第一篇：2013數(shù)學建模A題公路通行能力的計算方法

車道被占用對城市道路通行能力的影響

影響道路通行能力的主要因素有道路狀況、車輛性能、交通條件、交通管理、環(huán)境、駕駛技術(shù)和氣候等條件。

道路條件是指道路的幾何線形組成，如車道寬度、側(cè)向凈空、路面性質(zhì)和狀況、平縱線形組成、實際能保證的視距長度、縱坡的大小和坡長等。車輛性能是指車輛行駛的動力性能，如減速、加速、制動、爬坡能力等。

交通條件是指交通流中車輛組成、車道分布、交通量的變化、超車及轉(zhuǎn)移車道等運行情況的改變。

環(huán)境是指街道與道路所處的環(huán)境、景觀、地貌、自然狀況、沿途的街道狀況、公共汽車停站布置和數(shù)量、單位長度的交叉數(shù)量及行人過街道等情況。氣候因素是指氣溫的高低、風力大小、雨雪狀況!

公路通行能力的計算方法

公路通行能力的計算方法(一)、無平交路段通行能力(1)基本通行能力一般路段是指不受信號、暫停標志、鐵公路口等外界因素的中斷，保證大體連續(xù)的交通流的公路部分。多車道公路的基本通行能力是以高速公路上觀測到的最大交通量為基準確定的。根據(jù)觀測結(jié)果，城市快速路比城際間高速公路的值來得大一些，在大體接近城市快速路最大交通量處確定了多車道公路的基本通行能力為每車道2200pcu/h。往返2車道公路的基本通行能力用往返合計值表示。其理由為往返2車道公路通常不進行往返車道的分離，以供對面車輛超車用，這種方法是比較現(xiàn)實的。實際上，在往返2車道公路上發(fā)生超車時的最大交通量的觀測數(shù)據(jù)非常少，在美國《公路通行能力手冊》中寫明往返2車道公路的基本通行能力大約為多車道公路中2車道基本通行能力的二分之一，并確定為2500pcu/h。另外，與多車道公路相同，對單向通行公路，把其基本通行能力定為每車道2200pcu/h。(2)可能通行能力可能通行能力是用基本通行能力乘以公路的幾何結(jié)構(gòu)、交通條件對應(yīng)的各種補償系數(shù)求出的。亦即C= CB*γL*γC*γI*……(2.1)式中，C：可能通行能力；

CB:基本通行能力；

γLγCγI:各種補償系數(shù)。就多車道公路而言，先用(2.1)式求出每車道的可能通行能力，然后乘以車道數(shù)求出公路截面的可能通行能力。對往返2車道公路，用往返合計值求出。在用實際車輛數(shù)表示可能通行能力時，需要用大型車輛的小客車當量系數(shù)換算成實輛數(shù)。影響通行能力的因素有以下幾種，各因素的補償系數(shù)也已決定。a)車道寬度(γL)：基本通行能力方面而言，必要充分的車道寬度WL為3.50m；根據(jù)日本的觀測結(jié)果，最大交通量在寬度為3.25m的城市快速路上得到，對車道寬度小于3.25m的公路應(yīng)進行補償,其系數(shù)如參考表2.1。表2.1 公路寬度補償系數(shù)車道寬度WL補償系數(shù)γL3.25m1.003.00m0.942.75m0.882.50m0.82b)側(cè)向凈空(γC):稱從車道邊緣到側(cè)帶或分隔帶上的保護軌、公路標志、樹木、停車車輛、護壁及其它障礙物的距離為側(cè)向凈空，必要充分的側(cè)向凈空為單向l.75m，在城市內(nèi)高速公路上，以0.75m的側(cè)向凈空時的最大交通量出現(xiàn)次數(shù)多，所以，對比0.75m窄的情況需要進行補償，如表2.2所示。c)沿線狀況(γI)：在沿線不受限制的公路上，通行能力的減少原因有從其它道路和沿道設(shè)施駛?cè)氲能囕v或行人、自行車的突然出現(xiàn)等潛在干涉。并且，在市內(nèi)因有頻繁停車，所以停車的影響也較大，因為通常認為通行能力與沿道的城市化程度有很大關(guān)系，所以確定了城市化程度補償系數(shù)，如表2.3所示。表2.1 公路寬度補償系數(shù)γL車道寬度WL(m)補償系數(shù)γL3.25m1.003.00m0.942.75m0.882.50m0.82表2.2 側(cè)向凈空補償系數(shù)γC側(cè)向凈空Wc(m)補償系數(shù)γc0.75m1.000.50m0.950.25m0.910.00m0.86表2.3 沿線狀況補償系數(shù)γI(a)不需要考慮停車影響城市化程度補償系數(shù)非城市化區(qū)域0.95-1.00部分城市化區(qū)域0.90-0.95完全城市化區(qū)域0.85-0.90(b)考慮停車影響的場合城市化程度補償系數(shù)非城市化區(qū)域0.90-1.00部分城市化區(qū)域0.80-0.90完全城市化區(qū)域0.70-0.80d)坡度:因為坡度對大型車輛的影響尤其大，所以通常包含在大型車輛影響中。e)大型車輛(γT)：大型車輛比小客車車身長，即使保持同一車間距離，車頭距離也較大。并且因大型車在坡道處降低車速，故通行能力將減小。大型車輛的影響程度用一輛大型車輛相當?shù)男】蛙囕v數(shù)即小客車當量系數(shù)

