第一篇：2017-2018學(xué)年八年級數(shù)學(xué)《勾股定理》 單元測試
2017-2018學(xué)年八年級數(shù)學(xué)《勾股定理》 單元測試（1）
一、選擇題（共13小題）
1．如圖，點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（）
A．48 B．60 C．76 D．80 2．如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學(xué)問題是（）
A．黃金分割 B．垂徑定理 C．勾股定理 D．正弦定理
3．如圖，△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，則BE的長度為何？（）
A．10 B．11 C．12 D．13 4．下列四組線段中，能組成直角三角形的是（）A．a(chǎn)=1，b=2，c=3 B．a(chǎn)=2，b=3，c=4
C．a(chǎn)=2，b=4，c=5
D．a(chǎn)=3，b=4，c=5 5．下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，6．一直角三角形的兩邊長分別為3和4．則第三邊的長為（）
第1頁（共20頁）
A．5 B． C． D．5或
7．設(shè)a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為2.5，則ab的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．如圖，若∠A=60°，AC=20m，則BC大約是（結(jié)果精確到0.1m）（）
A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 9．如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，點M、N分別在邊AD、BC上，連接BM、DN．若四邊形MBND是菱形，則等于（）
A． B． C． D．
10．如圖，正六邊形ABCDEF中，AB=2，點P是ED的中點，連接AP，則AP的長為（）
A．2 B．4 C． D．
11．如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A．只有1個 B．可以有2個
C．有2個以上，但有限 D．有無數(shù)個
12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．過點C作直線l∥AB，P為直線l上一點，且AP=AB．則點P到BC所在直線的距離是（）A．1 B．1或 C．1或
D．
或
第2頁（共20頁）
13．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面積是（）
A． B． C．2 D．
二、填空題（共15小題）
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為（﹣6，0）、（0，8）．以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點C，則點C的坐標(biāo)為 ．
15．在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，點D在BC邊上，連接AD，若tan∠CAD=，則BD的長為 ．
16．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3= ．
17．如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于 ．
第3頁（共20頁）
18．如圖，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則AE= ．
19．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是 ．
20．在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，則邊AC的長為 ．
21．如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點，矩形ABCD的周長是20cm，AE=5cm，則AB的長為 cm．
22．如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比值為 ．
第4頁（共20頁）
第14章 勾股定理
參考答案與試題解析
一、選擇題（共13小題）
1．如圖，點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（）
A．48 B．60 C．76 D．80 【考點】勾股定理；正方形的性質(zhì)．
【分析】由已知得△ABE為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長AB，用S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面積．
【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，∴S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE，=AB2﹣×AE×BE =100﹣×6×8 =76． 故選：C．
【點評】本題考查了勾股定理的運用，正方形的性質(zhì)．關(guān)鍵是判斷△ABE為直角三角形，運用勾股定理及面積公式求解．
2．如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學(xué)問題是（）
第5頁（共20頁）
A．黃金分割 B．垂徑定理 C．勾股定理 D．正弦定理 【考點】勾股定理的證明． 【專題】幾何圖形問題．
【分析】“弦圖”，說明了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，解決了勾股定理的證明． 【解答】解：“弦圖”，說明了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，解決的問題是：勾股定理． 故選：C．
【點評】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理證明的方法最常用的思路是利用面積證明．
3．如圖，△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，則BE的長度為何？（）
A．10 B．11 C．12 D．13 【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．
【分析】根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)可求出AB的長，再根據(jù)勾股定理即可求出BE的長． 【解答】解：∵BE⊥AC，∴△AEB是直角三角形，∵D為AB中點，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，∴BE==12，第6頁（共20頁）
故選C．
【點評】本題考查了勾股定理的運用、直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，題目的綜合性很好，難度不大．
4．下列四組線段中，能組成直角三角形的是（）A．a(chǎn)=1，b=2，c=3 B．a(chǎn)=2，b=3，c=4
C．a(chǎn)=2，b=4，c=5
D．a(chǎn)=3，b=4，c=5 【考點】勾股定理的逆定理．
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項進(jìn)行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵12+22=5≠32，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤； B、∵22+32=13≠42，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤； C、∵22+42=20≠52，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤； D、∵32+42=25=52，∴能構(gòu)成直角三角形，故本選項正確． 故選D．
【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
5．下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，【考點】勾股定理的逆定理．
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定則可．
【解答】解：A、12+22≠32，不能組成直角三角形，故錯誤； B、22+32≠42，不能組成直角三角形，故錯誤； C、42+52≠62，不能組成直角三角形，故錯誤； D、12+（故選D．
【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．
6．一直角三角形的兩邊長分別為3和4．則第三邊的長為（）
第7頁（共20頁），）2=（）2，能夠組成直角三角形，故正確．
A．5 B． C． D．5或
【考點】勾股定理． 【專題】分類討論．
【分析】本題中沒有指明哪個是直角邊哪個是斜邊，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析． 【解答】解：（1）當(dāng)兩邊均為直角邊時，由勾股定理得，第三邊為5，（2）當(dāng)4為斜邊時，由勾股定理得，第三邊為故選：D．
【點評】題主要考查學(xué)生對勾股定理的運用，注意分情況進(jìn)行分析．
7．（2013?德宏州）設(shè)a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為2.5，則ab的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3，【考點】勾股定理． 【專題】壓軸題．
【分析】由該三角形的周長為6，斜邊長為2.5可知a+b+2.5=6，再根據(jù)勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．
【解答】解：∵三角形的周長為6，斜邊長為2.5，∴a+b+2.5=6，∴a+b=3.5，①
∵a、b是直角三角形的兩條直角邊，∴a2+b2=2.52，② 由①②可得ab=3，故選D．
【點評】本題考查了勾股定理和三角形的周長以及完全平方公式的運用．
8．如圖，若∠A=60°，AC=20m，則BC大約是（結(jié)果精確到0.1m）（）
第8頁（共20頁）
A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形．
【分析】首先計算出∠B的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AB=40m，再利用勾股定理計算出BC長即可．
【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC，∵AC=20m，∴AB=40m，∴BC=故選：B．
【點評】此題主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．
