第一篇：淺談小學(xué)數(shù)學(xué)建模的意義和方法

淺談小學(xué)數(shù)學(xué)建模的意義和方法

【摘要】：《新標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程。通過(guò)開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生做數(shù)學(xué)、“創(chuàng)造”數(shù)學(xué)、交流數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)在大中學(xué)中早已蓬勃地開展，而在小學(xué)階段進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)還沒引起人們足夠的重視。作為一線的老師應(yīng)該引起重視，教師必須在平時(shí)的教學(xué)工作中給學(xué)生強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，同時(shí)開展與生活緊密聯(lián)系的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)。

【關(guān)鍵詞】： 數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)應(yīng)用;意義;基本方法

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展和計(jì)算機(jī)的日益普及，人們對(duì)各種問(wèn)題的要求越來(lái)越精確，使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛和深入，特別是經(jīng)濟(jì)發(fā)展的全球化、計(jì)算機(jī)應(yīng)用的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)理論與方法的不斷擴(kuò)充使得數(shù)學(xué)已經(jīng)成為當(dāng)代高科技的一個(gè)重要組成部分和思想庫(kù)，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一種能夠普遍實(shí)施的技術(shù)。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。

面向21世紀(jì)的《義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：“要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”

《新標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的，有意義的，富有挑戰(zhàn)性的。這些內(nèi)容有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)。有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿和記憶。動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)主動(dòng)、活潑的、生動(dòng)和富有個(gè)性的過(guò)程。在《新標(biāo)準(zhǔn)》首次提到了數(shù)學(xué)模型的概念的同時(shí)嚴(yán)士鍵教授在《數(shù)學(xué)教育應(yīng)面向21世紀(jì)而努力》一文中指出：“分析問(wèn)題和解決問(wèn)題通常意味著以下一些環(huán)節(jié)：將實(shí)際問(wèn)題化成可以處理的但又對(duì)原來(lái)的問(wèn)題有用的數(shù)學(xué)問(wèn)題，尋找或創(chuàng)造適當(dāng)?shù)慕鉀Q問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法（包括計(jì)算方法），有時(shí)還需要對(duì)問(wèn)題的解決做一些解釋和討論?！?而分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力實(shí)質(zhì)就是數(shù)學(xué)建模的能力。從小培養(yǎng)和發(fā)展兒童構(gòu)建、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識(shí)和能力是擺在小學(xué)數(shù)學(xué)教師面前的重要課題。

一、對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)

（五）有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力

從方法論角度看，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)思想方法，是解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。從具體教學(xué)角度看，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)活動(dòng)。作為一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，它不像傳統(tǒng)的練習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)題，做出來(lái)答案是唯一的。相反，它沒有現(xiàn)成的答案，現(xiàn)成的模式，只能發(fā)揮學(xué)生自己的創(chuàng)造性思維去解決．要有豐富的想象力、聯(lián)想力、洞察力和創(chuàng)造力 數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過(guò)程就是學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的綜合體現(xiàn)。

（六）有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力

數(shù)學(xué)建模向?qū)W生介紹的是實(shí)際問(wèn)題，如讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)春游的路線，安排車輛和午餐，讓學(xué)生幫媽媽上街買菜，到銀行存錢，預(yù)測(cè)中獎(jiǎng)的可能性等，從生活實(shí)際出發(fā)，并適時(shí)地上升到抽象理論，通過(guò)觀察、比較、分析、結(jié)合、抽象、概括和必要的邏輯推理，得出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，然后再把它用之于更廣泛的具體內(nèi)容中去，既使學(xué)生受到把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的訓(xùn)練，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的思維方法來(lái)觀察生活的習(xí)慣，又能使學(xué)生深切感受到數(shù)學(xué)的作用，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的基本思想方法，提高了解決實(shí)際問(wèn)題的能力，生活觀察能力、思維創(chuàng)新能力、信息歸納能力、實(shí)際應(yīng)用能力等，使孩子們終身受益。

(七)有利于培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和使用文獻(xiàn)的能力

由于建?；顒?dòng)需要很多知識(shí)，學(xué)生自有的知識(shí)不可能面面俱到；老師也不可能有太多的時(shí)同為其補(bǔ)課．只有通過(guò)學(xué)生自己查閱資料，獲得大量的知識(shí)．拓寬知識(shí)面．這樣對(duì)學(xué)生自覺學(xué)習(xí)和積累知識(shí)是一種促動(dòng)，對(duì)其能力的培養(yǎng)也是一個(gè)很好的鍛煉，并提高了學(xué)生使用資料的能力。

（八）有利于提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)

通過(guò)數(shù)學(xué)建模理論的學(xué)習(xí)和研討,有利于提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教師在引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，不僅需要擁有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，以明確小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)之所在，而且要注意通過(guò)揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象過(guò)程,讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其發(fā)展過(guò)程，從而掌握“簡(jiǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)和技巧。同時(shí)，數(shù)學(xué)建模也和其他學(xué)科有著緊密的聯(lián)系，這就需要老師不斷的提升自己。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)建模的方法和途徑

(一)常規(guī)的課堂教學(xué)中滲透建模思想

在常規(guī)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，適時(shí)地滲透建模思想，切入應(yīng)用問(wèn)題或改編教材的習(xí)題，使之更與生活實(shí)際相符合，促進(jìn)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”，使學(xué)生所學(xué)知識(shí)更系統(tǒng)、更完善。如在新知識(shí)的引入、鞏固等環(huán)節(jié)，可以用幾分鐘的時(shí)間穿插介紹一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用或數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，讓學(xué)生在課堂上通過(guò)討論先完成“問(wèn)題數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，而把問(wèn)題的具體求解過(guò)程留給課外去完成。如把求周長(zhǎng)的練習(xí)題改成為爸爸挑選一條回家的路線，長(zhǎng)方形的面積問(wèn)題改成為學(xué)校音樂(lè)會(huì)設(shè)計(jì)一個(gè)排位計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)中“數(shù)據(jù)的收集和整理”可改成讓學(xué)生對(duì)

［1］張思明，中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)踐與探索，［M］北京教育出版社，1998。［2］嚴(yán)士健主編，《面向21世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)教育》，江蘇教育出版社，1994年。［3］張奠宙主編，《數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引》，江蘇教育出版社，1994年。［4］梁小明

吳巧敏《做數(shù)學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)》，《小學(xué)教師》，2002.9。［5］高波《初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的初步構(gòu)想》，《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》，2002.7。6］葉其孝主編．rf1學(xué)數(shù)學(xué)建模[M]．長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，1998。

2015.03.15 ［

第二篇：數(shù)學(xué)建模各種分析方法

現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)

1.因子分析(Factor Analysis)

因子分析的基本目的就是用少數(shù)幾個(gè)因子去描述許多指標(biāo)或因素之間的聯(lián)系，即將相關(guān)比較密切的幾個(gè)變量歸在同一類中，每一類變量就成為一個(gè)因子（之所以稱其為因子，是因?yàn)樗遣豢捎^測(cè)的，即不是具體的變量），以較少的幾個(gè)因子反映原資料的大部分信息。

運(yùn)用這種研究技術(shù)，我們可以方便地找出影響消費(fèi)者購(gòu)買、消費(fèi)以及滿意度的主要因素是哪些，以及它們的影響力（權(quán)重）運(yùn)用這種研究技術(shù)，我們還可以為市場(chǎng)細(xì)分做前期分析。

2.主成分分析

主成分分析主要是作為一種探索性的技術(shù)，在分析者進(jìn)行多元數(shù)據(jù)分析之前，用主成分分析來(lái)分析數(shù)據(jù)，讓自己對(duì)數(shù)據(jù)有一個(gè)大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少單獨(dú)使用：a，了解數(shù)據(jù)。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判別分析一起使用，比如當(dāng)變量很多，個(gè)案數(shù)不多，直接使用判別分析可能無(wú)解，這時(shí)候可以使用主成份發(fā)對(duì)變量簡(jiǎn)化。（reduce dimensionality）d,在多元回歸中，主成分分析可以幫助判斷是否存在共線性（條件指數(shù)），還可以用來(lái)處理共線性。

