第一篇：數學建模中用到的啟發(fā)式算法

啟發(fā)式搜索 “啟發(fā)”(heuristic)是關于發(fā)現和發(fā)明規(guī)則及方法的研究。在狀態(tài)空間搜索中, 啟發(fā)式被定義成一系列規(guī)則, 它從狀態(tài)空間中選擇最有希望到達問題解的路徑。人工智能問題求解者在兩種基本情況下運用啟發(fā)式策略: 1.一個問題由于在問題陳述和數據獲取方面固有的模糊性可能使它沒有一個確定的解。醫(yī)療診斷即是一例。所給出的一系列癥狀可能有多個原因;醫(yī)生運用啟發(fā)搜索來選擇最有可能的論斷并依此產生治療的計劃。視覺問題又是一例?？吹降木拔锝洺Ｊ悄：? 各個物體在其連接、范圍和方向上可以有多個解釋。光所造成的幻覺加大了這些模糊性, 視覺系統(tǒng)可運用啟發(fā)式策略選擇一給定景象的最有可能解釋。

2.一個問題可能有確定解, 但是求解過程中的計算機代價令人難以接受。在很多問題(如國際象棋)中, 狀態(tài)空間的增長特別快, 可能的狀態(tài)數隨著搜索的深度呈指數級增長、分解。在這種情況下, 窮盡式搜索策略, 諸如深度優(yōu)先或廣度優(yōu)先搜索,在一個給定的較實際的時空內很可能得不到最終的解。啟發(fā)式策略通過指導搜索向最有希望的方向前進降低了復雜性。通過仔細考慮, 刪除某些狀態(tài)及其延伸, 啟發(fā)式算法可以消除組合爆炸, 并得到令人能接受的解。

然而, 和發(fā)明創(chuàng)造的所有規(guī)則一樣, 啟發(fā)式策略也是極易出錯的。在解決問題過程中啟發(fā)僅僅是下一步將要采取措施的一個猜想。它常常根據經驗和直覺來判斷。由于啟發(fā)式搜索只有有限的信息,諸如當前Open表中狀態(tài)的描述,要想預測進一步搜索過程中狀態(tài)空間的具體的行為很難辦到。一個啟發(fā)式搜索可能得到一個次最佳解, 也可能一無所獲。這是啟發(fā)式搜索固有的局限性。這種局限性不可能由所謂更好的 啟發(fā)式策略或更有效的搜索算法來消除。

啟發(fā)式策略及算法設計一直是人工智能的核心問題。博奕和定理證明是兩個最古老的應用: 二者都需要啟發(fā)式知識來剪枝以減少狀態(tài)空間。顯然, 檢查數學領域中每一步推理或棋盤上每一步可能的移動是不可行的。啟發(fā)式搜索常常僅是實踐中的解答。

近來, 專家系統(tǒng)的研究把啟發(fā)式策略作為問題求解的一個重要部分。當一個專家解決問題時, 他檢查所獲取的信息并作出決定。實際上, 專家用來解決問題的“拇指法則”很大程度上是啟發(fā)式的。這些啟發(fā)性知識被專家系統(tǒng)的設計者提取出來并形成規(guī)則。

通常啟發(fā)式算法由兩部分組成: 啟發(fā)方法和使用該方法搜索狀態(tài)空間的算法。本章先介紹最好優(yōu)先搜索的算法, 再討論啟發(fā)式算法的設計和評估。

在一字棋游戲中(圖4.5), 窮盡搜索的組合數很大。第一步移動共有九種移法 , 每一種又有八種對應走法……依次類推, 這個問題在窮盡搜索策略下需考慮9!個狀態(tài)。

根據對稱性可以減少搜索空間的數目。棋盤上很多構造是等價的。譬如, 第一步實際上只有三種移法, 角、邊的中央以及網絡正中。在狀態(tài)空間的第二層上, 由對稱性可進一步減少到12×7!種。在圖5.1 中可見到該狀態(tài)空間比最初的狀態(tài)空間要小, 但它在擴展過程中還要繼續(xù)分解。

然而, 一個簡單的啟發(fā)式策略幾乎可以整個地消除復雜的搜索過程。首先, 將棋子移到棋盤上×有最多的贏線的點。最初的三種狀態(tài)顯示在圖5.2中。若兩種狀態(tài)有相等的贏的機率, 取其中的第一個。這樣的話,可設計一種算法(完全實現啟發(fā)式搜索), 它選擇并移到具有最高啟發(fā)值的狀態(tài)。在這種情況下, ×占椐網絡的中間點, 其它的各種狀態(tài)都不再考慮, 它們的延伸狀態(tài)同時也給消除了。如圖5.3 所示三分之二的狀態(tài)空間就這樣給剪枝了。

第一步走完后, 對方只能有兩種走法(見圖5.3)。無論選擇哪種走法,我方均可以通過啟發(fā)式搜索選擇下一步可能的走法。在搜索過程中, 每一步只需估價一下單個節(jié)點的子結點;不需要強力搜索。圖5.3 顯示了游戲前三步簡化了的搜索過程。每種狀態(tài)都標記了它的啟發(fā)值。

要精確地計算待檢查的狀態(tài)的數目比較難, 但可以大致計算它的上限。一盤棋最多走九步, 每步的下一步平均有四、五種走法。這樣大約就是4.5×9,近40種狀態(tài), 比9!改善了很多。

5.1 啟發(fā)信息和估計函數

人工智能的核心課題是問題求解。所謂“問題求解”就是在廣義圖中尋找一條從初始狀態(tài)出發(fā), 到達目標狀態(tài)的解樹。例如旅行問題是解決從出發(fā)點到達目的地的路線和工具問題;機器人裝配機器, 就是給出把一堆零件變成一臺機器的一系列操作;定理證明就是尋找一條從前提條件到達結論的通路等等。

在實際解決一個具體問題時, 人們常常把一個具有復雜聯系的實際問題抽象化,保留某些主要因素, 忽略掉大量次要因素, 從而將這個實際問題轉化成具有明確結構的有限狀態(tài)空間問題, 這個空間中的狀態(tài)和變化規(guī)律都是已知的有限集合, 因此可以找到一個求解該問題的算法。

然而, 在智能活動中使用最多的不是具有完備性的算法, 而是不一定完備的啟發(fā)式方法。其原因有二: 首先, 大多數情況下, 智能系統(tǒng)不知道與實際問題有關的全部信息, 因而無法知道該問題的全部狀態(tài)空間, 不可能用一套算法來求解其中的所有問題, 這樣就只能依靠部分狀態(tài)空間和一些特殊的經驗性規(guī)則來求解其中的部分問題。

其次, 有些問題在理論上存在求解算法, 但是在工程實踐中, 這些算法不是效率太低, 就是根本無法實現, 為了提高解題的效率, 不得不放棄使用這些算法, 而求助于一些經驗性的啟發(fā)式規(guī)則。

