第一篇：向量叉乘的分配率的證明
三維向量外積（即矢積、叉積）可以用幾何方法證明；也可以借用外積的反對(duì)稱性、內(nèi)積的分配律和混合積性質(zhì)，以代數(shù)方法證明。
下面把向量外積定義為： a × b = |a|·|b|·Sin
下面給出代數(shù)方法。我們假定已經(jīng)知道了：
1）外積的反對(duì)稱性： a × b =(a×b + a×c))= 0 這說(shuō)明矢量a×(b + c)(a×b + a×c)= 0 所以有
a×(b + c)= a×b + a×c.證畢。
第二篇：證明向量共面
證明向量共面
已知O是空間任意一點(diǎn),A.B.C.D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?
寫詳細(xì)點(diǎn)怎么做謝謝了~明白后加分！!
我假定你的O-A表示向量OA。
由O的任意性，取一個(gè)不在ABCD所在平面的O，這時(shí)若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。
(證明：設(shè)O在該平面上的投影為p，那么對(duì)平面上任何一點(diǎn)X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關(guān)系式并比較Op分量即可。)
你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。
2充分不必要條件。
如果有三點(diǎn)共線，則第四點(diǎn)一定與這三點(diǎn)共面，因?yàn)榫€和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，如果第四點(diǎn)在這條線上，則四點(diǎn)共線，也一定是共面的。
而有四點(diǎn)共面，不一定就其中三點(diǎn)共線，比如四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共面，但這四個(gè)頂點(diǎn)中沒有三個(gè)是共線的。
“三點(diǎn)共線”可以推出“四點(diǎn)共面”，但“四點(diǎn)共面”不能推出“三點(diǎn)共線”。因此是充分不必要條件
任取3個(gè)點(diǎn)，如果這三點(diǎn)共線，那么四點(diǎn)共面;如果這三點(diǎn)不共線，那么它們確定一個(gè)平面，考慮第四點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。方法二A、B、C、D四點(diǎn)共面的充要條件為向量AB、AC、AD的混合積(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四點(diǎn)不共面的充要條件為向量AB、AC、AD線性無(wú)關(guān)。
3已知O是空間任意一點(diǎn),A.B.C.D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?
寫詳細(xì)點(diǎn)怎么做謝謝了我假定你的O-A表示向量OA。
由O的任意性，取一個(gè)不在ABCD所在平面的O，這時(shí)若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。
(證明：設(shè)O在該平面上的投影為p，那么對(duì)平面上任何一點(diǎn)X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關(guān)系式并比較Op分量即可。)
你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。
4Xa-Yb+Yb-Zc+Zc-Xa=0
∴Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)
由共面判定定理知它們共面。
簡(jiǎn)單的說(shuō)一個(gè)向量能夠用另外兩個(gè)向量表示，它們就共面。詳細(xì)的看高中課本
41.若向量e1、e2、e3共面，(i)其中至少有兩個(gè)不共線，不妨設(shè)e1,e2不共線，則e1,e2線性無(wú)關(guān)，e3可用e1,e2線性表示，即存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是
λe1+μe2-e3=0.即存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ，υ=-1，使得
λe1+μe2+υe3=0”。
(ii)若e1,e2,e3都共線，則其中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)e1≠0，則存在實(shí)數(shù)λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.2.存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨設(shè)λ≠0，就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,于是e1,e2,e3共面。
第三篇：向量空間證明
向量空間證明解題的基本方法：
1)在立體幾何圖形中，選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)和直線方向建立空間直角坐標(biāo)系 中 2)若問題中沒有給出坐標(biāo)計(jì)算單位，可選擇合適的線段設(shè)置長(zhǎng)度單位;3)計(jì)算有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)值，求出相關(guān)向量的坐標(biāo);4)求解給定問題
證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個(gè)向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說(shuō)明結(jié)論。
證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個(gè)與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個(gè)向量平行的問題，只要說(shuō)明一個(gè)向量是另一向量的m(實(shí)數(shù))倍，即可 只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會(huì)從中悟出經(jīng)驗(yàn)和方法 2 解：
因?yàn)閤+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z為任意實(shí)數(shù)
則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫為什么是2)步驟1 記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接著得到正弦定理 其他 步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。
第四篇：向量證明重心
