第一篇：【壓軸題 精講特訓(xùn)】挑戰(zhàn)2014數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題：幾何證明及通過(guò)幾何計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理(含2013試題,含詳解)

幾何證明及通過(guò)幾何計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題

例12013年上海市黃浦區(qū)中考模擬第24題

已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0, 1)與Q(2, －3)．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖像于點(diǎn)B，分別過(guò)點(diǎn)B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，且所得四邊形ABCD恰為正方形．

①求正方形的ABCD的面積； ②聯(lián)結(jié)PA、PD，PD交AB于點(diǎn)E，求證：△PAD∽△PEA．

動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“13黃浦24”，拖動(dòng)點(diǎn)A在第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，∠PAE與∠PDA總保持相等，△PAD與△PEA保持相似．

請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“13黃浦24”，拖動(dòng)點(diǎn)A在第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，∠PAE與∠PDA總保持相等，△PAD與△PEA保持相似．

思路點(diǎn)撥

1．?dāng)?shù)形結(jié)合，用拋物線的解析式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)，用點(diǎn)A的坐標(biāo)表示AD、AB的長(zhǎng)，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，AD＝AB．

2．通過(guò)計(jì)算∠PAE與∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，從而證明△PAD∽△PEA．

滿分解答

（1）將點(diǎn)P(0, 1)、Q(2, －3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得

?c?1,?b?0,解得 ??c?1.?4?2b?1??3.??

所以該二次函數(shù)的解析式為y＝－x2＋1．

（2）①如圖1，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x, －x2＋1)，當(dāng)四邊形ABCD恰為正方形時(shí)，AD＝AB．

此時(shí)yA＝2xA． 解方程－x2＋1＝2x，得x??1所以點(diǎn)A

1．因此正方形ABCD的面積等于1)]2?12?

②設(shè)OP與AB交于點(diǎn)F，那么PF?OP?OF?1?1)?3??1)2．

PF所以tan?PAE???1．

AF又因?yàn)閠an?PDA?tan?DPO?

OD

?1，OP

所以∠PAE＝∠PDA．

又因?yàn)椤螾公用，所以△PAD∽△PEA．

圖1圖

2考點(diǎn)伸展

事實(shí)上，對(duì)于矩形ABCD，總有結(jié)論△PAD∽△PEA．證明如下：

如圖2，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．

PFx2

所以tan?PAE???x．

AFx

又因?yàn)閠an?PDA?tan?DPO?

OD

?x，OP

所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA．

例22013年江西省中考第24題

某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：（1）操作發(fā)現(xiàn)：

在等腰△ABC中，AB＝AC，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，則下列結(jié)論正確的是__________（填序號(hào)即可）．

①AF＝AG＝

AB；②MD＝ME；③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；④MD⊥ME．

2（2）數(shù)學(xué)思考：

在任意△ABC中，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，則MD與ME有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；

（3）類比探究：

在任意△ABC中，仍分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，試判斷△MDE的形狀．答：_________．

圖

1動(dòng)感體驗(yàn)

請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“13江西24”，拖動(dòng)點(diǎn)A可以改變△ABC的形狀，可以體驗(yàn)到，△DFM≌△MGE保持不變，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不變．

請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“13江西24”，拖動(dòng)點(diǎn)A可以改變△ABC的形狀，可以體驗(yàn)到，△DFM≌△MGE保持不變，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不變．

思路點(diǎn)撥

1．本題圖形中的線條錯(cuò)綜復(fù)雜，怎樣尋找數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？最好的建議是按照題意把圖形規(guī)范、準(zhǔn)確地重新畫(huà)一遍．

2．三個(gè)中點(diǎn)M、F、G的作用重大，既能產(chǎn)生中位線，又是直角三角形斜邊上的中線． 3．兩組中位線構(gòu)成了平行四邊形，由此相等的角都標(biāo)注出來(lái)，還能組合出那些相等的角？

滿分解答

（1）填寫(xiě)序號(hào)①②③④．

（2）如圖4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F、G．

因?yàn)镈F、EG分別是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜邊上的高，所以F、G分別是AB、AC的中點(diǎn)．

又已知M是BC的中點(diǎn)，所以MF、MG是△ABC的中位線．

所以MF?

1AC，MG?AB，MF//AC，MG//AB． 2

2所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．

所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．

因?yàn)镈F、EG分別是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜邊上的中線，所以EG?

