第一篇：三角形的線與角練習(xí)

1.(本小題7分)下列說法正確的是()A.三角形的三條角平分線有可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外 B.三角形的三條高都在三角形內(nèi) C.三角形的三條高交于一點(diǎn) D.三角形的三條中線交于一點(diǎn)

2.(本小題7分)如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是()A.DE是△BCD的中線

B.BD是△ABC的中線 C.AD=DC，BE=EC

D.DE是△ABC的中線)如圖，△ABC中，AD⊥BC交BC的延長線于D，BE⊥AC交AC的延長線于E，CF⊥BC交AB于F，下列說法錯(cuò)誤的是()A.FC是△ABC的高

B.FC是△BCF的高 C.BE是△ABC的高

D.BE是△ABE的高 4.(本小題7分)如圖，在△ABC中，作BC邊上的高，下列

選項(xiàng)中正確的是

()

A.B

.C.D.5.(本小題7分)如圖，在△ABC中，∠1=∠2，G為AD的中點(diǎn)，延長BG交AC于E，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，CF⊥AD于H．則下列判斷正確的個(gè)數(shù)是()①AD是△ABE的角平分線；②BG是△ABD的中線；③CH為△ACD中AD邊上的高.A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.0個(gè)

6.(本小題7分)如圖，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)O在AD上，且OE⊥BC于E，∠BAC=60°，∠C=80°，則∠EOD的度數(shù)為()

A.20°

B.30°

C.10°

D.15°

五題圖

7.(本小題7分)有3cm，6cm，8cm，9cm的四條線段，任選其中的三條線段組成一個(gè)三角形，則最多能組成三角形的個(gè)數(shù)為()A.1

B.2

C.3

D.4 8.(本小題7分)已知三角形的三邊長分別是3，8，x；若x的值為偶數(shù)，則x的值有()A.6個(gè)

B.5個(gè)

C.4個(gè)

D.3個(gè)

六題圖

9.(本小題7分)三角形兩邊長為2和9，周長為偶數(shù)，則第三邊長為()A.7

B.8

C.9

D.10 10.(本小題7分)已知三角形的兩邊分別為3和8，且周長為偶數(shù)，則周長為()A.大于5，小于11

B.18

C.20

D.18或20 11.(本小題7分)一個(gè)三角形的兩邊分別是5和11，若第三邊是整數(shù)，則這個(gè)三角形的 最小周長是()A.21

B.22

C.23

D.24 12.(本小題8分)已知等腰三角形的周長為16，其中一邊長為3，則該等腰三角形的腰長為()A.3

B.10

C.6.5

D.3或6.5 14.(本小題8分)已知等腰三角形的周長為13，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊為()A.5

B.3

C.5或3

D.9

三角形的線與角

一、知識(shí)點(diǎn)睛

三角形的定義：由________________________________首尾順次相連組成的平面圖形叫做三角形． 三角形三邊關(guān)系：

①______________________________________________； ②______________________________________________． 三角形相關(guān)的線：

①三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的_________叫做三角形的角平分線．

②三角形的中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的________，叫做這個(gè)三角形的中線． 三角形的三條中線_____________交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的__________． ③三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的________叫做三角形的高線（簡(jiǎn)稱三角形的高）．

三角形具有穩(wěn)定性；四邊形具有不穩(wěn)定性． 三角形相關(guān)的角：

（1）三角形的內(nèi)角和等于__________．

（2）直角三角形兩銳角_____________．有兩個(gè)角_________的三角形是直角三角形．（3）______________________組成的角，叫做三角形的外角．（4）三角形外角定理：三角形的一個(gè)外角等于_____________ C_________________________________．

二、精講精練

作出下圖三角形的三條高線．

如圖，在△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高． BA填空：

?（1）BE=_________12__________； ?12__________；

BA（2）∠BAD=__________

EDFC（3）∠AFB=__________=90°；（4）S△ABC=_______________．

EA如圖，在△ABC中，AB=2，BC=4．△ABC的高AD與CE的比是______________．

下面設(shè)計(jì)的原理不是利用三角形穩(wěn)定性的是（）

BDCA．三角形的房架

B．自行車的三角形車架 C．長方形門框的斜拉條

D．由四邊形組成的伸縮門 如圖，為估計(jì)池塘岸邊A，B兩點(diǎn)的距離，小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測(cè)得OA=15米，OB=10米，A，B間

O的距離不可能是（）

A．5米

B．10米

C．15米

D．20米 下列長度的三條線段能組成三角形的是（）

BA．1 cm，2 cm，5 cm B．4 cm，5 cm，9 cm AC．5 cm，8 cm，15 cm

D．6 cm，8 cm，9 cm 一個(gè)等腰三角形的一邊長為6 cm，周長為20 cm，則底邊長為_________． 一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為_____．

若一個(gè)三角形的三邊長是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其周長m滿足10＜m＜22，則這樣的三角形有_________個(gè)．

A滿足下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）

A．∠B+∠A=∠C

B．∠A:∠B:∠C=2:3:5

北C．∠A=2∠B=3∠C

D．∠B+∠C=90°

如圖，B處在A處的南偏西45°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東80°方向，則∠ACB=________． B

已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E．若∠A=75°，D∠ADE=35°，則∠EDC=____________．

AB如圖，△ABC中，∠B=∠C，E是AC上一點(diǎn)，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分別為D，F(xiàn)，若∠AED=140°，則∠C=______，∠BDF=__________，∠A=__________． F

如果三角形的一個(gè)外角與它的一個(gè)內(nèi)角相等，那么這個(gè)三角形只能是________三角形．

B

已知：如圖，在△ABE中，D是BE上一點(diǎn)，C是AE延長線上一點(diǎn)，連接CD．若∠BDC=140°，∠B=35°，∠C=25°，則∠A=_____________．

D B如圖，D是AB上一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，BE，CD相交于點(diǎn)F，∠A=60°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，則∠BDC=_______，∠BEC=________，∠BFC=________．

ACAECECDECAEDFADFBECBCGH

第17題圖

17、已知：如圖，在△ABC中，DE∥BC，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)E的延長線交BC的延長線于點(diǎn)G，∠A=45°，∠ADE=60°，∠CEG=40°，則∠EGH=______．

已知，如圖△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線．求∠DAE的度數(shù)． AB

DEC

7.(本小題7分)如圖，已知BD是△ABC的中線，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周長的差是()A.2 B.3 C.6 D.不能確定

