第一篇：2014數(shù)學(xué)建模A題

嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略

摘 要：

嫦娥三號(hào)衛(wèi)星采用的是軟著陸方式登陸月球，在衛(wèi)星高速飛行的情況下，我們要精確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，需要對(duì)其運(yùn)行軌道進(jìn)行設(shè)計(jì)并制定相應(yīng)控制策略。由于天體的運(yùn)動(dòng)均滿足開普勒三大定律以及總能量守恒定律，我們據(jù)此建立一系列的方程，最終求得衛(wèi)星在近月點(diǎn)處的速度大小Va?b/(a?c)*GM/a?1.6922km/s 求得衛(wèi)星在遠(yuǎn)月點(diǎn)處的速度大小Vb?b/(a?c)*GM/a?1.6139km/s。其速度方向均為當(dāng)前運(yùn)動(dòng)軌道的切方向。

嫦娥三號(hào)的軟著陸過程又分為6個(gè)階段，對(duì)每個(gè)階段都要進(jìn)行一定的控制。通過對(duì)數(shù)值的分析，我們制定如下策略：在主減速階段，首先衛(wèi)星的發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)全部用于水平方向的減速，豎直方向以自由落體狀態(tài)加速下降，直至豎直方向速度達(dá)到56.8505m/s，水平方向速度為4.9522m/s，耗費(fèi)燃料90kg，衛(wèi)星下落高度約為14695m。之后發(fā)動(dòng)機(jī)推力仍以最大輸出工作，其推力在豎直方向上瞬間產(chǎn)生約3752N的向上阻力，在水平方向上產(chǎn)生6494N的阻力，使得衛(wèi)星在主減速的后半階段在豎直方向開始勻速運(yùn)動(dòng)，水平方向繼續(xù)做減速運(yùn)動(dòng)水平速度最終降為0，直至衛(wèi)星降落到距月3000m高度處；在快速調(diào)整階段，姿態(tài)發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)整衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樨Q直向下，主發(fā)動(dòng)機(jī)繼續(xù)工作，發(fā)動(dòng)機(jī)在水平方向上產(chǎn)生1097N推力，豎直方向上產(chǎn)生3752N推力，使得衛(wèi)星水平方向的速度降為0m/s，豎直方向繼續(xù)以57m/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)；在粗避障階段，衛(wèi)星對(duì)其正下方月面進(jìn)行拍照獲得數(shù)字高程圖，利用matlab軟件對(duì)圖像進(jìn)行灰度色差分析，進(jìn)而初略確定了一個(gè)著陸點(diǎn)的像素點(diǎn)坐標(biāo)(193，1169），過程中，姿態(tài)發(fā)動(dòng)機(jī)根據(jù)圖像進(jìn)行衛(wèi)星的位置調(diào)整，主發(fā)動(dòng)機(jī)用于豎直方向上的減速工作，使得衛(wèi)星在距月100m處達(dá)到懸停狀態(tài)；精避障階段，進(jìn)行更精細(xì)的月面拍攝，采用同粗避障段類似方法得到更精確的像素點(diǎn)坐標(biāo)為(318，651),同時(shí)利用姿態(tài)發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)整運(yùn)動(dòng)方向的同時(shí)主發(fā)動(dòng)機(jī)工作對(duì)水平方向進(jìn)行速度控制，使其在距月30m處水平速度為0m/s；緩慢下降階段，發(fā)動(dòng)對(duì)衛(wèi)星豎直方向進(jìn)行減速控制，使其在距月4m處合速度變?yōu)?m/s；在最后階段，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，使其做自由落體運(yùn)動(dòng)，最終成功著陸。

關(guān)鍵詞：

軟著陸 開普勒定理 優(yōu)化控制 基于C語言編程

一、問題重述

嫦娥三號(hào)于2013年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。此次嫦娥三號(hào)采用的是軟著陸方法。

但嫦娥三號(hào)在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是對(duì)著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為6個(gè)階段，并要求滿足每個(gè)階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)，盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據(jù)題目給出的已知量建立合適的模型求解分析下列幾個(gè)問題：

（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小與方向。

（2）確定嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略。

（3）對(duì)設(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

本問題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于求解出嫦娥三號(hào)衛(wèi)星的繞月運(yùn)行軌道。由于已知衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道。

對(duì)于第一問的關(guān)鍵就是求解出該橢圓軌道與月球赤平面的夾角。由于已知落點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)和軟著陸過程中6個(gè)狀態(tài)的數(shù)值，我們就可以使用逆推法求解出著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)位置。由于衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)滿足開普勒三大定律以及能量守恒定律，我們可以根據(jù)這幾大定律確定幾個(gè)等式聯(lián)立方程組從而求得嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的相應(yīng)速度大小與方向。

對(duì)于第二問，要設(shè)計(jì)一種方案使得在軟著陸的過程中耗能最少，并達(dá)到預(yù)設(shè)的各項(xiàng)指標(biāo)。我們需要不斷的去設(shè)計(jì)、計(jì)算、調(diào)整，在不斷的嘗試摸索中尋找出一個(gè)比較不錯(cuò)的軟著陸方案。

三、模型假設(shè)及符號(hào)約定

3.1 模型假設(shè)（1）假設(shè)衛(wèi)星在主減速階段的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線

（2）假設(shè)衛(wèi)星在3000m處基本就處于目標(biāo)地點(diǎn)的豎直上方（3）假設(shè)月球?yàn)榍蝮w

（4）假設(shè)在近月點(diǎn)即將開始軟著陸狀態(tài)的前后速度基本不變

3.2 符號(hào)約定 符號(hào)

含義 G

引力常量

M

月球的質(zhì)量

m(t)

t時(shí)刻衛(wèi)星的質(zhì)量 月球的半徑

月球表面的重力加速度 r

g'

Vi

ai

Si

Ei

Ti

Ft Ve i位置處衛(wèi)星的速度大小 i方向的加速度

i位置處相對(duì)應(yīng)的面積大小 i位置處衛(wèi)星的能量 到i位置所用時(shí)間 t時(shí)刻發(fā)動(dòng)機(jī)的推力 以m/s為單位的比沖 單位時(shí)間燃料消耗的質(zhì)量 橢圓的半長軸 橢圓的半短軸 橢圓的焦點(diǎn) m ?a

b

c

四、模型建立與求解

4.1 模型建立

4.1.1 問題1衛(wèi)星軌道模型的建立

我們將嫦娥三號(hào)衛(wèi)星繞月運(yùn)行的橢圓軌道抽象出如下圖所示的一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形，月球的月心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F上，橢圓的半長軸為a，半短軸為b，半焦距為c。A點(diǎn)為近月點(diǎn)，速度為Va，B點(diǎn)為遠(yuǎn)月點(diǎn)，速度為Vb。易知A、B兩點(diǎn)距月心的距離La?a?c，Lb?a?c。在一個(gè)極小的時(shí)間段?t內(nèi)，衛(wèi)星與月心連線掃過的面積分別為Sa?Va/2*?t*La，Sb?Vb/2*?t*Lb。由開普勒第二定律可知，衛(wèi)星與中心天體連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，所以Sa?Sb，代入化簡(jiǎn)后可得公式(1)Vb?(a?c)/(a?c)*Va；由于衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的總機(jī)械能等于其動(dòng)能和引力勢(shì)能之和，所以在A點(diǎn)，衛(wèi)星的總機(jī)械 能Ea?1/2*mVa2?(?GMm/La)（公式2），同理B點(diǎn)的總機(jī)械能。衛(wèi)星在運(yùn)行過程中只有動(dòng)能和引力勢(shì)能Eb?1/2*mVb2?(?GMm/Lb)（公式3）之間的轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒，所以Ea?Eb（公式4）。[1] 由上面(1)(2)(3)(4)四個(gè)公式我們可以解得Va?b/(a?c)*GM/a，Vb?b/(a?c)*GM/a。

4.1.2 問題2衛(wèi)星軟著陸各階段控制策略模型的建立

主減速段控制策略：

第一階段，主減速發(fā)動(dòng)機(jī)全力用于水平方向減速，豎直方向呈自由落體加速下落，至下落速度達(dá)到V1y(m/s)為止，用時(shí)記為T1，質(zhì)量減少到M1；

V1y?g'*T1(1)當(dāng)0?t?T1時(shí)，由F?m*Ve可得出下式，t?m(t)?2400??mdt0??2400?2.5510t(2)三號(hào)衛(wèi)星運(yùn)行速度V水平方向分量為：

(3)在0?t?T1內(nèi)，衛(wèi)星下落的高度ht?0.5*g'*t^2, 水平方向位移

t s(t)??(17000?2940ln(2400)?2940ln(2400?2.2210t))dt

(4)第二階段，豎直方向以V1y勻速下降，主減速發(fā)動(dòng)機(jī)仍以最大推力工作，F(xiàn)(t)的豎直方向分力為?m(t)*g'，水平方向分力為Fx(t)?75002?(m(t)*g')2。

記第二階段結(jié)束時(shí)刻，即距月面3000m時(shí)為T2，當(dāng)T1?t?T2時(shí)，m(t)?2400?7500*t/2940?2400?2.5510t(5)下落高度 h(t)?0.5*g'*T12?V1y*(t?T1)(6)水平方向加速度

2ax(t)?fx(t)/m(t)?(75002?(2400?2.5510*t)2*g')/(2400?2.5510t)(7)水平方向速度

ttVx(t)?Vx(T1)?T1222ax(s)ds?Vx(T1)?(7500?(2400?2.5510s)g')/(2400?2.5510s)ds??T1 1=Vx(T1)??2.5510?gg'(2400?2.5510t)'(2400?2.5510T1)(75002?u2/u)du

17500?=Vx(T1)?(75002?u2?7500ln2.5510t75002?u2u

(9)

'(2400?2.5510T1))gg'(2400?2.5510t)(8)水平方向位移 s(t)?s(T1)?快速調(diào)整段控制策略：

Vx(t)dt ?T1

在快速調(diào)整階段，衛(wèi)星仍然以Vy?g'*T1?57m/s的速度下落，水平方向推力逐漸減小到0，這樣衛(wèi)星的方向就正對(duì)目標(biāo)下方了。

在t?T2時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)給與衛(wèi)星水平方向一個(gè)力Fx，使得其水平方向的速度最終降為0m/s；同時(shí)主發(fā)動(dòng)機(jī)在豎直方向上也對(duì)衛(wèi)星施加一個(gè)力，使其在豎直方向上做勻速運(yùn)動(dòng)。水平方向位移Sx(T3)?V0T3?0.5*a*T3^2。

水平方向推力為Fx(t)?m(t)*ax(t)，合力為

?gm?1ve2?tT2m(r)dr

兩邊對(duì)t求導(dǎo)得：

m'(t)?gm?1ve2m(t)

再由t?T2時(shí)，m(t)?m(T2)得，當(dāng)T2?t?T2?4.96時(shí)：

m(t)?m(T2)exp(gm?1ve2(t?T2)

水平方向速度

vx(t)?vx(T2)??ax(r)dr?vx(T2)?t?T2T2t

水平方向位移

s(t)?s(T2)??vx(r)dr?s(T2)?(vx(T2)?T2)(t?T2)?0.5(t2?T2)T2t2

(s(T2?4.96)，15000)就是近月點(diǎn)坐標(biāo)。

粗避障段控制策略：

以下步驟的實(shí)施均在matlab上實(shí)踐，源代碼見附錄2 將抓拍到的圖片利用matlab讀入，求出圖像平均灰度，以此來表示理想降落地點(diǎn)的高度。但通過比較發(fā)現(xiàn)平均灰度并不能代表理想地點(diǎn)高度，于是求出灰度眾數(shù)average，作為理想降落高度。

然后新建圖像，使新圖像上的每點(diǎn)的灰度等于原圖像對(duì)應(yīng)點(diǎn)的灰度與灰度眾數(shù)average的差的絕對(duì)值。于是新圖像上灰度越高的點(diǎn)表示越不理想的點(diǎn)。（matlab運(yùn)行效果圖見附錄3）

選取10 作為分界線，灰度值大于10的改為150，表示不理想的降落地點(diǎn)，灰度值小于10的改為0，表示理想的降落地點(diǎn)。將圖片邊界四周都像素點(diǎn)全部改為灰度150，表示不理想降落地點(diǎn)，因?yàn)樵娇拷鼒D片邊緣則越缺少信息。(matlab運(yùn)行效果圖見附錄4)接下去通過將不理想的點(diǎn)向四周擴(kuò)散來逐漸覆蓋全圖，留下0.001的空隙時(shí)停止擴(kuò)散，則此時(shí)剩余的空隙則為相對(duì)理想的降落地點(diǎn)，求出這些降落地點(diǎn)中離中心飛船最近的地點(diǎn)，作為最終降落地點(diǎn)。

最后我們分別繪制了覆蓋率為0.7時(shí)的圖像、覆蓋率為0.99的圖像、覆蓋率為0.999的圖像(分別件附錄5、6、7)。

精避障段控制策略：

此階段只是在粗壁障階段的基礎(chǔ)上對(duì)著落點(diǎn)做了一個(gè)更精確的定位，所以選點(diǎn)的原理同上。

4.2 模型求解 4.2.1 問題1

由題目已知，衛(wèi)星近月點(diǎn)為15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)為100km，據(jù)此我們可以得出下面一個(gè)等式c?15?(c?r)?100，求解得c?9?r/2 km。據(jù)此又可以導(dǎo)出橢圓的半長軸的大小a?c?r?15?24?3/2*r，半短軸b?a2?c2。然后將a、b、c等數(shù)值代入模型中，便可以直接求出衛(wèi)星在近月點(diǎn)的速度大小Va?1.6922km/s，衛(wèi)星在遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度大小Vb?1.6139km/s。

4.2.2 問題2 主減速階段：

由天體運(yùn)動(dòng)黃金代換式GM?R2g'，得出g'?GM/R2?1.6243m/s2 利用C語言編程使用迭代法搜索T1的值： 具體編程算法見附錄1 Step 1 令t=T1, 下落高度 h(t)?0.5*g'*t^2, deltt=1 豎直方向速度Vy(t)?g'*t, 水平方向速度（初始速度有第一問可知為1692m/s）

Vx(t)?1692?2940ln(2400)?2940ln(2400?2.2210t)水平方向位移

S(t)?(1692?2940ln(2400))t?Step 2 令t=t+ deltt

2940?2.2210t(ulunu?u)2400 2400?2.2210下落高度 h(t)?0.5*g'*T1^2?Vy*(t?T1)豎直方向速度Vy(t)?g'*T1 水平方向速度由（8）式計(jì)算可得 水平方向位移

