第一篇：八年級數(shù)學(xué)勾股定理全章測試

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第十八章

勾股定理全章測試

一、填空題

1．若一個三角形的三邊長分別為6，8，10，則這個三角形中最短邊上的高為______． 2．若等邊三角形的邊長為2，則它的面積為______．

3．如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四個小正方形的面積的和是10cm2，則其中最大的正方形的邊長為______cm．

3題圖

4．如圖，B，C是河岸邊兩點，A是對岸岸邊一點，測得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，則點A到岸邊BC的距離是______米．

4題圖

5．已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，點O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點D，E，F(xiàn)分別是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，則點O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于______cm．

5題圖

6．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB＝6，BC＝8，將直角邊AB折疊使它落在斜邊AC上，折痕為AD，則BD＝______．

6題圖

7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB邊上的高CD＝5，則BC＝______．

8．如圖，AB＝5，AC＝3，BC邊上的中線AD＝2，則△ABC的面積為______．

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8題圖

二、選擇題

9．下列三角形中，是直角三角形的是（）(A)三角形的三邊滿足關(guān)系a＋b＝c(C)三角形的一邊等于另一邊的一半

(B)三角形的三邊比為1∶2∶3(D)三角形的三邊為9，40，41 10．某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（）．

10題圖

(A)450a元(C)150a元

(B)225a元(D)300a元

11．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于點E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE＝（）．

(A)2(C)22

(B)3(D)23

12．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于點D，AB＝13，CD＝6，則AC＋BC等于（）．

(A)5(C)1313

三、解答題

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(B)513(D)95 夢幻網(wǎng)絡(luò)(http://004km.cn)數(shù)百萬免費課件下載，試題下載，教案下載，論文范文，計劃總結(jié)

13．已知：如圖，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的長．

14．如圖，已知一塊四邊形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求這塊草地的面積．

15．△ABC中，AB＝AC＝4，點P在BC邊上運動，猜想AP＋PB·PC的值是否隨點P位置的變化而變化，并證明你的猜想．

16．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，求BC．

17．如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過四個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要多長?如果從點A開始經(jīng)過四個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要多長?

218．如圖所示，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種紙片的兩條直角邊長都請登錄 夢幻網(wǎng)絡(luò)(http://004km.cn)免費下載此內(nèi)容 夢幻網(wǎng)絡(luò)(http://004km.cn)數(shù)百萬免費課件下載，試題下載，教案下載，論文范文，計劃總結(jié)

為3，另一種紙片的兩條直角邊長分別為1和3．圖

1、圖

2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1．

圖1

圖2

圖3(1)請用三種方法(拼出的兩個圖形只要不全等就認(rèn)為是不同的拼法)將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形(非矩形)，每種方法要把圖中所給的四塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，并把你所拼得的圖形按實際大小畫在圖

1、圖

2、圖3的方格紙上(要求：所畫圖形各頂點必須與方格紙中的小正方形頂點重合；畫圖時，要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡)；

(2)三種方法所拼得的平行四邊形的面積是否是定值?若是定值，請直接寫出這個定值；若不是定值，請直接寫出三種方法所拼得的平行四邊形的面積各是多少；

(3)三種方法所拼得的平行四邊形的周長是否是定值?若是定值，請直接寫出這個定值；若不是定值，請直接寫出三種方法所拼得的平行四邊形的周長各是多少．

19．有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6m，8m．現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長．

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參考答案

第十八章

勾股定理全章測試

1．8．

2．3.3．10.4．30．

5．2．

6．3．提示：設(shè)點B落在AC上的E點處，設(shè)BD＝x，則DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，CE＝4，CD＝8－x，在Rt△CDE中根據(jù)勾股定理列方程． 7．26或526.8．6．提示：延長AD到E，使DE＝AD，連結(jié)BE，可得△ABE為Rt△． 9．D．

10．C

11．C．

12．B 13．2721.提示：作CE⊥AB于E可得CE?3,BE?5,由勾股定理得BC?27,由三角形面積公式計算AD長．

14．150m2．提示：延長BC，AD交于E． 15．提示：過A作AH⊥BC于H

AP＋PB·PC＝AH＋PH＋(BH－PH)(CH＋PH)＝AH2＋PH2＋BH2－PH2 ＝AH2＋BH2＝AB2＝16． 16．14或4．

17．10；

29?16n.18．(1)略；

(2)定值，12；(3)不是定值，8?62,8?210,62?210.19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6 由勾股定理得：AB＝10，擴充部分為Rt△ACD，擴充成等腰△ABD，應(yīng)分以下三種情況．

①如圖1，當(dāng)AB＝AD＝10時，可求CD＝CB＝6得△ABD的周長為32m． 2222

圖1 ②如圖2，當(dāng)AB＝BD＝10時，可求CD＝4

圖2 由勾股定理得：AD?45，得△ABD的周長為(20?45)m.．

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③如圖3，當(dāng)AB為底時，設(shè)AD＝BD＝x，則CD＝x－6，圖3 由勾股定理得：x?

