shù)”的研究，他的門(mén)徒們發(fā)現(xiàn)原來(lái)世間一切，上帝就是通過(guò)“數(shù)”來(lái)統(tǒng)治世界的。比如：音樂(lè)，和音好聽(tīng)，是因?yàn)橐桓沂橇硪桓业恼麛?shù)倍。凡此種種，這不就是天神的暗示么，我們就應(yīng)該在數(shù)中生活啊，我們的一切包括生命就應(yīng)該奉獻(xiàn)、祭祀給這些數(shù)。公正的說(shuō)這個(gè)學(xué)派早期它推動(dòng)了數(shù)學(xué)研究發(fā)揚(yáng)了這種精神，但后期也阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展，著名的數(shù)學(xué)史上“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”就是又這個(gè)學(xué)派成員西帕索斯發(fā)現(xiàn)了2，從而顛覆了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯終生的信仰就是，世間一切都是由整數(shù)構(gòu)成，小數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的比，而西帕索斯發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)x=y=1時(shí)，z等于什么？現(xiàn)在的初中生都知道是2。，而根據(jù)那個(gè)時(shí)候的數(shù)系，這推翻了畢達(dá)哥拉斯的世界理論依據(jù)。因?yàn)楦?hào)2是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，無(wú)法被兩個(gè)整數(shù)表示。我們來(lái)證明根號(hào)2永遠(yuǎn)不能化成分?jǐn)?shù)即可。這里又要用到反證法（高中數(shù)學(xué)課本有證明過(guò)程我復(fù)制了一下），我們先假設(shè)√2=a/b（a，b都是正整數(shù)不用說(shuō)了吧）?，F(xiàn)在，我們平方一次，a^2/b^2=2，于是，a^2=2*（b^2），這樣一看，a^2就是偶數(shù)了，那么，a必然也是偶數(shù)。那就設(shè)a=2m吧，（2m）^2=2*（b^2），4*（m^2）=2*（b^2），b^2=2*（m^2），再一看，b也成偶數(shù)了，好吧，設(shè)為2n。現(xiàn)在問(wèn)題來(lái)了，根號(hào)2不僅可以化成a/b，還可以化成m/n，而且，后者更簡(jiǎn)潔。按照同樣的方法，可以一直化簡(jiǎn)下去，而分?jǐn)?shù)必然存在最簡(jiǎn)形式，不可能無(wú)限化簡(jiǎn)，于是得出矛盾。所以，根號(hào)2永遠(yuǎn)不能化成分?jǐn)?shù)。畢達(dá)哥拉斯最后沒(méi)有辦法解決，就像堅(jiān)持日心說(shuō)的布魯諾一樣西帕索斯本人也就被同門(mén)扔到河里殺害。此后30年數(shù)系才進(jìn)一步擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)領(lǐng)域。

考慮到希臘文明的數(shù)學(xué)挺牛的，而這個(gè)畢達(dá)哥拉斯還不夠牛，只是名氣比較大而已，所以，我們得讓古希臘人多出場(chǎng)幾位。接下來(lái)，我可以推薦兩個(gè)與費(fèi)馬大定理有關(guān)的重量級(jí)人物。

