第一篇：高中數(shù)學 2.1.1《正弦定理》學案 北師大版必修5（范文）

正弦定理 學案

【預習達標】

在ΔABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c，a?=。sinA

a2.在銳角ΔABC中，過C做CD⊥AB于D，則|CD|==，即?，同sinA1.在RtΔABC中，∠C=90, csinA=,csinB=，即0理得，故有a?。sinA

3.在鈍角ΔABC中，∠B為鈍角，過C做CD⊥AB交AB的延長線D，則|CD|==，即aa?，故有? sinAsinA

【典例解析】

例1 已知ΔABC，根據(jù)下列條件，求相應的三角形中其他邊和角的大?。?/p>

00000（1）A=60，B=45，a=10；（2）a=3,b=4,A=30；（3）a=5,b=2,B=120；（4）

b=.例2 如圖，在ΔABC中，∠A的平分線AD與邊BC相交于點D，求證：

B D C BDAB?DCAC

【達標練習】

1.已知ΔABC，根據(jù)下列條件，解三角形:

(1)A=60，B=30，a=3；（2）A=45，B=75，b=8；（3）a=3，A=60； 00000

用心愛心專心

2.求證：在ΔABC中，sinA?sinBa?b? sinCc

3.應用正弦定理證明：在ΔABC中,大角對大邊，大邊對大角.4．在ΔABC中，sinA+sinB=sinC,求證：ΔABC是直角三角形。

222

參考答案

【預習達標】

bcbcbca?1．a(chǎn),b,.2.bsinAasinB ， ,=.?sinBsinCsinBsinAsinCsinBsinC

bbc3..bsinAasinB ， =.sinBsinBsinC

【典例解析】

例1(1)C=750，000(2)B≈41.80,C≈108.8,c≈5.7或B≈138.2，C

00≈11.8，c≈1.2(3)無解（4）C=45，A=15，a≈2.2

例2證明：如圖在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，得BDABDCACAC???，sin?sin?sin?sin(1800??)sin?βB 0? D BDAB?兩式相除得 DCAC【雙基達標】

1．（1）C=90，,c=00

(3)B=60,C=902．證明：設00

abc???k，則a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC sinAsinBsinC

a?bksinA?ksinBsinA?sinB??? cksinCsinC

00

00003．(1)設A>B，若A≤90,由正弦函數(shù)的單調(diào)性得sinA≥sinB,又由正弦定理得a≥b；若A>90，有A+B<180,即90>180-A>B, 由正弦函數(shù)的單調(diào)性得sin(180-A)>sinB,即sinA>sinB, 又

由正弦定理得a>b.(2)設a>b, 由正弦定理得sinA>sinB,若B≥90,則在ΔABC中A<90, 有sinA>sin（180-B）由正弦函數(shù)的單調(diào)性得A>180-B,即A+B>180,與三角形的內(nèi)角和為180相矛盾；若A≥90,則A>B；若A<90,B<90, 由正弦函數(shù)的單調(diào)性得A>B.綜上得，在ΔABC中,大角對大邊，大邊對大角.4．略

000000000

第二篇：高中數(shù)學必修5第一章正弦定理

1．1．1正弦定理

（一）教學目標

1．知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法:讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學重、難點

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

（三）學法與教學用具 學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：a

sinA?b

sinB?c

sinC，接著就一般斜

三角形進行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎。

教學用具：直尺、投影儀、計算器

（四）教學設想

[創(chuàng)設情景]

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點C轉動。思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角?C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關系精確地表示出來？

[探索研究](圖1．1-1)

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)

abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A cabc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinAsinBsinC的定義，有

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

3如圖1．1-3，當?ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則同理可得從而

a

sin?

b

sin，c

sinC?

?

b

sinB?，a

sinA

b

sinB

c

sinC

AcB

(圖1．1-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點A作j?AC，C 由向量的加法可得AB?AC?CB

??????

??????????

??????????????

則j?AB?j?(AC?CB)????????????????∴j?AB?j?AC?j?CBj

??????????0

jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

ac

?

?????bc

同理，過點C作j?BC，可得?