Step 3 如果h(t)?12000?2641 and Vx(t)?2 如果h(t)?12000?2641 and Vx(t)?step 1 如果h(t)?12000?2641, then end

最后利用C語言編程解得

572?Vy(t)2, then go to step

572?Vy(t)2, then T1?T1?1, goto T1?35s,h?14695.85m,Vx?4.9522m/s,Vy?56.8505m/s。

從而我們可以得出，在主減速階段，首先衛(wèi)星的發(fā)動(dòng)機(jī)的全部動(dòng)力要用于衛(wèi)星水平方向上的減速，豎直方向以自由落體狀態(tài)加速下降，直至豎直方向速度達(dá)到56.8505m/s，水平方向速度為4.9522m/s，此時(shí)衛(wèi)星的質(zhì)量約為2310kg，耗費(fèi)燃料90kg，衛(wèi)星下落高度約為14695m。之后發(fā)動(dòng)機(jī)推力仍以最大輸出工作，其推力在豎直方向上瞬間產(chǎn)生約3752N的向上阻力，在水平方向上產(chǎn)生6494N的阻力，使得衛(wèi)星在主減速的后半階段在 豎直方向開始勻速運(yùn)動(dòng)，水平方向繼續(xù)做減速運(yùn)動(dòng)水平速度最終降為0，直至衛(wèi)星降落到距月3000m高度處。

快速調(diào)整階段：

根據(jù)分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，可以利用衛(wèi)星豎直方向上的運(yùn)動(dòng)方程h?V0t，求得衛(wèi)星在快速調(diào)整階段的最大用時(shí)t?h/V0?10.52s，從而根據(jù)水平方向的運(yùn)動(dòng)公式V?Vo?a*t求得水平方向的最小加速度a?0.475m/s。所以可以得出該過程中發(fā)動(dòng)機(jī)在水平方向上的最小推動(dòng)力Fxmin?1097N，豎直方向上的推力Fxy?mg'?3752N，并求得水平位移S?15234m。

五、模型評(píng)價(jià)與推廣

5.1 模型評(píng)價(jià)

優(yōu)點(diǎn)：本模型采用了化繁為簡(jiǎn)的方法，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，把衛(wèi)星繞月運(yùn)行抽象出一個(gè)橢圓的幾何問題再結(jié)合物理模型利用數(shù)學(xué)方法求解相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)數(shù)值

缺點(diǎn)：本模型很多地方理想化，比如忽視了月球的扁率，衛(wèi)星運(yùn)行中姿態(tài)是變化的某些部分不應(yīng)該用質(zhì)點(diǎn)來處理

5.2 模型推廣

利用本模型的算法可以求出任何天體在每個(gè)時(shí)刻的運(yùn)行速度及其他物理量，方便研究天體運(yùn)動(dòng)，方便針對(duì)性的對(duì)需要探測(cè)的星球設(shè)計(jì)相應(yīng)的衛(wèi)星軌道。

六、參考文獻(xiàn)

[1] 王健偉 李興，近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)速度的兩種典型求法，物理教師，第34卷第6期：58，2013

七、附錄

附錄1：

下面采用的是C語言程序來摸索求解T1的值（運(yùn)行環(huán)境VC++ 6.0）文件夾內(nèi)find_t1.cpp文件

#include #include #include #define g 1.6243

int main(){

int t,t1,deltt=1;

t=t1=4;

double h,vx,vy,compare,u1,u2;

h=0.5*g*t*t;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t);

vy=g*t;

while(1)

{

compare=sqrt(57*57-vy*vy);

if(h<12000+2641 && vx>compare)

{

t=t+deltt;

u1=g*(2400-2.5510*t1);

u2=g*(2400-2.5510*t);

vy=g*t1;

h=0.5*g*t1*t1+(t-t1)*vy;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t)-(1.0/2.5510)*(sqrt(7500*7500-u1*u1)+7500*log((7500-sqrt(7500*7500-u1*u1))/u1)-(sqrt(7500*7500-u2*u2)+7500*log((7500-sqrt(7500*7500-u2*u2))/u2)));

}

else if(h<12000+2641 && vx

{

t1++;

t=t1;

h=0.5*g*t*t;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t);

vy=g*t;

}

else if(h>12000+2641)

{

printf(“t1=%dn”,t1);

printf(“h=%lfn”,h);

printf(“vx=%lfn”,vx);

printf(“vy=%lfn”,vy);

break;

}

}

return 0;}

附錄2：

big=imread('附件3 距2400m處的數(shù)字高程圖');

[m,n]=size(big);

notenum=[1:256];

for i=1:m;for j=1:n;notenum(big(i,j)+1)=notenum(big(i,j)+1)+1;end end

max=0;maxnum=0;for i=1:256;if max

big1=big;for i=1:m for j=1:n big1(i,j)=abs(int8(big1(i,j))-average);end end

big2=big1;

for i=1:m for j=1:n if big2(i,j)>15 big2(i,j)=150;else big2(i,j)=0;end

end end

for i=1:m;big2(i,1)=150;end

for i=1:m;big2(i,m)=150;end

for j=2:n-1;big2(1,j)=150;big2(m,j)=150;end

for k=1:200 num=[m:n];

numsum=0;for i=1:m;for j=1:n;if big2(i,j)>20;num(i,j)=1;numsum=numsum+1;else num(i,j)=0;end

end end

if numsum/(m*n)>0.999 break end

for i=2:m-1;for j=2:n-1;sum=0;if num(i,j)==1;continue else

for i1=-1:1;for i2=-1:1;if num(i+i1,j+i2)==1;sum=sum+1;end

end

end

if rand(1)*3

end

end end end

distance=[m,n];for i=1:m;for j=1:n;if num(i,j)==0;distance(i,j)=(i-m/2)*(i-m/2)+(j-n/2)*(j-n/2);else distance(i,j)=m*m+n*n;end end end

min=m*m+n*n;mini=0;minj=0;

for i=1:m;for j=1:n;if num(i,j)== 0;if min > double(distance(i,j));min=double(distance(i,j))mini=i;minj=j;end end end end

附錄3

附錄4

附錄5 覆蓋率為0.7的圖像

附錄6 覆蓋率為0.99的圖像

附錄7 覆蓋率為0.999的圖像

第二篇：2011數(shù)學(xué)建模A,B題

2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目

（請(qǐng)先閱讀“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文格式規(guī)范”）

A題

城市表層土壤重金屬污染分析

隨著城市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動(dòng)對(duì)城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對(duì)城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)，研究人類活動(dòng)影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。

按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、??、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動(dòng)影響的程度不同。

現(xiàn)對(duì)某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)表層土（0~10 厘米深度）進(jìn)行取樣、編號(hào)，并用GPS記錄采樣點(diǎn)的位置。應(yīng)用專門儀器測(cè)試分析，獲得了每個(gè)樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠(yuǎn)離人群及工業(yè)活動(dòng)的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。

附件1列出了采樣點(diǎn)的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點(diǎn)處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。

現(xiàn)要求你們通過數(shù)學(xué)建模來完成以下任務(wù)：

(1)給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。

(2)通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。

(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點(diǎn)，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？

B題

交巡警服務(wù)平臺(tái)的設(shè)置與調(diào)度

“有困難找警察”，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負(fù)著刑事執(zhí)法、治安管理、交通管理、服務(wù)群眾四大職能。為了更有效地貫徹實(shí)施這些職能，需要在市區(qū)的一些交通要道和重要部位設(shè)置交巡警服務(wù)平臺(tái)。每個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)的職能和警力配備基本相同。由于警務(wù)資源是有限的，如何根據(jù)城市的實(shí)際情況與需求合理地設(shè)置交巡警服務(wù)平臺(tái)、分配各平臺(tái)的管轄范圍、調(diào)度警務(wù)資源是警務(wù)部門面臨的一個(gè)實(shí)際課題。

試就某市設(shè)置交巡警服務(wù)平臺(tái)的相關(guān)情況，建立數(shù)學(xué)模型分析研究下面的問題：

（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區(qū)A的交通網(wǎng)絡(luò)和現(xiàn)有的20個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)的設(shè)置情況示意圖，相關(guān)的數(shù)據(jù)信息見附件2。請(qǐng)為各交巡警服務(wù)平臺(tái)分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內(nèi)出現(xiàn)突發(fā)事件時(shí)，盡量能在3分鐘內(nèi)有交巡警（警車的時(shí)速為60km/h）到達(dá)事發(fā)地。

對(duì)于重大突發(fā)事件，需要調(diào)度全區(qū)20個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)的警力資源，對(duì)進(jìn)出該區(qū)的13條交通要道實(shí)現(xiàn)快速全封鎖。實(shí)際中一個(gè)平臺(tái)的警力最多封鎖一個(gè)路口，請(qǐng)給出該區(qū)交巡警服務(wù)平臺(tái)警力合理的調(diào)度方案。

根據(jù)現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺(tái)的工作量不均衡和有些地方出警時(shí)間過長的實(shí)際情況，擬在該區(qū)內(nèi)再增加2至5個(gè)平臺(tái)，請(qǐng)確定需要增加平臺(tái)的具體個(gè)數(shù)和位置。

（2）針對(duì)全市（主城六區(qū)A，B，C，D，E，F(xiàn)）的具體情況，按照設(shè)置交巡警服務(wù)平臺(tái)的原則和任務(wù)，分析研究該市現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺(tái)設(shè)置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請(qǐng)給出解決方案。

如果該市地點(diǎn)P（第32個(gè)節(jié)點(diǎn)）處發(fā)生了重大刑事案件，在案發(fā)3分鐘后接到報(bào)警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請(qǐng)給出調(diào)度全市交巡警服務(wù)平臺(tái)警力資源的最佳圍堵方案。

附件1：A區(qū)和全市六區(qū)交通網(wǎng)絡(luò)與平臺(tái)設(shè)置的示意圖。

附件2：全市六區(qū)交通網(wǎng)絡(luò)與平臺(tái)設(shè)置的相關(guān)數(shù)據(jù)表（共5個(gè)工作表）。

第三篇：2011年數(shù)學(xué)建模B題

2011年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模B題

交巡警服務(wù)平臺(tái)的設(shè)置與調(diào)度

題 目 警車配置及巡邏問題的研究

摘 要：

本文研究的是某城區(qū)警車配置及巡邏方案的制定問題，建立了求解警車巡邏方案的模型，并在滿足D1的條件下給出了巡邏效果最好的方案。

在設(shè)計(jì)整個(gè)區(qū)域配置最少巡邏車輛時(shí)，本文設(shè)計(jì)了算法1：先將道路離散化成近似均勻分布的節(jié)點(diǎn)，相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離約等于一分鐘巡邏路程。由警車的數(shù)目m,將全區(qū)劃分成m個(gè)均勻的分區(qū)，從每個(gè)分區(qū)的中心點(diǎn)出發(fā)，找到最近的道路節(jié)點(diǎn)，作為警車的初始位置，由Floyd算法算出每輛警車3分鐘或2分鐘行駛路程范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn)?？紤]區(qū)域調(diào)整的概率大小和方向不同會(huì)影響調(diào)整結(jié)果，本文利用模擬退火算法構(gòu)造出遷移幾率函數(shù)，用遷移方向函數(shù)決定分區(qū)的調(diào)整方向。計(jì)算能滿足D1的最小車輛數(shù)，即為該區(qū)應(yīng)該配置的最小警車數(shù)目，用MATLAB計(jì)算，得到局部最優(yōu)解為13輛。

在選取巡邏顯著性指標(biāo)時(shí)，本文考慮了兩個(gè)方面的指標(biāo)：一是全面性，即所有警車走過的街道節(jié)點(diǎn)數(shù)占總街道節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例，用兩者之比來評(píng)價(jià)；二是均勻性，即所有警車經(jīng)過每個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)的次數(shù)偏離平均經(jīng)過次數(shù)的程度，用方差值來大小評(píng)價(jià)。

問題三：為簡(jiǎn)化問題，假設(shè)所有警車在同一時(shí)刻，大致向同一方向巡邏，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分為四種：向左，向右，向上，向下，記錄每個(gè)時(shí)刻，警車經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)和能夠趕去處理事故的點(diǎn)，最后匯總計(jì)算得相應(yīng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

在考慮巡邏規(guī)律隱蔽性要求時(shí)，文本將巡邏路線進(jìn)行隨機(jī)處理，方向是不確定的，采用算法2進(jìn)行計(jì)算，得出相應(yīng)巡邏顯著指標(biāo)，當(dāng)車輛數(shù)減少到10輛或巡邏速度變大時(shí)，用算法2計(jì)算巡邏方案和對(duì)應(yīng)的參數(shù)，結(jié)果見附錄所示。

本文最后還考慮到4個(gè)額外因素，給出每個(gè)影響因素的解決方案。

關(guān)鍵詞：模擬退火算法；Floyd算法；離散化

一 問題的重述

110警車在街道上巡邏，既能夠?qū)`法犯罪分子起到震懾作用，降低犯罪率，又能夠增加市民的安全感，同時(shí)也加快了接處警時(shí)間，提高了反應(yīng)時(shí)效，為社會(huì)和諧提供了有力的保障。

現(xiàn)給出某城市內(nèi)一區(qū)域，其道路數(shù)據(jù)和地圖數(shù)據(jù)已知，該區(qū)域內(nèi)三個(gè)重點(diǎn)部位的坐標(biāo)分別為：（5112，4806），（9126，4266），（7434，1332）。該區(qū)域內(nèi)共有307個(gè)道路交叉口，為簡(jiǎn)化問題，相鄰兩個(gè)交叉路口之間的道路近似認(rèn)為是直線，且所有事發(fā)現(xiàn)場(chǎng)均在下圖的道路上。

該市擬增加一批配備有GPS衛(wèi)星定位系統(tǒng)及先進(jìn)通訊設(shè)備的110警車。設(shè)110警車的平均巡邏速度為20km/h，接警后的平均行駛速度為40km/h。警車配置及巡邏方案要盡量滿足以下要求：

D1.警車在接警后三分鐘內(nèi)趕到現(xiàn)場(chǎng)的比例不低于90％；而趕到重點(diǎn)部位的時(shí)間必須在兩分鐘之內(nèi)。

D2.使巡邏效果更顯著；

D3.警車巡邏規(guī)律應(yīng)有一定的隱蔽性?，F(xiàn)在我們需要解決以下幾個(gè)問題：

一.若要求滿足D1,該區(qū)最少需要配置多少輛警車巡邏？ 二.請(qǐng)給出評(píng)價(jià)巡邏效果顯著程度的有關(guān)指標(biāo)。