一個(gè)是歐幾里得，歐幾里得最大的貢獻(xiàn)體現(xiàn)在幾何學(xué)，最牛的著作叫《幾何原本》。不過(guò)，他也有很多數(shù)論成就，所以，在費(fèi)馬大定理的故事中，他的名字會(huì)反復(fù)出現(xiàn)，根號(hào)2是無(wú)理數(shù)是他第一個(gè)證的，有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)是他第一個(gè)證的，算術(shù)基本定理也是他第一個(gè)證的。羅胖不是提到“比如說(shuō)我們學(xué)平面幾何都知道，由那么簡(jiǎn)單的幾個(gè)公理，居然可以推出如此繽紛的一個(gè)定理的世界”，第一個(gè)系統(tǒng)性（這個(gè)系統(tǒng)太牛逼了）地干這個(gè)事情的人就是歐幾里得。至于那么簡(jiǎn)單的公理到底是幾個(gè)？這個(gè)是有數(shù)字的，23個(gè)定義，5條公理，5條公設(shè)，這是所有推導(dǎo)的基礎(chǔ)。當(dāng)然，《幾何原本》也有一些不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?，卻仍然笑傲江湖兩千年，直到希爾伯特寫(xiě)出《幾何基礎(chǔ)》，才算徹底完善了歐幾里得幾何。不過(guò)，歐幾里得還是給后人挖了一個(gè)坑，就是他的第五公設(shè)比較啰嗦，怎么看都不像一個(gè)公理而像一個(gè)定理。于是，無(wú)所牛人前赴后繼去證明這個(gè)東西，卻發(fā)現(xiàn)，所有宣稱(chēng)證明了第五公設(shè)的人，其證明都陷入了循環(huán)論證的陷阱中，換句話說(shuō)，證來(lái)證去只是它自己不同的變形而已。這個(gè)第五公設(shè)真正的問(wèn)題在哪里呢？很簡(jiǎn)單，歐幾里得幾何叫平面幾何，這個(gè)第五公設(shè)只在平面幾何中成立，而別的公理或公設(shè)卻都是具有普遍適用性的。修改一下第五公設(shè)，別的公理不變，非歐幾何就誕生了。事實(shí)上，非歐幾何遇到的最大障礙不是數(shù)學(xué)家解決這個(gè)問(wèn)題的水平不夠，而是來(lái)自傳統(tǒng)觀念的壓力。高斯早就研究過(guò)非歐幾何，但遲遲不敢發(fā)表，因?yàn)閾?dān)心遭受各種攻擊。還有一個(gè)波爾約，研究非歐幾何成就斐然，可惜被高斯一盆涼水澆滅了激情。再一個(gè)就是羅巴切夫斯基，名氣最大的非歐幾何創(chuàng)始人，生前遭受各種打擊，仍不屈不撓傳播羅氏幾何，死后多年才被承認(rèn)，被贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。這三個(gè)人不約而同地研究了非歐幾何中的雙曲幾何情形，卻留下一種橢圓幾何情形，讓黎曼撿了個(gè)漏。不過(guò)，黎曼搞定這種情形可不是憑運(yùn)氣，他從思路上就領(lǐng)先其他人了，其他人都是從公理系統(tǒng)出發(fā)研究，黎曼手握微分幾何之武器直接玩起了曲率，不僅補(bǔ)充了橢圓幾何的情形，還一舉統(tǒng)一了歐氏平面幾何、羅氏雙曲幾何和他的橢圓幾何。這種牛逼人的牛逼事兒講起來(lái)還是蠻有意思的。

好啦，下一個(gè)古希臘人，丟番圖。歐幾里得寫(xiě)了本《幾何原本》，成了幾何學(xué)的一代宗師，丟番圖寫(xiě)了本《算術(shù)》，也是數(shù)論中的經(jīng)典之作，他本人也榮登“代數(shù)學(xué)之父”的寶座。他提出的丟番圖方程讓無(wú)數(shù)后人為之奮斗，至今仍有大量問(wèn)題未能解決?！端阈g(shù)》是本好書(shū)，費(fèi)馬有空就抱著讀，費(fèi)馬大定理就是讀《算術(shù)》的心得。

