第一篇：RMI原則在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用

RMI原則在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用

廣東省清遠(yuǎn)市清城中學(xué)高中部 張愛菊 廣西壯族自治區(qū)桂林市桂林理工大學(xué)理學(xué)院 張浩奇

摘 要：本文簡單介紹了RMI原則，從5個(gè)方面以5個(gè)例子說明了RMI原則在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用，在解題中突出算法思想，以流程圖的形式清楚地表述出解題思想過程。

關(guān)鍵詞：RMI原則；高中幾何；教學(xué)；流程圖

1.RMI原則簡介

關(guān)系(relation)映射(mapping)反演(inversion)原則是一種普遍的工作原則，簡稱為RMI 原則。其基本思想如圖1:

我們知道，一道數(shù)學(xué)題或一個(gè)數(shù)學(xué)理論，都是由一些已知的數(shù)學(xué)對(duì)象，已知的數(shù)學(xué)關(guān)系和未知的（待定的）數(shù)學(xué)對(duì)象與關(guān)系組成的，我們把由這些對(duì)象與關(guān)系組成的集合稱為關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。顯然，上面框圖中我們能在與之間建立起某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使

中把映象目標(biāo)，都是一個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。如果中的在中有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，且能夠通過數(shù)學(xué)手續(xù)在確定下來，那么，這種對(duì)應(yīng)就稱為可定

確定”。映映射。同樣，“反演”也是一種對(duì)應(yīng)，且滿足“可以被

RMI 原則告訴我們：如果在原象關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)過適當(dāng)?shù)目啥ㄓ秤成?，?/p>

轉(zhuǎn)化為，并在中不易確定原象目標(biāo)，我們可以通

中確定映象目標(biāo)，再通過反演確定。

2.RMI原則在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教材中，多處運(yùn)用了RMI原則解決數(shù)學(xué)問題的思想和方法，所以，教師在教學(xué)中可以向?qū)W生明確指出這種思想方法，使之作為一種思想方法自覺運(yùn)用。讓學(xué)生知道，我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)常推來推去缺不是毫無目的的；而是在尋求一種將“未知、復(fù)雜、困難”的問題轉(zhuǎn)化為“已知、簡單、容易”問題的“映射”，使問題轉(zhuǎn)化后在新的領(lǐng)域中得到解決，再“反轉(zhuǎn)”回到原來的領(lǐng)域中去。將學(xué)生的思想提高到RMI原則的高度來認(rèn)識(shí)。這樣可以減少學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的盲目性，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化“數(shù)學(xué)細(xì)胞”，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。

根據(jù)新課改后高中教材的知識(shí)內(nèi)容及要求，RMI原則解決數(shù)學(xué)問題的思想和方法在幾何部分顯得尤為突出。下面，本文將介紹RMI原則在高中幾何教學(xué)中的具體應(yīng)用。

2.1.坐標(biāo)法

在高中幾何中，由于引入了平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系和仿射坐標(biāo)，所以使許多平面幾何問題可以借助于RMI原則將其映射到代數(shù)問題求解，然后反演到幾何問題。由于它借助于坐標(biāo)系這個(gè)工具，所以我們把這種RMI原則方法稱為坐標(biāo)法。其基本思想如圖2：

例1.如圖3，已知半圓的直徑為，為位于半圓之外，而又垂直于的延長線，其垂足為，且，又是半圓上的不同的兩點(diǎn)，且求證：

.分析：采用平面幾何的方法證明本題是較困難的，但使用RMI原則將此幾何問題映射為代數(shù)問題，運(yùn)用代數(shù)變換方法先尋求代數(shù)結(jié)論，再反演為幾何結(jié)論，那就容易多了。其解題思路流程圖如圖4：

解：以 為極點(diǎn)，射線

為極軸，建立極坐標(biāo)系（圖3）。

設(shè) 設(shè)，則，則半圓方程為：，且，（1），（2）

又由圖3知：，而，所以

（3）

同理得

由（1）（3）得

由（2）（4）得

（4）上面兩式說明，故

2.2.向量法

，是方程

.的兩根，所以按韋達(dá)定理有向量作為高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一,兼有代數(shù)與幾何兩種形式,具有代數(shù)的抽象與幾何的直觀,是集“數(shù)”和“形”于一身的數(shù)學(xué)概念。高中數(shù)學(xué)中許多難度較大的問題,若引入向量來處理,就能使問題簡單化,這為我們的解題注入新的活力，也完美的體現(xiàn)了RMI原則的思想方法。其基本思想方法如圖5：

例2．如圖6所示，直，的角。

，是

分別是的直徑，的直徑。，與兩圓所在的平面均垂

.求：直線

與

所成分析：求異面直線所成角，我們往往是平移其中一條直線與另一條相交，然后得到要求角，然而，如果我們引入向量，根據(jù)向量的平移不變性，我們不需輔助線，而直接運(yùn)用向量知識(shí)就能求出兩異面直線所成角，其解題思路流程圖如圖7：

解： 以所示），則有

從而有，因此，為原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖6

設(shè)異面直線 與所成角為，則

所以，異面直線

2.3.復(fù)數(shù)向量法

與所成角

在高中數(shù)學(xué)中，通過復(fù)平面，使復(fù)數(shù)、復(fù)平面上的點(diǎn)和復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，三者之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。即如圖8：