9．如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，點M、N分別在邊AD、BC上，連接BM、DN．若四邊形MBND是菱形，則等于（）=
=
=20
≈34.6（m），A． B． C． D．
【考點】勾股定理；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．
【分析】首先由菱形的四條邊都相等與矩形的四個角是直角，即可得到直角△ABM中三邊的關(guān)系． 【解答】解：∵四邊形MBND是菱形，第9頁（共20頁）
∴MD=MB．
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°．
設(shè)AB=x，AM=y，則MB=2x﹣y，（x、y均為正數(shù)）． 在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x﹣y）2，解得x=y，∴MD=MB=2x﹣y=y，∴==．
故選：C．
【點評】此題考查了菱形與矩形的性質(zhì)，以及直角三角形中的勾股定理．解此題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
10．如圖，正六邊形ABCDEF中，AB=2，點P是ED的中點，連接AP，則AP的長為（）
A．2 B．4 C． D．
【考點】勾股定理．
【分析】連接AE，求出正六邊形的∠F=120°，再求出∠AEF=∠EAF=30°，然后求出∠AEP=90°并求出AE的長，再求出PE的長，最后在Rt△AEP中，利用勾股定理列式進(jìn)行計算即可得解． 【解答】解：如圖，連接AE，在正六邊形中，∠F=×（6﹣2）?180°=120°，∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF=（180°﹣120°）=30°，∴∠AEP=120°﹣30°=90°，AE=2×2cos30°=2×2×=
2，第10頁（共20頁）
∵點P是ED的中點，∴EP=×2=1，在Rt△AEP中，AP=故選：C．
=
=
．
【點評】本題考查了勾股定理，正六邊形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．
11．如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A．只有1個 B．可以有2個
C．有2個以上，但有限 D．有無數(shù)個 【考點】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】分類討論．
【分析】兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，即已知邊均為直角邊或者8為斜邊，運用勾股定理分別求出第三邊后，和另外三角形構(gòu)成相似三角形，利用對應(yīng)邊成比例即可解答． 【解答】解：根據(jù)題意，兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，一種是6和8為直角邊，那么根據(jù)勾股定理可知斜邊為10；另一種可能是6是直角邊，而8是斜邊，那么根據(jù)勾股定理可知另一條直角邊為．
所以另一個與它相似的直角三角形也有兩種可能，第一種是第二種是故選：B．
【點評】本題考查了勾股定理和三角形相似的有關(guān)知識．本題學(xué)生常常漏掉第二種情況，是一道易錯題．
第11頁（共20頁）
，解得x=5；，解得x=
．所以可以有2個．
12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．過點C作直線l∥AB，P為直線l上一點，且AP=AB．則點P到BC所在直線的距離是（）A．1 B．1或 C．1或
D．
或
【考點】勾股定理；平行線之間的距離；等腰直角三角形． 【專題】壓軸題．
【分析】如圖，延長AC，做PD⊥BC交點為D，PE⊥AC，交點為E，可得四邊形CDPE是正方形，則CD=DP=PE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出BC=1，AB=在直角△AEP中，可運用勾股定理求得DP的長即為點P到BC的距離． 【解答】解：①如圖，延長AC，做PD⊥BC交點為D，PE⊥AC，交點為E，∵CP∥AB，∴∠PCD=∠CBA=45°，∴四邊形CDPE是正方形，則CD=DP=PE=EC，∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP，∴AB=∴AP=； =，又AB=AP；所以，∴在直角△AEP中，（1+EC）2+EP2=AP2 ∴（1+DP）2+DP2=（解得，DP=
②如圖，延長BC，作PD⊥BC，交點為D，延長CA，作PE⊥CA于點E，同理可證，四邊形CDPE是正方形，∴CD=DP=PE=EC，同理可得，在直角△AEP中，（EC﹣1）2+EP2=AP2，∴（PD﹣1）2+PD2=（解得，PD=故選D．
第12頁（共20頁））2，；）2，；
【點評】本題考查了勾股定理的運用，通過添加輔助線，可將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了學(xué)生的空間想象能力．
13．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面積是（）
A． B． C．2 D．
【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形． 【專題】計算題．
【分析】如圖，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F．構(gòu)建矩形AEFD和直角三角形，通過含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AE的長度，然后由三角形的面積公式進(jìn)行解答即可． 【解答】解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F．設(shè)AB=AD=x． 又∵AD∥BC，∴四邊形AEFD是矩形，∴AD=EF=x．
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，則∠BAE=30°，第13頁（共20頁）
∴BE=AB=x，∴DF=AE==x，在Rt△CDF中，∠FCD=30°，則CF=DF?cot30°=x． 又∵BC=6，∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，解得 x=2 ∴△ACD的面積是： AD?DF=x×故選：A．
x=
×22=，【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積以及含30度角的直角三角形．解題的難點是作出輔助線，構(gòu)建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底邊AD以及該邊上的高線DF的長度．
二、填空題（共15小題）
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為（﹣6，0）、（0，8）．以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點C，則點C的坐標(biāo)為（4，0）．
【考點】勾股定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
【分析】首先利用勾股定理求出AB的長，進(jìn)而得到AC的長，因為OC=AC﹣AO，所以O(shè)C求出，繼而求出點C的坐標(biāo)．
【解答】解：∵點A，B的坐標(biāo)分別為（﹣6，0）、（0，8），∴AO=6，BO=8，∴AB= =10，第14頁（共20頁）
∵以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，∴AB=AC=10，∴OC=AC﹣AO=4，∵交x正半軸于點C，∴點C的坐標(biāo)為（4，0），故答案為：（4，0）．
【點評】本題考查了勾股定理的運用、圓的半徑處處相等的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出AB的長．
15．在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，點D在BC邊上，連接AD，若tan∠CAD=，則BD的長為 6 ．
【考點】勾股定理；等腰直角三角形；銳角三角函數(shù)的定義．
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求AC，BC的長，在Rt△ACD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求CD的長，BD=BC﹣CD，代入數(shù)據(jù)計算即可求解． 【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9∴CA2+CB2=AB2，∴CA=CB=9，∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴CD=3，∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6． 故答案為：6．，【點評】綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，線段的和差關(guān)系，難度不大．
16．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3= 12 ．
第15頁（共20頁）
【考點】勾股定理的證明．
【分析】根據(jù)八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根據(jù)S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12． 【解答】解：∵八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=KG，CF=DG=KF，∴S1=（CG+DG）2 =CG2+DG2+2CG?DG =GF2+2CG?DG，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2=KF2+NF2﹣2KF?NF，∴S1+S2+S3=GF2+2CG?DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF?NF=3GF2=12，故答案是：12．
【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識點是勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解題的難點．
17．如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于 6 ．
【考點】勾股定理的證明．
【分析】根據(jù)面積的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可． 【解答】解：∵AB=10，EF=2，第16頁（共20頁）
