第一篇：淺談線性空間與歐式空間

2014 年三會(huì)一課會(huì)議記錄示例月 10 日

支部委員會(huì)

內(nèi)容： 1、傳達(dá)鎮(zhèn)黨委工作會(huì)議精神。2、臨近春節(jié)，討論摸排村內(nèi)不穩(wěn)定因素，及時(shí)

解決村民反映的突出問題。3、總結(jié) 2012 年各項(xiàng)工作 ……..，討論 2013 年重點(diǎn)工作，制定 2013 年初步工作計(jì)劃 ………，下一步及時(shí)召開黨員大會(huì)進(jìn)行討論。4、討論村內(nèi)

環(huán)境衛(wèi)生整治工作，杜絕垃圾亂倒現(xiàn)象，積極營造優(yōu)美居住環(huán)境。2 月 3 日

支部委員會(huì) 內(nèi)容： 1、討論如何進(jìn)一步優(yōu)化村內(nèi)環(huán)境，清掃大街，歡度春節(jié)。2、傳達(dá)鎮(zhèn)黨委政府 春節(jié)安全工作會(huì)議精神，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)社會(huì)平安穩(wěn)定工作。3、安排發(fā)放計(jì)生明白紙。4、春節(jié)前走訪困難群眾，座談了解群眾的實(shí)際困難和問題，及時(shí)加以解決。3 月 1 日 黨員大會(huì)

內(nèi)容：商議村內(nèi)重大建設(shè)項(xiàng)目及工作計(jì)劃

一、（支書姓名）介紹我村今年的工作計(jì)劃。

二、（支部書記）介紹當(dāng)前重點(diǎn)惠民項(xiàng)目情況

今天我們商議的事是：（修路、修大街、挖溝渠、打機(jī)井、整平生產(chǎn)路、修建辦公室、購置器械、整理農(nóng)田、修理自來水等。再詳細(xì)介紹一下項(xiàng)目內(nèi)容、投資情況）。如修 村內(nèi)大街，長

米，寬

米，需建設(shè)資金

萬元，經(jīng)村兩委討論決定，建設(shè)資金 為村集體收入資金（或群眾共同出資，每人 元）。

三、黨員討論結(jié)果

經(jīng)村黨員大會(huì)討論舉手表決：同意通過。參加會(huì)議

人，同意

人，不同意 人，棄權(quán)

人。黨員紛紛表示，會(huì)積極向群眾宣傳本次會(huì)議精神，配合村里的工作。

四、（支書姓名）總結(jié)。同志們考慮的很全面，提出的意見很中肯，我們村兩委成員，一定會(huì)按照同志們的想法，認(rèn)真修改初步制定的計(jì)劃，制定最終方案，做好惠民項(xiàng)目 的建設(shè)。月 1 日

上黨課內(nèi)容 :（一般召開一次黨員大會(huì)，就跟著上一次黨課，這樣符合實(shí)

際情況，檢查的時(shí)候也可信）

一、（支書姓名）主持會(huì)議 今天，鎮(zhèn)領(lǐng)導(dǎo) …

（填寫聯(lián)系本村的副科級(jí)領(lǐng)導(dǎo)）到我村來為大家上黨課，讓我們用熱 烈的掌聲歡迎領(lǐng)導(dǎo)講話。

二、鎮(zhèn)領(lǐng)導(dǎo)講話

一是傳達(dá)今年以來，市委抓基層黨建工作的重要精神，強(qiáng)調(diào)加強(qiáng)村兩委班子和 黨員隊(duì)伍建設(shè)的重要性和緊迫性。二是根據(jù)市委的要求，通報(bào)今年以來我鎮(zhèn)在加強(qiáng)

基層黨組織建設(shè)方面出臺(tái)的一系列措施及有關(guān)要求。

三是如何發(fā)揮黨員先鋒模范作

用。我們村黨組織和全體黨員都要積極投身活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)組織和黨員全覆蓋。本著有利 于黨組織開展活動(dòng)、有利于黨員參加、有利于創(chuàng)先爭(zhēng)優(yōu)活動(dòng)取得實(shí)效的原則，鞏固和 拓展學(xué)習(xí)實(shí)踐科學(xué)發(fā)展觀活動(dòng)成果結(jié)合起來，精心設(shè)計(jì)特色鮮明、務(wù)實(shí)管用的載體，精心組織實(shí)施好創(chuàng)先爭(zhēng)優(yōu)活動(dòng)。提幾點(diǎn)要求。一是要提高思想認(rèn)識(shí)，結(jié)合實(shí)際開展

大討論活動(dòng)；

二是要認(rèn)識(shí)到創(chuàng)先爭(zhēng)優(yōu)的核心是發(fā)展，要結(jié)合我村實(shí)際，發(fā)展村域經(jīng)濟(jì)；

三是要處理好社會(huì)發(fā)展與經(jīng)濟(jì)發(fā)展的關(guān)系；四是重點(diǎn)要加強(qiáng)黨員干部作風(fēng)建設(shè)，要加 強(qiáng)窗口建設(shè)，努力提高服務(wù)意識(shí)和水平。

三、（支書姓名）總結(jié)

結(jié)合工作實(shí)際，就基層黨建工作的重大意義、新時(shí)期發(fā)揮黨員先鋒模范作用、黨 員“五帶頭”的標(biāo)準(zhǔn)尺度等問題，進(jìn)行了精辟的闡述，給我們上了一堂既有理論性、又有實(shí)踐性的黨課。黨的先進(jìn)性需要通過黨員的具體先鋒模范行動(dòng)來體現(xiàn)，就基層黨 員來說，日常工作、生活中都能展示黨員先鋒模范作用的舞臺(tái)。課后，希望大家結(jié)合 這次黨課上所講的內(nèi)容，圍繞如何發(fā)揮黨員先鋒模范作用這個(gè)主題，進(jìn)行認(rèn)真的討論，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)領(lǐng)導(dǎo)講課的內(nèi)容，切實(shí)推進(jìn)我村的工作。月 10 日

支部委員會(huì)、（支部書記）傳達(dá)鎮(zhèn)黨委政府關(guān)于春季植樹造林會(huì)議精神。

大力開展植樹造林動(dòng)活，對(duì)于保護(hù)和改善生態(tài)環(huán)境，增加農(nóng)民收入。2、討論安排挖溝渠、清掃大街工作。4 月 10 日

支部委員會(huì) 1、傳達(dá)落實(shí)鎮(zhèn)黨委政府關(guān)于營造計(jì)劃生育宣傳氛圍的精神。2、加強(qiáng)春季林木管護(hù)、涂白工作。月 10 日

支部委員會(huì)、安排部署美國白蛾防治工作。2、按照鎮(zhèn)黨委安排部署，積極做好計(jì)生宣傳工作。3、當(dāng)前的幾項(xiàng)重點(diǎn)工作

（依次羅列安排，需討論的討論）。月 10 日

支部委員會(huì)、研究做好防汛準(zhǔn)備工作。2、研究安排小麥、玉米、棉花保險(xiǎn)費(fèi)的征收工作。3、抓住麥?zhǔn)掌陂g這一有利時(shí)機(jī)，做好計(jì)生工作。月 1 日 黨員大會(huì)

內(nèi)容：紀(jì)念“七一”建黨** 周年座談會(huì)

一、由（支部書記）帶領(lǐng)廣大黨員重溫入黨誓詞，帶領(lǐng)大家學(xué)習(xí)《黨章》。

二、黨員展開討論

生活發(fā)生的深刻變化和走過的光輝歷程。尤其是看到我市、我鎮(zhèn)這幾年發(fā)生的巨 大變化，對(duì)我們的黨、國家的未來充滿信心。希望以后能充分發(fā)揮黨員的先鋒模范作 用，為本村、本鎮(zhèn)的發(fā)展貢獻(xiàn)一份力量。

三、（支書）做總結(jié)講話

我們村正處于發(fā)展的有利時(shí)機(jī)，廣大黨員要帶頭，起到先鋒模范作用，在做好防 汛、防洪、計(jì)生等工作的同時(shí)，自覺愛護(hù)我們現(xiàn)在已有的環(huán)境，爭(zhēng)取做到愛護(hù)環(huán)境，人人有責(zé)，希望各個(gè)方面都能走在全鎮(zhèn)前列，各項(xiàng)事業(yè)都能取得新成績。

四、黨員向黨支部交納黨費(fèi)。月 10 日

支部委員會(huì)

內(nèi)容： 1、排摸村內(nèi)不穩(wěn)定因素，分析群眾思想狀況，討論村民反映強(qiáng)烈的問題 2、研

究部署美國白蛾防治工作。月 1 日：黨課

一、新形勢(shì)下村干部的主要工作職責(zé)是什么？

在農(nóng)業(yè)和農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新階段，村干 部主要職責(zé)總結(jié)起來就是四個(gè)字，即傳、帶、穩(wěn)、育。1、傳，既傳達(dá)、貫徹、落實(shí) 黨的政策 2、帶，既帶頭并帶領(lǐng)群眾發(fā)展經(jīng)濟(jì) 3、穩(wěn)，既協(xié)助地方黨委、政府做好農(nóng) 村各項(xiàng)工作，維護(hù)農(nóng)村穩(wěn)定。4、育，既提高村民的素質(zhì)，培育新型農(nóng)民。

二、新形勢(shì)下村干部應(yīng)該具備哪些素質(zhì)？

總的來說，一個(gè)受人愛戴的村班子必須要具備三個(gè)基本的特征： 第一，要有強(qiáng)