按照時(shí)間順序，下一個(gè)該費(fèi)馬出場(chǎng)了。費(fèi)馬這輩子活得可是夠值了。官場(chǎng)得意、婚姻美滿(mǎn)、家庭幸福、子女爭(zhēng)氣，更牛逼的是，一個(gè)業(yè)余愛(ài)好讓他名垂青史。讀讀別的數(shù)學(xué)家的故事，貧困、疾病、家庭不幸，還是來(lái)自同行的打擊，各種問(wèn)題層出不窮，簡(jiǎn)直就是“天才多磨難”，而費(fèi)馬的小日子，滋潤(rùn)得讓人嫉妒。而且，費(fèi)馬這人不像同行那么玩命死磕，不就一業(yè)余愛(ài)好嘛，玩票心態(tài)就好了。結(jié)果，很多靈感嗖嗖地冒出來(lái)，擋都擋不住。后來(lái)人們一總結(jié)，這家伙比很多職業(yè)數(shù)學(xué)家成就還大：解析幾何的發(fā)明者之一，對(duì)于微積分誕生的貢獻(xiàn)僅次于牛頓和萊布尼茨，概率論的主要?jiǎng)?chuàng)始人之一，以及17世紀(jì)數(shù)論界第一人。不過(guò)，費(fèi)馬還是干了一件不厚道的事兒，就是在費(fèi)馬大定理的問(wèn)題上，他宣稱(chēng)自己有了一個(gè)美妙的證法，就是不說(shuō)，害得數(shù)學(xué)家們?yōu)橹揽牧巳俣嗄辍?/p>

接下來(lái)，該歐拉上場(chǎng)了。歐拉是有史以來(lái)最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，雖然眼睛不好使，但心算能力卻是一流，簡(jiǎn)直是一臺(tái)人體計(jì)算機(jī)。成就太多太多，就只好省略了。我們知道幾件事就夠了。歐拉無(wú)比牛逼，卻僅僅證明了費(fèi)馬大定理n=3的情形，說(shuō)明費(fèi)馬大定理真的很難。此外，羅胖提到哥德堡七橋問(wèn)題，想說(shuō)明西方人這種琢磨精神和中國(guó)人不同，其實(shí)，這個(gè)論據(jù)不充分，論點(diǎn)也不對(duì)，中國(guó)人也搞出了很多孤立的趣題和難題，這一點(diǎn)，東西方人是相似的。區(qū)別在哪兒呢？區(qū)別在于西方有歐拉這種數(shù)學(xué)家，他不是搞明白一個(gè)孤立問(wèn)題就完事兒啦，而是由此出發(fā)，上升到理論高度，圓滿(mǎn)地解決一類(lèi)問(wèn)題，更牛逼的是，一群數(shù)學(xué)家馬上跟進(jìn)，搞出更多東西，直到形成系統(tǒng)仍在推進(jìn)，這就是我一直強(qiáng)調(diào)的數(shù)理系統(tǒng)的可怕之處。其實(shí)，這個(gè)哥德堡七橋問(wèn)題本質(zhì)上就是一筆畫(huà)問(wèn)題，中國(guó)人恰好也研究過(guò)，但中國(guó)人只是把它當(dāng)成一種游戲，從來(lái)沒(méi)想過(guò)要搞出一個(gè)數(shù)學(xué)分支。而到了西方人那里，“七橋問(wèn)題”的研究是圖論研究的開(kāi)端，同時(shí)也為拓?fù)鋵W(xué)的起源。順便說(shuō)下，“四色問(wèn)題”和“七橋問(wèn)題”是同類(lèi)問(wèn)題，屬于圖論，也可以看成拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題。別看“七橋問(wèn)題”被歐拉輕松搞定，這個(gè)“四色問(wèn)題”看似簡(jiǎn)單，卻是一道難度絕不亞于費(fèi)馬大定理的難題。愛(ài)因斯坦的老師閔可夫斯基就曾經(jīng)在學(xué)生面前夸下?？谝C明之，結(jié)果失敗只好放棄。最后，這個(gè)證明是依靠計(jì)算機(jī)完成的，雖然計(jì)算機(jī)的證明無(wú)法核對(duì)，這讓很多數(shù)學(xué)家很不爽，但是，這提供了證明問(wèn)題的新思路，也標(biāo)志著計(jì)算機(jī)將在數(shù)學(xué)世界中發(fā)揮更大的作用，你能說(shuō)，這種問(wèn)題的研究沒(méi)有意義嗎？更何況，在證明的過(guò)程中，雖然多次失敗，數(shù)學(xué)家們得到的東西可比問(wèn)題本身多得多，這正是證明難題的意義，它會(huì)催生出很多寶貝，從而進(jìn)一步完善數(shù)理體系。