三．請(qǐng)給出滿足D1且盡量滿足D2條件的警車巡邏方案及其評(píng)價(jià)指標(biāo)值。

四.在第三問的基礎(chǔ)上，再考慮D3條件，給出你們的警車巡邏方案及其評(píng)價(jià)指標(biāo)值。五．如果該區(qū)域僅配置10輛警車，應(yīng)如何制定巡邏方案，使D1、D2盡量得到滿足？ 六.若警車接警后的平均行駛速度提高到50km/h，回答問題三。

七.你們認(rèn)為還有哪些因素、哪些情況需要考慮？給出你們相應(yīng)的解決方案。

二 問題分析

本題為城區(qū)道路網(wǎng)絡(luò)中警車配置及巡邏問題。在進(jìn)行警車配置時(shí)，首先要考慮警車在接警后在規(guī)定時(shí)間內(nèi)趕到現(xiàn)場(chǎng)的比例，在此條件下，以車數(shù)最少為目標(biāo)，建模、求解；在制定巡邏方案時(shí)，要考慮巡邏的效果及隱蔽性問題。

問題一只要求滿足D1，求最少的警車配置數(shù)，可以認(rèn)為警車是不動(dòng)的，在三分鐘或兩分鐘內(nèi)它能到達(dá)的區(qū)域就是它的覆蓋范圍。據(jù)此，在滿足所有街道的覆蓋率不低于90%的條件下，尋找最優(yōu)解。

問題二要評(píng)價(jià)巡邏效果，有兩個(gè)方面需要考慮：一是巡邏的全面性，即經(jīng)過一段時(shí)間后警車走過的街道數(shù)占總街道數(shù)的比例；二是巡邏的不均勻性，即經(jīng)過一段時(shí)間后警車經(jīng)過每一條街道的次數(shù)相差不大，用方差來衡量。

問題三是在滿足D1的條件上盡量滿足問題二所給的指標(biāo)，并給出評(píng)價(jià)方案的指標(biāo)。首先找到一組滿足D1的各警車位置，然后在和各警車位置相連的點(diǎn)中隨機(jī)尋找一個(gè)點(diǎn)，判斷新的點(diǎn)是否滿足D1，如果滿足則警車行駛到該點(diǎn)，否則重新尋找，直到滿足為止。一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)所有車走過的點(diǎn)數(shù)及每個(gè)點(diǎn)被走過的次數(shù)，用問題二給出的兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)。綜合兩個(gè)指標(biāo)，可判斷此路徑的好壞，重復(fù)這個(gè)過程，直到綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)達(dá)到一個(gè)滿意的值為止。

問題四增加了隱蔽性要求，首先給出評(píng)價(jià)隱蔽性的指標(biāo)，隱蔽性可用路線的隨機(jī)性來評(píng)價(jià)，將它加入到問題三的模型中去進(jìn)行求解。

問題五限制警車數(shù)量為10，要綜合考慮D1、D2，先分配這10輛車使道路的覆蓋率最高，然后按照問題三的步驟進(jìn)行求解，其中每一步對(duì)D1的判斷只需使道路的覆蓋率盡量高即可。

問題六同問題三，只需將車速改為50km/h即可。

三 模型的假設(shè)

1.警車都在路上巡邏，巡警去處理案件的時(shí)間不考慮；

2.所有事發(fā)現(xiàn)場(chǎng)都在道路上，案件在道路上任一點(diǎn)是等概率發(fā)生的； 3.警車初始停靠點(diǎn)是隨機(jī)的，但盡量讓它們分散分布，一輛警車管轄一個(gè)分區(qū)； 4.假定各個(gè)劃分區(qū)域內(nèi)，較短時(shí)間內(nèi)，最多會(huì)發(fā)生一個(gè)案件；

5.假設(shè)區(qū)域內(nèi)的每條道路都是雙行線，不考慮轉(zhuǎn)彎對(duì)結(jié)果造成的影響； 6.如果重點(diǎn)部位不在道路上的，假設(shè)這些重點(diǎn)部位在離它們最近的道路上； 7.圖中水域?qū)ρ策壏桨笡]有影響。

四 符號(hào)說明

m 表示警車數(shù)目

d 表示警車初始?？奎c(diǎn)到各道路的最短距離 L 表示整個(gè)區(qū)域的總道路長度

l 表示不能在3分鐘內(nèi)到達(dá)的區(qū)域的道路的長度

k 表示非重點(diǎn)部位的警車在3分鐘內(nèi)不能到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)的比例 r 表示三分鐘內(nèi)能從接警位置趕到事發(fā)現(xiàn)場(chǎng)的最大距離是 n 表示整個(gè)區(qū)域總的離散點(diǎn)個(gè)數(shù) ni 表示第i區(qū)內(nèi)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) f1 表示區(qū)內(nèi)調(diào)整函數(shù)

t 表示模擬退火的時(shí)間，表征溫度值 f2 表示區(qū)間調(diào)整函數(shù)

r 表示全面性指標(biāo) e 表示不均勻性指標(biāo) h 表示綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)

si 表示第i輛車經(jīng)過每條道路的次數(shù) s 表示整個(gè)區(qū)域每條道路經(jīng)過的平均次數(shù)

五 模型的建立與算法的設(shè)計(jì)

5.1 滿足D1時(shí)，該區(qū)所需要配置的最少警車數(shù)目和巡邏方案 5.1.1 滿足D1條件時(shí)，區(qū)域最少警車的規(guī)律

題目要求警車的配置和巡邏方案滿足D1要求時(shí)，整個(gè)區(qū)域所需要配置的警車數(shù)目最少。由假設(shè)可知警車都在道路上，且所有事發(fā)現(xiàn)場(chǎng)也都在道路上，但區(qū)域內(nèi)總的道路長度是個(gè)定值的；警車在接警后趕到事發(fā)現(xiàn)場(chǎng)有時(shí)間限制和概率限制：三分鐘內(nèi)趕到普通區(qū)域案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)的比例不低于90％，而趕到重點(diǎn)部位的時(shí)間必須控制在兩分鐘之內(nèi)。由此可知每輛警車的管轄范圍不會(huì)很大，于是考慮將整個(gè)區(qū)域分成若干個(gè)分區(qū)，每輛警車管轄一個(gè)分區(qū)域。由上面的分析，求解整個(gè)區(qū)域的警車數(shù)目最少這個(gè)問題可轉(zhuǎn)化為求解每一輛警車所能管轄的街道范圍盡量的大。于是我們尋找出使每輛警車管轄的范圍盡量大的規(guī)律。為了簡(jiǎn)化問題，我們不考慮趕到現(xiàn)場(chǎng)的90%的幾率的限制，僅對(duì)警車能在三分鐘內(nèi)趕到事發(fā)現(xiàn)場(chǎng)的情況作定性分析，其分析示意圖如圖1所示。警車的初始?？课恢檬请S機(jī)的分布在道路上的任一節(jié)點(diǎn)上，我們假設(shè)一輛警車停靠在A點(diǎn)上。

圖1 一輛警車管轄范圍分析示意圖

由于警車的平均巡邏速度為20km/h，接警后的平均行駛速度為40km/h，由于距離信息比較容易得到，于是我們將時(shí)間限制轉(zhuǎn)化為距離限制，這樣便于分析和求解。當(dāng)警車接警后，在三分鐘內(nèi)能從接警位置趕到事發(fā)現(xiàn)場(chǎng)的最大距離是r，其中3r??40?2km。

60如圖1所示，我們?cè)O(shè)警車初始?？课恢迷贏點(diǎn)，A點(diǎn)是道路1，2，3，4的道路交叉口。我們僅以警車在道路1巡邏為例來進(jìn)行分析，警車以20km/h的速度在道路1上A到A'點(diǎn)之間巡邏，A'與初始停靠點(diǎn)A的距離為xkm。由于案件有可能在道路上任一點(diǎn)發(fā)生，當(dāng)警車巡邏到A點(diǎn)時(shí)，若案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)在道路2，3，4上發(fā)生時(shí)，警車以40km/h的速度向事發(fā)現(xiàn)場(chǎng)行駛，警車能在三分鐘內(nèi)從A'點(diǎn)趕到現(xiàn)場(chǎng)的最大距離為(2?x)km。如果警車在道路1上繼續(xù)向前行駛，則該警車能在三分鐘內(nèi)趕到現(xiàn)場(chǎng)的距離繼續(xù)縮小，當(dāng)警車從初始點(diǎn)向A點(diǎn)行駛但沒有達(dá)到A'點(diǎn)時(shí)，此時(shí)該警車的最大管轄范圍比警車到達(dá)A'點(diǎn)時(shí)的最大管轄范圍大。為了使警車的管轄范圍盡量大，警車的巡邏范圍越小越好，當(dāng)x?0時(shí)，即警車在初始?？奎c(diǎn)靜止不動(dòng)時(shí)，警車的管轄范圍達(dá)到最大值2km。

圖1所分析的是特殊的情況，道路1，2，3，4對(duì)稱分布，現(xiàn)在我們來對(duì)一般的情況進(jìn)行分析，如圖2所示。

圖2.1 圖2.2 圖2 一輛警車最大管轄范圍分析示意圖

圖2.1所示的情況是道路分布不對(duì)稱，與圖1相比，圖2.1所示的道路方向和角度都發(fā)生了改變，圖2.3中的情形更為復(fù)雜。參照對(duì)圖1的分析方法，我們分析這兩種情形下，警車巡邏時(shí)能在三分鐘內(nèi)趕到現(xiàn)場(chǎng)的最大距離的規(guī)律，我們只分析圖2.2的情況，道路1，2，3，4，5相交于點(diǎn)C,同時(shí)道路1與道路6也有個(gè)道路交叉口D，由于警車巡邏時(shí)是在道路上行駛的，行走的路線是分段直線,并不影響路徑的長度，所以當(dāng)警車巡邏到距離初始?？奎c(diǎn)C點(diǎn)x遠(yuǎn)處的D，此時(shí)若有案件發(fā)生時(shí)，該警車要在三分鐘內(nèi)能趕到現(xiàn)場(chǎng)處理案件，最大行駛距離在(2?x)km之內(nèi)，如果警車在道路1上繼續(xù)向前行駛，則該警車能在三分鐘內(nèi)趕到現(xiàn)場(chǎng)的距離繼續(xù)縮小，當(dāng)警車沒有行駛到D點(diǎn)時(shí)，此時(shí)該警車的最大管轄范圍比(2?x)km大，為了使警車的管轄范圍盡量大，警車的巡邏范圍越小越好。當(dāng)x?0時(shí)，即警車靜止不動(dòng)時(shí)，一輛警車的管轄范圍能達(dá)到最大值。

以上分析的僅作定性的分析，對(duì)于三個(gè)重點(diǎn)部位也可以同理分析，所得的結(jié)論是一致的，以上的分析沒有考慮到90%的到達(dá)幾率限制，但在設(shè)計(jì)算法需要充分考慮。

綜上所述，當(dāng)警車靜止在初始?？奎c(diǎn)時(shí)，在三分鐘時(shí)間限制內(nèi)，警車能從初始?？奎c(diǎn)趕到事發(fā)現(xiàn)場(chǎng)的最大距離為2km。

5.1.2 將道路離散化

由于事發(fā)現(xiàn)場(chǎng)是等概率地分布在道路上的，由區(qū)域地圖可以發(fā)現(xiàn)，整個(gè)區(qū)域中的道路長度不均，為了使計(jì)算結(jié)果更加精確，可將這些道路離散化。只要選取合適的離散方案，就能使警車在經(jīng)過道路上的離散的點(diǎn)時(shí)就相當(dāng)于經(jīng)過了這條道路。這樣，不論是求解警車初始?？奎c(diǎn)還求解警車趕到事發(fā)現(xiàn)場(chǎng)所經(jīng)過的道路時(shí)，所計(jì)算得的的結(jié)果顯然比僅考慮整條道路的叉路口要精確得多。區(qū)域中共有307個(gè)道路交叉口，458條道路。我們采用線性插值方法對(duì)道路進(jìn)行離散化，以20km/h的速度行走一分鐘的距離作為步長，一分鐘時(shí)間的選擇是參照問題三的11?20?km。用線性插值的方法，從道路的一個(gè)方向進(jìn)結(jié)果要求來設(shè)定的，步長b?6031行線性插值，實(shí)現(xiàn)將每條道路離散化的目標(biāo)，考慮到有些道路不是km的整數(shù)倍，我們

311就一般情況進(jìn)行討論，其分析示意圖如圖3所示。道路AB長度為n個(gè)km與x(x?km)33長度的和，為了更精確處理CB段道路，那么就要考慮在CB之間是否要插入一個(gè)新的點(diǎn)，根據(jù)x的長度不同，其對(duì)應(yīng)的處理方式也有所不同。

圖3 道路離散化分析示意圖

引進(jìn)臨界指數(shù)y，選取y大小的準(zhǔn)則是使盡量離散化后警車等效的平均巡邏速度和題目給定的速度（20km/h）的差值盡量小，經(jīng)過計(jì)算得y?0.189km時(shí)，不再插入新的坐

1標(biāo)點(diǎn)時(shí)能使整個(gè)區(qū)域的道路離散效果較好。此時(shí)，將CB段長度設(shè)定為km處理，于是

3離散后的AB道路長度會(huì)比實(shí)際長度短些；當(dāng)x?0.189Km時(shí)，需要在兩個(gè)點(diǎn)之間再插入一點(diǎn)，因?yàn)檫@樣處理能使整個(gè)區(qū)域的整體道路的離散化效果比較理想。如圖3所示，在1C與B間再插入新的坐標(biāo)點(diǎn)，插入的位置在距C點(diǎn)km的D點(diǎn)處,這樣處理后所得的道

31路長度比實(shí)際長度長了(?x)km。采用這樣的方法進(jìn)行線性插值，我們使用MATLAB編3程實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)區(qū)域道路的離散，所得的離散結(jié)果如圖4所示，離散后共得到762個(gè)節(jié)點(diǎn)，比原始數(shù)據(jù)多了455個(gè)節(jié)點(diǎn)，離散后的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)見附件中的“newpoint.txt”。