AC，DF?AB． 22

所以MF＝EG，DF＝NG．

所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．

（3）△MDE是等腰直角三角形．

圖4圖5

考點(diǎn)伸展

第（2）題和第（3）題證明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是證明∠DFM＝∠MGE的過(guò)程有一些不同．

如圖4，如圖5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．

如圖4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE． 如圖5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．

第二篇：中考數(shù)學(xué)幾何證明壓軸題

AB1、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求證：DC=BC;

(2)E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形外一點(diǎn)，且∠EDC=

∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證

明你的結(jié)論；

(3)在（2）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°時(shí)，求sin∠BFE的值.2、已知：如圖，在□ABCD 中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于G．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形AGBD

是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

F3、如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．

（1）如圖13－2，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)

量BM，F(xiàn)N的長(zhǎng)度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13－3所示的位置時(shí)，線段FE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)

線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜

想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

A(B(E)圖13－1 圖13－

2圖13－

31.[解析]（1）過(guò)A作DC的垂線AM交DC于M,則AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM?

(2)等腰三角形.證明：因?yàn)镈E?DF,?EDC??FBC,DC?BC.所以，△DEC≌△BFC 2?1.即DC=BC.2

所以，CE?CF,?ECD??BCF.所以，?ECF??BCF??BCE??ECD??BCE??BCD?90? 即△ECF是等腰直角三角形.（3）設(shè)BE?k,則CE?CF?

2k，所以EF?.因?yàn)?BEC?135?，又?CEF?45?，所以?BEF?90?.所以BF??3k 所以sin?BFE?k1?.3k3

2.[解析]（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 22

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，四邊形 AGBD是矩形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四邊形 AGBD 是平行四邊形．

∵四邊形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ．

∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四邊形AGBD是矩形 3[解析]（1）BM=FN．

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．

第三篇：七年級(jí)數(shù)學(xué)壓軸題(動(dòng)點(diǎn),幾何)

1． 已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為—2，4，P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為x。

⑴ P為線段AB的三等分點(diǎn)，求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。

⑵ ⑵數(shù)軸上是否存在P點(diǎn)，使P點(diǎn)到A、B距離和為10？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

⑶⑶若點(diǎn)A、點(diǎn)B和P點(diǎn)（P點(diǎn)在原點(diǎn)）同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)。它們的速度分別

為1、2、1個(gè)單位長(zhǎng)度/分鐘，則第幾分鐘時(shí)P為AB的中點(diǎn)？（參考答

案：⑴0或2；⑵—4或6；⑶2）

第四篇：2010年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題專集一幾何證明題

外國(guó)語(yǔ)中學(xué)中考數(shù)學(xué)壓軸題專集

1．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA＝3，OB＝4，D為邊OB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．

2．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，半徑為1的圓A與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長(zhǎng)，與線段BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．

（1）當(dāng)∠B＝30°時(shí)，連結(jié)AP，若△AEP與△BDP相似，求CE的長(zhǎng)；

（2）若CE＝2，BD＝BC，求∠BPD的正切值；

1（3）若tan∠BPD＝，設(shè)CE＝x，△ABC的周長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

3B C P B C P B C

圖

1圖2（備用）圖3（備用）

3．已知：如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為2的等邊△OAB的頂點(diǎn)B在第一象限，頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．另一等腰△OCA的頂點(diǎn)C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿A→O→B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止.（1）求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；

（2）在等邊△OAB的邊上（點(diǎn)A除外）存在點(diǎn)D，使得△OCD為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖②，現(xiàn)有∠MCN＝60°，其兩邊分別與OB，AB交于點(diǎn)M，N，連接MN．將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜60°），使得M，N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過(guò)程中，△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若沒(méi)變化，請(qǐng)求出其周長(zhǎng)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

P

5．如圖，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比為k（k＞1），且△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三邊長(zhǎng)分別為a1、b1、c1．

（1）若c＝a1，求證：a＝kc；

（2）若c＝a1，試給出符合條件的一對(duì)△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整數(shù)，并加以說(shuō)明；

（3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k＝2？請(qǐng)說(shuō)明理由．

A

c

1C B1C11

6．如圖1，在△ABC中，AB＝BC，且BC≠AC，在△ABC上畫(huà)一條直線，若這條直線既平．．分△ABC的面積，又平分△ABC的周長(zhǎng)，我們稱這條線為△ABC的“等分積周線”．