主成分分析和因子分析的區(qū)別

1、因子分析中是把變量表示成各因子的線性組合，而主成分分析中則是把主成分表示成個(gè)變量的線性組合。

2、主成分分析的重點(diǎn)在于解釋個(gè)變量的總方差，而因子分析則把重點(diǎn)放在解釋各變量之間的協(xié)方差。

3、主成分分析中不需要有假設(shè)(assumptions),因子分析則需要一些假設(shè)。因子分析的假設(shè)包括：各個(gè)共同因子之間不相關(guān)，特殊因子（specific factor）之間也不相關(guān)，共同因子和特殊因子之間也不相關(guān)。

4、主成分分析中，當(dāng)給定的協(xié)方差矩陣或者相關(guān)矩陣的特征值是唯一的時(shí)候，的主成分一般是獨(dú)特的；而因子分析中因子不是獨(dú)特的，可以旋轉(zhuǎn)得到不同的因子。

5、在因子分析中，因子個(gè)數(shù)需要分析者指定（spss根據(jù)一定的條件自動(dòng)設(shè)定，只要是特征值大于1的因子進(jìn)入分析），而指定的因子數(shù)量不同而結(jié)果不同。在主成分分析中，成分的數(shù)量是一定的，一般有幾個(gè)變量就有幾個(gè)主成分。

和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋轉(zhuǎn)技術(shù)幫助解釋因子，在解釋方面更加有優(yōu)勢(shì)。大致說(shuō)來(lái)，當(dāng)需要尋找潛在的因子，并對(duì)這些因子進(jìn)行解釋的時(shí)候，更加傾向于使用因子分析，并且借助旋轉(zhuǎn)技術(shù)幫助更好解釋。而如果想把現(xiàn)有的變量變成少數(shù)幾個(gè)新的變量（新的變量幾乎帶有原來(lái)所有變量的信息）來(lái)進(jìn)入后續(xù)的分析，則可以使用主成分分析。當(dāng)然，這中情況也可以使用因子得分做到。所以這中區(qū)分不是絕對(duì)的。

總得來(lái)說(shuō)，主成分分析主要是作為一種探索性的技術(shù)，在分析者進(jìn)行多元數(shù)據(jù)分析之前，用主成分分析來(lái)分析數(shù)據(jù)，讓自己對(duì)數(shù)據(jù)有一個(gè)大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少單獨(dú)使用：a，了解數(shù)據(jù)。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判別分析一起使用，比如當(dāng)變量很多，個(gè)案數(shù)不多，直接使用判別分析可能無(wú)解，這時(shí)候可以使用主成份發(fā)對(duì)變量簡(jiǎn)化。（reduce dimensionality）d,在多元回歸中，主成分分析可以幫助判斷是否存在共線性（條件指數(shù)），還可以用來(lái)處理共線性。

在算法上，主成分分析和因子分析很類似，不過(guò)，在因子分析中所采用的協(xié)方差矩陣的對(duì)角元素不在是變量的方差，而是和變量對(duì)應(yīng)的共同度（變量方差中被各因子所解釋的部分）。

3.聚類分析(Cluster Analysis)

聚類分析是直接比較各事物之間的性質(zhì)，將性質(zhì)相近的歸為一類，將性質(zhì)差別較大的歸入不同的類的分析技術(shù)。

在市場(chǎng)研究領(lǐng)域，聚類分析主要應(yīng)用方面是幫助我們尋找目標(biāo)消費(fèi)群體，運(yùn)用這項(xiàng)研究技術(shù)，我們可以劃分出產(chǎn)品的細(xì)分市場(chǎng)，并且可以描述出各細(xì)分市場(chǎng)的人群特征，以便于客戶可以有針對(duì)性的對(duì)目標(biāo)消費(fèi)群體施加影響，合理地開展工作。

4.判別分析(Discriminatory Analysis)

判別分析(Discriminatory Analysis)的任務(wù)是根據(jù)已掌握的1批分類明確的樣品，建立較好的判別函數(shù)，使產(chǎn)生錯(cuò)判的事例最少，進(jìn)而對(duì)給定的1個(gè)新樣品，判斷它來(lái)自哪個(gè)總體。

根據(jù)資料的性質(zhì)，分為定性資料的判別分析和定量資料的判別分析；采用不同的判別準(zhǔn)則，又有費(fèi)歇、貝葉斯、距離等判別方法。

費(fèi)歇（FISHER）判別思想是投影，使多維問(wèn)題簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題來(lái)處理。選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)耐队拜S,使所有的樣品點(diǎn)都投影到這個(gè)軸上得到一個(gè)投影值。對(duì)這個(gè)投影軸的方向的要求是：使每一類內(nèi)的投影值所形成的類內(nèi)離差盡可能小，而不同類間的投影值所形成的類間離差盡可能大。

貝葉斯（BAYES）判別思想是根據(jù)先驗(yàn)概率求出后驗(yàn)概率，并依據(jù)后驗(yàn)概率分布作出統(tǒng)計(jì)推斷。所謂先驗(yàn)概率,就是用概率來(lái)描述人們事先對(duì)所研究的對(duì)象的認(rèn)識(shí)的程度；所謂后驗(yàn)概率，就是根據(jù)具體資料、先驗(yàn)概率、特定的判別規(guī)則所計(jì)算出來(lái)的概率。它是對(duì)先驗(yàn)概率修正后的結(jié)果。

距離判別思想是根據(jù)各樣品與各母體之間的距離遠(yuǎn)近作出判別。即根據(jù)資料建立關(guān)于各母體的距離判別函數(shù)式，將各樣品數(shù)據(jù)逐一代入計(jì)算，得出各樣品與各母體之間的距離值，判樣品屬于距離值最小的那個(gè)母體。5.對(duì)應(yīng)分析(Correspondence Analysis)

對(duì)應(yīng)分析是一種用來(lái)研究變量與變量之間聯(lián)系緊密程度的研究技術(shù)。

運(yùn)用這種研究技術(shù)，我們可以獲取有關(guān)消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品品牌定位方面的圖形，從而幫助您及時(shí)調(diào)整營(yíng)銷策略，以便使產(chǎn)品品牌在消費(fèi)者中能樹立起正確的形象。

這種研究技術(shù)還可以用于檢驗(yàn)廣告或市場(chǎng)推廣活動(dòng)的效果，我們可以通過(guò)對(duì)比廣告播出前或市場(chǎng)推廣活動(dòng)前與廣告播出后或市場(chǎng)推廣活動(dòng)后消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品的不同認(rèn)知圖來(lái)看出廣告或市場(chǎng)推廣活動(dòng)是否成功的向消費(fèi)者傳達(dá)了需要傳達(dá)的信息。

6.典型相關(guān)分析

典型相關(guān)分析是分析兩組隨機(jī)變量間線性密切程度的統(tǒng)計(jì)方法，是兩變量間線性相關(guān)分析的拓廣。各組隨機(jī)變量中既可有定量隨機(jī)變量，也可有定性隨機(jī)變

量(分析時(shí)須F6說(shuō)明為定性變量)。本法還可以用于分析高維列聯(lián)表各邊際變量的線性關(guān)系。注意：

1．嚴(yán)格地說(shuō)，一個(gè)典型相關(guān)系數(shù)描述的只是一對(duì)典型變量之間的相關(guān)，而不是兩個(gè)變量組之間的相關(guān)。而各對(duì)典型變量之間構(gòu)成的多維典型相關(guān)才共同揭示了兩個(gè)觀測(cè)變量組之間的相關(guān)形式。

