第一篇：二次函數(shù)習(xí)題及答案
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)驗收卷
一、選擇題:
1.(2003?大連)拋物線y=(x-2)2+3的對稱軸是（）.A.直線x=-3
B.直線x=3
C.直線x=-2
D.直線x=2
2.(2004?重慶)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,則點M(b,)在（）.A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;
D.第四象限
3.(2004?天津)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,則一定有（）.A.b2-4ac>0
B.b2-4ac=0
C.b2-4ac<0
D.b2-4ac≤0
4.(2003?杭州)把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位,再向下平移2個單位,所得圖象的解析式是y=x2-3x+5,則有（）.A.b=3,c=7
B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3
D.b=-9,c=21 5.(2004?河北)在同一直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)y=ax2+c的圖象大致為（）.6.(2004?昆明)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的頂點P的橫坐標(biāo)是4,?圖象交x軸于點A(m,0)和點B,且m>4,那么AB的長是（）.A.4+m
B.m
C.2m-8
D.8-2m
二、填空題
1.(2004?河北)若將二次函數(shù)y=x2-2x+3配方為y=(x-h)2+k的形式,則 y=_______.2.(2003?新疆)請你寫出函數(shù)y=(x+1)2與y=x2+1具有的一個共同性質(zhì)_______.3.(2003?天津)已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,且經(jīng)過點(1,4)和點(5,0),則該拋物線的解析式為_________.4.(2004?武漢)已知二次函數(shù)的圖象開口向下,且與y軸的正半軸相交,請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)的解析式:_________.5.(2003?黑龍江)已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交點的橫坐標(biāo)為-1,則a+c=_____.6.(2002?北京東城)有一個二次函數(shù)的圖象,三位學(xué)生分別說出了它的一些特點:
甲:對稱軸是直線x=4;
乙:與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)都是整數(shù);
丙:與y軸交點的縱坐標(biāo)也是整數(shù),且以這三個交點為頂點的三角形面積為3.請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)解析式:
三、解答題
1.(2003?安徽)已知函數(shù)y=x2+bx-1的圖象經(jīng)過點(3,2).(1)求這個函數(shù)的解析式;
(2)畫出它的圖象,并指出圖象的頂點坐標(biāo);(3)當(dāng)x>0時,求使y≥2的x取值范圍.2.(2004?濟南)已知拋物線y=-x2+(6-)x+m-3與x軸有A、B兩個交點,且A、B兩點關(guān)于y軸對稱.(1)求m的值;
(2)寫出拋物線解析式及頂點坐標(biāo);(3)根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系將此題的條件換一種說法寫出來.3.(2004?南昌)在平面直角坐標(biāo)系中,給定以下五點A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2,),E(0,-6),從這五點中選取三點,使經(jīng)過這三點的拋物線滿足以平行于y?軸的直線為對稱軸.我們約定:把經(jīng)過三點A、E、B的拋物線表示為拋物線AEB(如圖所示).(1)問符號條件的拋物線還有哪幾條?不求解析式,?請用約定的方法一一表示出來;
(2)在(1)中是否存在這樣的一條拋物線,它與余下的兩點所確定的直線不相交?如果存在,試求出解析式及直線的解析式;如果不存在,請說明理由.能力提高練習(xí)
一、學(xué)科內(nèi)綜合題
1.(2003?新疆)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點,?與y軸交于A點.(1)根據(jù)圖象確定a、b、c的符號,并說明理由;(2)如果點A的坐標(biāo)為(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,?求這個二次函數(shù)的解析式.二、實際應(yīng)用題
2.(2004?河南)?某市近年來經(jīng)濟發(fā)展速度很快,?根據(jù)統(tǒng)計:?該市國內(nèi)生產(chǎn)總值1990年為8.6億元人民幣,1995年為10.4億元人民幣,2000年為12.9億元人民幣.經(jīng)論證,上述數(shù)據(jù)適合一個二次函數(shù)關(guān)系,請你根據(jù)這個函數(shù)關(guān)系,預(yù)測2005?年該市國內(nèi)生產(chǎn)總值將達(dá)到多少?
3.(2003?遼寧)某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,?公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程.下面的二次函數(shù)圖象(部分)?刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與銷售時間t(月)之間的關(guān)系(即前t個月的利潤總和s與t之間的關(guān)系).根據(jù)圖象(圖)提供的信息,解答下列問題:
(1)由已知圖象上的三點坐標(biāo),求累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元;(3)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元?
4.(2003?吉林)如圖,有一座拋物線形拱橋,在正常水位時水面AB?的寬為20m,如果水位上升3m時,水面CD的寬是10m.(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求此拋物線的解析式;(2)現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經(jīng)過此橋開往乙地,已知甲地距此橋280km(橋長忽略不計).貨車正以每小時40km的速度開往乙地,當(dāng)行駛1小時時,?忽然接到緊急通知:前方連降暴雨,造成水位以每小時0.25m的速度持續(xù)上漲(貨車接到通知時水位在CD處,當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點O時,禁止車輛通行),試問:如果貨車按原來速度行駛,能否完全通過此橋?若能,請說明理由;若不能,?要使貨車安全通過此橋,速度應(yīng)超過每小時多少千米?
三、開放探索題 5.(2003?濟南)?某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時,發(fā)現(xiàn)了兩個重要的結(jié)論.一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a≠0),當(dāng)實數(shù)a變化時,它的頂點都在某條直線上;二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實數(shù)a變化時,若把拋物線y=ax2+2x+3的頂點的橫坐標(biāo)減少 ,縱坐標(biāo)增加 ,得到A點的坐標(biāo);若把頂點的橫坐標(biāo)增加 ,縱坐標(biāo)增加 ,得到B點的坐標(biāo),則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax2+2x+3上.(1)請你協(xié)助探求出當(dāng)實數(shù)a變化時,拋物線y=ax2+2x+3的頂點所在直線的解析式;
(2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點,你能找出它來嗎?并說明理由;
(3)在他們第二個發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下,運用“一般——特殊——一般”的思想,?你還能發(fā)現(xiàn)什么?你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表述出來嗎?你的猜想能成立嗎?若能成立,請說明理由.6.(2004?重慶)如圖,在直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的邊長為a,O為原點,?點B在x軸的負(fù)半軸上,點D在y軸的正半軸上.直線OE的解析式為y=2x,直線CF過x軸上一點C(-a,0)且與OE平行.現(xiàn)正方形以每秒 的速度勻速沿x軸正方向平行移動,?設(shè)運動時間為t秒,正方形被夾在直線OE和CF間的部分的面積為S.(1)當(dāng)0≤t<4時,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系;(2)當(dāng)4≤t≤5時,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系,在這個范圍內(nèi)S有無最大值?若有,?請求出最大值;若沒有,請說明理由.答案: 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)驗收卷
一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C
二、1.(x-1)2+2
2.圖象都是拋物線或開口向上或都具有最低點(最小值)3.y=-x2+2x+
4.如y=-x2+1 5.1
6.y= x2-x+3或y=-x2+ x-3或y=-x2-x+1或y=-x2+ x-1
三、1.解:(1)∵函數(shù)y=x2+bx-1的圖象經(jīng)過點(3,2)，∴9+3b-1=2,解得b=-2.∴函數(shù)解析式為y=x2-2x-1.(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.圖象略.圖象的頂點坐標(biāo)為(1,-2).(3)當(dāng)x=3時,y=2,根據(jù)圖象知,當(dāng)x≥3時,y≥2.∴當(dāng)x>0時,使y≥2的x的取值范圍是x≥3.2.(1)設(shè)A(x1,0)B(x2,0).∵A、B兩點關(guān)于y軸對稱.∴
∴
解得m=6.(2)求得y=-x2+3.頂點坐標(biāo)是(0,3)
(3)方程-x2+(6-)x+m-3=0的兩根互為相反數(shù)(或兩根之和為零等).3.解:(1)符合條件的拋物線還有5條,分別如下:
①拋物線AEC;②拋物線CBE;③拋物線DEB;④拋物線DEC;⑤拋物線DBC.(2)在(1)中存在拋物線DBC,它與直線AE不相交.設(shè)拋物線DBC的解析式為y=ax2+bx+c.將D(-2,),B(1,0),C(4,0)三點坐標(biāo)分別代入,得
解這個方程組,得a= ,b=-,c=1.∴拋物線DBC的解析式為y= x2-x+1.【另法:設(shè)拋物線為y=a(x-1)(x-4),代入D(-2,),得a= 也可.】
又將直線AE的解析式為y=mx+n.將A(-2,0),E(0,-6)兩點坐標(biāo)分別代入,得
解這個方程組,得m=-3,n=-6.∴直線AE的解析式為y=-3x-6.能力提高練習(xí)
一、1.解:(1)∵拋物線開口向上,∴a>0.又∵對稱軸在y軸的左側(cè), ∴-<0,∴b>0.又∵拋物線交于y軸的負(fù)半軸.∴c<0.(2)如圖,連結(jié)AB、AC.∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0).又∵在Rt△ACO中,∠ACO=60°，∴OC=OA?cot60°= ,∴C(,0).設(shè)二次函數(shù)的解析式為
y=ax2+bx+c(a≠0).由題意
∴所求二次函數(shù)的解析式為y= x2+(-1)x-3.2.依題意,可以把三組數(shù)據(jù)看成三個點:
A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9)
設(shè)y=ax2+bx+c.把A、B、C三點坐標(biāo)代入上式,得
解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.即所求二次函數(shù)為
y=0.014x2+0.29x+8.6.令x=15,代入二次函數(shù),得y=16.1.所以,2005年該市國內(nèi)生產(chǎn)總值將達(dá)到16.1億元人民幣.3.解:(1)設(shè)s與t的函數(shù)關(guān)系式為s=at2+bt+c 由題意得
或
解得
∴s= t2-2t.(2)把s=30代入s= t2-2t, 得30= t2-2t.解得t1=0,t2=-6(舍).答:截止到10月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元.(3)把t=7代入,得s= ×72-2×7= =10.5;
把t=8代入,得s= ×82-2×8=16.16-10.5=5.5.答:第8個月公司獲利潤5.5萬元.4.解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2,橋拱最高點O到水面CD的距離為hm，則D(5,-h),B(10,-h-3).∴
解得
拋物線的解析式為y=-x2.(2)水位由CD處漲到點O的時間為:1÷0.25=4(小時).貨車按原來速度行駛的路程為:40×1+40×4=200<280，∴貨車按原來速度行駛不能安全通過此橋.設(shè)貨車速度提高到xkm/h.當(dāng)4x+40×1=280時,x=60.∴要使貨車完全通過此橋,貨車的速度應(yīng)超過60km/h.5.略
6.解:(1)當(dāng)0≤t<4時，如圖1,由圖可知OM= t,設(shè)經(jīng)過t秒后,正方形移動到ABMN，∵當(dāng)t=4時,BB1=OM= ×4= a，∴點B1在C點左側(cè).∴夾在兩平行線間的部分是多邊形COQNG，其面積為:
平行四邊形COPG-△NPQ的面積.∵CO= a,OD=a，∴四邊形COPQ面積= a2.又∵點P的縱坐標(biāo)為a,代入y=2x得P(,a),∴DP=.∴NP=t)2-(t-a)2 = a2-[(5-t)2+(t-4)2] = a2-(2t2-18t+41)= a2-[2?(t-)2+ ].∴當(dāng)t= 時,S有最大值,S最大= a-? = a2.