253803，得△ABD的周長為m.請登錄 夢幻網(wǎng)絡(luò)(http://004km.cn)免費下載此內(nèi)容

第二篇：七年級數(shù)學(xué)勾股定理全章復(fù)習(xí)

勾股定理全章復(fù)習(xí)

一、復(fù)習(xí)要求：

1．體驗勾股定理的探索過程；已知直角三角形的兩邊長，會求第三邊長。

2．會用勾股定理知識解決簡單問題；會用勾股定理逆定理判定直角三角形。

3．會用勾股定理解決有關(guān)的實際問題。

二、知識網(wǎng)絡(luò)：

三、知識梳理：

1、勾股定理

(1)重視勾股定理的三種敘述形式：

①在直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個正方形(《幾何原本》)．

②直角三角形直角邊上的兩個正方形的面積之和等于斜邊上的正方形的面積．

③直角三角形斜邊長度的平方，等于兩個直角邊長度平方之和．

從這三種提法的意義來看，勾股定理有“形的勾股定理”和“數(shù)的勾股定理”之分。

(2)定理的作用：

①已知直角三角形的兩邊，求第三邊。

②證明三角形中的某些線段的平方關(guān)系。

③作長為的線段。

勾股定理揭示的是平面幾何圖形本身所蘊含的代數(shù)關(guān)系。利用勾股定理探究長度為，??的無理數(shù)線段的幾何作圖方法，并在數(shù)軸上將這些點表示出來，進(jìn)一步反映了數(shù)與形的互相表示、相互交融，加深對無理數(shù)概念的直觀認(rèn)識。

(3)勾股定理的證明：

經(jīng)典證法有：①歐幾里得證法②趙爽《勾股圓方圖注》證法③劉徽《青朱出入圖》證法④美國總統(tǒng)加菲的證明⑤印度婆什迦羅的證明⑥面積法證明；除此之外，還有文字證明、拼圖證明和動態(tài)證明。(4)勾股定理的應(yīng)用：

勾股定理只適用于直角三角形，首先分清直角及其所對的斜邊。當(dāng)已知中沒有直角時，可作輔助線，構(gòu)造直角三角形后，再運用勾股定理解決問題。求線段的長度，常常綜合運用勾股定理和直角三角形的其它性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)來解決。

2、勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理的證明方法，也是學(xué)生不熟悉的，引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)過的全等三角形的知識，通過

構(gòu)造一個三角形與直角三角形全等，達(dá)到證明的目的。

(2)逆定理的作用：判定一個三角形是否為直角三角形。

(3)勾股定理的逆定理是把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，是利用代數(shù)計算來證明幾何問題。要注意敘述及書寫格式。

運用勾股定理的逆定理的步驟：

①首先確定最大的邊(如c)

②驗證：

若

當(dāng)

當(dāng)

與

是否具有相等關(guān)系：，則△ABC是以∠C為90°的直角三角形。時，△ABC是銳角三角形； 時，△ABC是鈍角三角形。

(4)通過總結(jié)歸納，記住一些常用的勾股數(shù)。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，4l；??以及這些數(shù)組的倍數(shù)組成的數(shù)組。勾股數(shù)組的一般規(guī)律：

丟番圖發(fā)現(xiàn)的：式子

畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的：

柏拉圖發(fā)現(xiàn)的：，，(，的整數(shù))

(的正整數(shù))(的整數(shù))

3、注意總結(jié)直角三角形的性質(zhì)與判定。

(1)直角三角形的性質(zhì)：

角的關(guān)系：直角三角形兩銳角互余。

邊的關(guān)系：直角三角形斜邊大于直角邊。

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。

邊角關(guān)系：直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半。

雙垂圖中的線段關(guān)系。

(2)直角三角形的判定：

①有一個角是直角的三角形是直角三角形。

②有兩個角互余的三角形是直角三角形。

③兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形是直角三角形。(最長的邊的平方等于另外兩邊的平方和的三角形是直角三角形)

4、已知直角三角形的兩邊長，會求第三邊長。

設(shè)直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊長為c，由勾股定理知道：得：，。變形，因此已知直角三角形的任意兩邊，利用勾股定理可求出第三條邊。

5、當(dāng)直角三角形中含有30°與45°角時，已知一邊，會求其它的邊。

(1)含有30°的直角三角形的三邊的比為：1：1：2：3，則三邊

的比為1：：2)。

：2。(一個三角形的三個內(nèi)角的比為

(2)含有45°的直角三角形的三邊的比為：1：1：

(3)等邊三角形的邊長為，則高為，面積為。

6、典型方法的總結(jié)：

(1)斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形

(2)圖形的割、補、拼接

(3)面積法與代數(shù)方法證明幾何問題

四、例題分析

1．如圖，把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠，D=30°，斜邊AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到△如圖乙．這時AB與

(1)求

(2)求線段

(3)若把三角板

相交于點O，與AB相交于點F． 的度數(shù)： 的長．

繞著點C順時針再旋轉(zhuǎn)30°得，這時點B在的內(nèi)部、外部、還是邊上?證明你的判斷．

解：(1)∵ ∠2=15°，∠

=90°，∴ ∠1=75°．又∵ ∠B=45°，∴

(2)連結(jié)

∵

又∵

∴

又∵

∴。，． ,，.，∵

又∵

在(3)點B在，∴，∴ 中，內(nèi)部。

于點。。

理由如下：設(shè)BC(或延長線)交

∵，在中，又∵，即，∴ 點B在內(nèi)部。

2．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連結(jié)CQ．

(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

(2)若PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由．

解：(1)猜想：AP=CQ

證明：在△ABP與△CBQ中，∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°

∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ

∴ △ABP≌△CBQ ∴ AP=CQ

(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可設(shè)PA=3a，PB=4a，PC=5a

連結(jié)PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°

∴ △PBQ為正三角形 ∴ PQ=4a

于是在△PQC中，∵

∴ △PQC是直角三角形

3．如圖(1)所示為一上面無蓋的正方體紙盒，現(xiàn)將其剪開展成平面圖，如圖(2)所示．已知展開圖中每個正方形的邊長為1．

(1)求在該展開圖中可畫出最長線段的長度?這樣的線段可畫幾條?

(2)試比較立體圖中∠BAC與平面展開圖中的大小關(guān)系?

