第一篇：數(shù)學(xué)建模 雨中行走問題

數(shù) 學(xué) 模 型 論 文

學(xué)校：班級：姓名：學(xué)號：

雨中行走問題

摘要

當(dāng)我們在雨中冒雨行走時總會下意思的加快速度，似乎跑得越快淋雨量就會越小。但事實上會是這種情況嗎？在這里，我們將給予綜合性的考慮，來解釋不同情況下的淋雨量。

在不考慮風(fēng)向的情況下，若人的全身都受到雨淋，理所當(dāng)然人跑的越快所淋的雨就會越少。那么模型也可算出淋雨量。

當(dāng)雨線從正面和人的跑步方向在同一平面時，并且考慮風(fēng)向的影響，雨線方向和豎直方向成?角。因為迎著雨的方向跑，所以全身都會淋到雨，由于有夾角，可以將雨分成豎直方向和水平方向兩部分。便可根據(jù)題的要求解出模型。

當(dāng)雨線從后面和人的跑步方向在同一平面時，并且考慮風(fēng)向的影響，雨線方向和豎直方向成?角。因為背著雨的方向跑，所以全身不一定都會淋到雨?？煞謳追N情況分別來說。

關(guān)鍵詞

人速；雨速；風(fēng)向；夾角

1.問題的重述

當(dāng)人們在雨中行走時，是不是走的越快就會淋越少的雨呢？對于這個問題，建立合理的數(shù)學(xué)模型。討論一下，在不考慮風(fēng)向時，人的淋雨量為多少；進而進一步討論一下，在考慮雨線方向與人的跑步方向在同一平面內(nèi)成不同角度時的淋雨量。

2.問題的分析

當(dāng)人在雨中行走時，是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案當(dāng)然不是。人在雨中所淋到的雨量和風(fēng)向有關(guān)，因為風(fēng)向的不同會導(dǎo)致雨線和人成不同的角度。從而使人所淋到的雨量有所不同。

3.模型的假設(shè)與符號說明

3.1模型的假設(shè)

（1）把人體視為長方體，身高h米，身寬w米，身厚d米，淋雨總量C升。（2）把降雨強度視為常量，記為：I（cmh）。（3）風(fēng)速保持不變。

（4）以定速度v(ms)跑完全程D。

3.2符號說明

h

人體的身高

（m）

w

人體的寬度

(m)d

人體的厚度

(m)D

人跑步的全程

(m)v

人跑步的速度

(m/s)i

降雨強度

(cm/h)c

人在跑步中的淋雨總量

(L)s

人在雨中會被雨淋的面積

(㎡)t

人在雨中跑步的時間

(s)v

雨滴下落速度

(m/s)?

雨滴反方向與人速度方向的夾角

?

雨滴密度

4.模型的建立與求解

（1）不考慮雨的方向，此種情況，人的前后左右都會淋雨。淋雨面積：S?2wh?2dh?wd（m）

行走世間：t?Dv(s)

I3.6*10(L)

5降雨強度：I(cmh)?0.01I(mh)?ISt3.6*10DIS360v(ms)

淋雨量：C?()?5m3結(jié)論：在此種情況下，跑步全程長度、降雨強度、淋雨面積都是定參數(shù)，只有跑步速度是變量?？芍?，淋雨量與速度成反比。驗證了快跑能減少淋雨量。

但我們也可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們?nèi)?shù)D?1000m，I?2cmh，w?0.5m，h?1.8m，d?0.2m，v?6ms時，可求得：S?2.62m，C?2.6L。也就是說

2在不到三分鐘時間內(nèi)淋雨量就很大了，不太符合實際情況。

結(jié)論：用這種模型來描述淋雨量問題不符合實際，原因是模型太簡單，沒有考慮降雨方向，使得模型太粗超。

（2）考慮降雨方向，可知，I?r?