例如在博弈問題中, 計算機為了保證最后勝利, 可以將所有可能的走法都試一遍, 然后選擇最佳走步。這樣的算法是可以找到的, 但計算所需的時空代價十分驚人。就可能有的棋局數講, 一字棋是9!=3.6×105, 西洋跳棋是1078, 國際象棋是10120, 圍棋是10761。假設每步可能選擇一種棋局, 用極限并行速度(10-104年/步)計算, 國際象棋的算法也得1016年即1億億年才可以算完, 而我們已知的宇宙史才 100億年!由此看來, 啟發(fā)式的問題求解, 不僅在實踐上是需要的, 而且在理論上也是必不可少的。

對問題空間進行搜索時, 提高搜索效率需要有和被解問題的解有關的大量控制性知識作為搜索的輔助性策略。有兩種極端的情況: 一種是沒有任何這種控制性知識作為搜索的依據, 因而搜索的每一步完全是隨意的, 如隨機搜索;另一種是有充分控制性知識作為依據, 因而搜索的每步選擇都是正確的, 這種搜索叫最佳搜索。一般情況是介于二者之間, 這些控制性信息反映在估價函數之中。

估價函數的任務就是估計待搜索結點的重要程度, 給它們排定次序。估價函數f(x)可以是任意一種函數, 如有的定義它是結點x處于最佳路徑上的概率, 或是x結點和目標結點之間的距離, 或是x格局的得分等等。一般來說, 估價一個結點的價值, 必須綜合考慮兩方面的因素: 已經付出的代價和將要付出的代價。在此, 我們把估價函數f(n)定義為從初始結點經過n 結點到達目標結點的最小代價路徑的代價估計值, 它的一般形式是: f(n)=g(n)+h(n)其中g(n)是從初始結點到n的實際代價, h(n)是從n到目標結點的最佳路徑的估計代價, 主要是h(n)體現了搜索的啟發(fā)信息。因為實際代價g(n)可以根據生成的搜索樹實際計算出來, 而估計代價h(n)卻依賴于某種經驗估計, 它來源于我們對問題的解的某些特性的認識, 這些特性可以幫助我們更快地找到問題的解。

一般地, 在f(n)中, g(n)的比重越大, 越傾向于廣度優(yōu)先搜索方式;h(n)的比重越大, 越傾向于深度優(yōu)先搜索方式。

g(n)的作用一般是不可忽略的, 因為它代表了從初始結點經過n 到達目標結點的總代價估值中實際已付出的那一部分。保持g(n)項就保持了搜索的廣度優(yōu)先趨勢, 這有利于搜索的完備性, 但影響搜索的效率。在特殊情況下, 如果只希望找到達到目標結點的路徑而不關心已付出的代價, 則g(n)的作用可以忽略。另外, h(n)> >g(n)時, 也可以忽略g(n), 這時有f(n)=h(n), 這有利于搜索的效率, 但影響搜索的完備性。

給定一個問題后, 根據問題的特性和解的特性, 可以有多種方法定義估價函數, 用不同的估價函數指導搜索, 其效果可以相差很遠。因此,必須盡可能選擇最能體現問題特性的, 最佳的估價函數。

5.2 啟發(fā)式搜索算法

5.2.1 局部擇優(yōu)搜索法(瞎子爬山法)實現啟發(fā)式搜索最簡單的方法是瞎子爬山法(hill climbing)。瞎子爬山法在搜索過程中擴展當前結點并估價它的子結點。最優(yōu)的子結點被選擇并進一步擴展;該子結點的兄弟結點和父結點都不再保留。當搜索達到一種狀態(tài), 該狀態(tài)比它的所有子結點都要好, 則搜索停止。瞎子爬山法可以這樣理解──一個盲人急切地想登上山頂, 他總是沿著最陡的山路向上爬, 直到再不能找到新的路徑。瞎子爬山法有這樣一個缺陷: 一個錯誤的啟發(fā)知識可能導致搜索無法沿著正確的路徑前進, 從而增加了搜索的深度, 甚至是無窮盡地搜索。由于瞎子爬山法不保存所走過的結點信息, 故瞎子爬山算法無法修正錯誤的路徑。

瞎子爬山法還可能在一個局部的最佳點上停止。當搜索到一個結點, 它的估計代價比任一個子結點都要小, 則算法結束。如果此時并不是目標狀態(tài), 而只是一個局部最優(yōu)結點, 則該算法就不能得到目標解。因此, 在一個限定的環(huán)境下, 瞎子爬山法可能會極大地提高搜索效率, 但是對于整個搜索空間, 就有可能無法得到最佳解。重排九宮游戲就是一個突出的例子。為了將一個特定的格局移到它的目標位置上, 常常需要移動已經在其目標位置上的將牌。這對于完成拼圖是必要的, 但它顯然暫時惡化了拼板上的狀態(tài)。由于“更好”并不是“最好”, 瞎子爬山法無法區(qū)別局部和全局最優(yōu)解。處理這個問題時有許多種方法, 譬如隨時地修正估價函數來突破局部最優(yōu)的限制。但是總的來說, 沒有一種方法能保證瞎子爬山法的最佳效率。下面 介紹一個瞎子爬山法的例子──跳棋程序。

在人工智能中, Samuel的跳棋程序最早應用該方法。在跳棋程序中, 不僅運用了啟發(fā)式搜索, 還實現了簡單的學習功能。

跳棋程序中根據幾個不同啟發(fā)值的總和來估算棋局的狀態(tài): ∑aixii

其中xi是棋局的一系列特征, 如殘局優(yōu)勢、殘局棋子力量分布, 中心點位置的控制等。這些xi的系數由它在整個估值中所處的重要性來確定。也就是說, 如果殘局優(yōu)勢比控制中心點重要, 則殘局優(yōu)勢的系數要大。

該程序將搜索空間擴展到一定局數并根據多項式估值函數估算該局中所有狀態(tài)值。根據5.4.2節(jié)介紹的極大極小法, 程序可倒推出圖中所有狀態(tài)的估值。游戲者根據結點的最佳狀態(tài)走棋;對手走棋后, 根據新的棋局狀態(tài), 整個過程將再來一遍。

若多項式估值函數導向一系列不能取勝的移動, 程序將調整其系數以提高能力。具有較大系數的因素由于在輸棋原因中占很大比重, 它的系數將減小, 而較小的系數將增 大以提高相關因素的影響力。如果取勝則情況相反。通過與人或其自身的不同版本對抗, 程序不斷訓練學習。

可以看出, 跳棋游戲在學習過程中采用的是瞎子爬山法, 通過對多項式估值函數的局部的改進來提高自身的性能。該程序能不斷改進到水平很高為止。然而, 由于算法依靠瞎子爬山法, 它不可避免地具有某些限制。例如, 由于采用的不是全局的策略, 程序容易被對手利用某種啟發(fā)策略導向陷阱。同樣, 程序的自學習功能容易被對手的隨手棋所迷惑;例如, 老對手靈活地采用多種策略, 或故意亂下棋, 這就會使多項式估值函數的系數隨意性很大, 從而全面降低了程序的能力。

上例表明, 盡管瞎子爬山法有其局限性, 但是若估價函數選取得當并能夠避免局部最優(yōu)解和無窮搜索時, 它就會充分發(fā)揮搜索的高效率?？傊? 啟發(fā)式搜索需要一個具有很多啟發(fā)信息的算法, 而最好優(yōu)先搜索就提供了這一算法。

