第一篇：考研高數(shù)局部保號(hào)性在定理證明中的應(yīng)用

Born To Win

考研數(shù)學(xué)：局部保號(hào)性在定理證明中的應(yīng)用

學(xué)習(xí)函數(shù)極限的性質(zhì)的時(shí)候，有一個(gè)重要的性質(zhì)叫做函數(shù)極限的局部保號(hào)性，也稱為局部保序性，今天跨考教育數(shù)學(xué)教研室邵偉如老師為大家具體講解局部保號(hào)性在定理證明中的應(yīng)用知識(shí)。

函數(shù)極限的局部保號(hào)性定理內(nèi)容為：如果limf(x)?A,且A?0(或A?0)，那么存在x?x00?x?x0??常數(shù)??0,使得當(dāng)時(shí)，有f(x)?0(或f(x)?0),即一個(gè)函數(shù)極限的符號(hào)確定的話，求極限的函數(shù)在一個(gè)鄰域內(nèi)與該點(diǎn)處極限保持相同的符號(hào)。這個(gè)定理還有一個(gè)常用的x?(x0??,x0)?(x0,x0??)時(shí)，推論：若存在常數(shù)??0,使得當(dāng)有f(x)?0(或f(x)?0)，且極限x?x0limf(x)存在，則

x?x0limf(x)?0(或?0),即在某點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，函數(shù)的符號(hào)確定的話，那么其極限的符號(hào)在這一去心鄰域內(nèi)也能確定。這個(gè)定理溝通了函數(shù)與極限之間符號(hào)之間的關(guān)系，所以凡是討論到極限的符號(hào)或函數(shù)的符號(hào)問題的時(shí)候都應(yīng)該想到應(yīng)用這個(gè)定理去解決。那么，在高等數(shù)學(xué)中哪些考點(diǎn)哪些定理是應(yīng)用了局部保號(hào)性的呢？下面邵老師為大家做一個(gè)整理。

與局部保號(hào)性聯(lián)系最緊密的是函數(shù)的極值部分的定理，大家知道，在駐點(diǎn)是可疑的極值點(diǎn)，要判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，有兩個(gè)方法，一個(gè)的極值第一充分條件，一個(gè)是極值第二充分條件，如果函數(shù)二階可導(dǎo)的話，顯然極值第二充分條件有不可替代的優(yōu)勢(shì)，尤其是極值問題與隱函數(shù)結(jié)合考查的時(shí)候。

'''xf(x)?0f(x0)?0,f(x)00第二充分條件的內(nèi)容是：設(shè)函數(shù)在處存在二階導(dǎo)數(shù)且，''''xxf(x)?0,f(x0)?0,f(x)f(x)000則在處取得極小值；②若則在處取得極大值；③若x則f(x)在0處是否取極值未知.這個(gè)定理涉及到了導(dǎo)數(shù)的符號(hào)問題，所以是依靠局部保號(hào)性來(lái)證明的。與這個(gè)定理平行的另一個(gè)定理是判定拐點(diǎn)的第二充分條件，定理內(nèi)容是：設(shè)函

'''“xf(x)?0,f(x0)?0,則點(diǎn)(x0,f(x0))為曲線f(x)00數(shù)三階可導(dǎo)且在點(diǎn)處有且y?f(x)的拐點(diǎn)。這個(gè)定理中一樣涉及到導(dǎo)數(shù)的符號(hào)問題，所以仍是由局部保號(hào)性證明的。

再來(lái)看一道真題，設(shè)函數(shù)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f'(0)?0,limx?0f”(x)?1,x則討論f(0)是否為極值點(diǎn)，(0,f(0))是否為拐點(diǎn)。這道題非常典型，已知極限的符號(hào)，討論函數(shù)的符人生也許就是要學(xué)會(huì)愚忠。選我所愛，愛我所選。

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f“(x)?0,x號(hào)，明顯的局部保號(hào)性的使用標(biāo)志。由極限等于1可知，函數(shù)極限在0的左右鄰域內(nèi)符號(hào)為正，那么根據(jù)保號(hào)性，在這一去心鄰域內(nèi)，要求極限的函數(shù)而分母恒大于0，所以可以斷定，分子f”(x)在去心鄰域內(nèi)大于0，此時(shí)不能根據(jù)二階導(dǎo)函數(shù)大于0就斷定0點(diǎn)為極小值點(diǎn)，因?yàn)榈诙浞謼l件需要的是f"(0)的符號(hào)，不是去心鄰域內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，那么接下去就根據(jù)二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)可以得到一階導(dǎo)函數(shù)在去心鄰域內(nèi)單調(diào)遞增，而f'(0)?0，結(jié)合二者可知在0點(diǎn)的左右兩側(cè)鄰域，一階導(dǎo)函數(shù)符號(hào)發(fā)生了改變，先減后增，因此0這一點(diǎn)為極小值點(diǎn)，此題得解。從整個(gè)分析過程可知，第一步由局部保號(hào)性得到的結(jié)論在解題過程中起到了至關(guān)重要的作用。

經(jīng)過以上分析我們需要掌握兩點(diǎn)：

1、局部保號(hào)性定理內(nèi)容及結(jié)論；

2、何時(shí)需要考慮使用局部保號(hào)性去解決問題。

文章來(lái)源：跨考教育

人生也許就是要學(xué)會(huì)愚忠。選我所愛，愛我所選。

第二篇：2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

來(lái)源：智閱網(wǎng)

微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)中的重要定理，考察的頻率較高，難度也比較大，下面詳細(xì)的講解一下，希望大家有所收獲。

微積分定理包括兩個(gè)定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號(hào)扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對(duì)閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對(duì)待：對(duì)應(yīng)開區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個(gè)極限式如何化簡(jiǎn)，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時(shí)在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學(xué)科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運(yùn)用該公式計(jì)算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個(gè)條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。

注意到該公式的另一個(gè)條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語(yǔ)言描述一下，即f(x)對(duì)應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個(gè)原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù)之間只差個(gè)常數(shù)，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個(gè)常數(shù)C。萬(wàn)事俱備，只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

上面講述的微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，考生們要認(rèn)真學(xué)習(xí)其解題方法，并且學(xué)會(huì)運(yùn)用。湯神《考研數(shù)學(xué)接力題典1800》可以檢驗(yàn)大家的復(fù)習(xí)效果，總結(jié)做題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)我們現(xiàn)階段的復(fù)習(xí)幫助很大。