第二篇：二次函數(shù)練習(xí)題及答案
二次函數(shù)練習(xí)題
一、選擇題：
1.下列關(guān)系式中，屬于二次函數(shù)的是(x為自變量)()
A.B.C.D.2.函數(shù)y=x2-2x+3的圖象的頂點坐標(biāo)是()
A.(1，-4)
B.(-1，2)
C.(1，2)
D.(0，3)
23.拋物線y=2(x-3)的頂點在()
A.第一象限
B.第二象限
C.x軸上
D.y軸上
4.拋物線的對稱軸是()
A.x=-
2B.x=2
C.x=-
4D.x=4
5.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是()
A.ab>0，c>0
B.ab>0，c<0
C.ab<0，c>0
D.ab<0，c<0 6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則點
在第___象限()
A.一
B.二
C.三
D.四
7.如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點P的橫坐標(biāo)是4，圖象交 x軸于點A(m，0)和點B，且m>4，那么AB的長是()
A.4+m
B.m
C.2m-8
D.8-2m
8.若一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象只可能是()
9.已知拋物線和直線 在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，拋物線的對稱軸為直線x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是拋物線上的點，P3(x3，y3)是直線 上的點，且-1 1C.y3 10.把拋物線物線的函數(shù)關(guān)系式是（）A.C.的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，所得的拋 B.D.二、填空題： 11.二次函數(shù)y=x2-2x+1的對稱軸方程是______________.12.若將二次函數(shù)y=x2-2x+3配方為y=(x-h)2+k的形式，則y=________.13.若拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為_________.14.拋物線y=x2+bx+c，經(jīng)過A(-1，0)，B(3，0)兩點，則這條拋物線的解析式為_____________.15.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，且△ABC是直角三角形，請寫出一個符合要求的二次函數(shù)解析式________________.16.在距離地面2m高的某處把一物體以初速度v0(m/s)豎直向上拋物出，在不計空氣阻力的情況下，其上升高度s(m)與拋出時間t(s)滿足： (其中g(shù)是常數(shù)，通常取10m/s2).若v0=10m/s，則該物體在運動過程中最高點距地面_________m.17.試寫出一個開口方向向上，對稱軸為直線x=2，且與y軸的交點坐標(biāo)為(0，3)的拋物線的解析式為______________.18.已知拋物線y=x2+x+b2經(jīng)過點 三、解答題：，則y1的值是_________.19.若二次函數(shù)的圖象的對稱軸方程是，并且圖象過A(0，-4)和B(4，0)，(1)求此二次函數(shù)圖象上點A關(guān)于對稱軸 對稱的點A′的坐標(biāo)； (2)求此二次函數(shù)的解析式； 20.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點 O為坐標(biāo)原點，二次函數(shù) y=x2+(k-5)x-(k+4)的圖象交 x軸于點A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函數(shù)解析式； (2)將上述二次函數(shù)圖象沿x軸向右平移2個單位，設(shè)平移后的圖象與y軸的交點為C，頂點為P，求△POC的面積.21.已知：如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，其中A點坐標(biāo)為(-1，0)，點C(0，5)，另拋物線經(jīng)過點(1，8)，M為它的頂點.(1)求拋物線的解析式； (2)求△MCB的面積S△MCB.22.某商店銷售一種商品，每件的進(jìn)價為2.50元，根據(jù)市場調(diào)查，銷售量與銷售單價滿足如下關(guān)系：在一段時間內(nèi)，單價是13.50元時，銷售量為500件，而單價每降低1元，就可以多售出200件.請你分析，銷售單價多少時，可以獲利最大.3 答案與解析： 一、選擇題 1.考點：二次函數(shù)概念.選A.2.考點：求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo).解析：法一，直接用二次函數(shù)頂點坐標(biāo)公式求.法二，將二次函數(shù)解析式由一般形式轉(zhuǎn)換為頂點式，即y=a(x-h)2+k的形式，頂點坐標(biāo)即為(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以頂點坐標(biāo)為(1，2)，答案選C.3.考點：二次函數(shù)的圖象特點，頂點坐標(biāo).解析：可以直接由頂點式形式求出頂點坐標(biāo)進(jìn)行判斷，函數(shù)y=2(x-3)2的頂點為(3，0)，所以頂點在x軸上，答案選C.4.考點：數(shù)形結(jié)合，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象為拋物線，其對稱軸為 .解析：拋物線，直接利用公式，其對稱軸所在直線為答案選B.5.考點：二次函數(shù)的圖象特征.解析：由圖象，拋物線開口方向向下，拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與y軸交點坐標(biāo)為(0，c)點，由圖知，該點在x軸上方，答案選C.6.考點：數(shù)形結(jié)合，由拋物線的圖象特征，確定二次函數(shù)解析式各項系數(shù)的符號特征.解析：由圖象，拋物線開口方向向下，拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與y軸交點坐標(biāo)為(0，c)點，由圖知，該點在x軸上方，在第四象限，答案選D.7.考點：二次函數(shù)的圖象特征.解析：因為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點P的橫坐標(biāo)是4，所以拋物線對稱軸所在直線為x=4，交x軸于點D，所以A、B兩點關(guān)于對稱軸對稱，因為點A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案選C.8.考點：數(shù)形結(jié)合，由函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式各項系數(shù)的性質(zhì)符號，由函數(shù)解析式各項系數(shù)的性質(zhì)符號畫出函數(shù)圖象的大致形狀.解析：因為一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象開口方向向下，對稱軸在y軸左側(cè)，交坐標(biāo)軸于(0，0)點.答案選C.9.考點：一次函數(shù)、二次函數(shù)概念圖象及性質(zhì).解析：因為拋物線的對稱軸為直線x=-1，且-1 .答案選C.二、填空題 11.考點：二次函數(shù)性質(zhì).解析：二次函數(shù)y=x2-2x+1，所以對稱軸所在直線方程.答案x=1.12.考點：利用配方法變形二次函數(shù)解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13.考點：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系.解析：二次函數(shù)y=x2-2x-3與x軸交點A、B的橫坐標(biāo)為一元二次方程x2-2x-3=0的兩個根，求得x1=-1，x2=3，則AB=|x2-x1|=4.答案為4.14.考點：求二次函數(shù)解析式.解析：因為拋物線經(jīng)過A(-1，0)，B(3，0)兩點，解得b=-2，c=-3，答案為y=x2-2x-3.15.考點：此題是一道開放題，求解滿足條件的二次函數(shù)解析式，答案不唯一.解析：需滿足拋物線與x軸交于兩點，與y軸有交點，及△ABC是直角三角形，但沒有確定哪個角為直角，答案不唯一，如：y=x2-1.16.考點：二次函數(shù)的性質(zhì)，求最大值.解析：直接代入公式，答案：7.17.考點：此題是一道開放題，求解滿足條件的二次函數(shù)解析式，答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考點：二次函數(shù)的概念性質(zhì)，求值.5 答案： 三、解答題 19.考點：二次函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4) .(2)由題設(shè)知： ∴y=x2-3x-4為所求 (3) 20.考點：二次函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象，求解析式.解析：(1)由已知x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的兩根 又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x1x2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9為所求 (2)由已知平移后的函數(shù)解析式為： y=(x-2)2-9 且x=0時y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9) 21.解： (1)依題意： .(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=- 1∴B(5，0) 由，得M(2，9) 作ME⊥y軸于點E，則 可得S△MCB=15.22.思路點撥：通過閱讀，我們可以知道，商品的利潤和售價、銷售量有關(guān)系，它們之間呈現(xiàn)如下關(guān)系式： 總利潤=單個商品的利潤×銷售量.要想獲得最大利潤，并不是單獨提高單個商品的利潤或僅大幅提高銷售量就可以的，這兩個量之間應(yīng)達(dá)到某種平衡，才能保證利潤最大.因為已知中給出了商品降價與商品銷售量之間的關(guān)系，所以，我們完全可以找出總利潤與商品的價格之間的關(guān)系，利用這個等式尋找出所求的問題，這里我們不妨設(shè)每件商品降價x元，商品的售價就是(13.5-x)元了.單個的商品的利潤是(13.5-x-2.5) 這時商品的銷售量是(500+200x) 總利潤可設(shè)為y元.