烈的發(fā)展意識(shí)。不甘落后，銳意進(jìn)取，自強(qiáng)不息，艱苦創(chuàng)業(yè)，有市場(chǎng)意識(shí)、產(chǎn)業(yè)意識(shí)、項(xiàng)目意識(shí)、品牌意識(shí)、親商意識(shí)。第二，要有切實(shí)可行的發(fā)展路子。在某種程度上，思路就是出路，沒有思路的班子絕對(duì)不是好班子。第三，要有實(shí)實(shí)在在的發(fā)展業(yè)績。

要會(huì)干事、能干事、干成事，僅有思路不落實(shí)，只說不干，只講客觀不講主觀，任職 多年，村上面貌依舊，一事無成的班子也不是好班子。要具備以上三個(gè)基本特征，就 要求村干部必須具備以下四個(gè)方面的能力。一是

帶民致富的能力。二是

依法辦事的能 力。三是

科技示范能力。四是

服務(wù)群眾的能力。月 10 日

支部委員會(huì)、研究部署美國白蛾防治、防汛等工作。2

、討論村內(nèi)重點(diǎn)項(xiàng)目

（從中選擇 1-2 項(xiàng)：整修大街、挖溝渠、打機(jī)井、整平生產(chǎn)路、修建辦公室、購置器械等）。9 月 10 日 支部委員會(huì)

內(nèi)容： 1、排摸村內(nèi)不穩(wěn)定因素，分析群眾思想狀況，討論村民反映強(qiáng)烈的問題。2、研究部署美國白蛾防治、防汛等工作。月 1 日 黨員大會(huì)

（僅是示例，發(fā)展黨員的黨員大會(huì)請(qǐng)按實(shí)際時(shí)間做會(huì)議記錄）

內(nèi)容

：分為兩種情況，各村結(jié)合自己實(shí)際從中選擇一種。

第一種情況： 2013 年有黨員發(fā)展對(duì)象（發(fā)展預(yù)備黨員或黨員轉(zhuǎn)正）的村按下面的要 求寫 ：

一、（支部書記）傳達(dá)會(huì)議精神。???

二、由（黨員發(fā)展對(duì)象姓名）入黨介紹人介紹主要情況

介紹人一： *** 同志在考察期間，能夠認(rèn)真學(xué)習(xí)理論知識(shí)，注重自身修養(yǎng)，在政治上

保持清醒的頭腦，在思想上保持高尚的境界，將理論知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中，堅(jiān)持不 懈，持之以恒，實(shí)事求是，腳踏實(shí)地，處處起表率作用，樹立良好的黨員形象，認(rèn)真 對(duì)待自己的缺點(diǎn)和不足，并及時(shí)地進(jìn)行改正?？傊?，該同志能夠不斷提高自身黨性修 養(yǎng)和綜合素質(zhì)，充分發(fā)揮共產(chǎn)黨員的先鋒模范和用，我們認(rèn)為 *** 同志基本具備一名

預(yù)備黨員（或正式黨員）的條件，我同意 *** 同志加入黨組織。（或我同意 *** 同志按 期轉(zhuǎn)正）

介紹人二： ????.三、支部報(bào)告對(duì)黨員發(fā)展對(duì)象的政治審查情況 本支部通過采取查閱本人檔案材料、派人處調(diào)、函調(diào)、與本人談話、征求有關(guān)監(jiān)督部 門意見、召開黨內(nèi)外群眾座談會(huì)以及公示等方法對(duì) *** 同志進(jìn)行了政治審查及考核，認(rèn)為該同志本人政治歷史清楚，在重大政治斗爭(zhēng)中旗幟鮮明，能夠與黨中央保持一致，其家庭主要成員和社會(huì)關(guān)系清楚。

四、黨員無記名投票表決

經(jīng)村黨員大會(huì)討論無記名投票表決：通過了 **** 同志轉(zhuǎn)發(fā)展為中共預(yù)備黨員（或按期轉(zhuǎn)正）的決議。參加會(huì)議

人，同意

人，不同意 人，棄權(quán)

人。

第二種情況： 2013 年無黨員發(fā)展對(duì)象的村，入黨積極分子“雙推”按以下要求寫：

（注意：入黨積極分子“雙推”前應(yīng)有一次支委會(huì)討論入黨積極分子的會(huì)議記錄，一 句話即可）

一、（支部書記）傳達(dá)會(huì)議精神。??..二、由（入黨積極分子姓名）培養(yǎng)聯(lián)系人介紹主要情況

培養(yǎng)人一： *** 同志自 2009 年 1 月提出入黨申請(qǐng)以來，識(shí)，積極 向黨組織靠攏，主動(dòng)匯報(bào)思想，積極參加村、黨組織的政治活動(dòng)，認(rèn)真學(xué)習(xí)黨的基本知優(yōu)點(diǎn)是： 學(xué)習(xí)認(rèn)真、樂于助人、尊老愛幼，是我們村公認(rèn)的積極模范分子。缺點(diǎn)是：理論學(xué)習(xí)不夠深入。

培養(yǎng)人二： ???????.三、黨員和群眾代表無記名投票表決

經(jīng)村黨員大會(huì)討論投票表決： 通過了確定 ***

同志為入黨積極分子并重點(diǎn)培養(yǎng)的決議。黨員參加會(huì)議

人，同意

人，不同意 人，棄權(quán)

人。群眾代表參加會(huì)議

人，同意

人，不同意 人，棄權(quán)

人。10 月 1 日

黨課：

一、（支部書記）領(lǐng)學(xué)《黨章》的主要內(nèi)容

主要學(xué)習(xí)了黨的性質(zhì)，中國共產(chǎn)黨是中國工人階級(jí)的先鋒隊(duì)，同時(shí)是中國人民和中華 民族的先鋒隊(duì)，是中國特色社會(huì)主義事業(yè)的領(lǐng)導(dǎo)核心，代表中國先進(jìn)生產(chǎn)力的發(fā)展要 求，代表中國先進(jìn)文化的前過方向，代表中國最廣大人民的根本利益。黨的最高理想 和最終目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)共產(chǎn)主義。

學(xué)習(xí)黨的宗旨和指導(dǎo)思想、思想路線。黨的宗旨就是全心全意為人民服務(wù)，中國共產(chǎn) 黨以馬列主義、毛澤東思想、鄧小平理論和“三個(gè)代表”重要思想作為自己的行動(dòng)指 南，一切從實(shí)際出發(fā)，理論聯(lián)系實(shí)際，實(shí)事求是，在實(shí)踐中檢驗(yàn)真理和發(fā)展真理。

二、黨員討論發(fā)言

大家紛紛表示，通過對(duì)《黨章》的再學(xué)習(xí)，提高了黨員的先鋒模范意識(shí)，增強(qiáng)了黨員 發(fā)揮作用的自覺性和主動(dòng)性。月 10 日

支部委員會(huì)

內(nèi)容： 1、安排部署計(jì)劃生育工作。2、安排部署農(nóng)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整事宜。月 1 日 黨員大會(huì)

內(nèi)容：

一、（支部書記）傳達(dá)村兩委會(huì)議精神，對(duì)大街進(jìn)行綜合整治，改善村民居住 環(huán)境。

一是從今天開始全村開展大街整治。二是村兩委成員包一條大街。三是大街整治內(nèi)容： 對(duì)大街兩旁的雜草、糞便、麥秸等雜物全部清理干凈，先由戶清理成堆，村再組織人 員清理走。

二、黨員討論發(fā)言

（黨員）：村內(nèi)大街整治非常有必要，我支持

（黨員）：我支持村兩委的工作，積極參與大街整治

（黨員）：這個(gè)活動(dòng)搞得很好，我們村整理一下，搞好了環(huán)境衛(wèi)生，和在城里住沒啥 區(qū)別，大力支持。

（黨員）：我全力支持，一定盡全力，支持村兩委工作月 1 日 黨課

共產(chǎn)黨員如何發(fā)揮先鋒模范作用？

一、做有理想的模范

二、做有道德的模范

三、做努力工作、好學(xué)上進(jìn)、促進(jìn)先進(jìn)社 會(huì)生產(chǎn)力的模范

四、做不尚空談、多干實(shí)事的模范

五、做深化改革，勇于創(chuàng)新的模 范

六、做遵紀(jì)守法，同不正之風(fēng)，腐敗現(xiàn)象和違法犯罪行為作斗爭(zhēng)的模范月 10 日

支部委員會(huì) 內(nèi)容： 1、積極采取措施抓緊進(jìn)行覆蓋地膜保溫，增強(qiáng)保溫抗寒能力。2、安排冬季聯(lián)

戶聯(lián)防工作，確保冬季社會(huì)平安。3、討論開展星級(jí)文明戶評(píng)選活動(dòng)相關(guān)事宜。月 10 日

第二篇：高等代數(shù)北大版教案-第6章線性空間

第六章 線性空間

§1 集合映射

一 授課內(nèi)容:§1 集合映射

二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握集合映射的有關(guān)定義、運(yùn)算,求和號(hào)與乘積號(hào)的定義.三 教學(xué)重點(diǎn):集合映射的有關(guān)定義.四 教學(xué)難點(diǎn):集合映射的有關(guān)定義.五 教學(xué)過程: 1.集合的運(yùn)算,集合的映射(像與原像、單射、滿射、雙射)的概念 定義:(集合的交、并、差)設(shè)S是集合,A與B的公共元素所組成的集合成為A與B的交集,記作A?B；把A和B中的元素合并在一起組成的集合成為A與B的并集,記做A?B；從集合A中去掉屬于B的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為A與B的差集,記做AB.定義:(集合的映射)設(shè)A、B為集合.如果存在法則f,使得A中任意元素a在法則f下對(duì)應(yīng)B中唯一確定的元素(記做f(a)),則稱f是A到B的一個(gè)映射,記為

f:A?B,a?f(a).如果f(a)?b?B,則b稱為a在f下的像,a稱為b在f下的原像.A的所有元素在f下的像構(gòu)成的B的子集稱為A在f下的像,記做f(A),即f(A)??f(a)|a?A?.若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'), 則稱f為單射.若 ?b?B,都存在a?A,使得f(a)?b,則稱f為滿射.如果f既是單射又是滿射,則稱f為雙射,或稱一一對(duì)應(yīng).2.求和號(hào)與求積號(hào)(1)求和號(hào)與乘積號(hào)的定義