(passenger car equivalent)來表示。一般認為，小客車當量系數(shù)隨大型車輛混入率、車道數(shù)、坡度大小及長度而變化，并用表2.4所示值表示。在用實輛數(shù)表示通行能力時，應(yīng)該用下式所示補償系數(shù)乘以小客車當量交通量γT=100/[(100-T)+ET*T]

(2.2)

式中，γT：大型車輛補償系數(shù)^fen^

ET：大型車輛的小客車當量系數(shù)^fen^

T：大型車輛混入率(%)。f)摩托車和自行車:對摩托車和自行車交通量應(yīng)該用表2.5示小客車當量系數(shù)乘以交通量求出小客車當量交通量。但是，在用實輛數(shù)表示通行能力時，應(yīng)與大型車輛的方法相同，對當量交通量進行補償。g)其它因素:除上述幾種因素外，使通行能力降低的原因還有:公路線形，尤其是曲線路段和隧道、以及駕駛技術(shù)、經(jīng)驗的不同等，但這些原因目前還沒有較好的定量化方法。表2.4 大型車的小客車換算系數(shù)表2.5 摩托車和自行車的小客車換算系數(shù)車型地區(qū)摩托車自行車地方0.750.50城市市區(qū)0.500.33真的是不太懂,答案來自新浪愛問,希望對你有幫助.

第二篇：2013年9月建?！巴ㄐ心芰Α彼悸方馕鯝題

2013國賽思路解析A題

此題為交通運輸類問題，可以視作優(yōu)化類問題，而且本題重點在于目標的選取和目標函數(shù)的建立，而最優(yōu)值的求解反而不是問題的重點（因為哪里會發(fā)生交通事故、持續(xù)時間、車流量等等都是不可控制的參數(shù)，本題幾乎沒有可決策變量）?？梢杂玫降闹R有排隊論，元胞自動機，模擬仿真等等，用這些手段來建立函數(shù)關(guān)系；

關(guān)鍵概念：通行能力，指單位時間內(nèi)通過斷面的最大車輛數(shù)TC（traffic capacity）=n/t=vd（n為通過車輛數(shù)，t是時間，v為車輛平均速度，d是道路寬度）；

問題一：求出函數(shù)表達式TC=f（t），可以根據(jù)視頻中的信息，隔一段時間求一次對應(yīng)的TC值，再通過插值方法求出解f，或者深入研究事故發(fā)生時對車輛行進情況的變化機理來求解f，最后用圖像或者解析式來表達出結(jié)果；

第三篇：提高公路收費站通行能力的方法探討

提高公路收費站通行能力的方法探討

陳得道孫廣遠

（鐵道第一勘察設(shè)計院公路與城市道路設(shè)計研究院730000）

[摘要]收費站是用來對通過車輛收取通行費的設(shè)施，然而對曾建成的收費站，隨著交通量的增長，已不能滿足目前的收費現(xiàn)狀，為此結(jié)合串列式收費方式，對如何提高公路收費站通行能力的方法進行探討。

[關(guān)鍵詞]公路收費站；通行能力；串列式收費

Research into Way of Improvement for Passing Power of the Toll Station

Chen DedaoSun Guangyuan

（Design Research Institute For Highways And Urban roads of The First Survey And Design

Institute Of Railways730000China）

[Abstract] The toll station is used to toll passing vehicles.However the built station can’t content with the toll reality with the growth of traffic estimation.So combining tandem tolling mode , we discuss how to improve passing power of the toll station.[Key words] Toll Road Station； Power passing； tandem tolling mode1、概述

在一些建成的公路收費站，隨著交通量的不斷增長，服務(wù)時間與服務(wù)水平已愈來愈不能滿足要求，而傳統(tǒng)的方法是擴建收費站、增加收費車道數(shù)量，即橫向拓寬收費廣場。然而這樣做存在著一些問題，其中包括征用土地、拆遷、施工工期、交通干擾等，而工程費用則可能是最重要的問題。在一些收費站特別是城市的收費站，這種擴建方案基本上是行不通的。另外，計算表明，收費廣場的占地面積和車道數(shù)平方成正比，擴建將大大增加占地面積。因而，在現(xiàn)有收費廣場的情況下，如何提高收費廣場的通行能力是很重要的問題?，F(xiàn)探討串列式收費方式對提高公路收費站通行能力的方法。

2、串列式收費方式

一個簡單、經(jīng)濟、實用的做法是采用串列式收費亭(TTB)的配置形式，TTB就是在一條收費車道上設(shè)置兩個或多個收費亭，同時為兩輛或多輛車服務(wù)，從而提高收費車道的通行能力。