5.2.2 最好優(yōu)先搜索法(有序搜索法)和第四章中所提到的深度優(yōu)先及廣度優(yōu)先搜索算法一樣, 最好優(yōu)先搜索算法也使用了兩張表來記錄結點信息: 在Open表中保留所有已生成而未考察的結點;在Closed表中記錄已訪問過的結點。算法中有一步是根據某些啟發(fā)信息, 按結點距離目標狀態(tài)的長度大小重排Open表中的結點這樣。循環(huán)中的每一步只考慮Open表中狀態(tài)最好的結點, 這就是最好優(yōu)先搜索算法,又稱為有序搜索法。其數據結構(Open表)既不同于廣度優(yōu)先使用的隊(先進先出), 也不同于深度優(yōu)先使用的棧(后進先出), 而是一個按結點的啟發(fā)估計函數值的大小為序排列的一個表, 有時也稱為“優(yōu)先隊”。進入優(yōu)先隊的結點不是簡單地排在隊尾(或隊首), 而是根據其估值的大小插入隊中 合適的位置, 每次從隊中優(yōu)先取出估值最小的結點加以擴展。

最好優(yōu)先搜索的算法描述如下: PROCEDURE BEST-FIRST-SEARCH INITIALIZE:OPEN=[START];CLOSED=[ ];WHILE OPEN≠[ ] DO BEGIN REMOVE THE NEXT STATE FROM OPEN, CALL IT X;IF X IS A GOAL THEN RETURN THE SOLUTION PATH THAT LED TO X;PROCESS X,GENERATING ALL ITS CHILDREN;FOR EACH CHILD OF X DO CASE THE CHILD IS NOT ALREADY ON OPEN OR CLOSED: BEGIN ASSIGN A HEURISTIC VALUE TO THE CHILD STATE;ADD THE CHILD STATE TO OPEN;END;THE CHILD IS ALREADY ON OPEN: IF THE CHILD WAS REACHED ALONG A SHORTER PATH THAN THE STATE CURRENLTY ON OPEN THEN GIVE THE STATE ON OPEN THIS SHORTER PATH VALUE THE CHILD IS ALREADY ON CLOSED: IF THE CHILD WAS REACHED ALONG A SHORTER PATH THAN THE STATE CURRENLTY ON CLOSED THEN BEGIN GIVE THE STATE ON CLOSED THIS SHORTER PATH VALUE;MOVE THIS STATE FROM CLOSED TO OPEN END END;PUT X ON CLOSED;RE-ORDER STATES ON OPEN ACCORDING TO HEURISTIC MERIT(BEST VALUES FIRST)END;RETURN(FAILURE);%OPEN IS EXHAUSTED END.在每一次重復中, 最好優(yōu)先搜索算法從Open表中取出第一個元素, 如果該元素滿足目標條件, 則算法返回到達該元素的搜索路徑。在這里, 每個結點都保留父結點的信息, 以保證返回完整的搜索路徑。

若Open表的第一個元素不是目標結點, 則算法應用相應的規(guī)則進行一系列操作來產生它的子結點。如果子結點的狀態(tài)已在Open(或Closed表)中, 則算法保證新的狀態(tài)記錄兩個求解路徑中花費小的一個, 不保留重復的狀態(tài)。這樣, 當Open表(或Closed表)中的結點再一次被發(fā)現時, 通過刷新它的祖先結點的歷史記錄, 算法就極有可能得到到達目標結點的更短的路徑。

接著, 最好優(yōu)先搜索法估算Open表中每個結點的狀態(tài)的啟發(fā)值, 按照值的大小重新排序, 將值最小的狀態(tài)放在表頭。

圖5.4是一個層次式狀態(tài)空間, 有些結點旁邊標上了相應的啟發(fā)值。標上值的那些狀態(tài)都是在最好優(yōu)先搜索中實際生成的。在這張圖中, 啟發(fā)搜索算法擴展的狀態(tài)都已顯示;算法無需搜索所有的狀態(tài)空間。最好優(yōu)先搜索算法的目標是盡可能地減小搜索空間而得到解, 啟發(fā)信息給得越多, 處理的狀態(tài)就越少。

下面給出了這張圖的最好優(yōu)先搜索算法的運行過程。假定P是目標狀態(tài), 則到P 的路徑上的結點狀態(tài)有較低的啟發(fā)值。在這里, 啟發(fā)信息難免會有錯誤;狀態(tài)O比P的值小而先被檢查。然而, 不象瞎子爬山法, 該算法本身有糾錯功能, 能從此狀態(tài)返回并找到正確的目標狀態(tài)。1.Open=[A5];Closed=[ ] 2.估算A5;Open=[B4,C4,D6];Closed=[A5] 3.估算B4;Open=[C4,E5,F5,D6];Closed=[B4,A5] 4.估算C4;Open=[H3,G4,E5,F5,D6];Closed=[C4,B4,A5] 5.估算H3;Open=[O2,P3,G4,E5,F5,D6];Closed=[H3,C4,B4,A5] 6.估算O2;Open=[P3,G4,E5,F5,D6];Closed=[O2,H3,C4,B4,A5] 7.估算P3;已得到解!圖5.5是算法執(zhí)行了五次循環(huán)后的狀態(tài)空間圖。Open表和Closed 表中的狀態(tài)以不同的亮度顯示。Open表中記錄搜索的當前結點, Closed表中保存已考察過的狀態(tài)。

最好優(yōu)先搜索算法總是從Open表中選取最“好”的狀態(tài)進行擴展。但是, 由于啟發(fā)信息有時可能出錯, 故算法并不丟棄其它的狀態(tài)而把它們保留在Open表中。當某一個啟發(fā)信息將搜索導向錯誤路徑時, 算法可以從Open表中檢索先前產生的“ 次最好”狀態(tài), 并且將考察方向轉向空間的另一部分上。如圖5.4, 當算法發(fā)現狀態(tài)B 的子結點有很差的啟發(fā)值時, 搜索轉移到C, 但B的子結點都保留在Open表中, 以防算法在未來的某一步再一次轉向它們。在最好優(yōu)先搜索算法中, 就象第四章中的算法一樣, 當某一路徑無法到達目標解時, 可使搜索轉到另一條路徑上。

5.2.3 啟發(fā)估計函數的實現

不同的啟發(fā)策略對解決九宮問題有不同的影響。圖5.6 顯示了九宮問題的起始狀態(tài)、目標狀態(tài)以及搜索過程中產生的前三個狀態(tài)。

最簡單的啟發(fā)策略是計算每種格局下與目標結點的格局相比時位置不符的將牌數目。從感覺上來說, 這種策略很有效, 因為在其它條件相同的情況下, 位置不符將牌數目越少, 它看上去和最終目標越近, 因而是檢驗的下一個狀態(tài)。

但是, 這種策略并沒有充分利用所能獲得的信息, 它沒有考慮將牌所需移動的距離。一個“較好”的啟發(fā)策略是將牌移到目標位置上時所需移動距離的總和相加作為啟發(fā)值。