∴大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，∴四個直角三角形面積和為100﹣4=96，設(shè)AE為a，DE為b，即4×ab=96，∴2ab=96，a2+b2=100，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，∴a+b=14，∵a﹣b=2，解得：a=8，b=6，∴AE=8，DE=6，∴AH=8﹣2=6． 故答案為：6．
【點評】此題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是應(yīng)用直角三角形中勾股定理的運用解得ab的值．
18．如圖，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則AE= 3 ．
【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知：兩腰上的高相等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的長．
【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，∴AD=BE=4，∵AB=5，∴AE=故答案為：3．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，題目比較簡單．
=3，第17頁（共20頁）
19．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是 10 ．
【考點】勾股定理．
【分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積．
【解答】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10． 故答案是：10．
【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．能夠發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C，D的邊長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A，B，C，D的面積和即是最大正方形的面積．
20．在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，則邊AC的長為 2【考點】勾股定理． 【專題】計算題．
【分析】根據(jù)勾股定理列式計算即可得解． 【解答】解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5，∴AC=故答案為：2
．
=．
=2．
第18頁（共20頁）
【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，作出圖形更形象直觀．
21．如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點，矩形ABCD的周長是20cm，AE=5cm，則AB的長為 4 cm．
【考點】勾股定理；矩形的性質(zhì)．
【分析】設(shè)AB=x，則可得BC=10﹣x，BE=BC=即求出了AB的長．
【解答】解：設(shè)AB=x，則可得BC=10﹣x，∵E是BC的中點，∴BE=BC=，）2=52，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得出x的值，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+（解得：x=4． 即AB的長為4cm． 故答案為：4．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是表示出AB、BE的長度，利用勾股定理建立方程．
22．如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比值為 ．
第19頁（共20頁）
【考點】勾股定理的證明． 【專題】計算題．
【分析】根據(jù)勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據(jù)（a+b）2=a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；則易求b：a． 【解答】解：∵小正方形與大正方形的面積之比為1：13，∴設(shè)大正方形的面積是13，邊長為c，∴c2=13，∴a2+b2=c2=13，∵直角三角形的面積是
=3，又∵直角三角形的面積是ab=3，∴ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25，∴a+b=5．
∵小正方形的面積為（b﹣a）2=1，∴b=3，a=2，∴=． 故答案是：．
【點評】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
第20頁（共20頁）
第二篇：八年級數(shù)學(xué)專題-勾股定理
第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第1課時 勾股定理(1)
了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，理解并掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理，能應(yīng)用勾股定理進(jìn)行簡單的計算．
重點
勾股定理的內(nèi)容和證明及簡單應(yīng)用．
難點
勾股定理的證明．
一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課
讓學(xué)生畫一個直角邊分別為3
cm和4
cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長．
再畫一個兩直角邊分別為5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長．
你是否發(fā)現(xiàn)了32＋42與52的關(guān)系，52＋122與132的關(guān)系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？
由一學(xué)生朗讀“畢達(dá)哥拉斯觀察地面圖案發(fā)現(xiàn)勾股定理”的傳說，引導(dǎo)學(xué)生觀察身邊的地面圖形，猜想畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了什么？
拼圖實驗，探求新知
1．多媒體課件演示教材第22～23頁圖17.1－2和圖17.1－3，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考．
2．組織學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)．
問題：每組的三個正方形之間有什么關(guān)系？試說一說你的想法．
引導(dǎo)學(xué)生用拼圖法初步體驗結(jié)論．
生：這兩組圖形中，每組的大正方形的面積都等于兩個小正方形的面積和．
師：這只是猜想，一個數(shù)學(xué)命題的成立，還要經(jīng)過我們的證明．
歸納驗證，得出定理
(1)猜想：命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.(2)是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要對一個一般的直角三角形進(jìn)行證明．到目前為止，對這個命題的證明已有幾百種之多，下面我們就看一看我國數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個定理的．
①用多媒體課件演示．
②小組合作探究：
a．以直角三角形ABC的兩條直角邊a，b為邊作兩個正方形，你能通過剪、拼把它拼成弦圖的樣子嗎？
b．它們的面積分別怎樣表示？它們有什么關(guān)系？
c．利用學(xué)生自己準(zhǔn)備的紙張拼一拼，擺一擺，體驗古人趙爽的證法．想一想還有什么方法？
師：通過拼擺，我們證實了命題1的正確性，命題1與直角三角形的邊有關(guān)，我國把它稱為勾股定理．
即在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．
二、例題講解
【例1】填空題．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，則c＝________；
(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，則c＝________；
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，則a＝________，b＝________；
(4)一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為________；
(5)已知等邊三角形的邊長為2
cm，則它的高為________cm，面積為________cm2.【答案】(1)17(2)(3)6 8(4)6，8，10(5)
【例2】已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊．
分析：已知兩邊中，較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進(jìn)行計算．讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想．
【答案】或13
三、鞏固練習(xí)
填空題．
在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)如果a＝7，c＝25，則b＝________；
(2)如果∠A＝30°，a＝4，則b＝________；
(3)如果∠A＝45°，a＝3，則c＝________；
(4)如果c＝10，a－b＝2，則b＝________；
(5)如果a，b，c是連續(xù)整數(shù)，則a＋b＋c＝________；
(6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，則c＝________．
【答案】(1)24(2)4(3)3(4)6(5)12
(6)10
四、課堂小結(jié)
1．本節(jié)課學(xué)到了什么數(shù)學(xué)知識？
2．你了解了勾股定理的發(fā)現(xiàn)和驗證方法了嗎？
3．你還有什么困惑？
本節(jié)課的設(shè)計關(guān)注學(xué)生是否積極參與探索勾股定理的活動，關(guān)注學(xué)生能否在活動中積極思考、能夠探索出解決問題的方法，能否進(jìn)行積極的聯(lián)想(數(shù)形結(jié)合)以及學(xué)生能否有條理地表達(dá)活動過程和所獲得的結(jié)論等．關(guān)注學(xué)生的拼圖過程，鼓勵學(xué)生結(jié)合自己所拼得的正方形驗證勾股定理． 第2課時 勾股定理(2)
能將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題．
重點
將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型．
難點
如何用解直角三角形的知識和勾股定理來解決實際問題．
一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入