2.1單一收費亭

普通的收費廣場每車道只設(shè)一個收費亭，如圖1所示，服務(wù)位置SP是指車輛檢測、發(fā)卡或驗卡位置，等待位置WP是指車道上位于正在接受服務(wù)車輛的下

一輛車的位置。

以SP開始將車輛編號，設(shè)1號車離開SP時，1號車與0號車之間的車頭時距為：

H=H0+S

式中：H——0號車離開SP時的車頭時距；

S——1號車的服務(wù)時間。

2號車1號車0號車

→

WP2WP1SP（收費亭處）

圖1收費廣場單一收費亭示意圖

一般情況下

H0=R+M

式中：R——反應(yīng)時間，是指0號車離開SP和1號車開始進入SP所經(jīng)歷的時間；

M——推進時間，是指車輛在等待位置進入服務(wù)位置所需要的時間。如果對于每一輛車來說，車頭時距是隨機變化的話，那么其數(shù)學期望值為

EXP（H）=EXP（H0）+EXP（S）

=EXP（R）+EXP（M）+EXP（S）

每輛車是按車頭時距列隊行進的，故每個收費車道的通過能力Ca為EXP（H）的倒數(shù)

Ca=1EXP（H）

2.2 TTB：鄰近服務(wù)的情況

一般的TTB有兩個SP（SP1在前，SP2在后），二者之間無等待空間，如圖2所示。跟隨在后的兩輛車的WP也分別標以WP1、WP2，等待在WPl的車輛在SPl處服務(wù)，等候在WP2的車輛在SP2處服務(wù)，今以SP2開始將車輛編上號。

2號車1號車0號車

→

WP2WP1SP2（收費亭2處）SP1（收費亭1處）

圖2收費廣場收費車道TTB鄰近服務(wù)示意圖

圖2中，設(shè)0號車離開SP2的瞬間到1號車離開SP1的瞬間之間經(jīng)過的時間為T’1，則有

T’1=R’1+M’1+S’

1式中R’

1、M’

1、S’1分別是1號車的反應(yīng)時間、推進時間和服務(wù)時間。同理，0號車離開SP2的瞬間到2號車離開SP2的瞬間之間經(jīng)過的時間T’2為

T’2=R’1+（R’2+M’2+S’2）

式中R’1是2號車附加的反應(yīng)時間，因為1號車未進入SP2以前，2號車不能進人SP2。

由于SPl和SP2之間僅有一輛車的間隙，故2號車的駕駛員在看到1號車離開SP1之前是不會離開SP2的，因此從0號車離開SP2所經(jīng)過的周期時間H’必須為

H’> T’1+ R’

2事實上，2號車將在SPl和SP2都過后才會離開SP的位置，故0號車和2號車之間的周期時間H’應(yīng)由下式?jīng)Q定：

H’= max（T’2，T’1+ R’2）

= max[R’1+（R’2+M’2+S’2），R’2+（R’1+M’1+S’1）]一般情況下，可以認為R’

1、R’2等于單一收費亭情況的反應(yīng)時間R1、R2，S’

1、S’2等于單一收費亭情況下的服務(wù)時間S1、S2。但單一收費亭情況下的推進時間要小于TTB時間的M’值，即

M’=M+△M

式中△M是車輛駛過兩個SP之間距離需要的附加時間。若假設(shè)反應(yīng)時間和△M不隨車輛有較大的變化，那么，可以求得簡化的周期方程為

H’≈R+△M+ max（H1，H2）

式中H1、H2就是在單一收費亭情況下觀測到的車頭時距。

鄰近服務(wù)情況下，TTB的通過能力C’a為

C’a=2 EXP（H'）

與單一收費亭相比，TTB通過能力增加的百分數(shù)為

△Ca（%）=100×{2/EXP（H')－1} 1/EXP(H)

=100×{2EXP（H）?1} R??M?EXP[max（H1，H2）]

從上式可以看出，如果TTB的周期時間小于普通收費亭車頭時距的2倍，那么采用TTB方式可以提高通行能力。同時，由于R和M值比S值小，故通過能力的增加是顯著的，如果車頭時距是個常數(shù)，那么Ca的增加最顯著。

2.3 TTB：成批服務(wù)的情況

如果在TTB情況下，采取成批服務(wù)的方法，那么通過能力還可提高。所謂成批服務(wù)是指每一個收費亭每次對幾輛車同時進行服務(wù)，而不是每次一輛。這種方案的優(yōu)點是服務(wù)時間中隨機變化成分減輕，空閑時間減少。