2．典型相關(guān)模型的基本假設(shè)和數(shù)據(jù)要求

要求兩組變量之間為線性關(guān)系，即每對(duì)典型變量之間為線性關(guān)系；

每個(gè)典型變量與本組所有觀測(cè)變量的關(guān)系也是線性關(guān)系。如果不是線性關(guān)系，可先線性化：如經(jīng)濟(jì)水平和收入水平與其他一些社會(huì)發(fā)展水之間并不是線性關(guān)系，可先取對(duì)數(shù)。即log經(jīng)濟(jì)水平，log收入水平。3．典型相關(guān)模型的基本假設(shè)和數(shù)據(jù)要求

所有觀測(cè)變量為定量數(shù)據(jù)。同時(shí)也可將定性數(shù)據(jù)按照一定形式設(shè)為虛擬變量后，再放入典型相關(guān)模型中進(jìn)行分析。

7.多維尺度分析(Multi-dimension Analysis)

多維尺度分析(Multi-dimension Analysis)是市場(chǎng)研究的一種有力手段，它可以通過(guò)低維空間（通常是二維空間）展示多個(gè)研究對(duì)象（比如品牌）之間的聯(lián)系，利用平面距離來(lái)反映研究對(duì)象之間的相似程度。由于多維尺度分析法通常是基于研究對(duì)象之間的相似性（距離）的，只要獲得了兩個(gè)研究對(duì)象之間的距離矩陣，我們就可以通過(guò)相應(yīng)統(tǒng)計(jì)軟件做出他們的相似性知覺圖。

在實(shí)際應(yīng)用中，距離矩陣的獲得主要有兩種方法：一種是采用直接的相似性評(píng)價(jià)，先所有評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)行兩兩組合，然后要求被訪者所有的這些組合間進(jìn)行直接相似性評(píng)價(jià)，這種方法我們稱之為直接評(píng)價(jià)法；另一種為間接評(píng)價(jià)法，由研究人員根據(jù)事先經(jīng)驗(yàn)，找出影響人們?cè)u(píng)價(jià)研究對(duì)象相似性的主要屬性，然后對(duì)每個(gè)研究對(duì)象，讓被訪者對(duì)這些屬性進(jìn)行逐一評(píng)價(jià)，最后將所有屬性作為多維空間的坐標(biāo)，通過(guò)距離變換計(jì)算對(duì)象之間的距離。

多維尺度分析的主要思路是利用對(duì)被訪者對(duì)研究對(duì)象的分組，來(lái)反映被訪者對(duì)研究對(duì)象相似性的感知，這種方法具有一定直觀合理性。同時(shí)該方法實(shí)施方便，調(diào)查中被訪者負(fù)擔(dān)較小，很容易得到理解接受。當(dāng)然，該方法的不足之處是犧牲了個(gè)體距離矩陣，由于每個(gè)被訪者個(gè)體的距離矩陣只包含1與0兩種取值，相對(duì)較為粗糙，個(gè)體距離矩陣的分析顯得比較勉強(qiáng)。但這一點(diǎn)是完全可以接受的，因?yàn)閷?duì)大多數(shù)研究而言，我們并不需要知道每一個(gè)體的空間知覺圖。

多元統(tǒng)計(jì)分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中內(nèi)容十分豐富、應(yīng)用范圍極為廣泛的一個(gè)分支。在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的許多學(xué)科中，研究者都有可能需要分析處理有多個(gè)變量的數(shù)據(jù)的問(wèn)題。能否從表面上看起來(lái)雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)和提煉出規(guī)律性的結(jié)論，不僅對(duì)所研究的專業(yè)領(lǐng)域要有很好的訓(xùn)練，而且要掌握必要的統(tǒng)計(jì)分析工具。對(duì)實(shí)際領(lǐng)域中的研究者和高等院校的研究生來(lái)說(shuō)，要學(xué)習(xí)掌握多元統(tǒng)計(jì)分析的各種模型和方法，手頭有一本好的、有長(zhǎng)久價(jià)值的參考書是非常必要的。這樣一本書應(yīng)該滿足以下條件：首先，它應(yīng)該是“淺入深出”的，也就是說(shuō)，既可供初學(xué)者入門，又能使有較深基礎(chǔ)的人受益。其次，它應(yīng)該是既側(cè)重于應(yīng)用，又兼顧必要的推理論證，使學(xué)習(xí)者既能學(xué)到“如何”做，而且在一定程度上了解“為什么”這樣做。

最后，它應(yīng)該是內(nèi)涵豐富、全面的，不僅要基本包括各種在實(shí)際中常用的多元統(tǒng)計(jì)分析方法，而且還要對(duì)現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的最新思想和進(jìn)展有所介紹、交代。因子分析

主成分分析通過(guò)線性組合將原變量綜合成幾個(gè)主成分，用較少的綜合指標(biāo)來(lái)代替原來(lái)較多的指標(biāo)(變量)。在多變量分析中，某些變量間往往存在相關(guān)性。是什么原因使變量間有關(guān)聯(lián)呢？是否存在不能直接觀測(cè)到的、但影響可觀測(cè)變量變化的公共因子？因子分析(Factor Analysis)就是尋找這些公共因子的模型分析方法，它是在主成分的基礎(chǔ)上構(gòu)筑若干意義較為明確的公因子，以它們?yōu)榭蚣芊纸庠兞浚源丝疾煸兞块g的聯(lián)系與區(qū)別。

例如，隨著年齡的增長(zhǎng)，兒童的身高、體重會(huì)隨著變化，具有一定的相關(guān)性，身高和體重之間為何會(huì)有相關(guān)性呢？因?yàn)榇嬖谥粋€(gè)同時(shí)支配或影響著身高與體重的生長(zhǎng)因子。那么，我們能否通過(guò)對(duì)多個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣的研究，找出同時(shí)影響或支配所有變量的共性因子呢？因子分析就是從大量的數(shù)據(jù)中“由表及里”、“去粗取精”，尋找影響或支配變量的多變量統(tǒng)計(jì)方法。

可以說(shuō)，因子分析是主成分分析的推廣，也是一種把多個(gè)變量化為少數(shù)幾個(gè)綜合變量的多變量分析方法，其目的是用有限個(gè)不可觀測(cè)的隱變量來(lái)解釋原始變量之間的相關(guān)關(guān)系。

因子分析主要用于：

1、減少分析變量個(gè)數(shù)；

2、通過(guò)對(duì)變量間相關(guān)關(guān)系探測(cè)，將原始變量進(jìn)行分類。即將相關(guān)性高的變量分為一組，用共性因子代替該組變量。

1.因子分析模型

因子分析法是從研究變量?jī)?nèi)部相關(guān)的依賴關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的變量歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)綜合因子的一種多變量統(tǒng)計(jì)分析方法。它的基本思想是將觀測(cè)變量進(jìn)行分類，將相關(guān)性較高，即聯(lián)系比較緊密的分在同一類中，而不同類變量之間的相關(guān)性則較低，那么每一類變量實(shí)際上就代表了一個(gè)基本結(jié)構(gòu)，即公共因子。對(duì)于所研究的問(wèn)題就是試圖用最少個(gè)數(shù)的不可測(cè)的所謂公共因子的線性函數(shù)與特殊因子之和來(lái)描述原來(lái)觀測(cè)的每一分量。

因子分析模型描述如下：

（1）X =(x1，x2，…，xp)￠是可觀測(cè)隨機(jī)向量，均值向量E(X)=0，協(xié)方差陣Cov(X)=∑，且協(xié)方差陣∑與相關(guān)矩陣R相等（只要將變量標(biāo)準(zhǔn)化即可實(shí)現(xiàn)）。