利用上面的等量關(guān)式，可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式了，若是二次函數(shù)，即可利用二次函數(shù)的知識，找到最大利潤.解：設(shè)銷售單價為降價x元.頂點坐標(biāo)為(4.25，9112.5).即當(dāng)每件商品降價4.25元，即售價為13.5-4.25=9.25時，可取得最大利潤9112.5元 2．二次函數(shù)定義__________________________________________________二次函數(shù)（1）導(dǎo)學(xué)案 一.教學(xué)目標(biāo)： （1）能夠根據(jù)實際問題，熟練地列出二次函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。 （2）注重學(xué)生參與，聯(lián)系實際，豐富學(xué)生的感性認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣 重點難點： 能夠根據(jù)實際問題，熟練地列出二次函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。教學(xué)過程： 二、教學(xué)過程 （一）提出問題 某商店將每件進(jìn)價為8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件．該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤，經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低0.1元，其銷售量可增加10件。將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大?在這個問題中，1．商品的利潤與售價、進(jìn)價以及銷售量之間有什么關(guān)系?[利潤=(售價－進(jìn)價)×銷售量] 2．如果不降低售價，該商品每件利潤是多少元?一天總的利潤是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降價x元，則每件商品的利潤是多少元?一天可銷售約多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，請求出它的范圍，[x的值不能任意取，其范圍是0≤x≤2] 5．若設(shè)該商品每天的利潤為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)] 將函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化為： y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)將函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化為：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2) （二）、觀察；概括 (1)函數(shù)關(guān)系式(1)和(2)的自變量各有幾個? (2)多項式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分別是幾次多項式?(3)函數(shù)關(guān)系式(1)和(2)有什么共同特點?(4)這些問題有什么共同特點？ 三、課堂練習(xí) 1.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)?(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1 (3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1 2．P25練習(xí)第1，2,3題。 四、小結(jié) 1．請敘述二次函數(shù)的定義． 2，許多實際問題可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來解決，請你聯(lián)系生活實際，編一道二次函數(shù)應(yīng)用題，并寫出函數(shù)關(guān)系式。 五.堂堂清 下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)? (1)Y=2x+1（2）y=2x2+1（3）y=x(x-2)（4）y=(2x-1)(2x-2)（5）y=x2(x-1)-1 ?二次函數(shù)?測試 一．選擇題〔36分〕 1、以下各式中，y是的二次函數(shù)的是 （） A． B． C． D． 2．在同一坐標(biāo)系中，作+2、-1、的圖象，那么它們 （） A．都是關(guān)于軸對稱 B．頂點都在原點 C．都是拋物線開口向上 D．以上都不對 3．假設(shè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，那么的值必為 （） A． 0或2 B． 0 C． D． 無法確定 4、點〔a，8〕在拋物線y=ax2上，那么a的值為〔 〕 A、±2 B、±2 C、2 D、－2 5．把拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得拋物線的解析式是〔 〕 〔A〕y=3〔x+3〕2 〔B〕y=3〔x+2〕2+2 〔C〕y=3〔x-3〕2 〔D〕y=3〔x-3〕2+2 6．拋物線y=x2+6x+8與y軸交點坐標(biāo)〔 〕 〔A〕〔0，8〕 〔B〕〔0，-8〕 〔C〕〔0，6〕 〔D〕〔-2，0〕〔-4，0〕 7、二次函數(shù)y=x2＋4x＋a的最大值是2，那么a的值是〔 〕 A、4 B、5 C、6 D、7 8．原點是拋物線的最高點，那么的范圍是 （） A． B． C． D． 9．拋物線那么圖象與軸交點為 〔 〕 A． 二個交點 B． 一個交點 C． 無交點 D． 不能確定 10．不經(jīng)過第三象限，那么的圖象大致為 〔 〕 y y y y O x O x O x O x A B C D 11．對于的圖象以下表達(dá)正確的選項是 〔 〕 A 頂點作標(biāo)為(－3，2) B 對稱軸為y=3 C 當(dāng)時隨增大而增大 D 當(dāng)時隨增大而減小 12、二次函數(shù)的圖象如下圖，那么以下結(jié)論中正確的選項是：〔 〕 A a>0 b<0 c>0 B a<0 b<0 c>0 C a<0 b>0 c<0 D a<0 b>0 c>0 二．填空題：〔每題4分，共24分〕 13．請寫出一個開口向上，且對稱軸為直線x =3的二次函數(shù)解析式。 14．寫出一個開口向下，頂點坐標(biāo)是〔—2，3〕的函數(shù)解析式； 15、把二次函數(shù)y=－2x2＋4x+3化成y=a〔x+h〕2+k的形式是________________________________.16.假設(shè)拋物線y=x2 + 4x的頂點是P，與X軸的兩個交點是C、D兩點，那么 △ PCD的面積是________________________.17.(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函數(shù)y=x2-4x+m上的點,那么 y1,y2,y3從小到大用 “<〞排列是 .18．小敏在某次投籃中，球的運動路線是拋物線的一局部(如圖)，假設(shè)命中籃圈中心，那么他與籃底的距離是________________________.三．解答題(共60分) 19.〔6分〕假設(shè)拋物線經(jīng)過點A〔，0〕和點B〔-2，〕，求點A、B的坐標(biāo)。 20、(6分)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點〔0，－4〕，且當(dāng)x = 2，有最大值—2。求該二次函數(shù)的關(guān)系式： 21．〔6分〕拋物線的頂點在軸上，求這個函數(shù)的解析式及其頂點坐標(biāo)。 25米x22、〔6分〕農(nóng)民張大伯為了致富奔小康，大力開展家庭養(yǎng)殖業(yè)，他準(zhǔn)備用40米長的木欄圍一個矩形的雞圈，為了節(jié)約材料，同時要使矩形面積最大，他利用了自己家房屋一面長25米的墻，設(shè)計了如圖一個矩形的羊雞圈。請你設(shè)計使矩形雞圈的面積最大？并計算最大面積。 23、二次函數(shù)y=－〔x－4〕2 +4 〔本大題總分值8分〕 1、先確定其圖象的開口方向，對稱軸和頂點坐標(biāo)，再畫出草圖。 2、觀察圖象確定：X取何值時，①y=0，②y﹥0，⑶y﹤0。 24．〔8分〕某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，假設(shè)每千克漲價一元，日銷售量將減少20千克。 〔1〕現(xiàn)要保證每天盈利6000元，同時又要讓顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？ 〔2〕假設(shè)該商場單純從經(jīng)濟角度看，那么每千克應(yīng)漲價多少元，能使商場獲利最多。 25．〔8分〕某市人民廣場上要建造一個圓形的噴水池，并在水池中央垂直安裝一個柱子OP，柱子頂端P處裝上噴頭，由P處向外噴出的水流〔在各個方向上〕沿形狀相同的拋物線路徑落下〔如下圖〕。假設(shè)OP＝3米，噴出的水流的最高點A距水平面的高度是4米，離柱子OP的距離為1米。 〔1〕求這條拋物線的解析式； 〔2〕假設(shè)不計其它因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外。 26．〔12分〕二次函數(shù)的圖象與x軸從左到右兩個交點依次為A、B，與y軸交于點C，〔1〕求A、B、C三點的坐標(biāo)； 〔2〕如果P(x，y)是拋物線AC之間的動點，O為坐標(biāo)原點，試求△POA的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； 〔3〕是否存在這樣的點P，使得PO=PA，假設(shè)存在，求出點P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由。 第六章 二次型 ??B1?與???合同.AB?2??2? 證：因為A1與B1合同，所以存在可逆矩C1，使B1?C1TAC11，1．設(shè)方陣A1與B1合同，A2與B2合同，證明?T 因為A2與B2合同，所以存在可逆矩C2，使B2?C2A2C2.?A 1令 C???C1???，則C可逆，于是有 C2?T1??C1?B1??C1TAC??A1??C11 ???????????TBC2??A2CAC?2????222???A1??B1?即 ?與???合同.AB?2??2? 2．設(shè)A對稱，B與A合同，則B對稱 證：由A對稱，故A?A.因B與A合同，所以存在可逆矩陣C，使B?CAC，于是 TTA?T?1??C?C?2???CA2?BT?(CTAC)T?CTATC?CTAC?B 即B為對稱矩陣.3．設(shè)A是n階正定矩陣，B為n階實對稱矩陣，證明：存在n階可逆矩陣P，使PTAP與PTBP均為對角陣.