這兩種策略都沒有考慮將牌逆轉時的情況, 也就是, 如果兩塊將牌相鄰但是和目標格局相比位置相反, 這至少需要移動兩次才能將它們移到正確的位置上, 將這一點加以考慮的啟發(fā)策略對每一對逆轉將牌乘以一個小倍數(如2)。圖5.8顯示的就是將這三種策略運用到圖5.6的三個子狀態(tài)情況下所得到的結果。

在圖5.8中, “距離總和” 策略看上去比僅僅計算位置不符將牌數目的策略提供了一個更精確的估算。而且, 由于在這些狀態(tài)中, 沒有直接給出逆位數, 故都給予估值。第四種策略克服了僅計算將牌逆轉數目策略的局限, 它將位置不符將牌數目總和與2倍將牌逆轉數目相加。

這個例子說明, 設計一個好的啟發(fā)策略具有相當的難度。設計算法的目標就是利用有限的信息作出一個明智的選擇。上述策略都忽略了一些重要的信息, 需加以改進。好的啟發(fā)策略的設計是一個經驗問題, 判斷和直覺是很重要的因素, 但是衡量的最終尺度則是具體應用時的效果。

由于所有的啟發(fā)策略都可能出錯, 每一種搜索算法都可能導向錯誤的路徑, 但是在深度優(yōu)先搜索中, 可用深度計數探查無效路徑來解決這個問題。這個思想也可運用到啟發(fā)式搜索中。如果兩種狀態(tài)具有相等的啟發(fā)值, 通常先考察離根較近的那個狀態(tài)。這個狀態(tài)極有可能就處在到達目標狀態(tài)的最佳路徑上?？捎靡粋€深度計數來記錄從起始狀態(tài)到其子孫狀態(tài)的距離。計數起始值為0, 每搜索一層計數值加1。這個值可加到啟發(fā)值上, 層數越淺的狀態(tài)越優(yōu)先。

這樣, 就得到了估計函數f, 它由兩個因素所組成: f(n)=g(n)+h(n)其中g(n)是狀態(tài)n到達起始狀態(tài)的路徑的實際長度, h(n)是狀態(tài)n到目標狀態(tài)的最佳路徑的啟發(fā)值。

在九宮問題中, 可令h(n)為位置不符的將牌數目。若將這個估計函數值運用到 圖5.6的子狀態(tài)中, 它們的f值分別是6,4,6(見圖5.9)。

各個狀態(tài)的f(n)值 這里f(n)=g(n)+h(n)g(n)=從n到初始狀態(tài)的實際長度 h(n)=位置不符的將牌數目

圖5.9 九宮圖的估計函數f值

在圖5.10中, 使用上面所定義的f函數得到一個完整的搜索樹。每種狀態(tài)都以一個字母及它的估計函數值f來標記。每種狀態(tài)頭部的數字顯示該狀態(tài)從Open 表中取出時的順序。有些狀態(tài)沒有數字標記, 這是因為當算法結束時, 這些狀態(tài)仍在Open表中。

圖5.10 啟發(fā)式搜索產生的九宮圖狀態(tài)空間

產生圖5.10的一系列過程如下: 1.open=[a4];closed=[] 2.open=[c4,b6,d6];closed=[a4] 3.open=[e5,f5,g6,b6,d6];closed=[a4,c4] 4.open=[f5,h6,g6,b6,d6,i7];closed=[a4,c4,e5] 5.open=[j5,h6,g6,b6,d6,k7,i7];closed=[a4,c4,e5,f5] 6.open=[l5,h6,g6,b6,d6,k7,i7];closed=[a4,c4,e5,f5,j5] 7.open=[m5,h6,g6,b6,d6,n7,k7,i7];closed=[a4,c4,e5,f5,j5,l5] 8.成功,m=目標狀態(tài)!在第3步中, e和f都具有相等的啟發(fā)值5。先檢查狀態(tài)e并產生它的子結點h和i。盡管h同f一樣具有相等的位置不符的將牌數目, 但它在整個狀態(tài)空間中所處層數要深。深度函數g(n)使算法在第4步中選擇f作為考察對象。此時, 算法回退一層并繼續(xù)搜索過程。此時的狀態(tài)空間圖以及相應的Open表、Closed表見圖5.11。

事實上, 估計函數f中的g使搜索具有廣度優(yōu)先的性質, 這就使整個搜索免于被一個錯誤的估計值所誤導。當算法沿著一條不斷返回“好”估值但實際上是錯誤的路徑搜索時, g值將不斷增加并最終在f中占主導地位, 從而迫使搜索回退到一個具有較小f值的路徑。這就保證算法不會永遠沿著一條路徑搜索下去。在5.3節(jié)中, 將討論在何種條件下, 最好優(yōu)先算法使用f一定能得到一條最短的路徑。

當估計函數f運用到最好優(yōu)先搜索算法上時, 它提供了啟發(fā)式搜索的一般規(guī)則?？偨Y如下: 1.根據產生式規(guī)則和一些其它的操作生成當前考察結點的子狀態(tài)。2.檢查每個狀態(tài)以前是否已經考察過(已在Open表或Closed表中), 以防止循環(huán)。

3.每個狀態(tài)n都賦以f(n)值。其中f=g+h, h 值使搜索沿著具有較好啟發(fā)值的狀態(tài)所處路徑前進;g值防止搜索在一條無效的路徑上無限繼續(xù)下去。

4.Open表中的狀態(tài)按f值排序。這些狀態(tài)在未被考察或未找到到目標狀態(tài)時一直保存, 通過保存這些狀態(tài),算法能隨時從一無效路徑上返回。Open 表中可能保存有狀態(tài)空間中不同層次的狀態(tài), 以充分保證能隨時轉移搜索方向。

5.通過設計Open表和Closed表的存貯方式, 可提高算法的效率。例如, 將Open表處理為一個堆棧能夠縮短排序的時間。

最好優(yōu)先搜索算法是啟發(fā)式搜索的一個較常用算法。它支持多種估計函數的使用, 既可用于目標驅動搜索, 又可用于數據驅動搜索, 它是檢驗啟發(fā)式搜索行為的一個基礎。因為它的普遍性, 最好優(yōu)先搜索可和多種啟發(fā)策略一起使用。

應用啟發(fā)策略的另一個有趣的方法是可信度的運用。它在專家系統(tǒng)中被用來衡量一條規(guī)則所產生的結果的可信程度。當一個專家考慮一個問題時, 他經常給出所得結論正確的可能程度。同樣, 專家系統(tǒng)使用可信度方法來選擇具有最高可信度的結果作為最終結論, 而具有較小可信度的狀態(tài)不予考慮。在下節(jié)中將講述這種方法。

第二篇：如何在數學教學中運用啟發(fā)式

如何在數學教學中運用啟發(fā)式

作者：馮巖

地址：海城高中數學組 郵編：114200

如何在數學教學中運用啟發(fā)式

姓名：馮巖

地址：遼寧省海城市高級中學數學組 郵編：114200

[摘 要] 啟發(fā)式是一個古老而新鮮的教學理念。隨著科技發(fā)展，時代進步，人們又賦予啟發(fā)式以新的內涵。即啟發(fā)式：有利于開發(fā)學生的智力潛能，充分發(fā)揮學生的聰明才智；有利于促進知識，能力的協調發(fā)展；有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，創(chuàng)新能力；有利于增進學生分析問題解決問題的能力等等。我們通過實驗和研究，認為啟發(fā)式教學不僅是教學方法，更是一種教學思想，是教學原則和教學觀。當代世界各國教學改革無一不是圍繞著啟發(fā)式或和啟發(fā)式相聯系。[關鍵詞] 啟發(fā)式；課堂；教學