（1）請(qǐng)你在圖1中用尺規(guī)作圖作出一條△ABC的“等分積周線”；

（2）在圖1中過(guò)點(diǎn)C能否畫(huà)出一條“等分積周線”？若能，說(shuō)出確定的方法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，若AB＝BC＝5cm，AC＝6cm，請(qǐng)你找出△ABC的所有“等分積周線”，并簡(jiǎn)要說(shuō)明確定的方法．

C圖2 圖1

7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，點(diǎn)P以一定的速度沿AC邊由A向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿CB邊由C向B運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）若點(diǎn)P以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)

4①當(dāng)PQ∥AB時(shí)，求t的值；

②在①的條件下，試判斷以PQ為直徑的圓與直線AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（2）若點(diǎn)P以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PQ為直徑的圓能否與直線AB

相切？若能，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

A

備用B

8．如圖1、2是兩個(gè)相似比為1 :2的等腰直角三角形，將兩個(gè)三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合．

（1）在圖3中，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點(diǎn)E、F，如圖4．

求證：AE ＋BF ＝EF ；

（2）若在圖3中，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使它的斜邊和CD延長(zhǎng)線分別與AB交于點(diǎn)E、F，如圖5，此時(shí)結(jié)論AE ＋BF ＝EF 是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)

說(shuō)明理由；

D A B A D

圖2 圖3 圖

1A D B A F

圖4 圖

5（3）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，滿足△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半，AE、AF分別與對(duì)角線BD交于M、N，試問(wèn)線段BM、MN、DN能否構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)？若能，指出三角形的形狀，并給出證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． D ；

F

C

9．（河南?。?22222B B

（1）操作發(fā)現(xiàn)·

如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部．小明將BG延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，認(rèn)為GF＝DF，你同意嗎？說(shuō)明理由．

（2）問(wèn)題解決 保持（1）中的條件不變，若DC＝2DF，求

（3）類比探究

保持（1）中的條件不變，若DC＝n·DF，求

AD的值． ABAD的值； AB

第五篇：2012年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題精選講座二：幾何綜合題問(wèn)題

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2012年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題精選講座二

幾何綜合題

(浙江省象山天天培訓(xùn)學(xué)校方德懿)

【知識(shí)縱橫】

幾何綜合題是中考試卷中常見(jiàn)的題型，大致可分為幾何計(jì)算型綜合題與幾何論證型綜合題，它主 要考查學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識(shí)的能力，這類題往往圖形較復(fù)雜，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系較隱蔽，常常需要添加輔助線來(lái)解答。解幾何綜合題，一要注意圖形的直觀提示；二要注意分析挖掘題目的隱含條件、發(fā)展條件，為解題創(chuàng)造條件打好基礎(chǔ)；同時(shí)，也要由未知想需要，選擇已知條件，轉(zhuǎn)化結(jié)論來(lái)探求思路，找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

解幾何綜合題，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

⑴ 注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，通過(guò)添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形。

⑵ 掌握常規(guī)的證題方法和思路。

⑶ 運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問(wèn)題，運(yùn)用方程的思想解決幾何計(jì)算問(wèn)題．還要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)形結(jié)合、分類討論等。

【選擇填空】

1．（浙江寧波）勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理．在我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為【】

A．90B．100C．110D．1

212.（浙江湖州）如圖，將正△ABC分割成m個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形和一個(gè)黑色

菱形，這個(gè)黑色菱形可分割成n個(gè)邊長(zhǎng)為1的小三角形，若的邊長(zhǎng)是

m47?，則△ABCn2

53.（浙江寧波）如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB，D是線段BC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫(huà)⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長(zhǎng)

度的最小值為．

【典型試題】

1、.（福建廈門(mén)）已知ABCD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過(guò)點(diǎn)P分 別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE＝PF．

（1）如圖，若PE3，EO＝1，求∠EPF的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF ＝BC＋

32－4，求BC的長(zhǎng)．

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義。

【分析】（1）連接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠FPO=∠EPO，從而得解。

（2）根據(jù)條件證出 ABCD是正方形。根據(jù)正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系列式計(jì)算即可得解。

2.（浙江義烏）在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△A1BC1．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；

（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值．

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC1A1的度數(shù)。

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面積。

（3）由①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最??；②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，即可求得線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值。

3.（浙江杭州）如圖，AE切⊙O于點(diǎn)E，AT交⊙O于點(diǎn)M，N，線段OE交AT于點(diǎn)C，OB⊥AT于點(diǎn)B，已知∠EAT=30°，AE，MN

（1）求∠COB的度數(shù)；

（2）求⊙O的半徑R；

?（3）點(diǎn)F在⊙O上（FME是劣弧），且EF=5，把△OBC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似