如果設(shè)每一個收費亭每次處理n輛車，那么在SP2后可跟隨2n輛車。前面的n輛車在SPl處服務(wù)，后面的n輛車在SP2處服務(wù)。為了保證在SP2處服務(wù)不被在SP1處服務(wù)的車輛中斷，兩個收費亭之間的空間距離要稍大于n輛車的位置長度。事實上，只要位置數(shù)m值滿足下列關(guān)系式，則一般不會出現(xiàn)中斷現(xiàn)象：

m≥n+[2σH／EXP（H）]（n-1）1/

2式中：σH ──H的標準偏差。

一般情況下

2σH／EXP（H）→

1對應(yīng)于不同n的m值為

m=INT[n+（n-1）1/2]

m值取得太大，導(dǎo)致不必要的收費亭之間的空間距離。

0號車離開收費亭到2n輛車離開收費亭所經(jīng)過的時間H’’可由下式來決定：

H’’=n（R+△m）+ max（?Hi,?Hi）

i?1i?n?1n2n

通行能力

C’’a=2n/EXP（H’’）

n如果用H1n和H2表示兩組n個獨立車頭時距的平均值，那么上式可簡化為

nEXP（H’’）=nEXP[R+△M+max（H1n，H2）]

n若兩個收費亭的業(yè)務(wù)水平相近，則H1n和H2具有相同的期望值EXP（H）和

n標準偏差σH／n1/2，只要n>2，H1n和H2具有相似的正態(tài)分布。在這些條件下，最大值的期望值為

nEXP[max（H1n，H2）]≈EXP（H）+0.4σH／n1/2

此時C’’a=2n/EXP（H’’）可改寫成C’’a=2[EXP（R）+EXP（△M）+ EXP（H）+0.4σH／n1/2]-1

當n=1時，C’’a →C’a。

2.4通行能力的比較

設(shè)EXP（R）+EXP（△M）=2s，EXP（R）=5s，σH=2.5s，則單一收費亭的通行能力Ca=0.2輛／s（即720輛／h）；鄰近服務(wù)的TTB（n=1），C’a=0.250輛／（即s900輛／h），車道通行能力提高25％；成批服務(wù)的TTB（n=4），C’’a=0.267（0.267輛／s（即960輛/ h），增加車道通行能力33％；n=16，C’’a≈0.276輛／s（即1000輛/ h）；n→∞，C’’a≈0.286輛／s（即1028輛/ h）。

由此可見，采用TTB方案后，在同等條件下，其通過能力要比單一收費亭大25％以上，最大不超過43％。

3、結(jié)束語

總之，由上文分析可知，采用收費口串列式收費確實是一種行之有效的提高收費站服務(wù)效率的方法。事實上根據(jù)前文論述不難發(fā)現(xiàn)，如果在一條收費車道上多設(shè)幾個收費口，會相應(yīng)地提高收費口的通行能力，但這樣會增加收費系統(tǒng)的建設(shè)成本，與兩個收費口相比，其效益費用比反而下降了，而且采用串列式收費要求前后車輛行動一致，收費口多了，難以做到這一點。

參考文獻：

[1] 劉偉銘王哲人鄭西濤高速公路收費系統(tǒng)理論與方法人民交通出版社.2000.4

[2] 高速公路叢書編委會高速公路交通工程及沿線設(shè)施人民交通出版社.1999

[3] 當代科技重要著作·交通領(lǐng)域道路通行能力手冊美國交通研究委員會專題報告209號中國建筑工業(yè)出版社.1991.6

作者簡介：陳得道（1964 —），男，甘肅蘭州人，鐵道第一勘察設(shè)計院公路與城市道路設(shè)計研究院工程師孫廣遠（1971 —），男，甘肅武威人，鐵道第一勘察設(shè)計院公路與城市道路設(shè)計研究院工程師

第四篇：2011數(shù)學建模A,B題

2011高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽題目

（請先閱讀“全國大學生數(shù)學建模競賽論文格式規(guī)范”）

A題

城市表層土壤重金屬污染分析

隨著城市經(jīng)濟的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質(zhì)量評價，研究人類活動影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點。

按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、??、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動影響的程度不同。

現(xiàn)對某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（0~10 厘米深度）進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應(yīng)用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業(yè)活動的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。

附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。

現(xiàn)要求你們通過數(shù)學建模來完成以下任務(wù)：

(1)給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。

(2)通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。

(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？

B題

交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置與調(diào)度

“有困難找警察”，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負著刑事執(zhí)法、治安管理、交通管理、服務(wù)群眾四大職能。為了更有效地貫徹實施這些職能，需要在市區(qū)的一些交通要道和重要部位設(shè)置交巡警服務(wù)平臺。每個交巡警服務(wù)平臺的職能和警力配備基本相同。由于警務(wù)資源是有限的，如何根據(jù)城市的實際情況與需求合理地設(shè)置交巡警服務(wù)平臺、分配各平臺的管轄范圍、調(diào)度警務(wù)資源是警務(wù)部門面臨的一個實際課題。

試就某市設(shè)置交巡警服務(wù)平臺的相關(guān)情況，建立數(shù)學模型分析研究下面的問題：

（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區(qū)A的交通網(wǎng)絡(luò)和現(xiàn)有的20個交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置情況示意圖，相關(guān)的數(shù)據(jù)信息見附件2。請為各交巡警服務(wù)平臺分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內(nèi)出現(xiàn)突發(fā)事件時，盡量能在3分鐘內(nèi)有交巡警（警車的時速為60km/h）到達事發(fā)地。