啟發(fā)式教學是一個古老的概念。從著名教育家孔丘至今，歷時二千多年，啟發(fā)式不但沒有在教學中有絲毫的淡化，而且越來越成為人們關注和研究的重點，這說明啟發(fā)式有著強大生命力。

那么，什么叫“啟發(fā)式”？孔子說“不憤不啟，不悱不發(fā)；舉一隅不以三隅反，則不復也?！笨鬃拥乃^“憤”、“悱”，正是學生求知的沖動和興趣，也就是學生學習的潛能。在孔子看來，教師如果不能把學生的學習潛能挖掘出來，那么他（或他們）的教學就不可能達到“舉一反三，聞一知十”的效果。孔子關于啟發(fā)式的論述，同時也使我們認識到：啟發(fā)式不只是一種教學方法，更是一種教育思想和教學原則。只有這樣，才能使教學擺脫老師問學生答的淺層次的教學狀態(tài)，而漸臻于從本質上討論教學知識和能力，達到師生互動、教學相長的教學境界。

為了更好地在數學教學中貫徹啟發(fā)式的教學思想、原則和方法，我從以下四個方面進行分析和闡述。

一、創(chuàng)設問題情境 從心理學上講：“思維活躍于疑路的交叉點?！碑斠延械闹R或經驗與教材課題發(fā)生矛盾時，教師創(chuàng)設問題情境，學生的思維便活躍在新的有趣的問題等待解決之時。表現在驚訝萬分，急于探究，思維高度集中，高度振奮。

例如，在講述等比數列的前n項和時，我引入了這樣一個故事：傳說古代印度有一個國王喜愛象棋，中國智者云游到此，國王得知智者棋藝高超，于是派人請來智者與其對弈，并傲慢地說：“如果你贏了，我將答應你的任何要求?！敝钦咝南耄何覒撝我恢螄醯陌谅．攪踺斊搴?，智者說：陛下只須派人用麥粒填滿象棋盤上的所有空格，第一格一粒，第二格二粒，第三格四粒 ??以后每格是前一格粒數的二倍。國王說這太簡單了，吩咐手下馬上去辦。過了好多天，手下驚慌地報告國王，不好了，你猜怎樣？原來經計算，印度近幾十年生產的所有麥子加起來還不夠。問：你知道這些麥子有多少呢？新課開始，通過創(chuàng)設問題情境，提出一個真實的問題造成學生認知上的沖突，形成學生欲證不能，欲罷不能的悱憤狀態(tài)，很快使學生對教學內容產生濃厚的興趣，并且能夠積極去探索和發(fā)現。同學們躍躍欲試，紛紛想辦法去求。少數同學想一格一格地加起來，但又太麻煩，數據很大，馬上放棄自己的想法，再探索其他途徑。這是老師啟發(fā)學生，每格麥粒的個數之間有什么特點？學生發(fā)現：成等比數列。這個問題實際上是等比數列前n項和，從而引出課題。通過創(chuàng)設問題情境，讓學生體會到數學概念的提出過程，知識的形成和發(fā)展過程，使學生在這些過程中欣賞大形式化概念的“美麗”而不是枯燥無味的。

二、啟發(fā)式提問 根據教材的重點和難點，提出問題，促使學生積極思考，提高學習興趣。例如，在圓柱、圓錐、圓臺、和球的教學中，要講述球面的定義及球截面的性質?？梢灾苯咏o出定義證明性質，但這樣一來，學生會感到乏味，教學效果不好。因此我結合多媒體課件演示，設計了一系列問題：（1）在用旋轉的方法定義了圓柱、圓錐、圓臺之后，思考球面是如何形成的？（2）回憶初中圓的定義，把它類比推廣到空間得到什么結論？從而解決了本節(jié)的一個教學目標——用旋轉和和集合的方法定義球面。（3）球和球面一樣嗎？若不一樣有什么區(qū)別？（4）用一個平面去截球會得到什么圖形，若改為用一個平面去截球面會得到什么圖形？（5）在球面上有兩個點，如何連接才能使他們在球面上的距離最短？從而明確球的相關概念和球截面性質。這樣處理既復習了舊知識，又學習了新知識，同時又啟發(fā)了學生的思維。

三、啟發(fā)式的探索試驗 運用啟發(fā)式探索試驗，可以使學生通過實驗產生驚奇，從而產生濃厚的學習興趣，于是便積極思維，最終獲取知識。

例如，我在講橢圓的定義時，在課前讓學生準備教具：一塊紙板，一根定長的細繩和兩枚圖釘。先將兩個圖釘固定在同一點，顯然畫出的是圓；然后通過不斷移動兩個圖釘(改變兩個定點間的距離)畫出扁平程度不同的橢圓；最后當兩圖釘將繩子拉直時，畫出的是線段。通過這樣的實踐，讓學生理解2a>2c這一條件，這樣安排也有利于學生用運動、變化的觀點去分析問題。

四、討論或議論

適當地讓學生參與討論或議論，不僅可以活躍課堂氣氛，而且還能啟發(fā)學生的思維，使學生積極地參與到教學中去。

例如：在講圓方程時，有這樣一道題：

已知O為坐標原點，圓x2+y2+x-6y+C=0，與直線x+2y-3=0的兩個交點為P，Q，當C取何值時，OP?OQ？

上課時，有80%的學生認為此題是直線與二次曲線的相交問題，所以選擇了常規(guī)解法（即聯立直線方程與圓方程組成方程組，再用韋達定理求出x1x2和y1y2），此解法略。

然后我和同學們一起分析題中條件和結論，啟發(fā)他們和以前的知識聯系起來，利用知識的遷移，讓他們進行小組討論，以探求其它的解法。討論的結果還有以下三種解法。

解法一 設M點是弦PQ的中點，由O1M?PQ，O1（-得O1M：y-3=2(x+1212，3），)1??y-3?2(x?)再由?2 得M(-1,2)??x?2y-3?0所以以PQ為直徑的圓且過原點O的圓M為

x2+y2+2x-4y=0 ① 將①式與圓O1：x2+y2+x-6y+C=0相減 得公共弦PQ方程：x+2y-C=0 又PQ：x+2y-3=0 ?C=3 解法二 設過P，Q的圓系方程為

（x2+y2+x-6y+C）+ λ（x+2y-3）=0 ①

? 過原點，?C-3λ=0 ?C=3λ

代入①式整理得

x2+（1+λ）x+y2+(2λ-6)y=0 所以圓心M（-1??2，3-λ）

?M在直線x+2y-3=0上，?(-1??2)x+2(3-λ)-3=0 ?λ=1 ?C=3 解法三 根據圓的性質，利用幾何知識求。圓x2+y2+x-6y+C=0的半徑R=由解法一已求出M(-1,2)，由?PQO為直角三角形，得

|PM|=|MO|=(?1)2?22=5

又由點O1到直線PQ的距離，即

|?12?2?3?3|374?C

|O1M|=

=

552

再由Rt?PQO,得|O1M|2+|PM|2= |O1P|2 由此可求得C=3 通過此題的解法，可知，同樣一道題，通過學生的討論，能夠從多角度分析，就能得到不同的解法，從而活躍了學生的思維，有力地體現了“以學生為主體，以教師為主導”的教學指導思想。