第三篇：高數(shù)中需要掌握證明過程的定理

高數(shù)中的重要定理與公式及其證明

（一）考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時(shí)候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時(shí)候可能是又費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。應(yīng)深受大家敬佩的靜水深流力邀，也為了方便各位師弟師妹復(fù)習(xí)，不才憑借自己對(duì)考研數(shù)學(xué)的一點(diǎn)了解，總結(jié)了高數(shù)上冊(cè)中需要掌握證明過程的公式定理。這些證明過程，或是直接的考點(diǎn)，或是蘊(yùn)含了重要的解題思想方法，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看都是應(yīng)當(dāng)熟練掌握的。

由于水平有限，總結(jié)不是很全面，但大家在復(fù)習(xí)之初，先掌握這些公式定理證明過程是必要的。1）常用的極限

ln(1?x)1?cosx1ex?1ax?1(1?x)a?1lim?1，lim? lim?1，lim?lna，lim?a，x?0x?0x?0x?0x?0xx22xxx【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)公式大家在計(jì)算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想

?x)?e與過它們的由來(lái)呢？事實(shí)上，這幾個(gè)公式都是兩個(gè)重要極限lim(1x?01xsinx?1的推論，它們的推導(dǎo)過程中也蘊(yùn)含了計(jì)算極限中一些很基本的方法技x?0x巧。證明： lim1ln(1?x)ln(1?x)lim?1：由極限lim(1?x)x?e兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)即得lim?1。

x?0x?0x?0xx

ln(1?x)ex?1?1中，令ln(1?x)?t，則x?et?1。由于極限lim?1：在等式limx?0x?0xx過程是x?0，此時(shí)也有t?0，因此有l(wèi)imt?0t?1。極限的值與取極限的符號(hào)et?1ex?1?1。是無(wú)關(guān)的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數(shù)即得limx?0x

ax?1ax?1exlna?1lim?lna：?lim利用對(duì)數(shù)恒等式得lim，再利用第二個(gè)極限可x?0x?0x?0xxxexlna?1exlna?1ax?1?lnalim?lna。因此有l(wèi)im?lna。得limx?0x?0xlnax?0xx(1?x)a?1lim?a：利用對(duì)數(shù)恒等式得 x?0x(1?x)a?1ealn(1?x)?1ealn(1?x)?1ln(1?x)ealn(1?x)?1ln(1?x)lim?lim?alim?alimlim?ax?0x?0x?0x?0x?0xxaln(1?x)xaln(1?x)x上式中同時(shí)用到了第一個(gè)和第二個(gè)極限。

xx??2sinsin1?cosx1?cosx12?1lim?2??1。lim?limlim?：利用倍角公式得 ?x?222x?0x?0x?0x?0xx22x2???2?222）導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則

(u?v)'?u'?v', d(u?v)?du?dv(uv)'?u'v?uv', d(uv)?vdu?udv

u'vu'?uv'uvdu?udv()?, d()?(v?0)22vvvv【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)求導(dǎo)公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導(dǎo)數(shù)的定義。而導(dǎo)數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點(diǎn)，通過這幾個(gè)公式可以強(qiáng)化相關(guān)的概念，避免到復(fù)習(xí)后期成為自己的知識(shí)漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈?zhǔn)椒▌t

設(shè)y?f(u),u??(x)，如果?(x)在x處可導(dǎo)，且f(u)在對(duì)應(yīng)的u??(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y?f(?(x))在x處可導(dǎo)可導(dǎo)，且有：

?f(?(x))??【點(diǎn)評(píng)】：同上。4）反函數(shù)求導(dǎo)法則

'f'(u)?'(x)或dydydu? dxdudx設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)x0處可導(dǎo)且f'(x)?0，并令其反函數(shù)為x?g(y)，且x0所對(duì)應(yīng)的y的值為y0，則有：

11dx1 ?或?''dyf(x0)f(g(y0))dydx【點(diǎn)評(píng)】：同上。g'(y0)?5）常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

?x???x?'??1，'?sinx?'?cosx，?cosx???sinx，?lnx?x''?11'，?logax??，xxlnax?e??e，?ax??exlna '【點(diǎn)評(píng)】：這些求導(dǎo)公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來(lái)。實(shí)際上，掌握這幾個(gè)公式的證明過程，不但可以幫助我們強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的定義這個(gè)薄弱點(diǎn)，對(duì)極限的計(jì)算也是很好的練習(xí)?，F(xiàn)選取其中典型予以證明。證明：

f(x??x)?f(x)?'，代入該公式得 ?x???x??1：導(dǎo)數(shù)的定義是f'(x)??limx?0?x?x??x?(1?)?1(1?)?1??(x??x)?x?'???1xx?x?xlim??x??1。最后一?x???limx?0?x?0?x?x?xx(1?x)a?1?a。注意，這里的推導(dǎo)過程僅適用于x?0的情形。步用到了極限limx?0xx?0的情形需要另行推導(dǎo)，這種情況很簡(jiǎn)單，留給大家。

sin(x??x)?sinx''lim，由和差化積公式得?sinx??cosx：利用導(dǎo)數(shù)定義?sinx???x?0?x?x?x2cos(x?)sinsin(x??x)?sinx22?cosx。?cosx?'??sinx的證明類lim?lim?x?0?x?0?x?x似。

?xln(1?)1ln(x??x)?lnx'x?1。lim?lim?lnx??：利用導(dǎo)數(shù)定義?lnx?'??x?0?x?0x?x?xx1lnx'的證明類似（利用換底公式logax?）。?logax??xlnalna

?e??ex'x：利用導(dǎo)數(shù)定義?ex'??xe(x??x)?ex?1xxex'?lim?lime?e。a?exlna的???x?0?x?0?x?x證明類似（利用對(duì)數(shù)恒等式ax?exlna）。

6）定積分比較定理

如果在區(qū)間[a,b]上恒有f(x)?0，則有?f(x)dx?0

ab推論：ⅰ如果在區(qū)間[a,b]上恒有f(x)?g(x)，則有?f(x)dx??g(x)dx；

aabbⅱ設(shè)M和m是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值，則有：m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

ab【點(diǎn)評(píng)】：定積分比較定理在解題時(shí)應(yīng)用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過程，對(duì)理解及應(yīng)用該定理很有幫助。具體的證明過程教材上有。7）定積分中值定理

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)?使得下式成立：

?baf(x)dx?f(?)(b?a)

【點(diǎn)評(píng)】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的推論，在證明題中有重要的作用?？佳姓骖}中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴(yán)而喻。具體證明過程見教材。8）變上限積分求導(dǎo)定理

