第一篇：二次函數(shù)的三種表達形式

? 二次函數(shù)的三種表達形式： ①一般式：

y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點坐標為 [,] 把三個點代入函數(shù)解析式得出一個三元一次方程組，就能解出a、b、c的值。②頂點式：

y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù)),頂點坐標為對稱軸為直線x=h，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同，當x=h時，y最值=k。有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式。

例：已知二次函數(shù)y的頂點(1,2)和另一任意點(3,10)，求y的解析式。解：設y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。

注意：與點在平面直角坐標系中的平移不同，二次函數(shù)平移后的頂點式中，h>0時，h越大，圖像的對稱軸離y軸越遠，且在x軸正方向上，不能因h前是負號就簡單地認為是向左平移。具體可分為下面幾種情況：

當h>0時，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到； 當h<0時，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位得到； 當h>0,k>0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；

當h>0,k<0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；

當h<0,k>0時，將拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；

當h<0,k<0時，將拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。③交點式：

y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)[僅限于與x軸即y=0有交點時的拋物線，即b2-4ac≥0].已知拋物線與x軸即y=0有交點A（x1，0）和 B（x2，0）,我們可設y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三點代入x、y中便可求出a。

由一般式變?yōu)榻稽c式的步驟： 二次函數(shù)

∵x1+x2=-b/a，x1?x2=c/a(由韋達定理得), ∴y=ax2+bx+c =a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2] =a(x-x1)(x-x2).重要概念：

a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向。a>0時，開口方向向上； a<0時，開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。能靈活運用這三種方式求二次函數(shù)的解析式； 能熟練地運用二次函數(shù)在幾何領域中的應用； 能熟練地運用二次函數(shù)解決實際問題。? 二次函數(shù)解釋式的求法：

就一般式y(tǒng)=ax2＋bx＋c（其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0）而言，其中含有三個待定的系數(shù)a，b，c．求二次函數(shù)的一般式時，必須要有三個獨立的定量條件，來建立關于a，b，c 的方程，聯(lián)立求解，再把求出的a，b，c 的值反代回原函數(shù)解析式，即可得到所求的二次函數(shù)解析式。1.巧取交點式法：

知識歸納：二次函數(shù)交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)（a≠0）x1，x2分別是拋物線與x軸兩個交點的橫坐標。

已知拋物線與x軸兩個交點的橫坐標求二次函數(shù)解析式時，用交點式比較簡便。①典型例題一：告訴拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，和第三個點，可求出函數(shù)的交點式。

例：已知拋物線與x軸交點的橫坐標為-2和1，且通過點（2，8），求二次函數(shù)的解析式。點撥：

解設函數(shù)的解析式為y＝a(x+2)(x-1)，∵過點（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴拋物線的解析式為： y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例題二：告訴拋物線與x軸的兩個交點之間的距離和對稱軸，可利用拋物線的對稱性求解。

例：已知二次函數(shù)的頂點坐標為（3，-2），并且圖象與x軸兩交點間的距離為4，求二次函數(shù)的解析式。點撥：

在已知拋物線與x軸兩交點的距離和頂點坐標的情況下，問題比較容易解決．由頂點坐標為（3，-2）的條件，易知其對稱軸為x＝3，再利用拋物線的對稱性，可知圖象與x軸兩交點的坐標分別為（1，0）和（5，0）。此時，可使用二次函數(shù)的交點式，得出函數(shù)解析式。2.巧用頂點式：

頂點式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k（a≠0），其中（h，k）是拋物線的頂點。當已知拋物線頂點坐標或對稱軸，或能夠先求出拋物線頂點時，設頂點式解題十分簡潔，因為其中只有一個未知數(shù)a。在此類問題中，常和對稱軸，最大值或最小值結合起來命題。在應用題中，涉及到橋拱、隧道、彈道曲線、投籃等問題時，一般用頂點式方便．

①典型例題一：告訴頂點坐標和另一個點的坐標，直接可以解出函數(shù)頂點式。例：已知拋物線的頂點坐標為（-1，-2），且通過點（1，10），求此二次函數(shù)的解析式。點撥：