第三篇：淺談數學啟發(fā)式教學

淺談數學啟發(fā)式教學

摘要

數學教學是數學思維的教學，隨著我國基礎教育改革的深入，如何引導學生參與到教學過程中來，特別是如何讓學生學會學習，已成為當今課程改革關注的要點之一，也是“素質教育”的主要目標。啟發(fā)式教學是我國傳統(tǒng)教育思想的精髓，是一切優(yōu)秀教學方法的指導思想，是實施素質教育的最佳途徑和有效方式?，F代啟發(fā)式教學能很好改善傳統(tǒng)的教學模式，引導學生主動參與，達到師生互動的目的，從而更有效地培養(yǎng)學生學習的自主性、能動性和創(chuàng)造性。因此，中學數學啟發(fā)式教學是一個值得探討的問題。

本文首先簡述了啟發(fā)式教學的由來，思想內涵。之后總結分析了啟發(fā)式教學的主要特點，闡述了數學啟發(fā)式教學的基本原則，并進行了相應的案例分析。最后歸納出了當前啟發(fā)式教學存在的一些不足之處。

關鍵詞啟發(fā)式教學中學數學教學案例

1啟發(fā)式教學概述 1.1啟發(fā)式教學的由來

啟發(fā)式教學是一種古老而又年輕的教學思想，它源遠流長，博大精深，且歷久彌新。我國早在春秋戰(zhàn)國時期，大教育家、思想家孔子就提出了“不憤不啟，不徘不發(fā)，舉一隅不以三隅反，則不復也”。而在國外，古希臘的思想家蘇格拉底以發(fā)問為主的教學方法開創(chuàng)了西方啟發(fā)式教學的先河。隨著時代的進步與發(fā)展，啟發(fā)式教學不斷吸收并注入了新鮮血液，在當前的教學領域更顯得生機勃勃，更具有優(yōu)越性,值得大力推廣。

從現代意義來講，啟發(fā)式教學就是根據學生認識的客觀規(guī)律以及學生的理解能力，充分調動學生學習的主動性，激發(fā)其內在的學習動力，通過引導學生的學習過程，使他們經過獨立思考掌握知識，從而提高學生理解，分析，解決問題的能力。

1.2啟發(fā)式教學的思想內涵

現代啟發(fā)式教學思想內涵體現在以下方面：

（1）啟發(fā)式教學是以學生為主體，以重新認識學習者的地位和作用，建構新的學生主體觀為目的。

這種新的學習觀念強調學生作為認識、學習的主體，必須具有主動性、能動性和創(chuàng)造性?，F代啟發(fā)式教學就是以學生能不能發(fā)現問題、解決問題并勇于創(chuàng)造來判定其優(yōu)劣。

（2）啟發(fā)式教學的重點是使學生學會學習。

古人云：授人以魚，僅供一飯之需；授人以漁，則終生受用無窮。學會學習也正是現代啟發(fā)式教學的重點，隨著學生主體性的增強，由被動學習向自主學習過渡，最后實現由教到不教的轉化。

（3）啟發(fā)式教學側重學生思維過程和思維方法的啟發(fā)。

它是以當代認知心理學的最新研究成果為理論依據的，它重視教學活動中學生的認知過程，特別是思維過程的充分展現，真正體現了以學生為主體、以學生發(fā)展為主線的全新教學理念。2啟發(fā)式教學的特點

啟發(fā)式教學作為一種教學論思想，既要指導具體的教學實踐活動，又要在具體的教學方法上體現出應有的特點。2.1教學過程的互動性

現代教學方法是以完成現代教學任務為目的的、師生共同活動的方法。它既包括教師“揭標、設疑、導練、評價”的教法,又包括學生“自學、解疑、應用、矯正”的學法。中學數學課的教學不僅是數學知識的傳授過程，更重要的是培養(yǎng)一種以此為基礎的分析和解決問題的思維過程。教師要把自己置于與學生平等的地位，關注學生學習的反饋結果，增強教學的針對性和有效性。同時，學生由于參與到教學過程中，學習的主動性、積極性提高了，在教學活動中，教、學雙方都在采取行動，各自在其中有所收獲。2.2教學對象的能動性

在教學過程中，學生是主體，教師是主導，“教”應為“學”服務。正如蘇格拉底所說的那樣“教師在課堂上講了些什么并不重要，學生在課堂上想了些什么要重要千萬倍?！敝袑W數學課的教學效果往往取決于教學對象是否會靈活運用所學內容，而教學對象是否能靈活運用所學內容，又取決于這些內容是否能滿足教學對象的需要。數學課啟發(fā)式教學就要把教學對象作為主體，根據學生的學習動機、興趣形成的特點和規(guī)律，提高學生學習數學的自覺性和積極性。2.3學習的“雙部性”

所謂“雙部性”是指教師引導學生活動時，既要注意學生的外部活動，又要注意學生的內部活動。傳統(tǒng)的教學方法往往只注意學生的外部活動，只注意他們聽課注意力是否集中，實驗操作是否有秩序，觀察是否細心。但是，有時學生活動的外部表現盡管相同，但從內部來說則可能完全不同。原蘇聯教育學家休金娜說“教學方法的教育學價值常常是由認識過程的隱蔽的、內部的方面決定的，而不取決于該過程的外部表現形式?！币虼耍F代教學方法不僅注意學生的外部活動，而且更加重視學生的內部活動。3數學啟發(fā)式教學方法與案例分析

啟發(fā)式教學原則是各種教學方法的靈魂，應滲透在教學活動的各個方面，并貫徹教學過程的始終。教師在典型示范與一般要求相結合、講授與引導相結合、肯定與補充相給合的原則指導下可采取多種多樣的形式進行啟發(fā)。

在對學生進行啟發(fā)的過程中，“問”的藝術是啟發(fā)的關鍵，是研究和表現啟發(fā)式教學的藝術性的重要方面?！皢枴钡哪康氖菃l(fā)學生自己進行思考，調動學生“參與”的積極性。通過“問”，讓學生愿意提出自己的想法，與教師商討。數學學習的實質就是解決數學問題，即學生怎樣數學地提出問題和解決問題。數學教學應當從問題開始，以問題引導數學學習。可見，“問”在啟發(fā)誘導的過程中極其重要。那么，教師在教學時，如何通過恰當的“問”來啟發(fā)誘導學生呢？

（1）針對學生的差異，提問要有層次性、遞度性

教學提問是師生共同參與的雙邊活動。所以教師在問題的設置上必須考慮到學生的實際情況，合理確定問題的難度與坡度，既做到面向全體學生提出問題，以免造成“少數人表演，多數人陪坐”的現象，也需區(qū)別對待，針對學生的個別差異，用不同的方式提出不同類型、不同層次的問題。