我們把一個(gè)問題映射為有關(guān)復(fù)數(shù)的和向量的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，并據(jù)此定映和反演的數(shù)學(xué)方法稱為復(fù)數(shù)向量法。其基本思想如圖9：

例3.如圖10，已知點(diǎn)橢圓上運(yùn)動(dòng)，以 為邊作一個(gè)正，又點(diǎn)

在焦點(diǎn)為

點(diǎn)和

點(diǎn)，長軸長為4的，求

點(diǎn)的軌跡。

分析：這是一個(gè)典型的平面解析幾何問題。考慮到

可以由

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到，所以把它映射為向量問題，進(jìn)而映射為復(fù)數(shù)問題求解，這是一個(gè)簡單可行的辦法。其解題思路流程圖如圖11：

解： 第一步，先寫出橢圓的復(fù)數(shù)方程數(shù)復(fù)數(shù)

第二步，進(jìn)行向量與復(fù)數(shù)的運(yùn)算：

因而有

，點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù).又知點(diǎn)

對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)3.于是向量

對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，并假設(shè)點(diǎn)，而向量

對(duì)應(yīng)復(fù)對(duì)應(yīng).如此，就把原問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)映射為關(guān)于復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)了。，所以

由于 滿足方程

.所以有

.整理得：

第三步，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義反演為幾何結(jié)論可知，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓。

2.4.參數(shù)法

高中幾何的許多問題中，若引入?yún)?shù)，會(huì)使問題更易于解決。我們把借助于參變數(shù)進(jìn)行映射、反演的方法稱為參數(shù)法。其過程的模式如圖12:

點(diǎn)軌跡為以點(diǎn)

與點(diǎn)

.例 4：已知橢圓 求這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和的最大值與最 小值。

分析：本題直接求解較困難，若用RMI原則中的參數(shù)法將顯得比較容易，其解題思路流程圖如圖13：

解：先設(shè)橢圓上的點(diǎn)為，那么問題即為求的最大值與最小值。然而，這樣假設(shè)以后，在問題給出的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

中，仍然很難求得解答。于是我們引入一個(gè)參數(shù)，令為，從而把

映射為含的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

.于是，將

略加變形，就可把它視為一組斜率是的直線系方程。其中的幾何意義是縱截距，因直線系方程中的橢圓上的點(diǎn)的斜率為 必須是橢圓上的坐標(biāo)，故求的最大值和最小值就映射為求所過的直線的縱截距的最大值和最小值。

由圖14可知橢圓的兩條切線的縱截距為這組直線系中截距的最大者和最小者。又橢圓的切線方程為的最大值為，最小值為

2.5.立體問題平面化法

立體幾何的基本方法是將立體問題平面化，抽出平面圖形，用平面的語言體現(xiàn)元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這就是RMI 原則的具體應(yīng)用，借助平面幾何知識(shí)有效解決立體幾何問題。其思想過程如圖15：。

.故的最大者為，最小者為，即

例5.如圖16，在正方形

中，棱長為1，為

上任意一點(diǎn)，設(shè)

二面角 的平面角分別為，求的最小值。

分析：本題采用立體幾何平面化來處理將顯得簡易，其解題思路流程圖如圖18：

解：如圖16，設(shè)于

如圖17，將則

和，繞著

旋轉(zhuǎn)到面

上，得到

.和，交，且點(diǎn)

于

在底面的射影為點(diǎn)，，過點(diǎn)

分別作.交，=

=.又，由均值不等式得：

故

3.結(jié)語，即的最小值為.根據(jù)新課標(biāo)的要求，在高中幾何教學(xué)過程中，重要的是要引導(dǎo)學(xué)生如何思考問題和解決問題，如何將所學(xué)知識(shí)聯(lián)系在一起，建立知識(shí)框架，并巧妙的用來到解決問題。應(yīng)用RMI 原則進(jìn)行高中幾何教學(xué)，能挖掘出知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，有效地發(fā)展學(xué)生的思維能力，極大地培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

本文從五個(gè)方面以5個(gè)實(shí)例來闡述RMI 原則在高中幾何教學(xué)中的具體應(yīng)用。靈活運(yùn)用上面提到的常見映射和相應(yīng)的反演方法，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握高中幾何知識(shí)有很大的幫助，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生處理問題的能力和創(chuàng)新能力也有很大的幫助。

第二篇：RMI原則在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用

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RMI原則在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用

廣東省清遠(yuǎn)市清城中學(xué)高中部 張愛菊 廣西壯族自治區(qū)桂林市桂林理工大學(xué)理學(xué)院 張浩奇

摘 要：本文簡單介紹了RMI原則，從5個(gè)方面以5個(gè)例子說明了RMI原則在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用，在解題中突出算法思想，以流程圖的形式清楚地表述出解題思想過程。

關(guān)鍵詞：RMI原則；高中幾何；教學(xué)；流程圖

1.RMI原則簡介

關(guān)系(relation)映射(mapping)反演(inversion)原則是一種普遍的工作原則，簡稱為RMI 原則。其基本思想如圖1:

我們知道，一道數(shù)學(xué)題或一個(gè)數(shù)學(xué)理論，都是由一些已知的數(shù)學(xué)對(duì)象，已知的數(shù)學(xué)關(guān)系和未知的（待定的）數(shù)學(xué)對(duì)象與關(guān)系組成的，我們把由這些對(duì)象與關(guān)系組成的集合稱為關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。顯然，上面框圖中間建立起某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使手續(xù)在中把映象目標(biāo)