解：(1)在平面展開圖中可畫出最長的線段長為

如圖(1)中的∵

∴，在中，由勾股定理得：

。．

答：這樣的線段可畫4條(另三條用虛線標(biāo)出)．

(2)∵ 立體圖中∠BAC為平面等腰直角三角形的一銳角，∴ ∠BAC=45°．

在平面展開圖中，連接線段

又∵

由勾股定理的逆定理可得

又∵

∴ △，為等腰直角三角形． ∴

．，為直角三角形．，由勾股定理可得：。

所以∠BAC與相等．

第三篇：八年級數(shù)學(xué)專題-勾股定理

第十七章　勾股定理

17．1　勾股定理

第1課時　勾股定理(1)

了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，理解并掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理，能應(yīng)用勾股定理進(jìn)行簡單的計算．

重點

勾股定理的內(nèi)容和證明及簡單應(yīng)用．

難點

勾股定理的證明．

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

讓學(xué)生畫一個直角邊分別為3

cm和4

cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長．

再畫一個兩直角邊分別為5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長．

你是否發(fā)現(xiàn)了32＋42與52的關(guān)系，52＋122與132的關(guān)系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？

由一學(xué)生朗讀“畢達(dá)哥拉斯觀察地面圖案發(fā)現(xiàn)勾股定理”的傳說，引導(dǎo)學(xué)生觀察身邊的地面圖形，猜想畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了什么？

拼圖實驗，探求新知

1．多媒體課件演示教材第22～23頁圖17.1－2和圖17.1－3，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考．

2．組織學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)．

問題：每組的三個正方形之間有什么關(guān)系？試說一說你的想法．

引導(dǎo)學(xué)生用拼圖法初步體驗結(jié)論．

生：這兩組圖形中，每組的大正方形的面積都等于兩個小正方形的面積和．

師：這只是猜想，一個數(shù)學(xué)命題的成立，還要經(jīng)過我們的證明．

歸納驗證，得出定理

(1)猜想：命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.(2)是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要對一個一般的直角三角形進(jìn)行證明．到目前為止，對這個命題的證明已有幾百種之多，下面我們就看一看我國數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個定理的．

①用多媒體課件演示．

②小組合作探究：

a．以直角三角形ABC的兩條直角邊a，b為邊作兩個正方形，你能通過剪、拼把它拼成弦圖的樣子嗎？

b．它們的面積分別怎樣表示？它們有什么關(guān)系？

c．利用學(xué)生自己準(zhǔn)備的紙張拼一拼，擺一擺，體驗古人趙爽的證法．想一想還有什么方法？

師：通過拼擺，我們證實了命題1的正確性，命題1與直角三角形的邊有關(guān)，我國把它稱為勾股定理．

即在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．

二、例題講解

【例1】填空題．

(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，則c＝________；

(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，則c＝________；

(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，則a＝________，b＝________；

(4)一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為________；

(5)已知等邊三角形的邊長為2

cm，則它的高為________cm，面積為________cm2.【答案】(1)17(2)(3)6　8(4)6，8，10(5)

【例2】已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊．

分析：已知兩邊中，較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進(jìn)行計算．讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想．

【答案】或13

三、鞏固練習(xí)

填空題．

在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)如果a＝7，c＝25，則b＝________；

(2)如果∠A＝30°，a＝4，則b＝________；

(3)如果∠A＝45°，a＝3，則c＝________；

(4)如果c＝10，a－b＝2，則b＝________；

(5)如果a，b，c是連續(xù)整數(shù)，則a＋b＋c＝________；

(6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，則c＝________．

【答案】(1)24(2)4(3)3(4)6(5)12

(6)10

四、課堂小結(jié)

1．本節(jié)課學(xué)到了什么數(shù)學(xué)知識？

2．你了解了勾股定理的發(fā)現(xiàn)和驗證方法了嗎？

3．你還有什么困惑？

本節(jié)課的設(shè)計關(guān)注學(xué)生是否積極參與探索勾股定理的活動，關(guān)注學(xué)生能否在活動中積極思考、能夠探索出解決問題的方法，能否進(jìn)行積極的聯(lián)想(數(shù)形結(jié)合)以及學(xué)生能否有條理地表達(dá)活動過程和所獲得的結(jié)論等．關(guān)注學(xué)生的拼圖過程，鼓勵學(xué)生結(jié)合自己所拼得的正方形驗證勾股定理．　　　　　　　　　　　　　　　　　　第2課時　勾股定理(2)

能將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題．

重點

將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型．

難點

如何用解直角三角形的知識和勾股定理來解決實際問題．

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問題1：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需要多長的梯子？

師生行為：

學(xué)生分小組討論，建立直角三角形的數(shù)學(xué)模型．

教師深入到小組活動中，傾聽學(xué)生的想法．

生：根據(jù)題意，(如圖)AC是建筑物，則AC＝12

m，BC＝5

m，AB是梯子的長度，所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132，則AB＝13

m.所以至少需13

m長的梯子．

師：很好！

由勾股定理可知，已知兩直角邊的長分別為a，b，就可以求出斜邊c的長．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長，也就是說，在直角三角形中，已知兩邊就可求出第三邊的長．

問題2：一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3

m、寬2.2

m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？

學(xué)生分組討論、交流，教師深入到學(xué)生的數(shù)學(xué)活動中，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決問題的途徑．

生1：從題意可以看出，木板橫著進(jìn)，豎著進(jìn)，都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過．

生2：在長方形ABCD中，對角線AC是斜著能通過的最大長度，求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板是否能通過．

師生共析：

解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.因此AC＝≈2.236.因為AC>木板的寬，所以木板可以從門框內(nèi)通過．

二、例題講解

【例1】如圖，山坡上兩棵樹之間的坡面距離是4米，則這兩棵樹之間的垂直距離是________米，水平距離是________米．

分析：由∠CAB＝30°易知垂直距離為2米，水平距離是6米．

【答案】2　6

【例2】教材第25頁例2

三、鞏固練習(xí)

1．如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B，C兩點，在江對岸取一點A，使AC垂直江岸，測得BC＝50米，∠B＝60°，則江面的寬度為________．

【答案】50米

2．某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達(dá)地點B

200米，結(jié)果他在水中實際游了520米，求該河流的寬度．

【答案】約480

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四、課堂小結(jié)