圖4 整個(gè)區(qū)域離散結(jié)果圖

采用這種插值方法道路離散后，將直線上的無窮多個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化有限個(gè)點(diǎn)，便于分析問題和實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的算法，由圖4可知，所取得的整體離散效果還是比較理想的。

5.1.3 分區(qū)域求解警車數(shù)目的算法設(shè)計(jì)

考慮到警車配置和巡邏方案需要滿足：警車在接警后三分鐘內(nèi)趕到普通部位案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)的比例不低于90%，趕到重點(diǎn)部位必須控制在兩分鐘之內(nèi)的要求。設(shè)計(jì)算法的目標(biāo)就是求解出在滿足D1情況下，總的警車數(shù)目最小，即每個(gè)區(qū)域都盡可能多地覆蓋道路節(jié)點(diǎn)。由于警車的初始位置是未知的，我們可設(shè)警車初始?？奎c(diǎn)在道路上的任一點(diǎn)，即分布在圖4所示的762個(gè)離散點(diǎn)中的某些點(diǎn)節(jié)點(diǎn)上，總體思路是讓每?jī)奢v車之間盡量分散地分布，一輛警車管轄一個(gè)分區(qū)，用這些分區(qū)覆蓋整個(gè)區(qū)域。于是我們?cè)O(shè)計(jì)算法1，步驟如下所示：

Step1：將整個(gè)區(qū)域預(yù)分配為m個(gè)分區(qū)，每個(gè)分區(qū)分配一輛警車，警車的初始?？课恢迷O(shè)在預(yù)分配區(qū)中心的道路節(jié)點(diǎn)上，若區(qū)域的中心不在道路節(jié)點(diǎn)上，則將警車放在離中心最近的道路節(jié)點(diǎn)上；

Step2：統(tǒng)計(jì)分區(qū)不能覆蓋的節(jié)點(diǎn)，調(diào)整警車的初始?？奎c(diǎn)，使分區(qū)覆蓋盡可能多的道路節(jié)點(diǎn)，調(diào)整分為區(qū)內(nèi)調(diào)整和區(qū)間調(diào)整方案：（1）區(qū)內(nèi)調(diào)整按照模擬退火思想構(gòu)造的函數(shù)，在區(qū)間調(diào)整調(diào)整車輛初始點(diǎn)的位置（后文中有詳細(xì)說明），當(dāng)分區(qū)內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，調(diào)整的概率小些，分區(qū)內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，調(diào)整的概率大些，（2）當(dāng)區(qū)域中存在未被覆蓋的節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)群（大于等于三個(gè)節(jié)點(diǎn)集中在一個(gè)范圍內(nèi)）時(shí)，將警車初始位置的調(diào)整方向?yàn)槌@些未被覆蓋的節(jié)點(diǎn)按一定的規(guī)則（在算法說明中有詳細(xì)敘述）移動(dòng)，同時(shí)要保證 3個(gè)重點(diǎn)部位能在2分鐘之內(nèi)100%到達(dá)；

Step3：用Floyd算法計(jì)算出警車初始?？奎c(diǎn)到周邊各道路節(jié)點(diǎn)的最短距離d；

Step4：以m個(gè)劃分區(qū)域未覆蓋的總的道路長度l與整個(gè)區(qū)域的道路總長度L的比值lk??100%來表示警車不能3分鐘內(nèi)到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)的概率；

LStep5：模擬足夠多的次數(shù)，若k?10%，將車輛數(shù)m減1，跳轉(zhuǎn)到Step1；

Step6：計(jì)算結(jié)束后，比較當(dāng)k?10%時(shí)所對(duì)應(yīng)的m值，當(dāng)m取得最小值時(shí)，記錄此時(shí)的區(qū)域劃分方案，m即為最少的警車數(shù)。

對(duì)算法的幾點(diǎn)說明：

（1）該算法所取的車輛數(shù)m是由多到少進(jìn)行計(jì)算的，m初始值設(shè)為20，這個(gè)值的選取是根據(jù)區(qū)域圖估算的。

(2)預(yù)分區(qū)的優(yōu)點(diǎn)在于使警車的初始位置盡可能均勻地分散分布，警車的初始?？奎c(diǎn)在一個(gè)分區(qū)的中心點(diǎn)附近尋找得到，比起在整個(gè)區(qū)域隨機(jī)生成停靠點(diǎn)，計(jì)算效率明顯得到提高。

預(yù)分配之后，需要對(duì)整個(gè)區(qū)域不斷地進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整時(shí)需要考慮調(diào)整方向和 調(diào)整概率。

警車調(diào)整借鑒的是模擬退火算法的方法，為了使分區(qū)內(nèi)包含道路節(jié)點(diǎn)數(shù)較多的分區(qū)的初始停車點(diǎn)調(diào)整的概率小些，而分區(qū)內(nèi)包含道路節(jié)點(diǎn)數(shù)的少的分區(qū)內(nèi)的初始停車點(diǎn)調(diào) 整的概率大些，我們構(gòu)造了一個(gè)調(diào)整概率函數(shù)f1，f1?aexp(?bmni)（1）t（1）式中，a,b均為常數(shù)，m為整個(gè)區(qū)域車輛數(shù)，ni為第i分區(qū)內(nèi)覆蓋的節(jié)點(diǎn)數(shù)，t為時(shí)間，同時(shí)t也能表征模擬退火的溫度變化情況：初始溫度較高，區(qū)域調(diào)整速度較快，隨著時(shí)間的增加，溫度不斷下降，區(qū)域調(diào)整速度逐漸變慢，這個(gè)調(diào)整速度變化也是比較符合實(shí)際情況的。

由式（1）可以得出調(diào)整概率函數(shù)f1，假設(shè)在相同的溫度t（時(shí)間）的條件下，由于總的車輛數(shù)目m是定值，當(dāng)ni?nj時(shí)，即第i分區(qū)內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)大于第j分區(qū)的節(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí)，分區(qū)i調(diào)整的概率大些，分區(qū)j的調(diào)整概率小些。分析其原因：當(dāng)分區(qū)內(nèi)包含了較多的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，該分區(qū)的警車初始停靠位置選取地比較合適了，而當(dāng)分區(qū)內(nèi)包含的道路節(jié)點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，說明警車的初始?？课恢脹]有選好，需要更大概率的調(diào)整，這樣的結(jié)論也是比較客觀的。

對(duì)于所有分區(qū)外未被覆蓋的道路節(jié)點(diǎn)和很多節(jié)點(diǎn)（稱之為節(jié)點(diǎn)群），用來調(diào)整警車位置遷移的方向，其分析示意圖如圖5所示。調(diào)整方案目標(biāo)是使未被覆蓋的節(jié)點(diǎn)數(shù)盡量的少。在設(shè)計(jì)調(diào)整方向函數(shù)時(shí)，需要考慮：（1）節(jié)點(diǎn)群內(nèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目；（2）警車距離節(jié)點(diǎn)群的位置。優(yōu)先考慮距離，所以在公式（2）中，用距離的平方來描述調(diào)整方向函數(shù)。由于某一個(gè)區(qū)域范圍內(nèi)的未被覆蓋節(jié)點(diǎn)數(shù)，整個(gè)區(qū)域未被覆蓋的節(jié)點(diǎn)總數(shù)，分區(qū)域與未被覆蓋的節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)群的距離等幾個(gè)因素會(huì)影響到調(diào)整的方案，所以要綜合考慮這些因素。于是設(shè)計(jì)了區(qū)間調(diào)整函數(shù)f2，f2?nili2??li?1pi?1p2i（2）

i?n式中，ni表示第i個(gè)分區(qū)內(nèi)未被覆蓋的節(jié)點(diǎn)數(shù)，li表示第i分區(qū)域與未被覆蓋的節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)群的距離，p表示未被覆蓋的節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)群個(gè)數(shù)。

現(xiàn)在簡(jiǎn)要分析第i分區(qū)按區(qū)間調(diào)整函數(shù)的調(diào)整方案，當(dāng)某兩節(jié)點(diǎn)群i,j的節(jié)點(diǎn)數(shù)目相等，但是距離不等時(shí)，如li?lj，由區(qū)間調(diào)整公式可知，該區(qū)間向節(jié)點(diǎn)群j方向調(diào)整。當(dāng)某個(gè)分區(qū)與兩個(gè)節(jié)點(diǎn)群的距離相等，但節(jié)點(diǎn)群的內(nèi)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)不相等，如ni?nj時(shí)，由（4）可知，該分區(qū)域會(huì)想節(jié)點(diǎn)群j方向調(diào)整。

注意在整個(gè)調(diào)整過程中，調(diào)整幾率控制是否調(diào)整，調(diào)整方向函數(shù)控制調(diào)整的方向，尋找在這種調(diào)整方案下的最優(yōu)結(jié)果。

圖5 調(diào)整分區(qū)域示意圖

（3）在step3中，使用Floyd算法計(jì)算出警車初始?？奎c(diǎn)到周邊各節(jié)點(diǎn)的最短距離d,目的是當(dāng)區(qū)域內(nèi)有情況發(fā)生時(shí)，警車能在要求的時(shí)間限制內(nèi)到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)。

（4）為求出較優(yōu)的警車停靠點(diǎn)，采用模擬退火算法，算出局部最優(yōu)的方案。5.1.4 警車的配置和巡邏方案

使用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)算法1得到，整個(gè)區(qū)域配備13輛警車，這些警車靜止在初始?？奎c(diǎn)時(shí)，能滿足D1要求。警車的初始停靠位置分別為道路交叉節(jié)點(diǎn)6，25，30，37，82，84，110，111，126，214，253，258，278處。每個(gè)警車所管轄的交叉點(diǎn)（原始的交叉節(jié)點(diǎn)）如圖6所示，求解的分區(qū)結(jié)果見附錄所示。9

圖6 滿足D1條件下的區(qū)分劃分圖

13個(gè)分區(qū)共覆蓋了252個(gè)交叉點(diǎn)，另外的55個(gè)原始交叉點(diǎn)沒有被這些分區(qū)域覆蓋：137，138，151，159，167，168，170，174，175，186，188，189，211，215，226，242，255，260，261，262，263，267，270，271，272，275，282，283，284，287，288，289，292，296，297，299，304，305，307。在這種分區(qū)方案下，這些點(diǎn)中，每?jī)蓚€(gè)相連的點(diǎn)間的道路離散值長度占整個(gè)區(qū)域總的長度的比值為lk??100%?90.18%。因此，在整個(gè)區(qū)域配置13輛警車，每個(gè)警車在初始停靠點(diǎn)靜L止不動(dòng)，當(dāng)有案件發(fā)生時(shí)，離案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)最近的警車從初始?？奎c(diǎn)趕到現(xiàn)場(chǎng)。

5.2 評(píng)價(jià)巡邏效果顯著的指標(biāo)

110警車在街道上巡邏是目的是為了對(duì)違法犯罪分子起到震懾作用，降低犯罪率，又能夠增加市民的安全感，同時(shí)還加快了接處警（接受報(bào)警并趕往現(xiàn)場(chǎng)處理事件）時(shí)間，提高了反應(yīng)時(shí)效，為社會(huì)和諧提供了有力的保障。巡警在城市繁華街道、公共場(chǎng)所執(zhí)行巡邏任務(wù), 維護(hù)治安, 服務(wù)群眾, 可以得良好的社會(huì)效應(yīng)[1]。

在整個(gè)區(qū)域中，由于案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)都在道路上，道路上的每一點(diǎn)都是等概率發(fā)生的，因此警車巡邏的面越廣，所巡邏的街道數(shù)目越多，警車的巡邏效果就越好，對(duì)違法犯罪分子就越有威懾力，警車也能更及時(shí)地處理案件。

我們采用全面性r來衡量巡邏的效果顯著性，即用警車巡邏所經(jīng)過的街道節(jié)點(diǎn)數(shù)占區(qū)域總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比值。當(dāng)警車重復(fù)經(jīng)過同一條街道同一個(gè)離散點(diǎn)時(shí)，c僅記錄一次。

c

（3）n式中，c表示警車經(jīng)過的離散點(diǎn)數(shù)，n代表整個(gè)區(qū)域總的離散點(diǎn)數(shù)。r值越大，表明警車所經(jīng)過的街道數(shù)目越多，所取得的效果越顯著。

同時(shí)考慮到在巡邏過程中可能會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：在相同的時(shí)段內(nèi)，警車會(huì)多次巡邏部分街道，而一些街道卻很少巡邏甚至沒有警車到達(dá)，這樣會(huì)造成一些巡邏盲區(qū)。分布很不均衡。這樣就可能出現(xiàn)巡邏密度大的街道上的違法犯罪分子不敢在街道上作案，而流竄到巡邏密度稀疏的街道上作案，因此在相同的警車數(shù)目條件下，密度不均衡的巡邏方式的巡邏效果的效果較差，而密度較均衡的巡邏方式所取得的巡邏效果會(huì)更好些。我們引入一個(gè)巡邏的不均勻度e來衡量巡邏效果的顯著性，考慮到方差能表示不均衡度，于是我們用方差的大小來表征不均衡，方差越大，巡邏密度越不均衡，所取得的巡邏效果越差。r?e??(si?1mi?s)2p（4）

式中，p表示警車經(jīng)過的點(diǎn)數(shù)，當(dāng)警車重復(fù)經(jīng)過某一節(jié)點(diǎn)時(shí)，警車經(jīng)過該點(diǎn)多少次就計(jì)多少次。，si表示第i輛車經(jīng)過每條道路的次數(shù)，s表示整個(gè)區(qū)域每條道路經(jīng)過的平均次數(shù)。

我們分析這兩個(gè)指標(biāo)時(shí)，發(fā)現(xiàn)它們是緊密聯(lián)系的，在相同的時(shí)間段內(nèi)，一輛警車在一個(gè)分區(qū)巡邏時(shí)，警車經(jīng)過的街道節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，巡邏的全面性指標(biāo)越大，巡邏效果越顯著，而巡邏經(jīng)過了越多的街道節(jié)點(diǎn)數(shù)，對(duì)應(yīng)的不均勻度越小，巡邏效果也越好，所以我們將這兩個(gè)指標(biāo)統(tǒng)一來求解，設(shè)定為綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)h：

rh?（5）

e當(dāng)h越大時(shí)，警車巡邏的顯著性效果越好，而當(dāng)h越小時(shí)，警車巡邏的效果越差。

5.3 滿足D1且盡量滿足D2條件的警車巡邏方案和評(píng)價(jià)指標(biāo)值

問題1所給出的滿足D1條件下的警車數(shù)目為13輛，這時(shí)每輛警車在初始?？奎c(diǎn)靜止不動(dòng)，只有該管轄區(qū)域內(nèi)發(fā)生了案件時(shí)，警車才從初始停靠點(diǎn)趕到案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)處理案件。當(dāng)警車在巡邏狀態(tài)時(shí)，所需要考慮的問題就更復(fù)雜一些，如當(dāng)節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，警車還能否達(dá)到D1的要求，警車的運(yùn)動(dòng)方向如何等問題，但基本算法思想與問題1類似，所得的算法2的框圖如圖7所示，為了簡(jiǎn)化問題，我們假設(shè)各分區(qū)警車的巡邏時(shí)候，盡量保證所有的警車的行駛方向相一致，且警車都走雙行道，即當(dāng)警車走到某個(gè)節(jié)點(diǎn)后，它們又同時(shí)返回初始停靠點(diǎn)，警車的行駛方向有四種方式，如6所示。