解∵頂點坐標為（-1，-2），故設二次函數(shù)解析式為y=a(x+1)2-2（a≠0）。把點（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2?！郺=3。

∴二次函數(shù)的解析式為y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。

②典型例題二：

如果a>0，那么當 時，y有最小值且y最小=；

如果a<0，那么，當時，y有最大值，且y最大=。

告訴最大值或最小值，實際上也是告訴了頂點坐標，同樣也可以求出頂點式。例：已知二次函數(shù)當x＝4時有最小值－3，且它的圖象與x軸兩交點間的距離為6，求這個二次函數(shù)的解析式。點撥：

析解∵二次函數(shù)當x＝4時有最小值－3，∴頂點坐標為（4，-3），對稱軸為直線x＝4，拋物線開口向上。

由于圖象與x軸兩交點間的距離為6，根據(jù)圖象的對稱性就可以得到圖象與x軸兩交點的坐標是（1，0）和（7，0）?！鄴佄锞€的頂點為（4，-3）且過點（1，0）。故可設函數(shù)解析式為y＝a(x－4)2－3。

將（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13． ∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。

③典型例題三：告訴對稱軸，相當于告訴了頂點的橫坐標，綜合其他條件，也可解出。例如：（1）已知二次函數(shù)的圖象經過點A（3，-2）和B（1，0），且對稱軸是直線x＝3．求這個二次函數(shù)的解析式.（2）已知關于x的二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1，圖象交y軸于點（0，2），且過點（-1，0），求這個二次函數(shù)的解析式.（3）已知拋物線的對稱軸為直線x=2，且通過點（1，4）和點（5，0），求此拋物線的解析式.（4）二次函數(shù)的圖象的對稱軸x=-4，且過原點，它的頂點到x軸的距離為4，求此函數(shù)的解析式．

④典型例題四：利用函數(shù)的頂點式，解圖像的平移等問題非常方便。

例：把拋物線y=ax2+bx+c的圖像向右平移3 個單位, 再向下平移2 個單位, 所得圖像的解析式是y=x2-3x+5, 則函數(shù)的解析式為_______。點撥：

解先將y=x2-3x+5化為y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由拋物線的圖像向右平移3 個單位, 再向下平移2 個單位得到的，∴原拋物線的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。

第二篇：二次函數(shù)

2．二次函數(shù)定義__________________________________________________二次函數(shù)（1）導學案

一.教學目標：

（1）能夠根據(jù)實際問題，熟練地列出二次函數(shù)關系式，并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。

（2）注重學生參與，聯(lián)系實際，豐富學生的感性認識，培養(yǎng)學生的良好的學習習慣

重點難點：

能夠根據(jù)實際問題，熟練地列出二次函數(shù)關系式，并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。教學過程：

二、教學過程

（一）提出問題

某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件．該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤，經過市場調查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低0.1元，其銷售量可增加10件。將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大?在這個問題中，1．商品的利潤與售價、進價以及銷售量之間有什么關系?[利潤=(售價－進價)×銷售量]

2．如果不降低售價，該商品每件利潤是多少元?一天總的利潤是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

3．若每件商品降價x元，則每件商品的利潤是多少元?一天可銷售約多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，請求出它的范圍，[x的值不能任意取，其范圍是0≤x≤2]

5．若設該商品每天的利潤為y元，求y與x的函數(shù)關系式。[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)]

將函數(shù)關系式y(tǒng)=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化為：

y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)將函數(shù)關系式y(tǒng)=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化為：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2)

（二）、觀察；概括

(1)函數(shù)關系式(1)和(2)的自變量各有幾個?

(2)多項式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分別是幾次多項式?(3)函數(shù)關系式(1)和(2)有什么共同特點?(4)這些問題有什么共同特點？

三、課堂練習

1.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)?(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1

2．P25練習第1，2,3題。

四、小結

1．請敘述二次函數(shù)的定義．

2，許多實際問題可以轉化為二次函數(shù)來解決，請你聯(lián)系生活實際，編一道二次函數(shù)應用題，并寫出函數(shù)關系式。

五.堂堂清

下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)?

