第一篇：專題六 線與三角形

專題六 線與三角形

一、考點(diǎn)知識(shí)掃描 最簡(jiǎn)單圖形：線與角 線：

1.直線、線段和射線的區(qū)別，表示方法；兩條相交直線確定一個(gè)交點(diǎn)。

2．線段的中點(diǎn)、兩點(diǎn)間的距離。

3．了解垂線段最短的性質(zhì)，平行線的基本性質(zhì)，掌握垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離等概念，※經(jīng)過直線上或直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直。

※直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短。其中垂線段的長(zhǎng)叫做點(diǎn)到直線的距離。

4．三類角的識(shí)別：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角。

※導(dǎo)角的方法：1）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。2）直角三角形兩銳角互余。3）等量代換法。4）全等法。5）外角定理。6）等邊對(duì)等角。

7）同角（或等角）的余角相等。

※證明平行的方法：1）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。2）平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行?！C明線段相等的方法：

1）等角對(duì)等邊。（用于要證明的兩線段在同一個(gè)三角形中）2）全等。（用于要證明的兩線段在兩個(gè)三角形中）

3）垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。（到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）

4）角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）。5）等量加（或減）等量，和（或者差）相等。6）面積相等法。

7）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

三角形：

1． 定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接

所組成的圖形叫做三角形。

※ 外角：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。

2． 邊的大小比較：※三角形任意兩邊之和大于第三邊?！切稳我鈨蛇呏钚∮诘谌叀?/p>

3． 角的大小比較：※三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和?！切蔚囊粋€(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

4． 三角形的分類：按角分有銳角三角形，直角三角形和鈍角

三角形。按邊分有不等邊三角形和等腰三角形（等邊三角形是其中的特殊情況）?！冗吶切我步姓切?。

5． 三線：三角形的角平分線、中線和高線（簡(jiǎn)稱高）?！?/p>

角形的三條角平分線交于一點(diǎn)；三角形的三條中線交于一點(diǎn)；三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)。

6． 全等：※全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（反過來

也成立，既可做為一種證明全等的方法，也可做為全等的性質(zhì)來應(yīng)用）。

7． 全等證明：證明一般的兩個(gè)三角形全等有以下四種方法：

邊邊邊（SSS），邊角邊（SAS）；角邊角（ASA）；角角邊（AAS）。證明兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，除了可以用以上四種方法外，還有一種方法：“斜邊、直角邊”或“HL”。具體內(nèi)容：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

8．等腰三角形：1）性質(zhì)；2）判定方法；3）三線合一（等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合）； 4）確定一個(gè)三角形是等邊三角形有如下方法：A 定義；B 有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形。C 三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。

9．關(guān)于直角三角形的性質(zhì)：1）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于300，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。3）勾股定理；（逆定理）

第二篇：相似三角形小結(jié)與復(fù)習(xí)

相似三角形小結(jié)與復(fù)習(xí)

教學(xué)目標(biāo)

1.對(duì)全章知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，掌握知識(shí)的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系.2.利用基本圖形結(jié)構(gòu)的形成過程，掌握本章的重點(diǎn)：平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定及性質(zhì)定理.3.通過例題分析，系統(tǒng)總結(jié)本章常用的數(shù)學(xué)思想方法，提高分析問題和解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)是掌握本章的主要概念、定理及數(shù)學(xué)方法.難點(diǎn)是靈活運(yùn)用以上知識(shí)，提高解題能力.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、掌握本章知識(shí)結(jié)構(gòu)

具體內(nèi)容見課本第258頁內(nèi)容提要.二、按照“特殊——一般——特殊”的認(rèn)識(shí)規(guī)律，理解本章的基本圖形的形成、變化及發(fā)展 過程，把握本章的兩個(gè)重點(diǎn)