（2）F =(F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m)￠（m

（3）e =(e1，e2，…，ep)￠與F相互獨(dú)立,且E(e)=0, e的協(xié)方差陣∑是對(duì)角陣，即各分量e之間是相互獨(dú)立的，則模型：

x1 = a11F1+ a12F2 +…+a1mFm + e1

x2 = a21F1+a22F2 +…+a2mFm + e2

………

xp = ap1F1+ ap2F2 +…+apmFm + ep

稱為因子分析模型，由于該模型是針對(duì)變量進(jìn)行的，各因子又是正交的，所以也稱為R型正交因子模型。

其矩陣形式為:

x =AF + e.其中：

x=，A=，F(xiàn)=，e=

這里，（1）m ￡ p；

（2）Cov(F,e)=0，即F和e是不相關(guān)的；

（3）D(F)= Im，即F1,F2,…,Fm不相關(guān)且方差均為1；

D(e)=，即e1,e2,…,ep不相關(guān)，且方差不同。

我們把F稱為X的公共因子或潛因子，矩陣A稱為因子載荷矩陣，e 稱為X的特殊因子。

A =(aij)，aij為因子載荷。數(shù)學(xué)上可以證明，因子載荷aij就是第i變量與第j因子的相關(guān)系數(shù)，反映了第i變量在第j因子上的重要性。

2.模型的統(tǒng)計(jì)意義

模型中F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m叫做主因子或公共因子，它們是在各個(gè)原觀測(cè)變量的表達(dá)式中都共同出現(xiàn)的因子，是相互獨(dú)立的不可觀測(cè)的理論變量。公共因子的含義，必須結(jié)合具體問(wèn)題的實(shí)際意義而定。e1，e2，…，ep叫做特殊因子，是向量x的分量xi(i=1,2,…,p)所特有的因子，各特殊因子之間以及特殊因子與所有

公共因子之間都是相互獨(dú)立的。模型中載荷矩陣A中的元素(aij)是為因子載荷。因子載荷aij是xi與Fj的協(xié)方差，也是xi與Fj的相關(guān)系數(shù)，它表示xi依賴Fj的程度。可將aij看作第i個(gè)變量在第j公共因子上的權(quán)，aij的絕對(duì)值越大(|aij|￡1)，表明xi與Fj的相依程度越大，或稱公共因子Fj對(duì)于xi的載荷量越大。為了得到因子分析結(jié)果的經(jīng)濟(jì)解釋，因子載荷矩陣A中有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量十分重要，即變量共同度和公共因子的方差貢獻(xiàn)。

因子載荷矩陣A中第i行元素之平方和記為hi2，稱為變量xi的共同度。它是全部公共因子對(duì)xi的方差所做出的貢獻(xiàn)，反映了全部公共因子對(duì)變量xi的影響。hi2大表明x的第i個(gè)分量xi對(duì)于F的每一分量F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m的共同依賴程度大。

將因子載荷矩陣A的第j列(j =1,2,…,m)的各元素的平方和記為gj2，稱為公共因子Fj對(duì)x的方差貢獻(xiàn)。gj2就表示第j個(gè)公共因子Fj對(duì)于x的每一分量xi(i=1,2,…,p)所提供方差的總和，它是衡量公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo)。gj2越大，表明公共因子Fj對(duì)x的貢獻(xiàn)越大,或者說(shuō)對(duì)x的影響和作用就越大。如果將因子載荷矩陣A的所有g(shù)j2(j =1,2,…,m)都計(jì)算出來(lái)，使其按照大小排序，就可以依此提煉出最有影響力的公共因子。

3.因子旋轉(zhuǎn)

建立因子分析模型的目的不僅是找出主因子，更重要的是知道每個(gè)主因子的意義，以便對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析。如果求出主因子解后，各個(gè)主因子的典型代表變量不很突出，還需要進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)得到比較滿意的主因子。

旋轉(zhuǎn)的方法有很多，正交旋轉(zhuǎn)(orthogonal rotation)和斜交旋轉(zhuǎn)(oblique rotation)是因子旋轉(zhuǎn)的兩類方法。最常用的方法是最大方差正交旋轉(zhuǎn)法(Varimax)。進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，就是要使因子載荷矩陣中因子載荷的平方值向0和1兩個(gè)方向分化，使大的載荷更大，小的載荷更小。因子旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如果因子對(duì)應(yīng)軸相互正交，則稱為正交旋轉(zhuǎn)；如果因子對(duì)應(yīng)軸相互間不是正交的，則稱為斜交旋轉(zhuǎn)。常用的斜交旋轉(zhuǎn)方法有Promax法等。

4.因子得分

因子分析模型建立后，還有一個(gè)重要的作用是應(yīng)用因子分析模型去評(píng)價(jià)每個(gè)樣品在整個(gè)模型中的地位，即進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。例如地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的因子分析模型建立后，我們希望知道每個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的情況，把區(qū)域經(jīng)濟(jì)劃分歸類，哪些地區(qū)發(fā)展較快，哪些中等發(fā)達(dá)，哪些較慢等。這時(shí)需要將公共因子用變量的線性組合來(lái)表示，也即由地區(qū)經(jīng)濟(jì)的各項(xiàng)指標(biāo)值來(lái)估計(jì)它的因子得分。

設(shè)公共因子F由變量x表示的線性組合為:

Fj = uj1 xj1+ uj2 xj2+…+ujpxjp

j=1,2,…,m

該式稱為因子得分函數(shù)，由它來(lái)計(jì)算每個(gè)樣品的公共因子得分。若取m=2，則將每個(gè)樣品的p個(gè)變量代入上式即可算出每個(gè)樣品的因子得分F1和F2，并將其在平面上做因子得分散點(diǎn)圖，進(jìn)而對(duì)樣品進(jìn)行分類或?qū)υ紨?shù)據(jù)進(jìn)行更深入的研究。

但因子得分函數(shù)中方程的個(gè)數(shù)m小于變量的個(gè)數(shù)p，所以并不能精確計(jì)算出因子得分，只能對(duì)因子得分進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)因子得分的方法較多，常用的有回歸估計(jì)法，Bartlett估計(jì)法，Thomson估計(jì)法。

（1）回歸估計(jì)法

F = X b = X(X ￠X)-1A￠ = XR-1A￠

(這里R為相關(guān)陣，且R = X ￠X)。

（2）Bartlett估計(jì)法

Bartlett估計(jì)因子得分可由最小二乘法或極大似然法導(dǎo)出。

F = [(W-1/2A)￠ W-1/2A]-1(W-1/2A)￠ W-1/2X =(A￠W-1A)-1A￠W-1X

（3）Thomson估計(jì)法

在回歸估計(jì)法中，實(shí)際上是忽略特殊因子的作用，取R = X ￠X，若考慮特殊因子的作，此時(shí)R = X ￠X＋W，于是有：

F = XR-1A￠ = X(X ￠X＋W)-1A￠

這就是Thomson估計(jì)的因子得分，使用矩陣求逆算法(參考線性代數(shù)文獻(xiàn))可以將其轉(zhuǎn)換為：

F = XR-1A￠ = X(I+A￠W-1A)-1W-1A￠

5.因子分析的步驟

因子分析的核心問(wèn)題有兩個(gè)：一是如何構(gòu)造因子變量；二是如何對(duì)因子變量進(jìn)行命名解釋。因此，因子分析的基本步驟和解決思路就是圍繞這兩個(gè)核心問(wèn)題展開的。

（i）因子分析常常有以下四個(gè)基本步驟：

（1）確認(rèn)待分析的原變量是否適合作因子分析。

（2）構(gòu)造因子變量。

（3）利用旋轉(zhuǎn)方法使因子變量更具有可解釋性。

（4）計(jì)算因子變量得分。

（ii）因子分析的計(jì)算過(guò)程：

（1）將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，以消除變量間在數(shù)量級(jí)和量綱上的不同。