【參考答案】

一、知識(shí)點(diǎn)睛

由不在同一條直線上的三條線段

三角形兩邊的和大于第三邊

三角形兩邊的差小于第三邊 線段 線段 在三角形的內(nèi)部 重心 線段（1）180°

（2）互余 互余

（3）三角形的一邊與另一邊延長線（4）和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

二、精講精練 作圖略

1BC?AFCE，BC；∠DAC，∠BAC；∠AFC；2

1:2 D A D 8 cm或6 cm 12 4 C 85° 35° 50°

40°

80° 直角 80° 95°

80°

115° 145°

解：如圖，∵∠B=60°，∠C=45° ∴∠∠∠C =70°

∵AE是∠BAC的平分線

1∴∠EAC=2∠BAC=35°

∵AD是BC邊上的高 ∴∠ADC=90° ∵∠C=45° ∴∠∠C=45° ∴∠DAE=∠∠EAC

=10°

第二篇：專題六 線與三角形

專題六 線與三角形

一、考點(diǎn)知識(shí)掃描 最簡(jiǎn)單圖形：線與角 線：

1.直線、線段和射線的區(qū)別，表示方法；兩條相交直線確定一個(gè)交點(diǎn)。

2．線段的中點(diǎn)、兩點(diǎn)間的距離。

3．了解垂線段最短的性質(zhì)，平行線的基本性質(zhì)，掌握垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離等概念，※經(jīng)過直線上或直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直。

※直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短。其中垂線段的長叫做點(diǎn)到直線的距離。

4．三類角的識(shí)別：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角。

※導(dǎo)角的方法：1）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。2）直角三角形兩銳角互余。3）等量代換法。4）全等法。5）外角定理。6）等邊對(duì)等角。

7）同角（或等角）的余角相等。

※證明平行的方法：1）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。2）平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行。※證明線段相等的方法：

1）等角對(duì)等邊。（用于要證明的兩線段在同一個(gè)三角形中）2）全等。（用于要證明的兩線段在兩個(gè)三角形中）

3）垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。（到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）

4）角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）。5）等量加（或減）等量，和（或者差）相等。6）面積相等法。

7）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

三角形：

1． 定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接

所組成的圖形叫做三角形。

※ 外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

2． 邊的大小比較：※三角形任意兩邊之和大于第三邊。※三角形任意兩邊之差小于第三邊。

3． 角的大小比較：※三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和?！切蔚囊粋€(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

4． 三角形的分類：按角分有銳角三角形，直角三角形和鈍角

三角形。按邊分有不等邊三角形和等腰三角形（等邊三角形是其中的特殊情況）?！冗吶切我步姓切?。

5． 三線：三角形的角平分線、中線和高線（簡(jiǎn)稱高）。※三

角形的三條角平分線交于一點(diǎn)；三角形的三條中線交于一點(diǎn)；三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)。

6． 全等：※全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（反過來

也成立，既可做為一種證明全等的方法，也可做為全等的性質(zhì)來應(yīng)用）。

7． 全等證明：證明一般的兩個(gè)三角形全等有以下四種方法：

邊邊邊（SSS），邊角邊（SAS）；角邊角（ASA）；角角邊（AAS）。證明兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，除了可以用以上四種方法外，還有一種方法：“斜邊、直角邊”或“HL”。具體內(nèi)容：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

8．等腰三角形：1）性質(zhì)；2）判定方法；3）三線合一（等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合）； 4）確定一個(gè)三角形是等邊三角形有如下方法：A 定義；B 有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形。C 三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。

9．關(guān)于直角三角形的性質(zhì)：1）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于300，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。3）勾股定理；（逆定理）

第三篇：與三角形有關(guān)的角

與三角形有關(guān)的角

一．填空題（共8小題）

1．（2013?威海）將一副直角三角板如圖擺放，點(diǎn)C在EF上，AC經(jīng)過點(diǎn)D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，則∠CDF=．

2．（2013?上海）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個(gè)“特征三角形”的“特征角”為100°，那么這個(gè)“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為 _________ ．

3．（2013?黔西南州）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=

4．（2013?荊門）若等腰三角形的一個(gè)角為50°，則它的頂角為．

5．（2013?葫蘆島）三個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50°，則∠1+∠2=°．

6．（2013?河北）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B= _________ °．

7．（2013?達(dá)州）如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分線交于點(diǎn)A2013，則∠A2013=

8．（2012?呼和浩特）如圖，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC= _________ ．

二．解答題（共13小題）

9．（2011?青海）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．

探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由．

探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）

結(jié)論： _________ ．

10．（2010?玉溪）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系

（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．

11．如圖，CB∥OA，∠B=∠A=100°，E、F在CB上，且滿足∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．

（1）求∠EOC的度數(shù)；

（2）若平行移動(dòng)AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個(gè)比值；

（3）在平行移動(dòng)AC的過程中，是否存在某種情況，使∠OEB=∠OCA？若存在，求出∠OCA度數(shù)；若不存在，說明理由．

12．實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．

（1）如圖，一束光線m射到平面鏡上，被a反射到平面鏡b上，又被b鏡反射，若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1=50°，則∠2= _________ °，∠3= _________ °；

（2）在（1）中，若∠1=55°，則∠3= _________ °，若∠1=40°，則∠3= _________ °；

（3）由（1）、（2）請(qǐng)你猜想：當(dāng)兩平面鏡a、b的夾角∠3= _________ °時(shí)，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行，請(qǐng)說明理由．

13．已知：△ABC中，記∠BAC=α，∠ACB=β．

（1）如圖1，若AP平分∠BAC，BP，CP分別平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于點(diǎn)D，用α的代數(shù)式表示∠BPC的度數(shù)，用β的代數(shù)式表示∠PBD的度數(shù)

（2）如圖2，若點(diǎn)P為△ABC的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，BD⊥AP于點(diǎn)D，猜想（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化，補(bǔ)全圖形并直接寫出你的結(jié)論．

14．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，請(qǐng)根據(jù)題中所給的條件，解答下列問題：

（1）如圖1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度數(shù)．

（2）通過以上的計(jì)算你發(fā)現(xiàn)∠EAD和∠ACB﹣∠B之間的關(guān)系應(yīng)為： _________ ．

（3）在圖2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的結(jié)論仍然成立嗎？為什么？

15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)A以每秒m個(gè)單位長度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒n個(gè)單位長度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)．