1.平行線分線段成比例定理所對(duì)應(yīng)的基本圖形(如圖5－123).要求：

(1)用平行線分線段成比例定理及推論證明比例式，會(huì)分線段成已知比；(2)對(duì)圖5－123(a),(b)要求會(huì)用比例式證明兩直線平行.2.相似三角形所對(duì)應(yīng)的基本圖形.(1)類比推廣：從特殊到一般，如圖5－124；

(2)從一般到特殊：如圖5－125.要求：用對(duì)比的方法掌握相似三角形和相似多邊形的定義及性質(zhì)，系統(tǒng)總結(jié)相似三角形的判 定方法和使用范圍，尤其注意利用中間相似三角形的方法.3.熟悉一些常用的基本圖形中的典型結(jié)論有助于探求解題思路.(1)在圖5－125(a)中的相似三角形及相似比、面積比；

(2)在圖5－125(b)中有公邊共角的兩個(gè)相似三角形：公邊的平方等于兩相似三角形落在一條直線上的兩邊之積；(3)在圖5－125(d)中射影定理及面積關(guān)系等常用的乘積式.三、通過例題分析，系統(tǒng)總結(jié)本章常用的數(shù)學(xué)思想及方法

例1 已知：的值.分析：已知等比條件時(shí)常有以下幾種求值方法：(1)設(shè)比值為k;(2)比例的基本性質(zhì)；

(3)方程的思想，用其中一個(gè)字母表示其他字母.解法一 由則(a+b):(b－c)=25:3.，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.設(shè)a=10k,b=15k,c=12k, 解法二 ∵

∴, ∴ 解法三 ∵,∴a=, ∴

例2 已知：如圖5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線交于O點(diǎn)，過O作EF∥BC，分別交AB，DC于E，F(xiàn).求證：(1)OE=OF;(2);(3)若MN為梯形中位線，求證AF∥MC.分析：

(1)利用比例證明兩線段相等的方法.①若,a=c(或b=d或a=b)，則b=d(或a=c或c=d)；

②若,則a=b(只適用于線段，對(duì)實(shí)數(shù)不成立)；

③若，a=a′,b=b′,c=c′,則d=d′.(2)利用平行線證明比例式及換中間比的方法.(3)證明時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為“”類型后：

①化為直接求出各比值，或可用中間比求出各比值再相加，證明比值的和為1；

②直接通分或移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為證明四條線段成比例.(4)可用分析法證明第(3)題，并延長(zhǎng)兩腰將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.延長(zhǎng)BA，CD交于S，AF∥MC

∴ AF∥MC成立.(5)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)將問題進(jìn)行推廣.若直線EF平行移動(dòng)后不過點(diǎn)O，分別交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F(xiàn)，如圖5－126(b),O1F 與O2F是否相等?為什么?(6)其它常用的推廣問題的方法有：類比、從特殊到一般等.例3 已知：如圖5－127，在ΔABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AC于E，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，BE交AD于N，AF交BE于M.求證：AF⊥BE.分析：

(1)分解基本圖形探求解題思路.(2)總結(jié)利用相似三角形的性質(zhì)證明兩角相等，進(jìn)一步證明兩直線位置關(guān)系(平行、垂直等)的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到

結(jié)合中點(diǎn)定義得到得到AF⊥BE.,結(jié)合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2.進(jìn)一步可

(3)總結(jié)證明四條線段成比例的常用方法：①比例的定義；②平行線分線段成比例定理；③ 三角形相似的預(yù)備定理；④直接利用相似三角形的性質(zhì)；⑤利用中間比等量代換；⑥利用面 積關(guān)系.例4 已知：如圖5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求證：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：

(1)掌握基本圖形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用結(jié)論.①勾股定理：AC+BC=AB.②面積公式：AC·BC=AB·CD.③三個(gè)比例中項(xiàng)：AC=AD·AB,BC=BD·BA,CD=DA·DB.2