證：因為A是正定矩陣，所以存在可逆矩陣M，使 MTAM?E 記B1?MBM，則顯然B1是實對稱矩陣，于是存在正交矩陣Q，使 TQTB1Q?D?diag(?1,?,?n) 其中?1,?,?n為B1?MTBM的特征值.令P=MQ，則有 PTAP?E,PTBP?D A,B同時合同對角陣.4．設(shè)二次型f??(ai?1mi11令A(yù)?(aij)m?n，則二次型f的秩等于r(A).x???ainxn)2，證：方法一 將二次型f寫成如下形式： f??(ai1x1???aijxj???ainxn)2 i?1m設(shè)Ai=(ai1,?,aij,?,ain) (i?1,?,m) ·107· ?a11?a1j?a1n??A1?????????????則 A??ai1?aij?ain???Ai? ?????????????a????m1?amj?amj??Am??A1??????mTTTT于是 AA?(A1,?,Ai,?,Am)?Ai???AiTAi ??i?1????A??m??ai1??????mm22故 f??(ai1x1???aijxj???ainxn)=?[(x1,?xj,?xn)?aij?] ??i?1i?1????a??in??ai1??x1??x1????????????????mmT =?[(x1,?xj,?xn)?aij?(ai1,?aij,?ain)?xj?]=(x1,?xj,?xn)(?AiAi)?xj? ??????i?1i?1??????????a??x??x??in??n??n? =X(AA)X 因為AA為對稱矩陣，所以AA就是所求的二次型f的表示矩陣． 顯然TTTTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩為r(A)． T方法二 設(shè)yi?ai1x1???ainxn,i?1,?,n.記Y?(y1,?,ym)，于是 Y?AX，其中X?(x1,?,xn)T，則 2f??yi2?y12???ym?YTY?XT(ATA)X.i?1m 因為AA為對稱矩陣，所以AA就是所求的二次型f的表示矩陣． 顯然TTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩為r(A)． T 5．設(shè)A為實對稱可逆陣，f?xAx為實二次型，則A為正交陣?可用正交變換將f化成規(guī)范形.證：?設(shè)?i是A的任意的特征值，因為A是實對稱可逆矩陣，所以?i是實數(shù)，且?i?0,i?1,?,n.因為A是實對稱矩陣，故存在正交矩陣P，在正交變換X?PY下，f化為標(biāo)準(zhǔn)形，· ·108即 f?XTAX?YT(PTAP)Y?YTDY?YTdiag(?1,?,?i,?,?n)Y 2??1y1 （*）????iyi2????nyn 因為A是正交矩陣，顯然D?PTAP?diag(?1,?,?i,?,?n)也是正交矩陣，由D為對角實矩陣，故?i2?1即知?i只能是?1或?1，這表明（*）恰為規(guī)范形.?因為A為實對稱可逆矩陣，故二次型f的秩為n.設(shè)在正交變換X?QY下二次型f化成規(guī)范形，于是 22?YDY f?XTAX?Y(QTAQ)Y?y1???yr2?yr2?1???ynT其中r為f的正慣性指數(shù)，D?diag(1,?,1,?1,?,?1).TT 顯然D是正交矩陣，由D?QAQ，故A?QDQ，且有AA?AA?E，故ATT是正交矩陣.6．設(shè)A為實對稱陣，|A|?0，則存在非零列向量ξ，使ξTAξ?0.證：方法一 因為A為實對稱陣，所以可逆矩陣P，使 PTAP?D?diag(?1,?,?i,?,?n) 其中?i(i?1,?,n)是A的特征值，由|A|?0，故至少存在一個特征值?k，使?k?0，?0??????取ξ?P?1?，則有 ??????0?????1??0??0????????????????TT??1???k?0 ，1,?0?,0)?k ξAξ?(0,?,1,?,0)PAP?1??(0?????????????????0?????n??????0? 方法二（反證法） T 若?X?0，都有XAX?0，由A為實對稱陣，則A為半正定矩陣，故|A|?0與|A|?0矛盾.222 7．設(shè)n元實二次型f?XAX，證明f在條件x1?x2???xn?1下的最大值恰T為方陣A的最大特征值． 解：設(shè)?1,?2,?,?n是f的特征值，則存在正交變換X?PY，使 f?XTAX?YT(PTAP)Y??1y12??2y2????nyn設(shè)?k是?1,?2,?,?n中最大者，當(dāng)XX?x1?x2???xn?1時，有 ·109· T22222XTX?YTPTPY?YTY?y12?y2???yn?1 因此 2222f??1y12??2y2????nyn ??k(y12?y2???yn)??k 222這說明在x1=1的條件下f的最大值不超過?k． ?x2???xn 設(shè) Y0?(y1,?,yk,?,yn)T?(0,?,0,1,0,?.0)T 則 Y0TY0?1 222f??1y12??2y2????kyk????nyn??k 令X0?PY0，則 TX0X0?Y0TY?1 并且 Tf(X0)?X0AX0?Y0T(PTAP)Y0??k 222這說明f在X0達(dá)到?k，即f在x1?x2???xn?1條件下的最大值恰為方陣A的最大特征值． 8．設(shè)A正定，P可逆，則PAP正定.證：因為A正定，所以存在可逆矩陣Q，使A?QTQ，于是 PAP?PQQP?(QP)QP，顯然QP為可逆矩陣，且 TTTTT(PTAP)T?(QP)TQP?PTAP，即PTAP是實對稱陣，故PTAP正定.9．設(shè)A為實對稱矩陣，則A可逆的充分必要條件為存在實矩陣B，使AB+BA正定． 證：先證必要性 取B?A，因為A為實對稱矩陣，則 ?1TAB?BTA?E?(A?1)TA?2E 當(dāng)然AB?BA是正定矩陣． 再證充分性，用反證法． 若A不是可逆陣，則r（A） 因為A是實對稱矩陣，B是實矩陣，于是有 TTTX0(AB?BTA)X0?(AX0)TBX0?X0B(AX0)?0 這與ABAB?BA是正定矩陣矛盾． 10．設(shè)A為正定陣，則A?A?3A仍為正定陣.證：因為A是正定陣，故A為實對稱陣，且A的特征值全大于零，易見A,A,A2*?1A?A?3A全是實對稱矩陣，且它們的特征值全大于零，故A,A,A全是正定矩陣，2*T2*?12*?1?1為實對稱陣.對?X?0，有 XT(A2?A*?3A?1)X?XTA2X?XTA*X?XTA?1X?0 · ·110 即 A?A?3A的正定矩陣.11．設(shè)A正定，B為半正定，則A?B正定.T 證：顯然A,B為實對稱陣，故A?B為實對稱陣.對?X?0，XAX?0，2*?1XTBX?0，因XT(A?B)X?0，故A?B為正定矩陣.12．設(shè)n階實對稱陣A,B的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，則AB正定.證：設(shè)A,B的特征值分別為?i,?i(i?1,?,n).由題設(shè)知?i?0,?i?0,i?1,?,n.PTAP?diag(?1,?,?i,?,?n) 為PiA的特征向量，i?1,?,n.因為A是實對稱矩陣，所以存在正交矩陣P?(P1,?,Pi,?,Pn)，使 即 AP,ii??iP 由已知條件Pi也是B的特征向量，故 BPi??iPii?1,?i,?,n 因此 ABPi?A?iPi?(?i?i)Pi，這說明?i?i是AB的特征值，且?i?i?0，i?1,?,n.又因為 ABP?Pdiag(?1?1,?,?i?i,?,?n?n),PT?P?1.故 AB?Pdiag(?1?1,?,?i?i,?,?n?n)P，顯然AB為實對稱陣，因此AB為正定矩陣.13．設(shè)A?(aij)n?n為正定矩陣，b1,b2,?,bn為非零實數(shù)，記 B?(aijbbij)n?n 則方陣B為正定矩陣． 證：方法一 因為A是正定矩陣，故A為對稱矩陣，即aij?aji，所以aijbibj?ajibjbi，這說明B是對稱矩陣，顯然 ?a11?b21abb1?anbb1221n1???b1?0??a11?a1n??b1?0?2abbab?abb2121222n2n?2? B??=?????????????? ????0?b??a?a??0?b???n??n1nn??n???abbabb?abb???nnnn??n1n1n2n1 對任給的n維向量X?(x1,?,xn)?0，因b1,b2,?,bn為非零實數(shù)，所以 T(b1x1,?,bnxn)T?0，又因為A是正定矩陣，因此有 ?b1?0??a11?a1n??b1?0?TT XBX?X???????????????X ?0?b??a?a??0?b?n??n1nn??n???a11?a1n??b1x1? =(b1x1,?,bnxn)?????????0 ?a?a??bx?nn??nn??n1即B是正定矩陣． ·111· 方法二 記 ?a11b12a12b1b2?a1nb1bn??abbab2?abb?2n2n? B??2121222??????abbabb?abb?nnnn??n1n1n2n1則因為A是實對稱矩陣，顯然B是實對稱矩陣，?b1?0? B的k階順序主子陣Bk可由A的階順序主子陣分別左，右相乘對角陣?????而 ?0?b?n??得到，即 ?b1?0??a11?a1k??b1?0?Bk???????????????? ?0?b??a?a??0?b?k??k1kk??k??計算Bk的行列式，有 Bk??bi2Ak?0 i?1n故由正定矩陣的等價命題知結(jié)論正確． 14．設(shè)A為正定矩陣，B為實反對稱矩陣，則A?B?0.證：因為M是n階實矩陣，所以它的特征值若是復(fù)數(shù)，則必然以共軛復(fù)數(shù)形式成對出現(xiàn)；將M的特征值及特征向量寫成復(fù)數(shù)形式，進(jìn)一步可以證明對于n階實矩陣M，如果對任意非零列向量X，均有 XTMX?0 可推出M的特征值(或者其實部)大于零． 由于M的行列式等于它的特征值之積，故必有M?0 ． 因為A是正定矩陣，B是反對稱矩陣，顯然對任意的 非零向量X，均有 XT(A?B)X?0,而A+B顯然是實矩陣，故A?B?0.T 15．設(shè)A是n階正定矩陣，B為n?m矩陣，則r(BAB)=r(B)． T 證：考慮線性方程組BX?0與BABX?0，顯然線性方程組BX?0 的解一定是BTABX?0的解． TT 考慮線性方程組BABX?0，若X0是線性方程組BABX?0的任一解，因此有BTABX0?0． 上式兩端左乘X0有 T(BX0)TA(BX0)?0 · ·112 T 因為A是正定矩陣，因此必有BX0?0，故線性方程組BX?0與 BABX?0是同解方程組，所以必有r(BAB)= r(B).16．設(shè)A為實對稱陣，則存在實數(shù)k，使|A?kE|?0.證：因為A為實對稱陣，則存在正交矩陣P，使 TP?1AP?diag(?1,?,?i,?,?i).其中?i為A的特征值，且為實數(shù)，i?1,?,2.于是 A?Pdiag(?1,?,?i,?,?n)P?1 ?1?k? |A?kE|?|P|?i?k?|P|??(?i?k) ?1i?1n?n?k取k?max{|?i|?1}，則1?i?n|?(??k)?0，故 |A?kE?ii?1n0.17．設(shè)A為n階正定陣，則對任意實數(shù)k?0，均有|A?kE|?kn.證：因為A為正定矩陣，故A為實對稱陣，且A的特征值?i?0,i?1,?,n.