24x?xy?mx?myx例如把下列各式因式分解：

1、；

2、?4；因為第一問比較簡單，所以提問的層次是中等生，第二問需要添項、拆項，所以提問的對象是優(yōu)秀學生。

2x解1：?xy?mx?my?x(x?y)?m(x?y)=(x?y)(m?x)； 42222222x?4x?4?4x?(x?2)?(2x)?(x?2x?2)(x?2x?2)2：（2）掌握發(fā)問時機，提問應該有的放矢，抓住關鍵點

教學需要是設計提問的客觀依據。在整個教學過程中，教師隨時都可以發(fā)問，但要保證提問的質量和效果，就必須要注意發(fā)問的時機及對教材的重點與難點如何發(fā)問，發(fā)問時應有的放矢，抓住關鍵點，以免畫蛇添足。那么什么時候是最佳發(fā)問時機呢?就是當學生處于孔子所講的：“必求通而示得，口欲言而不須”的“憤悱”狀態(tài)的時候。此時，學生注意力集中，思維激活，對教師的發(fā)問往往能入耳入腦，取得良效。最佳發(fā)問時機既要求教師敏于捕捉，準于把握，也要求教師巧于引發(fā)，善于創(chuàng)設。2x?x?x?1?0，教師應該問學生是現在平方，還是平移以后例如解方程

2平方，而要是老師直接寫出x?x?x?1，再兩邊平方，那題目太容易了。

（3）注意發(fā)問順序，所提問題結構要簡明合理，含義要清楚、準確、具體

教師發(fā)問在內容難度上應由淺入深，由易到難，循序漸進。在形式上，教師的發(fā)問又切忌按座位順序點名提問，而應打破次序，有目的地“隨機”提問。在問題的結構上，要簡明合理，冗長繁雜的問題，使學生很難把握問題的中心。

在我們的教學中常常發(fā)現教師會問學生“你學了這些知識，有何感想？”“你的體會是什么？”諸如此類的問題，這些籠統(tǒng)的提問，常常使學生不知該如何回答,或者做一些含糊其詞、無關痛癢的回答，使教師難以順著這條線再問下去。因此在提問中要限定問題的范圍，避免提問大而空。要把大的問題具體化，盡量使問題的含義表述的清楚、準確。

2例如：把y?x?2x?3向右平移5個單位，所得解析式為。2y?(x?1)?2，教師要先問學生：第一步做什么?學生答:配方為第二步做什么?學生答:求出頂點：（1、2），第三步做什么?學生答:把頂點平移后為（6、2）

2所以y?(x?7)?2

（4）適時提示點撥，對學生的回答及時歸納總結

在課堂提問過程中，教師應該有兩個最主要的停頓時間，一是教師提出一個問題后，要等待足夠的時間，為學生的回答提供思考的時間，不能馬上重復問題或指定學生回答問題，二是指學生回答之后，教師也要等待足夠的時間，才能評價學生的答案或者再提出另一個問題，以便他們完整地做出回答。當學生回答問題不夠準確完整、流暢，甚至完全“卡殼”時，教師應根據具體情況，給予適當的語言提示，指點迷津，以助學生走出思維誤區(qū)。對學生的回答，教師要及時進行總結，公正地指出優(yōu)點或不足，教學提問的總結對學生系統(tǒng)深入掌握所學知識有著非常重要的作用，如若不然，學生對教師提出的問題始終沒有清晰、明確、完整的認識，也很難掌握課堂知識。

4.當前啟發(fā)式教學存在不足

(1)以練代啟

認為啟發(fā)式教學既然與注入式教學相對，就應該增加學生的活動量，即“精講多練”。多練不一定是壞事，但如果僅停留在模仿階段（解題術的套用）而大量做一些重復性練習，學生的思維沒有經歷領悟的過程，就不能說是啟發(fā)式教學。

(2)以活代啟

這里的“活”不是思維上的活，而是追求教學形式的活躍、熱烈，認為教學氣氛不熱烈就不是啟發(fā)。常見的有：教師用簡單的“對不對？”“是不是？”等問題，換回學生大聲的“對”、“不對”、“是”、“不是”?；蚴菄W眾取寵，通過一些偏離主題的動作、語言引得學生哄堂大笑等。

(3)以已代生

教師雖注意分析，分析起來也有條有理、思路清晰，卻是“事后諸葛”，往往是教師多次探索后保留的最佳通路，而“最佳”的尋求過程，特別是克服障礙的過程并未表現出來，結果是學生聽起來津津有味，做起來卻一籌莫展。這些都是沒有抓住啟發(fā)的實質，形而上學地簡單套用的結果。

(4)提問不科學

先點名，后提問題。被叫學生站起來了，但不知道要回答什么，心中無數，惶惶不安。這種提問方法違背了學生的思維規(guī)律，會造成一人驚慌，大家松氣的局面。問題不分難易，提問不看對象。提問本應從教材和學生實際出發(fā)，量體裁衣。如果教師忽視了這一點，信口點名，把難題叫“差生”回答，容易的題目叫“優(yōu)等生”來回答，這不利于調動學生學習的積極性。

數學啟發(fā)式教學需要理論研究的支持，但更重要的是需要我們在具體課堂實踐中有啟發(fā)式教學的意識，并能深化到教育教學中，真正地體會并落到實處才能使啟發(fā)式教學在數學教育教學中真正地發(fā)揮作用。在我們日常的教學實踐中，不是節(jié)節(jié)課都可以以啟發(fā)式的教學模式授課，然而對于數學的學習，啟發(fā)式的教學行為在學生邏輯思維上的作用是不容小覷的，引導學生獨立思考，學生學會自我歸納數學思想方法，并將新的知識內化，重新整合自身的數學認知結構，才是我們所最求的目標。參考文獻

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第四篇：數學建模2011

2011高教社杯全國大學生數學建模競賽B題評閱要點

[說明]本要點僅供參考，各賽區(qū)評閱組應根據對題目的理解及學生的解答，自主地進行評閱。

針對這個題目，評閱時請注意“數學模型、求解方法、結果與分析”這三個方面。

數學模型：盡量用數學語言、符號和公式表述，優(yōu)化模型要給出明確的決策變量、目標函數和約束條件，表述準確全面。

求解方法：盡量用數學語言對算法的思路、步驟、數據的處理過程、所使用的軟件給出明確的描述。

結果與分析：要有明確的數值結果，表達簡明、清晰。

第一部分：

（1）要求明確給出分配各個交巡警服務平臺具體管轄范圍的數學模型和具體的管轄范圍（一般指路口，也可考慮相關道路）。合理性主要體現在兩個方面：所有平臺最長出警時間盡可能短，且它們的工作量（每天的出警次數）盡量均衡，優(yōu)秀論文中應該給出這兩個量化指標。