問題1：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需要多長的梯子？
師生行為：
學(xué)生分小組討論，建立直角三角形的數(shù)學(xué)模型．
教師深入到小組活動中，傾聽學(xué)生的想法．
生：根據(jù)題意，(如圖)AC是建筑物，則AC＝12
m，BC＝5
m，AB是梯子的長度，所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132，則AB＝13
m.所以至少需13
m長的梯子．
師：很好！
由勾股定理可知，已知兩直角邊的長分別為a，b，就可以求出斜邊c的長．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長，也就是說，在直角三角形中，已知兩邊就可求出第三邊的長．
問題2：一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3
m、寬2.2
m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？
學(xué)生分組討論、交流，教師深入到學(xué)生的數(shù)學(xué)活動中，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決問題的途徑．
生1：從題意可以看出，木板橫著進(jìn)，豎著進(jìn)，都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過．
生2：在長方形ABCD中，對角線AC是斜著能通過的最大長度，求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板是否能通過．
師生共析：
解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.因此AC＝≈2.236.因為AC>木板的寬，所以木板可以從門框內(nèi)通過．
二、例題講解
【例1】如圖，山坡上兩棵樹之間的坡面距離是4米，則這兩棵樹之間的垂直距離是________米，水平距離是________米．
分析：由∠CAB＝30°易知垂直距離為2米，水平距離是6米．
【答案】2 6
【例2】教材第25頁例2
三、鞏固練習(xí)
1．如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B，C兩點，在江對岸取一點A，使AC垂直江岸，測得BC＝50米，∠B＝60°，則江面的寬度為________．
【答案】50米
2．某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達(dá)地點B
200米，結(jié)果他在水中實際游了520米，求該河流的寬度．
【答案】約480
m
四、課堂小結(jié)
1．談?wù)勛约涸谶@節(jié)課的收獲有哪些？會用勾股定理解決簡單的應(yīng)用題；會構(gòu)造直角三角形．
2．本節(jié)是從實驗問題出發(fā)，轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，并用勾股定理完成解答．
這是一節(jié)實際應(yīng)用課，過程中要充分發(fā)揮學(xué)生的主導(dǎo)性，鼓勵學(xué)生動手、動腦，經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型的過程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉了學(xué)生獨立思考的能力． 第3課時 勾股定理(3)
1．利用勾股定理證明：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．
2．利用勾股定理，能在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點．
3．進(jìn)一步學(xué)習(xí)將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題．
重點
在數(shù)軸上尋找表示，，…這樣的表示無理數(shù)的點．
難點
利用勾股定理尋找直角三角形中長度為無理數(shù)的線段．
一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入
復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容．
本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用．
師：在八年級上冊，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．你們能用勾股定理證明這一結(jié)論嗎？
學(xué)生思考并獨立完成，教師巡視指導(dǎo)，并總結(jié)．
先畫出圖形，再寫出已知、求證如下：
已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根據(jù)勾股定理，得BC＝，B′C′＝.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
師：我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上表示出所對應(yīng)的點嗎？
教師可指導(dǎo)學(xué)生尋找像長度為，，…這樣的包含在直角三角形中的線段．
師：由于要在數(shù)軸上表示點到原點的距離為，，…，所以只需畫出長為，，…的線段即可，我們不妨先來畫出長為，，…的線段．
生：長為的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，而長為的線段是直角邊為1和2的直角三角形的斜邊．
師：長為的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？
生：設(shè)c＝，兩直角邊長分別為a，b，根據(jù)勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b為正整數(shù)，則13必須分解為兩個平方數(shù)的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，則a＝2，b＝3，所以長為的線段是直角邊長分別為2，3的直角三角形的斜邊．
師：下面就請同學(xué)們在數(shù)軸上畫出表示的點．
生：步驟如下：
1．在數(shù)軸上找到點A，使OA＝3.2．作直線l垂直于OA，在l上取一點B，使AB＝2.3．以原點O為圓心、以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點C，則點C即為表示的點．
二、例題講解
【例1】飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米？
分析：根據(jù)題意，可以畫出如圖所示的圖形，A點表示男孩頭頂?shù)奈恢茫珻，B點是兩個時刻飛機的位置，∠C是直角，可以用勾股定理來解決這個問題．
解：根據(jù)題意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米．
飛機飛行1400米用了10秒，那么它1小時飛行的距離為1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飛機飛行的速度為504千米/時．
【例2】在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風(fēng)吹來，水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？
解：根據(jù)題意，得到上圖，其中D是無風(fēng)時水草的最高點，BC為湖面，AB是一陣風(fēng)吹過水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以這里的水深為4.5分米．
【例3】在數(shù)軸上作出表示的點．
解：以為長的邊可看作兩直角邊分別為4和1的直角三角形的斜邊，因此，在數(shù)軸上畫出表示的點，如下圖：
師生行為：
由學(xué)生獨立思考完成，教師巡視指導(dǎo)．
此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注以下兩個方面：
①學(xué)生能否積極主動地思考問題；
②能否找到斜邊為，另外兩條直角邊為整數(shù)的直角三角形．
三、課堂小結(jié)
1．進(jìn)一步鞏固、掌握并熟練運用勾股定理解決直角三角形問題．
2．你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識？會利用勾股定理得到一些無理數(shù)，并理解數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)．
本節(jié)課的教學(xué)中，在培養(yǎng)邏輯推理的能力方面，做了認(rèn)真的考慮和精心的設(shè)計，把推理證明作為學(xué)生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，注重數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和接受水平出發(fā)，這些理念貫徹到課堂教學(xué)當(dāng)中，很好地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生善于提出問題、敢于提出問題、解決問題的能力．
17.2 勾股定理的逆定理
第1課時 勾股定理的逆定理(1)
1．掌握直角三角形的判別條件．
2．熟記一些勾股數(shù)．
3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
重點
探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命題、原命題、逆命題的有關(guān)概念及關(guān)系．
難點
歸納猜想出命題2的結(jié)論．
一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入
活動探究
(1)總結(jié)直角三角形有哪些性質(zhì)；
(2)一個三角形滿足什么條件時才能是直角三角形？
生：直角三角形有如下性質(zhì)：(1)有一個角是直角；(2)兩個銳角互余；(3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半．
師：那么一個三角形滿足什么條件時，才能是直角三角形呢？
生1：如果三角形有一個內(nèi)角是90°，那么這個三角形就為直角三角形．
生2：如果一個三角形，有兩個角的和是90°，那么這個三角形也是直角三角形．
師：前面我們剛學(xué)習(xí)了勾股定理，知道一個直角三角形的兩直角邊a，b與斜邊c具有一定的數(shù)量關(guān)系即a2＋b2＝c2，我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來判定它是否為直角三角形呢？我們來看一下古埃及人是如何做的？
問題：據(jù)說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后以3個結(jié)、4個結(jié)、5個結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角．