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)?(x)??f(x)dx在[a,b]上

ax可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是

dx?'(x)?f(x)dx?f(x),a?x?b

dx?a設(shè)函數(shù)F(x)??u(x)v(x)f(t)dt，則有F'(x)?f(u(x))u'(x)?f(v(x))v'(x)。

【點(diǎn)評(píng)】：不說(shuō)了，考試直接就考過該定理的證明。具體證明過程見教材。9）牛頓-萊布尼茲公式

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則有?f(x)dx?F(b)?F(a)，其中F(x)是

abf(x)的原函數(shù)。

【點(diǎn)評(píng)】：微積分中最核心的定理，計(jì)算定積分的基礎(chǔ)，變上限積分求導(dǎo)定理的推論。具體證明過程見教材。10）費(fèi)馬引理：

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域U(x0)內(nèi)有定義，并且在x0處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的x?U(x0)，有f(x0)?f(x)或f(x0)?f(x)，那么f'(x0)?0

【點(diǎn)評(píng)】：費(fèi)馬引理是羅爾定理的基礎(chǔ)，其證明過程中用到了極限的保號(hào)性，是很重要的思想方法。具體證明過程見教材。11）羅爾定理： 如果函數(shù)f(x)滿足

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)

（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)?f(b)

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?(a???b)，使得f'(?)?0。

【點(diǎn)評(píng)】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實(shí)際上卻是相互蘊(yùn)含，可以相互推導(dǎo)的。這幾個(gè)定理的證明方法也就是與中值有關(guān)的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數(shù)中的難點(diǎn)，一定要多加注意。具體證明過程見教材。

12）拉格朗日中值定理： 如果函數(shù)f(x)滿足

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?(a???b)，使得f'(?)?【點(diǎn)評(píng)】：同上。13）柯西中值定理： 如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)

f(b)?f(a)。

b?af'(?)f(b)?f(a)那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?(a???b)，使得'。?g(?)g(b)?g(a)【點(diǎn)評(píng)】：同上。14）單調(diào)性定理：

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)。

如果在(a,b)上有f'(x)?0，那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增。如果在(a,b)上有f'(x)?0，那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減。

【點(diǎn)評(píng)】：這個(gè)定理利用導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系很容易理解，但實(shí)際證明中卻不能用圖形來(lái)解釋，需要更嚴(yán)密的證明過程。證明：

僅證明f'(x)?0的情形，f'(x)?0的情形類似。

?x1,x2?(a,b)，假定x1?x2

則利用拉個(gè)朗日中值定理可得，????x2,x2?使得f(x1)?f(x2)?f'???(x1?x2)。由于f'????0，因此f(x1)?f(x2)?0。

由x1,x2的任意性，可知函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增。

14）(極值第一充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，并在x0的某去心鄰域U(x0,?)內(nèi)可導(dǎo)。

?。┤魓?(x0??,x0)時(shí)，f'(x)?0,而x?(x0,x0??)時(shí)，f'(x)?0,則f(x)在x0處取得極大值

ⅱ）若x?(x0??,x0)時(shí)，f'(x)?0,而x?(x0,x0??)時(shí)，f'(x)?0,則f(x)在x0處取得極小值；

ⅲ）若x?U(x0,?)時(shí)，f'(x)符號(hào)保持不變，則f(x)在x0處沒有極值； 【點(diǎn)評(píng)】：?jiǎn)握{(diào)性定理的推論，具體證明過程見教材。??15）(極值第二充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在x0處存在二階導(dǎo)數(shù)且f'(x0)?0，那么 ?。┤鬴''(x0)?0,則f(x)在x0處取得極小值； ⅱ）若f''(x0)?0,則f(x)在x0處取得極大值。

【點(diǎn)評(píng)】：這個(gè)定理是判斷極值點(diǎn)最常用的方法，證明過程需要用到泰勒公式。證明：

僅證明f''(x0)?0,的情形，f''(x0)?0,的情形類似。

由于f(x)在x0處存在二階導(dǎo)數(shù)，由帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式得。在x0的某領(lǐng)域內(nèi)成立f(x)?f?x0??f'?x0??x?x0??f''?x0?由于f'(x0)?0，因此

?x?x0?222?o??x?x0?? ??f(x)?f?x0??f''?x0??x?x0?222?o??x?x0????2?''???ox?x??02?f?x0?????f?x0???x?x0????22?x?x0?????

2''o??x?x0??fx0????由高階無(wú)窮小的定義可知，當(dāng)x?x0時(shí)，有又由于?0，?0，22?x?x0?2??ox?x??0f?x0????0。因此在x0的某領(lǐng)域內(nèi)成立?22?x?x0?''2?''???ox?x??02?f?x0????fx。進(jìn)一步，我們有f?x0???x?x0?????0??22?x?x0?????也即，在x0的某領(lǐng)域內(nèi)成立f(x)?f?x0?。由極值點(diǎn)的定義可知f(x)在x0處取得極小值。16）洛必達(dá)法則

f'(x)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在x?a的空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，g(x)?0，且lim'?A

x?ag(x)'則有l(wèi)imx?af(x)?A，其中A可以是有限數(shù)，也可以是??,??。g(x)【點(diǎn)評(píng)】：洛必達(dá)法則是計(jì)算極限時(shí)最常用的方法，但它的證明卻很少有人關(guān)注。洛必達(dá)法則是拉格朗日中值定理的推論，證明過程比較簡(jiǎn)單，也是一個(gè)潛在的考點(diǎn)，需要引起注意。具體證明過程見教材。

第四篇：2012年考研數(shù)學(xué)：高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(一)

高數(shù)中的重要定理與公式及其證明

（一）文章來(lái)源：跨考教育

考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時(shí)候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時(shí)候可能是又費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過程，或是直接的考點(diǎn)，或是蘊(yùn)含了重要的解題思想方法，在復(fù)習(xí)的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

1）常用的極限

lim

ln(1?x)

x

?1，lim

e?1x

x

x?0x?0

?1，lim

a?1x

x

x?0

?lna，lim

(1?x)?1

x

a

x?0

lim?a，1?cosx

x

x?0

?