對于重大突發(fā)事件，需要調(diào)度全區(qū)20個交巡警服務(wù)平臺的警力資源，對進出該區(qū)的13條交通要道實現(xiàn)快速全封鎖。實際中一個平臺的警力最多封鎖一個路口，請給出該區(qū)交巡警服務(wù)平臺警力合理的調(diào)度方案。

根據(jù)現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺的工作量不均衡和有些地方出警時間過長的實際情況，擬在該區(qū)內(nèi)再增加2至5個平臺，請確定需要增加平臺的具體個數(shù)和位置。

（2）針對全市（主城六區(qū)A，B，C，D，E，F(xiàn)）的具體情況，按照設(shè)置交巡警服務(wù)平臺的原則和任務(wù)，分析研究該市現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺設(shè)置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請給出解決方案。

如果該市地點P（第32個節(jié)點）處發(fā)生了重大刑事案件，在案發(fā)3分鐘后接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請給出調(diào)度全市交巡警服務(wù)平臺警力資源的最佳圍堵方案。

附件1：A區(qū)和全市六區(qū)交通網(wǎng)絡(luò)與平臺設(shè)置的示意圖。

附件2：全市六區(qū)交通網(wǎng)絡(luò)與平臺設(shè)置的相關(guān)數(shù)據(jù)表（共5個工作表）。

第五篇：2014數(shù)學建模A題

嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略

摘 要：

嫦娥三號衛(wèi)星采用的是軟著陸方式登陸月球，在衛(wèi)星高速飛行的情況下，我們要精確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，需要對其運行軌道進行設(shè)計并制定相應(yīng)控制策略。由于天體的運動均滿足開普勒三大定律以及總能量守恒定律，我們據(jù)此建立一系列的方程，最終求得衛(wèi)星在近月點處的速度大小Va?b/(a?c)*GM/a?1.6922km/s 求得衛(wèi)星在遠月點處的速度大小Vb?b/(a?c)*GM/a?1.6139km/s。其速度方向均為當前運動軌道的切方向。

嫦娥三號的軟著陸過程又分為6個階段，對每個階段都要進行一定的控制。通過對數(shù)值的分析，我們制定如下策略：在主減速階段，首先衛(wèi)星的發(fā)動機應(yīng)全部用于水平方向的減速，豎直方向以自由落體狀態(tài)加速下降，直至豎直方向速度達到56.8505m/s，水平方向速度為4.9522m/s，耗費燃料90kg，衛(wèi)星下落高度約為14695m。之后發(fā)動機推力仍以最大輸出工作，其推力在豎直方向上瞬間產(chǎn)生約3752N的向上阻力，在水平方向上產(chǎn)生6494N的阻力，使得衛(wèi)星在主減速的后半階段在豎直方向開始勻速運動，水平方向繼續(xù)做減速運動水平速度最終降為0，直至衛(wèi)星降落到距月3000m高度處；在快速調(diào)整階段，姿態(tài)發(fā)動機調(diào)整衛(wèi)星的運動方向為豎直向下，主發(fā)動機繼續(xù)工作，發(fā)動機在水平方向上產(chǎn)生1097N推力，豎直方向上產(chǎn)生3752N推力，使得衛(wèi)星水平方向的速度降為0m/s，豎直方向繼續(xù)以57m/s的速度做勻速運動；在粗避障階段，衛(wèi)星對其正下方月面進行拍照獲得數(shù)字高程圖，利用matlab軟件對圖像進行灰度色差分析，進而初略確定了一個著陸點的像素點坐標(193，1169），過程中，姿態(tài)發(fā)動機根據(jù)圖像進行衛(wèi)星的位置調(diào)整，主發(fā)動機用于豎直方向上的減速工作，使得衛(wèi)星在距月100m處達到懸停狀態(tài)；精避障階段，進行更精細的月面拍攝，采用同粗避障段類似方法得到更精確的像素點坐標為(318，651),同時利用姿態(tài)發(fā)動機調(diào)整運動方向的同時主發(fā)動機工作對水平方向進行速度控制，使其在距月30m處水平速度為0m/s；緩慢下降階段，發(fā)動對衛(wèi)星豎直方向進行減速控制，使其在距月4m處合速度變?yōu)?m/s；在最后階段，關(guān)閉發(fā)動機，使其做自由落體運動，最終成功著陸。

關(guān)鍵詞：

軟著陸 開普勒定理 優(yōu)化控制 基于C語言編程

一、問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達月球軌道。此次嫦娥三號采用的是軟著陸方法。

但嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是對著陸軌道與控制策略的設(shè)計。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段，并要求滿足每個階段在關(guān)鍵點所處的狀態(tài)，盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據(jù)題目給出的已知量建立合適的模型求解分析下列幾個問題：

（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。

（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。

（3）對設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

本問題的一個關(guān)鍵點在于求解出嫦娥三號衛(wèi)星的繞月運行軌道。由于已知衛(wèi)星的運行軌跡為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道。