（2）求標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的相關(guān)矩陣；

（3）求相關(guān)矩陣的特征值和特征向量；

（4）計(jì)算方差貢獻(xiàn)率與累積方差貢獻(xiàn)率；

（5）確定因子：

設(shè)F1，F(xiàn)2，…, Fp為p個(gè)因子，其中前m個(gè)因子包含的數(shù)據(jù)信息總量（即其累積貢獻(xiàn)率）不低于80%時(shí)，可取前m個(gè)因子來(lái)反映原評(píng)價(jià)指標(biāo)；

（6）因子旋轉(zhuǎn)：

若所得的m個(gè)因子無(wú)法確定或其實(shí)際意義不是很明顯，這時(shí)需將因子進(jìn)行旋轉(zhuǎn)以獲得較為明顯的實(shí)際含義。

（7）用原指標(biāo)的線性組合來(lái)求各因子得分：

采用回歸估計(jì)法，Bartlett估計(jì)法或Thomson估計(jì)法計(jì)算因子得分。

（8）綜合得分

以各因子的方差貢獻(xiàn)率為權(quán)，由各因子的線性組合得到綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)。

F =(w1F1+w2F2+…+wmFm)／(w1+w2+…+wm)

此處wi為旋轉(zhuǎn)前或旋轉(zhuǎn)后因子的方差貢獻(xiàn)率。

（9）得分排序：利用綜合得分可以得到得分名次。

在采用多元統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理、建立宏觀或微觀系統(tǒng)模型時(shí)，需要研究以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：

· 簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，探討系統(tǒng)內(nèi)核?？刹捎弥鞒煞址治?、因子分析、對(duì)應(yīng)分析等方法，在眾多因素中找出各個(gè)變量最佳的子集合，從子集合所包含的信息描述多變量的系統(tǒng)結(jié)果及各個(gè)因子對(duì)系統(tǒng)的影響。“從樹木看森林”，抓住主要矛盾，把握主要矛盾的主要方面，舍棄次要因素，以簡(jiǎn)化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的內(nèi)核。

· 構(gòu)造預(yù)測(cè)模型，進(jìn)行預(yù)報(bào)控制。在自然和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域的科研與生產(chǎn)中，探索多變量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的客觀規(guī)律及其與外部環(huán)境的關(guān)系，進(jìn)行預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)控制，是應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)的主要目的。在多元分析中，用于預(yù)報(bào)控制的模型有兩大類。一類是預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型，通常采用多元線性回歸或逐步回歸分析、判別分析、雙重篩選逐步回歸分析等建模技術(shù)。另一類是描述性模型，通常采用聚類分析的建模技術(shù)。

· 進(jìn)行數(shù)值分類，構(gòu)造分類模式。在多變量系統(tǒng)的分析中，往往需要將系統(tǒng)性質(zhì)相似的事物或現(xiàn)象歸為一類。以便找出它們之間的聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律性。過(guò)去許多研究多是按單因素進(jìn)行定性處理，以致處理結(jié)果反映不出系統(tǒng)的總的特征。進(jìn)行數(shù)值分類，構(gòu)造分類模式一般采用聚類分析和判別分析技術(shù)。

如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決實(shí)際問(wèn)題，需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行綜合考慮。對(duì)一個(gè)問(wèn)題可以綜合運(yùn)用多種統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析。例如一個(gè)預(yù)報(bào)模型的建立，可先根據(jù)有關(guān)生物學(xué)、生態(tài)學(xué)原理，確定理論模型和試驗(yàn)設(shè)計(jì)；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，收集試驗(yàn)資料；對(duì)資料進(jìn)行初步提煉；然后應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析方法(如相關(guān)分析、逐步回歸分析、主成分分析等)研究各個(gè)變量之間的相關(guān)性，選擇最佳的變量子集合；在此基礎(chǔ)上構(gòu)造預(yù)報(bào)模型，最后對(duì)模型進(jìn)行診斷和優(yōu)化處理，并應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際。

第三篇：小學(xué)數(shù)學(xué)建模案例

小學(xué)數(shù)學(xué)建模案例

相遇問(wèn)題。①創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲。先請(qǐng)兩位同學(xué)在黑板的兩邊同時(shí)相向而行，可以讓學(xué)生重復(fù)多走幾次。接著可以問(wèn)同學(xué)們看到了什么。學(xué)生的回答會(huì)有很多，如：他們?cè)谥虚g碰到了；兩個(gè)人面對(duì)面在走；兩個(gè)人背對(duì)背在走??此時(shí)就可以引入相遇問(wèn)題中的一些條件：同時(shí)出發(fā)、相向而行、相背而行、途中相遇。當(dāng)學(xué)生對(duì)此有一定的了解之后就可以舉一個(gè)具體的例子來(lái)進(jìn)入教學(xué)重點(diǎn)了。例如：甲乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距A地80千米處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，甲車到達(dá)B地、乙車到達(dá)A地后均立即返回，第二次在距A地60千米處相遇。求A、B兩地間的路程。②抽象概括，建立模型，導(dǎo)入學(xué)習(xí)課題。此題可以將整個(gè)過(guò)程用線段圖來(lái)形象地描述，這就是這個(gè)相遇問(wèn)題建立的數(shù)學(xué)模型。③研究模型，形成數(shù)學(xué)知識(shí)。

總結(jié)出一般規(guī)律之后可以舉個(gè)例子讓學(xué)生做，看看學(xué)生是否已經(jīng)掌握，是否會(huì)應(yīng)用這個(gè)規(guī)律來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。如：兩艘渡輪在同一時(shí)刻垂直駛離H河的甲、乙兩岸相向而行，它們?cè)诰嚯x甲岸720米處相遇。到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)后，每艘船都要停留10分鐘，以便讓乘客上船下船，然后返航。這兩艘在距離乙岸4OO米處又重新相遇。問(wèn)：該河的寬度是多少?可以請(qǐng)兩位同學(xué)到黑板上來(lái)做，其他同學(xué)做在作業(yè)本上，然后講解，并充分肯定學(xué)生的表現(xiàn)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。案例二：小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)會(huì)遇到“牛吃草問(wèn)題”，牛吃草問(wèn)題又稱消長(zhǎng)問(wèn)題或牛頓牧場(chǎng)，是17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓提出來(lái)的。典型牛吃草問(wèn)題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。

由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長(zhǎng)的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷變化。例：牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)，這片草地可供l0頭牛吃20天，或者可以供l5頭牛吃10天，問(wèn)：可供25頭牛吃幾天?分析：這類題目難就難在牧場(chǎng)上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當(dāng)中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀?chǎng)上原有的草和新長(zhǎng)出來(lái)的草兩部分。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出來(lái)的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以這片草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量相同，即每天新長(zhǎng)出的草是不變的。下面就要設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長(zhǎng)出的草這兩個(gè)不變的量。

運(yùn)用，J學(xué)數(shù)學(xué)建模解決此類問(wèn)題時(shí)，要充分發(fā)揮學(xué)生的自主性，教師需要一步一步地引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。解決牛吃草問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下：假定一頭牛一天吃草量為“1”。①草的生長(zhǎng)速度=(對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)一相應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較少天數(shù))；②原有草量=牛頭數(shù)x吃的天數(shù)一草的生長(zhǎng)速度X吃的天數(shù)；③吃的天數(shù)=原有草量÷(牛頭數(shù)一草的生長(zhǎng)速度)；④牛頭數(shù)=原有草量÷吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度。由于小學(xué)數(shù)學(xué)建模是讓學(xué)生掌握新的知識(shí)、提高新的能力為目的，那么讓學(xué)生掌握和理解所建立的數(shù)學(xué)模型尤為重要，并且在理解的基礎(chǔ)上還要學(xué)會(huì)應(yīng)用。牛吃草問(wèn)題相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題還有很多，如：①有一個(gè)灌溉用的中轉(zhuǎn)水池，一直開著進(jìn)水管往里灌水，一段時(shí)間后，用2臺(tái)抽水機(jī)排水，則用40分鐘能排完；如果用4臺(tái)同樣的抽水機(jī)排水，則用16分鐘排完。