在圖6中，數(shù)字1代表走巡邏走的第一步，2表示朝1的巡邏方向相反的方向巡邏。在具體程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)，四種巡邏方向任意選擇，但是盡量保證所有的警車向同一個(gè)方向巡邏。

圖6 各警車巡邏方向圖

我們用MATLAB編程對(duì)這種巡邏方式進(jìn)行計(jì)算，所得的車輛數(shù)目為18輛，綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)為h?0.612，其結(jié)果巡邏方案見附件中的“1193402-Result3.txt”所示。

5.4 在滿足問題三的基礎(chǔ)上討論D3條件，警車的巡邏方案和評(píng)價(jià)指標(biāo)

巡邏的隱蔽性體現(xiàn)在警車的巡邏路線和時(shí)間沒有明顯的規(guī)律，主要目的是讓違法犯罪分子無可乘之機(jī)，防止他們?cè)诜茄策墪r(shí)間實(shí)施違法犯罪活動(dòng)，危害人民的生命和財(cái)產(chǎn)安全。

為了使巡邏的規(guī)律具有隱蔽性，這就需要警車在巡邏時(shí)至少具有兩條不同的路線，時(shí)間最好也是不相同的。因此，考慮到隱蔽性時(shí)，只需要在問題2的基礎(chǔ)上加上一個(gè)隨機(jī)過程即可。對(duì)于其評(píng)價(jià)指標(biāo)，由于警車有幾條可選的巡邏路線，當(dāng)相同的路線在同一時(shí)間內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，重新將所設(shè)定的方案再執(zhí)行一遍，我們用這個(gè)時(shí)間間隔來衡量隱蔽性的程度，當(dāng)循環(huán)周期T越大，表明可選的巡邏方案越多，其規(guī)律就越具有隱蔽性，而循環(huán)周期T越小時(shí)，表明巡邏方案比較少，其隱蔽性較差。在巡邏狀態(tài)時(shí)，最差的隱蔽性巡邏方案是巡邏方案只有一個(gè)，并且時(shí)間固定，這樣的巡邏方案沒有任何隱蔽性可言。

5.5 整個(gè)區(qū)域?yàn)?0輛車時(shí)的巡邏方案

由第三問的結(jié)果可知，10輛車的數(shù)量是不能把整個(gè)區(qū)域完全覆蓋的，其算法與算法2類似，不同的是此時(shí)車的數(shù)目已經(jīng)固定了，要求使D1,D2盡量大的滿足，我們求得的評(píng)價(jià)指標(biāo)值為h?0.524，所得的巡邏方案見附件中的“1193402-Result5.txt”所示。

5.6平均行駛速度提高到50km/h時(shí)的巡邏方式和評(píng)價(jià)指標(biāo)值

問題六的分析方法與具體實(shí)現(xiàn)與問題三一致，但是警車的接警后的平均速度由原來的40km/h提高到50km/h，于是各分區(qū)的覆蓋范圍也增大了，將數(shù)值帶入問題3的算法中求解，計(jì)算得的指標(biāo)值為h?0.703，其巡邏方案見附件中的“1193402-Result6.txt”所示。

圖7 算法2框圖 5.7 需要另外考慮的因素和對(duì)應(yīng)的解決方案

考慮到具體巡邏情況的復(fù)雜性，我們還需考慮以下幾個(gè)因素：

1．該城市的巡邏方式僅有110警車，雖然能將巡邏范圍大大擴(kuò)大，但是警員坐在汽車?yán)镞h(yuǎn)離市民，對(duì)社區(qū)情況和案件的了解情況不如徒步巡邏的效果好，同時(shí)警車巡邏時(shí)，只能在道路上行駛，對(duì)應(yīng)圖中的非道路區(qū)域沒有進(jìn)行巡邏，使非街道區(qū)域成為巡邏盲區(qū)；

2.對(duì)于突發(fā)事件的處理問題；

3.各巡邏警員之間在一些未被覆蓋的區(qū)域如何合作才能使整體的巡邏效果取得比較好的成效；

4.巡邏頻率的選取問題。

針對(duì)以上問題，我們提出以下幾個(gè)解決方案： 1.為了了解社區(qū)情況和將巡邏范圍擴(kuò)大到非街道區(qū)，可以采用警車加徒步巡邏或摩托車方式進(jìn)行巡邏，這樣做會(huì)使整個(gè)巡邏范圍擴(kuò)大，必會(huì)大大增加巡警人數(shù)，在制定巡邏方案時(shí)，需要綜合考慮，選取最合適的巡邏方案；

2.當(dāng)有突發(fā)事件發(fā)生時(shí)，要突破分區(qū)限制，各分區(qū)需要通力合作，還要求巡警及時(shí)掌握準(zhǔn)確信息，向上級(jí)部門匯報(bào)，隨機(jī)應(yīng)變地解決所遇到的問題；

3.在警員人數(shù)有限的情況下，需要各分區(qū)巡警明確巡邏目的，踏實(shí)工作，明確責(zé)任制，做好本職工作，使人民生命財(cái)產(chǎn)安全得到最大限度的保障；

4.巡邏頻率太高，會(huì)影響到人民的正常工作和生活（報(bào)紙刊登有相關(guān)消息），如果巡邏頻率太低，將降低市民的安全感，同時(shí)給一些違法犯罪分子予可乘之機(jī)，所以要合理安排巡邏方案，將巡邏頻率控制在一個(gè)適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)。

六 模型的分析和評(píng)價(jià)

在求解滿足D1的條件下，整個(gè)區(qū)域需要配備多少輛警車問題中，采用分區(qū)巡邏的思想，先分析能使各區(qū)管轄范圍達(dá)到最大值時(shí)的規(guī)律，由特殊到一般層層進(jìn)行分析，邏輯嚴(yán)密，結(jié)果合理。

在求解區(qū)域和警車數(shù)目時(shí)，在初步設(shè)定警車?？奎c(diǎn)位置的基礎(chǔ)上，用模擬退火算法思路構(gòu)造函數(shù)f1來確定調(diào)整的概率大小，綜合考慮了影響區(qū)間調(diào)整的因素后構(gòu)造了f2函數(shù)來確定分區(qū)的調(diào)整方向，當(dāng)分區(qū)按照這兩個(gè)調(diào)整函數(shù)進(jìn)行調(diào)整時(shí)，各分區(qū)能管轄盡可能多的道路節(jié)點(diǎn)，所取得效果也比較理想。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]中小城市警察巡邏勤務(wù)方式的探討，俞詳，江蘇公安專科學(xué)校學(xué)報(bào)，1998年第1期 [2]Matlab7.0從入門到精通，求是科技，人民郵電出版社； [3]不確定車數(shù)的隨機(jī)車輛路徑問題模型及算法，運(yùn)懷立等，工業(yè)工程，第10卷第3期，2005年5月；

[4]隨機(jī)交通分配中的有效路徑的確定方法，李志純等，交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息，第3卷第1期，2003年2月。

附 錄

圖 問題三巡邏路徑

圖 問題五巡邏路徑

圖 問題六巡邏路徑

第四篇：2011數(shù)學(xué)建模B題

2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目

（請(qǐng)先閱讀“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文格式規(guī)范”）

B題

交巡警服務(wù)平臺(tái)的設(shè)置與調(diào)度

“有困難找警察”，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負(fù)著刑事執(zhí)法、治安管理、交通管理、服務(wù)群眾四大職能。為了更有效地貫徹實(shí)施這些職能，需要在市區(qū)的一些交通要道和重要部位設(shè)置交巡警服務(wù)平臺(tái)。每個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)的職能和警力配備基本相同。由于警務(wù)資源是有限的，如何根據(jù)城市的實(shí)際情況與需求合理地設(shè)置交巡警服務(wù)平臺(tái)、分配各平臺(tái)的管轄范圍、調(diào)度警務(wù)資源是警務(wù)部門面臨的一個(gè)實(shí)際課題。

試就某市設(shè)置交巡警服務(wù)平臺(tái)的相關(guān)情況，建立數(shù)學(xué)模型分析研究下面的問題：

（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區(qū)A的交通網(wǎng)絡(luò)和現(xiàn)有的20個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)的設(shè)置情況示意圖，相關(guān)的數(shù)據(jù)信息見附件2。請(qǐng)為各交巡警服務(wù)平臺(tái)分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內(nèi)出現(xiàn)突發(fā)事件時(shí)，盡量能在3分鐘內(nèi)有交巡警（警車的時(shí)速為60km/h）到達(dá)事發(fā)地。

對(duì)于重大突發(fā)事件，需要調(diào)度全區(qū)20個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)的警力資源，對(duì)進(jìn)出該區(qū)的13條交通要道實(shí)現(xiàn)快速全封鎖。實(shí)際中一個(gè)平臺(tái)的警力最多封鎖一個(gè)路口，請(qǐng)給出該區(qū)交巡警服務(wù)平臺(tái)警力合理的調(diào)度方案。

根據(jù)現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺(tái)的工作量不均衡和有些地方出警時(shí)間過長的實(shí)際情況，擬在該區(qū)內(nèi)再增加2至5個(gè)平臺(tái)，請(qǐng)確定需要增加平臺(tái)的具體個(gè)數(shù)和位置。

（2）針對(duì)全市（主城六區(qū)A，B，C，D，E，F(xiàn)）的具體情況，按照設(shè)置交巡警服務(wù)平臺(tái)的原則和任務(wù)，分析研究該市現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺(tái)設(shè)置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請(qǐng)給出解決方案。

如果該市地點(diǎn)P（第32個(gè)節(jié)點(diǎn)）處發(fā)生了重大刑事案件，在案發(fā)3分鐘后接到報(bào)警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請(qǐng)給出調(diào)度全市交巡警服務(wù)平臺(tái)警力資源的最佳圍堵方案。

附件1：A區(qū)和全市六區(qū)交通網(wǎng)絡(luò)與平臺(tái)設(shè)置的示意圖。

附件2：全市六區(qū)交通網(wǎng)絡(luò)與平臺(tái)設(shè)置的相關(guān)數(shù)據(jù)表（共5個(gè)工作表）。

附圖1：A區(qū)的交通網(wǎng)絡(luò)與平臺(tái)設(shè)置的示意圖

附圖2：全市六區(qū)交通網(wǎng)絡(luò)與平臺(tái)設(shè)置的示意圖

說明：

（1）圖中實(shí)線表示市區(qū)道路；紅色線表示連接兩個(gè)區(qū)之間的道路；（2）實(shí)圓點(diǎn)“·”表示交叉路口的節(jié)點(diǎn)，沒有實(shí)圓點(diǎn)的交叉線為道路立體相交；

（3）星號(hào)“*”表示出入城區(qū)的路口節(jié)點(diǎn)；

（4）圓圈“○”表示現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺(tái)的設(shè)置點(diǎn)；（5）圓圈加星號(hào)“○*

”表示在出入城區(qū)的路口處設(shè)置了交巡警服務(wù)平臺(tái)；

（6）附圖2中的不同顏色表示不同的區(qū)。

說明：

A列：是全市交通網(wǎng)絡(luò)中路口節(jié)點(diǎn)的標(biāo)號(hào)（序號(hào)）

B列：路口節(jié)點(diǎn)的橫坐標(biāo)X，是在交通網(wǎng)絡(luò)中的實(shí)際橫坐標(biāo)值 C列：路口節(jié)點(diǎn)的縱坐標(biāo)Y，是在交通網(wǎng)絡(luò)中的實(shí)際縱坐標(biāo)值 D列：路口節(jié)點(diǎn)所屬的區(qū) 量

地圖距離和實(shí)際距離的比例是1:100000,即1毫米對(duì)應(yīng)100米 坐標(biāo)的長度單位為毫米 全市路口節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào) 標(biāo)X 路口的橫坐

E列：各路口節(jié)點(diǎn)的發(fā)案率是每個(gè)路口平均每天的發(fā)生報(bào)警案件數(shù)

路口的縱坐標(biāo)Y

路口所屬區(qū)