這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊長分別為3，4，5，有下面的關(guān)系：32＋42＝52，那么圍成的三角形是直角三角形．
畫畫看，如果三角形的三邊長分別為2.5
cm，6
cm，6.5
cm，有下面的關(guān)系：2.52＋62＝6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4
cm，7.5
cm，8.5
cm，再試一試．
生1：我們不難發(fā)現(xiàn)上圖中，第1個結(jié)到第4個結(jié)是3個單位長度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因為32＋42＝52，所以我們圍成的三角形是直角三角形．
生2：如果三角形的三邊長分別是2.5
cm，6
cm，6.5
cm.我們用尺規(guī)作圖的方法作此三角形，經(jīng)過測量后，發(fā)現(xiàn)6.5
cm的邊所對的角是直角，并且2.52＋62＝6.52.再換成三邊長分別為4
cm，7.5
cm，8.5
cm的三角形，可以發(fā)現(xiàn)8.5
cm的邊所對的角是直角，且有42＋7.52＝8.52.師：很好！我們通過實際操作，猜想結(jié)論．
命題2 如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．
再看下面的命題：
命題1 如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.它們的題設(shè)和結(jié)論各有何關(guān)系？
師：我們可以看到命題2與命題1的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題．如果把其中的一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題．例如把命題1當(dāng)成原命題，那么命題2是命題1的逆命題．
二、例題講解
【例1】說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？
(1)同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行；
(2)如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)相等；
(3)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；
(4)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．
分析：(1)每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)和結(jié)論，并注意語言的運用；
(2)理順?biāo)鼈冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假．
解略．
三、鞏固練習(xí)
教材第33頁練習(xí)第2題．
四、課堂小結(jié)
師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識？
學(xué)生發(fā)言，教師點評．
本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，將教學(xué)內(nèi)容精簡化，實行分層教學(xué)．根據(jù)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生更好地體會分割的思想．設(shè)計的題型前后呼應(yīng)，使知識有序推進(jìn)，有助于學(xué)生理解和掌握；讓學(xué)生通過合作、交流、反思、感悟的過程，激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣，感受探索、合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗，真正體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人．將目標(biāo)分層后，滿足不同層次學(xué)生的做題要求，達(dá)到鞏固課堂知識的目的．
第2課時 勾股定理的逆定理(2)
1．理解并掌握證明勾股定理的逆定理的方法．
2．理解逆定理、互逆定理的概念．
重點
勾股定理的逆定理的證明及互逆定理的概念．
難點
理解互逆定理的概念．
一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入
師：我們學(xué)過的勾股定理的內(nèi)容是什么？
生：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.師：根據(jù)上節(jié)課學(xué)過的內(nèi)容，我們得到了勾股定理逆命題的內(nèi)容：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．
師：命題2是命題1的逆命題，命題1我們已證明過它的正確性，命題2正確嗎？如何證明呢？
師生行為：
讓學(xué)生試著尋找解題思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路．
師：△ABC的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它應(yīng)與直角邊是a，b的直角三角形全等，實際情況是這樣嗎？
我們畫一個直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如圖)，把畫好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它們重合嗎？
生：我們所畫的Rt△A′B′C′，(A′B′)2＝a2＋b2，又因為c2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c.△ABC和△A′B′C′三邊對應(yīng)相等，所以兩個三角形全等，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC為直角三角形．
即命題2是正確的．
師：很好！我們證明了命題2是正確的，那么命題2就成為一個定理．由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題1的逆命題，在此，我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互逆定理．
師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立呢？
生：不一定，如命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么它們是對頂角”不成立．
師：你還能舉出類似的例子嗎？
生：例如原命題：如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值也相等．
逆命題：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等．
顯然原命題成立，而逆命題不一定成立．
二、新課教授
【例1】教材第32頁例1
【例2】教材第33頁例2
【例3】一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角．工人師傅量出了這個零件各邊的尺寸，那么這個零件符合要求嗎？
分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實際問題的例子．
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．
在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．
因此這個零件符合要求．
三、鞏固練習(xí)
1．小強在操場上向東走80
m后，又走了60
m，再走100
m回到原地．小強在操場上向東走了80
m后，又走60
m的方向是________．
【答案】向正南或正北
2．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A，B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達(dá)C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，求甲巡邏艇的航向．
【答案】解：由題意可知：AC＝120×6×＝12，BC＝50×6×＝5，122＋52＝132.又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝40°，航向為北偏東50°.四、課堂小結(jié)
1．同學(xué)們對本節(jié)的內(nèi)容有哪些認(rèn)識？
2．勾股定理的逆定理及其應(yīng)用，熟記幾組勾股數(shù)．
本節(jié)課我采用以學(xué)生為主體，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、操作探究的教學(xué)設(shè)計，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知水平，最大限度地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有利于培養(yǎng)學(xué)生動手、觀察、分析、猜想、驗證、推理的能力，切實使學(xué)生在獲取知識的過程中得到能力的培養(yǎng)．
第三篇：八年級數(shù)學(xué)第十七章勾股定理單元測試-?？荚囶}
人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第十七章
勾股定理
單元測試-?？荚囶}
一、選擇題（每小題5分，共40分）
1.下列說法正確的是（）
A.若a，b，c是△ABC的三邊，則a2
+
b2
=
c2
B.若a，b，c是Rt△ABC的三邊，則a2
+
b2
=
c2
C.若a，b，c是Rt△ABC的三邊，∠A
=
90°，則a2
+
b2
=
c2
D.若a，b，c是Rt△ABC的三邊，∠A
=
90°，則c2
+
b2
=
a2
2.如圖，做一個長80厘米、寬60厘米的長方形木框，需在相對角的頂點釘一根加固木條，則木條的長為（）
A.90厘米
B.100厘米
C.105厘米
D.110厘米
3.下列幾組數(shù)中，為勾股數(shù)的一組是（）
A.0.3，0.5，0.4
B.-
15，8，7
C.21，45，20
D.15，20，25
4.歷史上對勾股定理的一種證法采用了下列圖形:其中兩個全等的直角三角形邊AE，EB在一條直線上.證明中用到的面積相等關(guān)系是（）
A.S△EDA=
S△CEB
B.S△EDA
+
S△CEB
=
S△CDE
C.S四邊形CDAB
=
S四邊形CDEB
D.S△EDA
+
S△GDE
+
S△CEB
=
S四邊形ABCD
5.滿足下列條件的△ABC，不是直角三角形的是（）
A.b2
=
c2
a2
B.a:b:c
=
3:4:5
C.∠C
=
∠A
∠B
D.∠A:∠B:∠C
=
7:24:25
6.如圖，若∠BAD
=
∠DBC
=
90°，AB
=