則存在正交矩陣P，使 ??1???????1?,PAP???i???????n???于是對任意k?0，有 ?1?k?|P| |A?kE?|??1???????P?1 A?P??i???????n????i?k?P|?1?|?(?i?k)??k?kn.i?1i?1nn?n?k 18．設(shè)A為半正定陣，則對任意實數(shù)k?0，均有|A?kE|?0.證：因為A為半正定矩陣，故A為實對稱矩陣，且A的特征值?i?0，i?1,?,n.則存在正交矩陣P，使 PAP?diag?1(?,于是對任意k?0，有 |A?kE?|P||di?a1g?(k??,i?k,? ?1?i,?,?n,，A)?Pdiag(?1,?,?i,?,?n)P?1 ?n,?k,P?1?|?(?|i?k)?kn?0.)i?1n·113· 19．A為n階實矩陣，?為正實數(shù)，記B??E?AA，則B正定.T 證：BT?(?E?ATA)T??E?AA?B，故B是實對稱矩陣.T 對?X?0，有(X,X)?0,(AX,AX)?0，因此有 AX??(X,X)?AX(AX,?)0 XTBX?XT(?E?ATA)X??XTX?XTAT故 B??E?AA為正定矩陣.20．A是m?n實矩陣，若AA是正定矩陣的充分必要條件為A是列滿秩矩陣． 證：先證必要性 方法一 設(shè)AA 是正定矩陣，故?X0?0，有 TX0(ATA)X0?(AX0)T(AX0)?0 由此AX0?0，即線性方程組AX?0僅有零解，所以r(A)=n，即A是列滿秩矩陣． TTT方法二 因為AA 是正定矩陣，故r(AA)=n，由于 TTn?r(ATA)?r(A)?n 所以r(A)=n． 即A是列滿秩矩陣． 再證充分性：因A是列滿秩矩陣，故線性方程組僅有零解，?X?0，X為實向量，有AX?0．因此 XT(ATA)X?(AX)T(AX)?(AX,AX)?0 顯然AA 是實對稱矩陣，所以AA 是正定矩陣． 21．設(shè)A為n階實對稱陣，且滿足A?6A?4E?0，則A為正定陣.證：設(shè)?為A的任意特征值，ξ為A的屬于特征值?的特征向量，故ξ?0，則 2TTAξ??ξ,2A2ξ??2ξ 由 A?6A?4E?0 有 Aξ?6Aξ?4ξ?0 2(?2?6??4)ξ?0 2由 ξ?0，故 ??6??4?0.??3?5?0.因為A為實對稱矩陣，故A為正定陣.22．設(shè)三階實對稱陣A的特征值為1,2,3，其中1,2對應(yīng)的特征向量分別為ξ1?(1,0,0)T,ξ2?(0,1,1)T，求一正交變換X?PY，將二次型f?XTAX化成標(biāo)準(zhǔn)形.解：設(shè)ξ3?(x1,x2,x3)T為A的屬于特征值3的特征向量，由于A是實對稱矩陣，故ξ1,ξ2,ξ3滿足正交條件 ?1?x1?0?x2?0?x3?0 ?0?x?1?x?1?x?023?1 解之可取ξ3?(0,1,?1)，將其單位化有 · ·11 411T1?1T,),P3?(0，)2222???100???11?? 令 P?(P1,P2,P3)??0.?22??11??0???22??則在正交變換X?PY下，將f化成標(biāo)準(zhǔn)形為 P1?(1,0,0)T,P2?(0,22 f?XTAX?YT(PTAP)Y?y12?2y2?3y 323．設(shè) ?1?22???A???24a? ?2a4???2二次型f?XTAX經(jīng)正交變換X?PY化成標(biāo)準(zhǔn)形f?9y3，求所作的正交變換.2解：由f的標(biāo)準(zhǔn)形為f?9y3，故A的特征值為?1??2?0,?3?9.??1故 |?E?A|?2?2?a??2(??9) ??4?22?2?1??4?a2 令??0，則 2解之 a??4.?4?a?0 ?2?a?4?1?22???由此 A???24?4? ?2?44??? 對于?1??2?0有 ??12?2??1?22????? 0E?A??2?44???000? ??24?4??000?????可得A的兩個正交的特征向量 ?2???2?????ξ1??2?,ξ2??1? ?1??2????? ·115· ?1???對于?3?9，可得A的特征向量為??2? ?2???將特征向量單位化得 ?2???2??1?1??1??1??P1??2?,P2??1?,P3???2? 3??3??3??12?????2??2?21?1??則P?(P1,P2,P3)??21?2?為正交矩陣，3???122??2?21?1??正交變換X?PY為X??21?2?Y.3???122? 注：因特征向量選擇的不同，正交矩陣P不惟一.222 24．已知二次型f?x1?2x2?(1?k)x3?2kx1x2?2x1x3正定，求k.解：二次型的表示矩陣 1??1k??A??k20? ?101?k????1k2??0??k?2?0由A正定，應(yīng)有A的各階順序主子式全大于0.故 ?k2，即?.2??|A|?0?k(k?k?2)?0?解之 ?1?k?0.222 25．試問：三元方程3x1?3x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3?x1?x2?x3?0，在三維空間中代表何種幾何曲面.222 解：記f?3x1?3x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3?x1?x2?x3 ?311??x1??x1???????則 f?(x1,x2,x3)?131??x2??(?1,?1,?1)?x2? ?113??x??x????3??3??311??? 設(shè) A??131?.?113???2則|?E?A|?(??2)(??5).故A的特征值為?1??2?2,?3?5.· ·116 對于?1??2?2，求得特征向量為 ??1???ξ1??1?,?0???由Schmidt正交化得 ??1???ξ2??0?.?1?????1???β1??1?,?0????1???2???1β2????.?2???1???????1???對于?3?5得特征向量ξ3??1?，標(biāo)準(zhǔn)化得 ?1????1??1??1?????????632???????1??1??1?P1??,P??,P?23???? ?26???3????2??1??0??????????6??3?11??1????263??11??1 令 P?(P1,P2,P3)???? 63??221??0??63??則在正交變換X?PY下 22f?2y12?2y2?5y3?3y3 于是f?0為 22y12?2y2?5(y3?323)? 102022為橢球面.26．求出二次型f?(?2x1?x2?x3)?(x1?2x2?x3)?(x1?x2?2x3)的標(biāo)準(zhǔn)形及相應(yīng)的可逆線性變換.解：將括號展開，合并同類項有 ·117· 222222 f?4x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?2x2x3?x12?4x2?x3?4x1x2?2x1x3?4 2x3x222 ?x1?x2?4x3?2x1x2?4x1x3?4x2x3 22222 ?6x1?6x2?6x3?6x1x2?6x1x3?6x2x3?6(x12?x2?x3?x1x2?x1x3?x2x3) 1132323119x2?x3)2?x2?x3?x2x3]?6(x1?x2?x3)2?(x2?x3)2 2244222211?y?x?x??11222x3? 令 ?y2?x2?x3 ?y?x3?3?11??1???y1??22??x1???????1?1即 y2??0??x2? ???y??001??x3??3??????? ?6[(x1?則可逆變換為 ?1?x1??????x2???0?x??0?3???在此可逆線性變換下f的標(biāo)準(zhǔn)形為 1?12??y1????11??y2? 01??y3?????92y2.2f?6y12? 27．用初等變換和配方法分別將二次型 222 （1）f1??x1?3x2?2x4?4x1x2?4x1x4?2x2x4 （2）f2?2x1x2?6x2x3?2x1x3 化成標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，并分別寫出所作的合同變換和可逆變換.解：先用配方法求解 （1）f1?(?x1?4x1x2?4x1x4)?3x2?2x4?2x2x4 ??(x1?2x2?2x4)?x2?6x4?6x2x4??(x1?2x2?2x4)?(x2?3x4)?3x4 222222222?y1?x1?2x2?2x4?y?x?3x?224 令 ? 即 y?x3?3??y4?x4?x1?y1?2y2?4y4?x?y?3y?224 ?x?y3?3??x4?y4 · ·118 ?1204???0103? 令 P???0010???0001???? 則二次型f經(jīng)可逆線性變換x?Py化成標(biāo)準(zhǔn)形 f1??y12?y2?3y4?y1?z1?z1?y1?y?z?z?y22?2??2 若再令 ? 即 ?y3?z3 z?y3??3?y?3z?z?3y?4444?3??1???1??? 令 Q??1??3????3??222則原二次型f1經(jīng)可逆線性變換x?PQz化成規(guī)范形f1??y1.?y2?y4?x1?y1?y2? （2）先線性變換?x2?y1?y2 ?x?y3?3原二次型化成 2222 f2?2(y1?y2)?6y1y3?6y2y3?2y1y3?2y2y3?2y1?2y2?4y1y3?8y2y3 222 ?2(y1?y3)2?2y2 ?2(y1?y3)2?2(y2?2y3)2?6y3?8y2y3?2y3?z1?y1?y3?y1?z1?z3?110??101??????? 令?z2?y2?2y3，即?y2?z2?2z3.令P1??1?10?，P2??012? ?z?y?y?z?001??001?????33?3?3則原二次型f2經(jīng)可逆線性變換x?P1P2z化成標(biāo)準(zhǔn)形 f2?2z12?2z2?6z3??z1??w1?2z1????? 若再令?w2?2z2 即 ?z2???w?6z3???3?z3??? 2w122w2 26w36·119· ?2???2????2 令 Q??? 2???6?????6??則原二次型f2經(jīng)可逆線性變換x?P1P2Qw化成規(guī)范形 22.f2?w12?w2?w3 用初等變換法求解 ??12?2?3? （1）設(shè)A??00???21???12?2?3? (A?E4)??00???21?0?2??01? 00??02??***0?2010002000?***00???1??0?r2?2?r1?0????0?c2?2?c1?0????21???0???1??0?r4?3?r2?0????c4?3?c2??00???01???00?0?10?0 01?0?3?30?3?010?301000?2100?***000?***100??0? 0??1??0??0? ?0?1????10?r4?(?2)?r1?01 ?????c4?(?2)?c1?00??0?3???10?1?01?r33??00 ???1?c3?3??00?120?20000?1T433000??10?100???2100????2100?? 令 P1?，P2??0010? ?001?0????3?430??43?130????3??3222則原二次型f1經(jīng)過可逆線性變換x?P1y化成標(biāo)準(zhǔn)形f1??y1?y2?3y3.二次型經(jīng)過可逆線性變換x?P2z化成規(guī)范形f1??z1?z2?z4.