域

發(fā)案率(次

數(shù))1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 413 403 383.5 381 339 335 317 334.5 333 282 247 219 225 280 290 337 359 343 351 377.5 376 383 362 353.5 342 325 301 316 270 292 335 328 A A A A A A A A A A A A A A A A 1.7 2.1 2.2 1.7 2.1 2.5 2.4 2.4 2.1 1.6 2.6 2.4 2.2 2.5 2.1 2.6 17 415 18 432 19 418 20 444 21 251 22 234 23 225 24 212 25 227 26 256 27 250.5 28 243 29 246 30 314 31 315 32 326 33 327 34 328 35 336 36 336 37 331 38 371 39 371 40 388.5 41 411 42 419 43 411 44 394 45 342 46 342 47 325 48 315 49 342 50 345 51 348.5 52 351 53 348 54 370 55 371 56 354 57 363 58 357 59 351 60 369 335 A 371 A 374 A 394 A 277 A 271 A 265 A 290 A 300 A 301 A 306 A 328 A 337 A 367 A 351 A 355 A 350 A 342.5 A 339 A 334 A 335 A 330 A 333 A 330.5 A 327.5 A 344 A 343 A 346 A 342 A 348 A 372 A 374 A 372 A 382 A 380.5 A 377 A 369 A 363 A 353 A 374 A 382.5 A 387 A 382 A 388 A 2.5 1.9 1.8 1.9 1.4 1.4 2.4 1.1 1.6 1.2 0.8 1.3 1.4 2.1 1.6 1.5 1.4 1.7 1.4 1.1 0.1 1.2 1.4 1.7 1.4 1.4 1.7 1.1 1.4 1.2 1.6 1.4 1.2 1.1 0.8 0.6 1.4 0.9 1 0.5 0.8 1.1 0.9 0.7 61 335 62 381 63 391 64 392 65 395 66 398 67 401 68 405 69 410 70 408 71 415 72 418 73 422 74 418.5 75 405.5 76 405 77 409 78 417 79 420 80 424 81 438 82 438.5 83 434 84 438 85 440 86 447 87 448 88 444.5 89 441 90 440.5 91 445 92 444 93 140 94 145 95 160 96 142.5 97 150 98 186 99 158 121 157 158 159 133 395 A 381 A 375 A 366 A 361 A 362 A 359 A 360 A 355 A 350 A 351 A 347 A 354 A 356 A 364.5 A 368 A 370 A 364 A 370 A 372 A 368 A 373 A 376 A 385 A 392 A 392 A 381 A 383 A 385 A 381.5 A 380 A 360 A 130 B 118 B 96 B 71 B 70 B 145 B 73.5 B 68 B 145 B 138.5 B 135 B 114 B 0.6 1.2 1.4 0.8 0.7 0.8 0.8 0.9 1.1 0.9 1.1 0.8 0.9 1.1 0.8 1.1 0.8 0.8 0.8 0.8 1.4 1.1 0.9 1 1.2 1.4 1.1 0.9 1.4 0.9 0.9 0.8 1.6 1.6 1.6 2.1 1.8 1.6 2.6 2.6 1.1 0.9 0.5 0.7 100 101 102 103 104 105 137.5 106 144 107 139 108 144.5 109 151 110 151.5 111 150 112 158 113 159 114 164 115 163 116 149 117 143 118 137 119 131 120 130 121 127 122 125 123 129 124 130 125 124 126 136 127 136 128 142 129 148 130 142 131 147 132 128 133 136.5 134 142 135 147 136 154 137 148.5 138 140 139 140 140 137.5 141 138 142 143 143 151 144 153 145 143 146 143 147 143 148 160 113 B 112 B 117 B 115 B 113 B 118 B 111 B 118 B 109 B B 105 B 99.5 B 102 B 103 B 103 B 100 B 102 B 98 B 96 B 90 B 90 B 96 B 90 B 96 B 96 B 91 B 91 B 71 B 76 B 79 B 81 B 86 B 74.5 B 70 B 63 B 63 B 59 B 63 B 69 B 63 B 60 B 57 B 51.5 B 65 B 0.4 0.8 0.2 0.8 0.6 0.9 0.8 1.1 0.8 0.4 0.7 1.2 0.8 0.9 0.5 0.6 0.6 0.8 0.9 0.4 0.7 1.1 0.8 0.8 0.7 0.6 0.7 1.2 0.8 1.1 0.8 0.9 1.1 0.6 0.7 0.8 0.4 1.1 0.8 1.1 0.7 0.6 0.8 1.1

108.5 149 162 150 141 151 143 152 151 153 150 154 164 155 171 156 165.5 157 181 158 176 159 170 160 168 161 166 162 176 163 180 164 183 165 202 166 137.5 167 167 168 376 169 210 170 263 171 284 172 278.5 173 295 174 299 175 362 176 410 177 395 178 277 179 235 180 200 181 167 182 225 183 400 184 414 185 424 186 411 187 420 188 403 189 376 190 380 191 377 192 374 59 B 49 B 40 B 44 B 33 B 124 B 125 B 139 B 131 B 141 B 140 B 145 B 150 B 145 B 149 B 145 B 131 B 462 C 399 C 400 C 390 C 445 C 409 C 425 C 382 C 444 C 443 C 408.5 C 520 C 496 C 465 C 466.5 C 462 C 443 C 447 C 422 C 400 C 396 C 401 C 404 C 406 C 404 C 424 C 424 C 0.6 0.4 0.8 0.5 0.1 0.6 0.7 1.1 1.4 1.6 0.8 0.6 0.8 0.6 0.7 1.1 1.1 2.6 2.2 1.4 2.6 2.2 1.9 2.2 2 2.6 2.2 2.1 2.2 1.7 2.2 1.9 2.4 2.4 1.2 1.4 1.2 1.4 0.8 1.2 0.9 0.8 0.8 0.8 193 370 194 368 195 374 196 365 197 356 198 358 199 354 200 357 201 359 202 347 203 261 204 270 205 313 206 324 207 333 208 334 209 323 210 312 211 317 212 316 213 315.5 214 316 215 318 216 291.5 217 284 218 281 219 299 220 302 221 305 222 281 223 274 224 273.5 225 267 226 270 227 275 228 276 229 270 230 276 231 288 232 293.5 233 296 234 303 235 298.5 236 293 423 C 427.5 C 431 C 448 C 450 C 459 C 495 C 513 C 528 C 553 C 537.5 C 514 C 511.5 C 511 C 511 C 497 C 497 C 498 C 451 C 448 C 444 C 434 C 412 C 415 C 425 C 421 C 434 C 451 C 457 C 458.5 C 448 C 444 C 446 C 440 C 422 C 419 C 415 C 405 C 403 C 392.5 C 387 C 386 C 378 C 376 C 0.4 0.9 1.2 1.4 1.4 1.2 1.1 1.2 0.4 0.5 0.8 1.4 0.4 0.8 0.7 0.8 0.7 1.1 1.1 0.8 0.7 0.9 1.2 1.4 1.4 1.6 1.4 1.4 1.2 1.1 0.8 0.9 1.1 0.9 1.1 1.2 0.8 1.4 1.4 1.4 1.1 1.4 1.6 1.2 237 296 238 276 239 250 240 247 241 262 242 269 243 276 244 282 245 282 246 273 247 276 248 138.5 249 155 250 163 251 173 252 183 253 238 254 213 255 189 256 210 257 201 258 150 259 135 260 143 261 142 262 140 263 121 264 109 265 138.5 266 167 267 168 268 184 269 194 270 200 271 212 272 220 273 246 274 246 275 252 276 257 277 255.5 278 249 279 247 280 254 372 C 352 C 350 C 384 C 399 C 397 C 402 C 398.5 C 386.5 C 389 C 361 C 378 C 396 C 390 C 364 C 370 C 382 C 412 C 413 C 433 C 434 C 400 C 395 C 407 C 414 C 430 C 432 C 441 C 442 C 442 C 435 C 440 C 442 C 442 C 443 C 443 C 444 C 455 C 458 C 460.5 C 466 C 464 C 469 C 472 C 1.7 1 1.4 1.2 1.4 1.2 1.3 1.2 1.1 1.2 1.1 0.8 1.2 1.5 1.2 1.2 0.7 0.8 1.1 0.9 0.9 1.2 1.2 1.1 0.8 1.1 0.9 0.5 1.2 1.6 1.4 1.2 0.9 1.4 1.6 1.7 2.1 1.4 1.2 1.5 1.2 1.1 0.8 0.7 281 251.5 282 259 283 261 284 255 285 240 286 241 287 236 288 235 289 232 290 235.5 291 245 292 225 293 225 294 219 295 219 296 228.5 297 213 298 211 299 208.5 300 206 301 206 302 200 303 200 304 200 305 200 306 206 307 194 308 184 309 184 310 193.5 311 193 312 184 313 184 314 192.5 315 192 316 192 317 170 318 168 319 167 320 101 321 91 322 70 323 46 324 56 477 C 478 C 470 C 494 C 495 C 514 C 514 C 496 C 487 C 486.5 C 474 C 457.5 C 451 C 451 C 462 C 472 C 481 C 487 C 496 C 507 C 515 C 514 C 507 C 497 C 484 C 466 C 466 C 463.5 C 475 C 475 C 484 C 484 C 496.5 C 496.5 C 507 C 514 C 516.5 C 507 C 495.5 C 343 D 355 D 377 D 371 D 424 D 1.1 0.8 0.4 1.4 1.4 0.8 0.7 0.7 0.8 0.8 1.2 1.4 1.6 1.4 1.2 1.6 1.4 1 1.2 0.8 1.2 0.7 1.2 1.3 1.4 1.4 1.4 1.5 0.8 0.7 0.9 0.6 0.8 0.7 0.9 0.8 0.6 1.1 1.4 2.4 1.7 2.5 2.4 2.1 325 20 326 74 327 76 328 15 329 28 330 34.5 331 30 332 27 333 42 334 30 335 31 336 39 337 50 338 72 339 60 340 95 341 81 342 80 343 67 344 21 345 36 346 76 347 97 348 103 349 104 350 97 351 89 352 81 353 81 354 89 355 92.5 356 88 357 81.5 358 87 359 84 360 76 361 58.5 362 34 363 38 364 61 365 57 366 60 367 85 368 107.5 442 D 326 D 302 D 240 D 161 D 164.5 D 181 D 206 D 242 D 246 D 254 D 254 D 289 D 288 D 246 D 299 D 297 D 287 D 314 D 330 D 360 D 344 D 339 D 337 D 341 D 345 D 345 D 344.5 D 350 D 350 D 351.5 D 353 D 353 D 359 D 361 D 355 D 370 D 306 D 418.5 D 425 D 429 D 433 D 369 D 362 D 2.2 2.6 2.1 2.6 0.4 0.1 0.6 0.2 1.4 1.6 1.1 1.2 0.7 1.1 0.7 1.4 1.6 1.4 1.7 1.1 1.2 0.8 2.4 1.2 1.1 1.6 0.8 0.8 0.4 0.7 1.1 1.4 0.9 1.1 0.9 0.8 0.6 0.1 1.4 1.4 1.6 1.4 1.9 1.4 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 131 366.5 170 342 174 340 232.5 264 202 223 241 210 235 197.5 228 173 214 164 278 196 267 168 90 167 123 177.5 143 153 192 264 145 285 133 255 90 198 21 15 60 68 70 84 27 149 62 143 58 176 58 160 72 163 70 176.5 90 178 115 168 115 177.5 123 168 123 164 123 155 143 164 144 168 149 177 128 178 128 188 164 194 156 177 168 177 156 169 167 168 172 167 D 1.2 D 1.2 D 1.5 E 2.4 E 1.9 E 2.4 E 2.6 E 2.6 E 2.6 E 2.6 E 2.4 E 1 E 1.1 E 1.9 E 2.6 E 2.4 E 2.4 E 1.7 E 1.1 E 0.8 E 0.2 E 1.6 E 0.9 E 1.4 E 0.6 E 0.7 E 0.7 E 0.8 E 0.6 E 0.8 E 0.7 E 0.6 E 0.7 E 0.9 E 1.2 E 0.9 E 0.9 E 1.5 E 1.7 E 0.8 E 1.1 E 0.8 E 0.8 E 0.9 413 167 414 160 415 163 416 186 417 269 418 295 419 302 420 316 421 278 422 284 423 257.5 424 239 425 241 426 246 427 246.5 428 240 429 236 430 231 431 232 432 239.5 433 242 434 235 435 237.5 436 246 437 200 438 170 439 59 440 72 441 90 442 74 443 60 444 90 445 151 446 160 447 90 448 129 449 142 450 152 451 155 452 163 453 171 454 171 455 171 456 214 164 E 164 E 153.5 E 168 E 133 E 112 E 112 E 141 E 143 E 173 E 170 E 198 E 198 E 199 E 202 E 202 E 201 E 199 E 206.5 E 207.5 E 206 E 209.5 E 212 E 208 E 194 E 222 E 189 E 189 E 187.5 E 198 E 196 E 211 E 236 E 244 E 222 E 248 E 265 E 255.5 E 258 E 258 E 258 E 252.5 E 247 E 235 E 0.2 0.7 1.2 1.6 1.6 1.1 1.4 1.6 1.7 1.4 1.9 0.4 0.3 0.6 0.4 0.4 1.1 0.1 0.6 0.5 0.2 0.4 0.1 0.4 1.1 1.6 0.8 0.9 0.6 0.7 0.4 1.6 1.4 1.5 0.8 1.7 2.1 1.1 0.6 0.8 1.1 0.4 1.2 1.1 457 244 458 268 459 259 460 188 461 184 462 171 463 171 464 163 465 154 466 151 467 148 468 162 469 177 470 187 471 155 472 159 473 125 474 107 475 382.5 476 373 477 330 478 400 479 441 480 417 481 332 482 321 483 403 484 420 485 455 486 295.5 487 294 488 316 489 308 490 327 491 316 492 314 493 313 494 317 495 318.5 496 320 497 326.5 498 325 499 323 500 329 238 E 237 E 255 E 261 E 253 E 263 E 268 E 268 E 268.5 E 275 E 274 E 277.5 E 281 E 284 E 316 E 292 E 267 E 285 E 267 F 250 F 219 F 247 F 442 F 312 F 246 F 275 F 140 F 269 F 335 F 238 F 244 F 300 F 257.5 F 255 F 236 F 230 F 223 F 215 F 222 F 229 F 227.5 F 220 F 213 F 212 F 1.1 1.1 1.1 1.4 1.2 1.1 0.8 0.9 0.7 0.4 1.5 1.5 0.7 1.4 1.6 1.8 1.8 1.6 2.4 1.9 0.8 2.3 1.7 1.5 1.9 1.7 2.1 2.4 1.9 1.4 1.1 1.5 1.2 0.8 1.4 0.9 0.6 0.2 0.3 0.5 0.7 0.6 0.4 0.7 501 332 502 334 503 346 504 342 505 356 506 358 507 345 508 348 509 357.5 510 359 511 404 512 403 513 379 514 386 515 373 516 363 517 362 518 354 519 348 520 349 521 353 522 371 523 371 524 375 525 388.5 526 405 527 389 528 388 529 353 530 334 531 336 532 352 533 353 534 362.5 535 370 536 388 537 395.5 538 395 539 408.5 540 430 541 450 542 394 543 387 544 383 226 F 210.5 F 209 F 200 F 202 F 195 F 194 F 188 F 188 F 159 F 161 F 202 F 202 F 213 F 213 F 212 F 218 F 216.5 F 215 F 222 F 223 F 224 F 218.5 F 219 F 218 F 213.5 F 224.5 F 233 F 229.5 F 232 F 239 F 247 F 236 F 236 F 236 F 237 F 237.5 F 233 F 227 F 237 F 268 F 254 F 250 F 250 F 0.7 0.6 0.7 0.8 0.7 0.6 0.4 0.4 0.6 1.1 1.2 0.8 0.7 0.8 0.6 0.4 0.8 0.6 0.9 0.7 0.8 0.8 0.6 0.4 1.1 0.8 0.9 0.6 0.8 0.7 1.1 1.2 0.6 0.8 1.1 1.2 1.4 1.1 1.5 1.4 0.1 1.4 0.9 1.1 545 369 546 367.5 547 362 548 350 549 348 550 355 551 367 552 367 553 375 554 376 555 381 556 378 557 380 558 371 559 356.5 560 338 561 372 562 398 563 392 564 382.5 565 396 566 411 567 424 568 435 569 434 570 430 571 441 572 470 573 468 574 455 575 453 576 425 577 462 578 481 579 462 580 440 581 423 582 435 249.5 F 249 F 249 F 251 F 255 F 265 F 265 F 257.5 F 258 F 260 F 260 F 266 F 270.5 F 284 F 281 F 297 F 307 F 308 F 277 F 276 F 270 F 291 F 297 F 319 F 307 F 295 F 309 F 342 F 432 F 361 F 400 F 433 F 437 F 457 F 447 F 449 F 448 F 507.5 F 0.8 0.7 0.8 0.6 1.4 1.1 0.8 1.2 1.4 1.1 1.7 1.4 1.2 1.1 1.4 1.2 1.4 1.5 1.1 0.9 1.4 1.2 0.8 0.9 0.7 1.4 1.2 0.2 1.2 0.6 0.6 0.8 1.4 0.6 1.2 1.4 1 0.4