3，AD
=
4，BC
=
12，則CD
=
（）
A.5
B.13
C.17
D.18
7.一個圓柱形的油桶高120
cm，底面直徑為50
cm，則桶內(nèi)所能容下的最長的木棒長為（）
A.5
cm
B.100
cm
C.120
cm
D.130
cm
8.如圖，若圓柱的底面周長是30
cm，高是40
cm，從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部B處作裝飾，則這條絲線的最小長度是（）
A.80
cm
B.70
cm
C.60
cm
D.50
cm
二、填空題（每小題5分，共30分）
9.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c且b2
a2
=
c2，則
_________
是直角.10.如圖，在長方形紙片ABCD中，AB
=
4，BC
=
6.將△ABC沿AC折疊，使點B落在點E處，CE交AD于點F，則DF的長等于_________.11.某天我國海監(jiān)船駛向釣魚島海域執(zhí)法時，海監(jiān)船甲以15海里/時的速度離開港口向北航行，海監(jiān)船乙同時以20海里/時的速度離開港口向東航行，則它們離開港口2小時后相距
_________
海里.12.小紅要求△ABC中最長邊上的高，測得AB
=
cm，AC
=
cm，BC
=
cm，則可知最長邊上的高是
_________
.13.一漁船從點A出發(fā)，向正北方向航行5千米到B點，然后從B點向正東方向航行12千米至C點，則AC長為
_________千米.14.如圖，長方體的高為3
cm，底面是正方形，邊長為2
cm，現(xiàn)有一蒼蠅從A點出發(fā)，沿長方體的表面到達(dá)C點處，則蒼蠅所經(jīng)過的最短距離為
_________
.三、解答題（7
+
+
+
=
30分）
15.已知等腰三角形的底邊長為6，底邊上的中線長為4，求等腰三角形的腰長.16.如圖所示是一農(nóng)民建房時挖出地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)為長方形，挖完后測得AB
=
CD
=
m，AD
=
BC
=
m，對角線AC
=
9.2
m，請你幫他判斷一下挖的地基是否合格，并說明理由.17.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且滿足c
+
a
=
2b，c
a
=
b，則△ABC是直角三角形嗎?為什么?
18.《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定:小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70
km/h.如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀的正前方30
m處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50
m.這輛小汽車超速了嗎?
第四篇：八年級數(shù)學(xué)勾股定理7
18．1 勾股定理
（二）教學(xué)時間 第二課時
三維目標(biāo)
一、知識與技能
1．掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法． 2．運用勾股定理解決一些實際問題．
二、過程與方法
1．經(jīng)歷用拼圖的方法驗證勾股定理，?培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力． 2．在拼圖的過程中，鼓勵學(xué)生大膽聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識．
三、情感態(tài)度與價值觀
1．利用拼圖的方法驗證勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)家的一大貢獻(xiàn)，?借助此過程對學(xué)生進(jìn)行愛國主義的教育．
2．經(jīng)歷拼圖的過程，并從中獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．
教學(xué)重點
經(jīng)歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進(jìn)一步體會勾股定理的文化價值．
教學(xué)難點 經(jīng)歷用不同的拼圖方法證明勾股定理．
教具準(zhǔn)備 每個學(xué)生準(zhǔn)備一張硬紙板;多媒體課件演示．
教學(xué)過程
一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課
活動1 問題：我們曾學(xué)習(xí)過整式的運算，其中平方差公式（a+b）（a-b）=a-b；完全平方公式（a±b）=a±2ab+b是非常重要的內(nèi)容．?誰還能記得當(dāng)時這兩個公式是如何推出的？
設(shè)計意圖：
回憶前面的知識，由此得出用拼圖的方法推證數(shù)學(xué)結(jié)論非常直觀，上節(jié)課已經(jīng)通過數(shù)格子的方法大膽猜想出了一個命題：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．但我們不能對所有的直角三角形一一驗證，因此需從理論上加以推證，學(xué)生也許會從此活動中得到啟示，采用類似拼圖的方法證明．
師生行為：
學(xué)生動手活動，分組操作，然后在組內(nèi)交流． 22
222 教師深入小組參與活動，傾聽學(xué)生的交流，并幫助、指導(dǎo)學(xué)生完成任務(wù)，得出兩個公式的幾何意義．
在活動1中教師應(yīng)重點關(guān)注：
①學(xué)生能否積極主動地參與活動；
②學(xué)生能否想到用拼圖的方法，通過計算拼圖的面積而得出兩個公式的幾何意義；
③學(xué)生能否從這兩個公式的幾何意義聯(lián)想到直角三角形的三邊關(guān)系是否也可以類似證明．
生：這兩個公式都可以用多項式乘以多項式的乘法法則推導(dǎo)，如下：
（a+b）（a-b）=a-ab+ab-b=a-b，所以（a+b）（a-b）=a-b；
（a+b）=（a+b）（a+b）=a+ab+ab+b=a+2ab+b；
（a-b）=（a-b）（a-b）=a-ab-ab+b=a-2ab+b；
所以（a±b）=a±2ab+b．
生：還可以用拼圖的方法說明上面的公式成立．例如： 2
222
(1)(2)圖（1）中，陰影部分的面積為a-b，用剪刀將（1）中的長和寬分別為（a-b）和b?的長方形剪下來拼接成圖（2）的形式便可得圖（2）中陰影部分的面積為（a+b）（a-b）．?而這兩部分面積是相等的，因此（a+b）（a-b）=a-b成立．
生：（a+b）=a+2ab+b也可以用拼圖的方法，通過計算面積證明，如圖: 22
(3)
我們用兩個邊長分別為a和b的正方形，兩個長和寬分別a和b?的長方形拼成一個邊長為（a+b）的正方形，因此這個正方形的面積為（a+b），也可以表示為a+2ab+b，所以可得（a+b）=a+2ab+b．
師：你能類似的方法證明上一節(jié)猜想出的命題嗎？
二、探索研究
活動2 我們已用數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊關(guān)系，拼一拼，完成下列問題：
（1）在一張紙上畫4個與圖（4）全等的直角三角形，并把它們剪下來． 22
2222
(4)(5)
（2）用這4個直角三角形拼一拼，擺一擺，看能否得到一個含有以斜邊c?為邊長的正方形，你能利用拼圖的方法，面積之間的關(guān)系說明上節(jié)課關(guān)于直角三角形三邊關(guān)系的猜想嗎？
（3）有人利用圖（4）這4個直角三角形拼出了圖（5），?你能用兩種方法表示大正方形的面積嗎？
大正方形的面積可以表示為：__________，又可以表示為__________．
對比兩種表示方法，你得到直角三角形的三邊關(guān)系了嗎？
設(shè)計意圖：
讓學(xué)生通過拼圖計算面積的方法證明直角三角形的三邊關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和創(chuàng)新意識．
師生行為：
學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上，以小組為單位交流自己拼圖的結(jié)果．
教師深入小組參與活動，傾聽學(xué)生的交流，并幫助、指導(dǎo)學(xué)生完成任務(wù)，用計算面積的方法比較得出直角三角形的三邊關(guān)系．
在本次活動中，教師應(yīng)關(guān)注：
①能否通過拼圖計算面積的方法得到直角三角形的三邊關(guān)系． ②學(xué)生能否積極主動地參與拼圖活動．
生：我也拼出了圖（5），而且圖（5）用兩種方法表示大正方形的面積分別為
（a+b）或43 化簡得：a+b=c．
由于圖（4）的直角三角形是任意的，因此a+b=c，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
生：我拼出了和這個同學(xué)不一樣的圖，如圖（6）大正方形的邊長是c，?小正方形的邊長為a-b，利用這個圖形也可以說明勾股定理．?因為大正方形的面積也有兩種表示方法，既可以表示為c，又可以表示為
222
22222
11222
ab+c，由此可得（a+b）=43ab+c． 2212
ab34+（b-a）．對比兩種表示方法可得 2c=212222
ab34+（b-a）．化簡得c=a+b，2同樣得到了直角三角形的三邊關(guān)系．
(6)
師：這樣就通過推理證實了命題1的正確性，?我們把經(jīng)過證明被確定為正確的命題叫做定理．命題1與直角三角形的邊有關(guān)，我國把它稱為勾股定理．
我國古代的學(xué)者們對勾股定理的研究有許多重要成就，不僅在很久以前獨立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理，而且使用了許多巧妙的方法證明了它為了弘揚我國古人趙爽的證法，大家從中一定會領(lǐng)略到我國古代數(shù)學(xué)家的智慧．
活動3 圖（6）這個圖案和3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的圖案一模一樣，人們稱它為“趙爽弦圖”，趙爽利用弦圖證明命題1?（即勾股定理）的基本思路如下，如圖（7）．
把邊長為a，b的兩個正方形連在一起，它的面積為a+b，另一方面這個圖形由四個全等的直角三角形和一個正方形組成．把圖（7）中左、右兩個三角形移到圖（9）所示的位置，就會形成一個c為邊長的正方形．
因為圖（7）與圖（9）都是由四個全等的直角三角形和一個正方形組成，所以它們的面積相等．
因此a+b=c．
上面的證法是我國有資料記載的對勾股定理的最早證法．“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智．它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．正因如此，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會徽．
設(shè)計意圖：
了解我國古代數(shù)學(xué)成就，為我國數(shù)學(xué)未來的發(fā)展立志作出貢獻(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義精神．
師生行為：