為了把加法和乘法表達(dá)得更簡練,我們引進(jìn)求和號(hào)和乘積號(hào).設(shè)給定某個(gè)數(shù)域K上n個(gè)數(shù)a1,a2,?,an,我們使用如下記號(hào):

·６０·a1?a2???an??ai, a1a2?an??ai.i?1i?1nn當(dāng)然也可以寫成

a1?a2???an?(2)求和號(hào)的性質(zhì) 容易證明，1?i?n?ai, a1a2?an?1?i?n?ai.??ai???ai,?(ai?bi)??ai??bi,??aij???aij.i?1i?1i?1i?1i?1nnnnnnmmni?1j?1j?1i?1事實(shí)上,最后一條性質(zhì)的證明只需要把各個(gè)元素排成如下形狀:

a11a21?an1a12a22?an2?a1m?a2m

???anm分別先按行和列求和,再求總和即可.§2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)

一 授課內(nèi)容：§2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)

二 教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間的定義與簡單性質(zhì).三 教學(xué)重點(diǎn)：線性空間的定義與簡單性質(zhì).四 教學(xué)難點(diǎn)：線性空間的定義與簡單性質(zhì).五 教學(xué)過程：

1.線性空間的定義

(1)定義4.1(線性空間)設(shè)V是一個(gè)非空集合,且V上有一個(gè)二元運(yùn)算“+”(V?V?V),又設(shè)K為數(shù)域,V中的元素與K中的元素有運(yùn)算數(shù)量

·６１· 乘法“?”(K?V?V),且“+”與“?”滿足如下性質(zhì):

1、加法交換律 ??,??V,有???????；

2、加法結(jié)合律 ??,?,??V,有(???)?????(???)；

3、存在“零元”,即存在0?V,使得???V,0????；

4、存在負(fù)元,即???V,存在??V,使得????0；

5、“1律” 1????；

6、數(shù)乘結(jié)合律 ?k,l?K,??V,都有(kl)??k(l?)?l(k?)；

7、分配律 ?k,l?K,??V,都有(k?l)??k??l?；

8、分配律 ?k?K,?,??V,都有k(???)?k??k?, 則稱V為K上的一個(gè)線性空間,我們把線性空間中的元素稱為向量.注意:線性空間依賴于“+”和“?”的定義,不光與集合V有關(guān).(2)零向量和負(fù)向量的唯一性,向量減法的定義,線性空間的加法和數(shù)乘運(yùn)算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質(zhì)

命題4.1 零元素唯一,任意元素的負(fù)元素唯一.證明:設(shè)0與0'均是零元素,則由零元素的性質(zhì),有0?0'?0?0'；

???V,設(shè)?,?'都是?的負(fù)向量,則

??0???(?'??)????'?(???)???0??, 于是命題得證.由于負(fù)向量唯一,我們用??代表?的負(fù)向量.定義4.2(減法)我們定義二元運(yùn)算減法“-”如下:

???定義為??(??).命題4.2 線性空間中的加法和數(shù)乘滿足如下性質(zhì):

1、加法滿足消去律 ???????????；

2、可移項(xiàng) ???????????；

3、可以消因子 k???且k?0,則??1?； k4、0???0, k?0?0,(?1)????.(3)線性空間的例子

·６２·例4.1令V表示在(a,b)上可微的函數(shù)所構(gòu)成的集合,令K??,V中加法的定義就是函數(shù)的加法,關(guān)于K的數(shù)乘就是實(shí)數(shù)遇函數(shù)的乘法,V構(gòu)成K上的線性空間.4.1.2線性空間中線性組合和線性表出的定義,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義以及等價(jià)表述,向量組的秩,向量組的線性等價(jià)；極大線性無關(guān)組.定義4.3(線性組合)給定V內(nèi)一個(gè)向量組?1,?2,?,?s,又給定數(shù)域K內(nèi)s個(gè)數(shù)k1,k2,?,ks,稱k1?1?k2?2???ks?s為向量組?1,?2,?,?s的一個(gè)線性組合.定義4.4(線性表出)給定V內(nèi)一個(gè)向量組?1,?2,?,?s,設(shè)?是V內(nèi)的一個(gè)向量,如果存在K內(nèi)s個(gè)數(shù)k1,k2,?,ks,使得??k1?1?k2?2???ks?s,則稱向量?可以被向量組?1,?2,?,?s線性表出.定義4.5(向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān))給定V內(nèi)一個(gè)向量組?1,?2,?,?s,如果對(duì)V內(nèi)某一個(gè)向量?,存在數(shù)域K內(nèi)不全為零的數(shù)k1,k2,?,ks,使得k1?1?k2?2???ks?s?0,則稱向量組?1,?2,?,?s線性相關(guān)；若由方程k1?1?k2?2???ks?s?0必定推出k1?k2???ks?0,則稱向量組?1,?2,?,?s線性無關(guān).命題4.3 設(shè)?1,?2,??s?V,則下述兩條等價(jià): 1)?1,?2,??s線性相關(guān)； 2)某個(gè)?i可被其余向量線性表示.證明同向量空間.定義4.6(線性等價(jià))給定V內(nèi)兩個(gè)向量組

?1,?2,?,?r(Ⅰ), ?1,?2,?,?s(Ⅱ), 如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)線性表示,反過來,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)線性表示,則稱兩向量組線性等價(jià).定義4.7(極大線性無關(guān)部分組)給定V內(nèi)一個(gè)向量組?1,?2,?,?s,如

·６３· 果它有一個(gè)部分組?i1,?i2,?,?ir滿足如下條件:(i)、?i1,?i2,?,?ir線性無關(guān)；

(ii)、原向量組中任一向量都能被?i1,?i2,?,?ir線性表示, 則稱此部分組為原向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)部分組.由于在向量空間中我們證明的關(guān)于線性表示和線性等價(jià)的一些命題中并沒有用到Kn的一些特有的性質(zhì),于是那些命題在線性空間中依然成立.定義4.8(向量組的秩)一個(gè)向量組的任一極大線性無關(guān)部分組中均包含相同數(shù)目的向量,其向量數(shù)目成為該向量組的秩.例4.2 求證:向量組?e?1x,e?2x?的秩等于2(其中?1??2).證明:方法一:設(shè)k1,k2∈R,滿足k1e?1x?k2e?2x?0,則k1e?1x??k2e?2x,假若k1,k2不全為零,不妨設(shè)k1?0,則有e(?1??2)x??k2,而由于?1??2,等號(hào)左k1邊為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),矛盾于等號(hào)右邊為常數(shù).于是k1?k2?0.所以e?1x,e?2x線性無關(guān),向量組的秩等于2.證畢.方法二:若在(a,b)上k1e?1x?k2e?2x?0, 兩端求導(dǎo)數(shù),得k1?1e?1x?k2?2e?2x?0，?c?c??k1e1?k2e2?0,以x?c?(a,b)代入,有? ?1c?2c??k1?1e?k2?2e?0.而e?1ce?2c?1e?2c?2e?2c?e(?1??2)c(?2??1)?0, 于是k1?k2?0.證畢.·６４·§3 維數(shù)、基與坐標(biāo)

一 授課內(nèi)容:§3 維數(shù)、基與坐標(biāo)

二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間的基與維數(shù),向量的坐標(biāo)的有關(guān)定義及性質(zhì).三 教學(xué)重點(diǎn):基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的有關(guān)定義.四 教學(xué)難點(diǎn):基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的有關(guān)定義.五 教學(xué)過程: 1.線性空間的基與維數(shù),向量的坐標(biāo) 設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,則有: 定義4.9(基和維數(shù))如果在V中存在n個(gè)向量?1,?2,?,?n,滿足: 1)?1,?2,?,?n線性無關(guān)；

2)V中任一向量在K上可表成?1,?2,?,?n的線性組合, 則稱?1,?2,?,?n為V的一組基.基即是V的一個(gè)極大線性無關(guān)部分組.基的個(gè)數(shù)定義為線性空間的維數(shù).命題4.4 設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間,而?1,?2,?,?n?V.若V中任一向量皆可被?1,?2,?,?n線性表出,則?1,?2,?,?n是V的一組基.證明:由?1,?2,?,?n與V的一組基線性等價(jià)可以推出它們的秩相等.命題4.5 設(shè)V為K上的n維線性空間,?1,?2,?,?n?V,則下述兩條等價(jià): 1)?1,?2,?,?n線性無關(guān)；

2)V中任一向量可被?1,?2,?,?n線性表出.定義4.10(向量的坐標(biāo))設(shè)V為K上的n維線性空間,?1,?2,?,?n是它的一組基.任給??V,由命題4.4,?可唯一表示為?1,?2,?,?n的線性組合,即?!ai?K,(i?1,2,?,n),使得??a1?1?a?2?2??an?n,于是我們稱?a1,a2,?,an?為?在基?1,?2,?,?n下的坐標(biāo).易見,在某組基下的坐標(biāo)與V/K中的向量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.·６５· §4 基變換與坐標(biāo)變換