【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)公式大家在計(jì)算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想

過它們的由來(lái)呢？事實(shí)上，這幾個(gè)公式都是兩個(gè)重要極限lim(1?x)x?e與

x?0

lim

sinxx

x?0

?1的推論，它們的推導(dǎo)過程中也蘊(yùn)含了計(jì)算極限中一些很基本的方法技

巧。證明：

lim

ln(1?x)

x

x?0

?1：由極限lim(1?x)x?e兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)即得lim

x?0

ln(1?x)

x

x?0

?1。

lim

e?1x

x

x?0

?1：在等式lim

ln(1?x)

x

x?0

?1中，令ln(1?x)?t

te?1

t，則x?et?1。由于極限

過程是x?0，此時(shí)也有t?0，因此有l(wèi)im

t?0

?1。極限的值與取極限的符號(hào)

是無(wú)關(guān)的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數(shù)即得lim

lim

a?1xe

x

e?1x

x

x?0

?1。

x?0

?lna：利用對(duì)數(shù)恒等式得lim

a?1x

x

x?0

?lim

e

xlna

?1

x?0

x

x，再利用第二個(gè)極限可

xlna

得lim

?1

x?0

x

?lnalim

e

xlna

?1

x?0

xlna

?lna。因此有l(wèi)im

a?1x

x?0

?lna。

lim

(1?x)?1

x(1?x)?1

x

a

a

x?0

?a：利用對(duì)數(shù)恒等式得

lim

x?0

?lim

e

aln(1?x)

?1

x?0

x

?alim

e

aln(1?x)

?1ln(1?x)

x

x?0

aln(1?x)

?alim

e

aln(1?x)

?1

x?0

aln(1?x)

lim

ln(1?x)

x

x?0

?a

上式中同時(shí)用到了第一個(gè)和第二個(gè)極限。

x?

2sinsin

1?cosx1?cosx1?1lim?lim?lim：利用倍角公式得lim??222

x?0x?0x?0x2xx2x?0?x

?2

x

??1??

2??。

2）導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則

(u?v)?u?v,d(u?v)?du?dv(uv)?uv?uv,d(uv)?vdu?udv()?

vu

''

'

'

'

'

'

vu?uvv

''

uvdu?udv,d()?(v?0)2

vv

【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)求導(dǎo)公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導(dǎo)數(shù)的定義。

而導(dǎo)數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點(diǎn)，通過這幾個(gè)公式可以強(qiáng)化相關(guān)的概念，避免到復(fù)習(xí)后期成為自己的知識(shí)漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈?zhǔn)椒▌t

設(shè)y?f(u),u??(x)，如果?(x)在x處可導(dǎo)，且f(u)在對(duì)應(yīng)的u??(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y?f(?(x))在x處可導(dǎo)可導(dǎo)，且有：

?f(?(x))?

【點(diǎn)評(píng)】：同上。4）反函數(shù)求導(dǎo)法則

'

?f(u)?(x)或

''

dydx

?

dydududx

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)x0處可導(dǎo)且f'(x)?0，并令其反函數(shù)為x?g(y)，且x0所對(duì)應(yīng)的y的值為y0，則有：

g(y0)?

'

1f(x0)

'

?

1f(g(y0))

'

或

dxdy

?

1dydx

【點(diǎn)評(píng)】：同上。

5）常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

?x?

?

'

??x

'

??1，'

?sinx??lnx?

'

?cosx，?cosx???sinx，1x

x

?，?logax??

'

'

1xlna，?e

x

?

'

?e，?ax??exlna

【點(diǎn)評(píng)】：這些求導(dǎo)公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來(lái)。實(shí)際上，掌握這幾個(gè)公式的證明過程，不但可以幫助我們強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的定義這個(gè)薄弱點(diǎn)，對(duì)極限的計(jì)算也是很好的練習(xí)?，F(xiàn)選取其中典型予以證明。證明：

?x?

?

'

??x

??1

：導(dǎo)數(shù)的定義是f'(x)?lim

?

?

f(x??x)?f(x)

?x，代入該公式得)?1

??x

??1

?

?x?0

?x

?

?

'

?lim

(x??x)?x

?x

(1??x

?

?x

?x?0

x?x)?1

?x

??1

?x?0

?

(1?lim

?x

x?xx

。最后一

步用到了極限lim

x?0

(1?x)?1

x

a

x?0

?a。注意，這里的推導(dǎo)過程僅適用于x?0的情形。的情形需要另行推導(dǎo)，這種情況很簡(jiǎn)單，留給大家。

'

?sinx??cosx：利用導(dǎo)數(shù)定義?sinx??lim

'

sin(x??x)?sinx

?x，由和差化積公式得

?x?0

?x?0

lim

sin(x??x)?sinx

?x

2cos(x?

?lim

?x?0

?x?x)sin

?x

?cosx。cosx'??sinx的證明類??

似。

?lnx?

'

?

'

1x?

：利用導(dǎo)數(shù)定義?lnx??lim

1xlna

'

ln(x??x)?lnx

?x

lnxlna

ln(1?

?lim

?x?0

?x)?

1x

?x?0

?x。

?logax?的證明類似（利用換底公式logax?）。

?e?

x

'

?e

x

：利用導(dǎo)數(shù)定義?e

x

?

'

?lim

e

(x??x)

?e

x

?x?0

?x

?lime

?x?0

x

e

?x

?1

?x

?e。?a

x

x

?

'

?elna

x的證明類似（利用對(duì)數(shù)恒等式ax?exlna）。

第五篇：中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

摘 要

本文主要寫在不等式證明過程中常用到的幾種中值定理，其中在拉格朗日中值定理證明不等式的應(yīng)用中講了三種方法：直接公式法、變量取值法、輔助函數(shù)構(gòu)造法.在泰勒中值定理證明不等式的應(yīng)用中，給出了泰勒公式中展開點(diǎn)選取的幾種情況：區(qū)間的中點(diǎn)、已知區(qū)間的兩端點(diǎn)、函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)、已知區(qū)間的任意點(diǎn).同時(shí)對(duì)各種情況的運(yùn)用范圍和特點(diǎn)作了說(shuō)明，以便更好的運(yùn)用泰勒中值定理證明不等式.并對(duì)柯西中值定理和積分中值定理在證明不等式過程中的應(yīng)用問題作簡(jiǎn)單介紹.關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；積分中值定理；不等式

Abstract

This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function.in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point.And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality.And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussed

Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals

目 錄

摘要 ………………………………………………………………………………（I）Abstract …………………………………………………………………………（I）1 引言 ……………………………………………………………………………（1）2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 …………………………………（2）