（1）已知運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，B點(diǎn)比A點(diǎn)多運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位；運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，B點(diǎn)與A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程和為6個(gè)單位，求m、n；

（2）如圖2，設(shè)∠OBA的鄰補(bǔ)角的平分線、∠OAB的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點(diǎn)P，∠P的大小是否發(fā)生改變？若不變，求其值；若變化，說明理由．

（3）若∠OBA的平分線與∠OAB的鄰補(bǔ)角的平分線的反向延長線相交于點(diǎn)Q，∠Q的大小是否發(fā)生改變？如不發(fā)生改變，求其值；若發(fā)生改變，請(qǐng)說明理由．

16．生活中到處都存在著數(shù)學(xué)知識(shí)，只要同學(xué)們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，就會(huì)有許多意想不到的收獲，如圖兩幅圖都是由同一副三角板拼湊得到的：

（1）請(qǐng)你計(jì)算出圖1中的∠ABC的度數(shù)．

（2）圖2中AE∥BC，請(qǐng)你計(jì)算出∠AFD的度數(shù)．

17．如圖，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CD是AB邊上的高；CE是∠ACB的平分線，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度數(shù)．

18．已知如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：

（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系： _________ ；

（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)： _________ 個(gè)；

（3）在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，試求∠P的度數(shù)；

19．（1）如圖①∵∠B+∠D+∠1=180°

又∵∠1=∠A+∠2

∠2=∠C+∠E

∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°

（2）將圖①變形成圖②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然為180°，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．

（3）將圖①變形成圖③，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E還為180°，請(qǐng)繼續(xù)證明這個(gè)結(jié)

論．

20．如圖

（1）如圖（1），∠ADC=100°，試求∠A+∠B+∠C的度數(shù)；

（2）如圖（2）所示，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，試求∠O的度數(shù)．

21．在小學(xué)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道三角形的三個(gè)角之和等于180°，如圖，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分線，AD⊥BC于D．

（1）求∠DAE的度數(shù)；

（2）判定AD是∠EAC的平分線嗎？說明理由．

（3）若∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度數(shù)．（∠C＞∠B）

第四篇：線與角教案

基本平面圖形

知識(shí)點(diǎn)

1、線段、直線、射線的概念：

線段：一段拉直的棉線可近似地看作線段，線段有兩個(gè)端點(diǎn)。

線段的畫法：（1）畫線段時(shí)，要畫出兩個(gè)端點(diǎn)之間的部分，不要畫出向任何一方延伸的情況．（2）以后我們說“連結(jié) ”就是指畫以A、B 為端點(diǎn)的線段．

射線：將線段向一個(gè)方向無限延長，就形成了射線，射線有一個(gè)端點(diǎn)。如手電筒、探照燈射出的光線等。

射線的畫法：畫射線 一要畫出射線端點(diǎn) ；二要畫出射線經(jīng)過一點(diǎn)，并向一旁延伸的情況．

直線：將線段向兩個(gè)方向無限延長就形成了直線，直線沒有端點(diǎn)。如筆直的鐵軌等。

直線的畫法：用直尺畫直線，但只能畫出一部分，不能畫端點(diǎn)。

知識(shí)點(diǎn)

2、線段、直線、射線的表示方法：

（1）點(diǎn)的記法：用一個(gè)大寫英文字母

（2）線段的記法：①用兩個(gè)端點(diǎn)的字母來表示②用一個(gè)小寫英文字母表示 如圖：

記作線段AB或線段BA，記作線段a，與字母順序無關(guān) 此時(shí)要在圖中標(biāo)出此小寫字母

（3）

射線的記法：用端點(diǎn)及射線上一點(diǎn)來表示，注意端點(diǎn)的字母寫在前面

如圖：

OM

記作射線OM,但不能記作射線MO（4）直線的記法：①用直線上兩個(gè)點(diǎn)來表示②用一個(gè)小寫字母來表示

如圖：

lABABa記作直線AB或直線BA，記作直線l 與字母順序無關(guān)。此時(shí)要在圖中標(biāo)出此小寫字母

知識(shí)點(diǎn)

3、線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系：

聯(lián)系：三者都是直的，線段向一個(gè)方向延長可得到射線，線段向兩個(gè)方向延長可得到直線，故射線、線段都是直線的一部分，線段是射線的一部分。

區(qū)別：直線可以向兩方延伸，射線可以向一方無限延伸，線段不能延伸，三者的區(qū)別見下

k

知識(shí)點(diǎn)

4、直線的基本性質(zhì)（重點(diǎn)）

（1）經(jīng)過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線（2）經(jīng)過兩點(diǎn)只可以畫一條直線

直線的基本性質(zhì)：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線（也就是說：兩點(diǎn)確定一條直線）注：“確定”體現(xiàn)了“有”，又體現(xiàn)了“只有”。如圖：

經(jīng)過點(diǎn)K可以畫無數(shù)條直線 經(jīng)過點(diǎn)A、B只可以畫一條直線

【典型例題】

【例1】如圖，下列幾何語句不正確的是（）A、直線AB與直線BA是同一條直線 B、射線OA與射線OB是同一條射線 C、射線OA與射線AB是同一條射線 D、線段AB與線段BA是同一條線段

OABAB

【例2】指出右圖中的射線（以O(shè)為端點(diǎn)）和線段。

【例3】讀出下列語句，并畫出圖形。（1）直線AB經(jīng)過點(diǎn)M ．（2）點(diǎn)A在直線l外．（3）經(jīng)過M點(diǎn)的三條直線．（4）直線AB與CD相交于點(diǎn)O．

（5）直線l經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)C在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間．

【例4】讀句畫圖（在右圖中畫）（1）連結(jié)BC、AD（2）畫射線AD（3）畫直線AB、CD相交于E（4）延長線段BC，反向延長線段DA相交與F（5）連結(jié)AC、BD相交于O

BCADOA BC 隨堂練

一、填空

1．若線段AB=a，C是線段AB上的任意一點(diǎn)，M、N分別是AC和CB的中點(diǎn)，則MN=_______.2．經(jīng)過１點(diǎn)可作________條直線；如果有3個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過其中任意兩點(diǎn)作直線，可以作______條直線；經(jīng)過四點(diǎn)最多能確定條直線。