變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E，F(xiàn)重合．在EF的同一側(cè)，這樣的三角形

共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上的三角形嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出

這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形與△OBC的周長(zhǎng)之比．

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，垂徑定理，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△AEC∽△OBC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出所求的角與∠A相等，由∠A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)。

（2）利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長(zhǎng)，再由OB⊥MN，根據(jù)垂徑定

理、勾股定理列出關(guān)于R的方程。

（3）把△OBC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與

點(diǎn)E，F(xiàn)重合．在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有6個(gè)。

頂點(diǎn)在圓上的三角形，延長(zhǎng)EO與圓交于點(diǎn)D，連接DF，△FDE即為所

求。

利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長(zhǎng)，表示出△EFD的周長(zhǎng)，再由（2）求出的△OBC的三邊表示出△BOC的周長(zhǎng)，即可求出兩三角形的周長(zhǎng)之比。

4.（廣東佛山）（1）按語(yǔ)句作圖并回答：作線段AC（AC=4），以A為圓心a為半徑作圓，再以C為圓心b為半徑作圓（a＜4，b＜4，圓A與圓C交于B、D兩點(diǎn)），連接AB、BC、CD、DA．

若能作出滿足要求的四邊形ABCD，則a、b應(yīng)滿足什么條件？

（2）若a=2，b=3，求四邊形ABCD的面積．

【考點(diǎn)】作圖（復(fù)雜作圖），相交兩圓的性質(zhì)，勾股定理。

【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，只有兩圓相交，才能得出四

邊形，即可得出答案；

（2）連接BD，根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)得出DB⊥AC，BE=DE，設(shè)CE= x，則AE=4－x，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出

x，根據(jù)三角形的面積公式求出即可。

5.（浙江嘉興）將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ度，并使各邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，得△AB′C′，即如圖①，我們將這種變換記為[θ，n]．

（1）如圖①，對(duì)△ABC作變換[60°

得△AB′C′，則S△AB′C′：S△ABC=BC與直線B′C′所夾的銳角為度；

（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對(duì)△ABC 作變換[θ，n]得△AB'C'，使點(diǎn)B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB'C'為矩形，求θ和n的值；

（4）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，對(duì)△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點(diǎn)B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB'C'為平行四邊形，求θ和n的值．

【考點(diǎn)】新定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，含30角直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，公式法解一元二次方。

【分析】（1）根據(jù)題意得：△ABC∽△AB′C′，0

?AB??∴S△AB′C′：S△ABC

=??=?AB?22?3，∠B=∠B′。

∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°。

（2）由四邊形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度數(shù)，又由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得n的值。

（3）由四邊形ABB′C′是平行四邊形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得AB=CB?BB′=CB（BC+CB′），繼而求得答案。

【自主訓(xùn)練】

1.（廣東汕頭）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)G；E、F分別是C′D和BD上的點(diǎn)，線段EF交AD于點(diǎn)H，把△FDE沿EF折疊，使點(diǎn)D落在D′處，點(diǎn)D′恰好與點(diǎn)A重合．

（1）求證：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的長(zhǎng)．

2.（湖北宜昌）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點(diǎn)E

為底AD上一點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊，點(diǎn)A落在梯形對(duì)角線BD上的G處，EG的延長(zhǎng)線交直線BC于點(diǎn)F．

（1）點(diǎn)E可以是AD的中點(diǎn)嗎？為什么？

（2）求證：△ABG∽△BFE；

（3）設(shè)AD=a，AB=b，BC=c

①當(dāng)四邊形EFCD為平行四邊形時(shí)，求a，b，c應(yīng)滿足的關(guān)系；

②在①的條件下，當(dāng)b=2時(shí)，a的值是唯一的，求∠C的度數(shù)．

3.（廣東珠海）已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在弧AB上（不含點(diǎn)A、B），把△AOP沿OP對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在⊙O上．

（1）當(dāng)P、C都在AB上方時(shí)（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；

（2）當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時(shí)（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)P、C都在AB上方時(shí)（如圖3），過(guò)C點(diǎn)作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．

4.（湖北天門(mén)）△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B．

（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫(xiě)出圖中所有與△ADE相似的三角形．

（2）如圖（2），將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫(xiě)出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論．

（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)△DEF的面積等于△ABC的面積的5.（四川樂(lè)山）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G．

①求證：BD⊥CF；

②當(dāng)AB=4，AD

時(shí)，求線段BG的長(zhǎng)．

1時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)． 4