中的，都是一個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。如果我們能在在與

之

中有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，且能夠通過數(shù)學(xué)

確定下來，那么，這種對(duì)應(yīng)就稱為可定映映射。同樣，“反演”也是一

確定”。種對(duì)應(yīng)，且滿足“可以被

RMI 原則告訴我們：如果在原象關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可定映映射，將轉(zhuǎn)化為，并在中不易確定原象目標(biāo)，我們可以通過適當(dāng)

中確定映象目標(biāo)，再通過反演確定。

2.RMI原則在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教材中，多處運(yùn)用了RMI原則解決數(shù)學(xué)問題的思想和方法，所以，教師在教學(xué)中可以向?qū)W生明確指出這種思想方法，使之作為一種思想方法自覺運(yùn)用。讓學(xué)生知道，我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)常推來推去缺不是毫無目的的；而是在尋求一種將“未知、復(fù)雜、困難”的問題轉(zhuǎn)化《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 004km.cn 版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》

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為“已知、簡單、容易”問題的“映射”，使問題轉(zhuǎn)化后在新的領(lǐng)域中得到解決，再“反轉(zhuǎn)”回到原來的領(lǐng)域中去。將學(xué)生的思想提高到RMI原則的高度來認(rèn)識(shí)。這樣可以減少學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的盲目性，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化“數(shù)學(xué)細(xì)胞”，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。

根據(jù)新課改后高中教材的知識(shí)內(nèi)容及要求，RMI原則解決數(shù)學(xué)問題的思想和方法在幾何部分顯得尤為突出。下面，本文將介紹RMI原則在高中幾何教學(xué)中的具體應(yīng)用。

2.1.坐標(biāo)法

在高中幾何中，由于引入了平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系和仿射坐標(biāo)，所以使許多平面幾何問題可以借助于RMI原則將其映射到代數(shù)問題求解，然后反演到幾何問題。由于它借助于坐標(biāo)系這個(gè)工具，所以我們把這種RMI原則方法稱為坐標(biāo)法。其基本思想如圖2：

例1.如圖3，已知半圓的直徑為，為位于半圓之外，而又垂直于的延長線，其垂足為，且，又是半圓上的不同的兩點(diǎn)，且求證：

.分析：采用平面幾何的方法證明本題是較困難的，但使用RMI原則將此幾何問題映射為代數(shù)問題，運(yùn)用代數(shù)變換方法先尋求代數(shù)結(jié)論，再反演為幾何結(jié)論，那就容易多了。其解題思路流程圖如圖4：

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解：以 為極點(diǎn)，射線

為極軸，建立極坐標(biāo)系（圖3）。

設(shè) 設(shè)，則，則半圓方程為：，且，（1），（2）

又由圖3知：，而，所以

（3）

同理得

由（1）（3）得

由（2）（4）得

上面兩式說明故，是方程.的兩根，所以按韋達(dá)定理有，（4）

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2.2.向量法

向量作為高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一,兼有代數(shù)與幾何兩種形式,具有代數(shù)的抽象與幾何的直觀,是集“數(shù)”和“形”于一身的數(shù)學(xué)概念。高中數(shù)學(xué)中許多難度較大的問題,若引入向量來處理,就能使問題簡單化,這為我們的解題注入新的活力，也完美的體現(xiàn)了RMI原則的思想方法。其基本思想方法如圖5：

例2．如圖6所示，直，是

分別是的直徑，的直徑。，與兩圓所在的平面均垂

.求：直線

與

所成的角。

分析：求異面直線所成角，我們往往是平移其中一條直線與另一條相交，然后得到要求角，然而，如果我們引入向量，根據(jù)向量的平移不變性，我們不需輔助線，而直接運(yùn)用向量知識(shí)就能求出兩異面直線所成角，其解題思路流程圖如圖7：

解： 以為原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖6所示），《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 004km.cn 版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》

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則有

從而有，因此，設(shè)異面直線 與所成角為，則

所以，異面直線

2.3.復(fù)數(shù)向量法

與所成角

在高中數(shù)學(xué)中，通過復(fù)平面，使復(fù)數(shù)、復(fù)平面上的點(diǎn)和復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，三者之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。即如圖8：

我們把一個(gè)問題映射為有關(guān)復(fù)數(shù)的和向量的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，并據(jù)此定映和反演的數(shù)學(xué)方法稱為復(fù)數(shù)向量法。其基本思想如圖9：

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例3.如圖10，已知點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，以 為邊作一個(gè)正，又點(diǎn)

在焦點(diǎn)為

點(diǎn)和，求

點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上點(diǎn)的軌跡。

分析：這是一個(gè)典型的平面解析幾何問題?？紤]到

可以由

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到，所以把它映射為向量問題，進(jìn)而映射為復(fù)數(shù)問題求解，這是一個(gè)簡單可行的辦法。其解題思路流程圖如圖11：

解： 第一步，先寫出橢圓的復(fù)數(shù)方程點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù).又知點(diǎn)

第二步，進(jìn)行向量與復(fù)數(shù)的運(yùn)算：

因而有，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)3.于是向量

對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，并假設(shè)點(diǎn)，而向量

對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，.對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)如此，就把原問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)映射為關(guān)于復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)了。

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所以

由于 滿足方程

.所以有

.整理得：

第三步，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義反演為幾何結(jié)論可知，點(diǎn)軌跡為以點(diǎn)焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓。