4．如圖，學(xué)生要去博物館參觀，從學(xué)校A處到博物館B處的路徑共有⑴、⑵、⑶三條，為了節(jié)約時(shí)間，盡快從A處趕到B處，假設(shè)行走的速度不變，你認(rèn)為應(yīng)該走第________條線路（只填番號(hào)）最快，理由是___________________。5．若AB=BC=CD那么AD=AB AC=AD

６．直線上8點(diǎn)可以形成_______條線段；若n個(gè)點(diǎn)可以形成_____條線段。

７．如圖,點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是線段AC、BC的中點(diǎn).如果AB=a,AD=b, 其中a>2b,那么CE=。

８．如圖，若CB = 4 cm，DB = 7 cm，且D是AC的中點(diǎn)，則AC =_________________.９．下面由火柴桿拼出的一列圖形中，第n個(gè)圖形由幾根火柴組成．（4分）

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第4個(gè)圖形中，火柴桿有_______根，第n個(gè)圖形中，火柴桿有________根．

10．已知：A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，且線段AB=15cm，BC=5cm，則線段AC=_______。

11．如圖，圖中有______條射線，______條線段，這些線段是__________．

12．如圖，AC，BD交于點(diǎn)O，圖中共有______條線段，它們分別是______．

二、選擇題

1．根據(jù)“反向延長線段CD”這句話，下圖表示正確的是()．

2．如圖所示，有直線、射線和線段，根據(jù)圖中的特征判斷其中能相交的是()

3．下列說法中正確的有()①鋼筆可看作線段 ②探照燈光線可看作射線 ③筆直的高速公路可看作一條直線 ④電線桿可看作線段(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè) 4．下列說法中正確的語句共有()①直線AB與直線BA是同一條直線 ②線段AB與線段BA表示同一條線段 ③射線AB與射線BA表示同一條射線 ④延長射線AB至C，使AC＝BC ⑤延長線段AB至C，使BC＝AB ⑥直線總比線段長(A)2個(gè)(B)3個(gè)(C)4個(gè)(D)5個(gè)

5.如下圖，從A地到B地有多條道路，人們會(huì)走中間的直路，而不會(huì)走其他的曲折的路，這是因?yàn)?)．

(A)兩點(diǎn)確定一條直線(B)兩點(diǎn)之間線段最短

(C)兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)(D)兩點(diǎn)間的距離

6．對(duì)于線段的中點(diǎn)，有以下幾種說法：①因?yàn)锳M＝MB，所以M是AB的中點(diǎn)；②若AM＝MB11AB，則M是AB的中點(diǎn)；③若AM＝AB，則M是AB的中點(diǎn)；④若A，M，B在一條直22線上，且AM＝MB，則M是AB的中點(diǎn)．以上說法正確的是)． ＝(A)①②③(B)①③(C)②④(D)以上結(jié)論都不對(duì) 7．已知A，B，C為直線l上的三點(diǎn)，線段AB＝9cm，BC＝1cm，那A，C兩點(diǎn)間的距離是()．(A)8cm(B)9cm(C)10cm(D)8cm或10cm 8．已知線段OA＝5cm，OB＝3cm，則下列說法正確的是()(A)AB＝2cm(B)AB＝8cm(C)AB＝4cm(D)不能確定AB的長度． 9．已知線段AB＝10cm，AP＋BP＝20cm．下列說法正確的是()(A)點(diǎn)P不能在直線AB上(B)點(diǎn)P只能在直線AB上(C)點(diǎn)P只能在線段AB的延長線上(D)點(diǎn)P不能在線段AB上 10．能判定A，B，C三點(diǎn)共線的是()(A)AB＝3，BC＝4，AC＝6(B)AB＝13，BC＝6，AC＝7(C)AB＝4，BC＝4，AC＝4(D)AB＝3，BC＝4，AC＝5 11．已知數(shù)軸上的三點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)a，b，c滿足a＜b＜c，abc＜0和a＋b＋c＝0，那么線段AB與BC的大小關(guān)系是()．(A)AB＞BC(B)AB＝BC(C)AB＜BC(D)不確定 12.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 B.兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短

C.經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線 D.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 13．平面上的三條直線最多可將平面分成（）部分 A ．3 B．6 C ． 7 D．9 14．如果A BC三點(diǎn)在同一直線上，且線段AB=4CM，BC=2CM，那么AC兩點(diǎn)之間的距離為（）

A ．2CM B． 6CM C ．2 或6CM D ．無法確定 15．下列說法正確的是（）

A．延長直線AB到C； B．延長射線OA到C； C．平角是一條直線； D．延長線段AB到C 16．如果你想將一根細(xì)木條固定在墻上，至少需要幾個(gè)釘子（）A．一個(gè) B．兩個(gè) C．三個(gè) D．無數(shù)個(gè) 17．點(diǎn)P在線段EF上，現(xiàn)有四個(gè)等式①PE=PF;②PE=

11EF;③EF=2PE;④2PE=EF;其中能表22示點(diǎn)P是EF中點(diǎn)的有（）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 18.如圖所示，從A地到達(dá)B地，最短的路線是（）．

A．A→C→E→B B．A→F→E→B C．A→D→E→B D．A→C→G→E→B 19．.如右圖所示，B、C是線段AD上任意兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，若MN=a，BC=b，則線段AD的長是（）

A ．2(a-b)B ．2a-b C ．a(chǎn)+b D ．a(chǎn)-b

20．.在直線l上順次取A、B、C三點(diǎn)，使得AB=5㎝，BC=3㎝，如果O是線段AC的中點(diǎn)，那么線段OB的長度是（）

A．2㎝ B．0.5㎝ C．1.5㎝ D．1㎝ 21．如果AB=8，AC=5，BC=3，則（）

A． 點(diǎn)C在線段AB上 B． 點(diǎn)B在線段AB的延長線上

C． 點(diǎn)C在直線AB外 D ．點(diǎn)C可能在直線AB上，也可能在直線AB外

三、解答題

1．已知C為線段AB的中點(diǎn)，AB＝10cm，D是AB上一點(diǎn)，若CD＝2cm，求BD的長．

2．已知C，D兩點(diǎn)將線段AB分為三部分，且AC∶CD∶DB＝2∶3∶4，若AB的中點(diǎn)為M，BD的中點(diǎn)為N，且MN＝5cm，求AB的長．

3.線段AD=6cm，線段AC=BD=4cm，E、F分別是線段AB、CD中點(diǎn)，求EF。

角：⑴有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的，這兩條射線叫做角的兩條邊。⑵角也可以看做是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形。射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分稱為角的內(nèi)部，平面的其余部分稱為角的外部。