下一個(gè)，該講高斯了。高斯的貢獻(xiàn)就不說(shuō)了，這種神級(jí)人物，有多大貢獻(xiàn)都是正常的，我講講他的兩個(gè)毛病吧。第一個(gè)，就是研究問(wèn)題時(shí)，只發(fā)表成熟而完善的證明，卻不讓別人捕捉到他的證明思路的蛛絲馬跡。這非常不好，他的思路會(huì)給別人很多啟發(fā)，反而是證明步驟，可利用價(jià)值低多了。另一個(gè)就是，高斯本人很牛逼，可是，卻沒(méi)干過(guò)什么提攜后生的事情，反而不利于別人成長(zhǎng)。也不是說(shuō)他故意打擊人家，就是別人覺(jué)得他牛逼，想請(qǐng)他指點(diǎn)一二時(shí)，他要么壓根兒不理睬，要么冷冰冰的。前文提到的阿貝爾，其成果寄給高斯看，讓高斯給扔了，伽羅華臨死前寫(xiě)的東西也沒(méi)忘給高斯寄一份兒，估計(jì)高斯也沒(méi)看，波爾約（這次可是他朋友的兒子）研究非歐幾何的成果，想得到他的支持，他說(shuō)自己早就研究過(guò)了，波爾約于是心灰意冷。當(dāng)然，高斯雖然有缺點(diǎn)，但他由于過(guò)于牛逼，世人贊揚(yáng)崇拜唯恐不及，缺點(diǎn)也就沒(méi)人計(jì)較了。

伽羅華肯定也是要談的，但是，前面講的伽羅華的故事太多了，這里不再贅述。就說(shuō)一點(diǎn)，有人認(rèn)為伽羅華是一個(gè)好色之徒，這是不公平的。一來(lái)，他是法國(guó)人，他只是做了一個(gè)正常法國(guó)男人會(huì)做的事情；二來(lái)，他也沒(méi)有到處沾花惹草；三來(lái)，這件事本身就可能是一個(gè)圈套，作為一個(gè)激進(jìn)的共和派青年，政府早就想把他弄死。說(shuō)到底，伽羅華是一個(gè)數(shù)學(xué)天才，但運(yùn)氣不好，他之所以政治上這么激進(jìn)，也是數(shù)學(xué)方面處處碰壁郁悶無(wú)處發(fā)泄造成的。當(dāng)然了，伽羅華的悲劇也有自身缺點(diǎn)，就是寫(xiě)東西太簡(jiǎn)潔，年輕人容易浮躁，天才更是年少輕狂，思想本來(lái)就已經(jīng)非常超前了，又不表述清楚，那些前輩們?cè)趺磿?huì)認(rèn)真看呢？