2.1 拉格朗日中值定理…………………………………………………………（2）2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式………………………………………（2）2.2.1 直接公式法 ???????????????????????（2）2.2.2 變量取值法 ???????????????????????（4）2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法 ………………………………………………………（5）3 泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 ………………………………………（7）3.1 泰勒中值定理…………????????????????????（7）3.2 利用泰勒公式證明不等式???????????????????（7）3.2.1 中點(diǎn)取值法 ???????????????????????（7）3.2.2 端點(diǎn)取值法 ???????????????????????（9）3.2.3 極值取值法 ???????????????????????（9）3.2.4 任意點(diǎn)取值法 ??????????????????????（11）4 柯西中值定理在不等式證明中的應(yīng)用………………………………………（14）

4.1 柯西中值定理………………………………………………………………（14）4.2 利用柯西中值定理證明不等式……………………………………………（14）5 積分中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 ………………………………………（16）

5.1 積分中值定理????????????????????????（16）5.2 利用積分證明不等式………………………………………………………（16）結(jié)束語(yǔ) ……………………………………………………………………………（18）參考文獻(xiàn) …………………………………………………………………………（19）致謝 ………………………………………………………………………………（20）引言

不等式也是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中重要方法和工具.中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及積分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也稱微分中值定理)為中心，介值定理是中值定理的前奏，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定積分中值定理則是它的推廣.利用中值定理證明不等式，是比較常見和實(shí)用的方法.人們對(duì)中值定理的研究，從微積分建立之后就開始了以羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，它們建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，中值定理的主要作用在于理論分析和證明；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要性態(tài).此外，在極值問題中有重要的實(shí)際應(yīng)用.微分中值定理是數(shù)學(xué)分析乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)的重要理論，它架起了利用微分研究函數(shù)的橋梁.微分中值定理從誕生到現(xiàn)在的近300年間，對(duì)它的研究時(shí)有出現(xiàn).特別是近十年來(lái)，我國(guó)對(duì)中值定理的新證明進(jìn)行了研究，僅在國(guó)內(nèi)發(fā)表的文章就近60篇.不等式的證明不僅形式多種多樣，而且證明方式多變，常見的方法有：利用函數(shù)的單調(diào)性證明，利用微分中值定理證明，利用函數(shù)的極值或最值證明等，在眾多方法中，利用中值定理證明不等式比較困難，無(wú)從下手，探究其原因，一是中值定理的內(nèi)容本身難理解，二是證明不等式，需要因式而變，對(duì)中值定理的基礎(chǔ)及靈活性要求較高.我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中常常遇到不等式的證明問題，不等式是初等數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容之一，我們有必要把這類問題單獨(dú)拿出來(lái)進(jìn)行研究，找出它們的共性，以方便我們?nèi)蘸蟮慕虒W(xué)研究工作的開展.拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

2.1 拉格朗日中值定理

拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法國(guó)數(shù)學(xué)家，力學(xué)家，文學(xué)家）.拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得

f'?x0??f(a)?f(b)(1)

b?a或

f?b??f?a??f'?x0??b?a?.(2)拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，即羅爾定理是拉格朗日定理當(dāng)f?a??f?b?時(shí)的特殊情形.拉格朗日定理中，由于a?x0?b，因而可將x0表示為

x0?a??(b?a)，?0???1?.這樣（1）式還可表示為

f?b??f?a??f'?a???b?a??，?0???1?.(3)若令b?a?h，則有

f?a?h??f?a??f'?a??h??h，?0???1?.（4）一般稱式（1）、（2）、（3）、（4）式為拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式 2.2.1 直接公式法

例2.1 證明不等式sinx1-sinx2?x1-x2成立.分析 首先要構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)f?x?；a 由欲證形式構(gòu)成“形似”的函數(shù)區(qū)間.b 運(yùn)用拉格朗日公式來(lái)判斷.證明 設(shè)f?x??sinx,x??x1,x2?.由拉格朗日公式（2）可得

sinx1-sinx2?f'????x1?x2?，???x1,x2?.等式兩邊同取絕對(duì)值，則有

sinx1?sinx2?f'????x1-x2.而

f????sin'xx???cos?.又因?yàn)? 0?cos??1.因此，就得到

sinx1-sinx2?x1-x2.證畢.評(píng)注 此題如果單純地應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)證明，會(huì)難以得出結(jié)論，而應(yīng)用了拉格朗日公式，再利用三角函數(shù)的簡(jiǎn)單知識(shí)，問題就游刃而解了.例2.2 證明不等式arctanx2?arctanx1?x2-x1，（x2?x1）成立.分析 此題利用反三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)f?x??arctanx，再利用拉格朗日中值定理就可以輕輕松松地解出此題.證明 設(shè)f?x??arctanx,f?x?在?x1,x2?上滿足拉格朗日定理的全部條件，因此有

arctanx2?arctanx1?1（x2?x1），x0??x1,x2?.21?x0因?yàn)??1，可得 21?x0arctanx2?arctanx1?x2?x1.例2.3[3] 證明pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1?a?b?,(p?1,a?b?0).證明 設(shè)函數(shù)，f(x)?xp，則，f(a)?f(b)?ap?bp．不難看出f(x)在區(qū)間?b,a?上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，于是存在???b,a?，使

f(a)?f(b)?(a?b)f'(?).由于f'?x??pxp?1，所以f'(?)?p?p-1，上式為

ap?bp?(a?b)p?p?1.因?yàn)閤p當(dāng)p?1時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，b???a，所以

bp-1??p-1?ap-1.兩邊同時(shí)乘以p?a?b?，則得

pbp?1(a?b)?p?p?1(a?b)?pap?1(a?b)，即

pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1(a?b)，證畢.2.2.2 變量取值法

例2.4 證明不等式

b?abb-a?ln? 成立，其中?b?a?0?.baa分析（1）根據(jù)題中式子構(gòu)造一個(gè)相似函數(shù)，f?x??lnx和定義區(qū)間?a,b?.（2）利用對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則，將對(duì)數(shù)式整理成拉格朗日中值定理所滿足的形式，從而得出結(jié)論.證明 設(shè)f?x??lnx，x??a,b?.由拉格朗日公式（3），則有

lnbb-a?lnb-lna?.（1）aa??b-a??由不等式0???1，可推得

a?a??b-a????b及代入（1），即

b?abb-a?ln?.證畢.baab評(píng)注 解此題關(guān)健在于觀察要證明的不等式中把對(duì)數(shù)式ln拆開成ab-ab?ab-a??.ba?(b?a)?alnb-lna，再利用拉格朗日的公式來(lái)輕松地得出結(jié)論.例2.4 證明不等式