1．談?wù)勛约涸谶@節(jié)課的收獲有哪些？會用勾股定理解決簡單的應(yīng)用題；會構(gòu)造直角三角形．

2．本節(jié)是從實驗問題出發(fā)，轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，并用勾股定理完成解答．

這是一節(jié)實際應(yīng)用課，過程中要充分發(fā)揮學(xué)生的主導(dǎo)性，鼓勵學(xué)生動手、動腦，經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型的過程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉了學(xué)生獨立思考的能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　第3課時　勾股定理(3)

1．利用勾股定理證明：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．

2．利用勾股定理，能在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點．

3．進(jìn)一步學(xué)習(xí)將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題．

重點

在數(shù)軸上尋找表示，，…這樣的表示無理數(shù)的點．

難點

利用勾股定理尋找直角三角形中長度為無理數(shù)的線段．

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容．

本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用．

師：在八年級上冊，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．你們能用勾股定理證明這一結(jié)論嗎？

學(xué)生思考并獨立完成，教師巡視指導(dǎo)，并總結(jié)．

先畫出圖形，再寫出已知、求證如下：

已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根據(jù)勾股定理，得BC＝，B′C′＝.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．

師：我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上表示出所對應(yīng)的點嗎？

教師可指導(dǎo)學(xué)生尋找像長度為，，…這樣的包含在直角三角形中的線段．

師：由于要在數(shù)軸上表示點到原點的距離為，，…，所以只需畫出長為，，…的線段即可，我們不妨先來畫出長為，，…的線段．

生：長為的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，而長為的線段是直角邊為1和2的直角三角形的斜邊．

師：長為的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？

生：設(shè)c＝，兩直角邊長分別為a，b，根據(jù)勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b為正整數(shù)，則13必須分解為兩個平方數(shù)的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，則a＝2，b＝3，所以長為的線段是直角邊長分別為2，3的直角三角形的斜邊．

師：下面就請同學(xué)們在數(shù)軸上畫出表示的點．

生：步驟如下：

1．在數(shù)軸上找到點A，使OA＝3.2．作直線l垂直于OA，在l上取一點B，使AB＝2.3．以原點O為圓心、以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點C，則點C即為表示的點．

二、例題講解

【例1】飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米？

分析：根據(jù)題意，可以畫出如圖所示的圖形，A點表示男孩頭頂?shù)奈恢?，C，B點是兩個時刻飛機的位置，∠C是直角，可以用勾股定理來解決這個問題．

解：根據(jù)題意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米．

飛機飛行1400米用了10秒，那么它1小時飛行的距離為1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飛機飛行的速度為504千米/時．

【例2】在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風(fēng)吹來，水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？

解：根據(jù)題意，得到上圖，其中D是無風(fēng)時水草的最高點，BC為湖面，AB是一陣風(fēng)吹過水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以這里的水深為4.5分米．

【例3】在數(shù)軸上作出表示的點．

解：以為長的邊可看作兩直角邊分別為4和1的直角三角形的斜邊，因此，在數(shù)軸上畫出表示的點，如下圖：

師生行為：

由學(xué)生獨立思考完成，教師巡視指導(dǎo)．

此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注以下兩個方面：

①學(xué)生能否積極主動地思考問題；

②能否找到斜邊為，另外兩條直角邊為整數(shù)的直角三角形．

三、課堂小結(jié)

1．進(jìn)一步鞏固、掌握并熟練運用勾股定理解決直角三角形問題．

2．你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識？會利用勾股定理得到一些無理數(shù)，并理解數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)．

本節(jié)課的教學(xué)中，在培養(yǎng)邏輯推理的能力方面，做了認(rèn)真的考慮和精心的設(shè)計，把推理證明作為學(xué)生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，注重數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和接受水平出發(fā)，這些理念貫徹到課堂教學(xué)當(dāng)中，很好地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生善于提出問題、敢于提出問題、解決問題的能力．

17.2　勾股定理的逆定理

第1課時　勾股定理的逆定理(1)

1．掌握直角三角形的判別條件．

2．熟記一些勾股數(shù)．

3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．

重點

探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命題、原命題、逆命題的有關(guān)概念及關(guān)系．

難點

歸納猜想出命題2的結(jié)論．

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

活動探究

(1)總結(jié)直角三角形有哪些性質(zhì)；

(2)一個三角形滿足什么條件時才能是直角三角形？

生：直角三角形有如下性質(zhì)：(1)有一個角是直角；(2)兩個銳角互余；(3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半．

師：那么一個三角形滿足什么條件時，才能是直角三角形呢？

生1：如果三角形有一個內(nèi)角是90°，那么這個三角形就為直角三角形．

生2：如果一個三角形，有兩個角的和是90°，那么這個三角形也是直角三角形．

師：前面我們剛學(xué)習(xí)了勾股定理，知道一個直角三角形的兩直角邊a，b與斜邊c具有一定的數(shù)量關(guān)系即a2＋b2＝c2，我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來判定它是否為直角三角形呢？我們來看一下古埃及人是如何做的？

問題：據(jù)說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后以3個結(jié)、4個結(jié)、5個結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角．

這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊長分別為3，4，5，有下面的關(guān)系：32＋42＝52，那么圍成的三角形是直角三角形．

畫畫看，如果三角形的三邊長分別為2.5

cm，6

cm，6.5

cm，有下面的關(guān)系：2.52＋62＝6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4

cm，7.5

cm，8.5

cm，再試一試．

生1：我們不難發(fā)現(xiàn)上圖中，第1個結(jié)到第4個結(jié)是3個單位長度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因為32＋42＝52，所以我們圍成的三角形是直角三角形．