一 授課內(nèi)容:§4 基變換與坐標(biāo)變換

二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握基變換與過渡矩陣的定義、運(yùn)算, 坐標(biāo)變換公式.三 教學(xué)重點(diǎn):基變換與過渡矩陣的定義、運(yùn)算, 坐標(biāo)變換公式.四 教學(xué)難點(diǎn):坐標(biāo)變換公式的應(yīng)用.五 教學(xué)過程: 1.線性空間的基變換,基的過渡矩陣

設(shè)V/K是n維線性空間,設(shè)?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n是兩組基,且

??1?t11?1?t21?2???tn1?n,???t??t????t?,?2121222n2n ????????????????n?t1n?1?t2n?2???tnn?n.將其寫成矩陣形式

?t11t12?t1n???tt?t2n?(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)?2122.????????t?t?tnn??n1n2定義4.11 我們稱矩陣

?t11t12?t1n???tt?t2n?T??2122 ????????t?t?tnn??n1n2為從?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的過渡矩陣.命題4.6 設(shè)在n維線性空間V/K中給定一組基?1,?2,?,?n.T是K上一個(gè)n階方陣.命

(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.·６６·則有?1,?2,?,?n是V/K的一組基,當(dāng)且僅當(dāng)T可逆.證明:若?1,?2,?,?n是線性空間V/K的一組基,則?1,?2,?,?n線性無關(guān).考察同構(gòu)映射?:V?Kn,???在?1,?2,?,?n下的坐標(biāo),構(gòu)造方程

k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?0, 其中ki?K,(i?1,2,?,n), ??(k1?1?k2?2???kn?n)?0?k1?1?k2?2???kn?n?0, ?k1?k2???kn?0??(?1),?(?2),?,?(?n)線性無關(guān).?(?1),?(?2),?,?(?n)構(gòu)成了過渡矩陣的列向量,所以過渡矩陣可逆；

反過來,若過渡矩陣可逆,則構(gòu)造方程

k1?1?k2?2???kn?n?0,其中ki?K,(i?1,2,?,n), 兩邊用?作用,得到k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?0, ?k1?k2???kn?0.證畢.2.向量的坐標(biāo)變換公式；Kn中的兩組基的過渡矩陣(1)向量的坐標(biāo)變換公式

設(shè)V/K有兩組基為?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n,又設(shè)?在?1,?2,?,?n下的坐標(biāo)為?a1,a2,?,an?,即

?a1???a??(?1,?2,?,?n)?2?，?????a???n?在?1,?2,?,?n下的坐標(biāo)為(b1,b2,?,bn),即

?b1???b??(?1,?2,?,?n)?2?.?????b???n?現(xiàn)在設(shè)兩組基之間的過渡矩陣為T,即(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.記

·６７·

?a1??b1?????ab2?2???X?,Y?, ?????????a???b???n??n?于是

(?1,?2,?,?n)X?(?1,?2,?,?n)Y?[(?1,?2,?,?n)T]Y?(?1,?2,?,?n)(TY).于是,由坐標(biāo)的唯一性,可以知道X?TY,這就是坐標(biāo)變換公式.(2)Kn中兩組基的過渡矩陣的求法 我們?cè)O(shè)Kn中兩組基分別為

?1?(a11,a12,?,a1n),?2?(a21,a22,?,a2n),?????????n?(an1,an2,?,ann).和

?1?(b11,b12,?,b1n),?2?(b21,b22,?,b2n),?????????n?(bn1,bn2,?,bnn).而(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.按定義,T的第i個(gè)列向量分別是?i在基?1,?2,?,?n下的坐標(biāo).將?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n看作列向量分別排成矩陣

?a11?a21?A?????a?n1a12?a1n??b11b12?b1n????a22?a2n?bb?b21222n?；B??，????????????b?an2?ann?b?bnn???n1n2則有B?AT,將A和B拼成n?2n分塊矩陣?A|B?,利用初等行變換將左邊矩陣A化為單位矩陣E,則右邊出來的就是過渡矩陣T,示意如下:(A|B)?行初等變換????(E|T).·６８·

§5 線性子空間

一 授課內(nèi)容:§5 線性子空間

二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性子空間的定義、判別定理.三 教學(xué)重點(diǎn):線性子空間的定義、判別定理.四 教學(xué)難點(diǎn):線性子空間的判別定理.五 教學(xué)過程: 1.線性空間的子空間的定義

定義4.12(子空間)設(shè)V是數(shù)域K上的一個(gè)線性空間,M時(shí)V的一個(gè)非空子集.如果M關(guān)于V內(nèi)的加法與數(shù)乘運(yùn)算也組成數(shù)域K上的一個(gè)線性空間,則稱為V的一個(gè)子空間.命題4.7 設(shè)V是K上的線性空間,又設(shè)一個(gè)非空集合W?V,則W是子空間當(dāng)且僅當(dāng)下述兩條成立: i)W對(duì)減法封閉； ii)W對(duì)于K中元素作數(shù)乘封閉.證明:必要性由定義直接得出；

充分性:各運(yùn)算律在V中已有,所以W滿足運(yùn)算律的條件.只需要證明0?W且對(duì)于任意??W,???W,且對(duì)加法封閉即可.事實(shí)上,由于W關(guān)于數(shù)乘封閉,則0???0?W；(?1)??????W,于是對(duì)于??,??W,??????(??)?W,W關(guān)于加法封閉.于是W是V的一個(gè)子空間.證畢.事實(shí)上,W關(guān)于加法和數(shù)乘封閉也可以得出上述結(jié)論.命題4.8 設(shè)W是V的一個(gè)有限維子空間,則W的任一組基可以擴(kuò)充為V的一組基.證明:設(shè)dimV?n,dimW?r,(r?n),若r?n,則命題為真； 若r?n,對(duì)n?r作歸納:設(shè)?1,?2,?,?r為W的一組基,取?r?1?VW,則?1,?2,?,?r,?r?1線性無關(guān).于是令W'?{??k?r?1|??W,k?K},易見,W’是V的一個(gè)子空間,且dimW'?r?1,此時(shí)n?dimW'?n?r?1,對(duì)其用歸納假設(shè)即可.·６９· §6 子空間的交與和

一 授課內(nèi)容:§6子空間的交與和

二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的交與和的定義、性質(zhì)及維數(shù)公式.三 教學(xué)重點(diǎn):子空間的交與和的定義及維數(shù)公式.四 教學(xué)難點(diǎn):子空間的交與和的性質(zhì)及維數(shù)公式..五 教學(xué)過程: 1.子空間的交與和,生成元集 定義4.13 設(shè)?1,?2,?,?t?V,則

?k1?1?k2?2???kt?t|ki?K,i?1,2,?,t?

是V的一個(gè)子空間,稱為由?1,?2,?,?t生成的子空間,記為L(?1,?2,?,?t).易見,生成的子空間的維數(shù)等于?1,?2,?,?t的秩.定義4.14(子空間的交與和)設(shè)V1,V2為線性空間V/K的子空間,定義

V1?V2?{v?V1且v?V2},稱為子空間的交； V1?V2?{v1?v2|v1?V1,v2?V2},稱為子空間的和.命題4.9 V1?V2和V1?V2都是V的子空間.證明:由命題4.7,只需要證明V1?V2和V1?V2關(guān)于加法與數(shù)乘封閉即可.事實(shí)上,??,??V1?V2,則?,??V1,?,??V2.由于V1,V2均是V的子空間,則????V1,????V2,于是????V1?V2,V1?V2關(guān)于加法封閉；???V1?V2,k?K,kv?V1,kv?V2,于是kv?V1?V2,V1?V2關(guān)于數(shù)乘封閉.??,??V1?V2,則由V1?V2的定義,??1,?1?V1,?2,?2?V2,使得???,????1??21?,2而?1??1?V1,?2??2?V2,則

????(?1??2)?(?1??2)?(?1??1)?(?2??2)?V1?V2, V1?V2關(guān)于加法封閉；???V1?V2,k?K,??1?V1,?2?V2,使得???1??2,由于k?1?V1,k?2?V2,則k??k(?1??2)?k?1?k?2?V1?V2,V1?V2關(guān)于

·７０·數(shù)乘封閉.證畢.命題4.10 設(shè)V1,V2,?,Vm是V的子空間,則V1?V2???Vm和V1?V2???Vm均為V的子空間.2.維數(shù)公式.定理4.1 設(shè)V為有限維線性空間,V1,V2為子空間,則

dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2).這個(gè)定理中的公式被稱為維數(shù)公式.證明:設(shè)dimV1?s,dimV2?t,dim(V1?V2)?n,dim(V1?V2)?r,取V1?V2的一組基?1,?2,?,?r(若V1?V2=0,則r?0,基為空集),將此基分別擴(kuò)充為V1,V2的基

?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r, ?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?t?r, 只需要證明?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2?，?t?r是V1?V2的一組基即可.首先,易見V1?V2中的任一向量都可以被?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r線性表出.事實(shí)上,???V1?V2,則???1??2,其中?1?V1,?2?V2,而