2.4.參數(shù)法

高中幾何的許多問題中，若引入?yún)?shù)，會(huì)使問題更易于解決。我們把借助于參變數(shù)進(jìn)行映射、反演的方法稱為參數(shù)法。其過程的模式如圖12:

與點(diǎn)

為

.例 4：已知橢圓

求這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和的最大值與最 小值。

分析：本題直接求解較困難，若用RMI原則中的參數(shù)法將顯得比較容易，其解題思路流程圖如圖13：

解：先設(shè)橢圓上的點(diǎn)為，那么問題即為求的最大值與最小值。然而，這樣假設(shè)以《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 004km.cn 版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》

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后，在問題給出的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

中，仍然很難求得解答。于是我們引入一個(gè)參數(shù)，令，從而把

映射為含的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

.于是，將

略加變形為，就可把它視為一組斜率是系方程中的的斜率為 的直線系方程。其中的幾何意義是縱截距，因直線必須是橢圓上的坐標(biāo)，故求的最大值和最小值就映射為求所過橢圓上的點(diǎn)的直線的縱截距的最大值和最小值。

由圖14可知橢圓的兩條切線的縱截距為這組直線系中截距的最大者和最小者。又橢圓的切線方程為為，最小值為

2.5.立體問題平面化法

立體幾何的基本方法是將立體問題平面化，抽出平面圖形，用平面的語言體現(xiàn)元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這就是RMI 原則的具體應(yīng)用，借助平面幾何知識(shí)有效解決立體幾何問題。其思想過程如圖15：。

.故的最大者為，最小者為，即的最大值

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例5.如圖16，在正方形

中，棱長為1，為

上任意一點(diǎn)，設(shè)

二面角 的平面角分別為，求的最小值。

分析：本題采用立體幾何平面化來處理將顯得簡易，其解題思路流程圖如圖18：

解：如圖16，設(shè)，如圖17，將，和

繞著

旋轉(zhuǎn)到面

上，得到

.和交于，且點(diǎn)，在底面的射影為點(diǎn)，過點(diǎn).分別作

交

于，則=

=.又，由均值不等式得：《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 004km.cn 版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》

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故 3.結(jié)語，即的最小值為.根據(jù)新課標(biāo)的要求，在高中幾何教學(xué)過程中，重要的是要引導(dǎo)學(xué)生如何思考問題和解決問題，如何將所學(xué)知識(shí)聯(lián)系在一起，建立知識(shí)框架，并巧妙的用來到解決問題。應(yīng)用RMI 原則進(jìn)行高中幾何教學(xué)，能挖掘出知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，有效地發(fā)展學(xué)生的思維能力，極大地培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

本文從五個(gè)方面以5個(gè)實(shí)例來闡述RMI 原則在高中幾何教學(xué)中的具體應(yīng)用。靈活運(yùn)用上面提到的常見映射和相應(yīng)的反演方法，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握高中幾何知識(shí)有很大的幫助，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生處理問題的能力和創(chuàng)新能力也有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)：

①王亞輝.數(shù)學(xué)方法論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2007.②史久一，朱梧槚.化歸與歸納〃類比〃聯(lián)想[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.③徐遠(yuǎn)東.關(guān)系映射反演法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].林區(qū)教學(xué)，2008,138（9）：117-120.④韓俊.淺議中學(xué)數(shù)學(xué)中的RMI原則[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010，第2期：4-6.注：

本文第一作者: 張愛菊，女，27歲，中級(jí)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育，聯(lián)系地址：廣東省清遠(yuǎn)市清城區(qū)清城中學(xué).多年從事高三數(shù)學(xué)教學(xué)，獲高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀教練員稱號(hào)，多次獲市、區(qū)教學(xué)論文獎(jiǎng).基金項(xiàng)目: 廣西教育廳基金項(xiàng)目（200911LX137）；桂林理工大學(xué)科研啟動(dòng)項(xiàng)目.The Application of RMI Principle for Teaching of

High School Geometry

ZHANG Ai-ju , ZHANG Hao-qi

(1.Qingcheng School, Qingyuan Guangdong 511515,China;

2.College of Science, Guilin University of Technology, Guilin Guangxi 541004, China)

2《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 004km.cn 版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》

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Abstract：This article briefly introduces the RMI principle, describes the application of RMI principle for teaching of high school geometry by five examples, clearly expresses the process of problem-solving in flow chart.Key words: RMI principle;high school geometry;teaching;flow chart.004km.cn 版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》

第三篇：幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

正安縣楊興中學(xué)：秦月

【摘要】在信息技術(shù)突飛猛進(jìn)的今天，傳統(tǒng)的教學(xué)方式已不能適應(yīng)現(xiàn)代教育教學(xué)的要求。尤其是在數(shù)學(xué)教學(xué)這樣一個(gè)比較抽象的學(xué)科教學(xué)中顯得尤為突出，那么如何利用現(xiàn)代信息技術(shù)為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)呢！幾何畫板是當(dāng)今數(shù)學(xué)教師運(yùn)用最為廣泛的軟件之一，本文將從以下幾個(gè)方面作介紹幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用：幾何畫板在一次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用、在軸對(duì)稱圖形教學(xué)中的應(yīng)用、在勾股定理教學(xué)中的應(yīng)用、在求解實(shí)際問題中的簡單應(yīng)用。希望能起到拋磚引玉的作用。