注意：①角的大小與邊的長短關(guān)，只與構(gòu)成角的兩邊張開的幅度有關(guān)；②角的大小可以度量，可以比較，也可以參與運(yùn)算。角的表示方法：

(1).三個(gè)大寫字母表示：∠ABD, ∠ABC, ∠DBC(2).一個(gè)大寫字母表示:∠Ａ, ∠B, ∠C(3).希臘字母表示:∠α ∠β ∠γ(4).數(shù)字表示:∠1 ∠2 ∠3

例1：四個(gè)圖形中，能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角的是（）

角的分類：銳角、直角、鈍角、平角、周角的概念和大小（1）平角：角的兩邊成一條直線時(shí)，這個(gè)角叫平角。

（2）周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合時(shí)，這個(gè)角叫周角。

（3）0°＜銳角＜90°，直角=90°，90°＜鈍角＜180°，平角=180°，周角=360° 角的度量單位及換算：度、分、秒是常用的角的度量單位

1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°，1周角=2平角=4直角=360°，1平角=2直角=180°,1°=60′，1′=60″。

例2：(1)57.32°＝______°______′______″；(2)32°16′25″－78°25′=______

(3)17°14′24″＝______°； 時(shí)鐘問題：

1、鐘表上2時(shí)15分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)纬傻匿J角的度數(shù)是多少？

2、求7時(shí)8分兩針夾角

3、若時(shí)針由2點(diǎn)30分走到2點(diǎn)55分，問時(shí)針、分針各轉(zhuǎn)過多大角度？此時(shí)分針時(shí)針夾角是多少？

角的大小的比較方法：

（1）疊合法：比較兩個(gè)角的大小時(shí)，把角疊合起來使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，另一邊落

在同一條邊的同旁，則可比較大??；

（2）度量法：量出角的度數(shù)，就可以按照角的度數(shù)的大小來比較角的大小。

比較的結(jié)果有三種：①兩角相等；②一角大于另一角；③一角小于另一角。角的和、差、倍、分的度數(shù)等于角的度數(shù)的和、差、倍、分。

角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成的兩個(gè)角的線，叫做這個(gè)角的平分線。余角：如果兩個(gè)角的和等于°，就說這兩個(gè)角互為余角。補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于°，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角?；ビ?、互補(bǔ)的性質(zhì)：同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。

方位角：表示方向的角，它是指正北（或正南）方向線與目標(biāo)方向線之間所夾的銳角。如東偏北方向35.例3：燈塔A在燈塔B的南偏東70°，A、B相距4海里，輪船C在燈塔B的正東，在燈塔A的北偏東40°，試畫圖確定輪船C的位置.課后鞏固與練習(xí)?

1、下列說法正確的是

（）

A、直線AB和直線BA是兩條直線；B、射線AB和射線BA是兩條射線； C、線段AB和線段BA是兩條線段；D、直線AB和直線a不能是同一條直線

2、經(jīng)過同一平面內(nèi)任意三點(diǎn)中的兩點(diǎn)共可以畫出

A、一條直線 B、兩條直線

（）

C、一條或三條直線

D、三條直線

3、下列說法中錯(cuò)誤的是（）．

A．A、B兩點(diǎn)之間的距離為3cm B．A、B兩點(diǎn)之間的距離為線段AB的長度 C．線段AB的中點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離相等 D．A、B兩點(diǎn)之間的距離是線段AB

4、下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（）．

（1）射線AB和射線BA是同一條射線（2）延長射線MN到C（3）延長線段MN到A使NA==2MN（4）連結(jié)兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)間的距離

A．1 B．2 C．3 D．4

5、同一平面內(nèi)有四點(diǎn)，過每?jī)牲c(diǎn)畫一條直線，則直線的條數(shù)是（）

(A)1條(B)4條(C)6條(D)1條或4條或6條

6、如圖4,小華的家在A處，書店在B處，星期日小明到書店去買書，他想盡快的趕到書店，請(qǐng)你幫助他選擇一條最近的路線（）． A．A→C→D→B

B．A→C→F→B

圖4 C．A→C→E→F→B

D．A→C→M→B

7、已知點(diǎn)A、B、C都是直線l上的點(diǎn)，且AB=5cm，BC=3cm，那么點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離是（）.A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm 8.下列說法中正確的是()A 畫一條3厘米長的直線 B 畫一條3厘米長的射線

C 畫一條3厘米長的線段 D 在直線.射線.線段中直線最長 9.若點(diǎn)B在線段AC上，AB = 12cm，BC = 7cm，則A.C兩點(diǎn)間的距離是()A 5 cm B 19 cm C 5 cm或19 cm D 不能確定

10．已知：如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．

(1)若線段AC＝6，BC＝4，求線段MN的長度；(2)若AB＝a，求線段MN的長度；

11.如圖，已知C點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，AB＝10cm，求AD的長度。

一、選擇題

1．下列說法中正確的是()．

(A)兩條射線組成的圖形叫做角(B)平角的兩邊構(gòu)成一條直線(C)角的兩邊都可以延長

(D)由射線OA、OB組成的角，可以記作∠OAB

2．如圖，圖中共有()個(gè)角．

(A)6

(B)7(C)8

(D)9

3．如圖所示，點(diǎn)O在直線AB上，圖中小于180°的角共有()．(A)7個(gè)(C)9個(gè)

4．下列說法正確的是()

(A)一個(gè)周角就是一條射線(B)平角是一條直線(C)角的兩邊越長，角就越大(D)∠AOB也可以表示為∠BOA 5．從早晨6點(diǎn)到上午8點(diǎn)，鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為()．

(A)45°(B)60°(C)75°(D)90° 6．在小于平角的∠AOB的內(nèi)部取一點(diǎn)C，并作射線OC，則一定存在()．(A)∠AOC＞∠BOC

(B)∠AOC＝∠BOC(C)∠AOB＞∠AOC

(D)∠BOC＞∠AOC 7．如圖，∠AOB＝∠COD，則()．

(B)8個(gè)(D)10個(gè)

(A)∠1＞∠2(B)∠1＝∠2(C)∠1＜∠2

(D)∠1與∠2的大小無法比較

8．射線OC在∠AOB的內(nèi)部，下列四個(gè)式子中不能判定OC是∠AOB的平分線的是()．(A)∠AOB＝2∠AOC(B)∠BOC＝∠AOC(C)∠AOC?1∠AOB 2(D)∠AOC＋∠BOC＝∠AOB