h?ln?1?h??h，對(duì)一切h?-1，h?0成立.1?h分析 此題首先利用對(duì)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，構(gòu)造了一個(gè)輔助函數(shù)lnx，再利用拉格朗日中值定理解出此題.證明 由拉格朗日公式（4），令a?1，f(x)?lnx.則有

ln?1?h??ln?1?h?-ln1?h1???h0???1.，（1）

當(dāng)h?0時(shí)，由不等式 0???1，可推得

1?1???h?1?h及

hh??h.（2）1?h1???h當(dāng)-1?h?0時(shí)，由不等式0???1，可知

1?1???h?1?h?0.由于h?0，可推（2）式成立，將（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.評(píng)注 證明此種不等式的關(guān)健是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，再利用初等數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)來(lái)證明不等式.例2.5 證明若x?0，則ex?1?x.證明 令f(x)?ex，則f(x)在R上連續(xù)、可導(dǎo)，且f'(x)?ex.（0,x）情形一 當(dāng)x?0時(shí)，由拉格朗日定理知???使

ex?e0?e?(x?0).整理有ex?e?x.因?yàn)閑??1，所以有ex?x.（x,0）情形二 當(dāng)x?0時(shí)，由拉格朗日中值定理知???，使

e0?ex?e?(0?x).整理有ex?xe?.因?yàn)榇藭r(shí)0?e??1，三邊同時(shí)乘以x，0?xe??x 所以ex?x成立.綜上所述，當(dāng)x?0時(shí)，ex?x成立.從以上例題可以發(fā)現(xiàn)：靈活構(gòu)造“a,b”的取值，不僅可使證明過程簡(jiǎn)單，有時(shí)甚至是解題的關(guān)鍵.2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法

例2.6[4] 設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，又f(x)不為形如，使f'(?)?Ax?B的函數(shù)．證明至少存在一點(diǎn)?（a???b）證明 做輔導(dǎo)函數(shù)

g(x)?f(a)?則g?x?為形如Ax?B的函數(shù)．

因?yàn)閒(x)不為形如Ax?B的函數(shù)，所以至少存在一點(diǎn)c?(a,b)，使

f(b)?f(a)(x?a)，b?af(b)?f(a).b?a

f(c)?g(c),但f(a)?g(a)，f(b)?g(b).情形一 f(c)?g(c)，此時(shí)

f(b)?f(a)??f(a)?(c?a)?f(a)?f(c)?f(a)g(c)?g(a)?f(b)?f(a)b?a?????

c?ac?ac?ab?a即

f(c)?f(a)f(b)?f(a)?.c?ab?a（a,c）因?yàn)?a,c???a,b?，所以由中值定理知??1?，使

f(c)?f(a)，c?af(b)?f(a)從而有 f'(?1)?.b?a f'(?1)?情形二 f(c)?g(c)，此時(shí)

f(b)?f(a)??f(b)??f(a)?(c?a)?f(b)?f(c)g(b)?g(c)b?a???f(b)?f(a)，??b?cb?cb?ab?a即

f(b)?f(c)f(b)?f(a)?.b?cb?a因?yàn)?c,b???a,b?，所以由拉格朗日中值定理，??2?(c,b)使得

f'??2??從而有

f'??2??f?b??f?c?，b?cf?b??f?a?.b?a綜上所述，在?a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)?使原式成立.證畢.許多證明題都不能直接應(yīng)用定理進(jìn)行證明．利用拉格朗日中值定理證明問題時(shí)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)，是證明的關(guān)鍵.泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

3.1 泰勒中值定理

泰勒中值定理 如果函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間?a,b?內(nèi)有直到n?1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一點(diǎn)x0?(a,b)，有

f''(x0)f(n)(x0)f(n?1)(?)2nf(x)?f(xo)?f'(xo)(x?x0)?(x?x0)?????(x?xo)?(x?x0)n?12!n!(n?1)!其中?是x0與x之間的某個(gè)值，上式稱為f(x)按(x?x0)的冪展開的n階泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函數(shù)展開點(diǎn)x?(a,b)的不同情況來(lái)證明不等式.3.2 利用泰勒公式證明不等式 3.2.1 中點(diǎn)取值法

選區(qū)間中點(diǎn)展開是較常見的一種情況，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，通過兩式相加，并對(duì)某些項(xiàng)進(jìn)行放縮，便可將多余的項(xiàng)去掉而得所要的不等式.下面以實(shí)例說(shuō)明.例3.1[5] 設(shè)在區(qū)間?a,b?內(nèi)，f''(x)> 0，試證：對(duì)于?a,b?內(nèi)的任意兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2，有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.22f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是x0與x之間的某個(gè)值.上式中分別取x?x1及x2，f''??1??x1?x0?2,???x1,x0?； 2!f''??2??x2?x0?2,???x0,x2?.f?x2??f?x0??f'?x0??x2?x0??2!f?x1??f?x0??f'?x1?x0??上面兩式相加，得

f?x1??f?x2??2f?x0??f''??1??x1?x0?2?f''??2??x2?x0?2.2!2!因?yàn)閒''(x)?0，所以，f?x1??f?x2??2f?x0?，即

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?注(1)若題中條件“f''(x)?0”改為“f''(x)?0”，而其余條件不變，則結(jié)論改為

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?(2)若例1的條件不變，則結(jié)論可推廣如下：

對(duì)?a,b?內(nèi)任意n個(gè)不同點(diǎn)x1,x2???xn及?1，?2，???,?n?(0,1)且??1?1，有

i?1n?n?n f???ixi????if?xi?.?i?1?i?1例3.2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(a?b)?0，證明 2?abM?b?a?f?x?dx?,其中M?maxf''?x?.a?x?b243證明 將f(x)在x0?a?b處展開，得 2 f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是 x0與x之間的某個(gè)值.因?yàn)閒(f''????x?x0?2.2!a?b)?0，所以有 2 f?x??f'?x0??x?x0??上式在?a,b?作定積分，然后取絕對(duì)值

f''????x?x0?2，2!?abf?x?dx?f''????2???????f'xx?x?x?x000?dx ?a?2!??b1 ?2?baf''????x-x0?2Mdx?2M3????x-xdx?b-a.0?ab224 即

?baf?x?dx?M?b?a?3.2

3.2.2 端點(diǎn)取值法

當(dāng)條件中出現(xiàn)f'(a)?f'(b)?0，而欲證式中出現(xiàn)廠f(a),f(b),f''(?)，展開點(diǎn)常選為區(qū)間兩端點(diǎn)a,b,然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，消去多余的?xiàng)，可得待證的不等式.例3.3 函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)，且f'(a)?f'(b)?0，證明：在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得f''????4f?b??f?a??b?a?2.證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f''??1??x?a?2,?1??a,x?； 2!f''??2??x?b?2,?2??x,b?.f?x??f?b??f'?b??x?b??2!a?b上面兩式中取x?，f?x??f?a??f'?a??x?a??b?af''??1??b?a??a?b? f????f?a??f'?a????；