問(wèn)如果計(jì)劃用10分鐘將水排完，需要多少臺(tái)抽水機(jī)?②有一口很深的水井，連續(xù)不斷涌出泉水。使用17架抽水機(jī)來(lái)抽水，30分鐘可以將水抽干。若使用19架抽水機(jī)，則24分鐘就可以將水井抽干?，F(xiàn)在有若干架抽水機(jī)在抽水，6分鐘后，撤走4架抽水機(jī)，再過(guò)2分鐘后，水井被抽干。那么原來(lái)有抽水機(jī)多少架?③物美超市的收銀臺(tái)平均每小時(shí)有60名顧客前來(lái)排隊(duì)付款，每一個(gè)收銀臺(tái)每小時(shí)能應(yīng)付80名顧客付款。某天某時(shí)刻，超市如果只開設(shè)一個(gè)收銀臺(tái)，付款開始4小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了，問(wèn)如果當(dāng)時(shí)開設(shè)兩個(gè)收銀臺(tái)，則付款開始幾個(gè)小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了?

第四篇：數(shù)學(xué)建模常用的十種方法

數(shù)學(xué)建模常用的十種方法

時(shí)可以通過(guò)模擬來(lái)檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)必用的方法）

2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具）

3、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問(wèn)題（建模競(jìng)賽大多數(shù)問(wèn)題屬于最優(yōu)化問(wèn)題，很多時(shí)候這些問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來(lái)描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實(shí)現(xiàn)）

4、圖論算法（這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問(wèn)題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備）

5、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分支定界等計(jì)算機(jī)算法（這些算法是算法設(shè)計(jì)中比較常用的方法，很多場(chǎng)合可以用到競(jìng)賽中）

6、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些問(wèn)題是用來(lái)解決一些較困難的最優(yōu)化問(wèn)題的算法，對(duì)于有些問(wèn)題非常有幫助，但是算法的實(shí)現(xiàn)比較困難，需慎重使用）

7、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法，在很多競(jìng)賽題中有應(yīng)用，當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時(shí)候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級(jí)語(yǔ)言作為編程工具）

8、一些連續(xù)離散化方法（很多問(wèn)題都是實(shí)際來(lái)的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計(jì)算機(jī)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的）

9、數(shù)值分析算法（如果在比賽中采用高級(jí)語(yǔ)言進(jìn)行編程的話，那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運(yùn)算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫庫(kù)函數(shù)進(jìn)行調(diào)用）

10、圖象處理算法（賽題中有一類問(wèn)題與圖形有關(guān)，即使與圖形無(wú)關(guān)，論文中也應(yīng)該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問(wèn)題，通常使用Matlab進(jìn)行處理）

第五篇：數(shù)學(xué)建模

A題：一種汽車比賽的最優(yōu)策略

汽車運(yùn)動(dòng)是當(dāng)前世界上一項(xiàng)重要的體育項(xiàng)目。這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)比傳統(tǒng)的體育項(xiàng)目更具綜合性，尤其涉及科學(xué)技術(shù)的各個(gè)方面。數(shù)學(xué)物理科學(xué)在這個(gè)項(xiàng)目中自然十分重要。當(dāng)然，汽車運(yùn)動(dòng)的比賽項(xiàng)目也十分豐富。其中的速度賽和節(jié)油賽就是兩項(xiàng)基本比賽。有人設(shè)計(jì)了如下的兩個(gè)比賽項(xiàng)目：

項(xiàng)目1： 給汽車加一定量的燃油，在一定的路面及其風(fēng)速環(huán)境下汽車行駛路程最遠(yuǎn)。

項(xiàng)目2： 給汽車加一定量的燃油，在一定的路面及其風(fēng)速環(huán)境下，在確定的比賽路段內(nèi)，汽車行駛時(shí)間最短。

上述兩個(gè)比賽項(xiàng)目的要點(diǎn)是比賽者應(yīng)設(shè)計(jì)自己的最優(yōu)比賽策略，既是給出定量燃油的消耗速率v(t),盡量使上述兩個(gè)項(xiàng)目達(dá)到最優(yōu)效果。既是得到盡量好的比賽成績(jī)。

請(qǐng)?jiān)诤侠淼穆访孀枇推渌枇僭O(shè)下建立數(shù)學(xué)模型，并求出上述兩個(gè)問(wèn)題(項(xiàng)目)的最優(yōu)策略，既是定量燃油的最優(yōu)消耗律v(t)函數(shù)。

當(dāng)汽車還有能量輸入(例如：太陽(yáng)能)時(shí)，如何修正數(shù)學(xué)模型。

B題：中國(guó)人口發(fā)展趨勢(shì)對(duì)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的影響

人口是影響經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵因素，關(guān)系到改革開放和社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)的成功。中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)管理面臨的重大問(wèn)題與人口數(shù)量、素質(zhì)、結(jié)構(gòu)、分布等密切相關(guān)?！叭丝趩?wèn)題是發(fā)展的中心問(wèn)題”已成為各國(guó)共識(shí)。各國(guó)均對(duì)提高人口素質(zhì)、緩解人口老齡化帶來(lái)的壓力等關(guān)鍵問(wèn)題給予了特別的關(guān)注。

20世紀(jì)70年代，為了緩解人口過(guò)快增長(zhǎng)帶來(lái)的社會(huì)壓力，中國(guó)開始實(shí)行計(jì)劃生育政策。自那以來(lái)，我國(guó)的計(jì)劃生育工作取得了舉世矚目的成就，在經(jīng)濟(jì)還不發(fā)達(dá)的情況下，有效控制了人口的過(guò)快增長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)了人口再生產(chǎn)類型從“高、低、高”的模式向“低、低、低”模式的轉(zhuǎn)變。與此同時(shí)，我國(guó)人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新情況、新變化。人口總和生育率已低于臨界生育率水平，我國(guó)部分大中城市老齡化已非常明顯。目前我國(guó)正處于人口發(fā)生轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵時(shí)刻，生育率、人口性別結(jié)構(gòu)、人口老齡化等問(wèn)題日益凸顯。

中國(guó)人口發(fā)展的這些變化將對(duì)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展產(chǎn)生重要影響。例如，低生育率導(dǎo)致的勞動(dòng)力老化、勞動(dòng)力供給總量的下降，會(huì)對(duì)勞動(dòng)生產(chǎn)率的提高以及經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)產(chǎn)生負(fù)面影響。人口年齡結(jié)構(gòu)的改變將影響儲(chǔ)蓄和投資的比例，引起社會(huì)保障公共支出需求的增加等等。特別值得注意的是，與西方國(guó)家不同，中國(guó)未來(lái)的人口老齡化問(wèn)題具有“未富先老”的特點(diǎn)。這就給社會(huì)保障帶來(lái)一系列問(wèn)題，其中養(yǎng)老保險(xiǎn)受到的沖擊最大?；攫B(yǎng)老保險(xiǎn)制度的負(fù)擔(dān)系數(shù)從1984年的0.185提高到2003年的0.331，增長(zhǎng)了近80%。預(yù)計(jì)到本世紀(jì)30年代，我國(guó)人口老齡化將達(dá)到高峰。如果對(duì)這個(gè)問(wèn)題沒有恰當(dāng)?shù)膽?yīng)對(duì)策略，不僅社會(huì)保障制度無(wú)法平穩(wěn)運(yùn)行，而且將影響社會(huì)經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展。