生2：如果三角形的三邊長分別是2.5

cm，6

cm，6.5

cm.我們用尺規(guī)作圖的方法作此三角形，經(jīng)過測量后，發(fā)現(xiàn)6.5

cm的邊所對的角是直角，并且2.52＋62＝6.52.再換成三邊長分別為4

cm，7.5

cm，8.5

cm的三角形，可以發(fā)現(xiàn)8.5

cm的邊所對的角是直角，且有42＋7.52＝8.52.師：很好！我們通過實際操作，猜想結(jié)論．

命題2　如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．

再看下面的命題：

命題1　如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.它們的題設(shè)和結(jié)論各有何關(guān)系？

師：我們可以看到命題2與命題1的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題．如果把其中的一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題．例如把命題1當(dāng)成原命題，那么命題2是命題1的逆命題．

二、例題講解

【例1】說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

(1)同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行；

(2)如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)相等；

(3)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；

(4)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．

分析：(1)每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)和結(jié)論，并注意語言的運用；

(2)理順?biāo)鼈冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假．

解略．

三、鞏固練習(xí)

教材第33頁練習(xí)第2題．

四、課堂小結(jié)

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識？

學(xué)生發(fā)言，教師點評．

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，將教學(xué)內(nèi)容精簡化，實行分層教學(xué)．根據(jù)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生更好地體會分割的思想．設(shè)計的題型前后呼應(yīng)，使知識有序推進(jìn)，有助于學(xué)生理解和掌握；讓學(xué)生通過合作、交流、反思、感悟的過程，激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣，感受探索、合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗，真正體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人．將目標(biāo)分層后，滿足不同層次學(xué)生的做題要求，達(dá)到鞏固課堂知識的目的．

第2課時　勾股定理的逆定理(2)

1．理解并掌握證明勾股定理的逆定理的方法．

2．理解逆定理、互逆定理的概念．

重點

勾股定理的逆定理的證明及互逆定理的概念．

難點

理解互逆定理的概念．

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

師：我們學(xué)過的勾股定理的內(nèi)容是什么？

生：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.師：根據(jù)上節(jié)課學(xué)過的內(nèi)容，我們得到了勾股定理逆命題的內(nèi)容：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．

師：命題2是命題1的逆命題，命題1我們已證明過它的正確性，命題2正確嗎？如何證明呢？

師生行為：

讓學(xué)生試著尋找解題思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路．

師：△ABC的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它應(yīng)與直角邊是a，b的直角三角形全等，實際情況是這樣嗎？

我們畫一個直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如圖)，把畫好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它們重合嗎？

生：我們所畫的Rt△A′B′C′，(A′B′)2＝a2＋b2，又因為c2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c.△ABC和△A′B′C′三邊對應(yīng)相等，所以兩個三角形全等，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC為直角三角形．

即命題2是正確的．

師：很好！我們證明了命題2是正確的，那么命題2就成為一個定理．由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題1的逆命題，在此，我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互逆定理．

師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立呢？

生：不一定，如命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么它們是對頂角”不成立．

師：你還能舉出類似的例子嗎？

生：例如原命題：如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值也相等．

逆命題：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等．

顯然原命題成立，而逆命題不一定成立．

二、新課教授

【例1】教材第32頁例1

【例2】教材第33頁例2

【例3】一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角．工人師傅量出了這個零件各邊的尺寸，那么這個零件符合要求嗎？

分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實際問題的例子．

解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．

在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．

因此這個零件符合要求．

三、鞏固練習(xí)

1．小強在操場上向東走80

m后，又走了60

m，再走100

m回到原地．小強在操場上向東走了80

m后，又走60

m的方向是________．

【答案】向正南或正北

2．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A，B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達(dá)C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，求甲巡邏艇的航向．

【答案】解：由題意可知：AC＝120×6×＝12，BC＝50×6×＝5，122＋52＝132.又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝40°，航向為北偏東50°.四、課堂小結(jié)

1．同學(xué)們對本節(jié)的內(nèi)容有哪些認(rèn)識？

2．勾股定理的逆定理及其應(yīng)用，熟記幾組勾股數(shù)．

本節(jié)課我采用以學(xué)生為主體，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、操作探究的教學(xué)設(shè)計，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知水平，最大限度地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有利于培養(yǎng)學(xué)生動手、觀察、分析、猜想、驗證、推理的能力，切實使學(xué)生在獲取知識的過程中得到能力的培養(yǎng)．

第四篇：八年級數(shù)學(xué)元勾股定理教案

課題：《勾股定理》

張窩中學(xué) 馬宏躍

一、教材分析：

１、人民教育出版社出版，人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編著，九年義務(wù)教育八年級教科書《幾何》，第三章第五單元《勾股定理》 ２、本節(jié)內(nèi)容在全書及章節(jié)的地位：《勾股定理》是初中數(shù)學(xué)知識中非常重要的一個定理，在此之前，學(xué)生已經(jīng)知道直角三角形兩個銳角互余，會解方程，本節(jié)內(nèi)容是直角三角形邊與邊之間的關(guān)系，它會為學(xué)生將來學(xué)習(xí)解直角三角形，四邊形，函數(shù)等知識作好準(zhǔn)備。

二、教學(xué)目標(biāo)

1、了解勾股定理的證明，掌握勾股定理的，初步會用它進(jìn)行有關(guān)的計算。

2、通過對勾股定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生方程的思想和邏輯推理能力

3、對比介紹我國古代數(shù)學(xué)家和西方數(shù)學(xué)家對勾股定理的研究，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義精神。

三、教學(xué)重點難點

重點是勾股定理的應(yīng)用。難點是勾股定理的證明；

四、多媒體計算機

五、新授課

六、教學(xué)方法與學(xué)法

采用直觀的方法，以多媒體手段輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生、啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力。逐步設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生積極參與討論，肯定成績，使其具有成就感，提高他們學(xué)習(xí)約興趣和學(xué)習(xí)的積極性。