【關(guān)鍵詞】幾何畫板 函數(shù) 參數(shù) 動(dòng)點(diǎn)

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師靠的主要是一張嘴、一支粉筆、一塊黑板進(jìn)行教學(xué)。直到今天，尤其是在我們落后鄉(xiāng)村學(xué)校，由于各種各樣的原因，這種教學(xué)方式依然主宰當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂，顯然這種方式已經(jīng)不能適應(yīng)當(dāng)前的教育發(fā)展大趨勢，如何改變這種現(xiàn)況，那就得借助現(xiàn)代信息技術(shù)，找一個(gè)適合數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺(tái)?？v觀現(xiàn)在常用的軟件，幾何畫板具有操作簡單、功能強(qiáng)大的特點(diǎn)，是廣大數(shù)學(xué)教師進(jìn)行現(xiàn)代化數(shù)學(xué)教學(xué)理想工具。在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教學(xué)中已發(fā)揮著越來越重要的作用。

幾何畫板又不同于其他繪圖工具，它能動(dòng)態(tài)地保持給定的幾何關(guān)系，便于學(xué)生自行動(dòng)手在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)其不變的幾何規(guī)律，從而打破傳統(tǒng)純理論數(shù)學(xué)教學(xué)的局面，成為提倡數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的新新工具。把它和數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行有機(jī)地整合，能為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)營造一種動(dòng)態(tài)的有規(guī)律的數(shù)學(xué)教學(xué)新環(huán)境。

一、在一次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

在幾何畫板中，可以新建參數(shù)（即變量），然后在函數(shù)中進(jìn)行引用并繪制函數(shù)圖像，通過改變參數(shù)的值來觀察函數(shù)圖像的變化，這在傳統(tǒng)教學(xué)中無法辦到。

如在講解一次函數(shù)y=kx+b的圖像一節(jié)中，如何向?qū)W生說明函數(shù)圖像與參數(shù)“K”、“b”的相互關(guān)系一直是傳統(tǒng)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生難以理解，教師也難以用語言文字表達(dá)清楚；在作圖時(shí)，要取不同的“k”、“b”的值，然后列表在黑板上畫出多個(gè)不同的函數(shù)圖像，再進(jìn)行觀察比較。整個(gè)過程十分繁瑣，且費(fèi)時(shí)費(fèi)力。教師和學(xué)生的主要精力放在了重復(fù)的計(jì)算和作圖上，而不是通過觀察、比較、討論而得出結(jié)論上。整個(gè)過程顯得不夠直觀，重點(diǎn)不突出，學(xué)生理解起來也很難。然而在幾何畫板中，只需改變參數(shù)“K”、“b”的值，函數(shù)圖像便可一目了然。如圖：

通過不斷改變參數(shù)“k”、“b”的值，從而得到不同的函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生觀察一次函數(shù)圖像變化的規(guī)律。

①當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而增大；②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而減??；③當(dāng)b>0時(shí)，函數(shù)圖像相對(duì)于b=0時(shí)向上移動(dòng)；④當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)圖像相對(duì)于b=0時(shí)向下移動(dòng)；⑤當(dāng)|k|越大時(shí)，函數(shù)圖像變化越快，圖像越陡峭；⑥當(dāng)|k|越小時(shí)，函數(shù)圖像變化越慢，圖像越平滑；

經(jīng)過我們改變一次函數(shù)的參數(shù)“K”、“b”的值，函數(shù)的圖像會(huì)隨之發(fā)生變化，這樣學(xué)生就很容易理解函數(shù)圖像變化的規(guī)律，從而使學(xué)生從更深層次理解一次函數(shù)的本質(zhì)。

二、在軸對(duì)稱圖形教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板提供了四種“變換”工具，包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放和反射變換。在圖形變換的過程中，圖形的某些性質(zhì)始終保持一定的不變性，幾何畫板能很好地反應(yīng)出這些特點(diǎn)。

在講解軸對(duì)稱圖形的教學(xué)中，可充分利用幾何畫板中提供的圖形變換功能進(jìn)行講解。首先，畫一個(gè)任意三角形△ABC，然后在適當(dāng)?shù)奈恢卯嬕粭l線段MN，并把雙擊它即可將其標(biāo)識(shí)為鏡面，這時(shí)就可以作△ABC關(guān)于對(duì)稱軸MN的軸對(duì)稱圖形。

△ABC和△A′B′C′關(guān)于MN軸對(duì)稱。任意拖動(dòng)△ABC的頂點(diǎn)、邊、對(duì)稱軸，雖然圖形的位置、形狀和大小在發(fā)生變化，但兩個(gè)圖形始終關(guān)于對(duì)稱軸MN對(duì)稱。同時(shí)可以觀察到△ABC與△A′B′C′沿MN對(duì)折后完全重合。

三、在勾股定理教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板能動(dòng)態(tài)地保持平面圖形中給定的幾何關(guān)系，利用這一特點(diǎn)便于在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律。如平行、垂直，中點(diǎn)，角平分線等等都能在圖形的變化中保持下來，不會(huì)因圖形的改變而改變，這也許是幾何畫板中最富有魅力的地方。在平面幾何的教學(xué)中如果能很好地發(fā)揮幾何畫板中的這些特性，就能為數(shù)學(xué)教學(xué)增輝添色。如在勾股定理的教學(xué)中，直角三角形的三邊之間有著必然的聯(lián)系。要弄清楚它們之間的關(guān)系，借助于幾何畫板，則一目了然。