向量證明重心三角形ABC中，重心為O，AD是BC邊上的中線，用向量法證明AO=2OD(1).AB=12b，AC=12c。AD是中線則AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中點(diǎn)。作DF//BE則EF=EC/2=AC/4=3c。平行線分線段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。2 設(shè)BC中點(diǎn)為M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P為三角形ABC的重心。上來(lái)步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要條件是PA+PB+PC=0 3 如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1 設(shè)三角形ABC的三條中線分別為AD、BE、CF，求證AD、BE、CF交于一點(diǎn)O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1 證明：用歸一法
不妨設(shè)AD與BE交于點(diǎn)O，向量BA=a,BC=b,則CA=BA-BC=a-b 因?yàn)锽E是中線，所以BE=(a+b)/2,向量BO與向量BE共線，故設(shè)BO=xBE=(x/2)(a+b)同理設(shè)AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形ABO中，AO=BO-BA 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因?yàn)橄蛄縜和b線性無(wú)關(guān)，所以-y=x/2-1 y/2=x/2 解得x=y=2/3 所以A0：AD=BO：BE=2：3 故AO：OD=BO：OE=2:1 設(shè)AD與CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1 所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’ 因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1 證畢!4 設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)證明：三角形ABC的重心(即三條中線的交點(diǎn))M的坐標(biāo)(X,Y)滿足：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3 設(shè):AB的中點(diǎn)為D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M為三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3 5 如圖。
第五篇：向量空間證明
向量空間證明
解題的基本方法：
1)在立體幾何圖形中，選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)和直線方向建立空間直角坐標(biāo)系中
2)若問題中沒有給出坐標(biāo)計(jì)算單位，可選擇合適的線段設(shè)置長(zhǎng)度單位;
3)計(jì)算有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)值，求出相關(guān)向量的坐標(biāo);
4)求解給定問題
證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個(gè)向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說(shuō)明結(jié)論。
證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個(gè)與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個(gè)向量平行的問題，只要說(shuō)明一個(gè)向量是另一向量的m(實(shí)數(shù))倍，即可
只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會(huì)從中悟出經(jīng)驗(yàn)和方法
解：
因?yàn)閤+y+z=0
x=-y-z
y=y+0*z
z=0*y+z
(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z
y,z為任意實(shí)數(shù)
則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫為什么是2)
步驟1
記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接著得到正弦定理
其他
步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC
步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
類似可證其余兩個(gè)等式.希望對(duì)你有所幫助!
設(shè)向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長(zhǎng)AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形
則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c
平方(1)
向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d
平方(2)
(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方
c平方=1/2(a+b)-d平方
AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2
已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理
過A做AG‖DC交EF于p點(diǎn)
由三角形中位線定理有：
向量Ep=?向量BG
又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質(zhì))
∴向量pF=?(向量AD+向量GC)
∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)
∴向量EF=?(向量AD+向量BC)
∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)
得證
先假設(shè)兩條中線AD,BE交與p點(diǎn)
連接Cp,取AB中點(diǎn)F連接pF
pA+pC=2pE=Bp
pB+pC=2pD=Ap
pA+pB=2pF
三式相加
2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF
3pA+3pB+2pC=2pF
6pF+2pC=2pF
pC=-2pF
所以pC,pF共線，pF就是中線
所以ABC的三條中線交于一點(diǎn)p
連接OD,OE,OF
OA+OB=2OF
OC+OB=2OD
OC+OC=2OE
三式相加
OA+OB+OC=OD+OE+OF
OD=Op+pD
OE=Op+pE
OF=Op+pF
OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp
由第一問結(jié)論
2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp
2pA+2pB+2pC=0
1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp
所以O(shè)A+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op
向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)
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