前面提到的這些人都是大神，年輕時(shí)就很牛逼，然后牛逼了一輩子（雖然有的人一輩子也很短）。事實(shí)上，數(shù)學(xué)這個(gè)東西，最牛逼的思想往往是年輕人創(chuàng)立的，年長(zhǎng)者只能為數(shù)學(xué)大廈添個(gè)磚加個(gè)瓦，卻很少再有開(kāi)山之舉。一個(gè)數(shù)學(xué)家，如果到三十歲還沒(méi)搞出什么成就，這輩子基本上就這樣了。所以，數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)只發(fā)給40歲以下的人，放寬到40歲，已經(jīng)把各種意外都考慮進(jìn)去了，可是，懷爾斯卻是意外中的意外。他年輕時(shí)實(shí)在不夠牛逼，三十多歲還在埋頭苦干，到了四十歲卻一舉成名。我想，與其把懷爾斯的故事看成一個(gè)牛逼數(shù)學(xué)家的創(chuàng)奇，不如看成一個(gè)老屌絲逆襲的勵(lì)志故事。都說(shuō)數(shù)學(xué)家成名要趁早，比如他的同行陶哲軒同學(xué)，人家7歲進(jìn)高中，9歲進(jìn)大學(xué)，10歲、11歲、12歲參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽分別拿下銅獎(jiǎng)、銀獎(jiǎng)、金獎(jiǎng)，20歲獲得博士學(xué)位，24歲當(dāng)教授，31歲時(shí)拿下菲爾茲獎(jiǎng)。而31歲的懷爾斯在干嘛，默默無(wú)聞。混到33歲時(shí)，懷爾斯終于決定要干點(diǎn)什么了，命運(yùn)也正好給了他一個(gè)機(jī)會(huì)。1985年，德國(guó)數(shù)學(xué)家格哈德·弗賴(lài)指出了谷山-志村猜想和費(fèi)馬大定理之間的關(guān)系，1986年，美國(guó)數(shù)學(xué)家里貝特證明了這一命題。懷爾斯意識(shí)到自己的機(jī)會(huì)來(lái)啦，費(fèi)馬大定理繞了一大圈，竟然和自己現(xiàn)在最擅長(zhǎng)的領(lǐng)域橢圓曲線有關(guān)，必須賭一把了。于是，懷爾斯開(kāi)始了長(zhǎng)達(dá)七年的閉關(guān)修煉，當(dāng)然了，修煉的時(shí)候還得偶爾放放風(fēng)，因?yàn)橹安粔蚺＃淌诘奈恢貌焕喂?，不發(fā)表論文會(huì)下崗的。修煉的過(guò)程前面講過(guò)，就不說(shuō)了，總之，博采眾家之長(zhǎng)，功力大大加深，七年之后出山，一舉震動(dòng)江湖。但是，數(shù)學(xué)家對(duì)待證明的態(tài)度是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，?shù)學(xué)證明一旦通過(guò)就永遠(yuǎn)正確，他們必須對(duì)后人負(fù)責(zé)，所以，懷爾斯的論文需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格審查。六個(gè)頂級(jí)數(shù)學(xué)家開(kāi)始對(duì)懷爾斯天書(shū)般的論文進(jìn)行漫長(zhǎng)的死磕，終于有一天，一個(gè)叫尼克·凱茲的發(fā)現(xiàn)了漏洞。說(shuō)來(lái)也巧，當(dāng)初懷爾斯論文發(fā)表前，想找個(gè)人內(nèi)測(cè)一下，找的就是尼克·凱茲，那個(gè)時(shí)候，這哥們兒沒(méi)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，這都公開(kāi)了，卻揪出問(wèn)題了，這讓?xiě)褷査骨楹我钥埃耗阊臼遣皇窃诙何遥渴聦?shí)上，這是個(gè)大問(wèn)題，足以破壞懷爾斯的證明。至此，懷爾斯逆襲受挫，如果漏洞不能修復(fù)，不會(huì)有人為費(fèi)馬大定理的證明道路上多一個(gè)失敗者而惋惜。好在這時(shí)懷爾斯已經(jīng)混成了終身教授，不用擔(dān)心下崗的風(fēng)險(xiǎn)了，宅在家里好好研究就行了。這次，他還找了一個(gè)助手，叫泰勒，這人是他之前的學(xué)生，一個(gè)牛逼而又值得信任的人，又經(jīng)過(guò)將近一年的奮斗，終于填補(bǔ)了漏洞且簡(jiǎn)化了證明。懷爾斯一躍成為武林泰斗，這一次，地位無(wú)人撼動(dòng)。接下來(lái)，我們要給懷爾斯幾句頒獎(jiǎng)詞：他不一定是最聰明的，也不一定有著耀眼頭銜，但一定以科學(xué)為生命，一定堅(jiān)韌、謙和并一步一個(gè)腳印向前走。在這里，我還要提一下兩個(gè)人：谷山豐和志村五郎。志村五郎是一個(gè)勤奮的人，很多地方和懷爾斯氣質(zhì)很像，而谷山豐，是一個(gè)真正的天才。谷山-志村猜想是費(fèi)馬大定理證明過(guò)程中最重要的一環(huán)，可是，在懷爾斯享受各種榮譽(yù)的時(shí)候，卻很少有人愿意提及他們（雖然谷山豐在30多年前就自殺了，但志村五郎還在）。數(shù)學(xué)的世界，有時(shí)候，也是只認(rèn)成功者。講這件事，也是提醒大家：在費(fèi)馬大定理的故事中，懷爾斯不是唯一的主角，無(wú)數(shù)人為之奮斗過(guò)，他們甘為基石，他們也是英雄。