22222

⑤

(2)靈活運(yùn)用以上結(jié)論，并掌握恒等變形的各種方法，是解決此類問題的基本途徑，如等式 兩邊都乘或除以某項(xiàng)，都平方、立方，或兩等式相乘等.(3)學(xué)習(xí)三類問題的常見的思考方法，并熟悉常用的恒等變形方法.①證明a型：先得到a=bc型，再兩邊乘方，求出a來，進(jìn)行化簡(jiǎn)(證法一).或在a=bc兩邊乘以同一線段a，再進(jìn)行化簡(jiǎn)(證法二).②證明a:b=c:d型問題的常用方法： 22

3242(ⅰ)先證,再利用中間比證明(ⅱ)先證再兩邊平方：,然后設(shè)法將右邊降次，得

(ⅲ)先分別求出,兩式相乘得,再將右邊化簡(jiǎn).③證明a3:b3=c:d型問題的常用方法：

(ⅰ)先用有關(guān)定理求出，再通過代換變形實(shí)現(xiàn)；

(ⅱ)先證,兩邊平方或立方，再通過代換實(shí)現(xiàn)；

(ⅲ)先分別求出第(1)題：

證法一 ∵ CD=AD·BD, 2，然后相乘并化簡(jiǎn)：

∴ CD=AD·BD=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC)

=(AE·BF)·(AB·CD).422證法二 ∵ CD=AD·BD,CD=2

∴ CD=AD·BD·3=

=AE·BF·AB.第(2)題：

證法一 ∵,利用ΔBDF∽ΔDAE，證得,命 題得證.證法二 由證法三 ∵ ΔBCD∽ΔCAD，∴(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比)∵ DE∥BC，∴第(3)題： ,∴

證法一 ∵, ∴,∴

證法二： ΔADC∽ΔCDB，∴

∴·

證法三 ∵, ∴

四、師生共同小結(jié)

在學(xué)生思考總結(jié)的基礎(chǔ)上，教師歸納：

1.本章重點(diǎn)內(nèi)容及基本圖形.2.本章重要的解題方法、數(shù)學(xué)思想方法及研究問題的方法.五、作業(yè)

課本第261～265頁復(fù)習(xí)題五中選取.補(bǔ)充題：

1.利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算.已知：如圖5－129，在RtΔABC，中∠ACB=90°，E為AB上一點(diǎn)，過E作ED∥BC交AC于D，過D作DF⊥AC交AB于F.若EF：FB=2:1，ED=2，CD=,求FB的長(zhǎng).(答：2)

2.證明相似三角形的方法.如圖5－130，在ΔABC，中∠C=60°，AD，BE是ΔABC的高，DF為ΔABD的中線.求證：DE=DF.(提示：證明ΔCDE∽ΔCAB，得到.)3.已知：如圖5－131，ΔABC內(nèi)一點(diǎn)O，過O分別作各邊的平行線DE∥BC，F(xiàn)G∥AB，HK∥AC.求證：

(1)

(2)設(shè)SΔOEF=S1,SΔODH=S2,SΔOGK=S3,SΔABC=S.則4.構(gòu)造相似三角形來解決問題.(1)已知：如圖5－132，ΔABC中，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，AC=1，∠BAC=60°∠ABC=

100°，∠DEC=80°.求SΔABC+2SΔCDE；(答：)(提示：延長(zhǎng)AB至F，使F=AC.作∠BCF平分線交AF于G.—

(2)已知：如圖5－133，在ΔABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:4.求證：.(提示：把變形為，進(jìn)一步變形為.設(shè)法

構(gòu)造相似三角形，使其對(duì)應(yīng)邊的比分別為，作AE=AC,交BC延長(zhǎng)線于E，延長(zhǎng)AB至D，使BD=AC.)

5.構(gòu)造基本圖形(平行線分線段成比例定理).已知：如圖5－134，ΔABC的三邊BC，CA，AB上有點(diǎn)D，E，F(xiàn).若AD，BE，CF三線交于一點(diǎn)O.求證：.(塞瓦定理)

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明 本教案需用1課時(shí)完成.本節(jié)例2在三角形相似的判定(四)中出現(xiàn)過，如果學(xué)生已經(jīng)掌握，教師可在這節(jié)復(fù)習(xí)課中選 取補(bǔ)充題2或其它題目說明利用比例證明線段相等的方法.