對于第一問的關(guān)鍵就是求解出該橢圓軌道與月球赤平面的夾角。由于已知落點的經(jīng)緯度坐標和軟著陸過程中6個狀態(tài)的數(shù)值，我們就可以使用逆推法求解出著陸準備軌道近月點和遠月點的經(jīng)緯度坐標位置。由于衛(wèi)星的運動滿足開普勒三大定律以及能量守恒定律，我們可以根據(jù)這幾大定律確定幾個等式聯(lián)立方程組從而求得嫦娥三號在近月點和遠月點的相應(yīng)速度大小與方向。

對于第二問，要設(shè)計一種方案使得在軟著陸的過程中耗能最少，并達到預(yù)設(shè)的各項指標。我們需要不斷的去設(shè)計、計算、調(diào)整，在不斷的嘗試摸索中尋找出一個比較不錯的軟著陸方案。

三、模型假設(shè)及符號約定

3.1 模型假設(shè)（1）假設(shè)衛(wèi)星在主減速階段的運動軌跡為拋物線

（2）假設(shè)衛(wèi)星在3000m處基本就處于目標地點的豎直上方（3）假設(shè)月球為球體

（4）假設(shè)在近月點即將開始軟著陸狀態(tài)的前后速度基本不變

3.2 符號約定 符號

含義 G

引力常量

M

月球的質(zhì)量

m(t)

t時刻衛(wèi)星的質(zhì)量 月球的半徑

月球表面的重力加速度 r

g'

Vi

ai

Si

Ei

Ti

Ft Ve i位置處衛(wèi)星的速度大小 i方向的加速度

i位置處相對應(yīng)的面積大小 i位置處衛(wèi)星的能量 到i位置所用時間 t時刻發(fā)動機的推力 以m/s為單位的比沖 單位時間燃料消耗的質(zhì)量 橢圓的半長軸 橢圓的半短軸 橢圓的焦點 m ?a

b

c

四、模型建立與求解

4.1 模型建立

4.1.1 問題1衛(wèi)星軌道模型的建立

我們將嫦娥三號衛(wèi)星繞月運行的橢圓軌道抽象出如下圖所示的一個簡單的幾何圖形，月球的月心位于橢圓的一個焦點F上，橢圓的半長軸為a，半短軸為b，半焦距為c。A點為近月點，速度為Va，B點為遠月點，速度為Vb。易知A、B兩點距月心的距離La?a?c，Lb?a?c。在一個極小的時間段?t內(nèi)，衛(wèi)星與月心連線掃過的面積分別為Sa?Va/2*?t*La，Sb?Vb/2*?t*Lb。由開普勒第二定律可知，衛(wèi)星與中心天體連線在單位時間內(nèi)掃過的面積相等，所以Sa?Sb，代入化簡后可得公式(1)Vb?(a?c)/(a?c)*Va；由于衛(wèi)星運動的總機械能等于其動能和引力勢能之和，所以在A點，衛(wèi)星的總機械 能Ea?1/2*mVa2?(?GMm/La)（公式2），同理B點的總機械能。衛(wèi)星在運行過程中只有動能和引力勢能Eb?1/2*mVb2?(?GMm/Lb)（公式3）之間的轉(zhuǎn)化，機械能守恒，所以Ea?Eb（公式4）。[1] 由上面(1)(2)(3)(4)四個公式我們可以解得Va?b/(a?c)*GM/a，Vb?b/(a?c)*GM/a。

4.1.2 問題2衛(wèi)星軟著陸各階段控制策略模型的建立

主減速段控制策略：

第一階段，主減速發(fā)動機全力用于水平方向減速，豎直方向呈自由落體加速下落，至下落速度達到V1y(m/s)為止，用時記為T1，質(zhì)量減少到M1；

V1y?g'*T1(1)當0?t?T1時，由F?m*Ve可得出下式，t?m(t)?2400??mdt0??2400?2.5510t(2)三號衛(wèi)星運行速度V水平方向分量為：

(3)在0?t?T1內(nèi)，衛(wèi)星下落的高度ht?0.5*g'*t^2, 水平方向位移

t s(t)??(17000?2940ln(2400)?2940ln(2400?2.2210t))dt

(4)第二階段，豎直方向以V1y勻速下降，主減速發(fā)動機仍以最大推力工作，F(xiàn)(t)的豎直方向分力為?m(t)*g'，水平方向分力為Fx(t)?75002?(m(t)*g')2。

記第二階段結(jié)束時刻，即距月面3000m時為T2，當T1?t?T2時，m(t)?2400?7500*t/2940?2400?2.5510t(5)下落高度 h(t)?0.5*g'*T12?V1y*(t?T1)(6)水平方向加速度

2ax(t)?fx(t)/m(t)?(75002?(2400?2.5510*t)2*g')/(2400?2.5510t)(7)水平方向速度

ttVx(t)?Vx(T1)?T1222ax(s)ds?Vx(T1)?(7500?(2400?2.5510s)g')/(2400?2.5510s)ds??T1 1=Vx(T1)??2.5510?gg'(2400?2.5510t)'(2400?2.5510T1)(75002?u2/u)du

17500?=Vx(T1)?(75002?u2?7500ln2.5510t75002?u2u

(9)