在教師的引導(dǎo)下進(jìn)一步體會我國古代數(shù)學(xué)家證明勾股定理的聰明、智慧．
師：在所有的幾何定理中，勾股定理的證明方法也許是最多的．在西方，一般認(rèn)為這個定理是由畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，所以人們稱這個定理為畢達(dá)哥拉斯定理．
1940年，國外有人收集了勾股定理的365種證法，編了一本書．其實，?勾股定理的證法不止這些，作者之所以選用了365種，也許他是默默地想讓人注意，?勾股定理的證明簡直到了每天一種的地步．
生：老師，我在查資料時，還發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明還和美國的一個總統(tǒng)有關(guān)系，是這樣22
222嗎？
師：是的．1876年4月1日，美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，頗有興趣地在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了提出的一個勾股定理的證明．據(jù)他說，這是一種思維體操，并且還調(diào)皮地聲稱，他的這個證明是得到兩黨議員“一致贊同的”．由于1881年加菲爾德當(dāng)上了美國第二十屆總統(tǒng)，這樣，他曾提出的那個證明也就成了數(shù)學(xué)史上的一段佳話．
生：能給我們介紹一下這位總統(tǒng)的證明方法嗎？
師：可以，如下圖所示，這就是這位總統(tǒng)用兩個全等的直角三角形拼出的圖形，和第一個同學(xué)用全等的四個直角三角形拼出來的圖形對比一下，有聯(lián)系．
生：總統(tǒng)拼出的圖形恰好是第一個同學(xué)拼出的大正方形的一半．
師：同學(xué)們不妨自己從上圖中推導(dǎo)出勾股定理．
生：上面的圖形整體上拼成一個直有梯形．所以它的面積有兩種表示方法，既可以表示為112（a+b）2（a+b），又可以表示為ab32+c．對此兩種表示方法可得 22112222（a+b）2（a+b）=ab32+c．化簡，可得a+b=c． 22 師：很好．同學(xué)們?nèi)绻信d趣的話，不妨自己也去尋找?guī)追N證明勾股定理的方法．
活動4
議一議：
觀察上圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中兩個三角形的三邊關(guān)系是否滿足a+b=c．
2設(shè)計意圖：
前面已經(jīng)討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系，那么銳角三角形或鈍角三角形三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？學(xué)生通過數(shù)格子的方法可以得出：如果一個三角形不是直角三角形，那么它的三邊a，b，c不滿足a+b=c．通過這個結(jié)論，學(xué)生將對直角三角形的三邊的關(guān)系有進(jìn)一步的認(rèn)識．
師生行為：
學(xué)生分小組討論交流，得出結(jié)論：
教師提出問題后，組織討論，啟發(fā)，引導(dǎo)．
此活動教師應(yīng)重點關(guān)注：
①能否積極參與數(shù)學(xué)活動；
②能否進(jìn)一步體會到直角三角形非常重要的三邊關(guān)系．
師：上圖中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形？
生：△ABC，△A′B′C′在小方格紙上，不難看出△ABC中，∠BCA>90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠′B′C′A′，∠B′A′C′都是銳角，所以△ABC是鈍角三角形，△A′B′C′是銳角三角形．
師：△ABC的三邊上“長”出三個正方形，?誰為幫我數(shù)一個每個正方形含有幾個小格子．
生：以b為邊長的正方形含有9個小格子，所以這個正方形的面積b=9?個單位面積；以a為邊長的正方形中含有8個小格子，所以這個正方形的面積a=8個單位面積，以c為邊長的正方形中含有29個小格子，所以這個正方形的面積c=29個單位面積．
a+b=9+7=16個單位面積，c=29個單位面積，所以在鈍角三角形ABC中a+b≠c．
師：銳角三角形A′B′C′中，如何呢？
生：以a為邊長的正方形含5個小格子，所以a=5個單位面積；以b為邊長的正方形含有8個小格子，所以b=8個單位面積；以c為邊長的正方形含9個小格子，所以a=9個單位面積．由此我們可以算出a+b=5+8=13個單位面積．在銳角三角形A′B′C′中，a+b≠c．
師：通過對上面兩個圖形的討論可進(jìn)一步認(rèn)識到只有在直角三角形中，a，b，?c三邊才有a+b=c（其中a、b是直角邊，c為斜邊）這樣的關(guān)系．
生：老師，我發(fā)現(xiàn)在鈍角三角形ABC中，雖然a+b≠c，但它們之間也有一種關(guān)系a+b
222
2222222
222
2師：這位同學(xué)很善于思考，的確如此，同學(xué)們課后不妨驗證一下，你一定會收獲不?。?/p>
三、課時小結(jié)
活動5 你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識？會構(gòu)造直角三角形，并理解構(gòu)造原理，深刻理解勾股定理的意義．
設(shè)計意圖：
這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的主動參與意識，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都創(chuàng)造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗機會，并為程度不同的學(xué)生提供了充分展示自己的機會，尊重學(xué)生的個體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要，從而使小結(jié)活動不流于形式而具有實效性，為學(xué)生提供更好的空間以梳理自己在本節(jié)課中的收獲．
小結(jié)活動既要注重引導(dǎo)學(xué)生體會勾股定理獨特的證明方法又要從能力，情感態(tài)度方面關(guān)注學(xué)生對課堂的整體感受．
師生行為：
由學(xué)生小組討論小結(jié)．
在活動5中，教師應(yīng)重點關(guān)注：
（1）不同層次的學(xué)生對本節(jié)知識的認(rèn)同程序；
（2）學(xué)生要從我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智中得到啟示，?樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心．
板書設(shè)計
18．1 勾股定理
（二）1．用拼圖法驗證勾股定理
（1）
由上圖得（a+b）= 即a+b=c； 222
212
ab34+c 2（2）
由上圖可得c= 即a+b=c
2．介紹“趙爽弦圖”
活動與探究
如右圖，木長二丈，它的一周是3尺，生長在木下的葛藤纏木七周，?上端恰好與木劉，問葛藤長多少？
過程：從表面上看，這道題與勾股定理無關(guān)系．但是如果你用一張直角三角形的紙片約一支圓柱形鉛筆上纏繞，就會發(fā)現(xiàn)；這里的葛藤之長相當(dāng)于直角三角形的斜邊．
結(jié)果：根據(jù)題意，可得一條直角邊（即高）長2丈即20尺，?另一條直角邊（即底邊）長733=21（尺），因此葛藤長設(shè)為x尺，則有x=20+21=841=29，所以x=29?尺，即葛藤長為29尺．
備課資料
一、《原本》一書中勾股定理的證明
我們知道，勾股定理的證明方法有五百余種．現(xiàn)存的最古老的證明，載于歐幾里得的《原本》一書中，它隨《原本》在世界廣泛流傳而流傳，成為二千年來《幾何學(xué)》教科書中通用證法．
如圖，在Rt△ABC各邊上向外作正方形ABED，BCGK，CAFH．連結(jié)CD，F(xiàn)B．
因為AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD=90°+∠CAB，所以△FAB≌△CAD，作CL∥AD．?因為S△FAB=
2222212ab34+（b-a）21FA2FH．（FH為△FAB的AF邊上的高）． 2而S正方形CAFH=FA2FH．所以S正方形CAFH=2S△FAB．
又因為S△CAD =1AD2DL（DL為AD邊上的高），而S長方形ADLM=AD2DL，2所以S長方形ADLM=2S△CAD；
綜上所述，可得S正方形CAFH=S長方形ADLM．
同理可證S正方形BCGK=S長方形BELM，所以S正方形ABED=S長方形ADLM+S長方形BELM=S正方形CAFH+S正方形BCGK，即AB=AC+BC．
其實，歐幾里得《原本》中的證明并不簡單，簡明的證明要數(shù)公元三世紀(jì)我國數(shù)學(xué)家趙爽給出的勾股圓方圖．即這節(jié)課我們介紹的驗證勾股定理的第二種拼圖．
二、勾股定理的推廣
如果把勾股定理“直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和”中的平方，理解為正方形的面積，那么從面積的角度來說，勾股定理還可以推廣．比如，把由直角三角形三邊所構(gòu)作的三個正方形，推廣為以三邊為直徑的半圓，結(jié)論仍然成立，即以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作的半圓的面積之和（如圖）．證明如下：
?2?2?2
c=a+b 444c2a2b2 即?（）＝?（）＋?（）．
222 因為c=a+b．等式兩邊同乘，得222 所以111cab?（）2＝?（）2＋?（）2． 222222 如果將上圖中斜邊上的半圓沿斜邊翻一個身，成為右圖的樣子，不難證明“兩個陰影部分的面積之和正好等于直角三角形的面積．”
這兩個陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙形”．
第五篇：人教版八年級數(shù)學(xué) 勾股定理說課稿
《勾股定理》的說課稿
尊敬的各位評委、各位教師：
你們好！今天我說課的課題是《勾股定理》。本課選自九年義務(wù)教育人教版八年級下冊初中數(shù)學(xué)第十八章第一節(jié)的第一課時。
下面我從教學(xué)背景分析與處理、教學(xué)策略、教學(xué)流程等方面對本課的設(shè)計進(jìn)行說明。
一、教學(xué)背景分析
1、教材分析
本節(jié)課是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，通過2002年國際數(shù)學(xué)家大會的會徽圖案，引入勾股定理，進(jìn)而探索直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，并應(yīng)用它解決問題。學(xué)好本節(jié)不僅為下節(jié)勾股定理的逆定理打下良好基礎(chǔ)，而且為今后學(xué)習(xí)解直角三角形奠定基礎(chǔ),在實際生活中用途很大。勾股定理是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，是幾何中一個非常重要的定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將數(shù)與形密切地聯(lián)系起來，它有著豐富的歷史背景，在理論上占有重要的地位。
2、學(xué)情分析