9．不能用一副三角板拼出的角是()．

(A)120°(B)105°(C)100°(D)75°

10．若有一條公共邊的兩個(gè)三角形稱為一對(duì)“共邊三角形”，則下圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有()

(A)2對(duì)(B)3對(duì)(C)4對(duì)

二、填空題

1．圖中以O(shè)C為邊的角有______個(gè)，它們分別是______

(D)6對(duì)

2．如圖，圖中能用一個(gè)大寫字母表示的角有幾個(gè)?分別把它們表示出來．

_________________________．

三、解答題

1．如圖，OD、OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線，∠AOD＝40°，∠BOE＝25°，求∠AOB的度數(shù)．

2．已知：∠AOB＝31.5°，∠BOC＝24.3°，求∠AOC的度數(shù)．

3．如圖，從O點(diǎn)引四條射線OA、OB、OC、OD，若∠AOB，∠BOC，∠COD，∠DOA度數(shù)之比為1∶2∶3∶4．

(1)求∠BOC的度數(shù)．

(2)若OE平分∠BOC，OF、OG三等分∠COD，求∠EOG．（3)兩個(gè)角的比是7∶3，它們的差是72°，求這兩個(gè)角的度數(shù)

第五篇：《與三角形有關(guān)的角》教案設(shè)計(jì)

與三角形有關(guān)的角教案

李天明

從容說課

三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用．又因?yàn)槿切问嵌噙呅蔚囊环N，而且是最簡(jiǎn)單的多邊形．在幾何里，常常把多邊形分割成若干個(gè)三角形，利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究他們．因此對(duì)三角形性質(zhì)的研究就顯得十分重要．

在小學(xué)已學(xué)習(xí)過三角形的內(nèi)角的有關(guān)知識(shí)，知道三角形的內(nèi)角和為180°，?但是為什么是180°而不去研究．?在這里要求學(xué)生掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論及其證明．在證明過程中通過一題多解、一題多變，初步體會(huì)思維的多向性，引導(dǎo)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展；由內(nèi)角中的等量關(guān)系和外角中的不等關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)相等與不等關(guān)系的簡(jiǎn)單證明．引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)和外，相等和不等的不同角度對(duì)三角形作更全面的思考．

在教學(xué)中，首先讓學(xué)生動(dòng)手操作，把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼合在一起，探索它們的和及其原因，然后互相交流各自的想法，并歸納總結(jié)出結(jié)論．再尋求多渠道、不同途徑的解決問題的方法，使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)──思考──交流──總結(jié)──運(yùn)用的過程．讓他們不僅掌握知識(shí)點(diǎn)，還要知道為什么、做什么用，使學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活聯(lián)系起來．避免了數(shù)學(xué)的枯燥無味和脫離實(shí)際的現(xiàn)象，使數(shù)學(xué)真正運(yùn)用到實(shí)際中去．

教學(xué)課時(shí) 三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1．掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡(jiǎn)單運(yùn)用．

2．掌握三角形的外角的定義，三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論及其證明； 3．體會(huì)幾何中不等關(guān)系的簡(jiǎn)單證明．

二、過程與方法

1．通過探索“三角形內(nèi)角和定理”及其推論，?培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和實(shí)踐操作能力； 2．在學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和外角后，能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的問題，?訓(xùn)練學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力．

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1．通過讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲；

2．由具體實(shí)例的引導(dǎo)，?讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系及對(duì)人類歷史發(fā)展的作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與研究．

教學(xué)重點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理及推論．

教學(xué)難點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理及推論的證明和運(yùn)用． 教具準(zhǔn)備投影片三張：

第一張（記作7．2A）；第二張（7．2B）；第三張（7．2C）． 教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，導(dǎo)入新課

在小學(xué)我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和為180°，但究竟為什么是180°，我們沒有去研究，本節(jié)課我們來回答這個(gè)問題．

二、動(dòng)手試一試，你會(huì)有收獲 活動(dòng)1 問題：

在紙上畫一個(gè)三角形，并將它的內(nèi)角剪下，試著拼拼看，三個(gè)內(nèi)角的和是否為180°？ 設(shè)計(jì)意圖：

旨在讓學(xué)生親身實(shí)驗(yàn)一下，對(duì)所研究的問題產(chǎn)生興趣，激發(fā)好奇心和求知欲．通過親身經(jīng)歷，體會(huì)從具體情景中發(fā)現(xiàn)教學(xué)問題．

師生活動(dòng)：

讓學(xué)生人人畫一個(gè)三角形，并把三個(gè)角裁下來，拼在一起，讓他們自己得出結(jié)論． 生：三個(gè)角拼在一起，會(huì)得到一個(gè)180°的角． 師：為什么是180°呢？

生：因?yàn)槿齻€(gè)角合起來形成一個(gè)平角，而平角等于180°，?所以三個(gè)角的和為180°． 師：大家得出的結(jié)論相同嗎？你們畫的三角形都一樣嗎？如果不一樣，你能得出什么結(jié)論呢？ 生：我們互相交流一下，結(jié)論都是一樣的，但所畫的三角形并不完全一樣，所以說明三角形三個(gè)內(nèi)角的和與形狀沒有關(guān)系，?只要是三角形，?其內(nèi)角和就一定為180°．

師：大家回答得非常棒．但這只是實(shí)驗(yàn)，由觀察與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明來驗(yàn)證，那么怎樣證明呢？請(qǐng)同學(xué)們看投影片．

（出示投影片7．2A）

在圖7．2-1（1）中，∠B和∠C分別拼在∠A的左右兩側(cè)，?三個(gè)角合起來形成一個(gè)平角，出現(xiàn)一條過點(diǎn)A的直線L，移動(dòng)后的∠B和∠C各有一條邊在L上．想一想，L?與△ABC的邊BC有什么關(guān)系？由這個(gè)圖你能想出說明三角形內(nèi)角和等于180°這個(gè)結(jié)論正確的方法嗎？

請(qǐng)大家思考后再互相交流．

生：因?yàn)橐苿?dòng)后的∠C與未移動(dòng)時(shí)的∠C相等，而他們又是內(nèi)錯(cuò)角，由平行線的裁定可知，直線L與邊BC平行，所以可以過△ABC的頂點(diǎn)A作直線L平行于△ABC的邊BC，由平行線的性質(zhì)與平角的定義可知∠A+∠B+∠C=180°．