· ·120 222T?011??? （2）設(shè)A??10?3? ?1?30???110?0?01?0??r3?(?1)?r2?0?301?????0c3?(?1)?c2??1 (A?E3)??1?1?3000?1?0???100?3?360??010? 0?11??10?01 ???r3?3?r1c3?3?c1??010100??100010??21r1?r2?c1?c2??1000?0063?11?????????0063?200110? ????r12?(??2)?r1?111?c1?0?0?2?(?2)?c1??2220?? ?0063?11????1001120??1 ?????2?r1?21,2?c11?2?r2,2?c???0?10?162220?? 6?r23,6?c3?????00162?66?66???11T?0???110?T?? 令 P11??221????0?，P?112???0???22?22??3?11?????66??2?666??則原二次型f2經(jīng)過可逆線性變換x?P1y化成標(biāo)準(zhǔn)形 f?2y212221?2y2?6y3 二次型經(jīng)過可逆線性變換x?P2z化成規(guī)范形 f2222?z1?z2?z3 28．用三種不同方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形.（1）f2221?2x1?3x2?4x2x3?3x3 （2）f22222?x1?x2?x3?x4?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4 解：先用配方法求解 00?10?11? ???121· · 42522x2x3)?3x3?2x12?3(x2?x3)2?x3 333?y1?x1?x1?y1??22?? 令 ?y2?x2?x3 即 ?x2?y2?y3 33?????y3?x3?x3?y3?100???2 令 P??01?? ?3??001??? （1）f1?2x1?3(x2?22則二次型f1經(jīng)可逆線性變換x?Py化成標(biāo)準(zhǔn)形 2f1?2y12?3y2?52y3 3?2z1??y1?2?z1?2y1???3??z2 若再令 ?z2?3y2 即 ?y2?3??15??z?15y33y?z3??33?5???2???2????3 令 Q??? 3???15????5???原二次型f1經(jīng)可逆線性變換x?PQz化成規(guī)范形 22.f1?z12?z2?z3 （2）f2?(x1?2x1x2?2x1x4)?x2?x3?x4?2x2x3?2x3x4 ?(x1?x2?x4)2?x3?2x2x3?2x3x4?2x2x4 2 ?(x1?x2?x4)2?(x3?x2?x4)2?(x2?2x4)2?3x4 2222?y1?x1?x2?x4?y?x?2x?224 令 ? 即 ?y3??x2?x3?x4??y4?x4 · ·122 ?x1?y1?y2?y4?x?y?2y?224 ??x3?y2?y3?y4??x4?y4?1?1?010?1??02 令 P?????0111? ??0001???則二次型f2經(jīng)可逆線性變換x?Py化成標(biāo)準(zhǔn)形 f2?y22?3y22?y12?y34 ???z1?y1?y1?z1? 若再令 ??z2?y2 即 ?y2?z2?z?y 3?y 3??3?z3?z4?3y4???y4?33z4??1??1?? 令 Q???1? ???3??3?? 原二次型f?PQz化成規(guī)范形f22222經(jīng)可逆線性變換x2?z1?z2?z3?z4.用初等變換法求解 ?20 （1）設(shè)A??0??032?? ??023????20010???200100? (A?E??03)??03201??????0r?(?233)?r2c(?2??030010?3????02300??13)?c2??52??0030?31????100100?1?2?? ?????12?r112?c1??010010?3?r1?? 23?c215?35?r15?35?c3??21515??0010?155?? 123· · ??10?1 令 P1??0?2?0?3??0??0?,?1??T????P2??????1200?01321515?0???0? ?15??5?22T則原二次型f1經(jīng)過可逆線性變換x?P1y化成標(biāo)準(zhǔn)形f1?2y1?3y2?222可逆線性變換x?P2z化成規(guī)范形f1?z1.?z2?z352y3.二次型經(jīng)過3?110?1???11?10? （2）設(shè)A???0?111????1011????10?1100?0?1??11?100100?? (A?E4)? ?0?1110010????10110001?????100?11000??10001???00?11?110000?11?1r2?(?1)?r1r4?r1??? ?????????c2?(?1)?c1?0?1110010?c4?c1?0?1110????11110001???01101????10001000??10001???00?11?11000001?1r3?r2r3?r4??? ????????c3?c2?0?1?12?1110?c3?c4?00320???01201001???01201????10001000??10001???0001?110002010r3?(?2)?r2r2?r4??? ?????????c3?(?2)?c2?00302?111?c2?c4?00302???01001001???01001????10001000???020001011??r4?(?)?r22 ??????00302?111? 1c4?(?)?c2??2111??1?0?000???222? · ·124 000??100? 010??001??000??100? 111??001??000??101? ?111??001???1??0?11?r2?c222 ???????11?0?r3?c333?2?r42?c4??0??***??01233220033000?10??1??1?2??0? 令 P1??2333? ??333???1??22??0?22?12222f?y?2y?3y?y4.f2可則原二次型f2可經(jīng)可逆線性變換x?P化成標(biāo)準(zhǔn)形y212312經(jīng)可逆線性變換x?P2z化成規(guī)范形 222 f2?z12?z2?z3?z4?1T?000??0??101??? P2??23?111??311??0??22??2??0??1?2??3? 3??2??2?00102T用正交變換法求解 ?200??? （1）f1的矩陣為A??032?，?023?????200由 |?E?A|?知A的特征值為1,2,5.00??3?2?2?(??1)(??2)(??5)，??3??100??x1??0??x1??0??0?????????????對?1?1，解?0?2?2??x2???0?，得?x2??k?1?，取T1??1?，單位化 ??1??0?2?2??x??0??x???1??????3????3??????0????000??x1??0??x1??1??1?2?????????????P??0x?k0P1??，對?2?2，解?0?1?2??x?，得，取22?0?，?2??????2??0??x??0??0?2???0???1?????3??????x3???2??????2? ·125· 0??x1??0??30??????對?3?5解?02?2??x2???0?，得?0?22??x??0????3????x1??0??0???????x?k1T? 取32?1?，單位化得?????1??x??1????3??????P3??????????00???2??2，令 P??22???2?2????2??2100?0??2?，則P為正交陣，經(jīng)正交變換X?PY，?2?2??2?222原二次型f化為f?XTAX?y1.?2y2?5y3?110?1???11?10? （2）f2的矩陣為 A???0?111????1011??????1?101?1??110由 |?E?A|??(??1)(??3)(??1)2 01??1?110?1??1知A的特征值為?1,3,1,1.?x1???2?101??x1?0???1??1??????x???????x?1?2100?122??????, 得 ???k??，取T???1?對?1??1，解?1?x3??01?????1???1?2?1??x3?0??????????1???x???1??x10?1?20???4??????4????1??2????21?????1?2??單位化得P1??對?2?3，解?，?01?????2??1?1????2??10210??x1?0?????10??x2?0??21???x3?0?????1?2??x4?0?1???, 得 ????x1???1?????x2???k??1?.?x3??1????1???x?????4? · ·126 ?1???2????1?? 取 T?1?????1?2?2???? ?1?單位化得 P2????1?.??1?????2?1???2?? 對?3??4?1，解 ??0?101??x1??x1???1010?????0??1??x0??x????0??20???2????,得 ??010?1??10?10????x3??x???0????x???k1????k?1? 3?1?2?0?4??0???x?4????0??????1?????1?? 取 T3??0????0?,T4??1??，?1????0????0???1?????2??0??2??? 再令 P?0???2?3??,P??2??2?4?0? ?????2??2?0?????2????11??2?2220?????112? 令 P??2?202?????112，則P為正交陣，經(jīng)正交變換X?PY，0??222????11?2202?2??原二次型f化為 f?XTAX??y22221?3y2?y3?y4.29．判斷下列二次型正定，負(fù)定還是不定.（1）f2221??2x2?6x2?4x3?2x1x2?2x1x3 127· · 解：二次型f1的矩陣為 1???21??A??1?60? ?10?4???A的各階順序全子式 ?2?0,?211?6?2?11?0,1111?60??38?0.0?4所以二次型f1是負(fù)定二次型.2222 （2）f2?x1?3x2?9x3?19x4?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4 解：二次型f2的矩陣為 ?1?121????130?3? A???209?6???1?3?619????A的各階順序主子式 1?1211?121?1?130?31?0,?2?0，?130?6?0，?24?0 ?13209?62091?3?619所以二次型f2是正定二次型.2222 （3）f3?x1?x2?14x3?7x4?6x1x3?4x1x4?4x2x3 解：二次型f3的矩陣為 ?103?01?2?A??3?214??200?A的各階順序主子式 2??0? 0??7??20??33?0.071?0,1031001?2?1?0，01?2?1?0，013?2143?214200103所以二次型f3是不定二次型.222 30．