從而

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

類似可推出，當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；（2）

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin等價于

a

sinA

?

b

sinB，c

sinC

?

b

sinB，a

sinA

?

c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

ab

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據(jù)正弦定理，asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；

sin32.00

根據(jù)正弦定理，asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).sin32.00

評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊

長精確到1cm）。

解：根據(jù)正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因為00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當B?640時，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760c???30(cm).sin400

⑵ 當B?1160時，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240c???13(cm).sin400

評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

[隨堂練習]第5頁練習第1（1）、2（1）題。

a?b?c

sinA?sinB?sinC

abc

分析：可通過設一參數(shù)k(k>0)使???k,sinAsinBsinC

abca?b?c

證明出 ???

sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

abc

解：設???k(k>o)

sinAsinBsinC

則有a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC

a?b?cksinA?ksinB?ksinC

從而==k

sinA?sinB?sinCsinA?sinB?sinC

例3．已知?ABC中，?A?

600，a?求

又

a

sinA

?

a?b?c

?2?k，所以=2 sinA?sinB?sinC評述：在?ABC中，等式

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?

a?b?c

?k?k?0?

sinA?sinB?sinC

恒成立。

[補充練習]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

[課堂小結]（由學生歸納總結）（1）定理的表示形式：

a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

（五）評價設計

①課后思考題：（見例3）在?ABC中，?

b

?

c

?

a?b?c

?k?k?0?；

sinA?sinB?sinC

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?k(k>o)，這個k與?ABC有

什么關系？

②課時作業(yè)：第10頁[習題1.1]A組第1（1）、2（1）題。

第三篇：正弦定理必修5

課題: §1．1．1正弦定理

授課類型：新授課

一、教學目標

知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

二、教學重點

正弦定理的探索和證明及其基本應用。

三、教學難點

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

四、教學過程

Ⅰ.課題導入

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點C轉動。思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？ 顯然，邊AB的長度隨著其對角?C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關系精確地表示出來？Ⅱ.講授新課

[探索研究](圖1．1-1)在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A ccc

abc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinsinsin有

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1．1-3，當?ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則

同理可得

從而asinA?bsinB，csinC??bsinB?，a

sinAbsinBcsinCAcB

(圖1．1-3)

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點A作j?AC，C

由向量的加法可得AB?AC?CB

則j?AB?j?(AC?

CB)∴j?AB?j?AC?j?CBj

jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

同理，過點C作j?BC，可得

從而ac ?bc ?a

sinA?b

sinB?c

sinC

類似可推出，當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA?b

sinB?c

sinC

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；

（2）a

sinA?b

sinB?c

sinC等價于a

sinA?b

sinB，c

sinC?b

sinB，a

sinA?c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?bsinA； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，ab

C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據(jù)正弦定理，asinB42.9sin81.80

b???80.1(cm)； sin32.0根據(jù)正弦定理，asinC42.9sin66.20

c???74.1(cm).sin32.0評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）。

解：根據(jù)正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因為00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當B?640時，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760

c???30(cm).sin40

⑵ 當B?1160時，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240

c???13(cm).sin40評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。Ⅲ.課堂練習

第5頁練習第1（1）、2（1）題。

[補充練習]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

Ⅳ.課時小結（由學生歸納總結）

（1）定理的表示形式：a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

Ⅴ.課后作業(yè)

第10頁[習題1.1]A組第1（1）、2（1）題。

?b?c?a?b?c?k?k?0?； sinA?sinB?sinC

第四篇：高中數(shù)學：8.1《正弦定理》學案(湘教版必修4)

正弦定理學案

一、預習問題：

1、在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)，可以由已知的邊和角求出未知的邊和角。那么斜三角形怎么辦？確定一個直角三角形或斜三角形需要幾個條件？

2、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的的比相等，即。

3、一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們所對的邊a,b,c叫做三角形的，已知三角形的幾個元素求其它元素的過程叫做。

4、用正弦定理可解決下列那種問題

已知三角形三邊；②已知三角形兩邊與其中一邊的對角；③已知三角形兩邊與第三邊的對角；④已知三角形三個內(nèi)角；⑤已知三角形兩角與任一邊；⑥已知三角形一個內(nèi)角與它所對邊之外的兩邊。

5、上題中運用正弦定理可求解的問題的解題思路是怎樣的？

二、實戰(zhàn)操作：

??例

1、已知：在?ABC中，?A?45，?C?30，c?10，解此三角形。

?例

2、已知：在?ABC中，?A?45，AB?6，BC?2，解此三角形。

用心愛心專心

第五篇：高中數(shù)學 《正弦定理》教案1 蘇教版必修5

第 1 課時：§1.1正弦定理（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容和推導過程；

2.能解決一些簡單的三角形度量問題（會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題）；能夠運用正弦定理解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題；

3.通過三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識間聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.4.在問題解決中,培養(yǎng)學生的自主學習和自主探索能力．

二、過程與方法

讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；

2.培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

【教學重點與難點】：

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

【學法與教學用具】：

1.學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：abc??，接著就一般斜三角形sinAsinBsinC

進行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎。

2.教學用具：多媒體、實物投影儀、直尺、計算器

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創(chuàng)設情景，揭示課題

1.在直角三角形中的邊角關系是怎樣的？

2.這種關系在任意三角形中也成立嗎？

3.介紹其它的證明方法

二、研探新知

1.正弦定理的推導

aB,sinB?,sinC?1，cC

abcabc 即 c?，c?，c?∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC（1）在直角三角形中：sinA?