此種情況，淋雨的部位只有頭頂和前面。

頭頂?shù)牧苡炅浚篊1?前面淋雨量：C2?Dwd?rsin?vDwh(?(rcos??v)v

v?6淋雨總量：C?C1?C2??wD(drsin??h(rcos??v)

取參數(shù)r?4ms,I?3600*2cms,??1.39*10

計算上式得：C?6.95*10(0.8sin??6cos??1.5v)v?4

可以看出：淋雨量與降雨的方向和跑步的速度有關(guān)。這樣我們就可以把問 題轉(zhuǎn)化成給定角度求淋雨量最小的問題。

???2時

? C?6.9510*43?3(?1.5(v)結(jié)論：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時淋雨量最小。若速度為6ms。則計算可得：

C?1.13L

???3時

?4

C?6.9510*43?3(?1.5v)結(jié)論：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時淋雨量最小。若速度為6ms。則計算可得：

C?1.47L ?2????時

雨滴將從身后落下。

C?6.95*10[(?40.8sin??6cos?v)?1.5]

令?????2，則0????2。計算得：

?4

C?6.95*10(0.8cos??6sin?v?1.5)

此種情況中，淋雨量有可能為負(fù)值，這是不可能的，產(chǎn)生的原因是我們認(rèn)為雨是從前面落到身上的。這種情況另行討論。

當(dāng)跑的速度小于雨滴的水平運動速度，即v?rsin?時，雨滴將會從后面淋在身上?？捎嬎愕茫?/p>

C?Dw?(drcos??h(rsin??v)vDwd?rcos?rsin??4

當(dāng)v?sin?時，C取最小值。

C?

代入數(shù)據(jù)得

C?6.95*10cos?5sin?

結(jié)論：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕。

若雨滴是以2?3的角度落下，即雨滴以

?6的角從背后落下，應(yīng)該以 4 v?4sin?6?2ms 的速度行走，此時，淋雨量為 ：

這意味著你剛好跟著雨滴前進，前后都沒淋雨。

當(dāng)行走速度快與雨滴的水平運動速度，即v?rsin?你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕 你的前胸。被淋得雨量是：

C?Dw?r(dcos??rsin?v?hr)C?0.24L

當(dāng)dcos??rsin??0,v盡可能大，C 才會最小。當(dāng)dcos??rsin??0,v盡可能小，C才會最小。當(dāng)v?rsin?,v接近rsin?，C才可能最小。現(xiàn)取v?6ms，??

5.模型的評價

經(jīng)過解題可知： 對于問題一的模型，由于不考慮風(fēng)向所帶來的影響，求得的結(jié)果是非常大的。不符合現(xiàn)實中的實際情況。

對于問題二的模型，在考慮風(fēng)向所帶來的影響時，求得的結(jié)果迅速減小。并且想淋到最少的雨，就應(yīng)該盡量跑得快些，因為淋雨量和人跑的速度為減函數(shù)關(guān)系。

對于問題三的模型，當(dāng)雨從后面下來時，人淋雨量的多少和雨的水平分量有關(guān)。隨著人跑步速度的改變淋雨量將發(fā)生不同的變化。

模型的優(yōu)點：（1）模型可以準(zhǔn)確的根據(jù)已知數(shù)據(jù)求解出淋浴量的多少。

（2）模型簡單明了，易于理解。模型的缺點：（1）由于假設(shè)雨速和人跑步的速度一直不變，可能造成一些誤差。?6時，C?0.77L

參考文獻

【1】 姜啟源、謝金星、葉俊

數(shù)學(xué)模型（第三版）

高等教育出版社

【2】 姜啟源、謝金星、葉俊

數(shù)學(xué)模型習(xí)題參考答案

高等教育出版社

第二篇：數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模之雨中行走問題模型

數(shù)學(xué)建模

雨

中

行

走

模 型

系別：

班級：

姓名：

學(xué)號：

正文：

數(shù)學(xué)建模之雨中行走問題模型

摘要：

考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。若雨是迎著你前進的方向向你落下，這時的策略很簡單，應(yīng)以最大的速度向前跑；

若雨是從你的背后落下，你應(yīng)控制你在雨中的行走速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量。① 當(dāng)v?rsin?時,淋在背上的雨量為

.?pwD?rhsin??vh?v,雨水總量C?pwD?drcos??h?rsin??v??v② 當(dāng)v?rsin?時,此時C2?0.雨水總量CpwDdrvcos?,如??300,C?0.24升

這表明人體僅僅被頭頂部位的雨水淋濕.實際上這意味著人體剛好跟著雨滴向前走,身體前后將不被淋雨.③ 當(dāng)v?rsin?時,即人體行走的快于雨滴的水平運動速度rsin?.此時將不斷地趕上