師：大家能寫出證明過程嗎？

這是一個(gè)文字命題，證明時(shí)應(yīng)先干什么呢？

生：需要先畫出圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證． 師：下面請(qǐng)一位同學(xué)完整地寫出過程．

生：如圖7．2-2，已知△ABC,求證：∠A+∠B+∠C=180°

證明：過A作直線DE∥BC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C． ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．

師：再觀察圖7．2-2（2）．輔助線的作法與圖7．2-1（1）一樣嗎？證明方法相同嗎？ 生：輔助線的作法不同．移動(dòng)前的∠A和移動(dòng)后的∠A相等，?且是內(nèi)錯(cuò)角的位置關(guān)系，可知直線L與邊AB平行，同時(shí)移動(dòng)前和移動(dòng)后的∠B是同位角也應(yīng)相等，?所以三個(gè)角拼在一起構(gòu)成了平角，故∠A+∠B+∠C=180°．

師：能寫出證明過程嗎？ 生：已知、求證和上面相同．

證明：如圖7．2-3延長BC到D，過C作CE∥AB．

∴∠A=∠ACE；∠B=∠ECD． ∵∠ACE+∠ACB+∠ECD=180°，∴∠A+∠ACB+∠B=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．

師：利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)怎樣？課下討論．從上面的兩種證明方法中，?大家能否找到它們的異同點(diǎn)？它們的思路是否一致呢？

生：相同點(diǎn)是：都是把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起，根據(jù)平角的定義，證明三角形的內(nèi)角和是180°；不同的是：輔助線的作法不同，前者是過A點(diǎn)作邊BC的平行線，后者是過C點(diǎn)作邊AB的平行線．但不管是過三角形的哪一個(gè)頂點(diǎn)，作另一邊的平行線，它們的思路基本一致，就是通過平行線，利用平行線的性質(zhì)，通過同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，把三個(gè)角都拼到一起，構(gòu)成一個(gè)平角，從而得證．

師：很好．大家的證明過程寫的非常好，分析的非常棒，找到了解決問題的思路．?根據(jù)思路，大家還能找到其他的證明方法嗎？

生：還可以這樣作輔助線，如圖7．2-4作CA的延長線AD，過點(diǎn)A作∠DAE=∠C，?則AE∥BC，所以∠EAB=∠B．因?yàn)椤螪AE+∠EAB+∠BAC=180°，故C+∠B+∠BAC=180°，?即∠A+∠B+∠C=180°．

師：大家做的非常好，前三種方法都是把三個(gè)角轉(zhuǎn)移到三角形的一個(gè)頂點(diǎn)處．?只要把它們拼到一起成為平角即可，那么是否可以轉(zhuǎn)移到其他地方呢？請(qǐng)大家討論．

生：如圖7．2-5，在BC上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于E，再過點(diǎn)D作DF∥AC?交AB于F．

∵DE∥AB，∴∠1=∠B，∠2=∠4． ∵DF∥AC，∴∠3=∠C，∠4=∠A． ∴∠2=∠A．

∵∠1+∠2+∠3=180°． ∴∠A+∠B+∠C=180°．

師：大家討論的非常棒．可見大家已掌握了三角形內(nèi)角和定理的證明，?并能根據(jù)思路拓展，由于時(shí)間關(guān)系，我們不再繼續(xù)了，在課后大家可以繼續(xù)討論有關(guān)問題，比如點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部？外部呢？

活動(dòng)2 出示投影片7．2B．

例：如圖7．2-6，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？

師生活動(dòng)：

師：請(qǐng)大家先觀察思考，題中出現(xiàn)的這些方位角，在圖上分別指出．

生：C島在A島的北偏東50°方向，指∠DAC=50°；B島在A島的北偏東80°方向，指∠DAB=80°；C島在A島的北偏西40°方向，指∠CBE=40°；要求的是∠AOB的度數(shù)．

師：下面再討論一下根據(jù)已知角，如果求出∠ACB的度數(shù)．

生：要求∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，需求出∠CAB和∠CBA的度數(shù)．?而∠CAB=∠DAB-∠DAC=80°-50°=30°，∠CBA=90°-∠CBE=90°-40°=50°．?所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-30°-50°=100°．

生：他做的不對(duì)，∠CBA不等于50°．因?yàn)椤螮BA不是90°而是因?yàn)锳D∥BE，∠DAB+∠ABE=180°． ∴∠ABE=180°-∠DAB=100°． ∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=60°． ∴∠ACB=180°-30°-60°=90°． 師：哪一位同學(xué)能把過程完整地寫一下呢？ 生：解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°． ∵AD∥BE，∴∠BAD+∠ABE=180°．

∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°． ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°． 在△ABC中．

∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°． 答：從C島看A、B兩島的視角∠ACB=90°．

師：大家看，過C點(diǎn)作AD的平行線CF，則AD∥CF∥BE，??往后課下完成． 嘗試反饋鞏固練習(xí)（出示投影片7．2C）

1．△ABC中，∠A=40°，∠B-∠C=30°． 求∠B，∠C．

2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：2． 求∠A，∠B，∠C．

3．在△ABC中，∠A+∠B=90°，∠C=2∠A． 求∠A，∠B，∠C．

4．如圖7．2-7，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AB邊上的高． 求∠DBC的度數(shù)． 設(shè)計(jì)意圖：

利用三角形內(nèi)角和定理求某些角的度數(shù)．

師生活動(dòng)：

生：1．解：∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A=140°． ∵∠B-∠C=30°，∴∠B=∠C+30°，∴∠C+30°+∠C=140°． ∴∠C=55°，∠B=85°．

2．解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：2，∴設(shè)∠A=x°，∠B=∠C=2x°． ∵∠A+∠B+∠C=180°，∴5x°=180°，∴x=36°．

∴∠A=36°，∠B=∠C=72°． 3．解：∵∠A+∠B=80°，∴∠C=180°-80°=100°． ∵∠C=2∠A，∴∠A=1∠C=50°，2∴∠B=180°-∠A-∠B=30°． 4．解：∵∠C=∠ABC=2∠A． ∴∠A=36°，∠C=72°． ∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°．

∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-90°-72°=18°． 活動(dòng)3 問題：