八年級的學(xué)生形象思維較好，理性思維欠缺，教師需及時引導(dǎo)，幫助學(xué)生形成結(jié)論。

七、教學(xué)過程

（一）、激發(fā)學(xué)生興趣，引人新課

請同學(xué)以組為單位，利用事先準(zhǔn)備好的三角形（邊長為a,b,c）,拼成邊長為a,b,c的正方形。

（二）定理的探求，證明及命名

1、探求定理，猜想結(jié)論

教師用計算機演示：在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊為a、b、c，通過平移、旋轉(zhuǎn)，變動ΔABC的形狀、大小，以改變a、b、c的長度。在此過程中始終計算a2、b2、c2請同學(xué)們觀察a2、b2、c2之間的數(shù)量關(guān)系，得到猜想。再演示非直角三角形的a2、b2、c2 之間不具備這樣的關(guān)系，得到a2+b2=c2 是直角三角形所特有的性質(zhì)。

請同學(xué)們用語言敘述猜想，并畫圖寫出已知、求證。

2、定理的證明

目前世界上已有幾百種勾股定理的證明方法，而我國古代數(shù)學(xué)家用割補、拼接圖形計算面積的方法也有了很多種證法。

（1）

（2）

３、定理的命名

(1).約 2000年前,代算書《周髀算經(jīng)》中就記載了公元前1120年我國古人發(fā)現(xiàn)的“勾三股四弦五”.當(dāng)時把較短的直角邊叫做勾, 較長的直角邊叫做股,斜邊叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中，如果勾為3,股為 4,那么弦為5.這里

.人們還發(fā)現(xiàn),勾為6,股為8,那么弦一定為10.勾為5,股為12,那么弦一定為13等.同樣，有 ,??即

.所以我國稱它為勾股定理.(2).西方國家稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理

畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,約公元前580—前500年)是古希臘杰出的數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家,哲學(xué)家.他不僅提出了定理,而且努力探求了證明方法.（三）定理的應(yīng)用

例1在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A，∠B，∠C所對邊分別為a，b，c．（1）已知a＝ 6，b＝8，求c；你能求出哪些量？（2）a＝40，c＝41,求 b；（3）b＝15，C＝25求 a；（4）a:b＝3:4,c＝15,求b．

（四）深入探索

在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A，∠B，∠C所對邊分別為a，b，c．已知a＝ 6，b＝8，你能求出哪些量？ “知二求一”（１）面積（２）周長（３）斜邊上的高（４）斜邊被高分成的兩條線段的長?? 例３ 已知△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AC=4cm,求ＡＢ，ＢＣ的長 例４ 如圖，Ａ＝６０，ＡＢ＝６０ＣＭ，ＣＤ＝３０ＣＭ，求ＢＣ，ＡＤ的長

（五）小結(jié)

（六）作業(yè)：習(xí)題3.9 4題 八 教學(xué)評價

本節(jié)課從學(xué)生的實際情況出發(fā), 由淺入深,層層遞進(jìn).教學(xué)設(shè)計的說明：

依據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，數(shù)學(xué)源于生活，從生活中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)思維方式觀察、分析、探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并應(yīng)用其解決生活中的實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力，使學(xué)生學(xué)有所值，且能學(xué)以致用。通過觀察、動手操作、合作研究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并嘗試用學(xué)到的方法解決生活中的實際問題，使內(nèi)容首尾呼應(yīng)，知識完整、培養(yǎng)應(yīng)用意識實踐能力。

第五篇：八年級數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)設(shè)計

八年級數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)設(shè)計

八年級數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)設(shè)計1

一、教學(xué)任務(wù)分析

勾股定理是平面幾何有關(guān)度量的最基本定理，它從邊的角度進(jìn)一步刻畫了直角三角形的特點。學(xué)習(xí)勾股定理極其逆定理是進(jìn)一步認(rèn)識和理解直角三角形的需要，也是后續(xù)有關(guān)幾何度量運算和代數(shù)學(xué)習(xí)的必然基礎(chǔ)?！?0xx版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對勾股定理教學(xué)內(nèi)容的要求是：

1、在研究圖形性質(zhì)和運動等過程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念；

2、在多種形式的數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理能力；

3、經(jīng)歷從不同角度分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性；

4、探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題。

本節(jié)《勾股定理的應(yīng)用》是北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊第一章《勾股定理》第3節(jié)、具體內(nèi)容是運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題、在這些具體問題的解決過程中，需要經(jīng)歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、操作等實踐活動，這些都有助于發(fā)展學(xué)生的分析問題、解決問題能力和應(yīng)用意識；有些探究活動具有一定的難度，需要學(xué)生相互間的合作交流，有助于發(fā)展學(xué)生合作交流的能力、

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1、能正確運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題。

2、經(jīng)歷實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，學(xué)會選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決實際問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力并體會數(shù)學(xué)建模的思想、

教學(xué)重點和難點：

應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實際問題是重點。

把實際問題化歸成數(shù)學(xué)模型是難點。

二、教學(xué)設(shè)想

根據(jù)新課標(biāo)提出的“要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和運用的同時，在思維能力情感態(tài)度和價值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展”的理念，我想盡量給學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富的實際問題情境 ，使教學(xué)活動充滿趣味性和吸引力，讓他們在自主探究，合作交流中分析問題，建立數(shù)學(xué)模型，利用勾股定理及其逆定理解決問題。在教學(xué)過程中，采用一題多變的形式拓寬學(xué)生視野，訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性，滲透化歸的思想以及分類討論思想，方程思想等，使學(xué)生在獲得知識的同時提高能力。

在教學(xué)設(shè)計中，盡量考慮到不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生，注意知識由易到難的層次性，在課堂上，要照顧到接受較慢的學(xué)生。使不同學(xué)生有不同的收獲和發(fā)展。

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課設(shè)計了七個環(huán) 《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計節(jié)、第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：合作探究；第三環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練；第四環(huán)節(jié)：議一議；第五環(huán)節(jié)：做一做；第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)、