第五篇：數(shù)學(xué)建模真題

A題

城市表層土壤重金屬污染分析

隨著城市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動(dòng)對(duì)城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對(duì)城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)，研究人類活動(dòng)影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。

按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、??、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動(dòng)影響的程度不同。

現(xiàn)對(duì)某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)表層土（0~10 厘米深度）進(jìn)行取樣、編號(hào)，并用GPS記錄采樣點(diǎn)的位置。應(yīng)用專門儀器測(cè)試分析，獲得了每個(gè)樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠(yuǎn)離人群及工業(yè)活動(dòng)的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。

附件1列出了采樣點(diǎn)的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點(diǎn)處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。

現(xiàn)要求你們通過數(shù)學(xué)建模來完成以下任務(wù)：

(1)給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。

(2)通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。

(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點(diǎn)，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？

本文研究的是某城區(qū)警車配置及巡邏方案的制定問題，建立了求解警車巡邏方案的模型，并在滿足D1的條件下給出了巡邏效果最好的方案。

在設(shè)計(jì)整個(gè)區(qū)域配置最少巡邏車輛時(shí)，本文設(shè)計(jì)了算法1：先將道路離散化成近似均勻分布的節(jié)點(diǎn)，相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離約等于一分鐘巡邏路程。由警車的數(shù)目m,將全區(qū)劃分成m個(gè)均勻的分區(qū)，從每個(gè)分區(qū)的中心點(diǎn)出發(fā)，找到最近的道路節(jié)點(diǎn)，作為警車的初始位置，由Floyd算法算出每輛警車3分鐘或2分鐘行駛路程范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn)?？紤]區(qū)域調(diào)整的概率大小和方向不同會(huì)影響調(diào)整結(jié)果，本文利用模擬退火算法構(gòu)造出遷移幾率函數(shù)，用遷移方向函數(shù)決定分區(qū)的調(diào)整方向。計(jì)算能滿足D1的最小車輛數(shù)，即為該區(qū)應(yīng)該配置的最小警車數(shù)目，用MATLAB計(jì)算，得到局部最優(yōu)解為13輛。

在選取巡邏顯著性指標(biāo)時(shí)，本文考慮了兩個(gè)方面的指標(biāo)：一是全面性，即所有警車走過的街道節(jié)點(diǎn)數(shù)占總街道節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例，用兩者之比來評(píng)價(jià)；二是均勻性，即所有警車經(jīng)過每個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)的次數(shù)偏離平均經(jīng)過次數(shù)的程度，用方差值來大小評(píng)價(jià)。

問題三：為簡(jiǎn)化問題，假設(shè)所有警車在同一時(shí)刻，大致向同一方向巡邏，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分為四種：向左，向右，向上，向下，記錄每個(gè)時(shí)刻，警車經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)和能夠趕去處理事故的點(diǎn)，最后匯總計(jì)算得相應(yīng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

在考慮巡邏規(guī)律隱蔽性要求時(shí)，文本將巡邏路線進(jìn)行隨機(jī)處理，方向是不確定的，采用算法2進(jìn)行計(jì)算，得出相應(yīng)巡邏顯著指標(biāo)，當(dāng)車輛數(shù)減少到10輛或巡邏速度變大時(shí)，用算法2計(jì)算巡邏方案和對(duì)應(yīng)的參數(shù)，結(jié)果見附錄所示。

本文最后還考慮到4個(gè)額外因素，給出每個(gè)影響因素的解決方案。A題

葡萄酒的評(píng)價(jià)

確定葡萄酒質(zhì)量時(shí)一般是通過聘請(qǐng)一批有資質(zhì)的評(píng)酒員進(jìn)行品評(píng)。每個(gè)評(píng)酒員在對(duì)葡萄酒進(jìn)行品嘗后對(duì)其分類指標(biāo)打分，然后求和得到其總分，從而確定葡萄酒的質(zhì)量。釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質(zhì)量有直接的關(guān)系，葡萄酒和釀酒葡萄檢測(cè)的理化指標(biāo)會(huì)在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質(zhì)量。附件1給出了某一年份一些葡萄酒的評(píng)價(jià)結(jié)果，附件2和附件3分別給出了該年份這些葡萄酒的和釀酒葡萄的成分?jǐn)?shù)據(jù)。請(qǐng)嘗試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：

1.分析附件1中兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果有無顯著性差異，哪一組結(jié)果更可信？ 2.根據(jù)釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的質(zhì)量對(duì)這些釀酒葡萄進(jìn)行分級(jí)。3.分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系。

4．分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)對(duì)葡萄酒質(zhì)量的影響，并論證能否用葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)來評(píng)價(jià)葡萄酒的質(zhì)量？

附件1：葡萄酒品嘗評(píng)分表（含4個(gè)表格）附件2：葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)（含2個(gè)表格）附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物質(zhì)（含4個(gè)表格）B題

太陽能小屋的設(shè)計(jì)

在設(shè)計(jì)太陽能小屋時(shí)，需在建筑物外表面（屋頂及外墻）鋪設(shè)光伏電池，光伏電池組件所產(chǎn)生的直流電需要經(jīng)過逆變器轉(zhuǎn)換成220V交流電才能供家庭使用，并將剩余電量輸入電網(wǎng)。不同種類的光伏電池每峰瓦的價(jià)格差別很大，且每峰瓦的實(shí)際發(fā)電效率或發(fā)電量還受諸多因素的影響，如太陽輻射強(qiáng)度、光線入射角、環(huán)境、建筑物所處的地理緯度、地區(qū)的氣候與氣象條件、安裝部位及方式（貼附或架空）等。因此，在太陽能小屋的設(shè)計(jì)中，研究光伏電池在小屋外表面的優(yōu)化鋪設(shè)是很重要的問題。

附件1-7提供了相關(guān)信息。請(qǐng)參考附件提供的數(shù)據(jù)，對(duì)下列三個(gè)問題，分別給出小屋外表面光伏電池的鋪設(shè)方案，使小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，而單位發(fā)電量的費(fèi)用盡可能小，并計(jì)算出小屋光伏電池35年壽命期內(nèi)的發(fā)電總量、經(jīng)濟(jì)效益（當(dāng)前民用電價(jià)按0.5元/kWh計(jì)算）及投資的回收年限。

在求解每個(gè)問題時(shí)，都要求配有圖示，給出小屋各外表面電池組件鋪設(shè)分組陣列圖形及組件連接方式（串、并聯(lián)）示意圖，也要給出電池組件分組陣列容量及選配逆變器規(guī)格列表。

在同一表面采用兩種或兩種以上類型的光伏電池組件時(shí)，同一型號(hào)的電池板可串聯(lián)，而不同型號(hào)的電池板不可串聯(lián)。在不同表面上，即使是相同型號(hào)的電池也不能進(jìn)行串、并聯(lián)連接。應(yīng)注意分組連接方式及逆變器的選配。

問題1：請(qǐng)根據(jù)山西省大同市的氣象數(shù)據(jù)，僅考慮貼附安裝方式，選定光伏電池組件，對(duì)小屋（見附件2）的部分外表面進(jìn)行鋪設(shè)，并根據(jù)電池組件分組數(shù)量和容量，選配相應(yīng)的逆變器的容量和數(shù)量。

問題2：電池板的朝向與傾角均會(huì)影響到光伏電池的工作效率，請(qǐng)選擇架空方式安裝光伏電池，重新考慮問題1。

問題3：根據(jù)附件7給出的小屋建筑要求，請(qǐng)為大同市重新設(shè)計(jì)一個(gè)小屋，要求畫出小屋的外形圖，并對(duì)所設(shè)計(jì)小屋的外表面優(yōu)化鋪設(shè)光伏電池，給出鋪設(shè)及分組連接方式，選配逆變器，計(jì)算相應(yīng)結(jié)果。

附件1：光伏電池組件的分組及逆變器選擇的要求 附件2：給定小屋的外觀尺寸圖

附件3：三種類型的光伏電池（A單晶硅、B多晶硅、C非晶硅薄膜）組件設(shè)計(jì)參數(shù)和市場(chǎng)價(jià)格

附件4：大同典型氣象年氣象數(shù)據(jù)。特別注意：數(shù)據(jù)庫中標(biāo)注的時(shí)間為實(shí)際時(shí)間減1小時(shí)，即數(shù)據(jù)庫中的11:00即為實(shí)際時(shí)間的12:00

附件5：逆變器的參數(shù)及價(jià)格 附件6：可參考的相關(guān)概念 附件7：小屋的建筑要求

A題 車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響

車道被占用是指因交通事故、路邊停車、占道施工等因素，導(dǎo)致車道或道路橫斷面通行能力在單位時(shí)間內(nèi)降低的現(xiàn)象。由于城市道路具有交通流密度大、連續(xù)性強(qiáng)等特點(diǎn)，一條車道被占用，也可能降低路段所有車道的通行能力，即使時(shí)間短，也可能引起車輛排隊(duì)，出現(xiàn)交通阻塞。如處理不當(dāng)，甚至出現(xiàn)區(qū)域性擁堵。

車道被占用的情況種類繁多、復(fù)雜，正確估算車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導(dǎo)車輛行駛、審批占道施工、設(shè)計(jì)道路渠化方案、設(shè)置路邊停車位和設(shè)置非港灣式公交車站等提供理論依據(jù)。

視頻1（附件1）和視頻2（附件2）中的兩個(gè)交通事故處于同一路段的同一橫斷面，且完全占用兩條車道。請(qǐng)研究以下問題：

1．根據(jù)視頻1（附件1），描述視頻中交通事故發(fā)生至撤離期間，事故所處橫斷面實(shí)際通行能力的變化過程。

2．根據(jù)問題1所得結(jié)論，結(jié)合視頻2（附件2），分析說明同一橫斷面交通事故所占車道不同對(duì)該橫斷面實(shí)際通行能力影響的差異。

3．構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，分析視頻1（附件1）中交通事故所影響的路段車輛排隊(duì)長度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車流量間的關(guān)系。

4．假如視頻1（附件1）中的交通事故所處橫斷面距離上游路口變?yōu)?40米，路段下游方向需求不變，路段上游車流量為1500pcu/h，事故發(fā)生時(shí)車輛初始排隊(duì)長度為零，且事故持續(xù)不撤離。請(qǐng)估算，從事故發(fā)生開始，經(jīng)過多長時(shí)間，車輛排隊(duì)長度將到達(dá)上游路口。

附件1：視頻1（2013.9.13點(diǎn)擊：云盤下載-密碼:yij7）

附件2：視頻2（2013.9.13點(diǎn)擊：云盤下載-密碼:yij7）

附件3：視頻1中交通事故位置示意圖

附件4：上游路口交通組織方案圖

附件5：上游路口信號(hào)配時(shí)方案圖

注：只考慮四輪及以上機(jī)動(dòng)車、電瓶車的交通流量，且換算成標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)。

附件

3視頻1中交通事故位置示意圖

附件

4附件

5上游路口信號(hào)配時(shí)方案 B題 碎紙片的拼接復(fù)原

破碎文件的拼接在司法物證復(fù)原、歷史文獻(xiàn)修復(fù)以及軍事情報(bào)獲取等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。傳統(tǒng)上，拼接復(fù)原工作需由人工完成，準(zhǔn)確率較高，但效率很低。特別是當(dāng)碎片數(shù)量巨大，人工拼接很難在短時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，人們?cè)噲D開發(fā)碎紙片的自動(dòng)拼接技術(shù)，以提高拼接復(fù)原效率。請(qǐng)討論以下問題：

1．對(duì)于給定的來自同一頁印刷文字文件的碎紙機(jī)破碎紙片（僅縱切），建立碎紙片拼接復(fù)原模型和算法，并針對(duì)附件

1、附件2給出的中、英文各一頁文件的碎片數(shù)據(jù)進(jìn)行拼接復(fù)原。如果復(fù)原過程需要人工干預(yù)，請(qǐng)寫出干預(yù)方式及干預(yù)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)。復(fù)原結(jié)果以圖片形式及表格形式表達(dá)（見【結(jié)果表達(dá)格式說明】）。

2．對(duì)于碎紙機(jī)既縱切又橫切的情形，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)碎紙片拼接復(fù)原模型和算法，并針對(duì)附件

3、附件4給出的中、英文各一頁文件的碎片數(shù)據(jù)進(jìn)行拼接復(fù)原。如果復(fù)原過程需要人工干預(yù)，請(qǐng)寫出干預(yù)方式及干預(yù)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)。復(fù)原結(jié)果表達(dá)要求同上。

3．上述所給碎片數(shù)據(jù)均為單面打印文件，從現(xiàn)實(shí)情形出發(fā)，還可能有雙面打印文件的碎紙片拼接復(fù)原問題需要解決。附件5給出的是一頁英文印刷文字雙面打印文件的碎片數(shù)據(jù)。請(qǐng)嘗試設(shè)計(jì)相應(yīng)的碎紙片拼接復(fù)原模型與算法，并就附件5的碎片數(shù)據(jù)給出拼接復(fù)原結(jié)果，結(jié)果表達(dá)要求同上。