(1)Y=2x+1（2）y=2x2+1（3）y=x(x-2)（4）y=(2x-1)(2x-2)（5）y=x2(x-1)-1

第三篇：二次函數(shù)

?二次函數(shù)?測試

一．選擇題〔36分〕

1、以下各式中，y是的二次函數(shù)的是

（）

A．

B．

C．

D．

2．在同一坐標系中，作+2、-1、的圖象，那么它們

（）

A．都是關于軸對稱

B．頂點都在原點

C．都是拋物線開口向上

D．以上都不對

3．假設二次函數(shù)的圖象經過原點，那么的值必為

（）

A．

0或2

B．

0

C．

D．

無法確定

4、點〔a，8〕在拋物線y=ax2上，那么a的值為〔

〕

A、±2

B、±2

C、2

D、－2

5．把拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得拋物線的解析式是〔

〕

〔A〕y=3〔x+3〕2

〔B〕y=3〔x+2〕2+2

〔C〕y=3〔x-3〕2

〔D〕y=3〔x-3〕2+2

6．拋物線y=x2+6x+8與y軸交點坐標〔

〕

〔A〕〔0，8〕

〔B〕〔0，-8〕

〔C〕〔0，6〕

〔D〕〔-2，0〕〔-4，0〕

7、二次函數(shù)y=x2＋4x＋a的最大值是2，那么a的值是〔

〕

A、4

B、5

C、6

D、7

8．原點是拋物線的最高點，那么的范圍是

（）

A．

B．

C．

D．

9．拋物線那么圖象與軸交點為

〔

〕

A．

二個交點

B．

一個交點

C．

無交點

D．

不能確定

10．不經過第三象限，那么的圖象大致為

〔

〕

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

11．對于的圖象以下表達正確的選項是

〔

〕

A

頂點作標為(－3，2)

B

對稱軸為y=3

C

當時隨增大而增大

D

當時隨增大而減小

12、二次函數(shù)的圖象如下圖，那么以下結論中正確的選項是：〔

〕

A

a>0

b<0

c>0

B

a<0

b<0

c>0

C

a<0

b>0

c<0

D

a<0

b>0

c>0

二．填空題：〔每題4分，共24分〕

13．請寫出一個開口向上，且對稱軸為直線x

=3的二次函數(shù)解析式。

14．寫出一個開口向下，頂點坐標是〔—2，3〕的函數(shù)解析式；

15、把二次函數(shù)y=－2x2＋4x+3化成y=a〔x+h〕2+k的形式是________________________________.16.假設拋物線y=x2

+

4x的頂點是P，與X軸的兩個交點是C、D兩點，那么

△

PCD的面積是________________________.17.(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函數(shù)y=x2-4x+m上的點,那么

y1,y2,y3從小到大用

“<〞排列是

.18．小敏在某次投籃中，球的運動路線是拋物線的一局部(如圖)，假設命中籃圈中心，那么他與籃底的距離是________________________.三．解答題(共60分)

19.〔6分〕假設拋物線經過點A〔，0〕和點B〔-2，〕，求點A、B的坐標。

20、(6分)二次函數(shù)的圖像經過點〔0，－4〕，且當x

=

2，有最大值—2。求該二次函數(shù)的關系式：

21．〔6分〕拋物線的頂點在軸上，求這個函數(shù)的解析式及其頂點坐標。

25米x22、〔6分〕農民張大伯為了致富奔小康，大力開展家庭養(yǎng)殖業(yè)，他準備用40米長的木欄圍一個矩形的雞圈，為了節(jié)約材料，同時要使矩形面積最大，他利用了自己家房屋一面長25米的墻，設計了如圖一個矩形的羊雞圈。請你設計使矩形雞圈的面積最大？并計算最大面積。

23、二次函數(shù)y=－〔x－4〕2

+4

〔本大題總分值8分〕

1、先確定其圖象的開口方向，對稱軸和頂點坐標，再畫出草圖。

2、觀察圖象確定：X取何值時，①y=0，②y﹥0，⑶y﹤0。

24．〔8分〕某水果批發(fā)商場經銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，假設每千克漲價一元，日銷售量將減少20千克。