費(fèi)馬大定理的故事，至此終于可以結(jié)束了。

回顧人類(lèi)解開(kāi)宇宙奧秘的各個(gè)節(jié)點(diǎn)，探得進(jìn)化論，主要靠達(dá)爾文；揭示力學(xué)原理，主要靠牛頓；艱深的相對(duì)論，可能有許多天才不懂，但創(chuàng)建它，也全憑一個(gè)愛(ài)因斯坦。發(fā)現(xiàn)元素周期律，創(chuàng)建精神分析理論，還有宇宙大爆炸、DNA分子結(jié)構(gòu)模型……都只有一個(gè)兩個(gè)人。唯獨(dú)這個(gè)中學(xué)生都能看懂的費(fèi)馬大定理，各路英雄好漢，有的退避三舍，有的自愧無(wú)力，有的傾盡其力也只抓上一鱗半爪，連萬(wàn)能的計(jì)算機(jī)也無(wú)可奈何。但是，我們不僅僅要看到它的困難，更要看到困難背后的意義，費(fèi)馬大定理是一只“會(huì)下金蛋的鵝”（希爾伯特語(yǔ)）：因?yàn)樗瑪U(kuò)展了“無(wú)窮遞降法”和虛數(shù)的應(yīng)用；催生出庫(kù)默爾的“理想數(shù)論”；促成了莫德?tīng)柌孪?、谷?-志村猜想得證；拓展了群論的應(yīng)用；加深了橢圓方程的研究；找到了微分幾何在數(shù)論上的生長(zhǎng)點(diǎn)；發(fā)現(xiàn)了伊利瓦金—弗萊切方法與伊娃沙娃理論的結(jié)合點(diǎn)；推動(dòng)了數(shù)學(xué)的整體發(fā)展和研究……費(fèi)馬大定理催生出一批又一批重量級(jí)數(shù)學(xué)家，這是貨真價(jià)實(shí)的事實(shí)，也是真正的厲害之處?！耙粋€(gè)民族有一些關(guān)注天空的人，他們才有希望；一個(gè)民族只是關(guān)心腳下的事情，那是沒(méi)有未來(lái)的?！?/p>

?注1?我國(guó)古代就有豐富的數(shù)學(xué)典籍，如：前文中的《周脾算經(jīng)》、東漢末年比美《幾何原本》的《九章算術(shù)》、公元400年的數(shù)學(xué)入門(mén)讀物《孫子算經(jīng)》，而盛唐時(shí)的李淳風(fēng)，就是那個(gè)有名的“推背圖”的道學(xué)家，他在算學(xué)館整理編注了著名的《算學(xué)十書(shū)》雖然水平很次，沒(méi)能培養(yǎng)出什么像樣的數(shù)學(xué)家，但不可否認(rèn)對(duì)盛唐的商業(yè)和天文歷法有積極推動(dòng)作用，此后各種不提，直到共濟(jì)會(huì)的利瑪竇和我國(guó)的徐光啟共同翻譯了《幾何原本》等海外著作。但奇怪的是中國(guó)的數(shù)學(xué)新著往往都出現(xiàn)在亂世和盛世。數(shù)學(xué)家也星光璀璨，如：祖沖之，秦九韶，劉徽、楊輝，等。

?注2?《古今數(shù)學(xué)思想》不僅在科學(xué)界，在整個(gè)學(xué)術(shù)文化界都廣泛、持久的影響。