?pwDh?v?rsin?雨滴.雨水將淋胸前（身后沒有）,胸前淋雨量C2關(guān)鍵詞：

?v

淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠近，行走的速度

1.問題的重述

人們外出行走,途中遇雨,未帶雨傘勢必淋雨,自然就會想到,走多快才會少淋雨呢？一個簡單的情形是只考慮人在雨中沿直線從一處向另一處進行時,雨的速度（大小和方向）已知,問行人走的速度多大才能使淋雨量最少？

2.問題的分析.由于沒帶傘而淋雨的情況時時都有，這時候大多人都選擇跑，一個似乎很簡單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。，一、我們先不考慮雨的方向，設(shè)定雨淋遍全身，以 最大速度跑的話，估計總的淋雨量；

二、再考慮雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為?，如圖1，建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a,b,c,d,u,w,?之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少，計算?=0，?=90時的總淋雨量；

0 2

三、再是雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為?，如圖2.，建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a , b , c, d , u , w , ? 之間的關(guān)系，問速度多大，總淋雨量最少；

四、以總淋雨量為縱軸，對

（三）作圖，并解釋結(jié)果的實際意義；

五、若雨線方向不在同一平面內(nèi)，模型會有什么變化；按照這五個步驟，我們可以進行研究了。

3.模型的假設(shè)與符號說明

2.1模型的假設(shè)

1.設(shè)雨滴下落的速度為u（米/秒）,降水強度（單位時間平面上的降水厚度）為w（厘米/時）,且u,w為常量.2.設(shè)雨中行走的速度為v（米/秒）,（固定不變）.雨中行走的距離為d（米）.3.設(shè)降雨的角度（雨滴下落的反方向與人前進的方向之間的夾角）為? 4.視人體為一個長方體,其身高為a（米）,身寬為b（米）,厚度為c（米）

3.2符號說明

a:代表人頸部以下的高度 b:人身體的寬度 c:人身體的厚度 d:起跑點到終點的距離 vm:跑步的最大速度

u:雨的速度

wv:降雨量 :跑步速度

:雨線方向與人體夾角 ?S:人的全身面積

t= d/vm:雨中行走的時間

4.模型的建立與求解

（1）不考慮雨的方向

首先討論最簡單的情形，即不考慮降雨角度的影響。雨將淋遍全身，淋雨的面積s=2ab+2ac+bc=2.2m，淋雨的時間t=d/vm=200s, 降雨量w=2cm/h=10?42/18(m/s), 所以總的淋雨量Q=stw?2.4L。

（2）雨從迎面吹來

雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的角度為。如圖1。建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，w，之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少。計算? =0，? =30時的總降雨量。

雨滴落下的速度為u=4m/s，降雨量w=2cm/h。因為考慮了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前部。分兩部分計算淋雨量.頂部的淋雨量Q1= bcdw cos ?/v；雨速水平分量usin ?，風(fēng)向與v相反。合速度usin ?+v，迎面單位時間、單位面積的淋雨量w（usin ?+v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin ?+v）/uv，所以總淋雨量

bdwcucos??a(usin??v)Q?Q1?Q2?? uvv=vm時Q最小。??0時，Q=1.2L；?=30，Q?1.6L。

0 4

(3)考慮降雨方向的模型（雨從背面吹來）

雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為a，如圖2。建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，w，之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少。

計算 =30的總淋雨量。

雨滴落下的速度為u=4m/s，降雨量w=2cm/h，因為考慮了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和背部。分兩部分計算淋雨量。

頂部的淋雨量Q1=bcdw cos ?/v；雨速水平分量usin ?，風(fēng)向與v相反。合速度usina?v，迎面單位時間、單位面積的淋雨量w（usin ?-v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin ?-v）/uv，所以總淋雨量：

?bdwcucosa?(usina?v)bdwu(cosa?asina)?av???,v?usina??uvuvQ???bdw?cucosa?(v?usina)?bdw?u(cosa?asina)?av,v?usina?vuv?u若ccosa0m

?asina???即tana>c/a，則v=usina時Q最小，否則，v=v時Q最小，當(dāng)a?30，tana>0.2/1.5，v=2m/s，Q?0.24L最小，可與v=vm，Q?0.93L相比。

(4)以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對三作圖（考慮 a的影響），并解釋結(jié)果的實際意義