第三篇：與三角形有關(guān)的角

與三角形有關(guān)的角

一．填空題（共8小題）

1．（2013?威海）將一副直角三角板如圖擺放，點(diǎn)C在EF上，AC經(jīng)過點(diǎn)D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，則∠CDF=．

2．（2013?上海）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個(gè)“特征三角形”的“特征角”為100°，那么這個(gè)“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為 _________ ．

3．（2013?黔西南州）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=

4．（2013?荊門）若等腰三角形的一個(gè)角為50°，則它的頂角為．

5．（2013?葫蘆島）三個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50°，則∠1+∠2=°．

6．（2013?河北）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B= _________ °．

7．（2013?達(dá)州）如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分線交于點(diǎn)A2013，則∠A2013=

8．（2012?呼和浩特）如圖，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC= _________ ．

二．解答題（共13小題）

9．（2011?青海）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．

探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由．

探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）

結(jié)論： _________ ．

10．（2010?玉溪）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系

（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．

11．如圖，CB∥OA，∠B=∠A=100°，E、F在CB上，且滿足∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．

（1）求∠EOC的度數(shù)；

（2）若平行移動(dòng)AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個(gè)比值；

（3）在平行移動(dòng)AC的過程中，是否存在某種情況，使∠OEB=∠OCA？若存在，求出∠OCA度數(shù)；若不存在，說明理由．

12．實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．

（1）如圖，一束光線m射到平面鏡上，被a反射到平面鏡b上，又被b鏡反射，若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1=50°，則∠2= _________ °，∠3= _________ °；

（2）在（1）中，若∠1=55°，則∠3= _________ °，若∠1=40°，則∠3= _________ °；

（3）由（1）、（2）請(qǐng)你猜想：當(dāng)兩平面鏡a、b的夾角∠3= _________ °時(shí)，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行，請(qǐng)說明理由．

13．已知：△ABC中，記∠BAC=α，∠ACB=β．

（1）如圖1，若AP平分∠BAC，BP，CP分別平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于點(diǎn)D，用α的代數(shù)式表示∠BPC的度數(shù)，用β的代數(shù)式表示∠PBD的度數(shù)

（2）如圖2，若點(diǎn)P為△ABC的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，BD⊥AP于點(diǎn)D，猜想（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化，補(bǔ)全圖形并直接寫出你的結(jié)論．

14．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，請(qǐng)根據(jù)題中所給的條件，解答下列問題：

（1）如圖1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度數(shù)．

（2）通過以上的計(jì)算你發(fā)現(xiàn)∠EAD和∠ACB﹣∠B之間的關(guān)系應(yīng)為： _________ ．

（3）在圖2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的結(jié)論仍然成立嗎？為什么？

15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)A以每秒m個(gè)單位長(zhǎng)度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒n個(gè)單位長(zhǎng)度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)．

（1）已知運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，B點(diǎn)比A點(diǎn)多運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位；運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，B點(diǎn)與A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程和為6個(gè)單位，求m、n；

（2）如圖2，設(shè)∠OBA的鄰補(bǔ)角的平分線、∠OAB的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點(diǎn)P，∠P的大小是否發(fā)生改變？若不變，求其值；若變化，說明理由．

（3）若∠OBA的平分線與∠OAB的鄰補(bǔ)角的平分線的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，∠Q的大小是否發(fā)生改變？如不發(fā)生改變，求其值；若發(fā)生改變，請(qǐng)說明理由．

16．生活中到處都存在著數(shù)學(xué)知識(shí)，只要同學(xué)們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，就會(huì)有許多意想不到的收獲，如圖兩幅圖都是由同一副三角板拼湊得到的：