通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已具備一些平面幾何的知識，能夠進(jìn)行一般的推理和論證，但如何通過拼圖來證明勾股定理，學(xué)生對這種解決問題的途徑還比較陌生，存在一定的難度，因此，我采用直觀教具、多媒體等手段，讓學(xué)生動手、動口、動腦，化難為易，深入淺出，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)知識的樂趣。
3、教學(xué)目標(biāo)：
根據(jù)八年級學(xué)生的認(rèn)知水平，依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)大綱的要求，我制定了如下的教學(xué)目標(biāo)：
知識與能力：了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理；培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識和能力．
過程與方法：通過創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課，引導(dǎo)學(xué)生探索勾股定理，并應(yīng)用它解決問題，運用了觀察、演示、實驗、操作等方法學(xué)習(xí)新知。
情感態(tài)度價值觀：感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，體驗合作學(xué)習(xí)成功的喜悅，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。
4、教學(xué)重點、難點
通過分析可見，勾股定理是平面幾何的重要定理，有著承上啟下 的作用，在今后的生活實踐中有著廣泛應(yīng)用。因此我確定本課的教學(xué) 重點為探索和證明勾股定理．
由于定理證明的關(guān)鍵是通過拼圖，使學(xué)生利用面積相等對勾股定 理進(jìn)行證明，而如何拼圖，對學(xué)生來說有一定難度，為此我確定本課 的教學(xué)難點為用拼圖的方法來證明勾股定理．
二、教材處理
根據(jù)學(xué)生情況，為有效培養(yǎng)學(xué)生能力，在教學(xué)過程中，以創(chuàng)設(shè)問題情境為先導(dǎo)，我運用了直觀教具、多媒體等手段，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，并開展以探究活動為主的教學(xué)模式，邊設(shè)疑，邊講解，邊操作，邊討論，啟發(fā)學(xué)生提出問題，分析問題，進(jìn)而解決問題，以達(dá)到突出重點，攻破難點的目的。
三、教學(xué)策略
1、教法
“教必有法，而教無定法”，只有方法恰當(dāng)，才會有效。根據(jù)本課內(nèi)容特點和八年級學(xué)生思維活動特點，我采用了引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，合作探究教學(xué)法，逐步滲透教學(xué)法和師生共研相結(jié)合的方法。
2、學(xué)法
“授人以魚，不如授人以漁”，通過設(shè)計問題序列，引導(dǎo)學(xué)生主動探究新知，合作交流，體現(xiàn)學(xué)習(xí)的自主性，從不同層次發(fā)掘不同學(xué)生的不同能力，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維能力的目的，發(fā)掘?qū)W生的創(chuàng)新精神。
3、教學(xué)手段
充分利用多媒體，提高教學(xué)效率，增大教學(xué)容量；通過動態(tài)的演示，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，啟迪學(xué)生思維的發(fā)展；通過直觀教具，進(jìn)行拼圖實驗，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。
4、教學(xué)模式
根據(jù)新課標(biāo)要求，要積極倡導(dǎo)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式，我采用了創(chuàng)設(shè)情境——探究新知——反饋訓(xùn)練的教學(xué)模式，使學(xué)生獲取知識，提高素質(zhì)能力。
四、教學(xué)流程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課
我利用多媒體課件，給學(xué)生出示2002年國際數(shù)學(xué)家大會的場面，通過觀察會徽圖案，提出問題：你見過這個圖案嗎？你聽說過勾股定理嗎？從現(xiàn)實生活中提出趙爽弦圖，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和求知欲，同時為探索勾股定理提供背景材料，進(jìn)而引出課題。
（二）引導(dǎo)學(xué)生，探究新知
1、初步感知定理：
活動1 這一環(huán)節(jié)我選擇了教材的圖片，講述畢達(dá)哥拉斯到朋友家做客時發(fā)現(xiàn)用磚鋪成的地面，其中含有直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，創(chuàng)設(shè)感知情境，提出問題：現(xiàn)在也請你觀察，看看有什么發(fā)現(xiàn)？
教師配合演示，使問題更形象、具體。我又適當(dāng)提供兩個等腰直角三角形，它們的直角邊長分別為10cm和20cm，然后我再請兩位同學(xué)分別量出這兩個等腰直角三角形的斜邊的長，請同學(xué)們分析這兩個等腰直角三角形三邊長之間有怎樣的等量關(guān)系，從而使學(xué)生再次感知發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。
2、提出猜想：在活動1的基礎(chǔ)上，學(xué)生已發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，進(jìn)一步通過活動2進(jìn)行看一看，填一填，想一想，議一議，做一做，讓學(xué)生感受不只是等腰直角三角形才具有這樣的性質(zhì)，使學(xué)生由淺到深，由特殊到一般的提出問題,啟發(fā)學(xué)生得出猜想，直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這一環(huán)節(jié)我利用多媒體課件，給學(xué)生演示,生動、直觀，不僅要使學(xué)生“知其然”，而且還要使學(xué)生“知其所以然”，從而啟迪了學(xué)生的思維。
3、證明猜想：是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要我們對一個一般的直角三角形進(jìn)行證明．通過活動3，我充分引導(dǎo)學(xué)生利用直觀教具，進(jìn)行拼圖實驗，在動手操作中放手讓學(xué)生思考、討論、合作、交流，探究解決問題的多種方法，鼓勵創(chuàng)新，小組競賽，引入競爭，我參與討論，與學(xué)生交流，獲取信息，從而有針對性地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證法的探究，使學(xué)生創(chuàng)造性地得出拼圖的多種方法，我配以演示，如拼圖
1、拼圖
2、拼圖3，并對學(xué)生的做法給予表揚，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，感受到自我創(chuàng)造的快樂，從而分散了教學(xué)難點，發(fā)現(xiàn)了利用面積相等去證明勾股定理的方法。培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維、一題多解和探究數(shù)學(xué)問題的能力。
4、總結(jié)定理：讓學(xué)生自己總結(jié)定理，不完善之處由教師補充。在前面探究活動的基礎(chǔ)上，學(xué)生很容易得出直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系即勾股定理，培養(yǎng)了學(xué)生的語言表達(dá)能力和歸納概括能力。
5、勾股定理簡介：
借助多媒體課件，通過介紹古代在勾股定理研究方面取得的成 就，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，體會古人偉大的智慧。
（三）反饋訓(xùn)練，鞏固新知
學(xué)生對所學(xué)的知識是否掌握了，達(dá)到了什么程度？為了檢測學(xué)生對本課目標(biāo)的達(dá)成情況和加強對學(xué)生能力的培養(yǎng)，我設(shè)計了一組有坡度的練習(xí)題：
A組動腦筋，想一想，是本節(jié)基礎(chǔ)知識的理解和直接應(yīng)用；B組求陰影部分的面積，建立了新舊知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力。C組議一議，是一道實際應(yīng)用題型，給學(xué)生施展才智的機會，讓學(xué)生獨立思考后，討論交流得出解決問題的方法，增強了數(shù)學(xué)來源于實踐，反過來又作用于實踐的應(yīng)用意識，達(dá)到了學(xué)以致用的目的。
（四）歸納小結(jié)，深化新知
本節(jié)課你有哪些收獲？你最感興趣的地方是什么？你想進(jìn)一步研究的的問題是什么？??
通過小結(jié)，使學(xué)生進(jìn)一步明確掌握教學(xué)目標(biāo)，使知識成為體系。
（五）布置作業(yè)，拓展新知
讓學(xué)生收集有關(guān)勾股定理的證明方法，下節(jié)課展示、交流．使本節(jié)知識得到拓展、延伸，培養(yǎng)了學(xué)生能力和思維的深刻性，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)深厚的文化底蘊。
（六）板書設(shè)計，明確新知
這是我本節(jié)課的板書設(shè)計，它分為三塊：一塊是拼圖方法，一塊是勾股定理；一塊是例題解析。它突出了重點，層次清楚，便于學(xué)生掌握，為獲得知識服務(wù)。
五、教學(xué)效果預(yù)測
本課設(shè)計力求讓學(xué)生參與知識的發(fā)現(xiàn)過程，體現(xiàn)以學(xué)生為主體，以促進(jìn)學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)理念，變知識的傳授者為學(xué)生自主探求知識的引導(dǎo)者、指導(dǎo)者、合作者。并利用多媒體，直觀教具演示，營造一個聲像同步，能動能靜的教學(xué)情景，給學(xué)生提供一個探索的空間，促使學(xué)生主動參與，親身體驗勾股定理的探索和驗證過程，從而鍛煉思維、激發(fā)創(chuàng)造，優(yōu)化課堂教學(xué)。努力做到由傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂向?qū)嶒炚n堂轉(zhuǎn)變，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，培養(yǎng)了學(xué)生的素質(zhì)能力，達(dá)到了良好的教學(xué)效果。
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