雨從背面吹來，只要 不太小，滿足tana>c/a（a=1.5m、c=0.2m時，> 即可），v=usina，Q 最小，此時人體背面不淋雨，只有頂部淋雨。

(5)若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會有什么變化

再用一個角度表示雨的方向，應(yīng)計算側(cè)面的淋雨量，問題本質(zhì)上沒有變化。

5.模型的評價

（1）在不考慮風(fēng)向情況下：

此時，你的前后左右和上方都將淋雨。人在行走中的淋雨量最大的大約為2.44升。結(jié)論表明:淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時淋雨量達到最?。?）在考慮風(fēng)向及雨量的情況下: 當(dāng)v=usinθ時，Q取到最小.表明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。

當(dāng)v﹥usinθ，你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的胸膛。

6.模型的結(jié)果分析

綜合上面的分析，我們得到的結(jié)論是：

1．如果雨是迎著你前進的方向落下，這時的最優(yōu)行走策略是以盡可能大的速度向前跑。

2．如果雨是從你的背后落下，這時你應(yīng)該控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。

根據(jù)一般常識，我們所得到的結(jié)果是合理的且與我們的日常生活經(jīng)驗是一致的。運用簡單的數(shù)學(xué)工具，我們對日常生活中司空見慣的問題給予了定量的分析。但同時必須指出的是，這里建立的簡單數(shù)學(xué)模型與雨中行走的實際過程尚有距離，因為在建立數(shù)學(xué)模型的過程中我們忽略了一些相對次要的因素。關(guān)于模型的檢驗，請大家觀察、體會并驗證。雨中行走問題的建模過程又一次使我們看到模型假設(shè)的重要性，模型的階段適應(yīng)性。

參考文獻

[1] 姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008.

第三篇：投資問題數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)模型第一次討論作業(yè)

問題：

某部門現(xiàn)有資金10萬元，五年內(nèi)有以下投資

項目供選擇：

項目A：從第一年到第四年每年初投資，次年末收回本金且獲利15%；

項目B：第三年初投資，第五年末收回本金且獲利25%，最大投資額為4萬元；

項目C：第二年初投資，第五年末收回本金且獲利40%，最大投資額為3萬元；

項目D：每年初投資，年末收回本金且獲利6%；

問如何確定投資策略使第五年末本息總額最大？

問題分析：

用表示第i年對第j個項目的投資金額

要使第五年年末本息總額最大，應(yīng)當(dāng)在每年將所有可用資金都用于投資，以確保資金的充分利用，由于項目投資均發(fā)生在年初，故以下只討論年初的投資情況：

第一年：

第二年：手上資金（即第一年年末收回資金）為，全部用來對可投資項目投資，則有=

第三年：同理，有=

第四年：=

第五年：=

第五年年末本息和為（即第五年所能收回的所有資金）

建立模型：

=

=

=

=，求解模型：

Lingo解法：

可編寫lingo程序如下：

model:

max=1.06*x54+1.15*x41+1.25*x32+1.4*x23;!目標(biāo)函數(shù);

x11+x14=10;!以下約束條件表示每年資金全部用于投資;

1.06*x14=x21+x23+x24;

1.15*x11+1.06*x24=x31+x32+x34;

1.15*x21+1.06*x34=x41+x44;

1.15*x31+1.06*x44=x54;

x23<=3;!限制B,C項目的最大投資額;

x32<=4;

end

運行結(jié)果如下：

Global

optimal

solution

found.Objective

value:

14.37500

Infeasibilities:

0.000000

Total

solver

iterations:

Variable

Value

Reduced

Cost

X54

0.000000

0.000000

X41

4.500000

0.000000

X32

4.000000

0.000000

X23

3.000000

0.000000

X11

7.169811

0.000000

X14

2.830189

0.000000

X21

0.000000

0.000000

X24

0.000000

0.3036000E-01

X31

0.000000

0.000000

X34

4.245283

0.000000

X44

0.000000

0.2640000E-01

Row

Slack

or

Surplus

Dual

Price

14.37500

1.000000

0.000000

1.401850

0.000000

-1.322500

0.000000

-1.219000

0.000000

-1.150000

0.000000

-1.060000

0.000000

0.7750000E-01

0.000000

0.3100000E-01

所得最優(yōu)值為14.375萬元，對應(yīng)的最優(yōu)解為:

x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值為0

即第一年對A項目投資7.169811萬元，對D項目投資2.830189萬元；第二年對C項目投資3萬元；第三年對B項目投資4萬元，對D項目投資4.245283萬元；第四年對A項目投資4.5萬元。