'(2400?2.5510T1))gg'(2400?2.5510t)(8)水平方向位移 s(t)?s(T1)?快速調(diào)整段控制策略：

Vx(t)dt ?T1

在快速調(diào)整階段，衛(wèi)星仍然以Vy?g'*T1?57m/s的速度下落，水平方向推力逐漸減小到0，這樣衛(wèi)星的方向就正對目標下方了。

在t?T2時，發(fā)動機給與衛(wèi)星水平方向一個力Fx，使得其水平方向的速度最終降為0m/s；同時主發(fā)動機在豎直方向上也對衛(wèi)星施加一個力，使其在豎直方向上做勻速運動。水平方向位移Sx(T3)?V0T3?0.5*a*T3^2。

水平方向推力為Fx(t)?m(t)*ax(t)，合力為

?gm?1ve2?tT2m(r)dr

兩邊對t求導(dǎo)得：

m'(t)?gm?1ve2m(t)

再由t?T2時，m(t)?m(T2)得，當T2?t?T2?4.96時：

m(t)?m(T2)exp(gm?1ve2(t?T2)

水平方向速度

vx(t)?vx(T2)??ax(r)dr?vx(T2)?t?T2T2t

水平方向位移

s(t)?s(T2)??vx(r)dr?s(T2)?(vx(T2)?T2)(t?T2)?0.5(t2?T2)T2t2

(s(T2?4.96)，15000)就是近月點坐標。

粗避障段控制策略：

以下步驟的實施均在matlab上實踐，源代碼見附錄2 將抓拍到的圖片利用matlab讀入，求出圖像平均灰度，以此來表示理想降落地點的高度。但通過比較發(fā)現(xiàn)平均灰度并不能代表理想地點高度，于是求出灰度眾數(shù)average，作為理想降落高度。

然后新建圖像，使新圖像上的每點的灰度等于原圖像對應(yīng)點的灰度與灰度眾數(shù)average的差的絕對值。于是新圖像上灰度越高的點表示越不理想的點。（matlab運行效果圖見附錄3）

選取10 作為分界線，灰度值大于10的改為150，表示不理想的降落地點，灰度值小于10的改為0，表示理想的降落地點。將圖片邊界四周都像素點全部改為灰度150，表示不理想降落地點，因為越靠近圖片邊緣則越缺少信息。(matlab運行效果圖見附錄4)接下去通過將不理想的點向四周擴散來逐漸覆蓋全圖，留下0.001的空隙時停止擴散，則此時剩余的空隙則為相對理想的降落地點，求出這些降落地點中離中心飛船最近的地點，作為最終降落地點。

最后我們分別繪制了覆蓋率為0.7時的圖像、覆蓋率為0.99的圖像、覆蓋率為0.999的圖像(分別件附錄5、6、7)。

精避障段控制策略：

此階段只是在粗壁障階段的基礎(chǔ)上對著落點做了一個更精確的定位，所以選點的原理同上。

4.2 模型求解 4.2.1 問題1

由題目已知，衛(wèi)星近月點為15km，遠月點為100km，據(jù)此我們可以得出下面一個等式c?15?(c?r)?100，求解得c?9?r/2 km。據(jù)此又可以導(dǎo)出橢圓的半長軸的大小a?c?r?15?24?3/2*r，半短軸b?a2?c2。然后將a、b、c等數(shù)值代入模型中，便可以直接求出衛(wèi)星在近月點的速度大小Va?1.6922km/s，衛(wèi)星在遠月點的速度大小Vb?1.6139km/s。

4.2.2 問題2 主減速階段：

由天體運動黃金代換式GM?R2g'，得出g'?GM/R2?1.6243m/s2 利用C語言編程使用迭代法搜索T1的值： 具體編程算法見附錄1 Step 1 令t=T1, 下落高度 h(t)?0.5*g'*t^2, deltt=1 豎直方向速度Vy(t)?g'*t, 水平方向速度（初始速度有第一問可知為1692m/s）

Vx(t)?1692?2940ln(2400)?2940ln(2400?2.2210t)水平方向位移

S(t)?(1692?2940ln(2400))t?Step 2 令t=t+ deltt

2940?2.2210t(ulunu?u)2400 2400?2.2210下落高度 h(t)?0.5*g'*T1^2?Vy*(t?T1)豎直方向速度Vy(t)?g'*T1 水平方向速度由（8）式計算可得 水平方向位移

Step 3 如果h(t)?12000?2641 and Vx(t)?2 如果h(t)?12000?2641 and Vx(t)?step 1 如果h(t)?12000?2641, then end

最后利用C語言編程解得

572?Vy(t)2, then go to step

572?Vy(t)2, then T1?T1?1, goto T1?35s,h?14695.85m,Vx?4.9522m/s,Vy?56.8505m/s。

從而我們可以得出，在主減速階段，首先衛(wèi)星的發(fā)動機的全部動力要用于衛(wèi)星水平方向上的減速，豎直方向以自由落體狀態(tài)加速下降，直至豎直方向速度達到56.8505m/s，水平方向速度為4.9522m/s，此時衛(wèi)星的質(zhì)量約為2310kg，耗費燃料90kg，衛(wèi)星下落高度約為14695m。之后發(fā)動機推力仍以最大輸出工作，其推力在豎直方向上瞬間產(chǎn)生約3752N的向上阻力，在水平方向上產(chǎn)生6494N的阻力，使得衛(wèi)星在主減速的后半階段在 豎直方向開始勻速運動，水平方向繼續(xù)做減速運動水平速度最終降為0，直至衛(wèi)星降落到距月3000m高度處。