22!?2??2?2b?af''??2??b?a??b?a? f????f?b??f'?b????.222!2????2上面兩式相減，并由f'(a)?f'(b)?0，得

2?b?a?f?b??f?a??8(b?a)2?f''??2??f''??1??.f''??2??f''??1??8 記

f''????max?f''??1??f''??2??.其中，???1或?2.于是，有

2?b?a?f?b??f?a??4f''???,即f''????4f?b??f?a??b?a?2.3.2.3 極值取值法

當(dāng)題中不等式出現(xiàn)函數(shù)的極值或最值項(xiàng)，展開點(diǎn)常選為該函數(shù)的極值點(diǎn)或最

值點(diǎn).例3.4[6] 設(shè)函數(shù)f(x))在區(qū)間?a,b?內(nèi)二階可導(dǎo)，且存在極值f(c)及點(diǎn)p?(a,b)，使f(c)f(p)?0，試證：至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使f'(c)f''(?)?0.證明 將f(x)在x0?c處展開，得

f?x??f?c??f'?c??x?c??其中，? 介于c與x之間.上式取x?p，并由f'(c)?0，得

f?p??f?c??f''????p?c?2，2!f''????p?c?2，2！其中?介于c與p之間.兩邊同乘以f(c)，得

f?p?f?c??f2?c??f''???2f?c??p?c?，2!?a?b?（1）當(dāng)x0??a,?時(shí)，上式取x?a，得

2??f?x0?即

f''????a?x0?2??b?a?f''???,???a,x0?.?2!82f''????8?b?a?2f?x0?.?a?b?（2）當(dāng)x0??a,?時(shí)，上式取x?b，同理可得

2??f''????8?b?a?2f?x0?,???x0,b?.由(1)及(2)得，存在??(a,b)，使得

f''????8maxf?x?.?b?a?2x??a,b?再由f''(x)的連續(xù)性，得

maxf''?x??x??a,b?8?b?a?2x??a,b?maxf?x?

注(1)當(dāng)題中條件“連續(xù)”去掉，而其他條件不變時(shí)，結(jié)論可改為在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得

f''????8?b?a?2x??a,b?maxf?x?成立

(2)當(dāng)題中條件添加maxf(x)?0時(shí)，結(jié)論可改為：在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)

x??a,b??，使得f''(?)?8maxf(x)成立.2x??a,b?(b?a)3.2.4 任意點(diǎn)取值法

當(dāng)題中結(jié)論考察f(x),f'(x),f''(x)的關(guān)系時(shí)，展開點(diǎn)常選為該區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，并?duì)某些項(xiàng)作放縮處理，得所要的不等式.例3.5[7] 函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上二階可導(dǎo)，且f(x)≤A，f''(x)≤ B，其中A，B為非負(fù)常數(shù)，試證：f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)在x0?(a,b)處展開，f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?介于x0與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?x0??f'?x0??x?x0??f?b??f?x0??f'?x0??x?x0??f''??1??a?x0?2,?1??a,x0?； 2!f''??2??b?x0?2,?2??x0,b?.2!上面兩式相減，得

f?b??f?a??f'?x0??b?a??122f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.2??

即

f'?x0??f?b??f?a?122?f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.b?a2?b?a???故

f'?x0??1?f?b??f?a???1f''??2??b?x0?2?f''??1??a?x0?2 b?a2?b?a?2AB?b?x0?2??x0?a?2 ?b?a2?b?a??? ??? ?2A?B?b-a?.b-a22AB即f'?x????b?a?，再由x0的任意性，b?a2故有

f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2例3.6 函數(shù)f(x)在區(qū)問?a,b?上二階可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，M?maxf''(x)，試證x?[a,b]?baM?b?a?f?x?dx?.123證明 將f(x)在t??a,b?處展開，f?x??f?t??f'?t??x?t??其中車?于t與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?t??f'?t??x?t??f''??1??a?t?2,?1??a,t?； 2!f''??2??b?t?2,?2??t,b?.f?b??f?t??f'?t??x?t??2!f''????x?t?2，2!

上邊兩式相加，得

f?t???1122f'?t??a?b?2t??f''??1??a?t??f''??2??b?t?.24??上式兩端在?a,b?上對(duì)t作積分，b?a1b1b22f?t?dt???f'?t??a?b?2t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt

2a4ab1b22???f?t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt.a4a????于是有

?ba1b22f?t?dt???f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt，8a???ba1b2f?t?dt????af''??1??a?t?dt?8?b??2? ????[f''?b?t]dt?2?a?bMb2 ????a?a?t?dt?8?即

??M?b?a?.??b?tdt??a12?32?baM?b?a?f?x?dx?.123注 從不等式的特點(diǎn)出發(fā)，應(yīng)用實(shí)際范例給出了泰勒公式中展開點(diǎn)選取的幾種情況：區(qū)間的中點(diǎn)，已知區(qū)間的兩端點(diǎn)，函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)，已知區(qū)間的任意點(diǎn).同時(shí)對(duì)各種情況的運(yùn)用范圍和特點(diǎn)作了說(shuō)明，以便更好地運(yùn)用泰勒中值定理證明不等式.柯西中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

4.1 柯西中值定理

柯西中值定理 設(shè)函數(shù)f?x?，g?x?滿足

（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)；

（3）對(duì)任一x??a,b?有g(shù)?x??0，則存在???a,b?，使得?f?b??f?a??/?g?b??g?a??=f'???/g'???.4.2 利用柯西中值定理證明不等式

例4.1 設(shè)函數(shù)f?x?在?-1,1?內(nèi)可微，f?0??0,f'?x??1，證明：在?-1,1?內(nèi)，f?x??1.證明 引入輔助函數(shù)g?x??x,在?0,x??或?x,o??上?x???1,1??應(yīng)用柯西中值定理，得

f?x?-f?0?f'?????f'???.g?x?-g?0?1

因?yàn)閒?0??0,g?0??0,且f??x??1,所以

f?x??f?????1?f?x??x?1.g?x?例4.2[8] 證明不等式1?xlnx?1?x2?1?x2?x?0?.證明 令f?x??xlnx?1?x2,g?x??1?x2?1,則上式轉(zhuǎn)化為f?x??g?x??x?0?.由于上應(yīng)用柯西中值定理，得

????

f?x?f?x??f?0?f??????,g?x?g?x??g?0?g????于是f?x??g?x?又轉(zhuǎn)化為f'????g'???.因?yàn)?/p>

2ln????1???f????g?????1??2??1??2?1?1??2ln??1??2???