求一可逆線性變換X?CY，把二次型f1?2x1?5x2?4x3?2x1x2?4x1x3化成 · ·128規(guī)范形fy22?y21?1?y23，同時也把二次型 f32?2x222x21?3x2?3?2x1x3?2x1x3?4x2x3 化成標(biāo)準(zhǔn)形f2222?k1y1?k2y2?k3y3.解：記f1?XTAX，其中 ?A??2?1?2???150???204? ????200??2?1?2??????150???09?1?r?A???204?3?r1?r1r?1?2?0?12??E?????100????2?2??? ??c3?c1c12?c1??111?2??010???001???2???010???001????200?00??9??110??00????r1?1?02216?2?001??025????r2?03?9r2?9?r2?3??3?1?c2?3?66?9c2??1110????r3?4c1?1??22??29?21???2?c2?23??0?c3?013?436???9????001??03?????04????125??266???取 P???021?36?，則PTAP?E ??????00?4???記 fT2?XBX，其中 129· · ?3?0?1?2???B??03?2? ??1?22???????100???2?12?5???31???20?266?則 BT?22????03?2??21?1?PBP??0?63??? ?????0?1?22??36??513????3???664???????00??4????31?11??220??2??125?266????34422? ?????252??42??021??????13?2??6????36???444? ??1??11???23???003???????4???121??22?42????312? ?1?4??13?2???1B2 ??2?22??4??其中 B?312?2???13?2?? ???2?22??顯然B都是實對稱矩陣，它們的特征值為11,B24倍的關(guān)系，特征向量相同.??3?1?20(??33)?1?2?(4) |?E?B2|??1??32?1?(??3)?2??(??42)??22??20?2?(?4)??4則B2的特征值為??0,?2??3?4，故B1的特征值為0,1,1.以下求B2的特征向量.·130 · 0?1??1??????2?2????11?? 對于?1?0，求得α1??，單位化后???1??2??2? ??1????1???????2????2? 對于??1???α??2??3?4，求得α2?1,?3??0??0? ????1?? 由Schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化后得 ??1???2??1??2????1??2???13???2?,??? ??0???2??????1???2?????111??222? 令 Q?(??11?1,?2,?3)??2?1??22?.??11???202?? 則Q為正交矩陣，且有 ?0?QTB(PTBP)Q???1?1Q?QT? ??1????125??11??266??1???2??12?22 令 C?PQ??1??2?1?023?1???6????1222????3????1??221?3?00?4??1?0???22????42于是 QTPTAPQ?QTEQ?E 27?362?1?3?1?62?03??42??131· · 即 CAC?E T?0???CTBC??1? ?1???在可逆線性變換X?CY下 f1?y12?y2?y322.f2?y2?y3（注：經(jīng)驗算本題所得C是正確的，需要注意的是C并不惟一） 31．求一可逆線性變換X?PY，將二次型f化成二次型g.22f?2x12?9x2?3x3?8x1x2?4x1x3?10x2x3 22g?2y12?3y2?6y3?4y1y2?4y1y3?8y2y3 4?2??2?2?2?2?????9?5?，g?YTBY，B???234? 解：f?XTAX，A??4??2?53???246????? 將A,B分別作合同變換如下： ?24?2??200??200???????49?501?1010??????2?2r1?0?11?r?r?000??A???2?53?rr3?r132?????? ?????c2?2c1?????? c3?c2?E??100?c3?c1?1?21??1?2?1??010??010??011?????001???001???001???????? 在可逆線性變換X?C1Z下 f?2z12?z2?1?2?1???C1??011? ?001????2??20??4??012?r1?026?rr3?r1??????2?c10?cc3?c1?11?010?????001?? 其中 ?2?2???23?B???24?????E??10?01??00?22在可逆線性變換Y?C2Z下g?2z1?z2.· ·132 0??2??2??04?r3?r2?0??????1?c3?c2?1?00?????01??0101100??0?0?? ?1??2??1???11?1???其中 C2??01?2? ?001????1由 Z?C2Y得 ?1X?C1Z?C1C2Y ?1?2?1??11?1??1?3?6????????1101?2?003令 P?C1C2?01?????? ?001??001??001???????22在可逆線性變換X?PY下f?g?2z1.?z2 32．A是正定矩陣，AB是實對稱矩陣，則AB是正定矩陣的充分必要條件是B的特征值全大于零． 證：先證必要性． 設(shè)? 為B的任一特征值，對應(yīng)的特征向量為X,則X?0, 且有 ?1BX??X 用XA左乘上式有 TXT(AB)X??XTAX 因為AB，A都是正定矩陣，故 XT(AB)X?0,于是??0，即B的特征值全大于零． 再證充分性． XTAX?0 因為A是正定矩陣，所以A合同于單位矩陣，故存在可逆矩陣P，使 PTAP?E （1） 由AB是對稱矩陣，知P(AB)P也是實對稱矩陣，因此存在正交矩陣Q，使 TQT[PT(AB)P]Q?D?diag(?1,?,?i,?,?n) （2） 即有 (QPA)B(PQ)?D?diag?(1,?,?i,?,?n) （3） 其中?1,?,?i,?,?n是P(AB)P的特征值． 在（1）的兩端左乘Q，右乘Q有 TTTTQT(PTAP)Q?E即(QTPTA)(PQ)?E TT這說明(QPA)與(PQ)互逆，也就是說 (QTPTA)?(PQ)?1 將上式代入（3），說明矩陣B與對角陣D相似，故它們的特征值相等；由條件知B的特征值全大于零，因此對角陣D的特征值也全大于零． 由（2）知AB與D合同，因此AB的特征值全大于零． ·133· T 33．設(shè)A,B為n階實正定陣，證明：存在可逆陣P，使PAP?E且PTBP?diag(?1,?2,?,?n)，其中?1??2????n?0為|?A?B|?0的n個實根.證：因A正定，故存在可逆矩陣P1，使 TP1AP1?E 因B正定，故存在可逆矩陣P2，使 B?P2TP2 于是 TTTTP1BP1?P1P2P2P1?(P2P1)(P2P1) 易見P1BP1為正定矩陣，不妨設(shè)它的特征值為 T?1??2????n?0.TTTT則 |?E?PBP|?|?PAP?PBP|?|P|111111|?A?B||P1| T故 |?E?P1BP1|?0?|?A?B|?0 即 ?1??2????n?0為|?A?B|?0的幾個實根.由 P1BP1為正定陣，知其為實對稱矩陣，所以存在正交矩陣Q，使 TQT(P1BP1)Q?diag(?1,?2,?,?n)T 令 P?P，則 1Q PTAP?E,PTBP?diag(?1,?2,?,?n) 34．設(shè)A為n階實正定陣，B為n階實半正定陣，則|A?B|?|A|.證：因為A是n階正定矩陣，所以存在n階可逆矩陣C，使得 CTAC?E.T 因為B是n階半正定陣，則CBC仍是實對稱半正定陣，故存在正交陣Q，使得 Q?1(CTBC)Q?QT(CTBC)Q?D?diag(?1,?,?i,?,?n) 其中 ?i?0,i?1,?n,為CTBC的特征值，且有 QT(CTAC)Q?E 令P?CQ，則P為可逆矩陣，于是 PTAP?E,PTBP?D PT(A?B)P?PTAP?PTBP?E?D 上式兩端取行列式，得 |P||A?B||P|?|E?D|??(1??i)?1?|PT||A||P| Ti?1n因 |P|?|P|?0，故 |A?B|?|A|.35．設(shè)A,B均為實正定陣，證明：方程|?A?B|?0的根全大于0.證：由33題知|?E?P1BP1|?0?|?A?B|?0.其中P1BP1為正交矩陣，它的特征值?i?0，i?1,?,n，故|?A?B|?0的根全大于0.· ·134TTT 36．設(shè)A為n階正定矩陣，試證：存在正定矩陣B，使A?B． 證：因為A是正定矩陣，所以是實對稱矩陣，于是存在正交矩陣P，使 2??1???2?P-1AP?PTAP?D??? ?????n???其中?1,?2,?,?n 令?i?為A的n個特征值，它們?nèi)笥诹悖?/p> ?i(i?1,2,?,n), 則 2???1??1???1???1?2?????2?????2??22??D????????? ??????????????????2??????n??n?n??n?????1???1???????22T???PT 而 A?PDP?P?????????????n??n????1???1???????22?PTP??PT ?P?????????????n?n?????1???2?T 令 B=P??P ??????n??2顯然B為正定矩陣，且A?B． 37．設(shè)A為n階可逆實方陣，證明：A可表示為一個正定陣與一正交陣的乘積． T 證：因為A是n階可逆實方陣，故AA是正定矩陣，所以存在n階正定矩陣B，使 ATA?B2.于是有 (AB?1)T(AB?1)?(B?1)TATAB?1?(B?1)TB2B?1?E 這說明AB是正交陣.令 AB?Q 則 A?QB，其中Q是正交矩陣，B是正定矩陣.38．A、B 為n階正定矩陣，則AB也為n階正定矩陣的充分必要條件是： AB=BA，即A與B可交換． ·135· ?1?1證：方法一 先證必要性． 由于A、B、AB都是正定矩陣，所以知它們都是對稱矩陣，因此有 AT?A,BT?B,(AB)T?AB 于是 AB?(AB)T?BTAT?BA 即A與B可交換． 再證充分性． 由條件AB=BA得 (AB)T?(BA)T?ATBT?AB 因此AB是對稱矩陣． 因為A,B是正定矩陣，故它們皆為實對稱矩陣，且有可逆矩陣P、Q，使 A?PTP,B?QTQ 于是 AB?PTPQTQ 上式左乘Q，右乘Q?1得 Q(AB)Q?1?QPTPQT?(PQT)T(PQT) 這說明AB與對稱矩陣(PQT)T(PQT)相似；因為PQT是可逆矩陣，故矩陣(PQT)T(PQT)是正定矩陣，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零． 綜合上述知AB正定． 方法二 必要性同方法一，以下證明充分性． 由條件AB=BA得 (AB)T?(BA)T?ATBT?AB 因此AB是對稱矩陣． 由于A正定，所以存在可逆矩陣Q，使 A=QQ 于是 TTTT? ?E?AB??E?QQB??E?QQBQ(Q) T ??QTE(QT)?1?QT(QBQT)(QT)?1?QT?E?QBQT(QT)?1??E?QBQTT ?E?AB?0??E?QBQT?0 這說明AB與QBQ有相同的特征值． 