Lindo解法：

可編寫lindo程序如下：

max

1.06x54+1.15x41+1.25x32+1.4x23

st

x11+x14=10

1.06x14-x21-x23-x24=0

1.15x11+1.06x24-x31-x32-x34=0

1.15x21+1.06x34-x41-x44=0

1.15x31+1.06x44-x54=0

x23<=3

x32<=4

輸出結(jié)果如下：

LP

OPTIMUM

FOUND

AT

STEP

OBJECTIVE

FUNCTION

VALUE

1)

14.37500

VARIABLE

VALUE

REDUCED

COST

X54

0.000000

0.000000

X41

4.500000

0.000000

X32

4.000000

0.000000

X23

3.000000

0.000000

X11

7.169811

0.000000

X14

2.830189

0.000000

X21

0.000000

0.000000

X24

0.000000

0.030360

X31

0.000000

0.000000

X34

4.245283

0.000000

X44

0.000000

0.026400

ROW

SLACK

OR

SURPLUS

DUAL

PRICES

2)

0.000000

1.401850

3)

0.000000

-1.322500

4)

0.000000

-1.219000

5)

0.000000

-1.150000

6)

0.000000

-1.060000

7)

0.000000

0.077500

8)

0.000000

0.031000

NO.ITERATIONS=

所得最優(yōu)值為14.375萬元，對應(yīng)的最優(yōu)解為:

x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值為0

即第一年對A項目投資7.169811萬元，對D項目投資2.830189萬元；第二年對C項目投資3萬元；第三年對B項目投資4萬元，對D項目投資4.245283萬元；第四年對A項目投資4.5萬元。

Matlab解法：

Way1可編寫matlab程序如下：

f=[0

0

0

0

0

0

1.4

0

0

1.25

0

0

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06];

Aeq=[1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

1.06

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0

0

0

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06

0

0

0

-1];

beq=[10;0;0;0;0];

A=[0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0];

b=[3;4];

lb=zeros(20,1);

[x,fval]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,[])

運行結(jié)果如下：

Optimization

terminated.x

=

6.5508

0

0

3.4492

0.6561

0

3.0000

0.0000

2.0066

4.0000

0

1.5268

2.3730

0

0

0.0000

0

0

0

2.3076

fval

=

-14.3750

所得最優(yōu)值為14.375萬元，對應(yīng)的最優(yōu)解為:x11=6.5508,x14=3.4492,x21=0.6561,x23=3,x31=2.0066,x32=4,x34=1.5268,x41=2.3730,x54=2.3076,其余值為0。

Way2可編寫matlab程序如下：

f=[0?0?0?0?0?0-1.4?0?0-1.25?0?0-1.15?0?0?0?0?0?0-1.06];

A=[];

b=[];

Aeq=[1?0?0?1?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0;...0?0?0?1.06-1?0-1-1?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0;...1.15?0?0?0?0?0?0?1.06-1-1?0-1?0?0?0?0?0?0?0?0;...0?0?0?0?1.15?0?0?0?0?0?0?1.06-1?0?0-1?0?0?0?0;...0?0?0?0?0?0?0?0?1.15?0?0?0?0?0?0?1.06?0?0?0-1];

beq=[10;0;0;0;0];

lb=[0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0?0];

ub=[inf?inf?inf?inf?inf?inf?3?inf?inf?4?inf?inf?inf?inf?inf?inf?inf?inf?inf?inf];

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

運行結(jié)果如下：

Optimization?terminated.x?=

6.5113

0

0

3.4887

0.6980

0

3.0000

0.0000

2.0003

4.0000

0

1.4877

2.3797

0

0

0.0000

0

0

0

2.3004

fval?=

-14.3750

所得最優(yōu)值為14.375萬元，對應(yīng)的最優(yōu)解為:x11=6.5113,x14=3.4887,x21=0.6980,x23=3,x31=2.0003,x32=4,x34=1.4877,x41=2.3797,x54=2.3004,其余值為0。

討論：利用matlab，lingo及l(fā)indo程序分別求解上述模型后，發(fā)現(xiàn)取到相同最優(yōu)值情況下，matlab的最優(yōu)解不同于lingo和lindo，該問題可能存在多個最優(yōu)解？