1而當(dāng)x???0時(shí)，1??2ln??1??2?0,所以

???f?????1?f?????g?????f?x??g?x?, ?g???即

1?xlnx?1?x2?1?x2.例4.3[9]

若0?x1?x2?x2x1??

?2，求證：ex2?ex1??cosx1?cosx2?ex1.x1ex2?ex1?ex1，證明 證明e?e??cosx1?cosx2?e，實(shí)際上只需證

cosx1?cosx2設(shè)f?t??et,g?t??cost,則f?t?,g?t?在?x1,x2?上，滿足柯西中值定理?xiàng)l件，所以

f?x2??f?x1?f'?c? c??x1,x2?.?g?x2??g?x1?g'?c?ex2?ex1ee?即

0?x1?c?x2?.?cosx2?cosx1?sinc2ex2?ex1??cosx1?cosx2?ec1??cosx1?cosx2?ec??cosx1?cosx2?ex1.sinc其中用到1?1及ex是單調(diào)增加函數(shù).sinc 積分中值定理證明不等式

5.1積分中值定理

定理5.1(積分第一中值定理)若f?x?在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一點(diǎn)?使得

f?x?dx?f????b?a?,a???b.?

ab 定理5.2(推廣的積分第一中值定理)若f?x?,g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且g?x?在?a,b?上不變號(hào)，則在?a,b?至少存在一點(diǎn)?，使得

?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx,a???b.aabb5.2 利用積分中值定理證明不等式

例5.1[11]

11x91??dx?.證明

1010201?xb 證明 估計(jì)積分?f?x?g?x?dx的一般的方法是:求f?x?在?a,b?的最大值Ma和最小值m，又若g?x??0，則

m?g?x?dx??f?x?g?x?dx?M?g?x?dx.aaabbb本題中令

f?x??因?yàn)?/p>

11??1，x??0,1?.21?x1?0?x?1?.,g?x??x9?0，1?x所以

111119x919dx??xdx?dx?x.???0001010221?x例5.2 證明2e?14??ex2?xdx?2e2.02 證明 在區(qū)間?0,2?上求函數(shù)f?x??ex2?x的最大值M和最小值m.f??x???2x?1?ex2?x，令f??x??0，得駐點(diǎn)x?1.2?1??1??12?上的最小值，而f?2??e2為比較f??，f?0?，f?2?知f???e4為f?x?在?0，?2??2?2?上的最大值.由積分中值定理得 f?x?在?0，e即

?14?2?0???0ex?xdx?e2?2?0?，222e??ex2?xdx?2e2.0?142注 由于積分具有許多特殊的運(yùn)算性質(zhì)，故積分不等式的證明往往富有很強(qiáng)的技巧性.在證明含有定積分的不等式時(shí)，也?？紤]用積分中值定理，以便去掉積分符號(hào)，若被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí)，可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如1和2例題時(shí)，可以根據(jù)估計(jì)定積分的值在證明比較簡(jiǎn)單方便.結(jié)束語(yǔ)

深入挖掘滲透在這一定理中的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于啟迪思維，培養(yǎng)創(chuàng)造能力具有重要 意義.偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)“數(shù)學(xué)的生命力在于聯(lián)系” ．?dāng)?shù)學(xué)中存在著概念之間的親緣關(guān)系，存在著理論結(jié)構(gòu)各要素之間的聯(lián)系，存在著方法和理論之間的聯(lián)系，存在著這一分支鄰域與那一分支鄰域等各種各樣的聯(lián)系，因此探索數(shù)學(xué)中各種各樣的聯(lián)系乃是指導(dǎo)數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要思想．實(shí)際上，具體地分析事物的具體聯(lián)系，是正確認(rèn)識(shí)和改造客觀世界必不可少的思維方式在一定的意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)的真正任務(wù)就在于揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間、數(shù)學(xué)方法之間的內(nèi)在固有聯(lián)系，這一任務(wù)的解決不斷推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)向前發(fā)展．

中值定理在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對(duì)于原來(lái)的式子要從哪去證明，很不容易去聯(lián)系其它，只從式子本身所表達(dá)的意思去證明.今后應(yīng)當(dāng)注重研究中值定理各定理之間的聯(lián)系，更好的應(yīng)用中值定理解決不等式的證明.中值定理是一條重要定理，它在微積分中占有重要的地位，起著重要的作用，參考文獻(xiàn)

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從2008年9月到現(xiàn)在，我在黃淮學(xué)院已經(jīng)渡過接近四年的時(shí)光．在論文即將完成之際，回想起大學(xué)生活的日日夜夜，百感交集.在大學(xué)學(xué)習(xí)的四年時(shí)間里，正是老師們的悉心指導(dǎo)、同學(xué)們的熱情關(guān)照、家人的理解支持，給了我力量，從而得以順利完成學(xué)業(yè)．在此對(duì)他們表示誠(chéng)摯的謝意!本論文是在導(dǎo)師鐘銘的悉心指導(dǎo)下完成的.導(dǎo)師淵博的專業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實(shí)無(wú)華、平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn).他對(duì)數(shù)學(xué)理論在經(jīng)濟(jì)，金融領(lǐng)域中的應(yīng)用的想法和建議，使學(xué)生受益匪淺、銘刻終生.本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血.在此，謹(jǐn)向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！

感謝數(shù)學(xué)科學(xué)系其他老師講授的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，為我夯實(shí)了數(shù)學(xué)研究的理論基礎(chǔ)，他們是李東亞老師、魏本成老師、龐留勇老師、侯亞林老師等．感謝數(shù)學(xué)系全體領(lǐng)導(dǎo)、老師、同學(xué)創(chuàng)造了一個(gè)寬松，自由的學(xué)習(xí)環(huán)境.此外我還感謝室友馮克飛、王寧對(duì)我的論文完成過程中給我的指導(dǎo)，她們深厚的數(shù)學(xué)功底以及對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件操作等方面的知識(shí)給了我很大的幫助．

最后深深地感謝我的父母，把最誠(chéng)摯的感謝送給他們，感謝他們無(wú)微不至的關(guān)心和支持，感謝他們的無(wú)私奉獻(xiàn)以及為我所做的一切．