?1?k1?1?k2?2???kr?r?kr?1?1?kr?2?2???ks?s?r，?2?l1?1?l2?2???lr?r?lr?1?1?lr?2?2???lt?t?r.ki,lj?K 于是???1??2可被?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?l?r,?1,?2?，?t?r線性表出.只要再證明向量組?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?l?r,?1,?2,?,?t?r線性無關(guān)即可.設(shè)k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?0, 其中ki,aj,bh?K.則

k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r??b1?1?b2?2???bt?r?t?r(*)于是

k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?V1, ?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?V2，·７１· 于是k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?V1?V2,記為?.則?可被?1,?2,?,?r線性表示,設(shè)

??h1?1?h2?2???hr?r, 代入(*),有

h1?1?h2?2???hr?r?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?0, 由于?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?t?r是V2的一組基,所以線性無關(guān),則

h1?h2???hr?b1?b2???bt?r?0, 代回(*),又有k1?k2???kr?a1?a2???as?r?0, 于是向量組?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r線性無關(guān).證畢.推論2.1 設(shè)V1,V2,?,Vt都是有限為線性空間V的子空間,則: dim(V1?V2???Vt)?dimV1?dimV2???dimVt.證明:對(duì)t作歸納.§7 子空間的直和

一 授課內(nèi)容:§7 子空間的直和

二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的直和與補(bǔ)空間的定義及性質(zhì).三 教學(xué)重點(diǎn):子空間的直和的四個(gè)等價(jià)定義.四 教學(xué)難點(diǎn):子空間的直和的四個(gè)等價(jià)定義.五 教學(xué)過程: 1.子空間的直和與直和的四個(gè)等價(jià)定義

定義 設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,V1,V2,?,Vm是V的有限為子空間.若對(duì)于?Vi中任一向量,表達(dá)式

i?1m???1??2????m,?i?Vi,i?1,2,?,m.·７２·是唯一的,則稱?Vi為直和,記為

i?1mV1?V2???Vm或?Vi.i?1m定理 設(shè)V1,V2,?,Vm為數(shù)域K上的線性空間V上的有限為子空間,則下述四條等價(jià): 1)V1?V2???Vm是直和； 2)零向量表示法唯一；

????V)?{0},?i?1,2,?,m； 3)Vi?(V1???Vim4)dim(V1?V2???Vm)?dimV1?dimV2???dimVm.證明: 1)?2)顯然.2)?1)設(shè)???1??2????m??1??2????m,則

(?1??1)?(?2??2)???(?m??m)?0.由2)知,零向量的表示法唯一,于是

?i??i,i?1,2,?,m, 即?的表示法唯一.由直和的定義可知,V1?V2???Vm是直和.????V)?{0},2)?3)假若存在某個(gè)i,1?i?m,使得Vi?(V1???Vim????V),于是存在??V,使得 則存在向量??0且??Vi?(V1???Vjjim?i????m.???1????由線性空間的定義，????V), ???Vi?(V1???Vim則?1???(??)????m???(??)?0,與零向量的表示法唯一矛盾,于是

????V)?{0},?i?1,2,?,m.Vi?(V1???Vim3)?2)若2)不真,則有

0??1????i????m, 其中?j?Vj(j?1,2,?,m)且??i?0.于是

????V), ?i????m?Vi?(V1???V??i??1????im

·７３· 與3)矛盾,于是2)成立.3)?4)對(duì)m作歸納.①m=2時(shí),由維數(shù)公式得到

dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2)?dimV1?dimV2.②設(shè)m?1(m?3)已證,則對(duì)于m, dim(V1?V2???Vm)?dimVm?dim(V1?V2???Vm?1)?dim(Vm?(V1?V2???Vm?1))?dimVm?dim(V1?V2???Vm?1),而?i,1?i?m?1,都有

垐Vi?(V1???Vi???Vm?1)?Vi?(V1???Vi???Vm)?{0}；

由歸納假設(shè),可以得到dim(V1?V2???Vm)?dimV1?dimV2???dimVm.4)?3)?i,1?i?m,都有

垐dim(Vi?(V1???Vi???Vm))?dim(Vi)?dim(V1???Vi???Vm)?dim(V1?V2???Vm)?0, ????V)?{0},?i?1,2,?,m.證畢.于是Vi?(V1???Vim推論 設(shè)V1,V2為V的有限維子空間,則下述四條等價(jià): i)V1?V2是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)V1?V2?{0}；

iv)dim(V1?V2)?dimV1?dimV2.2.直和因子的基與直和的基

命題 設(shè)V?V1?V2???Vm,則V1,V2,?,Vm的基的并集為V的一組基.證明: 設(shè)?i1,?i2,?,?ir是Vi的一組基,則V中任一向量可被

i?{?i?1mi1,?i2,?,?ir}線性表出.又dimV??dimVi?r1?r2???rm,由命題4.5,imi?1它們線性無關(guān),于是它們是V的一組基.證畢.3.補(bǔ)空間的定義及存在性

定義 設(shè)V1為V的子空間,若子空間V2滿足V?V1?V2,則稱為V1的補(bǔ)

·７４·空間.命題 有限維線性空間的任一非平凡子空間都有補(bǔ)空間.證明: 設(shè)V1為K上的n為線性空間V的非平凡子空間,取V1的一組基?1,?2,?,?r,將其擴(kuò)為V的一組基?1,?2,?,?r,?r?1,?r?2,?,?n取V2?L(?r?1,?r?2,?,?n),則有

V?V1?V2,且dimV1?dimV2?n?dim(V1?V2), 于是V?V1?V2,即V2是V1的補(bǔ)空間.證畢.§8 線性空間的同構(gòu)

一 授課內(nèi)容:§1線性空間的同構(gòu)

二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間同構(gòu)的有關(guān)定義及線性空間同構(gòu)的判定.三 教學(xué)重點(diǎn):線性空間同構(gòu)的判定.四 教學(xué)難點(diǎn):線性空間同構(gòu)的判定.五 教學(xué)過程: 1.線性映射的定義

定義 設(shè)U,V為數(shù)域K上的線性空間,?:U?V為映射,且滿足以下兩個(gè)條件: i)?(???)??(?)??(?),(??,??U)； ii)?(k?)?k?(?),(???U,k?K), 則稱?為(由U到V的)線性映射.由數(shù)域K上的線性空間U到V的線性映射的全體記為HomK(U,V),或簡記為Hom(U,V).定義中的i)和ii)二條件可用下述一條代替: ?(k??l?)?k?(?)?k?(?),(??,??U,k,l?K).·７５· 例 Mm?n(K)是K上的線性空間,Ms?n(K)也是K上線性空間,取定一個(gè)K上的s?m矩陣A,定義映射

?:Mm?n(K)?Ms?n(K),x?AX.則?是由Mm?n(K)到Ms?n(K)的線性映射.例 考慮區(qū)間(a,b)上連續(xù)函數(shù)的全體,它是R上的線性空間,令

U?L(1,sinx,sin2x,?,sinnx), V?L(1,cosx,cos2x,?,cosnx).再令

?:則?是由U到V的一個(gè)線性映射.定義 設(shè)?:U?V是線性映射

U?V,f(x)?AX.i)如果?是單射,則稱?是單線性映射(monomorphism)； ii)如果?是滿射,則稱?是滿線性映射(endmorphism)；

iii)如果?既單且滿,則稱?為同構(gòu)映射(簡稱為同構(gòu),isomorphism),并說U與V是同構(gòu)的,同構(gòu)映射也稱為線性空間的同態(tài)(homomorphism),同構(gòu)映射的逆映射也是同構(gòu)映射；

iv)?的核(kernel)定義為ker??{??U|?(?)?0}；

v)?的像(image)定義為im?={??V|???U,s.t?(?)??},也記為?(U)；

命題 ker?和im?是V的子空間.證明:容易證明它們關(guān)于加法和數(shù)乘封閉.vi)?的余核定義為coker??V/im?.命題 線性映射f是單的當(dāng)且僅當(dāng)kerf?{0},f是滿的當(dāng)且僅當(dāng)cokerf?{0}.定理(同態(tài)基本定理)設(shè)f:U?V是數(shù)域K上的線性空間的滿線性

·７６·映射,則映射

?:U/kerf?V，??kerf?f(?).是同構(gòu)映射.證明:首先證明?是映射,即若???'?U/kerf,則?(?)??(?').由于???',存在??kerf,使得???'??.于是

f(?)?f(?'??)?f(?')?f(?)?f(?'),即?(?)??(?').再證明?是線性映射.??,??U/ker?,k,l?K,有

?(k??l?)?f(k??l?)?kf(?)?lf(?)?k?(?)?l?(?).易見?是滿射,且有V?imf.只要再證明?是單射即可,即證明.設(shè)??ker?,則?(?)?f(?)?0,于是??kerf,即有??0.ker??{0}證畢.命題 設(shè)?:U?V是線性映射,dimU?n,則下述三條等價(jià): i)?單；

ii)?將U中任意線性無關(guān)組映為V中的線性無關(guān)組； iii)dim?(U)?n.證明:i)?ii)若?1,?2,?,?t?V線性無關(guān),則令

k1?(?1)?k2?(?2)???kt?(?t)?0, 由線性映射的定義,?(k1?1?k2?2???kt?t)?0.?單,于是k1?1?k?2?2??kt?t?0,則k1?k2???kt?0,ii)成立；

ii)?iii)若取U的一組基?1,?2,?,?n,則由已知, ?(?1),?(?2),?,?(?n)線性無關(guān),而im?中任意向量可以被?(?1),?(?2),?,?(?n)線性表出,于是?(?1),?(?2),?,?(?n)構(gòu)成im?的一組基,iii)成立；

iii)?i)由同態(tài)基本定理知U/ker??im?,于是diUm?di?m?ke?r?dim?k?e,r即有ker??{0}.證畢.·７７·

第三篇：《空間與圖形》數(shù)學(xué)教案

《空間與圖形》數(shù)學(xué)教案

“長方形、正方形和平行四邊形”的教學(xué)是在學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了長方形、正方形的基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)長方形和正方形的角和邊的特征。而平行四邊形在教材中是第一次出現(xiàn)只要求學(xué)生能從具體的實(shí)物和圖形中識(shí)別哪個(gè)是平行四邊形，對(duì)它的一些特征有個(gè)初步直觀的認(rèn)識(shí)。本節(jié)課的教學(xué)為下節(jié)學(xué)習(xí)長方形、正方形的周長做了鋪墊。并為今后深入學(xué)習(xí)長方形、正方形和平行四邊形的內(nèi)在聯(lián)系奠定基礎(chǔ)。