第一環(huán)節(jié)：情境引入

情景1：復(fù)習(xí)提 問：勾股定理的語言表述以及幾何語言表達(dá)？

設(shè)計意圖：溫習(xí)舊知識，規(guī)范語言及數(shù)學(xué)表達(dá)，體現(xiàn)

數(shù)學(xué)的 嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性?！豆垂啥ɡ淼膽?yīng)用》教學(xué)設(shè)計情景2： 腦筋急轉(zhuǎn)彎一個三角形的兩條邊是3和4，第三邊是多少？

設(shè)計意圖：既靈活考察學(xué)生對勾股定理的理解，又增加了趣味性，還能考察學(xué)生三角形三邊關(guān)系。

第二環(huán)節(jié)：合作探究（圓柱體表面路程最短問題）

情景3：課本引例（螞蟻怎樣走最近）

設(shè)計意圖：從有趣的生活場景引入，學(xué)生探究熱情高漲，通過實際動手操作，結(jié)合問題逆向思考，或是回想兩點之間線段最短，通過合作交流將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型從而利用勾股定理解決，在活動中體驗數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)學(xué)生與人合作交流的能力，增強學(xué)生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念、

第三環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練（由圓柱體表面路程最短問題逐步變?yōu)殚L方體表面的'距離最短問題）

設(shè)計意圖：將問題的條件稍做改變，讓學(xué)生嘗試獨立解決，拓展學(xué)生視野，又加深他們對知識的理解和鞏固。再將圓柱問題變?yōu)檎襟w長方體問題，學(xué)生有了之前的經(jīng)驗，自然而然的將立體轉(zhuǎn)化為平面，利用勾股定理解決，此處長方體問題中學(xué)生會有不同的做法，正好透分類討論思想。

第四環(huán)節(jié)：議一議

內(nèi)容：李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？

（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？

（3）小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

設(shè)計意圖：

運用勾股定理逆定理來解決實際問題，讓學(xué)生學(xué)會分析問題，正確合理選擇數(shù)學(xué)模型，感受由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，利用允許的工具靈活處理問題、

第五環(huán)節(jié)：方程與勾股定理

在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多 少尺？《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計意圖：學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國古代人民的聰明才智；學(xué)會運用方程的思想借助勾股定理解決實際問題。、

第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)內(nèi)容：師生相互交流總結(jié)：

1、解決實際問題的方法是建立數(shù)學(xué)模型求解、

2、在尋求最短路徑時，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實際問題、

3、在直角三角形中，已知一條邊和另外兩條邊的關(guān)系，借助方程可以求出另外兩條邊。

意圖：鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用及它們的悠久歷史、《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計第七環(huán)作業(yè)設(shè)計：

第一道題難度較小，大部分學(xué)生可以獨立完成，第二道題有較大難度，可以交流討論完成。

八年級數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)設(shè)計2

教學(xué)目標(biāo)具體要求：

1.知識與技能目標(biāo)：會用勾股定理及直角三角形的判定條件解決實際問題。

2.過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷勾股定理的應(yīng)用過程，熟練掌握其應(yīng)用方法，明確應(yīng)用的條件。

3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗獲取數(shù)學(xué)知識的感受；通過有關(guān)勾股定理的歷史講解，對學(xué)生進(jìn)行德育教育。

重點：

勾股定理的應(yīng)用

難點：

勾股定理的應(yīng)用

教案設(shè)計

一、知識點講解

知識點1：（已知兩邊求第三邊)

1．在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為1cm，2cm，則斜邊長為_____________。

2．已知直角三角形的兩邊長為3、4，則另一條邊長是______________。

3．三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC邊上的高線AD=8,求BC的長？

知識點2：

利用方程求線段長

1、如圖，公路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在公路AB上建一車站E，

（1）使得C，D兩村到E站的距離相等，E站建在離A站多少km處？

（2）DE與CE的位置關(guān)系

（3）使得C，D兩村到E站的距離最短，E站建在離A站多少km處？

利用方程解決翻折問題

2、如圖，用一張長方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，長BC為10cm．當(dāng)折疊時，頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE）．想一想，此時EC有多長？

3、在矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按圖所示方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，求DE的長。

4.如圖，將一個邊長分別為4、8的矩形形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合，則EF的長是多少？

5、折疊矩形ABCD的一邊AD,折痕為AE,且使點D落在BC邊上的點F處,已知AB=8cm,BC=10cm，以B點為原點，BC為x軸，BA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。求點F和點E坐標(biāo)。

6、邊長為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐標(biāo)系的x軸和y軸上，若沿對角線AC折疊后，點B落在第四象限B1處，設(shè)B1C交x軸于點D，求（1）三角形ADC的面積，（2）點B1的坐標(biāo)，（3）AB1所在的直線解析式.

知識點3:判斷一個三角形是否為直角三角形間接給出三邊的長度或比例關(guān)系

1.（1）.若一個三角形的周長12cm,一邊長為3cm,其他兩邊之差為1cm,則這個三角形是___________。

（2）．將直角三角形的三邊擴大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是____________。

（3）在ABC中，a：b：c=1:1：，那么ABC的確切形狀是_____________。

2.如圖，正方形ABCD中，邊長為4，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，CE=BC，你能說明∠AFE是直角嗎？

變式：如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，且CE=BC，你能說明∠AFE是直角嗎？

3.一位同學(xué)向西南走40米后，又走了50米，再走30米回到原地。問這位同學(xué)又走了50米后向哪個方向走了

二、課堂小結(jié)