因為B是正定矩陣，易見QBQ也是正定矩陣，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零． · ·136 T綜合上述知AB正定． 39．設(shè)A、B為實對稱矩陣，且A為正定矩陣，證明：AB的特征值全是實數(shù)． 證：因為A是正定矩陣，故存在可逆矩陣Q，使A?QTQ，于是有 ?E?AB??E?QTQB??E?QT(QBQT)(QT)?1?Q?E?QBQ(Q)即|?E?AB|?0?|?E?QBQT|?0.TTTT?1??E?QBQT 因為B是實對稱矩陣，所以QBQ也是實對稱矩陣，因此它的特征值都是實數(shù)，故AB的特征值也都是實數(shù)． 40．設(shè)A是正定矩陣，B是實反對稱矩陣，則AB的特征值的實部為零． 證：因為A是正定矩陣，故存在可逆矩陣Q，使A?QTQ ?E?AB??E?QTQB??E?QT(QBQT)(QT)?1?Q?E?QBQ(Q)AB的特征值實部也為零． TTT?1??E?QBQT 因為B是實反對稱矩陣，所以QBQT也是實反對稱矩陣，因此它的特征值實部為零，故 41．設(shè)A是正定矩陣，B是半正定的實對稱矩陣，則AB的特征值是非負(fù)的實數(shù)． 證：由于A是正定的，所以A也是正定的，于是存在可逆矩陣P，使得A因此 ?1?1?PTP，?E?AB?A?A?1?B?A?PTP?B?APT?E?(PT)?1BP?1P ?APTP?E?(PT)?1BP?1?AA?1?E?(PT)?1BP?1??E?(PT)?1BP?1??E?(P?1)TBP?1 ?1T?1即?E?AB?0??E?(P)BP?0.由于B是半正定的實對稱矩陣，故(P)BP?1T?1是半正定的實對稱矩陣，因此?E?(P?1)TBP?1?0的根是非負(fù)實數(shù)．于是?E?AB?0的根也是非負(fù)實數(shù)，即AB的特征值是非負(fù)的實數(shù)． 42．求證實二次型f(x1,?,xn)? 證：二次型的矩陣為 ??(krs?r?s)xx的秩和符號差與k無關(guān)． rsr?1s?1nn2k?33k?4?k?2?2k?34k?46k?5?6k?59k?6A??3k?4?????nk?(n?1)2nk?(n?2)3nk?(n?3)? ?nk?(n?1)??2nk?(n?2)??3nk?(n?3)? ???2?nk?2n??·137· 對矩陣A作合同變換，即把A的第1行的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n行上；同時把A的第1列的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n列上，得到與矩陣A合同的矩陣B為 ?2??(n?1)?0?0?0?0? ????0?0??k?2,?2,??(n?1)倍依次加到第1，3，對矩陣B作合同變換，即把B的第2行的2k?2,?2,??(n?1)倍依次加到第1，3，4，…，n4，…，n行上；同時把B的第2列的2列上，得到與矩陣B合同的矩陣C為 ?k?2??1B???2?????(n?1)??100?0?0??1C??0????0??100?0000?0?0??0??0? ????0??由合同變換的傳遞性，故A與C合同，于是原二次型可經(jīng)可逆線性變換化簡成 f(x1,?,xn)??2y1y2 ?y1?z1?z2?再作可逆線性變換 ?y2?z1?z2?y?zi?i于是二次型f化成規(guī)范形 (i?3,?,n)2 f(x1,?,xn)??2z12?2z 2顯然二次型f(x1,?,xn)的秩為2，符號差為0，它們的值均與k無關(guān)． 43．設(shè)二次型f?a時，二次型f正定． 證：二次型 f的矩陣A的各階順序主子式的值與它的階數(shù)n的奇偶性有關(guān)： （1）當(dāng)n=2m+1時，二次型f的矩陣為 ?xi?1n2i?bi?n?i?1?xxinn?i?1，其中a、b為實數(shù)，問a、b滿足什么條件 b??a??????ab??A??a? ba???????ba??? · ·138它的各階順序主子式為 a,?,am?1,am(a2?b2),am?1(a2?b2)2,?,a(a2?b2)m （2）當(dāng)n=2m時，二次型f的矩陣為 b??a??????ab? A??ba???????ba???它的各階順序主子式為 a,?,am,am?1(a2?b2),am?2(a2?b2)2,?,(a2?b2)m 綜合（1），（2）可知：當(dāng)a?0且a2?b2時，二次型f是正定的． 44．設(shè)A為n階實對稱矩陣，r(A)=n,Aij是A?(aij)n?n中元素aij的代數(shù)余子式 nnAijxixj(i,j?1,2,?,n)，二次型f(x1,x2,?,xn)???i?1j?1A?1 （1）記X?(x1,x2,?,xn)T，把f(x1,x2,?,xn)寫成矩陣形式，并證明二次型f（X）的矩陣為A． （2）二次型g(X)?XAX與f(X)的規(guī)范形是否相同？說明理由． 證：方法一 （1）因為A是實對稱矩陣，故AijT?Aji．由r(A)=n, 故A可逆，且 A?1?1*A A二次型f(x1,x2,?,xn)的矩陣形式為 ?A11A21?An1??x1?1?AA?An2??x2?f(X)?(x1,x2,?,xn)?1222???? ???A???AA?A????x?nn??n??1n2n?1?1?1TT?1?1從而(A)?(A)?A.故A也是實對稱矩陣，因此二次型f(X)的矩陣為A． ?1?1T?1T?1?1 （2）因為(A)AA?(A)E?A，所以A與A合同，于是二次型g(X)?XTAX與f(X)有相同的規(guī)范形． 方法二 （1）同證法１ （2）對二次型g(X)?XAX作可逆線性變換，X?AY, 其中 T?1Y?(y1,y2,?,yn)T,則 T?1T?1T?1?1TT?1?1 g(X)?XAX?(AY)A(AY)=Y(A)AAY=Y(A)AAY=YAY T?1由此可知A與A合同，二次型g(X)?XAX與f(X)有相同的規(guī)范形． ·139· ?1T 45．試說明二次型 f(x1,x2,x3)?(x1?x2?x3)2?[ax1?(a?d1)x2?(a?2d1)x3]2 +n?[(a?d)xii?22 ?(a?2d)x?(a?3d)x]1i2i3當(dāng)d1?0時，無論n為何值，f(x1,x2,x3)的秩均為2． 解：f?XT(ATA)X，其中 ?1??aA??a?d2????a?dn?1a?d1a?2d2?a?2dn1??a?2d1?a?3d2? ???a?3dn???111??0d12d1?行對矩陣A作行的初等變換，可得A????000?.????????000??? 所以當(dāng)d1?0時，A的秩為2，這與n的取值無關(guān)，因此二次型f的秩為2． 46．已知A是n階正定矩陣，令二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX?xn的矩陣為B，求證：（1）B是正定矩陣；（2）B?A． 證：（1）設(shè) ?a11?aA??21????an1?a11?a21則 B?????a?n1a12?a1n??a22?a2n?，aij?aji ????an2?ann?a12?a1n?a22?a2n?? ???an2?ann?1?? 顯然B為實對稱矩陣，且B與A的前n-1階順序主子式完全相同，由于A是正定矩陣，故它的各階順序主子式全大于零，因此B的前n-1階順序主子式也全大于零． 現(xiàn)考慮B的第n階順序主子式即它的行列式，有 a11a B?21?an1可見B是正定矩陣． · ·140a12?a1na11?a1n?1a22?a2n??+ an?11?an?1n?1??an2?annan1?ann?10?=A?An?1?0 （*）01 （2）由（*）即知B?A． 47．設(shè)n元實二次型f?XTAX，?1,?2,?,?n 是A的特征值，且?1??2????n． 證明：對于任一實維列向量X有?1XTX?XTAX??nXTX.證：設(shè)?1,?2,?,?n是f的特征值，則存在正交變換X=PY，使 f?XTAX?YT(PTAP)Y??1y12??2y2????nyn 由已知條件?1??2????n，有 ?1YTY?f?XTAX??nYTY （1） 又因為P是正交矩陣，于是有 XTX?YTPTPY?YTY 將此結(jié)果代入（1）即為 ?1XTX?XTAX??nXTX 48．證明：若二次型??ai?1i?1nnijxixj?XTAX是正定二次型，則 a11a21f(y1,y2,?,yn)??an1y1是負(fù)定二次型． a12a22?an2y2?a1n?a2n??ann?yny1y2? yn0 證：因為f 是正定二次型，故它的表示矩陣A是正定矩陣，因此A是可逆矩陣，作可逆線性變換Y=AZ．對上述行列式的列作消法變換，將第j列的-zj(j?1,2,?,n)倍加入第n+1列，其中Z?(z1,z2,?,zn)T,則 a11a21 f(y1,y2,?,yn)??an1y1a12a22?an2y2?a1n?a2n??ann?yny1a11y2a21???ynan10y1a12a22?an2y2?a1n0?a2n0 ???ann0?yn?(y1z1?y2z2??ynzn)TTTT ??A(y1z1?y2z2??ynzn)=?AYZ=?AZAZ=?AZAZ 因為A是正定矩陣，所以?A<0，可見f(y1,y2,?,yn)是負(fù)定二次型． 49．設(shè)A是正定矩陣，則 （1）A?annAn?1，其中An?1是A的n-1階順序主子式； （2）A?a11a22?ann． 解：（1）因為A是正定矩陣，故 ·141· ?a11a12?a1n?1??a21a22?a2n?1?An?1??? ??????a?a?an?1n?1??n?11n?12也是正定矩陣，于是由48題知 a11?a1n?1y1??? fn?1(y1,y2,?,yn?1)= an?11?an?1n?1yn?1y1?yn?10是負(fù)定二次型，因此由行列式的加法運算有 a11?a1n?1a1na11?a1n?1?????A??an?11?an?1n?1an?1nan?11?an?1n?1an1?ann?10an1?ann?1其中An?1為A的順序主子式． ?0??fn?1(a1n,a2n,?,an?1n)?annAn?1 0ann當(dāng)a1n,a2n,?,an?1n中至少有一個不為零時，fn?1(a1n,a2n,?,an?1n)<0 A 50．設(shè)P?(pij)n?n是n階可逆矩陣，求證：P222??(p12j?p2j???pnj).j?1n?p11p21?pn??1p???pp?p1222n2p?? 證：PTP????????????pp?p2nnn??pn?1nTpp21?1pn11?pn???pn?22????p2nn?12?n2??pi1?i?11??2?????*???pi?1n2i?*???2? ????n2?pin??i?1? 因為P是可逆矩陣，故PP是正定矩陣，由49題的結(jié)論（2），有 22PP??(?p)??(p12j?p2j???pnj)T2ijj?1i?1j?12nnn顯然 PP?P，所以有PT222??(p12j?p2j???pnj).j?1n · ·142第三篇：二次函數(shù)
第四篇：二次函數(shù)
第五篇：線性代數(shù)二次型習(xí)題及答案
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