盡管社會(huì)各界對(duì)未來(lái)中國(guó)人口發(fā)展趨勢(shì)性的判斷能夠達(dá)成較為一致的看法，但具體測(cè)算結(jié)果仍具有較大差異。相應(yīng)地，對(duì)當(dāng)前是否應(yīng)當(dāng)調(diào)整中國(guó)現(xiàn)行的人口政策也存在較多分歧。一種意見認(rèn)為，中國(guó)人口增速雖然回落，但人口基數(shù)依然龐大，國(guó)內(nèi)資源稀缺的矛盾依然較為突出，因而當(dāng)前及今后一段時(shí)期內(nèi)還應(yīng)繼續(xù)堅(jiān)持現(xiàn)行的計(jì)劃生育政策。另一種意見則認(rèn)為，中國(guó)的計(jì)劃生育政策已經(jīng)執(zhí)行了30多年，人口增長(zhǎng)率已經(jīng)呈現(xiàn)明顯的下降趨勢(shì)，而且也產(chǎn)

生了一些問(wèn)題，如人口結(jié)構(gòu)失衡、低生育率、男女比例失調(diào)問(wèn)題，甚至于民族性格的改變等。認(rèn)為目前已到了重新審視計(jì)劃生育政策的時(shí)候，目前中國(guó)人口的主要矛盾已經(jīng)是老齡化問(wèn)題。這兩種意見各有其理論和實(shí)踐基礎(chǔ)，但又均沒有充分的科學(xué)依據(jù)。到底如何來(lái)評(píng)估現(xiàn)行人口政策的影響，人口政策是否有必要調(diào)整？人口政策調(diào)整與否，在不同的情景下，未來(lái)我國(guó)的人口發(fā)展趨勢(shì)及其對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的影響如何？如何解決人口增長(zhǎng)與經(jīng)濟(jì)、資源、環(huán)境和社會(huì)等諸多約束之間的矛盾？不同的人口政策和發(fā)展趨勢(shì)對(duì)我國(guó)就業(yè)問(wèn)題、教育問(wèn)題和住房問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生什么樣的影響？這些問(wèn)題均需要進(jìn)行深入的研究，不僅僅是定性分析，還要結(jié)合定量測(cè)算，科學(xué)地評(píng)估當(dāng)前我國(guó)的人口政策，以及未來(lái)調(diào)整人口政策的可行性及如何調(diào)整，在此基礎(chǔ)上得出可行的政策建議。

目前我國(guó)一些部門和學(xué)者對(duì)人口問(wèn)題，包括人口戰(zhàn)略等開展了許多研究，但也存在一些值得改善的地方。例如，研究對(duì)象的片面性問(wèn)題。如人口部門的研究主要關(guān)注人口自身的增長(zhǎng)問(wèn)題，對(duì)其他影響人口增長(zhǎng)的因素考慮較少。實(shí)際上人口增長(zhǎng)脫離不了復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，它有眾多的制約因素，如經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、資源環(huán)境約束、社會(huì)保障狀況等。要深入考察人口問(wèn)題和人口政策，需要從復(fù)雜系統(tǒng)的角度出發(fā)。又如人口的數(shù)據(jù)問(wèn)題。由于與人口相關(guān)的數(shù)據(jù)很多是通過(guò)估算得到的，因此在準(zhǔn)確性方面就大打折扣。剛剛完成的全國(guó)第六次人口普查為下一步的研究奠定很好的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

中共中央政治局2011年4月26日就世界人口發(fā)展和全面做好新形勢(shì)下我國(guó)人口工作進(jìn)行第二十八次集體學(xué)習(xí)。中共中央總書記胡錦濤在主持學(xué)習(xí)時(shí)強(qiáng)調(diào)，要充分認(rèn)識(shí)我國(guó)人口問(wèn)題的長(zhǎng)期性、復(fù)雜性、艱巨性，不斷增強(qiáng)做好人口工作的自覺性和主動(dòng)性，加強(qiáng)戰(zhàn)略研究，加強(qiáng)政策統(tǒng)籌，加強(qiáng)工作協(xié)調(diào)，加強(qiáng)任務(wù)落實(shí)，不斷開創(chuàng)人口工作新局面，為“十二五”時(shí)期經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展創(chuàng)造更加有利的人口環(huán)境。

問(wèn)題一：試建立數(shù)學(xué)模型分析我國(guó)人口發(fā)展趨勢(shì)對(duì)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展某一方面的影響，如考慮我國(guó)人口發(fā)展趨勢(shì)對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響：對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度、消費(fèi)結(jié)構(gòu)、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、進(jìn)出口等的影響，以及人口因素對(duì)勞動(dòng)力市場(chǎng)的影響（勞動(dòng)力短缺和工資成本持續(xù)上升等）；人口發(fā)展趨勢(shì)對(duì)社會(huì)發(fā)展的影響：人口結(jié)構(gòu)老齡化的社會(huì)影響、從業(yè)人口的養(yǎng)老負(fù)擔(dān)系數(shù)等。（具體相關(guān)數(shù)據(jù)請(qǐng)自行查找，并務(wù)必在參考文獻(xiàn)中注明出處）

問(wèn)題二：考慮人口發(fā)展趨勢(shì)及其經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展某一方面影響基礎(chǔ)上，并就該方面提出調(diào)整和完善人口政策的具體政策建議，并分析其可行性和正負(fù)作用。

注：論文電子版請(qǐng)?zhí)峤坏剑篶h8683897@126.com

C題：組合投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)

某公司現(xiàn)有數(shù)額為20億的一筆資金可作為未來(lái)5年內(nèi)的投資資金，市場(chǎng)上有8個(gè)投資項(xiàng)目（如股票、債券、房地產(chǎn)、?）可供公司作投資選擇。其中項(xiàng)目

1、項(xiàng)目2每年初投資，當(dāng)年年末回收本利（本金和利潤(rùn)）；項(xiàng)目

3、項(xiàng)目4每年初投資，要到第二年末才可回收本利；項(xiàng)目

5、項(xiàng)目6每年初投資，要到第三年末才可回收本利；項(xiàng)目7只能在第二年年初投資，到第五年末回收本利；項(xiàng)目8只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利。

一、公司財(cái)務(wù)分析人員給出一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，見表1。

試根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定5年內(nèi)如何安排投資？使得第五年末所得利潤(rùn)最大？

二、公司財(cái)務(wù)分析人員收集了8個(gè)項(xiàng)目近20年的投資額與到期利潤(rùn)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)：在具體對(duì)

這些項(xiàng)目投資時(shí)，實(shí)際還會(huì)出現(xiàn)項(xiàng)目之間相互影響等情況。

8個(gè)項(xiàng)目獨(dú)立投資的往年數(shù)據(jù)見表2。同時(shí)對(duì)項(xiàng)目3和項(xiàng)目4投資的往年數(shù)據(jù)；同時(shí)對(duì)項(xiàng)目5和項(xiàng)目6投資的往年數(shù)據(jù)；同時(shí)對(duì)項(xiàng)目

5、項(xiàng)目6和項(xiàng)目8投資的往年數(shù)據(jù)見表3。(注：同時(shí)投資項(xiàng)目是指某年年初投資時(shí)同時(shí)投資的項(xiàng)目)

試根據(jù)往年數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)今后五年各項(xiàng)目獨(dú)立投資及項(xiàng)目之間相互影響下的投資的到期利潤(rùn)率、風(fēng)險(xiǎn)損失率。

三、未來(lái)5年的投資計(jì)劃中，還包含一些其他情況。

對(duì)投資項(xiàng)目1，公司管理層爭(zhēng)取到一筆資金捐贈(zèng)，若在項(xiàng)目1中投資超過(guò)20000萬(wàn)，則同時(shí)可獲得該筆投資金額的1%的捐贈(zèng)，用于當(dāng)年對(duì)各項(xiàng)目的投資。

項(xiàng)目5的投資額固定，為500萬(wàn)，可重復(fù)投資。

各投資項(xiàng)目的投資上限見表4。

在此情況下，根據(jù)問(wèn)題二預(yù)測(cè)結(jié)果，確定5年內(nèi)如何安排20億的投資？使得第五年末所得利潤(rùn)最大？

四、考慮到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金投資若干種項(xiàng)目時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。

如果考慮投資風(fēng)險(xiǎn)，問(wèn)題三的投資問(wèn)題又應(yīng)該如何決策？

五、為了降低投資風(fēng)險(xiǎn)，公司可拿一部分資金存銀行，為了獲得更高的收益，公司可在銀行貸款進(jìn)行投資，在此情況下，公司應(yīng)該如何對(duì)5年的投資進(jìn)行決策?