談一談你這節(jié)課都有哪些收獲？

應(yīng)用勾股定理解決實際問題

三、課堂練習(xí)以上習(xí)題。

四、課后作業(yè)卷子。

本節(jié)課是人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第十七章第一節(jié)第二課時的內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)知識，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性質(zhì)和一個三角形是直角三角形的條件的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)勾股定理，加深對勾股定理的理解，提高學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用與理解。本節(jié)第一課時安排了對勾股定理的觀察、計算、猜想、證明及簡單應(yīng)用的`過程；第二課時是通過例題分析與講解，讓學(xué)生感受勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，通過從實際問題中抽象出直角三角形這一模型，強化轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的意識和應(yīng)用能力。

針對本班學(xué)生的特點，學(xué)生知識水平、學(xué)習(xí)能力的差距，本節(jié)課安排了如下幾個環(huán)節(jié)：

一、復(fù)習(xí)引入

對上節(jié)課勾股定理內(nèi)容進(jìn)行回顧，強調(diào)易錯點。由于學(xué)生的注意力集中時間較短，學(xué)生知識水平低，引入內(nèi)容簡短明了，花費時間短。

二、例題講解，鞏固練習(xí)，總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法

活動一：用對媒體展示搬運工搬木板的問題，讓學(xué)生以小組交流合作，如何將木板運進(jìn)門內(nèi)？需要知道們的寬、高，還是其他的條件？學(xué)生展示交流結(jié)果，之后教師引導(dǎo)學(xué)生書寫板書。整個活動以學(xué)生為主體，教師及時的引導(dǎo)和強調(diào)。

活動二：解決例二梯子滑落的問題。學(xué)生自主討論解決問題，書寫過程，之后投影學(xué)生書寫過程，教師與學(xué)生一起合作修改解題過程。

活動三：學(xué)生討論總結(jié)如何將實際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后利用勾股定理解決問題。利用勾股定理的前提是什么？如何作輔助線構(gòu)造這一前提條件？在數(shù)學(xué)活動中發(fā)展了學(xué)生的探究意識和合作交流的習(xí)慣；體會勾股定理的應(yīng)用價值，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用到生活中去，在學(xué)習(xí)的過程中體會獲得成功的喜悅，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

二、鞏固練習(xí)，熟練新知

通過測量旗桿活動，發(fā)展學(xué)生的探究意識，培養(yǎng)學(xué)生動手操作的能力，增加學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的經(jīng)驗和感受。

在教學(xué)設(shè)計的實施中，也存在著一些問題：

1.由于本班學(xué)生能力的差距，本想著通過學(xué)生幫帶活動，使學(xué)困生充分參與課堂，但在學(xué)生合作交流是由于學(xué)習(xí)能力強的學(xué)生，對問題的分析解決所用時間短，而在整個環(huán)節(jié)設(shè)計中轉(zhuǎn)接的快，未給學(xué)困生充分的時間，導(dǎo)致部分學(xué)生未能真正的參與到課堂中來。

2.課堂上質(zhì)疑追問要起到好處，不要增加學(xué)生展示的難度，影響展示進(jìn)程出現(xiàn)中斷或偏離主題的現(xiàn)象。

3.對學(xué)生課堂展示的評價方式應(yīng)體現(xiàn)生評生，師評生，及評價的針對性和及時性。

八年級數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)設(shè)計3

教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能目標(biāo)

學(xué)會觀察圖形，勇于探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、

2、過程與方法

（1）經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力、

（2）在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想、

3、情感態(tài)度與價值觀

（1）通過有趣的問題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、

（2）在解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實用性、

教學(xué)重點：

探索、發(fā)現(xiàn)事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實際問題、

教學(xué)難點：

利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題、

教學(xué)準(zhǔn)備：

多媒體課件

教學(xué)過程：

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課（3分鐘，學(xué)生觀察、猜想）

情景：

如圖：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點

食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于

是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？

第二環(huán)節(jié)：合作探究（15分鐘，學(xué)生分組合作探究）

學(xué)生分為4人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結(jié)出最短路線。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導(dǎo)學(xué)生體會利用數(shù)學(xué)解決實際問題的方法：建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)圖，計算、

學(xué)生匯總了四種方案：

（1）（2）（

學(xué)生很容易算出：情形（1）中A→B的路線長為：AA’+d，

情形（2）中A→B的路線長為：AA’+πd／2

所以情形（1）的路線比情形（2）要短、

學(xué)生在情形（3）和（4）的比較中出現(xiàn)困難，但還是有學(xué)生提出用剪刀沿母線AA’剪開圓柱得到矩形，前三種情形A→B是折線，而情形（4）是線段，故根據(jù)兩點之間線段最短可判斷（4）最短、

如圖：

（1）中A→B的路線長為：AA’+d；

（2）中A→B的`路線長為：AA’+A’B>AB；

（3）中A→B的路線長為：AO+OB>AB；

（4）中A→B的路線長為：AB。

得出結(jié)論：利用展開圖中兩點之間，線段最短解決問題、

在這個環(huán)節(jié)中，可讓學(xué)生沿母線剪開圓柱體，具體觀察、

接下來后提問：怎樣計算AB？

在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，則。

第三環(huán)節(jié)：做一做（7分鐘，學(xué)生合作探究）

教材23頁

李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，

（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？

（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？

（3）小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

第四環(huán)節(jié)：鞏固練習(xí)（10分鐘，學(xué)生獨立完成）

1、甲、乙兩位探險者到沙漠進(jìn)行探險，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6km/h的速度向正東行走，1小時后乙出發(fā)，他以5km/h的速度向正北行走、上午10：00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？

2、如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離、

3、有一個高為1。5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0。5米，問這根鐵棒有多長？

第五環(huán)節(jié)課堂小結(jié)（3分鐘，師生問答）

內(nèi)容：

1、如何利用勾股定理及逆定理解決最短路程問題？

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)（2分鐘，學(xué)生分別記錄）

內(nèi)容：

作業(yè)：1、課本習(xí)題1、5第1，2，3題、

要求：A組（學(xué)優(yōu)生）：1、2、3

B組（中等生）：1、2

C組（后三分之一生）：1