能否推廣到斜三角形？

（2）斜三角形中

證明一：（等積法，利用三角形的面積轉換）在任意斜△ABC中，先作出三邊上的高AD、BE、CF，則AD?csinB，BE?asinC，CF?bsinA．所以S?ABC?111absinC?acsinB?

bcsinA，每項22

21abc

??同除以abc即得：．

2sinAsinBsinC

證明二：（外接圓法）如圖所示，∠A＝∠D

bcaa?2R，?2R ??CD?2R同理 ∴

sinAsinDsinBsinC

???????????????

證明三：（向量法）過A作單位向量j垂直于AC，由AC+CB?AB，兩邊同乘以單位向量j得j

????????????????

?(AC+CB)?j?AB，則j?AC+j?CB?j?AB

??????

????????????

∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

ac

∴asinC?csinA∴=

sinAsinC????cbabc

??同理，若過C作j垂直于CB得：=∴ sinAsinBsinCsinCsinB

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA

2.理解定理

?

b

sinB

?

c

sin

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC；

（2）

abcabbcac

==等價于=，=，=，即可得正弦定理的sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinC

變形形式：

1）a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；

abc,sinB?,sinC?； 2R2R2R

3）sinA:sinB:sinC?a:b:c．

2）sinA?

（3）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題：1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如a?

bsinA

； sinB

a

sinB。b

2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角．如sinA?一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形，有兩解或一解（見圖示）．

a?bsinAbsinA?a?ba?ba?b

一解兩解一解一解

abc

注意：（1）正弦定理的敘述：在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等，==

sinAsinBsinC

它適合于任何三角形。（2）可以證明

abc

?2R（R為△ABC外接圓半徑）==

sinAsinBsinC

（3）每個等式可視為一個方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1 已知在?ABC中，c?10,A?450,C?300,求a,b和B 解：?c?10,A?45,C?30∴B?180?(A?C)?105由

ac

?得sinAsinC

csinA10?sin450bc

???2 a?由得 sinBsinCsinCsin300

csinB10?sin1050?20

b???20sin75?20??56?52 0

sinC4sin30

例2 在?ABC中，b?,B?600,c?1,求a和A,C

bccsinB1?sin6001解：∵?,?sinC???，?b?c,B?600,?C?B,C為銳角，sinBsinCb2

3?C?300,B?900∴a?b2?c2?

2例3 ?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C

accsinA6?sin450300

?,?sinC???解：? ?csinA?a?c,?C?60或120 sinAsinCa22csinB6sin750

?當C?60時，B?75,b???3?1，0

sinCsin60

csinB6sin150

?當C?120時，B?15,b????

1sinCsin600

?b??1,B?750,C?600或b?3?1,B?150,C?1200

例4 試判斷下列三角形解的情況：（1）已知b?11,c?12,B?600

（2）已知a?7,b?3,A?1100（3）已知b?6,c?9,B?450

四、鞏固深化，反饋矯正

1.在?ABC中，三個內(nèi)角之比A:B:C?1:2:3，那么a:b:c等于____ 2.在?ABC中，B?1350,C?150,A?5,則此三角形的最大邊長為_____

3.在?ABC中，已知a?xcm,b?2cm,B?450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，則的取值范圍是_____ 4.在?ABC中，已知b?2csinB，求?C的度數(shù)

五、歸納整理，整體認識

1．用三種方法證明了正弦定理：

（1）轉化為直角三角形中的邊角關系；（2）利用向量的數(shù)量積．（3）外接圓法 2．理論上正弦定理可解決兩類問題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角．

3.（1）判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關系：是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關系：是否兩角相等？是否三角相等？有無直角？有無鈍角？

（2）此類問題常用正弦定理（或?qū)W習的余弦定理）進行代換、轉化、化簡、運算，揭示出邊與邊，或角與角的關系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷．

六、承上啟下，留下懸念

七、板書設計（略）

八、課后記：