快速調(diào)整階段：

根據(jù)分運動的等時性，可以利用衛(wèi)星豎直方向上的運動方程h?V0t，求得衛(wèi)星在快速調(diào)整階段的最大用時t?h/V0?10.52s，從而根據(jù)水平方向的運動公式V?Vo?a*t求得水平方向的最小加速度a?0.475m/s。所以可以得出該過程中發(fā)動機在水平方向上的最小推動力Fxmin?1097N，豎直方向上的推力Fxy?mg'?3752N，并求得水平位移S?15234m。

五、模型評價與推廣

5.1 模型評價

優(yōu)點：本模型采用了化繁為簡的方法，將復(fù)雜問題簡單化，把衛(wèi)星繞月運行抽象出一個橢圓的幾何問題再結(jié)合物理模型利用數(shù)學方法求解相應(yīng)的運動數(shù)值

缺點：本模型很多地方理想化，比如忽視了月球的扁率，衛(wèi)星運行中姿態(tài)是變化的某些部分不應(yīng)該用質(zhì)點來處理

5.2 模型推廣

利用本模型的算法可以求出任何天體在每個時刻的運行速度及其他物理量，方便研究天體運動，方便針對性的對需要探測的星球設(shè)計相應(yīng)的衛(wèi)星軌道。

六、參考文獻

[1] 王健偉 李興，近日點和遠日點速度的兩種典型求法，物理教師，第34卷第6期：58，2013

七、附錄

附錄1：

下面采用的是C語言程序來摸索求解T1的值（運行環(huán)境VC++ 6.0）文件夾內(nèi)find_t1.cpp文件

#include #include #include #define g 1.6243

int main(){

int t,t1,deltt=1;

t=t1=4;

double h,vx,vy,compare,u1,u2;

h=0.5*g*t*t;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t);

vy=g*t;

while(1)

{

compare=sqrt(57*57-vy*vy);

if(h<12000+2641 && vx>compare)

{

t=t+deltt;

u1=g*(2400-2.5510*t1);

u2=g*(2400-2.5510*t);

vy=g*t1;

h=0.5*g*t1*t1+(t-t1)*vy;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t)-(1.0/2.5510)*(sqrt(7500*7500-u1*u1)+7500*log((7500-sqrt(7500*7500-u1*u1))/u1)-(sqrt(7500*7500-u2*u2)+7500*log((7500-sqrt(7500*7500-u2*u2))/u2)));

}

else if(h<12000+2641 && vx

{

t1++;

t=t1;

h=0.5*g*t*t;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t);

vy=g*t;

}

else if(h>12000+2641)

{

printf(“t1=%dn”,t1);

printf(“h=%lfn”,h);

printf(“vx=%lfn”,vx);

printf(“vy=%lfn”,vy);

break;

}

}

return 0;}

附錄2：

big=imread('附件3 距2400m處的數(shù)字高程圖');

[m,n]=size(big);

notenum=[1:256];

for i=1:m;for j=1:n;notenum(big(i,j)+1)=notenum(big(i,j)+1)+1;end end

max=0;maxnum=0;for i=1:256;if max

big1=big;for i=1:m for j=1:n big1(i,j)=abs(int8(big1(i,j))-average);end end

big2=big1;

for i=1:m for j=1:n if big2(i,j)>15 big2(i,j)=150;else big2(i,j)=0;end

end end

for i=1:m;big2(i,1)=150;end

for i=1:m;big2(i,m)=150;end

for j=2:n-1;big2(1,j)=150;big2(m,j)=150;end

for k=1:200 num=[m:n];

numsum=0;for i=1:m;for j=1:n;if big2(i,j)>20;num(i,j)=1;numsum=numsum+1;else num(i,j)=0;end

end end

if numsum/(m*n)>0.999 break end

for i=2:m-1;for j=2:n-1;sum=0;if num(i,j)==1;continue else

for i1=-1:1;for i2=-1:1;if num(i+i1,j+i2)==1;sum=sum+1;end

end

end

if rand(1)*3

end

end end end

distance=[m,n];for i=1:m;for j=1:n;if num(i,j)==0;distance(i,j)=(i-m/2)*(i-m/2)+(j-n/2)*(j-n/2);else distance(i,j)=m*m+n*n;end end end

min=m*m+n*n;mini=0;minj=0;

for i=1:m;for j=1:n;if num(i,j)== 0;if min > double(distance(i,j));min=double(distance(i,j))mini=i;minj=j;end end end end

附錄3

附錄4

附錄5 覆蓋率為0.7的圖像

附錄6 覆蓋率為0.99的圖像

附錄7 覆蓋率為0.999的圖像