在幾何畫板里，先畫一個(gè)直角△ABC，∠C=900。從圖右方的度量值可以發(fā)現(xiàn)，AB和AC、BC的長度已經(jīng)知道，觀察AB2與AC2+BC2的關(guān)系：

如果拖動(dòng)頂點(diǎn)A（從a圖到b圖），我們通過改變直角三角形邊的長度，從中觀察邊的平方的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)定理：在直角三角形中，始終有斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

再如，在講解“趙爽弦圖”時(shí)，傳統(tǒng)的教學(xué)方法只能教師在黑板上演算過程，而用幾何畫板更容易發(fā)現(xiàn)其中的不變的規(guī)律。

首先，在幾何畫板中構(gòu)造一個(gè)正方形，然后將經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)作直線，再通過另一相鄰的頂點(diǎn)作這條直線的垂線，得到一個(gè)交點(diǎn)。用同樣的方法，可得出另外幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再將這幾條垂線隱藏，連接對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即可得到下面這個(gè)圖形。分別度量AB、AF、FB的長度，最后用不同的方法來計(jì)算這個(gè)正方形的面積：⑴、直接利用正方形的面積公式；⑵、正方形的面積等于其中四個(gè)直角三角形和中間的那個(gè)小正方形的面積之和；⑶、直接使用幾何畫板提供的量度面積命令。這三種方法都可得出這個(gè)正方形的面積，注意觀察得到的結(jié)果都是一樣的。

再改變正方形的大小及其組成的直角三角形和小正方形的比例，再來觀察這三種計(jì)算方法得到的結(jié)果是否一致，如下圖：

四、在求解實(shí)際問題中的應(yīng)用

利用幾何畫板不但可以給幾何問題以準(zhǔn)確生動(dòng)的表達(dá)，成為教師教學(xué)上的得力“助手”，還可為教師和學(xué)生提供幾何探索和發(fā)現(xiàn)的一個(gè)良好環(huán)境，動(dòng)態(tài)是幾何畫板最主要的特點(diǎn)，也正是基于這一點(diǎn)，許多用一般方法不易解決的問題，用它解決起來就要容易得多，現(xiàn)在舉例說明。

如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C。

（1）求頂點(diǎn)M及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，試證明四邊行CDAN是平行四邊行；

（3）點(diǎn)P是這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

分析：這道目，第（1）、（2）問都比較容易解決，第（3）問就是關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的，比較抽象，然而運(yùn)用幾何畫板后，情況就變得很明顯了，給解題幫助很大。

解：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)A、B、N，且三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都已知，可解得二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3,可解得： C（0，3）；M（1，4）。

（2）在幾何畫板中連接CN、AN、AD，如圖： 由于已經(jīng)知道C、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，直線y=kx+d又經(jīng)過C、M兩個(gè)點(diǎn)，可得直線的解析式為y=x+3。D點(diǎn)是直線與X軸的交點(diǎn)，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0），又因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），所以AD=2。再看C、N兩點(diǎn)，其坐標(biāo)都已知，且縱坐標(biāo)都為3，可得CN與X軸平行，那么自然就與AD平行了。再由C、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得CN=2，因此AD=CN；在四邊形CDAN中兩邊AD、CN平行且相等，所以它是一個(gè)平行四邊形。

（3）這個(gè)問題比較抽象，因?yàn)辄c(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)。我們現(xiàn)在借助幾何畫板對(duì)這種情況進(jìn)行分析。因?yàn)锳、B兩點(diǎn)是二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，自然關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)稱，兩點(diǎn)到對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)的距離相等。故以對(duì)稱軸上的點(diǎn)為圓心作圓，經(jīng)過其中一個(gè)交點(diǎn)，必定經(jīng)過另外一個(gè)點(diǎn)，因此考慮一個(gè)點(diǎn)就行了。

先在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上任找一點(diǎn)P，連接AP，再以P為圓心，AP為半徑作圓，不斷的拖動(dòng)P點(diǎn)，看看這個(gè)圓是否能與直線CD相切。如下圖：

從上圖中可以看出：圖a中P點(diǎn)比較靠近X軸，所作圓與直線CD沒有交點(diǎn)；圖b中，P點(diǎn)離X軸較遠(yuǎn)，所作圓與直線CD相交，有兩個(gè)交點(diǎn)。試想：圖a中的P點(diǎn)向上移動(dòng)的到達(dá)圖b所在的位置過程中，中間肯定有一個(gè)點(diǎn)讓圓與直線CD相切，如圖c所示。

那么應(yīng)該怎樣求P點(diǎn)的坐標(biāo)呢！看右圖：

過P點(diǎn)作直線CD的垂線，垂足為K，要想使圓P與直線CD相切，實(shí)際上PK這時(shí)是圓P的半徑。即PK=PA時(shí)，圓P與直線CD相切。

在△DEM中三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都知道，可得DE=EM,因此△DEM是一個(gè)等腰直角三角形。同樣△PMK也是等腰直角三角形，有：

2KP2=MP2 又因?yàn)椋篈P2=AE2+PE2,MP=ME-PE,KP=AP；其中：AE=2；PE=1；ME=4。

可解得：PE=26?4,P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，26?4）。

解到這里，此題看似已完，但如果你夠細(xì)心，把P點(diǎn)再上下拖動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)在X軸的下方還在一個(gè)點(diǎn)能使點(diǎn)圓P與直線CD相切，如下圖：