由于本學(xué)段學(xué)生的思維處于形象直觀階段，因此教學(xué)中我利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，通過引導(dǎo)觀察和操作獲取數(shù)學(xué)知識(shí)。

根據(jù)新課標(biāo)對(duì)“空間與圖形”提出的’初步建立空間觀念發(fā)展形象思維”的要求及學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，結(jié)合三維目標(biāo)，我確立了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能目標(biāo)：通過觀察操作能用自己的語言描述長方形、正方形的特征，初步認(rèn)識(shí)平行四邊形。

2、過程與方法：讓學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，能合理清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

3、情感態(tài)度價(jià)值觀：

激發(fā)學(xué)生對(duì)身邊數(shù)學(xué)有關(guān)的某些事物的好奇心，能積極參與生動(dòng)直觀的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

本節(jié)課的重點(diǎn)是：掌握長方形、正方形的特征，初步認(rèn)識(shí)平行四邊形。

難點(diǎn)是：弄清長方形、正方形之間的區(qū)別與聯(lián)系。

為了更好的實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，課堂上我注重讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中理解數(shù)學(xué)。引導(dǎo)他們?cè)谟^察、操作、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中探索發(fā)現(xiàn)長方形、正方形和平行四邊形的特征。并鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言進(jìn)行描述，使他們經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過程。真正促進(jìn)學(xué)生在知識(shí)與技能、情感態(tài)度價(jià)值觀和一般能力方面的全面發(fā)展，而不僅僅局限于知識(shí)與技能方面的發(fā)展。

新課標(biāo)指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能單純依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！边@一理念，我采取了“引導(dǎo)

第四篇：“空間與圖形”教學(xué)策略

“空間與圖形”教學(xué)策略

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)分為“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四個(gè)領(lǐng)域。#此前在首頁部分顯示#這節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)內(nèi)容——“平移與旋轉(zhuǎn)”屬于“空間與圖形”?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》與原《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》相比，其變化一方面是體現(xiàn)在內(nèi)容結(jié)構(gòu)上，另一方面是體現(xiàn)在課程內(nèi)容上。變化的課程內(nèi)容中有增強(qiáng)的內(nèi)容，也有削弱的內(nèi)容。其增強(qiáng)的內(nèi)容之一是有關(guān)“空間與圖形”領(lǐng)域知識(shí)的教學(xué)。在空間與圖形的教學(xué)中，課標(biāo)把發(fā)展學(xué)生的空間觀念作為核心目標(biāo)，而以前的大綱沒有把這一目標(biāo)當(dāng)作重中之重。

以往的小學(xué)幾何教學(xué)，只是單純的學(xué)習(xí)習(xí)近平面圖形和立體圖形的概念、性質(zhì)和計(jì)算，教材中除了長方體、正方體、圓柱、圓錐幾個(gè)簡單幾何體的體積、表面積計(jì)算外，幾乎沒有任何別的三維空間的內(nèi)容，對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中很多實(shí)際問題都涉及不到。學(xué)生雖然會(huì)解答復(fù)雜的面積、體積計(jì)算，但不知道一噸煤有多少？裝一噸水的容器應(yīng)該多大？學(xué)習(xí)了許多計(jì)量單位，會(huì)進(jìn)行復(fù)雜的化聚法，但不知道1千克雞蛋約有多少個(gè)？不會(huì)看公共汽車線路圖??對(duì)于這樣的教學(xué)結(jié)果，根本談不上空間觀念的培養(yǎng)。

而新課標(biāo)將以往的幾何拓展為“空間與圖形”，把視野拓寬到學(xué)生生活的空間中。內(nèi)容涉及到現(xiàn)實(shí)世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換。比如一年級(jí)理解物體的前后、左右、上下，從不同角度觀察物體；二年級(jí)的認(rèn)識(shí)東南西北，不同角度觀察長方體與正方體的形狀。像我們?nèi)昙?jí)“平移和旋轉(zhuǎn)”的前一課是“對(duì)稱圖形“，它的教學(xué)目標(biāo)不僅要求學(xué)生感知現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在的對(duì)稱現(xiàn)象，體會(huì)對(duì)稱圖形的特征，而且要能在方格紙上劃出簡單圖形的對(duì)稱圖形。而人教版教材直到五年級(jí)下學(xué)期才認(rèn)識(shí)對(duì)稱圖形，且不要求畫圖形的對(duì)稱圖形。新課標(biāo)使學(xué)生在觀察物體、認(rèn)識(shí)方向、制作模型、圖案設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)操作等各種活動(dòng)中，更好地理解人類賴以生存的空間，理解和認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界。

另外，小學(xué)生的思維方式正處于以具體形象思維為主逐步向抽象邏輯思維過渡的階段，這一階段恰恰也是兒童空間知覺，即形體直觀認(rèn)知能力形成的重要階段?？梢?，小學(xué)生的空間觀念還處于初步發(fā)展階段，這種能力的培養(yǎng)仍然與直接和感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，仍然具有很大成分的具體形象性。在學(xué)生空間觀念的發(fā)展上，教師應(yīng)從具體事物的感知出發(fā)，在學(xué)生獲得清晰、深刻的表象后，再逐步抽象出幾何形體的特征和性質(zhì)；要引導(dǎo)學(xué)生有目的、有順序、有重點(diǎn)地去觀察所學(xué)過的幾何形體，在學(xué)生反復(fù)細(xì)致觀察的基礎(chǔ)上發(fā)展其空間觀念。

發(fā)展與培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念尤為強(qiáng)調(diào)的教學(xué)目標(biāo)，基于這些認(rèn)，“空間與圖形”的教學(xué)策略我就從以下五方面進(jìn)行闡述：

一、問題情境是形成空間觀念的有效切入點(diǎn)。

二、學(xué)生經(jīng)驗(yàn)是發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ)。

三、實(shí)踐操作是培養(yǎng)空間觀念的重要形式。

四、實(shí)際應(yīng)用是運(yùn)用空間觀念的良好土壤。

五、多媒體課件是培養(yǎng)空間觀念的有效手段。

一、問題情境是形成空間觀念的有效切入點(diǎn)。

俗話說良好的開端是成功的一半。引入階段正處在一堂課的起始階段，處理的是否恰當(dāng)，直接影響到學(xué)生學(xué)習(xí)的情緒，以及思維的活躍程度。因此，在教學(xué)中，我非常重視新授課的導(dǎo)入。在課的開始我給學(xué)生播放帶有平移和旋轉(zhuǎn)畫面的兒童歌曲，在學(xué)生的無意注意中感受物體的運(yùn)動(dòng)，有效地與物體運(yùn)動(dòng)中的 “平移旋轉(zhuǎn)”緊密銜接起來，由于熟悉與喜愛學(xué)生跟著唱起來，學(xué)生不由自主地進(jìn)入角色。再比如教學(xué)年月日時(shí)，我饒有興致地請(qǐng)學(xué)生猜謎語：“一物生來真希奇，身穿三百多件衣。每天給它脫一件，脫到年底剩張皮”。這種興趣導(dǎo)入把學(xué)生的心理調(diào)節(jié)到最佳狀態(tài)，使學(xué)生處于一種積極思維的狀態(tài)中，從而激活思維。

數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入的方式方法非常多，我只簡單舉了兩個(gè)例子。北師大教材用“問題情境——建構(gòu)模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開，以相關(guān)問題情境的研究作為開始，這已成為學(xué)生了解知識(shí)、學(xué)習(xí)知識(shí)的有效切入點(diǎn)。我覺得每節(jié)數(shù)學(xué)課找準(zhǔn)切入點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)一個(gè)生動(dòng)、有趣的情境，激發(fā)學(xué)生探索未知世界的興趣、欲望，使學(xué)生在輕松、愉悅的環(huán)境中接受新知特別關(guān)鍵。

二、學(xué)生經(jīng)驗(yàn)是發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ)。

人們對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，首先不是通過邏輯推理，而是依賴于經(jīng)驗(yàn)，依賴于直覺觀察、反復(fù)實(shí)驗(yàn)而成的。因此我們應(yīng)當(dāng)承認(rèn)：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生并不是一張白紙！學(xué)生的空間知識(shí)來自豐富的現(xiàn)實(shí)原型，與現(xiàn)實(shí)生活關(guān)系非常緊密，這是他們理解和發(fā)展空間觀念的寶貴資源。