（1）請(qǐng)你計(jì)算出圖1中的∠ABC的度數(shù)．

（2）圖2中AE∥BC，請(qǐng)你計(jì)算出∠AFD的度數(shù)．

17．如圖，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CD是AB邊上的高；CE是∠ACB的平分線，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度數(shù)．

18．已知如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：

（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系： _________ ；

（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)： _________ 個(gè)；

（3）在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，試求∠P的度數(shù)；

19．（1）如圖①∵∠B+∠D+∠1=180°

又∵∠1=∠A+∠2

∠2=∠C+∠E

∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°

（2）將圖①變形成圖②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然為180°，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．

（3）將圖①變形成圖③，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E還為180°，請(qǐng)繼續(xù)證明這個(gè)結(jié)

論．

20．如圖

（1）如圖（1），∠ADC=100°，試求∠A+∠B+∠C的度數(shù)；

（2）如圖（2）所示，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，試求∠O的度數(shù)．

21．在小學(xué)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道三角形的三個(gè)角之和等于180°，如圖，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分線，AD⊥BC于D．

（1）求∠DAE的度數(shù)；

（2）判定AD是∠EAC的平分線嗎？說明理由．

（3）若∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度數(shù)．（∠C＞∠B）

第四篇：向量與三角形的重心

向量與三角形的重心

????????????例1 已知A，B，C是不共線的三點(diǎn)，G是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若GA?GB?GC?0．求

證：G是△ABC的重心．

????????????????????????證明：如圖1所示，因?yàn)镚A?GB?GC?0，所以GA??(GB?GC)．

????????????????????以GB，GC為鄰邊作平行四邊形BGCD，則有GD?GB?GC，????????所以GD??GA．

????????又因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜝GCD中，BC交GD于點(diǎn)E，所以BE?EC，????????????????GE?ED．所以AE是△ABC的邊BC的中線，且GA?2GE．

故G是△ABC的重心．

點(diǎn)評(píng)：①解此題要聯(lián)系重心的性質(zhì)和向量加法的意義；②把平面幾何知識(shí)和向量知識(shí)結(jié)合起來解決問題是解此類問題的常用方法．

變式引申：已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，AC，AB的中點(diǎn)．求證： ????????????AD?BE?CF?0．

證明：如圖2的所示，????????????????????????????????????????????AD?AC?CD????????????????2AD?AC?AB?CD?BD，即2AD?AC?AB． AD?AB?BD??

????????????????????????同理2BE?BA?BC，2CF?CA?CB．

?????????????2A(D?BE?C)F?A?C

????????????0?C?F?AD?BE． ????????????????．?AB?BA?B0C? CA?CB????????

點(diǎn)評(píng)：該例考查了三角形法則和向量的加法．

例2 如圖3所示，△ABC的重心為G，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，????????????????OA?a，OB?b，OC?c，試用a，b，c表示OG．

解：設(shè)AG交BC于點(diǎn)M，則M是BC的中點(diǎn)，????????????b?aAB?AC?BC?c?b．則，c?a，?????1??????1??1?AM?ABb?C?a?(c?b)?(c?b?2a)． 22

2??????21????AGA(c?b?2a．)3

3????????????11故OG?OA?AG?a?(c?b?2a)?(a?b?c)． 33

點(diǎn)評(píng)：重心問題是三角形的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，充分利用重心性質(zhì)及向量加、減運(yùn)算的幾何意義是解決此類題的關(guān)鍵．

變式引申：如圖4，平行四邊形ABCD的中心為O，????1????????????????P為該平面上任意一點(diǎn)，則PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

?????????????????????????????????????PO?PA?AO，PO?PB?BO，PO?PC?CO，證法1：

????????????PO?PD?DO，?????????????????P?BP?C PD?4PO?PA，???? ????1????????????????即PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