相同的方法，可解得：PE=(26?4)。由于P點(diǎn)在X軸的下方，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-(26?4)）。

因此滿足這樣的點(diǎn)P在對(duì)稱軸上有兩個(gè)點(diǎn)： 即P1(1，26?4)；P2（1，-(26?4)）。

從本題中不難看出，運(yùn)用幾何畫板給我們?cè)诮鉀Q動(dòng)點(diǎn)問題中提供了很大的幫助，在紙上或黑板上不容易發(fā)現(xiàn)的問題，在幾何畫板上只要輕輕拖動(dòng)鼠標(biāo)就很容易發(fā)現(xiàn)，從而有效的避免了漏解情況的發(fā)生。

幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，如畫直觀圖，在黑板上畫是很費(fèi)時(shí)的，但在幾何畫板中可用鼠標(biāo)一點(diǎn)完成。因此，只要我們熟練掌握幾何畫板功能，多實(shí)踐，不斷與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，相信就能使它在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮的作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 田延斌.《《幾何畫板》教學(xué)實(shí)例》.[2] 張淑俊.《《幾何畫板》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的妙用》.

第四篇：幾何畫板在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板5.06是幾何畫板的最新版本，備受數(shù)學(xué)老師青睞。眾多數(shù)學(xué)老師表示幾何畫板不僅能夠幫助他們制作出生動(dòng)的幾何課件，更加有助于學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容，并在長期的教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力。本教程將向大家介紹幾何在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用。

幾何畫板在教學(xué)中的應(yīng)用示例

一、幾何畫板在低年級(jí)的應(yīng)用

低年級(jí)的學(xué)生很容易被幾何畫板生動(dòng)的特性所吸引，從而可以非常迅速地掌握這些基礎(chǔ)技巧。幾何畫板可以幫助學(xué)生們?cè)诎咐锌焖俚貙W(xué)習(xí)和培養(yǎng)數(shù)形轉(zhuǎn)換的能力，從而更深刻的了解分?jǐn)?shù)計(jì)算、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和代數(shù)學(xué)。

二、幾何畫板在代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

有些數(shù)學(xué)問題，雖然可以通過代數(shù)演算得到答案，但是還是會(huì)覺得不夠直觀，給人知其然而不知其所以然的感覺。這時(shí)，我們可以借助幾何畫板，畫出數(shù)學(xué)圖形，從幾何的角度審視原題，幫助學(xué)生更直觀地理解原題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

三、幾何畫板在幾何學(xué)中的應(yīng)用

利用幾何畫板可以畫出非常精確的圖形，必要時(shí)還可以將圖像“放大”，獲得更精細(xì)的圖像，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)解答中的疏忽或錯(cuò)誤，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考錯(cuò)解 的原因。學(xué)生還可以通過直接操縱幾何圖形的構(gòu)造、變換、測量和動(dòng)畫進(jìn)行深入的概念理解并提高學(xué)習(xí)信心，還可以有效地促進(jìn)學(xué)生之間的學(xué)習(xí)交流及他們的推理和 證明的能力。

四、幾何畫板在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用 幾何畫板不僅為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供可操作的模型，而且為數(shù)學(xué)猜想提供驗(yàn)證的工具。如學(xué)生們可以使用幾何畫板繪制以幾何圖形為代表的復(fù)雜圖形、為微積分等創(chuàng) 建動(dòng)態(tài)模型。除了強(qiáng)大的函數(shù)繪圖功能，了解幾何畫板那高級(jí)教程的學(xué)生還可以使用自定義工具、基因座、自定義轉(zhuǎn)換、數(shù)字和幾何迭代等功能來構(gòu)建或編輯數(shù)學(xué)模 型。

綜上所述，可見在現(xiàn)代教學(xué)中幾何畫板的應(yīng)用還是比較廣泛，是全國初高中人教版教材指定軟件。幾何畫板5.06版本在之前的版本基礎(chǔ)上進(jìn)行了大量的改進(jìn)，可以為廣大用戶帶來更加高效便捷的使用體驗(yàn)。

第五篇：淺談幾何畫板在教學(xué)中的應(yīng)用

淺談《幾何畫板》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

常寧市職業(yè)中專 譚新芽

對(duì)于數(shù)學(xué)科學(xué)來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實(shí)；但從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來說，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。不難想象，一個(gè)沒有得到形象思維培養(yǎng)的人會(huì)有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個(gè)學(xué)生如果根本不具備數(shù)學(xué)想象力，要把數(shù)學(xué)學(xué)好那也是不可能的。正如前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”因此，隨著計(jì)算機(jī)多媒體的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的同時(shí)，也給學(xué)校教育帶來了一場深刻的變革──用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，改善人們的認(rèn)知環(huán)境──越來越受到重視。從國外引進(jìn)的教育軟件《幾何畫板》以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡單的優(yōu)點(diǎn)及其強(qiáng)大的圖形和圖象功能、方便的動(dòng)畫功能被國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺(tái)之一。那么，《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用呢？作為一名高中數(shù)學(xué)教師筆者就此談幾點(diǎn)體會(huì)：