參考結果：最大出警時間大于3分鐘的有6個路口，最長出警時間約為5.7分鐘；同時應有工作量均衡性的度量指標。

（2）要求給出決定對13個路口實施封鎖的數學模型，通過求解模型，具體給出13個目標路口各由哪一個平臺實施封鎖，以及對每個路口的封鎖時間和完成封鎖的最大時間。

參考結果：最優(yōu)方案的最大的封鎖時間約為8分鐘。

（3）模型應該考慮增設平臺后，使其減少最大出警時間與各平臺間工作量的均衡性效果，要具體給出需增加新平臺的個數和位置，且給出其定量依據。

第二部分：

（1）應該根據最大出警時間和工作量的均衡性這兩個因素建立模型，求解給出最大出警時間和工作量均衡性的具體指標，分析現有平臺設置方案的合理性。依據這些結果，對明顯不合理的提出改進方案：如增加平臺或移動平臺，都必須要有具體的平臺數量和位置，且闡述這樣做的理由和定量依據。

（2）要求給出能封鎖住嫌疑人的數學模型，并給出算法和具體結果。

能封鎖住的基本約束條件是：“出事地點到將要封鎖的路口所需時間加3分鐘大于等于指派平臺到封鎖路口的所需時間”。在這個約束條件之下給出最優(yōu)封鎖方案。

第五篇：數學建模

第一篇 我的大學職業(yè)生涯規(guī)劃

作為當代大學生，若是帶著一臉茫然，踏入這個擁擠的社會怎能滿足社會的需要，使自己占有一席之地？每當人類經過一次重大變革，總是新的機會在產生，有的機會在消失。只有那些先知先結的人才能抓住機會走向成功，而那些抱著舊觀念不放的將會被社會所淘汰。在茫茫人海中，如何能先拔頭籌，就看你是否準備充分了，所以，對自己個人職業(yè)生涯規(guī)劃做個適當的規(guī)劃是很有必要的。有了目標，才會有動力！

一、自我分析

1.價值觀

我崇尚自由自在的生活，不喜歡被拘束。舒服安逸富裕的生活，是我的向往。從小就被教育要有團體合作精神，所以我一直認為，人最可貴的就是能團結合作，全力以赴。這樣可以做到事半功倍。

我的職業(yè)價值觀（進行過職業(yè)價值觀測試）：工作的目的和價值,在于不斷創(chuàng)新,不斷取得成就,不斷得到領導與同事的贊揚或不斷實現自己想要做的事..獲得優(yōu)厚的報酬,使自己有足夠的財力去獲得自己想要的東西,使生活過得較為富足。希望一起工作的大多數同事和領導人品較好,相處在一起感到愉快，,是一種極大的滿足。是一種極大的滿足。

2.性格

我是一個喜歡不被束縛的開朗女孩，喜歡讀書，看電影。開朗，幽默,樂觀的。也很率性。喜歡交朋友,擅長于與人溝通，人際關系佳，忠實可靠。

3.興趣

平常喜歡打籃球,聽音樂，逛街，交朋友。還喜歡上網，看些小說，喜歡看各種雜志類書籍。積極的培養(yǎng)各方面的興趣，比如學吉他，對辯論方面的知識也很想去了解,想成為全方面人才。

4.能力

計算機應用，office軟件應用,聽從指揮，有計劃有思考的去完成一件任務。有責任心，上進心，做事認真投入,擅長想象思維。可以充分發(fā)揮善于運用抽象思維、邏輯推理等能力來分析解決問題的優(yōu)勢，發(fā)揚獨立鉆研的學習精神。由于參加學生會和長期擔任班干部,有豐富得管理經驗,實踐能力強。但缺乏耐心、毅力。

5.職業(yè)興趣

我的職業(yè)興趣很廣泛，由于我是學管理的,對管理方面的知識比較了解,可以學以致用。希望能夠在企業(yè)人事行政管理方面有所發(fā)展,自我表現和體現我的價值所在。

6.職業(yè)個性

喜歡獨立地計劃自己的活動和指導別人的活動，在獨立的和負有職責情景中感到愉快，喜歡對將來發(fā)生的事情作出決定,想努力成位一位優(yōu)秀的領導者。在工作中形成一定個人魅力，得到大家的肯定及尊重。軟硬兼用,以身作則。對自己未來有信心。

7.職業(yè)價值觀

希望工作以團隊合作的方式進行，大多數同事和領導在工作中有融洽的人際關

系，相處在一起感到愉快、自然，認為這就是很有價值的事。重視工作中人與人之間的關系，希望能建立良好的同事關系。愉快、協調的團隊協作是我這種類型的人所追求的。

第二篇 我的未來規(guī)劃

從上大學后就一直處在困惑之中，時常問自己：“到底我的人生之路將如何？我的人生之路將如何走下去？怎樣才能使自己一生無悔呢？” 一位哲人這樣說過：“走好每一步，這就是你的人生”。是啊，人生就是一個不斷選擇的過程，每走一步自己都要做出選擇，同時每個人都在設計自己的人生，都在實現自己的夢想.人生之路說長也長，因為它是自己一生意義的詮釋；人生之路說短也短，因為自己生活過的每一天都是自己的人生。在這世界我就像一棵很不起眼的小樹，可是小樹也有它的理想，為了讓小樹能夠更好的實現自己的理想,長成參天大樹。于是對自己做出以下一生的規(guī)劃，以便于時常提醒自己不要忘記目標。

其實我自己對經濟就比較感興趣，希望在大學能夠學經濟管理之類的專業(yè)，但由于父母認為我的性格不適合，所以在選擇專業(yè)的時候選擇經濟與法學（國際經濟與貿易）。

一、具體行動計劃

1、學業(yè)方面：

可以說對自己這學期的表現很不滿意。但另一方面，也總結了一些大學里的學習方法，對以后的學業(yè)方面還是比較有信心的。

具體的說，今后首先要保證聽課的質量，這樣才是最有效的學習方法。

認真的上好每一堂課，做好每一次筆記。做到不遲到，不曠課，按時完成老師布置的任務。

2、日語學習：

然真的上好每一堂日語課，每天要被日語單詞，記甲名，多讀多練習，既然選擇了就要堅持到底，雖然日語很難學，但是不可以讓家里的人失望，不可以對不起自己，所以要加油！

3、其他活動：

有時間去做一些有意義的商業(yè)演出活動，在當中可以學到很多東西，順便鍛煉寫自己的能力，提高自己的水平。

4、豐富自己的業(yè)余生活：

Work hard，play harder！

學習或工作不再狀態(tài)的時候要適當放松，去玩一玩。玩的時候就不去想沒有完成的工作。不去想那些不開心的事情，不讓自己那么的心煩。放松的時候可以找朋友區(qū)逛逛街，或者喝喝奶茶。好好的調整自己，不開心的總是會過去的。呼吸一下新鮮空氣，一切都會好的，加油！

5、人際交往

遇到問題多和人溝通，多向人請教，相信別人都是愿意幫助自己的。做好自己，認真待人，多對人微笑。

二、結語

堅持久是勝利！

一篇規(guī)劃寫下來發(fā)現一切都那么美好，實現起來卻不容易。雖說不容易，但其實也簡單——不過是堅持。相信我可以度過充實而美好的大學生活。當眼淚要劃過臉龐，我要微笑的拿手抹掉。當悲傷來襲，我要告訴自己一切都會好的，一切都會過去的。要相信明天會更好。相信我可以美好的度過大學的生活！明天,加油！