經(jīng)嘗試已排除變量設(shè)置數(shù)量差異，軟件版本差異及計算機系統(tǒng)差異的原因，可能是軟件求解原理或近似導(dǎo)致，或者該問題本身最優(yōu)解不唯一。

第四篇：數(shù)學(xué)建模摘要及問題

2008年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

承諾書

我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則． 我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究，討論與賽題有關(guān)的問題。

我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。

我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的工正，公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。

我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員（打印并簽名）：1．

2．3．

指導(dǎo)教師或指導(dǎo)老師負(fù)責(zé)人（打印并簽名）：

日期：年 月 日

賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編

學(xué)科評估模型

摘要

學(xué)科間水平的評價對于學(xué)科的發(fā)展有著重要的作用，在遵循學(xué)科評價的客觀性，發(fā)展性，服務(wù)性等原則的基礎(chǔ)上，運用建模題目歲提供的數(shù)據(jù)，本文建立兩種不同的評價模型對學(xué)科進行評價。模型一首先運用層次分析法確定影響學(xué)科發(fā)展的重要因素，建立指標(biāo)評價體系，然后采用理想解法來建立學(xué)科評價模型；模型二與模型一樣也是運用層次分析法建立指標(biāo)體系，然后運用專家分析法進行調(diào)查，對調(diào)查結(jié)果取眾數(shù)，得到了關(guān)于學(xué)科評價指標(biāo)體系各層次指標(biāo)的判斷矩陣，在運用MATLAB求判斷矩陣特值，檢驗判斷矩陣的一致性，最終求出各指標(biāo)的有效權(quán)重系數(shù)，用各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)乘以各指標(biāo)的得分，以求出學(xué)科的綜合得分，得分越高，說明排在前面的指標(biāo)越多，在一定程度上就是說，該學(xué)科綜合實力和發(fā)展水平相對其他學(xué)科靠前。最后，為防止有些學(xué)科指標(biāo)得分很高，另一部分得分很低，但綜合得分任然靠前，而掩飾了學(xué)科發(fā)展的不穩(wěn)定，不均衡的病態(tài)現(xiàn)象 因此，再進一步對最低級指標(biāo)計算法案差，以檢測學(xué)科發(fā)展的穩(wěn)定性和均衡性，從而指導(dǎo)學(xué)科的正確發(fā)展。

通過運用以上方法，不僅可以分出各學(xué)科的建設(shè)水平高低，學(xué)科本身也可看出自己發(fā)展的優(yōu)勢與劣勢，從而，給學(xué)科的發(fā)展指明了方向。

本題所提供的數(shù)據(jù)是來自科研與教學(xué)并重型高效，因此，我們在此基礎(chǔ)上還假設(shè)了數(shù)據(jù)是來自科研型或教學(xué)型的高校，又該如何改進模型以適合不同類型的高校學(xué)科特點而給出了相應(yīng)的評價模型。

關(guān)鍵詞：學(xué)科評價

層次分析法

理想解法

多級指標(biāo)

1.問題的提出

學(xué)科是教學(xué)，科研等各項工作的基礎(chǔ)和載體，學(xué)科建設(shè)水平是考察學(xué)校辦學(xué)水平，辦學(xué)實力，辦學(xué)特色的重要標(biāo)志，是高校建設(shè)的核心內(nèi)容。而學(xué)科間水平的評價對于學(xué)科的發(fā)展有著重要作用，它可以使得各學(xué)科能更加深入的了解本學(xué)科與其他學(xué)科相比較的地位及不足之處，可以更好的促進學(xué)科發(fā)展。因此，學(xué)科建設(shè)評估體系與機制的建立直接影響到高校學(xué)科建設(shè)整體水平的發(fā)展，如何給出合理的學(xué)科評價體系或模型一直是學(xué)科發(fā)展的熱點問題，本文研究的目的是建立一套科學(xué)可行的學(xué)科評價模型。