一、《幾何畫板》在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分；同時(shí)，函數(shù)是以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種刻劃，這又決定了它是對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的重要材料。就如華羅庚所說：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微?！焙瘮?shù)的兩種表達(dá)方式──解析式和圖象──之間常常需要對(duì)照（如研究函數(shù)的單調(diào)性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系等）。為了解決數(shù)形結(jié)合的問題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應(yīng)用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進(jìn)而起到事倍功半的效果。

具體說來，可以用《幾何畫板》根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖象，并且可以在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出多個(gè)函數(shù)的圖象，如在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y?2x和y??12?的圖象，比較圖象的形狀和位置，歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；還可以作出含有若干參數(shù)的函數(shù)圖象，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)函數(shù)圖象也相應(yīng)地變化，如在講函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)只能將A、ω、φ代入有限個(gè)值，觀察各種情況時(shí)的函數(shù)圖象之間的關(guān)系；利用《幾何畫板》則可以以線段b、T的長度和A點(diǎn)到x軸的距離為參數(shù)作圖（如圖1），當(dāng)拖動(dòng)兩條線段的某一端點(diǎn)（即改變兩條線段的長度）時(shí)分別改變?nèi)呛瘮?shù)的首相和周期，拖動(dòng)點(diǎn)A則改變其振幅，這樣在教學(xué)時(shí)既快速靈活，又不失一般性。

《幾何畫板》在高中代數(shù)的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對(duì)不等式的一些性質(zhì)、定理和解法進(jìn)行直觀分析──由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2（a、b∈R+）等；再比如，講解數(shù)列的極限的概念時(shí)，作出數(shù)列an=10-n的圖形（即作出一個(gè)由離散點(diǎn)組成的函數(shù)圖象），觀察曲線的變化趨勢，并利用《幾何畫板》的制表功能以“項(xiàng)數(shù)、這一項(xiàng)的值、這一項(xiàng)與0的絕對(duì)值”列表，幫助學(xué)生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫板》在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識(shí)的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)；它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點(diǎn)、線、面的關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。初學(xué)立體幾何時(shí)，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象的能力及較強(qiáng)的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們是依靠對(duì)二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實(shí)寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學(xué)生不得不根據(jù)歪曲真象的圖形去想象真實(shí)情況，這便給學(xué)生認(rèn)識(shí)立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用《幾何畫板》將圖形動(dòng)起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生x 2 從各個(gè)不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識(shí)，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。

像在講二面角的定義時(shí)（如圖2），當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)A所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動(dòng)有利于幫助學(xué)生建立空間觀念和空間想象力；在講棱臺(tái)的概念時(shí)，可以演示由棱錐分割成棱臺(tái)的過程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺(tái)都轉(zhuǎn)動(dòng)起來，使學(xué)生在直觀掌握棱臺(tái)的定義，并通過棱臺(tái)與棱錐的關(guān)系由棱錐的性質(zhì)得出棱臺(tái)的性質(zhì)的同時(shí)，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在講錐體的體積時(shí)，可以演示將三棱柱分割成三個(gè)體積相等的三棱錐的過程（如圖4），既避免了學(xué)生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學(xué)生用分割幾何體的方法解決問題的能力;在用祖恒原理推導(dǎo)球的體積時(shí)，運(yùn)用動(dòng)畫和軌跡功能作圖5，當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)O時(shí)，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應(yīng)地變動(dòng)，直觀美麗的畫面在學(xué)生學(xué)得知識(shí)的同時(shí)，給人以美的感受，創(chuàng)建一個(gè)輕松、樂學(xué)的氛圍。

三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點(diǎn)、線按不同的方式作運(yùn)動(dòng)，曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運(yùn)動(dòng)的整體過程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強(qiáng)的運(yùn)算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線；能對(duì)動(dòng)態(tài)的對(duì)象進(jìn)行“追蹤”，并顯示該對(duì)象的“軌跡”；能通過拖動(dòng)某一對(duì)象（如點(diǎn)、線）觀察整個(gè)圖形的變化來研究兩個(gè)或兩個(gè)以上曲線的位置關(guān)系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時(shí)，如圖6所示，分別拖動(dòng)圖（1）中的點(diǎn)A和圖（2）中的點(diǎn)B時(shí)，可以相應(yīng)的看到一組斜率為1的平行直線和過定點(diǎn)（0，2）的一組直線（不包括y軸）。再比如在講橢圓的定義時(shí)，可以由“到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡”入手──如圖7，令線段AB的長為“定值”，在線段AB上取一點(diǎn)E，分別以F1為圓心、AE的長為半徑和以F2為圓心、AE的長為半徑作圓，則兩圓的交點(diǎn)軌跡即滿足要求。先讓學(xué)生猜測這樣的點(diǎn)的軌跡是什么圖形，學(xué)生各抒己見之后，老師演示圖7（1），學(xué)生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時(shí)老師用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)B（即改變線

段AB的長），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2），滿足條件的點(diǎn)的軌跡變成了一條線段F1F2，學(xué)生開始謹(jǐn)慎起來并認(rèn)真思索,不難得出圖7（3）（|AB|<|F1F2|時(shí)）的情形。經(jīng)過這個(gè)過程，學(xué)生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴(yán)密性。

綜上所述，使用《幾何畫板》進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，通過具體的感性的信息呈現(xiàn)，能給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識(shí)去理解它，而是能夠更有實(shí)感的去把握它。這樣，既能激發(fā)學(xué)生的情感、培養(yǎng)學(xué)生的興趣，又能大大提高課堂效率。