因此，我利用課件動(dòng)感直觀的優(yōu)勢(shì)讓學(xué)生在觀察、感受中認(rèn)識(shí)身邊豐富的“平移和旋轉(zhuǎn)”現(xiàn)象，讓學(xué)生欣賞物體運(yùn)動(dòng)的圖像的同時(shí)，思考這些物體是怎樣運(yùn)動(dòng)的，從而輕而易舉地建立起對(duì)這兩種運(yùn)動(dòng)的具體的感性認(rèn)識(shí)，并讓學(xué)生根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分類，以此引導(dǎo)學(xué)生將兩種運(yùn)動(dòng)進(jìn)行對(duì)比，并通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)兩種運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，從而突破知識(shí)建構(gòu)過程中的困難，讓孩子的感性經(jīng)驗(yàn)成為課堂教學(xué)的資源，成為教學(xué)目標(biāo)的組成部分。

當(dāng)平移與旋轉(zhuǎn)的概念在學(xué)生的頭腦中初步形成，我出示一些從網(wǎng)上搜集到的圖片，學(xué)生用剛剛建立的“平移與旋轉(zhuǎn)”的知識(shí)判斷生活中物體的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)一步感知平移與旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的普遍存在。

當(dāng)學(xué)生的感覺知覺在頭腦中形成表象后，我又拓展他們“平移與旋轉(zhuǎn)”物體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的視野，讓學(xué)生說出生活中還有哪些平移與旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象？在這一過程中，學(xué)生的空間經(jīng)驗(yàn)得到不斷的補(bǔ)充和概括，逐步上升為“空間觀念”，形成一種能力，真正演繹知識(shí)建構(gòu)的全過程。

作為教師，應(yīng)充分挖掘和利用身邊豐富有趣的實(shí)例，應(yīng)當(dāng)尊重、調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)檫@些現(xiàn)象是圖形變換知識(shí)的基礎(chǔ)和源泉。如果對(duì)這些現(xiàn)象缺乏充分的感知和濃厚的興趣，不僅導(dǎo)致所學(xué)知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)脫節(jié)，成了無源之水、無本之木，學(xué)生學(xué)起來抽象、乏味，而且人也由于來自缺乏來自生活現(xiàn)象的啟示，而逐漸喪失想象力和創(chuàng)造的靈感。真實(shí)的課堂應(yīng)該面對(duì)學(xué)生真實(shí)的起點(diǎn)。

三、實(shí)踐操作是培養(yǎng)空間觀念的重要形式。

按照皮亞杰的觀念：空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須有動(dòng)手做的過程。這個(gè)做的過程，不僅是一個(gè)實(shí)踐的過程，更是嘗試、想像、推理、驗(yàn)證、思考的過程，只有在這樣的過程中，學(xué)生才能逐步把握概念的本質(zhì)。操作、測(cè)量、實(shí)驗(yàn)、設(shè)計(jì)、欣賞、推理和論證的訓(xùn)練以及合作學(xué)習(xí)、探索性活動(dòng)都應(yīng)成為“空間與圖形”教與學(xué)的重要形式。教材中出現(xiàn)的“畫一畫、折一折、描一描、搭一搭、移一移”等等都是要學(xué)生通過實(shí)踐、操作體驗(yàn)圖形變換的知識(shí)并形成技能。因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)積極創(chuàng)造條件，讓學(xué)生動(dòng)手操作，多種感官協(xié)調(diào)統(tǒng)一，在實(shí)踐操作過程中引導(dǎo)學(xué)生感受、探索、發(fā)現(xiàn)未知。學(xué)生只有通過自己的實(shí)踐、探索，才能真正掌握所學(xué)的知識(shí)。其本質(zhì)就是“做數(shù)學(xué)”，只有做，學(xué)生才能真正理解。在這個(gè)意義上，有效的空間與圖形學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶。

平移、旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象在生活中雖隨處可見，但平移旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)要讓學(xué)生用語言表述很難。在這節(jié)課上針對(duì)三年級(jí)的學(xué)生在運(yùn)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言進(jìn)行描述的不足，我調(diào)動(dòng)學(xué)生用肢體語言進(jìn)一步感知和表達(dá)兩種運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，以動(dòng)作的準(zhǔn)確性來彌補(bǔ)語言表達(dá)的不足，動(dòng)作邏輯能內(nèi)化為心理的邏輯。

與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容相比，空間與圖形更能激起學(xué)生良好的情感體驗(yàn)。在動(dòng)手操作過程中深刻體會(huì)和把握?qǐng)D形變換的特征，操作體驗(yàn)中學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)、技能的形成過程，也有利于培養(yǎng)實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，從中體會(huì)創(chuàng)造的樂趣與艱辛，領(lǐng)略圖形世界的神奇?！把圻^百遍，不如手過一遍”。

四、實(shí)際應(yīng)用是運(yùn)用空間觀念的良好土壤。學(xué)生建立了清晰的表象，擺脫了具體事物的束縛，順利地過渡到空間形式的掌握后，將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，這將成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力。

古老的上海音樂廳成功平移66米以及貓捉老鼠的游戲都是應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)知識(shí)。當(dāng)課堂所學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中得以應(yīng)用，學(xué)生會(huì)驚訝，感嘆。學(xué)到的知識(shí)進(jìn)一步得到發(fā)展、提升。

其實(shí)學(xué)生解決這些問題過程中，已經(jīng)有意無意喚起這些圖形在頭腦中形成的表象，再現(xiàn)了這些圖形的特征，然后把它們抽象出來。學(xué)以致用，促進(jìn)了學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

五、多媒體課件是培養(yǎng)空間觀念的有效手段。

教師在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中，要盡可能地創(chuàng)設(shè)出優(yōu)化的學(xué)習(xí)環(huán)境，以促進(jìn)學(xué)生的高效率學(xué)習(xí)。計(jì)算機(jī)被人們認(rèn)為是“教學(xué)過程中優(yōu)化學(xué)習(xí)環(huán)境、輔助學(xué)生學(xué)習(xí)的有效的認(rèn)知工具”。它在幫助學(xué)生掌握知識(shí)及技能、激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí)等方面創(chuàng)設(shè)的學(xué)習(xí)環(huán)境，是其它工具所無法替代的。

首先利用課件，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師對(duì)數(shù)學(xué)的描述大多是通過粉筆，黑板進(jìn)行的，難以生動(dòng)地表現(xiàn)與數(shù)學(xué)概念有關(guān)的信息背景。利用計(jì)算機(jī)能較容易地設(shè)計(jì)出具體事物的模擬仿真環(huán)境，代替書本或僅用抽象語言的描述，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生更容易理解和建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。

“平移與旋轉(zhuǎn)”中的“平移”用自定義動(dòng)畫中的動(dòng)作路徑就能實(shí)現(xiàn)。學(xué)習(xí)圖形平移幾格時(shí)，我創(chuàng)設(shè)了“小豬與小馬吵架，請(qǐng)同學(xué)們?cè)u(píng)理”的情境，當(dāng)用大屏幕演示出這幅反映內(nèi)容的畫面時(shí)，馬上就引起了學(xué)生的好奇，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，同桌之間、小組之間進(jìn)行了激烈的討論。并在課堂上踴躍發(fā)言，紛紛提出自己的見解，激發(fā)起學(xué)生極大的探究欲望。

如果通過黑板用文字直接表述，不易提起學(xué)生解題的興趣和欲望。通過計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)問題情景，不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的濃厚興趣，學(xué)生學(xué)起來特別投入、專注，而且使學(xué)生在我設(shè)計(jì)的“問題情景——分析問題——解決問題”的各個(gè)環(huán)節(jié)中保持高度興奮，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更為有意義，而不是機(jī)械地為學(xué)數(shù)學(xué)而學(xué)數(shù)學(xué)。同時(shí)學(xué)生們也看到了如何將一個(gè)生活問題數(shù)學(xué)化的過程，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

其次，運(yùn)用計(jì)算機(jī)，設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)模擬，使抽象深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)以簡單明了、直觀的形式出現(xiàn)，能讓學(xué)生迅速而準(zhǔn)確地建立數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，輕松地學(xué)。

利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行課堂演示，通過精心設(shè)計(jì)的動(dòng)畫、插圖和音頻等，可以縮短了客觀事物與學(xué)生之間的距離，更好地幫助學(xué)生思考知識(shí)間的聯(lián)系，促進(jìn)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。把運(yùn)動(dòng)和變化展現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生由形象的認(rèn)識(shí)提高為抽象的概括，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣會(huì)起到很好的效果。同時(shí)，在這里也應(yīng)注意，計(jì)算機(jī)的演示只能是幫助學(xué)生思考，而不能代替學(xué)生的思考，教師應(yīng)當(dāng)恰當(dāng)?shù)慕o予提示，結(jié)合計(jì)算機(jī)的演示幫助學(xué)生完成思考過程，形成對(duì)概念的理解。

在空間觀念的建立、理解上，有些時(shí)候語言的描述繁瑣、蒼白，甚至無能為力。像這節(jié)課開始我給學(xué)生展現(xiàn)的升國旗時(shí)國旗的平移運(yùn)動(dòng)、鼠標(biāo)的平移、風(fēng)車的旋轉(zhuǎn)、火車開動(dòng)時(shí)的平移等，設(shè)計(jì)這樣的動(dòng)態(tài)模擬，使學(xué)生迅速而準(zhǔn)確地建立數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，輕松地學(xué)，這不是語言所能替代的。

這樣的動(dòng)態(tài)模擬畫面把抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，從而也幫助學(xué)習(xí)打通了具體直觀與空間想象之間的障礙，培養(yǎng)他們的空間想象力，建立起空間觀念，為學(xué)生迅速而準(zhǔn)確地建立數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)創(chuàng)造了有利的學(xué)習(xí)環(huán)境。這是傳統(tǒng)的教學(xué)媒體難以達(dá)到的。