〔1〕現(xiàn)要保證每天盈利6000元，同時又要讓顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？

〔2〕假設該商場單純從經濟角度看，那么每千克應漲價多少元，能使商場獲利最多。

25．〔8分〕某市人民廣場上要建造一個圓形的噴水池，并在水池中央垂直安裝一個柱子OP，柱子頂端P處裝上噴頭，由P處向外噴出的水流〔在各個方向上〕沿形狀相同的拋物線路徑落下〔如下圖〕。假設OP＝3米，噴出的水流的最高點A距水平面的高度是4米，離柱子OP的距離為1米。

〔1〕求這條拋物線的解析式；

〔2〕假設不計其它因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外。

26．〔12分〕二次函數(shù)的圖象與x軸從左到右兩個交點依次為A、B，與y軸交于點C，〔1〕求A、B、C三點的坐標；

〔2〕如果P(x，y)是拋物線AC之間的動點，O為坐標原點，試求△POA的面積S與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

〔3〕是否存在這樣的點P，使得PO=PA，假設存在，求出點P的坐標；假設不存在，說明理由。

第四篇：二次函數(shù)綜合題

二次函數(shù)綜合題

如圖所示，在直角坐標系中，A(-1，0),B(3,0),C(0，3)

1.用三種方法求出經過A B C三點的拋物線解析式

2.拋物線的頂點坐標為D（）3.求△ABC的面積，求四邊形ACDB的面積，求△DCB的面積

4.證明△DCB是直角三角形（兩種方法）

5.證明：△DCB∽△AOC

6.在直線BC的下方是否存在一點G，使得△GCB的面積等于△ACB的面積

7.在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△ACP的周長最小，若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由。

8.設Q為拋物線第一象限內一點，是否存在點Q使得△BCQ的面積最大，若存在，求出Q點的坐標及最大面積，若不存在，請說明理由。

9.設Q為拋物線第一象限內一點，過 Q向x軸引垂線交BC于I。若拋物線對稱軸與直線BC交于點E,是否存在點Q,使得以點D,Q,I,E為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出Q點的坐標，若不存在，請說明理由。

10.求△ABC外接圓圓心O’的坐標

11.拋物線上是否尋在點M，使得CM垂直于CA，若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由。

12.在對稱軸上是否存在點N，使得△CDN是直角三角形，請求出所有符合條件的N點的坐標

13.在拋物線上是否存在點S，使得△BCS為直角三角形，若存在，求出所有S點的坐標，若無，請說明理由

第五篇：二次函數(shù)練習

二次函數(shù)練習

1，函數(shù)f?x??x2?bx?c，對于任意t?r，均有f?2?x??f?2?x?則f?1?，f?2?，f?4?，的大小關系是_____________________

2，二次函數(shù)y?ax2?4x?a?3的最大值恒為負，則a的取值范圍是________________------3，二次函數(shù)y?x2?(a?2)x?5在區(qū)間?2，???上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_______________

4，已知函數(shù)f(x)?mx2?(m?3)x?1的圖像與X軸的交點至少一個在原點的右側，求實數(shù)m的范圍。

5，已知不等式ax2

?x?c?0的解集為?x?x?1,x??5?則a=______c=___________

6，已知二次函數(shù)f?x?同時滿足條件：（1）f?1?x??f?1?x?；（2）f?x?的最大值為15；方程f?x?=0的兩根的平方和為4，求f?x?的解析式。

7，已知不等式x2?2x?3?0的解集為A,不等式?x2?x?6?0的解集為B，不等式x2?ax?b?0的解集為A?B, 求a,b的值。

8，已知不等式ax2?5x?b?0的解集為?x??3?x??2?，求不等式bx2?5x?a?0的解集

9，解不等式：

2x2?ax?2?0x2?(a?1

a)x?1?0

10.（2009安徽卷）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)?x?

x

?a(2?lnx),(a?0)，討論f(x)的單調性.