????1????????????1????????證法2：?PO?(PA?PC)，PO?(PB?PD)，22

????1?????????????????PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

點(diǎn)評(píng)：（1）證法1運(yùn)用了向量加法的三角形法則，證法2運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則．

????????????????（2）若P與O重合，則上式變?yōu)镺A?OB?OC?OD?0．

第五篇：全等三角形定義與證明

全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。

把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，可以簡(jiǎn)寫成“SSS”

兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，可以簡(jiǎn)寫成“SAS”

兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，可以簡(jiǎn)寫成“ASA”

兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，可以簡(jiǎn)寫成“AAS” 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，可以簡(jiǎn)寫成“HL”

角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上。

軸對(duì)稱

一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。

能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重疊的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)。

如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

與一條線短兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

點(diǎn)（X,Y）關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（X,-Y）

點(diǎn)（X,Y）關(guān)于Y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-X,Y）

兩條邊是相等的三角形是等腰三角形。

等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。

等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°，三個(gè)角都是相等的三角形是等邊三角形，有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

實(shí)數(shù)

如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。a的算術(shù)平方根記為a,讀作“根號(hào)a”，a叫做被開方數(shù)。

規(guī)定，0的算術(shù)平方根是0。

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方跟。這就是說如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根。求一個(gè)數(shù)a平方根的運(yùn)算叫做開平方。

正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根。

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根，這就是說，如果x3=a，那么x叫做a的立方根。求一個(gè)數(shù)的立方根運(yùn)算，叫做開立方。

正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.類似于平方根，一個(gè)數(shù)的a的立方根，用符號(hào)“3a”表示，讀作“三次根號(hào)a”。其中a是開方數(shù)，3是根指數(shù)。

很多數(shù)的平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)又叫做無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。

實(shí)數(shù)?有理數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)數(shù)

數(shù)a的相反數(shù)是-a，一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是本身，一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.一次函數(shù)

我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，有些量的數(shù)值是始終不變的，我們稱它們?yōu)槌Ａ俊?/p>

在一個(gè)變化對(duì)象中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x每一個(gè)確定的值，y都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說a是自變量，y是x的函數(shù)。當(dāng)x=a時(shí)y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a是的函數(shù)值。

對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每隊(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖像。

正比例函數(shù)

形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)。

正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖像是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線，我們稱它為y=kx。當(dāng)k＞0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨著X的增大y也增大，當(dāng)k＜0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小。

一次函數(shù)

形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+b，即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。當(dāng)k＞0時(shí),y隨x的增大而增大，當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小。

函數(shù)解析式y(tǒng)?kx?b選取

解出滿足條件的兩定點(diǎn)（x1，y1）與（x2，y2）畫出取數(shù)一次函數(shù)的圖像

任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化成ax+b=0(a,b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以借一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值。

由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b＞0或ax+b＜0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)函數(shù)值大(小)于0時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍。每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也就對(duì)應(yīng)兩條直線。從“數(shù)”的角度看，解方程相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是何值；從“形”的角度看，解方程相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)。

整式的乘法

am

同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。乘an?am?n（m，n都是正整數(shù)）?a?mn?amn（m，n都是正整數(shù)）

n積的乘方，等于我們把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。?ab??anbn（n為

正整數(shù)）

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得積相加。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等與這兩個(gè)數(shù)的平方差。?a?b??a?b??a?b 22

兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加，（或減）它們的積的2倍。?a?b?2

2a?a?b??a?2?2ab?b?2ab?b222

添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，擴(kuò)到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，擴(kuò)到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。a?a?mnam?n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m

＞n)

任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于一。a?1(a?0)

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)分別相乘作為商的因式，對(duì)于只在被除數(shù)里含有的之母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

因式分解

我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解。即整式乘法的逆運(yùn)算。兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這個(gè)數(shù)的和與這個(gè)數(shù)的差的積。a?b??a?b??a?b?

兩個(gè)數(shù)的平方加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。220?a?b?2

2a?a?b??a?2?2ab?b?2ab?b222