附：

表1.投資項(xiàng)目預(yù)計(jì)到期利潤(rùn)率及投資上限

項(xiàng)目 1 2 3 4 5 6 7 8

預(yù)計(jì)到期利潤(rùn)率（%）0.1 0.11 0.25 0.27 0.45 0.5 0.8 0.55

上限（萬(wàn)元）60000 30000 40000 30000 30000 20000 40000 30000 注：到期利潤(rùn)率是指對(duì)某項(xiàng)目的一次投資中，到期回收利潤(rùn)與本金的比值。

表2.各投資項(xiàng)目獨(dú)立投資時(shí)歷年的投資額及到期利潤(rùn)（萬(wàn)元）

項(xiàng)目 1 2 3 4 5 6 7 8

1986 投資額 3003 5741 4307 5755 4352 3015 6977 4993到期利潤(rùn) 479 126 1338 910-7955 5586 22591 8987

1987 投資額 7232 6886 5070 7929 7480 5463 3041 4830到期利潤(rùn) 1211 164 2210 1539 5044-1158 6386 9398

1988 投資額 3345 5659 6665 7513 5978 4558 5055 4501到期利潤(rùn) 507 629 2540 1233-3608-6112 36832 10355

1989 投資額 5308 6272 6333 6749 4034 7392 6442 4092到期利潤(rùn) 787 602 836 1616 8081 4946 16834-7266

1990 投資額 4597 5294 5148 5384 6220 6068 6095 5270到期利潤(rùn) 711 365 2765 1099 22300 8319-19618-2697

1991 投資額 4378 5095 5973 7294 6916 6276 7763 6335到期利潤(rùn) 756 621 2549 1559 5130-9028 22230 273

31992 投資額 6486 7821 4449 5586 5812 6577 6276 5848到期利潤(rùn) 846 935 1078 1006 9358 1318-59901 24709

1993 投資額 6974 3393 4268 5414 5589 4472 6863 3570到期利潤(rùn) 1489 593 1955 1740 9207 4237 38552 14511 1994 投資額 4116 4618 5474 6473 5073 6345 6866 3044到期利潤(rùn) 353 749 2041 1548 7044-2291-39691 4570

1995 投資額 7403 5033 6859 6707 5377 4783 5202 6355到期利潤(rùn) 1117 911 1392 1168 7488 1464 70314 19245

1996 投資額 4237 4996 5603 5597 5231 4181 6830 5018到期利潤(rùn) 571 964 3077 1881 7209 5721-21568 5075

1997 投資額 3051 5707 4877 3844 7434 4222 5370 5960到期利潤(rùn) 449 868 1138 1131 5196 3173 99069 14864

1998 投資額 7574 5052 5460 3681 7936 7745 6391 3861到期利潤(rùn) 1396 958 1372 1221 5849 10740-27334-4626 1999 投資額 3510 5870 5697 5701 3898 7216 5135 4218到期利潤(rùn) 364 1089 1456 1757-629 10770-24878-5786

2000 投資額 6879 7396 5516 5623 7471 5501 3174 4210到期利潤(rùn) 994 1558 2864 1461 7769 7151 8981 21833 2001 投資額 3511 4780 6255 6925 6598 6043 4862 7988到期利潤(rùn) 638 1175 3230 2223 8020 7916-46712 21357

2002 投資額 3660 7741 4315 4379 7120 6131 3661 5393到期利潤(rùn) 538 1527 1155 1494 4616 6411 64239-11538

2003 投資額 4486 4756 3871 5529 5807 55763029到期利潤(rùn) 466 862 1022 2046 5395 617811819

2004 投資額 7280 7312 6471 7760

到期利潤(rùn) 1389 1319 2060 3227

2005 投資額 3082 5083

到期利潤(rùn) 403 787

表3.一些投資項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)歷年的投資額及到期利潤(rùn)（萬(wàn)元）

項(xiàng)目 同時(shí)投資項(xiàng)目1、2 同時(shí)投資項(xiàng)目5、6 同時(shí)投資項(xiàng)目5、6、83 4 5 6 5 6 8

1986 投資額 4307 5755 4352 3015 4352 3015 4993到期利潤(rùn) 1026 2686 1442 2634 6678 2542-3145 1987 投資額 5070 7929 7480 5463 7480 5463 4830到期利潤(rùn) 2188 3558 3009 2935-3861 15120 13270 1988 投資額 6665 7513 5978 4558 5978 4558 4501到期利潤(rùn) 3272 3222 443 14400 4794 1884-3356

1989 投資額 6333 6749 4034 7392 4034 7392 4092到期利潤(rùn) 2050 2778 344 4473 3002 1549 10820

1990 投資額 5148 5384 6220 6068 6220 6068 5270到期利潤(rùn) 1513 2533 601-6448-852-4651-1593

1991 投資額 5973 7294 6916 6276 6916 6276 6335

到期利潤(rùn) 2733 3542 10300 9217 20610 5595 7283 1992 投資額 4449 5586 5812 6577 5812 6577 5848到期利潤(rùn) 3005 2448 318 1087 4750-179 14000

1993 投資額 4268 5414 5589 4472 5589 4472 3570到期利潤(rùn) 2015 2609 5168-2930 3170-235 14460 1994 投資額 5474 6473 5073 6345 5073 6345 3044到期利潤(rùn) 1782 2969-981 2413 7304 19090 7065 1995 投資額 6859 6707 5377 4783 5377 4783 6355到期利潤(rùn) 3701 2636 6695 52 3795 2029 10510 1996 投資額 5603 5597 5231 4181 5231 4181 5018到期利潤(rùn) 3581 1809 952 844-2671 6334 12970

1997 投資額 4877 3844 7434 4222 7434 4222 5960到期利潤(rùn) 1510 1724-124 8984-4299 3307 10170 1998 投資額 5460 3681 7936 7745 7936 7745 3861到期利潤(rùn) 3996 1450 7717 2803 8062 6753 10050 1999 投資額 5697 5701 3898 7216 3898 7216 4218到期利潤(rùn) 3204 2488 7598-4722-968 14900-2294 2000 投資額 5516 5623 7471 5501 7471 5501 4210到期利潤(rùn) 1454 2199 7518 9321 6580 2131 10060 2001 投資額 6255 6925 6598 6043 6598 6043 7988到期利潤(rùn) 3258 2646 8671-6551 11460-4521-8039 2002 投資額 4315 4379 7120 6131 7120 6131 5393到期利潤(rùn) 2661 1984 2029 20300 4379 1035 4456 2003 投資額 3871 5529 5807 5576 5807 5576 3029到期利潤(rùn) 1800 2443 7424 8639 12680 5112 2154 2004 投資額 6471 7760

到期利潤(rùn) 3047 3682

2005 投資額

到期利潤(rùn)

表4.各投資項(xiàng)目的投資上限

項(xiàng)目 1 2 3 4 5 6 7 8

上限（萬(wàn)元）60000 60000 35000 30000 30000 40000 30000注：本題電子版請(qǐng)?zhí)峤坏剑篶h8683897@126.com 30000