2.建模的原則

由于學(xué)科的發(fā)展水平和綜合實力是由多種因素共同決定，比如學(xué)科的基礎(chǔ)建設(shè)，師資隊伍，科學(xué)研究，辦學(xué)聲譽等等，有的因素可定量分析的，而有的是不能定量分析的，本文的研究思路是在所給數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上針對各個因素的特點，將影響學(xué)科綜合實力的各種因素定量化，制定出綜合的指標(biāo)評價系統(tǒng)，模型構(gòu)建的遵循以下五項基本原則：（1）原則影響因素，學(xué)科建設(shè)狀況及其潛在競爭力是多種因素和各個子系統(tǒng)綜合作用的結(jié)果。反映學(xué)科建設(shè)狀況及其潛在競爭力的指標(biāo)體系應(yīng)包含學(xué)科基礎(chǔ)，人才培養(yǎng)，科學(xué)研究等各個方面的指標(biāo)，這就要求評價指標(biāo)系要盡可能體現(xiàn)綜合性和全面性。

（2）合理性原則。由于學(xué)科評價指標(biāo)體系涉及面比較寬，在具體操作過程中必定有個對指標(biāo)取舍的問題，為此，要盡可能選取能區(qū)分不同學(xué)科建設(shè)高低能力的指標(biāo)。（3）可行性原則。可行性評價指標(biāo)

3.模型的建立與求解

第五篇：關(guān)于人在雨中行走的數(shù)學(xué)模型

關(guān)于人在雨中行走的數(shù)學(xué)模型

摘要

本題在給定的降雨條件下，分別建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析人體在雨中行走時淋雨多少與行走速度、降雨方向等因素的關(guān)系。其中題中所涉及到的降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而在水面上積聚的水層深度，它可以直觀地表示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走時全身所接收的雨的體積，可表示為單位時間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時間的乘積。利用MATLAB軟件對各個問題進行求解。

對于問題一，設(shè)降雨淋遍全身不考慮雨的方向，經(jīng)簡化假設(shè)人淋雨面積為前后左右及頭頂面積之和。

對于問題二，雨迎面吹來，雨線方向與行走方向在同一平面，人淋雨面積為前方和頭頂面積之和。因各個方向上降雨速度分量不同，故分別計算頭頂和前方的淋雨量后相加即為總的淋雨量。據(jù)此可列出總淋雨量w與行走速度v之間的函數(shù)關(guān)系。分析表明當(dāng)行走速度為vm時，淋雨量最少。

對于問題三，雨從背面吹來，雨線與行走在同一平面內(nèi)，人淋雨量于人和雨相對速度有關(guān)，列出函數(shù)關(guān)系式分析并求解。

關(guān)鍵詞：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠近，行走的速度，雨滴下落的速度，角度，降雨強度

問題重述

要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。

將人體簡化成一個長方體，高a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m.設(shè)跑步距離d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，記跑步速度為v.按以下步驟進行討論：

（1）不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全程的總淋雨量。

（2）雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為?，如圖1.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a,b,c,d,u,w,?之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少。計算??0,??30?時的總淋雨量。

（3）雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角如圖2.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a,b,c,d,u,w,?之間的關(guān)系，問速度v多?，大，總淋雨量最少。計算??30?時的總淋雨量。

（4）以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對(3)作圖（考慮?的影響），并解釋結(jié)果的實際意義。

（5）若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會有什么變化？

問題分析

1.若不考慮雨的方向，雨以降雨量w均勻地淋遍全身。將人體簡化成長方體，求出人接收雨的總面積，人以最大速度跑步，并計算淋雨時間、單位時間、單位面積上的降雨量，求出人跑完全程的總淋雨量W。

2.雨迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為?如圖1.所示。根據(jù)實際情況估計人體淋雨可分為頭頂和前后左右?guī)讉€方向。雨迎面吹來時，由于相對于人的速度有變化，因此人單位時間內(nèi)接收雨量變化，且與相對速度成正比。據(jù)此，推算出前后側(cè)上單位時間內(nèi)接收雨量。同理，頭頂部位接收雨量與雨速垂直于頭頂平面的分速度成正比。分別計算出頭頂側(cè)與前后側(cè)單位時間內(nèi)接收的雨量，并分別乘以各自面積以及時間d/t，即得到頭頂及兩側(cè)淋雨的總量。在人體總的淋雨量。據(jù)此可得W與v之間的關(guān)系，并能求出??0和??30?時的總淋雨量。

3.雨從背面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為?，如圖2.所示。左右方向上淋雨量為0。頭頂上單位時間內(nèi)接收雨的量w1與雨速垂直方向上的分量成正比，W1為頭頂面積bc與時間d/vm以及w1之積。當(dāng)vm?usin?時，前方不受雨，前后方向上單位時間內(nèi)淋雨量w2與人前進方向上人相對于雨的速度（usin??vm）成正比，據(jù)此推算出W2；而當(dāng)時，后vm?usin?方不受雨，由于人速已經(jīng)高于雨速，這時前面會向前撞山雨滴，即w2與vm?usin?成正比。W2為人體前面ab和跑步時間d/vm頭頂淋雨量以及w2之積。

W?W1?W

2據(jù)此可得W與vm之間的關(guān)系，并能求出??30?