【數(shù)據(jù)文件說明】

（1）每一附件為同一頁紙的碎片數(shù)據(jù)。

（2）附件

1、附件2為縱切碎片數(shù)據(jù)，每頁紙被切為19條碎片。

（3）附件

3、附件4為縱橫切碎片數(shù)據(jù)，每頁紙被切為11×19個(gè)碎片。

（4）附件5為縱橫切碎片數(shù)據(jù)，每頁紙被切為11×19個(gè)碎片，每個(gè)碎片有正反兩面。該附件中每一碎片對(duì)應(yīng)兩個(gè)文件，共有2×11×19個(gè)文件，例如，第一個(gè)碎片的兩面分別對(duì)應(yīng)文件000a、000b。

【結(jié)果表達(dá)格式說明】

復(fù)原圖片放入附錄中，表格表達(dá)格式如下：

（1）附件

1、附件2的結(jié)果：將碎片序號(hào)按復(fù)原后順序填入1×19的表格；

（2）附件

3、附件4的結(jié)果：將碎片序號(hào)按復(fù)原后順序填入11×19的表格；

（3）附件5的結(jié)果：將碎片序號(hào)按復(fù)原后順序填入兩個(gè)11×19的表格；

（4）不能確定復(fù)原位置的碎片，可不填入上述表格，單獨(dú)列表。

A題 嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略

嫦娥三號(hào)于2013年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。嫦娥三號(hào)在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動(dòng)機(jī)能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)，在給定主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力方向后，能夠自動(dòng)通過多個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號(hào)的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m（見附件1）。

嫦娥三號(hào)在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為6個(gè)階段（見附件2），要求滿足每個(gè)階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。根據(jù)上述的基本要求，請(qǐng)你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略。

（3）對(duì)于你們?cè)O(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

附件1： 問題的背景與參考資料；

附件2： 嫦娥三號(hào)著陸過程的六個(gè)階段及其狀態(tài)要求； 附件3：距月面2400m處的數(shù)字高程圖； 附件4：距月面100m處的數(shù)字高程圖。

附件1：?jiǎn)栴}A的背景與參考資料 1．中新網(wǎng)12月12日電(記者 姚培碩)根據(jù)計(jì)劃，嫦娥三號(hào)將在北京時(shí)間12月14號(hào)在月球表面實(shí)施軟著陸。嫦娥三號(hào)如何實(shí)現(xiàn)軟著陸以及能否成功成為外界關(guān)注焦點(diǎn)。目前，全球僅有美國、前蘇聯(lián)成功實(shí)施了13次無人月球表面軟著陸。

北京時(shí)間12月10日晚，嫦娥三號(hào)已經(jīng)成功降軌進(jìn)入預(yù)定的月面著陸準(zhǔn)備軌道，這是嫦娥三號(hào)“落月”前最后一次軌道調(diào)整。在實(shí)施軟著陸之前，嫦娥三號(hào)還將在這條近月點(diǎn)高度約15公里、遠(yuǎn)月點(diǎn)高度約100公里的橢圓軌道上繼續(xù)飛行。期間，將穩(wěn)定飛行姿態(tài)，對(duì)著陸敏感器、著陸數(shù)據(jù)等再次確認(rèn)，并對(duì)軟著陸的起始高度、速度、時(shí)間點(diǎn)做最后準(zhǔn)備。

“發(fā)射、近月制動(dòng)、變軌和月面降落比較起來，后者更為關(guān)鍵。這對(duì)我們來說是一個(gè)全新的，也是一個(gè)最重要的考驗(yàn)?！敝袊皆鹿こ炭傇O(shè)計(jì)師吳偉仁表示。

嫦娥三號(hào)著陸地點(diǎn)選在較為平坦的虹灣區(qū)。但由于月球地形的不確定性，最終“落月”地點(diǎn)的選擇仍存在一定難度。據(jù)悉，嫦娥三號(hào)將在近月點(diǎn)15公里處以拋物線下降，相對(duì)速度從每秒1.7公里逐漸降為零。整個(gè)過程大概需要十幾分鐘的時(shí)間。探測(cè)器系統(tǒng)副總指揮譚梅將其稱為“黑色750秒”。

由于月球上沒有大氣，嫦娥三號(hào)無法依靠降落傘著陸，只能靠變推力發(fā)動(dòng)機(jī)，才能完成中途修正、近月制動(dòng)、動(dòng)力下降、懸停段等軟著陸任務(wù)。據(jù)了解，嫦娥三號(hào)主發(fā)動(dòng)機(jī)是目前中國航天器上最大推力的發(fā)動(dòng)機(jī)，能夠產(chǎn)生從1500牛到7500牛的可調(diào)節(jié)推力，進(jìn)而對(duì)嫦娥三號(hào)實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)控制。

在整個(gè)“落月”過程中，“動(dòng)力下降”被業(yè)內(nèi)形容為最驚心動(dòng)魄的環(huán)節(jié)。在這個(gè)階段，嫦娥三號(hào)要完全依靠自主導(dǎo)航控制，完成降低高度、確定著陸點(diǎn)、實(shí)施軟著陸等一系列關(guān)鍵動(dòng)作，人工干預(yù)的可能性幾乎為零。“在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)測(cè)控都跟不上了，判斷然后上去執(zhí)行根本來不及，只能事先把程序都設(shè)定好?！弊T梅表示。

在距月面100米處時(shí)，嫦娥三號(hào)要進(jìn)行短暫的懸停，掃描月面地形，避開障礙物，尋找著陸點(diǎn)?！叭绻旅嬗袀€(gè)大坑，需要挪個(gè)地方，它就會(huì)自己平移，等照相機(jī)告訴它地面平了，才會(huì)降落”。中國繞月探測(cè)工程首任首席科學(xué)家、中國科學(xué)院院士歐陽自遠(yuǎn)介紹。

之后，嫦娥三號(hào)在反推火箭的作用下繼續(xù)慢慢下降，直到離月面4米高時(shí)再度懸停。此時(shí)，關(guān)掉反沖發(fā)動(dòng)機(jī)，探測(cè)器自由下落。由于探測(cè)器具備著陸緩沖機(jī)構(gòu)，幾個(gè)腿都有彈性，落地時(shí)不至于摔壞。

安全降落以后，嫦娥三號(hào)將打開太陽能電池板接收能量，攜帶的儀器經(jīng)過測(cè)試、調(diào)試后開始工作。隨后，“玉兔號(hào)”月球車將駛離著陸器，在月面進(jìn)行3個(gè)月的科學(xué)勘測(cè)，著陸器則在著陸地點(diǎn)進(jìn)行原地探測(cè)。這將是中國航天器首次在地外天體的軟著陸和巡視勘探，同時(shí)也是1976年后人類探測(cè)器首次的落月探測(cè)。

附件2： 嫦娥三號(hào)軟著陸過程的六個(gè)階段及其狀態(tài)要求 1.嫦娥三號(hào)軟著陸過程示意圖

附圖4嫦娥三號(hào)軟著陸過程示意圖 2.嫦娥三號(hào)軟著陸過程分為6個(gè)階段的要求

（1）著陸準(zhǔn)備軌道：著陸準(zhǔn)備軌道的近月點(diǎn)是15KM，遠(yuǎn)月點(diǎn)是100KM。近月點(diǎn)在月心坐標(biāo)系的位置和軟著陸軌道形態(tài)共同決定了著陸點(diǎn)的位置。

（2）主減速段：主減速段的區(qū)間是距離月面15km到3km。該階段的主要是減速，實(shí)現(xiàn)到距離月面3公里處嫦娥三號(hào)的速度降到57m/s。（3）快速調(diào)整段：快速調(diào)整段的主要是調(diào)整探測(cè)器姿態(tài)，需要從距離月面3km到 2.4km處將水平速度減為0m/s，即使主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力豎直向下，之后進(jìn)入粗避障階段。

（4）粗避障段：粗避障段的范圍是距離月面2.4km到100m區(qū)間，其主要是要求避開大的隕石坑，實(shí)現(xiàn)在設(shè)計(jì)著陸點(diǎn)上方100m處懸停，并初步確定落月地點(diǎn)。

嫦娥三號(hào)在距離月面2.4km處對(duì)正下方月面2300×2300m的范圍進(jìn)行拍照，獲得數(shù)字高程如附圖5所示（相關(guān)數(shù)據(jù)文件見附件3），并嫦娥三號(hào)在月面的垂直投影位于預(yù)定著陸區(qū)域的中心位置。

附圖5： 距月面2400m處的數(shù)字高程圖

該高程圖的水平分辨率是1m/像素，其數(shù)值的單位是1m。例如數(shù)字高程圖中第1行第1列的數(shù)值是102，則表示著陸區(qū)域最左上角的高程是102米。

（5）精避障段：精細(xì)避障段的區(qū)間是距離月面100m到30m。要求嫦娥三號(hào)懸停在距離月面100m處，對(duì)著陸點(diǎn)附近區(qū)域100m范圍內(nèi)拍攝圖像，并獲得三維數(shù)字高程圖。分析三維數(shù)字高程圖，避開較大的隕石坑，確定最佳著陸地點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)在著陸點(diǎn)上方30m處水平方向速度為0m/s。附圖6是在距離月面100m處懸停拍攝到的數(shù)字高程圖（相關(guān)數(shù)據(jù)文件見附件4）。

附圖6： 距離月面100m處的數(shù)字高程圖

該數(shù)字高程的水平分辨率為0.1m/像素，高度數(shù)值的單位是0.1m。

（6）緩速下降階段：緩速下降階段的區(qū)間是距離月面30m到4m。該階段的主要任務(wù)控制著陸器在距離月面4m處的速度為0m/s，即實(shí)現(xiàn)在距離月面4m處相對(duì)月面靜止，之后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，使嫦娥三號(hào)自由落體到精確有落月點(diǎn)。

注：附件3和附件4中數(shù)字高程圖對(duì)應(yīng)的*.tif文件可以使用Matlab的“imread”命令打開，“imread”的具體使用方法見Matlab相關(guān)幫助。

2015高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目A題 太陽影子定位

如何確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽影子定位技術(shù)就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期的一種方法。

1.建立影子長度變化的數(shù)學(xué)模型，分析影子長度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，并應(yīng)用你們建立的模型畫出2015年10月22日北京時(shí)間9：00-15：00之間天安門廣場(chǎng)（北緯39度54分26秒，東經(jīng)116度23分29秒）3米高的直桿的太陽影子長度的變化曲線。

2.根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)。將你們的模型應(yīng)用于附件1的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)。

3.根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)和日期。將你們的模型分別應(yīng)用于附件2和附件3的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)與日期。

4.附件4為一根直桿在太陽下的影子變化的視頻，并且已通過某種方式估計(jì)出直桿的高度為2米。請(qǐng)建立確定視頻拍攝地點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用你們的模型給出若干個(gè)可能的拍攝地點(diǎn)。

如果拍攝日期未知，你能否根據(jù)視頻確定出拍攝地點(diǎn)與日期？

2015高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目B題 “互聯(lián)網(wǎng)＋”時(shí)代的出租車資源配置

出租車是市民出行的重要交通工具之一，“打車難”是人們關(guān)注的一個(gè)社會(huì)熱點(diǎn)問題。隨著“互聯(lián)網(wǎng)＋”時(shí)代的到來，有多家公司依托移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)建立了打車軟件服務(wù)平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)了乘客與出租車司機(jī)之間的信息互通，同時(shí)推出了多種出租車的補(bǔ)貼方案。

請(qǐng)你們搜集相關(guān)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型研究如下問題：

（1）試建立合理的指標(biāo)，并分析不同時(shí)空出租車資源的“供求匹配”程度。

（2）分析各公司的出租車補(bǔ)貼方案是否對(duì)“緩解打車難”有幫助？

（3）如果要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)新的打車軟件服務(wù)平臺(tái)，你們將設(shè)計(jì)什么樣的補(bǔ)貼方案，并論證其合理性。

該問題是一個(gè)即時(shí)性、開放性、實(shí)用性很強(qiáng)的熱點(diǎn)問題，可以針對(duì)某一個(gè)地區(qū)或一個(gè)城市的實(shí)際情況進(jìn)行研究。解決問題需要一定的數(shù)據(jù)支持，必須收集到某地區(qū)或城市出租車的相關(guān)數(shù)據(jù)，要充分體現(xiàn)“互聯(lián)網(wǎng)+”的特點(diǎn)與作用。通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析，統(tǒng)計(jì)挖掘出相關(guān)規(guī)律，來支持所建立的數(shù)學(xué)模型和模型的結(jié)論。

問題（1）：分析不同時(shí)空出租車資源的供求匹配程度

（1）通過分析，定義能夠反映不同時(shí)空變化規(guī)律的合理性供求關(guān)系指標(biāo)。（2）利用實(shí)際數(shù)據(jù)（真實(shí)、可靠），統(tǒng)計(jì)計(jì)算不同時(shí)空下的供求關(guān)系指標(biāo)，對(duì)供求關(guān)系的時(shí)間、空間的分布規(guī)律和匹配程度進(jìn)行具體的分析討論。

（3）供求關(guān)系指標(biāo)的定義方法是不唯一的，主要看是否能夠反映出租車的供求關(guān)系，并充分說明其合理性。僅用宏觀統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析問題不是一種好做法。

問題（2）：分析各公司推出的補(bǔ)貼方案是否能緩解“打車難”

各公司推出的補(bǔ)貼方案基本上都是采用等額的補(bǔ)貼方式，依據(jù)實(shí)際問題，可以從不同的角度做定性分析，最好是用定量分析，或用機(jī)理分析方法建模研究是否能緩解“打車難”的問題。

（1）允許用不同的方法，給出不同的觀點(diǎn)和結(jié)論，但要有充分合理的分析論證和說明。

（2）可以分析比較不同公司推出的補(bǔ)貼方案的不同作用，包括對(duì)出租車司機(jī)和乘客正反兩個(gè)方面的影響作用。

（3）要利用實(shí)際數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)其模型，驗(yàn)證說明相應(yīng)結(jié)論的正確性。

問題（3）：設(shè)計(jì)更合理的補(bǔ)貼方案

所設(shè)計(jì)的補(bǔ)貼方案要有針對(duì)性地緩解“打車難”的相關(guān)問題。

（1）合理的補(bǔ)貼方案一般應(yīng)該是非等額補(bǔ)貼，或通過“獎(jiǎng)勵(lì)”與“懲罰”機(jī)制，能夠促使出租車司機(jī)不挑單，或有單即接的效果。

（2）對(duì)于方案的合理性或可行性應(yīng)該給出檢驗(yàn)或仿真說明。