再次，提高課堂利用率，做到更高密度的知識(shí)傳授。

計(jì)算機(jī)是將傳統(tǒng)教學(xué)過程中教師通過黑板、投影片、教具模型等媒體展示的各種信息，由計(jì)算機(jī)加工成文字、圖形、影象等資料，并進(jìn)行一些必要的處理（如動(dòng)畫），將這些資料組織起來。利用這種模式進(jìn)行課堂教學(xué)，在較短的時(shí)間內(nèi)，計(jì)算機(jī)能使學(xué)生多種感官并用，提高對(duì)信息的吸收率，加深對(duì)知識(shí)的理解，這節(jié)課在學(xué)生總結(jié)出觀察一個(gè)圖形的平移過程，只需觀察該圖形上任意一點(diǎn)的平移過程后，觀察三角形的平移過程，我用課件分別出示三角形的三個(gè)點(diǎn)，演示三角形三個(gè)點(diǎn)平移的方向和位置；小房子向左平移3格，同樣用課件演示若干個(gè)特征點(diǎn)平移后的位置，從而迅速確定小房子平移3格后的位置。使得靜態(tài)問題動(dòng)態(tài)化，使得原來難于理解的問題，幾分鐘內(nèi)就在學(xué)生的腦海中迅速而準(zhǔn)確地建構(gòu)起來，并給學(xué)生留下深刻的印象。

但并不是說，計(jì)算機(jī)用的越多就越好，不能為用計(jì)算機(jī)而用計(jì)算機(jī)。如果一個(gè)教具能演示清楚的，不一定非通過計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)作為有效的輔助認(rèn)知工具是為教學(xué)服務(wù)的，要把它用得恰到好處。傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)應(yīng)該保留，如老師的示范作用、教師與學(xué)生之間富于人情味的及時(shí)交流，教師組織起來的探討問題的活躍氛圍等等，理想的教學(xué)應(yīng)該是把教師與計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)同時(shí)充分發(fā)揮出來，把計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)完美地結(jié)合在一起。

對(duì)于我們來說，課程改革已不是什么新鮮的話題，但我一直在思索，新課程背景下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，我們更應(yīng)關(guān)注什么？關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法。因?yàn)?“思想”是數(shù)學(xué)的靈魂，“方法”是數(shù)學(xué)的行為。

第五篇：《交往與空間》讀書筆記

揚(yáng)。蓋爾的《交往與空間》，是建筑與城市規(guī)劃的入門教程，本書內(nèi)容并不深?yuàn)W，卻可以教會(huì)我們從人本主義的角度去理解設(shè)計(jì)，書中的研究方法——行為心里學(xué)和問卷調(diào)查分析也是我們以后進(jìn)行地形調(diào)查，創(chuàng)作設(shè)計(jì)的必要手段。

書中首先是區(qū)分了幾種戶外活動(dòng)行為。必要性活動(dòng)，自主性活動(dòng)，社會(huì)性活動(dòng)。必要性活動(dòng)指那些不得不發(fā)生的室外行為，包括上班的路上，接見朋友，出行等，這種行為發(fā)生的頻率不受室外環(huán)境質(zhì)量的影響，但好的室外環(huán)境可以延長人們?cè)谑彝獾耐Ａ魰r(shí)間。自發(fā)性活動(dòng)主要指?jìng)€(gè)人的室外行為，包括散步、呼吸新鮮空氣、鍛煉等，強(qiáng)調(diào)的是個(gè)人的自主行為，行為的發(fā)生并以與別人的交往為目的，但是這種自發(fā)性行為可以誘發(fā)社會(huì)性活動(dòng)，這個(gè)自發(fā)性活動(dòng)受室外空間環(huán)境影響，因?yàn)槊鎸?duì)混亂的交通，相信你也沒有室外散步的心情。社會(huì)性活動(dòng)強(qiáng)調(diào)人與人之間的交流，可以獲得信息，較低一級(jí)的交流主要就是看與被看的這樣一種關(guān)系，可以獲得簡單的信息，高級(jí)的交流，包括具有各種活動(dòng)內(nèi)容的語言交流。書中涉及的是社會(huì)性活動(dòng)。

促進(jìn)社會(huì)性活動(dòng)的發(fā)生有三個(gè)層次，宏觀城市尺度、中觀尺度、微觀尺度、在城市尺度上，解決辦法主要是通過城市功能的混合，提倡完善的步行交通和廣場(chǎng)設(shè)計(jì)。在現(xiàn)在一個(gè)車型的城市尺度下，似乎步行的交通更被人們遺忘，因?yàn)槿藗円姷降耐菫榱私ㄔO(shè)快速的交通，不停的修著過街天橋或地下通道，把人趕得上天入地，而恰恰從人類發(fā)生行為的角度，水平的交通是人們最愛行走的。另一方面就是城市的廣場(chǎng)，在歐洲，一直以來，城市的廣場(chǎng)就是人們生活的一部分，廣場(chǎng)是各種生活的集散地，那里有教堂、市政廳、市場(chǎng)、小憩的茶座等等。而我們面臨的實(shí)際是我們現(xiàn)在所生活的城市是否有嚴(yán)格意義上的廣場(chǎng)，我們所稱作的廣場(chǎng)更多的是單一功能的地方，本身不具有吸引人們活動(dòng)的內(nèi)容?？赡墁F(xiàn)有城市中更多的是城市公園，但這里還是要區(qū)分廣場(chǎng)與公園之間關(guān)系。從形式的角度講，公園擁有更多的綠地，是一個(gè)城市的氧吧，但正是這樣公園并沒有吸引更多的人，往往是一對(duì)對(duì)的小情侶，公園內(nèi)部缺少開闊的視野，缺少足夠的人氣發(fā)生人看人的活動(dòng)。而廣場(chǎng)的存在則是一種功能更加復(fù)合的設(shè)施，它可能沒有那么多的綠地，但它的復(fù)雜性足夠保證它的人氣。我時(shí)常憧憬著這樣的一個(gè)城市的廣場(chǎng)，在一個(gè)風(fēng)和日歷的下午，我和幾個(gè)朋友坐在廣場(chǎng)的一邊，手里拿著從小販那買的珍珠奶茶，無聊的扯著閑段子，聽著街頭藝人跑掉的音樂和周圍人流的嘈雜。。。。

在中觀的尺度，主要是指小區(qū)的設(shè)計(jì)上。在小區(qū)設(shè)計(jì)上，作者的觀點(diǎn)是小區(qū)的結(jié)構(gòu)要與社會(huì)的結(jié)構(gòu)的一致。因此作者鼓勵(lì)的是分級(jí)組團(tuán)的設(shè)計(jì)思想。把一個(gè)小區(qū)分為若干組團(tuán)，組團(tuán)共用大的社區(qū)公共設(shè)施，而每個(gè)組團(tuán)內(nèi)部也有自己相應(yīng)的公共設(shè)計(jì)。我認(rèn)為這是一種空間層級(jí)公共空間、半公共空間、半私密空間的劃分，是一種心理學(xué)意義上對(duì)領(lǐng)域空間的把握，而不是社會(huì)的結(jié)構(gòu)，社會(huì)的結(jié)構(gòu)是什么我也不太清楚，我更多的是理解為階級(jí)一類的構(gòu)成吧?，F(xiàn)代的小區(qū)設(shè)計(jì)基本都是這樣的一種理念，但好的小區(qū)能把組團(tuán)區(qū)分的更加明確，領(lǐng)域感更強(qiáng)。書中談到的一個(gè)舊城更新的例子很有意思，把原有的小區(qū)的單一住宅功能，部分用作沒有污染的工廠、辦公等。這是可以改變住區(qū)內(nèi)單一的構(gòu)成，提高小區(qū)的多樣性，增加交往的可能，但是過多的引入可能會(huì)造成小區(qū)內(nèi)居民生活的不安全感，存在一個(gè)度和管理上的問題。這個(gè)有點(diǎn)像loft的逆過程，有點(diǎn)意思。

在微觀層次上，涉及的主要就是一些城市家具的設(shè)計(jì)和人的一些習(xí)慣。邊緣效應(yīng)對(duì)于城市家具的布置有一定的指導(dǎo)意義。意思是活動(dòng)的人們更傾向于再廣場(chǎng)的邊緣停留，因?yàn)樵谶吘壢藗兲幱谝粋€(gè)比較安全的位置，可以較好的觀察別人而不被別人看到，而在內(nèi)部往往視野不夠開闊同時(shí)也沒有安全感。因此休息座椅布置在邊緣會(huì)有更高的上座率。書中還談到一些人的生理習(xí)慣，包括人的線性行為——街道，100米人能區(qū)分人群的極限，20米人看清面部表情的距離等。

書中還有很多有見解的思想，因?yàn)槌鞘械难亟至⒚媸俏说牟糠?，同時(shí)由于人的眼睛觀察習(xí)慣，基本是對(duì)一層的觀察，不會(huì)抬頭望向高處或者地下，所以作者提出把沿街的商業(yè)立面劃分的更小，進(jìn)深更長，把那些銀行、辦公等沒有 《交往與空間》讀書筆記

人氣的立面隱藏起來，把這些就機(jī)構(gòu)搬到二層，或者通過入口引入搬到內(nèi)部。這個(gè)方式我還真沒有見過，不過像銀行那種機(jī)構(gòu)的前面沒有人氣的確是事實(shí)，而且像譚木匠那種小面闊的小店好像很有人氣，不過就是擠了點(diǎn)，這種沿街商業(yè)的合理構(gòu)成的卻是個(gè)問題。