探究三角形外角的定義，外角與不相鄰內(nèi)角間的關(guān)系． 設(shè)計(jì)意圖：

旨在掌握三角形外角的定義的基礎(chǔ)上，利用三角形內(nèi)角和定理，推導(dǎo)出外角與不相鄰內(nèi)角間的關(guān)系．

師生活動(dòng)：

師：前面我們學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角，也稱為三角形的角，還掌握了內(nèi)角和定理，下面我們來探究一下三角形的外角．

生：顧名思義，三角形的內(nèi)角是三角形內(nèi)部的角，那角形的外角就是三角形外部的角．如圖7．2-8，∠BAC、∠C是三角形的內(nèi)角，∠BAE、∠CAD?、?∠EAD是三角形的角，稱為三角形的外角．

師：這位同學(xué)的分析似乎有道理，大家認(rèn)為怎么樣？討論后交流．

生：不正確，不能這樣想當(dāng)然．外角不是外部的角，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，如∠DAC、∠∠DAE雖然在三角形的外部，?但它的兩邊都是三角形的延不符合外角的定義，所以它不是外角．

么三∠B、外部

小組

而是EAB、長線，師：這位同學(xué)說出了外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長線，那么在上面的圖7．2-?8中，滿足條件的角（外角）是否只有∠DAC和∠EAB呢？請(qǐng)大家思考后作答．

生：不是．在三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，所以一個(gè)三角形有6個(gè)外角，?而且同一頂點(diǎn)處的兩個(gè)外角是對(duì)頂角，應(yīng)該相等．

師：大家的分析很詳細(xì)．那么這些外角與內(nèi)角之間有沒有關(guān)系，如果有，存在什么關(guān)系呢？將是下面我們要解決的問題．

如圖7．2-9，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°．∠ACD是△ABC的一個(gè)外角．能由∠A，∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A，∠B有什么關(guān)系？你能進(jìn)一步說明任意一個(gè)三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系嗎？

生：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB+∠ACD=180°． ∴∠ACD=∠A+∠B=130°．

所以三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和． 師：根據(jù)剛才這位同學(xué)的邏輯，那么∠ACD=∠A+∠ACD=∠B+∠ACB成立嗎？

生：不成立．

∠ACB，再如圖7．2-10，∠A=30°，∠B=40°．則∠ACB=110°．因?yàn)椤螦CB+∠ACD=180°，?所以∠ACD=70°．那么∠ACD=∠A+∠ACB成立嗎？

生：不成立．

師：為什么呢？那剛才的結(jié)論成立嗎？

生：不成立．在上圖中有結(jié)論∠ACD=∠A+∠B，本題中有∠ACD=∠A+∠B．而∠A，∠B與∠ACD不相鄰，所以上面的結(jié)論應(yīng)改為：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．

師：那么外角與其中一個(gè)不相鄰的內(nèi)角之間的關(guān)系呢？

生：因?yàn)閮蓚€(gè)角的和等于外角，所以外角應(yīng)大于其中任何一個(gè)內(nèi)角． 師：由此可知三角形內(nèi)角和定理的推論．

1．三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和． 2．三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角． 嘗試反饋鞏固練習(xí)

1．已知：如圖7．2-11，∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三個(gè)外角． 求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．

設(shè)計(jì)意圖：

鞏固三角形內(nèi)角和及其推論． 師生活動(dòng)：

生：證明：∵∠BAF=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）． ∵∠1+∠2+∠3=180°．

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．

2．已知：如圖7．2-12，在△ABC中，∠1是它的一個(gè)外角，E為邊AC上一點(diǎn)，延長BC到D，連結(jié)DE．求證：∠1>∠2．

設(shè)計(jì)意圖：

體會(huì)幾何中不等關(guān)系的簡(jiǎn)單證明． 師生活動(dòng)：

證明：∵∠1是△ABC的外角，∴∠1>∠3．

∵∠3是△DCE的外角，∴∠3>∠2，∴∠1>∠2．

三、課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課共同探索了三角形內(nèi)角和定理及推論的證明，基本思想是：把三個(gè)內(nèi)角拼在一起，拼成一個(gè)平角；熟練掌握三角形內(nèi)角和及外角和定理；理解三角形外角的性質(zhì)，并能解簡(jiǎn)單問題．

板書設(shè)計(jì)

7．2與三角形有關(guān)的角 活動(dòng)一（探究三角形內(nèi)角和）活動(dòng)二（例題講解）

活動(dòng)三（探究三角形的外角與不相鄰的內(nèi)角間的關(guān)系）活動(dòng)與探究

在前面討論三角形內(nèi)角和定理的證明時(shí)，證明的思路是把三角形的三個(gè)角拼到一起，構(gòu)成一個(gè)平角，根據(jù)平角的定義得證．可以把三個(gè)角“湊”到一個(gè)頂點(diǎn)處，也可以把三角形“湊”到一邊上，那么能否把三個(gè)角“湊”到三角形的內(nèi)部和外部呢？

如下圖：

過P點(diǎn)分別作三邊的平行線ST、MN、QR．

在左上圖中，∠A=∠QST=∠SPN，∠B=∠SQP=∠NPR，∠C=∠NRP=∠SPQ，∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．

在右上圖中，∠A+∠ATS=∠SPN，∠B=∠1=∠NPR，∠C=∠2=∠SPQ． ∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．

以上幾種證法，都是在把三角形的三個(gè)內(nèi)角剪下拼在一起，構(gòu)成一個(gè)平角的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的．特別是添加了輔助線，構(gòu)造出了新圖形，形成了新的關(guān)系，把未知數(shù)化成已知．下面這一種證法十分有趣，不直接從內(nèi)角的角度考慮問題，而是從外角入手，應(yīng)用了運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來解決問題． 一個(gè)人沿著一個(gè)三角形廣場(chǎng)繞圈跑步，設(shè)他站在AB邊上任意一點(diǎn)P處，面向B點(diǎn)前進(jìn)，到達(dá)B點(diǎn)向左移動(dòng)一個(gè)角度∠1，面向C點(diǎn)前面，到達(dá)C?點(diǎn)后向左再轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度∠2，再面向A點(diǎn)前進(jìn)，到達(dá)A點(diǎn)后再向左轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度∠3，最后又回到P點(diǎn)，仍面向B點(diǎn)站立，則他在這個(gè)過程中共轉(zhuǎn)了一周，即∠1+∠2+∠3=360°．

證明：∵∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠ACB，∠3=180°-∠BAC，∴∠1+∠2+∠3=540°-（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=360°． ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°．