模型假設(shè)

1.人在奔跑過程中，vm大小與方向恒定，即沿直線勻速前進。

2.對問題1人體各個方向均勻接受雨量，即單位時間、單位面積上接受雨量恒定。

3.對問題2、3雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，并且雨線與人體夾角不變。在此過程中左右兩次因與雨速平行而不沾雨。

4.假設(shè)雨的密度相同，雨滴大小、形狀相同，與蘇均勻不變。5.假設(shè)單位時間內(nèi)接收雨的量與雨速成正比。

6.人體行走過程中的震蕩引起的誤差可忽略不計。

符號說明

a 人體高度

b 人體寬度

c 人體厚度

d 跑步距離

u 雨速

w 降雨量

? 雨迎面吹來時與人體的夾角

vm 跑步最大速度

W 總淋雨量

s1 頭頂面積

s2 人前或后表面積

u1 雨點相對人頭頂速度的垂直分量

u2 雨點相對人前后面速度的垂直分量

w1 頭頂單位時間接收雨量

w2 前后面單位時間接收雨量

W1 頭頂接收雨量

W2 人體前后面接收雨量

W3 人體左右面接收雨量

模型建立與求解

模型一：

不考慮雨的方向，因為降雨量w均勻地淋遍全身，所以在將人體簡化成長方體的情況下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根據(jù)淋雨時間、單位時間、單位面積上的降雨量等有關(guān)條件，列出總淋雨量W的求解公式如下： W?(2ab?2ac?bc)w經(jīng)計算得W?0.0024m3

d vm

模型二

根據(jù)題意，將降落在人體上的雨滴分成兩部分，s1（頂部）s2（前面），人體接收的雨量和頭頂面積、頭頂部分與雨滴垂直下落方向分量u1、行走的時間有關(guān)。

求解如下：

頭頂： u1?ucos?s1?bc

假設(shè)降雨量w與雨點密度（均勻不計）淋雨量與人相對速度有關(guān)，所以：

w1?u

1w1?wcos? W1?w1s1t?wcos?bc正面：

v2?vsin??u 而

w2?v2 vmsin??uuvsin??u??w2?mw

w2wudbcdw?cos? vmvm 5

s2?ab W2?w2s2t?vmsin??udwab uvm求解得：

當(dāng)v?5m/s時，淋雨量W最?。?當(dāng)??0?時，W?0.0012m3 當(dāng)??30?時，W?0.0016m3

模型三

根據(jù)題意，將降落在人體上的雨滴分成兩部分，s1（頂部）s2（前后兩面）頭頂：

w1?v1 ?v1?ucos?

?w1?wcos?

s1?bc W1?w1s1t?wcos?bcd vm正面：

當(dāng)usin??v時，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨會沾到人的前面

w2?v2

?v2?vm?usin?

?w2?vm?usin?w u s2?ab W2?vm?usin?dwab uvm當(dāng)usin??v時，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨沾到人的后面

w2?v2

?v2?usin??vm usin??vm

?w2?wus2?ab

W2?usin??vmd

wabuvm 又因為W?W1?W2

d?bcw?cos??dusin??vm?wab?vmuvm?所以W??

v?usin?d?bcw?cos??d?mwab?vmuvm?

當(dāng)vm?2m/s時，總淋雨量最少；

E?0.3m3 雨線方向與人體方向夾角為30?時，淋雨量為0.2405556

模型評價

通過對本體的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不僅與跑步速度有關(guān)，還與雨線與人跑步方向的夾角，雨速以及人跑步速度等因素有關(guān)。同時也存在不足之處就是我們沒有考慮降雨密度的不均勻、風(fēng)向不穩(wěn)定等次要因素，因此本題的求解結(jié)果存在一定的誤差，有待改進和提高。

參考文獻

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京：2003年8月第三版； [2]姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社.1987年4月第一版。